{"id":26912,"date":"2019-05-22T15:50:09","date_gmt":"2019-05-22T14:50:09","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26912"},"modified":"2023-09-15T12:34:39","modified_gmt":"2023-09-15T11:34:39","slug":"cours-en-ligne-reduction-endomorphismes-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-reduction-endomorphismes-maths-spe\/","title":{"rendered":"Cours et m\u00e9thodes sur la r\u00e9duction des endomorphismes"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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R\u00e9duction des endomorphismes en Maths Sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – R\u00e9duction en MP, PC, PSI et PT<\/h2>\n

1. Utilisation des polyn\u00f4mes d’endomorphismes ou de matrices<\/h2>\n

1.1.\u00a0Polyn\u00f4me minimal d’un endomorphisme<\/b><\/p>\n

\"E\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel, \"u \in \mathcal{L}(E)\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"\Phi : \mathbb{K}[\textrm X ] \rightarrow \mathcal{L}(E)\", \"u \mapsto P(u)\" est un morphisme d’alg\u00e8bre<\/a>.<\/p>\n

\"\bullet\" Ker \"\Phi\" est un id\u00e9al de \"\mathbb{K}[\textrm X ]\" , appel\u00e9 id\u00e9al annulateur de \"u\".<\/p>\n

\"\bullet\" Im \"\Phi\" est le sous-espace vectoriel engendr\u00e9 par \"(u^k)_{ \{k \in\ \mathbb{N}\}}\". On le note \"\mathbb{K}[u]\".<\/p>\n

Si \"E\" est de dimension finie \"n > 0\",<\/p>\n

\"\bullet\" l’id\u00e9al annulateur de \"u\" est diff\u00e9rent de \"\{0\}\", il est engendr\u00e9 par un unique polyn\u00f4me unitaire appel\u00e9\u00a0polyn\u00f4me minimal<\/i> de \"u\" et not\u00e9 \"\Pi_u\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"d\" est le degr\u00e9 du polyn\u00f4me minimal de \"u\", \"\mathbb{K}[u]\" admet pour base \"(\textrm{ Id},\, u ,\, ... \,, \, u^ {d - 1} )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"F\" est un sev de \"E\" non \u00e9gal \u00e0 \"\{0\}\" et \"u\"-stable et si \"v\" l’endomorphisme de \"F\" induit par \"u\", \"\Pi_v\" divise \"\Pi_u\,\".<\/p>\n

1.2. Polyn\u00f4me minimal d’une matrice<\/b><\/p>\n

Soit \"A \in {\mathcal M}_n(\mathbb{K})\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\Phi : \mathbb{K}[\textrm X ] \rightarrow {\mathcal M}_n(\mathbb{K})\", \"A \mapsto P(A)\" est un morphisme d’alg\u00e8bres.<\/p>\n

\"\bullet\" Ker \"\Phi\" est un id\u00e9al de \"\mathbb{K}[\textrm X ]\" , appel\u00e9 id\u00e9al annulateur de \"A\". Il est diff\u00e9rent de \"\{0\}\", il est engendr\u00e9 par un unique polyn\u00f4me unitaire appel\u00e9\u00a0polyn\u00f4me minimal<\/i> de \"A\" et not\u00e9 \"\Pi_A\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Im \"\Phi\" est le sous-espace vectoriel<\/a> engendr\u00e9 par \"(A^k)_{ \{k \in\ \mathbb{N}\}}\". On le note \"\mathbb{K}[A]\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"d\" est le degr\u00e9 du polyn\u00f4me minimal de \"A\", \"\mathbb{K}[A]\" admet pour base \"(\textrm{ Id},\, A ,\, ... \,, \, A^ {d - 1} )\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u\" est un endomorphisme de \"E\" de matrice \"A\" dans une base de \"E\", \"u\" et \"A\" ont m\u00eame polyn\u00f4me minimal.<\/p>\n

1.3. Lemme de d\u00e9composition des noyaux<\/b><\/p>\n

Si \"u\" est un endomorphisme du \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel \"E\", si \"P_1 , \ ... \,, \, P_r\" sont des \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}[\textrm X ]\" deux \u00e0 deux premiers entre eux, de produit \u00e9gal \u00e0 \"P\",<\/p>\n

\"\textrm {Ker } P(u) = \displaystyle \bigoplus _{i=1}^r \text {Ker } P_i(u)\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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 <\/p>\n

