{"id":26881,"date":"2019-05-22T15:24:10","date_gmt":"2019-05-22T14:24:10","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26881"},"modified":"2023-09-15T12:23:12","modified_gmt":"2023-09-15T11:23:12","slug":"cours-en-ligne-espaces-vectoriels-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-espaces-vectoriels-maths-spe\/","title":{"rendered":"Cours Espaces vectoriels en maths sp\u00e9"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les Espaces Vectoriels MP, MPI, PC, PSI, PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – espaces vectoriels<\/h2>\n

1. Comment d\u00e9montrer qu’un ensemble \"E\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel ?<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0On conna\u00eet un espace vectoriel \"F\" tel que \"E \subset F\", il suffit de prouver que \"E\" est un sous-espace vectoriel de \"F\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0On ne peut trouver un tel espace vectoriel \"F\", il faut alors revenir \u00e0 la d\u00e9finition d’un espace vectoriel et d\u00e9montrer la structure de groupe commutatif pour l’addition et les 4 propri\u00e9t\u00e9s de la loi externe.<\/p>\n

2.\u00a0Comment utiliser le fait que \"F = \textrm {Vect}(a_1 ,... , a_n)\" ?<\/strong><\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0U1.<\/b>\u00a0\"F\" est alors un sous-espace vectoriel : cela peut \u00e9viter beaucoup de calculs !<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U2.<\/b>\u00a0Si l’on demande \"\dim F\", il suffit de chercher si \"(a_1 ,\;...\; ,\, a_n)\" est une partie libre de \"E\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U3.<\/b>\u00a0Si l’on demande de prouver que \"F\" est stable pour la multiplication (si \"F\" est une partie de \"\mathbb{K}[X]\", de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" ou d’un ensemble de fonctions<\/a> \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\") ou pour la loi \"\circ\" (si \"F\" est une partie de \"\mathcal{L}(E)\"), il suffit de prouver que<\/p>\n

\"\forall (i ,\; j ) \in [\![1 , n ]\!]^2,\; a_i\, a_j \in F\" et dans le cas de la loi \"\circ:\; a_i \, \circ \, a_j \in F.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U4.<\/b>\u00a0Si l’on demande de prouver que \"F\" est inclus dans le sous-espace vectoriel \"G\", il suffit de prouver que \"\forall i \in [\![1 , n ]\!], \, a_i \in G .\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U5.<\/b>\u00a0Si \"F \subset E\" et si \"u \in \mathcal{L}(E)\", pour prouver que \"u(F) \subset F\", il suffit de prouver que \"\forall i \in [\![1 , n ]\!],\" \"u(a_i) \in F\".<\/p>\n

3.\u00a0Comment d\u00e9montrer l’\u00e9galit\u00e9 de deux sous espaces vectoriels ?<\/strong><\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Pour d\u00e9montrer l’\u00e9galit\u00e9 des sous-espaces vectoriels \"F\" et \"G\", on raisonne par double inclusion, en prouvant que \"F \subset G \textrm{ et }G \subset F.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M<\/b>2.<\/b>\u00a0Si \"F\" et \"G\" sont de dimension finie et si l’on peut d\u00e9montrer que \"\dim F = \dim G\", il suffit de prouver une seule des deux inclusions.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Lorsque \"F =\" Vect\"(X)\" et \"G\" est un sous-espace vectoriel, pour prouver que \"F \subset G\", il suffit de prouver que \"X \subset G\" et de dire que \"\textrm{Vect}(X)\" est le plus petit des sous-espaces vectoriels contenant \"X\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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4. Comment d\u00e9montrer qu’une famille est libre ?<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Dans le cas d’une famille<\/a> de deux vecteurs \"(a , b),\"<\/p>\n

