{"id":26894,"date":"2019-05-22T15:36:52","date_gmt":"2019-05-22T14:36:52","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26894"},"modified":"2023-09-15T12:45:12","modified_gmt":"2023-09-15T11:45:12","slug":"cours-en-ligne-matrices-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-matrices-maths-spe\/","title":{"rendered":"Cours et m\u00e9thodes Matrices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Les Matrices en Maths Sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Noyau, Image, Base Canonique de matrices en MP, PC, PSI, PT<\/h2>\n

1. M\u00e9thodes de calcul de \"A^n\" o\u00f9 \"A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})\".<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Par r\u00e9currence: on calcule \"A^2\", \"A^3\", …\u00a0 ,\u00a0 etc, jusqu’\u00e0 conjecturer une formule que l’on d\u00e9montre par r\u00e9currence.<\/p>\n

Par exemple,<\/p>\n

\"\ast\" Si \"A^2 = \alpha A\", montrer par r\u00e9currence que \"\forall n \in \mathds{N}^*\", \"A^n = \alpha^{n- 1} A\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"A^3 = \alpha A\", montrer par r\u00e9currence que \"\forall n \in \mathds{N}^*\", \"A^{2n} = \alpha^{n- 1} A^2\" et \"A^{2n + 1} = \alpha^n A.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>Utilisation d’un polyn\u00f4me \"P\" annulateur de \"A.\"<\/p>\n

(de pr\u00e9f\u00e9rence choisir \"P \in \mathds{K}[{\textrm X}]\" non nul de degr\u00e9 \"d\" le plus faible possible tel que \"P(A) = 0\").<\/p>\n

\"\blacktriangleright\" Le chapitre \u00ab\u00a0r\u00e9duction des endomorphismes<\/a>\u00a0\u00bb donne une m\u00e9thode pour trouver un polyn\u00f4me annulateur de \"A.\"<\/p>\n

Quand c’est possible, on choisira le polyn\u00f4me minimal de \"A\" (\"\blacktriangleright\").<\/p>\n

Le th\u00e9or\u00e8me de division euclidienne<\/a> donne l’existence de (\"Q_n ,\, R_n)\in \mathbb{K}[{\textrm X}]^2\" tel que<\/p>\n

\"{\textrm X}^n = P Q_n + R_n \textrm{ où } \deg(R_n) < \deg P = d.\"<\/p>\n

On d\u00e9termine \"R_n\" en utilisant les racines de \"P\" (voir ci-dessous).<\/p>\n

Il restera \u00e0 calculer \"A^2,\, ... \, ,\; A^{d - 1}\" et \u00e0 \u00e9crire que \"A^n = P(A) Q_n(A) + R_n(A)\", donc \"A^n = R_n(A).\"<\/p>\n

\"\ast\" Cette m\u00e9thode s’applique en particulier lorsque \"A^2 = \alpha\, A + \beta \textrm\, I_p\,\", on pose \"P = {\textrm X}^2 - \alpha \, {\textrm X} -\beta\".<\/p>\n

\"\ast\" Lorsque \"P\" a \"d\" racines distinctes \"r_1,... , r_d\", on obtient un syst\u00e8me de \"d\" \u00e9quations<\/a> \u00e0 \"d\" inconnues en \u00e9crivant que<\/p>\n

\"\forall i \in [\![1 , d]\!],\; r_i^n = P(r_i) Q_n(r_i) + R_n( r_i)\"<\/p>\n

\"\forall i \in [\![1 , d]\!],\; r_i^n = R_n(r_i) .\"
\nC’est un syst\u00e8me qui permet de d\u00e9terminer les \"d\" coefficients du polyn\u00f4me \"R_n\".<\/p>\n

\"\ast\" Lorsque \"P\" a une racine multiple, par exemple si \"P = ({\textrm X} - r)^\alpha P_1\" avec \"P_1(r)\neq 0,\" on \u00e9crit que \"U = {\textrm X}^n- R_n\" est divisible par \"({\textrm X} - r)^\alpha\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow U(r) = U'(r) =... = U^{(\alpha -1)}(r) = 0,\"<\/p>\n

Puis on \u00e9crit que les racines de \"P_1\" sont racines de \"U.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b> Utilisation du bin\u00f4me de Newton.<\/p>\n

Si l’on peut \u00e9crire \"A = B + C\" avec \"B\, C = C\, B\", pour \"n \in \mathds{N}\"<\/p>\n