2. Synth\u00e8se des r\u00e9sultats – reduction des endomorphismes methodes<\/span><\/strong><\/h2>\n

2.1. Pour un endomorphisme<\/b><\/p>\n

Dans tout ce \u00a7, \"E\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie \"n > 0\",<\/p>\n

\"u\" est un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathcal{L}(E)\",<\/p>\n

\"\lambda\" un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{K}\".<\/p>\n

On note \"\chi_u\" le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"u\".<\/p>\n

2.1.1. Valeurs propres d’un endomorphisme<\/u><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0 Les conditions n\u00e9cessaires et suffisantes :<\/i><\/p>\n

\"\lambda\in \textrm {Sp}(u)\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \exists\; x\in E,\, \underline{x\neq0},\; u(x)=\lambda \,x\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow u-\lambda \, \textrm {Id}_E\" n’est pas injectif.<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \textrm {Ker}(u-\lambda\, \textrm {Id}_E)\neq \{ 0 \}\",\u00a0 \"\Leftrightarrow \textrm {det}(u-\lambda \, \textrm {Id}_E)=0\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \chi_u(\lambda)=0\"
\n
\n\"\bullet\" La condition n\u00e9cessaire: <\/i><\/p>\n

Soit \"P\" un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{K}[\textrm {X}]\".<\/p>\n

Si \"\lambda\" valeur propre de \"u\" et \"P(u) = 0\", alors \"P(\lambda) = 0\".<\/p>\n

\"P(u) = 0 \Rightarrow \textrm {Sp}(u) \subset \{t \in \mathbb{K} \,/ \,P(t) = 0\}\"<\/p>\n

2.1.2. Polyn\u00f4me caract\u00e9ristique<\/u><\/p>\n

\"\bullet\" \"\forall x\in\mathbb{K}\", \"\chi_u(x)=\textrm {det}(x \,\textrm {Id}_E-u)\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\chi_u=\textrm X^n-\textrm {Tr}(u) \textrm X^{n-1}+...\"<\/p>\n

\"+(-1)^n\textrm {det}(u)\"<\/p>\n

\"\bullet\" les racines de \"\chi_u\" sont les valeurs propres de \"u\".<\/p>\n

\"\bullet\" si \"\chi_u\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{K}\" et \"\textrm {Sp}(u)=\{\lambda_1,...,\lambda_p\}\", si \"m(\lambda_i)\" est l’ordre de multiplicit\u00e9 de \"\lambda_i\" si \"1 \leq i \leq p\"<\/p>\n

\"\quad \quad \quad \textrm {Tr}(u)= \displaystyle \sum_{i=1}^{p}m(\lambda_i)\, \lambda_i\", \"\quad \quad \quad \textrm {det} (u)= \displaystyle \prod_{i=1}^{p} \lambda_i^{m(\lambda_i)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"F\" est un sev de \"E\" non \u00e9gal \u00e0 \"\{0\}\" et \"u\"-stable et si \"v\" l’endomorphisme de \"F\" induit par \"u\", \"\chi_v\" divise<\/p>\n

\"\chi_u\".<\/p>\n

\"\bullet\" Th\u00e9or\u00e8me de Cayley-Hamilton : \"\chi_u(u) = 0\".<\/p>\n

2.1.3. Conditions de diagonalisibilit\u00e9<\/u><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Les conditions n\u00e9cessaires et suffisantes<\/i> :<\/p>\n

\"u\" est diagonalisable<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" il existe une base de \"E\" form\u00e9e de vecteurs propres de \"u\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" il existe une base de \"E\" dans laquelle la matrice de \"u\" est diagonale<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"\dim E=\displaystyle\sum_{\lambda\in \textrm {Sp}(u)}\dim \textrm E_\lambda(u)\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"\chi_u\" est\u00a0scind\u00e9<\/u> dans \"\mathbb{K}\" et pour tout \"\lambda\in \textrm {Sp}(u),\" \"\dim \textrm E_\lambda(u)=m(\lambda)\"<\/p>\n