a) on d\u00e9montre que \"a\neq 0\"<\/p>\n

b) on d\u00e9montre que la relation \"b = \lambda a\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{K}\" est impossible.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>M\u00e9thode g\u00e9n\u00e9rale pour d\u00e9montrer que la famille \"(a_1 ,\, ... \, , \, a_n)\" est libre :
\non part de l’hypoth\u00e8se: \"\exists (\alpha_1 ,\, ...\, , \,\alpha_n) \in\mathbb{ K}^n\", \"\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\alpha_i \,a_i = 0\" et on d\u00e9montre que \"\forall i \in [\![1 , n ]\!],\alpha_i = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0On sait que \"(a_1 ,... , a_n)\" est une famille libre et on veut prouver que \"(a_1 ,... , a_n , a)\" est encore une famille libre, on d\u00e9montre que \"a\" n’est pas combinaison lin\u00e9aire de \"(a_1 , ... , a_n).\"
\n
\nEt quelques m\u00e9thodes particuli\u00e8res :<\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>On d\u00e9montre que la famille \"(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)\" est extraite d’une base connue.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0On d\u00e9montre que la famille \"(a_1 ,\, ... \, , \, a_n)\" est l’image d’une base par une application lin\u00e9aire injective.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.<\/b>\u00a0Dans \"\mathbb{K}[\textrm{X}]\", il suffit de prouver que l’on a une famille de polyn\u00f4mes de degr\u00e9s 2 \u00e0 2 distincts.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.<\/b>\u00a0Dans \"\mathbb{K}^p\", on peut regarder si la famille \"(a_1 , \, a_2 ,\, ... \, , \,a_n)\" est une famille \u00e9chelonn\u00e9e, alors il s’agit d’une famille libre.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M8.\u00a0<\/b>Pour d\u00e9montrer que la famille infinie \"(a_i)_{ i \in I}\" est libre, on d\u00e9montre que toute sous-famille finie est libre.
\nDans le cas o\u00f9 \"I =\mathbb{ N}\", on d\u00e9montre que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", la famille \"(a_0 , a_1 ,... , a_n)\" est libre.<\/p>\n

Ce cours sur les espaces vectoriels est au programme de Maths de l’ensemble des fili\u00e8res de Maths Sp\u00e9. Pour organiser un bon planning de r\u00e9visions, prenez appui sur les nombreux cours en ligne de Maths en PT<\/a>, les cours en ligne de Maths en MP<\/a>, ou cours en ligne de PC en Maths<\/a>, et cours en ligne de Maths en PSI<\/a>, sans oublier nos profs particuliers de maths<\/a>.<\/p>\n

5. Comment d\u00e9montrer qu’une famille est g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\" ?<\/h2>\n

Pour d\u00e9montrer que \"(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\",<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Montrer que<\/p>\n

\"\quad \quad \quad E =\" Vect\"(a_1,\, ... \, ,\, a_n).\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b> Montrer que pour tout \"x\" de \"E\", on peut trouver des scalaires \"(a_1 , a_2 ... , a_n)\in \mathbb{K}^n\" tels que<\/p>\n

\"x =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_i \, a_i \, .\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Si l’on conna\u00eet une base \"(e_1,\, ... \, ,\, e_p)\" de \"E\", montrer que, pour tout \"j\in[\![1 , p ]\!]\" , on peut trouver \"(\alpha_1 ,\, ... \, ,\, \alpha_n)\" de \"\mathbb{K}^n\" tel que \"e_j =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\, a_i.\" La famille \"(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)\" engendre la base \"(e_1 ,\, ... \, ,\, e_p)\", c’est donc une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b> Pour d\u00e9montrer que la famille infinie \"(a_i)_{ i \in I}\" est g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\", pour tout \"x\" de \"E\", on d\u00e9montre qu’il existe une famille presque nulle de scalaires \"(\alpha_i)_{i \in I}\" telle que \"\displaystyle x =\sum_{i\in I}\alpha_i \,a_i\"<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

6 – Comment d\u00e9montrer qu’une famille est une base de \"E\" ?<\/h2>\n

Soit \"\mathcal{B} = (a_1 ,\, ...\, , \, a_n)\". Penser \u00e0 v\u00e9rifier que les vecteurs de \"\mathcal{B}\" sont des \u00e9l\u00e9ments de \"E.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0On conna\u00eet la dimension de \"E\". On d\u00e9montre
\n\u00a0 \u00a0 \u00a0 M1.1.\u00a0<\/b>que \"\mathcal{B}\" est une famille libre de \"E\" et que \"\textrm {Card }\mathcal{B} = \dim E\"
\nou\u00a0M1.2.\u00a0<\/b>que \"\mathcal{B}\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\" et que \"\quad \quad \quad \textrm {Card } \mathcal{B} = \dim E.\"<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral, M1.1. est plus simple que M1.2.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>On ne conna\u00eet pas la dimension de \"E\" : on d\u00e9montre que \"\mathcal{B}\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice et libre de \"E.\"<\/p>\n

Et quelques m\u00e9thodes particuli\u00e8res:
\n<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b> Si l’on dispose de \"n + 1\" polyn\u00f4mes de degr\u00e9s 2 \u00e0 2 distincts de \"\mathbb{K}_n[X]\", ils forment une base de<\/p>\n