\"\displaystyle A^n =(B + C)^n =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}B^{n-k}C^k.\"<\/p>\n

Cette m\u00e9thode est int\u00e9ressante<\/p>\n

\"\ast\" lorsque \"B\" est une matrice scalaire et \"C\" une matrice triangulaire dont les \u00e9l\u00e9ments de la diagonale sont nuls (car alors \"C^p = 0\")<\/p>\n

\"\ast\" ou lorsque \"C\" est la matrice form\u00e9e uniquement de 1 (dans ce cas, l’expression \"C^k = p^{k- 1}\" \"C\" suppose \"k \in \mathbb{N}^*\". Il faudra, dans les calculs, mettre \u00e0 part le terme pour \"k = 0\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>Si l’on peut trouver une matrice \"D\" diagonale et une matrice inversible \"P\" telles que \"A = P D P^{-1}\", \"A^n = P D^n P^{-1}\".<\/p>\n

On rappelle que si \"D = \textrm {diag }(d_1,\, d_2 ,\, ...\, , \, d_p)\", \"D^n =\textrm{diag } (d_1^n ,\, d_2^n , \, ... \, , \, d_p^n )\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b> Si l’on peut trouver une matrice \"T\" triangulaire et une matrice inversible \"P\" telles que \"A = P T P^{- 1}\", \"A^n = P T^n P^{- 1}\".<\/p>\n

On calcule \"T^n\" en utilisant M1 ou M3.<\/p>\n

L’utilisation de M2 ou M3 est plus simple que celle de M4 ou M5 car elle \u00e9vite le calcul de \"P^{- 1}\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension
cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. M\u00e9thodes de calcul de l’inverse de\u00a0\"A\" o\u00f9 \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\"<\/strong><\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Si \"A = {\textrm I}_n - B\" o\u00f9 \"B^p = 0\", \"A\" est inversible et \"\quad \quad A^{- 1} = {\textrm I}_n + B + B^2 +... + B^{p- 1}\".<\/p>\n

En effet, en notant \"C = {\textrm I}_n + B + B^2 +... + B^{p- 1}\", on calcule<\/p>\n

\"A\, C = {\textrm I}_n + B + B^2 +... + B^{p - 1}\"<\/p>\n

\"- (B + B^2 +... + B^p)\".<\/p>\n

\"A \, C = {\textrm I}_n - B^p = {\textrm I}_n\, \", donc la matrice \"A\" est inversible d’inverse \"C\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2<\/b>.\u00a0 En utilisant un polyn\u00f4me annulateur<\/p>\n

Si l’on conna\u00eet \"P =\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\alpha_i {\textrm X}^i\in \mathbb{K}[{\textrm X}]\" tel que \"P(A) = 0\" et \"P(0) \neq 0\"<\/p>\n

(donc \"\alpha_0 \neq 0\"), en \u00e9crivant que<\/p>\n

\"\displaystyle {\textrm I}_n = A\left( -\sum_{i=1}^{n}\frac{\alpha_i}{\alpha_0}A^{i-1}\right)\"<\/p>\n

\"A\" est inversible et\u00a0\"\displaystyle A^{-1}=-\sum_{i=1}^{n}\frac{\alpha_i}{\alpha_0}A^{i-1}\"
\nou \"A^{-1}=-\left( \frac{\alpha_p}{\alpha_0}A^{p-1}+...+\frac{\alpha_2}{\alpha_0}A+\frac{\alpha_1}{\alpha_0}{\textrm I}_n \right)\"<\/p>\n

Attention \u00e0 ne pas oublier apr\u00e8s \"\displaystyle \frac{\alpha_1}{\alpha_0}\" la matrice \"A^0 = {\textrm I}_n\" quand on n’utilise pas la notation \"\sum\" !<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"A\" est triangulaire, \"A\" est inversible si, et seulement si, le produit des termes de la diagonale est non nul.<\/p>\n

Dans ce cas, on consid\u00e8re que \"A\" est la matrice de passage de la base \"\mathcal{B} = (e_1 \,,\, e_2\, ,\,...\, ,\, e_n)\" \u00e0 la base \"\mathcal{C} = (f_1 ,\, f_2 ,\, ... \, , \,f_n).\"<\/p>\n

Pour trouver \"A^{-1}\", il suffit d’exprimer pour tout \"k\" de \"[\![1 , n]\!]\", le vecteur \"e_k\" dans la base \"\mathcal{C}\".<\/p>\n