(\"m(\lambda)=\" ordre de multiplicit\u00e9 de la valeur propre \"\lambda\" dans \"\chi_u\")<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" il existe un polyn\u00f4me \"Q\" de \"\mathbb{K}[X]\" scind\u00e9 dans \"\mathbb{K}\", \u00e0 racines simples, tel que \"Q(u) = 0\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" lorsque \"\textrm{Sp}(u) = \{\lambda_1,... , \lambda_p\}\", \"(\textrm {X} -\lambda_1)... (\textrm {X} -\lambda_p)\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"u\". C’est alors le polyn\u00f4me minimal de \"u\".<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" le polyn\u00f4me minimal de \"u\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{K}\" \u00e0 racines simples.<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" la matrice \"A\" de \"u\" dans une base \"\mathcal{B}\" est diagonalisable.<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"E=\displaystyle \bigoplus_{\lambda\in \textrm {Sp}(u)} \textrm E_\lambda(u)\".<\/p>\n

\"\bullet\" La condition suffisante :<\/i><\/p>\n

Si \"n\" = dim \"E\" et si \"\chi_u\" a \"n\" racines distinctes, \"u\" est diagonalisable.<\/p>\n

2.1.4. Endomorphisme induit<\/u><\/p>\n

Si \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" diff\u00e9rent de \"\{0\}\" stable pour l’endomorphisme \"u\" de \"E\", on note \"v\" l’endomorphisme induit par \"u\" sur \"F\",<\/p>\n

\"\ast\" Le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"v\" divise le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"u\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"u\" est diagonalisable, \"v\" est diagonalisable.<\/p>\n

2.2. Pour une matrice<\/b><\/p>\n

Dans tout ce \"\S\", \"A \in {\mathcal M}_n(\mathbb{K})\" et \"\lambda\" un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{K}\".<\/p>\n

On note \"\chi_A\" le polyn\u00f4me caract\u00e9ris- tique de \"A\".<\/p>\n

2.2.1. Valeurs propres d’une matrice<\/u><\/p>\n

Les conditions n\u00e9cessaires et suffisantes<\/i> :<\/p>\n

\"\lambda\in \textrm {Sp}(A)\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \lambda\" est valeur propre de l’endomor- phisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \exists\; X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}),\, \underline{X\neq0}\" tel que \"A\,X=\lambda \, X\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow A-\lambda \, \textrm{I}_n\" n’est pas inversible<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \textrm {det}(A-\lambda \, \textrm{I}_n)=0\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \chi_A(\lambda)=0\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \textrm{rg}(A-\lambda \, \textrm{I}_n) < n\".<\/p>\n

La condition n\u00e9cessaire\u00a0<\/i>:<\/p>\n

Soit \"P\" un \u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{K}[\textrm {X}]\".<\/p>\n

Si \"\lambda\" valeur propre de \"A\" et \"P(A) = 0\", alors \"P(\lambda) = 0\".<\/p>\n

Donc si \"P(A) = 0\", \"\quad \quad \textrm {Sp}(A) \subset \{t \in \mathbb{K}\, /\, P(t) = 0\}.\"<\/p>\n

2.2.2. Polyn\u00f4me caract\u00e9ristique<\/u><\/p>\n

\"\bullet\" \"\forall x\in\mathbb{K},\" \"\chi_A(x)=\textrm {det}(x \, \textrm I_n-A)\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"\chi_A=\textrm {X}^n-\textrm {Tr}(A)\textrm {X}^{n-1}+...\"<\/p>\n

\"+(-1)^n\textrm {det}(A)\"<\/p>\n

\"\bullet\" les racines de \"\chi_A\" sont les valeurs propres de \"A\".<\/p>\n

\"\bullet\" si \"\chi_A\" est\u00a0scind\u00e9<\/i> sur \"\mathbb{K}\" et \"\textrm{Sp}(A)=\{\lambda_1,...,\lambda_p\},\" si \"m(\lambda_i)\" est l’ordre de multiplicit\u00e9 de \"\lambda_i\" pour \"1 \leq i \leq p\",<\/p>\n

\"\quad \quad \quad \textrm{Tr}(A)=\displaystyle \sum_{i=1}^{p}m(\lambda_i)\, \lambda_i\", \"\quad \quad \quad \textrm{det}(A)= \displaystyle \prod_{i=1}^{p} \lambda_i^{m(\lambda_i)}\"<\/p>\n

\"\bullet\" \"A\", \"A^{\textrm T}\" et toute matrice \"B\" semblable \u00e0 \"A\" ont m\u00eame polyn\u00f4me caract\u00e9ristique.<\/p>\n