\"\mathbb{K}_n[X].\"<\/p>\n

Si \"\forall i \in [\![0 , n ]\!]\" , \"Q_i\" est un polyn\u00f4me \u00e0 coefficients dans \"\mathbb{K}\" de degr\u00e9 \u00e9gal \u00e0 \"i\", la famille \"(Q_0 , Q_1 ,\, ... \, , Q_n)\" est une base de \"\mathbb{K}_n[X].\" On dit que l’on a une famille de polyn\u00f4mes \u00e9chelonn\u00e9e en degr\u00e9s.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0Si \"u\" est un isomorphisme de \"E\" sur \"F\", l’image d’une base de \"E\" par \"u\" est une base de \"F\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0Si \"E = E_1 \oplus... \oplus E_n\" et si pour tout \"i\" de \" [\![1 , n ]\!]\" , \"\mathcal{B}_i\" est une base de \"E_i\", la famille obtenue par juxtaposition des bases \"\mathcal{B}_i\" est une base de \"E\" (dite adapt\u00e9e \u00e0 la d\u00e9composition en somme directe introduite).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.<\/b>\u00a0Si l’on sait que \"\dim E = n\", on peut prouver que la matrice<\/a> \"P\" de la famille de vecteurs \"(a_1 ,\, ...\, , a_n)\" dans une base \"\mathcal{C}\" de \"E\" est inversible.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.<\/b>\u00a0Si l’on sait que \"\dim E = n\" et si \"\mathcal{C}\" est une base de \"E\", on peut prouver que \"\det_{\mathcal{C}}(a_1 ,\, ... \,, a_n) \neq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M8.\u00a0<\/b>Pour d\u00e9montrer que la famille infinie \"(a_i)_{ i \in I}\" est une base de \"E,\" il faut prouver que c’est une partie libre et g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E.\"<\/p>\n

7. Comment prouver que \"E = F \oplus G\" ?<\/h2>\n

S’assurer que \"F\" et \"G\" sont des sous-espaces vectoriels.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Cas g\u00e9n\u00e9ral : on d\u00e9montre que
\na) \"F\cap G=\{0\}\"
\nb) si \"F\" et \"G\" sont des sous-espaces vectoriels de \"E\", l’inclusion \"F + G \subset E\" est \u00e9vidente.
\nsi \"F\" et \"G\" sont des sous-espaces vectoriels de \"\mathcal{E}\" et si \"E\subset \mathcal{E}\", il faut d\u00e9montrer que \"F + G \subset E\".
\nc) pour tout \"x\" de \"E\", on peut trouver \"f \in F\" et \"g \in G\" tels que \"x = f + g.\"<\/p>\n

Pour cela :<\/p>\n

M1.1.<\/b> On a l’intuition de la d\u00e9composition : il suffit de v\u00e9rifier que cette intuition est correcte.<\/p>\n

M1.2.\u00a0<\/b>Sans intuition de la d\u00e9composition, on raisonne par analyse-synth\u00e8se.<\/p>\n

analyse<\/i>\u00a0: En supposant que la d\u00e9composition \"x = f + g\" existe, on d\u00e9termine au moins l’un des \u00e9l\u00e9ments de cette d\u00e9composition en utilisant les propri\u00e9t\u00e9s de \"f\" et \"g\", on en d\u00e9duit le second \u00e9l\u00e9ment en utilisant \"x = f + g.\"
\nsynth\u00e8se<\/i>\u00a0: On introduit les vecteurs \"f\" et \"g\" obtenus par l’analyse, on v\u00e9rifie que \"x = f + g\,\", \"f \in F\" et \"g \in G\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b> On raisonne dans un espace vectoriel de dimension finie. Pour d\u00e9montrer que les sous espaces vectoriels \"F\" et \"G\" de \"E\" sont suppl\u00e9mentaires dans \"E\", il suffit d’utiliser l’une des deux m\u00e9thodes suivantes :<\/p>\n

M2.1.\u00a0<\/b>On prouve que \"F \cap G = \{0\}\" et que \"\dim F + \dim G = \dim E.\"<\/p>\n

Cette m\u00e9thode est bien adapt\u00e9e \u00e0 la d\u00e9monstration de \"E =\" Im \"u \, \oplus\" \u00a0Ker \"u\" si \"u \in \mathcal{L}(E)\" lorsque \"E\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie puisque le th\u00e9or\u00e8me du rang assure que
\ndim Im \"u\" + dim Ker \"u\" =\u00a0 dim \"E.\"<\/a><\/p>\n

M2.2.\u00a0<\/b>On prouve que \"E = F + G\" et que \"\dim E = \dim F + \dim G.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"E\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie et si l’on a pu trouver une base \"\mathcal{B} = (f_1 ,\; ... \; ,\, f_p)\" de \"F\" et une base \"\mathcal{C}= (g_1,\; ...\; ,\, g_q)\" de \"G\", il suffit de prouver que
\n\"(f_1 ,\; ... \; , \, f_p ,\, g_1 ,\; ... \; , \, g_q)\"
\nest une base de \"E\".<\/p>\n

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