La \"k\"-i\u00e8me colonne de \"A^{- 1}\" est form\u00e9e des coordonn\u00e9es de \"e_k\" dans la base \"\mathcal{C}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b> Si \"A\" est quelconque, on introduit une base \"\mathcal{B} = (e_1 , e_2 ,... , e_n)\" de \"\mathbb{K}^n\" et on note \"f_j\" le vecteur de \"\mathbb{K}^n\" dont les coordonn\u00e9es par rapport \u00e0 la base \"\mathcal{B}\" forment la \"j\"-\u00e8me colonne de \"A.\"<\/p>\n

Si l’on peut, pour tout \"k \in [\![1 , n]\!]\", exprimer \"e_k\" en fonction<\/a> de \"(f_1\, ,\, f_2\, ,\,... \,,\, f_n)\", cela permet de d\u00e9montrer que\u00a0\u00a0\"\mathcal{C} = (f_1\, ,\, f_2 \,,\,... \,,\, f_n)\" est un syst\u00e8me g\u00e9n\u00e9rateur de \"\mathbb{K}^n\" donc une base de \"\mathbb{K}^n.\"<\/p>\n

Alors \"A\" est la matrice de passage de la base \"\mathcal{B}\" \u00e0 la base \"\mathcal{C}\" et \"A^{-1}\" est la matrice de passage de la base<\/p>\n

\"\mathcal{C}\" \u00e0 la base \"\mathcal{B}\".<\/p>\n

La \"k\"-i\u00e8me colonne de \"A^{- 1}\" est form\u00e9e des coordonn\u00e9es de \"e_k\" dans la base \"(f_1\, ,\, f_2 \, ,\,...\, ,\, f_n).\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0<\/b>On peut aussi introduire \"Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\" et \"X \in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\" et r\u00e9soudre le syst\u00e8me<\/p>\n

\"Y = A \, X\" (c’est-\u00e0-dire calculer \"X\" en fonction de \"Y\") ce qui permet d’\u00e9crire \"X = A^{-1}\, Y.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.\u00a0<\/b>On peut aussi utiliser la\u00a0m\u00e9thode du pivot de Gauss<\/i> (mais c’est souvent une m\u00e9thode compliqu\u00e9e).<\/p>\n

Dans une m\u00eame matrice \"B\", on place la matrice \"A\" \u00e0 inverser suivie \u00e0 droite de la matrice \"\textrm {I}_n\".<\/p>\n

Par op\u00e9rations \u00e9l\u00e9mentaires sur les lignes<\/u>\u00a0de la matrice \"B\", on doit arriver \u00e0 transformer la matrice \"B\" en une matrice contenant la matrice \"\textrm {I}_n\" suivie d’une matrice \"C\". Cette matrice \"C\" est la matrice inverse de \"A\".<\/p>\n

La m\u00e9thode comporte trois \u00e9tapes:<\/p>\n

\"\ast\"<\/b> Premi\u00e8re \u00e9tape : on obtient une matrice triangulaire sur les \"n\" premi\u00e8res colonnes, de termes diagonaux non nuls (si l’un des ces termes est nul, \"A\" n’est pas inversible et on arr\u00eate).<\/p>\n

\u00a0\"\ast\"<\/b> Deuxi\u00e8me \u00e9tape : on obtient tous les termes de la diagonale \u00e9gaux \u00e0 1.<\/p>\n

\"\ast\"<\/b>\u00a0Troisi\u00e8me \u00e9tape : on obtient des z\u00e9ros au dessus de la diagonale dans les \"n\" premi\u00e8res colonnes.<\/p>\n

Attention ! toutes les op\u00e9rations doivent \u00eatre effectu\u00e9es sur les lignes de la matrice.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.\u00a0<\/b>On peut trouver l’inverse d’une matrice d’ordre 2 par utilisation de d\u00e9terminants.<\/p>\n

\"A=\begin{pmatrix} est inversible
\n\"\Leftrightarrow\" \"\det A = a d - b c \neq 0\"
\net dans ce cas,
\n\"A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{ad-bc}.<\/p>\n