\"\bullet\" Th\u00e9or\u00e8me de Cayley-Hamilton : \"\chi_A(A) = 0\".<\/p>\n

2.2.3. Conditions de diagonalisibilit\u00e9<\/u><\/p>\n

Les conditions n\u00e9cessaires et suffisantes :<\/i><\/p>\n

\"A\" est diagonalisable<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\" est diagonalisable.<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" il existe \"D\" diagonale et \"P\in \textrm {GL}_n( \mathbb{K})\" telles que \"A=P\,D\,P^{-1}\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"n=\displaystyle\sum_{\lambda\in \textrm {Sp}(A)}\dim \textrm E_\lambda(A)\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \chi_A\" est\u00a0scind\u00e9<\/i> sur \"\mathbb{K}\" et pour tout \"\lambda\in \textrm{Sp}(A)\", \"\textrm {dim} \, \textrm E_\lambda(A)=m(\lambda)\"<\/p>\n

(\"m(\lambda)=\" ordre de multiplicit\u00e9 de la valeur propre \"\lambda\" dans \"\chi_A\")<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" il existe un polyn\u00f4me \"Q\" de \"\mathbb{K}[\textrm X]\" scind\u00e9 sur \"\mathbb{K}\", \u00e0 racines simples, tel que \"Q(A) = 0\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" lorsque \"\textrm {Sp}(A) = \{\lambda_1,\,... \,,\, \lambda_p\}\", \"(\textrm X -\lambda_1)\,...\, (\textrm X -\lambda_p)\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"A\".<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" le polyn\u00f4me minimal de \"A\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{K}\" \u00e0 racines simples.<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"A\" est la matrice d’un endomorphisme diagonalisable.<\/p>\n

\"\Leftrightarrow\" \"\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})=\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in \textrm{Sp}(A)}\textrm E_\lambda(A)\".<\/p>\n

La condition suffisante :<\/i><\/p>\n

Si \"A\" est carr\u00e9e d’ordre \"n\" et si \"\chi_A\" a \"n\" racines distinctes, la matrice \"A\" est diagonalisable.<\/p>\n

2.2.4. Cas particulier des matrices sym\u00e9triques r\u00e9elles<\/u>\u00a0(voir le chapitre espaces vectoriels euclidiens<\/a>)<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me<\/i> : Soit \"A\" une matrice sym\u00e9trique r\u00e9elle carr\u00e9e d’ordre \"n\".<\/p>\n

\"\ast\" Le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"A\" est scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}.\"<\/p>\n

\"\ast\" Les sous-espaces propres associ\u00e9s \u00e0 des valeurs propres distinctes sont orthogonaux dans \"\mathbb{R}^n\", muni du produit scalaire canonique.<\/p>\n

\"\ast\" \"A\" est diagonalisable et il existe \"P\" orthogonale et \"D\" diagonale telles que \"A = P\, D \,P^{\textrm T}\".<\/p>\n

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3. Trouver le polyn\u00f4me minimal de \"u\" ou de \"A\"<\/strong><\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a01er cas<\/b> : le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"u\" (ou de \"A\") est scind\u00e9 sur \"\mathbb{K}\" et \"\lambda_1 , \, ... \,, \, \lambda_p\" \u00e9tant deux \u00e0 deux distincts,<\/p>\n

\"\chi_u = \displaystyle \prod _{i=1}^p ( \textrm {X} - \lambda_i)^{m(\lambda_i)}\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"u\" est diagonalisable, \"\Pi_u = \displaystyle \prod _{i=1}^p ( \textrm {X} - \lambda_i)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"u\" n’est pas diagonalisable, on cherche \"\Pi_u\" sous la forme<\/p>\n

\"\Pi_u = \displaystyle \prod _{i=1}^p ( \textrm {X} - \lambda_i)^{\alpha_i}\"
\no\u00f9 \"\forall i \in [\![1, \, p]\!]\", \"1 \leqslant \alpha_i \leqslant m(\lambda_i)\" , l’un au moins des \"\alpha_i\" \u00e9tant sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 2.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a02\u00e8me cas<\/b> : \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\" et le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"u\" (ou de \"A\") n’est pas scind\u00e9 sur \"\mathbb{R}\" .<\/p>\n

On suppose que \"\chi_u = \displaystyle \prod _{i = 1}^r P_i^{n_i}\", les polyn\u00f4mes \"P_1 , \, ... \, ,\, P_r\" \u00e9tant deux \u00e0 deux distincts unitaires, soit de degr\u00e9 1, soit de degr\u00e9 2 \u00e0 discriminant strictement n\u00e9gatif et \"n_i \geqslant 1\" pour tout \"i \in [\![1, \, r]\!]\".<\/p>\n

Chercher le polyn\u00f4me minimal sous la forme \"\Pi_u = \displaystyle \prod _{i = 1}^r P_i^{k_i}\"<\/p>\n

\"\quad\" o\u00f9 \"\forall \, i \in [\![1, \, r]\!]\" , \"1 \leqslant k_i \leqslant n_i\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" M3.\u00a0 D\u00e9termination de l’image (et seulement de l’image)<\/b><\/p>\n

On cherche une matrice \"A'\" \u00e9quivalente \u00e0 la matrice \"A\" en \u00e9chelonnant les colonnes de \"A\" par la m\u00e9thode du pivot de Gauss. Les matrices<\/a> \"A\" et \"A'\" ont m\u00eame image.<\/p>\n

Une base de Im \"A'\" est form\u00e9e par les colonnes \u00e9chelonn\u00e9es \u00e0 pivot non nul de la matrice \"A'.\"<\/p>\n

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 <\/p>\n

4. Comment trouver les valeurs propres d’une matrice\u00a0 \"A\" ?<\/h2>\n

Remarque :<\/u>\u00a0les m\u00e9thodes ci-dessous peuvent \u00eatre appliqu\u00e9es \u00e0 un endomorphisme \"u\" en introduisant sa matrice \"A\" dans une base \"\mathcal{B}\" de \"E\".<\/p>\n

Des r\u00e9sultats importants :<\/u><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R1 :<\/b>\u00a0Si \"E\" est un \"\mathbb{C}\"-espace vectoriel de dimension finie \"n > 0\", tout endomorphisme \"u\" de \"E\" admet au moins une valeur propre complexe car \"\chi_u\" admet au moins une racine dans \"\mathbb{C}\".<\/p>\n

Le r\u00e9sultat n’est pas vrai si \"E\" est un \"\mathbb{R}\"-espace vectoriel :<\/p>\n

Prendre \"u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\" tel que \"u(e_1) = e_2\" et \"u(e_2) = - e_1\" o\u00f9 \"(e_1 ,\, e_2\") est la base canonique de<\/p>\n

\"\mathbb{R}^2\", \"(\chi_u = \textrm {X}^2 + 1)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R2 :<\/b> Si \"A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\", \"A\" admet au moins une valeur propre complexe.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R3 :<\/b> Si \"A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\" et si \"n\" est impair, \"A\" admet au moins une valeur propre r\u00e9elle (puisque<\/p>\n

\"\chi_A\in\mathbb{R}[X]\" et \"\deg \chi_A\" est impair).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R4 :<\/b> Si \"A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\", les valeurs propres non r\u00e9elles de \"A\" consid\u00e9r\u00e9e comme \u00e9l\u00e9ment de<\/p>\n

\"\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\" sont deux \u00e0 deux conjugu\u00e9es et les sous-espaces propres de valeurs propres conjugu\u00e9es ont m\u00eame dimension.<\/p>\n

Quand on \u00e9crit \"\quad \quad \quad \textrm {Sp}(A) = \{\lambda_1,\,...\, ,\, \lambda_p\}\"
\nles scalaires \"\lambda_k\" sont deux \u00e0 deux distincts.<\/p>\n

Lorsque \"\chi_A\" est scind\u00e9 et les valeurs propres ne sont pas distinctes 2 \u00e0 2, il faut dire :\u00a0on note \"\lambda_1, ... , \lambda_n\" une liste de valeurs propres de \"A\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>En calculant son polyn\u00f4me caract\u00e9ristique<\/b> c’est-\u00e0-dire en calculant lorsque \"x\in \mathbb{K}\", \"\textrm {det}(x \,\textrm {I}_n - A)\"<\/p>\n

Cette m\u00e9thode a deux inconv\u00e9nients :<\/p>\n

\"\ast\" cela n\u00e9cessite un calcul de d\u00e9terminant (qui peut \u00eatre p\u00e9nible quand \"n\geqslant 4\").<\/p>\n

\"\ast\" puis cela n\u00e9cessite la recherche des racines d’un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\" (les calculs pouvant \u00eatre compliqu\u00e9s pour \"n \geqslant 3\" lorsque le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique n’a pas de racine \u00e9vidente).<\/p>\n

Mais elle peut \u00eatre int\u00e9ressante :<\/p>\n

si \"\chi_A\" est facilement calculable et factorisable, on conna\u00eet alors les valeurs propres de \"A\".<\/p>\n