Certains cours, au vu de leur complexit\u00e9 m\u00e9ritent d’\u00eatre revus \u00e0 plusieurs reprises et de mani\u00e8re tr\u00e8s s\u00e9rieuse m\u00eame apr\u00e8s le cours en pr\u00e9pa. Les cours en ligne de Maths en MP<\/a>, les cours en ligne de Maths en PC<\/a> et les cours en ligne de Maths en PT<\/a>, ainsi que les cours en ligne de Maths en PSI<\/a> sont de tr\u00e8s bons supports suppl\u00e9mentaires en plus d’un professeur particulier de maths<\/a> qui vous permettent d’am\u00e9liorer votre compr\u00e9hension des cours de Maths en Maths Sp\u00e9.<\/p>\n

3.\u00a0Noyau et Image de \"u\" d\u00e9fini par sa matrice<\/strong><\/h2>\n

\"\bullet\"M1. D\u00e9termination simultan\u00e9e de l’image et du noyau<\/b><\/p>\n

Si \"u \in \mathcal{L}(E , F)\" a pour matrice \"A\" dans les bases \"\mathcal{B} = (e_1 ,\, ... \, , \, e_p)\" et \"\mathcal{C} = (f_1 ,\, ... \, , \, f_n)\" de \"E\" et \"F\", on d\u00e9termine le rang de la famille<\/a> \"\mathcal{S} = (u(e_1) ,\, ... \, , \, u(e_p))\" en l’\u00e9chelonnant (on raisonne par op\u00e9rations \u00e9l\u00e9mentaires sur les colonnes de la matrice\u00a0\"A\") et en gardant soigneusement les op\u00e9rations effectu\u00e9es.<\/p>\n

On suppose que l’on arrive \u00e0 :<\/p>\n

\"\textrm{rg} (A) = \textrm{rg}(\mathcal{S})\"<\/p>\n

\"\textrm{rg}(A) = \textrm{rg}(u(x_1) ,\, ... \, ,\, u(x_r) , \,\"<\/p>\n

\"u(y_1) = 0 ,\, ...\, ,\, u(y_{p -r}) = 0)\"<\/p>\n

o\u00f9 la famille \"(u(x_1) ,\, ...\, ,\, u(x_r))\" est libre.<\/p>\n

Par cette m\u00e9thode, on obtient:<\/p>\n

\"\ast\" la matrice \"A\" est de rang \"r\".<\/p>\n

\"\ast\" les vecteurs \"u(x_1) ,\, ... \, , \, u(x_r)\" forment une base de \"\textrm {Im } u.\"<\/p>\n

\"\ast\" les vecteurs \"y_1 ,\, ... \, ,\, y_{p - r}\" sont des vecteurs de \"\textrm {Ker } u\". Apr\u00e8s avoir v\u00e9rifi\u00e9 qu’ils forment une famille libre, on peut affirmer qu’ils forment une base de \"\textrm {Ker } u\" (c’est sous-espace vectoriel<\/a> de \"E\" de dimension \u00e9gale \u00e0 \"\dim E - \dim \textrm {Im } u\" soit \u00e0 \"p- r\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2. D\u00e9termination du noyau (et seulement du noyau)<\/b><\/p>\n

Soit \"u \in \mathcal{L}(E , F)\", dont la matrice dans les bases \"\mathcal{B} = (e_1 ,\, ... \, ,\, e_p)\" de \"E\" et \"\mathcal{C} = (f_1 ,\, ...\, ,\, f_n)\" de \"F\" est not\u00e9e \"A.\"<\/p>\n

La m\u00e9thode la plus simple est d’\u00e9crire que \"x \in \textrm {Ker} u \Leftrightarrow u(x) = 0 \Leftrightarrow A X = 0,\"<\/p>\n

c’est-\u00e0-dire d’introduire la matrice \"X\" des\u00a0coordonn\u00e9es de \"x\" dans la base \"\mathcal{B}\" et de r\u00e9soudre le syst\u00e8me de \"n\" \u00e9quations \u00e0 \"p\" inconnues \"x_1 , x_2 , ... , x_p\" obtenu en \u00e9crivant \"A X = 0\".<\/p>\n

Penser \u00e0 cette m\u00e9thode, quand il s’agit de d\u00e9terminer, pour \"u \in \mathcal{L}(E)\" et \"\lambda \in \mathbb{K}\", \"\textrm{Ker}(u -\lambda \textrm {Id}_E),\" donc de trouver les\u00a0 \"x\" tels que \"u(x) = \lambda x\", ce qui s’\u00e9crit matriciellement sous la forme \"A X = \lambda X.\"<\/p>\n