Exercice\u00a0\u00a0<\/i>:\u00a0Polyn\u00f4me caract\u00e9ristique d’une matrice compagnon.\u00a0<\/i>🧡<\/p>\n

Soit \"(a_0,\,...\,,\,a_{n-1})\in\mathbb{K}^n\" et \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\",<\/p>\n

\"A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \cdots & 0 & a_2 \\, \"\chi_A= \displaystyle \textrm {X}^n-\sum_{i=0}^{n-1}a_i\, \textrm {X}^i.\"<\/p>\n

Montrer que \"A\" est diagonalisable ssi le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"A\" est scind\u00e9 \u00e0 racines simples.<\/p>\n

5.\u00a0Comment trouver les \u00e9l\u00e9ments propres d’une matrice ?<\/h2>\n

\"\bullet\" Rappel de deux r\u00e9sultats qui peuvent simplifier les calculs:
\n\u00a0\u00a0\u00a01)\u00a0<\/b>Si \"A\in\mathcal{ M}_n(\mathbb{K})\" et si \"\lambda \in \textrm {Sp}(A)\", \"\textrm {dim }\, \textrm E_\lambda(A) = n - \textrm {rg}(A -\lambda \textrm {I}_n)\"<\/p>\n

et \"m(\lambda) \geq \textrm {dim} \, \textrm E_\lambda(A)\".<\/p>\n

Si \"\lambda\" est valeur propre simple de \"A\", \"\textrm {dim } \textrm E_\lambda(A) = 1\".<\/p>\n

\u00a0 \u00a02)\u00a0<\/b>Si \"A\in\mathcal{ M}_n(\mathbb{R})\" et si \"\lambda\in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}\" est une valeur propre de \"A\",<\/p>\n

\"\ast\" \"\overline{\lambda}\" est valeur propre de \"A\" de m\u00eame ordre de multiplicit\u00e9,<\/p>\n

\"\ast\" \"X \in \mathcal{M}_{n , 1}(\mathbb{C})\" v\u00e9rifie<\/p>\n

\"\quad \quad A X = \lambda X \Leftrightarrow A \overline{X} = \overline{\lambda}\; \overline{X}\".<\/p>\n

Il suffit donc de d\u00e9terminer \"\textrm E_\lambda(A)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b> On conna\u00eet d\u00e9j\u00e0 Sp\"(A)\"<\/p>\n

(en utilisant une des m\u00e9thodes du \u00a7 II-) ou des conditions n\u00e9cessaires sur les valeurs propres de \"A\" :<\/p>\n

il suffit de r\u00e9soudre pour ces valeurs \"\lambda\" de \"\mathbb{K}\", l’\u00e9quation<\/a> \"A X =\lambda X\", o\u00f9 \"X \in \mathcal{M}_{n , 1}(\mathbb{C})\".<\/a><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2<\/b>. On ne conna\u00eet pas Sp\"(A)\" (et on ne veut pas calculer \"\chi_A\") :<\/p>\n

il faut chercher \"\lambda \in \mathbb{K}\" et \"X \in \mathcal{M}_{n , 1}(\mathbb{K})\" et \"X\neq 0\" tels que \"A \, X = \lambda \,X\".<\/p>\n

Pour cela, on peut :<\/p>\n

\"\ast\" utiliser le pivot de Gauss, chercher un syst\u00e8me triangulaire \u00e9quivalent<\/a> et \u00e9crire que le syst\u00e8me ainsi obtenu admet une solution non nulle (c’est \u00e0 dire que la matrice \"B\" triangulaire du syst\u00e8me ainsi obtenu est non inversible si, et seulement si, \"\textrm {det}(B) = 0\" si, et seulement si, le produit des termes de la diagonale de \"B\" est nul).<\/p>\n

\"\ast\" par combinaison lin\u00e9aire des \"n\" \u00e9quations, obtenir une condition n\u00e9cessaire portant sur \"\lambda\" ou sur les \"x_i\" et \u00e9tudier ensuite la r\u00e9ciproque.<\/p>\n

Il est ind\u00e9niable que le travail personnel est la cl\u00e9 de la r\u00e9ussite en pr\u00e9pa et notamment en Maths Sp\u00e9. Ainsi, pour vous aider \u00e0 atteindre vos objectifs, nous vous mettons \u00e0 disposition l’ensemble des chapitres des Maths au programme de Maths Sp\u00e9, en voici quelques un :<\/p>\n