\"\bullet\" M3.\u00a0 D\u00e9termination de l’image (et seulement de l’image)<\/b><\/p>\n

On cherche une matrice \"A'\" \u00e9quivalente<\/a> \u00e0 la matrice \"A\" en \u00e9chelonnant les colonnes de \"A\" par la m\u00e9thode du pivot de Gauss. Les matrices \"A\" et \"A'\" ont m\u00eame image.<\/p>\n

Une base de Im \"A'\" est form\u00e9e par les colonnes \u00e9chelonn\u00e9es \u00e0 pivot non nul de la matrice \"A'.\"<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

4. Utilisation de la base canonique<\/h2>\n

Rappel :<\/b> La base canonique de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" est form\u00e9e par les matrices<\/p>\n

\"(E_{p , q})_{1\leqslant p , \,q \leqslant n}\"\u00a0\u00a0o\u00f9 \"E_{p,\,q} = (\delta_{i , \,p} \delta_{j , \,q})_{ 1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\"<\/p>\n

(soit \"E_{p ,\, q}\" est la matrice carr\u00e9e d’ordre \"n\" dont tous les \u00e9l\u00e9ments sont nuls sauf celui \u00e0 l’intersection de la ligne \"p\" et de la colonne<\/p>\n

\"q\" qui est \u00e9gal \u00e0 1).<\/p>\n

\"E_{p , \,q} \times E_{r , \,s} = \delta_{q , \,r}\, E_{p ,\, s}\"<\/p>\n

Si \"A = (a_{i \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\,\",<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle A =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i ,\, j} \,E_{i ,\, j}\",<\/p>\n

\"\ast\" \"\displaystyle A\, E_{p,\, q} =\sum_{i=1}^{n}a_{i ,\, p}\, E_{i ,\, q}\"<\/p>\n

\"\ast\" et \"\displaystyle E_{p ,\,q} \,A = \sum_{j=1}^{n}a_{q, \,j}\, E_{p,\, j}\,\".<\/p>\n

On peut utiliser la base canonique pour d\u00e9terminer l’ensemble des matrices \"A\" telles que pour tout \"X\" de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\" le couple \"(A ,\, X)\" v\u00e9rifie une propri\u00e9t\u00e9 donn\u00e9e.<\/p>\n

Commencer par trouver les conditions n\u00e9cessaires v\u00e9rifi\u00e9es par \"A\" en appliquant l’hypoth\u00e8se avec \"X = E_{p,\,q}\,\".<\/p>\n

5. Comment d\u00e9montrer qu’une famille est g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\" ?<\/h2>\n

Pour d\u00e9montrer que \"(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\",<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Montrer que<\/p>\n

\"\quad \quad \quad E =\" Vect\"(a_1,\, ... \, ,\, a_n).\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b> Montrer que pour tout \"x\" de \"E\", on peut trouver des scalaires \"(a_1 , a_2 ... , a_n)\in \mathbb{K}^n\" tels que<\/p>\n

\"x =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_i \, a_i \, .\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Si l’on conna\u00eet une base \"(e_1,\, ... \, ,\, e_p)\" de \"E\", montrer que, pour tout \"j\in[\![1 , p ]\!]\" , on peut trouver \"(\alpha_1 ,\, ... \, ,\, \alpha_n)\" de \"\mathbb{K}^n\" tel que \"e_j =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\, a_i.\" La famille \"(a_1 ,\, ... \, ,\, a_n)\" engendre la base \"(e_1 ,\, ... \, ,\, e_p)\", c’est donc une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0 Pour d\u00e9montrer que la famille infinie \"(a_i)_{ i \in I}\" est g\u00e9n\u00e9ratrice de \"E\", pour tout \"x\" de \"E\", on d\u00e9montre qu’il existe une famille presque nulle de scalaires \"(\alpha_i)_{i \in I}\" telle que \"\displaystyle x =\sum_{i\in I}\alpha_i \,a_i\"<\/p>\n

Beaucoup d’\u00e9tudiants en pr\u00e9pa font le choix de prendre des cours particuliers ou de suivre des stages intensifs en maths sp\u00e9<\/a> de r\u00e9visons, ce qui est tr\u00e8s efficace pour am\u00e9liorer ou garder un bon niveau. Mais entre 2 stages ou 2 cours particuliers les \u00e9tudiants doivent continuer \u00e0 s’entra\u00eener, par exemple, sur les chapitres de maths suivants :<\/p>\n