{"id":26921,"date":"2019-05-22T16:07:07","date_gmt":"2019-05-22T15:07:07","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26921"},"modified":"2023-09-15T13:14:23","modified_gmt":"2023-09-15T12:14:23","slug":"cours-en-ligne-espaces-vectoriels-normes-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-espaces-vectoriels-normes-maths-spe\/","title":{"rendered":"Espaces vectoriels norm\u00e9s : Cours et m\u00e9thodes"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours sur les espaces vectoriels norm\u00e9s en MP, PC, PSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Espaces vectoriels norm\u00e9s<\/h2>\n

1. Comment prouver que \"N\" est une norme sur \"E\" ?<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Commencer par d\u00e9montrer que \"\forall \, x \in E, \; N(x)\" est bien d\u00e9fini et que \"N(x)\geq 0\" (attention quand \"N\" est d\u00e9fini en utilisant une borne sup\u00e9rieure, un maximum ou la somme d’une s\u00e9rie<\/a>).<\/p>\n

Puis prouver :<\/p>\n

\"\ast\" (N1) :\u00a0 s\u00e9paration<\/p>\n

Si \"x\in E\", \"N(x) = 0 \Rightarrow x = 0\"<\/p>\n

\"\ast\" (N2) : homog\u00e9n\u00e9it\u00e9<\/p>\n

\"\forall x \in E,\, \forall \, \lambda \in \mathbb{K},\, N(\lambda \, x) = \vert\lambda \vert \, N(x)\"<\/p>\n

\"\ast\" (N3) : in\u00e9galit\u00e9 triangulaire<\/p>\n

\"\forall (x , \, y) \in E^2,\, N(x + y) \leq N(x) + N(y)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Ici \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\". Montrer que \"N\" est une norme euclidienne<\/a> (y penser lorsque \"N(x)\" s’exprime en fonction de la racine carr\u00e9e d’une expression).<\/p>\n

Dans ce cas, il faut montrer qu’il existe un produit scalaire \"\varphi\" d\u00e9fini sur \"E\" v\u00e9rifiant \"\forall x \in \, E ,\; N(x) =\sqrt {\varphi(x ,\, x)}\".<\/p>\n

On peut trouver l’expression de \"\varphi\" en utilisant l’une des deux identit\u00e9s de polarisation :<\/p>\n

\"\varphi(x ,\, y) = \frac 1 2 (N(x + y)^2 - N(x)^2 - N(y)^2)\"<\/p>\n

ou \"\varphi(x , \, y) = \frac 1 4 (N(x + y)^2 - N(x - y)^2).\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b> Soit \"E = E_1\, \times\, E_2 \, \times\, \cdots \, \, \times\, E_n\". Si pour tout \"k \in \{ 1 , \,\cdots \, n \}\" , \"\Vert \textrm { . } \Vert_k\" est une norme sur \"E_k\", les applications \"N\", \"N_1\"\u00a0 et \"N_2\" : \"E \rightarrow \mathbb{R}\", d\u00e9finies pour \"x = (x_1 ,\, \cdots \, , \, x_n)\" o\u00f9 \"\forall\, k \in \{ 1 , \,\cdots\, , \, n \}, x_k \in \, E_k\" par<\/p>\n

\"N(x) = \displaystyle \max_{1 \leq k \leq n} \Vert x_k \Vert _k\"<\/p>\n

\"N_1(x) = \displaystyle \sum _{k = 1}^n \Vert x_k \Vert _k\"<\/p>\n

\"N_2(x) = \displaystyle \sqrt { \sum _{k = 1}^n \Vert x_k \Vert _k^2 }\" .
\nsont des normes sur \"E\" telles que pour tout \"x \in \, E\",<\/p>\n

\"N(x) \leq N_2(x) \leq N_1(x) \leq n\, N(x)\".<\/p>\n

(s’applique pour \"E_k = \mathbb{K}\" et \"\Vert x \Vert _k = \, \mid x \mid\", donc \"E = \mathbb{K}^n\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b> Utiliser les normes au programme.<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M4.1.<\/b>\u00a0La norme de la convergence uniforme sur l’espace vectoriel<\/a> \"E\" des fonctions born\u00e9es sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" :<\/p>\n

si \"f \in E\", \"\displaystyle \Vert f \Vert _{\infty} = \sup _{x \in I} \vert f(x) \vert\"<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M4.2.<\/b> Sur l’espace vectoriel des suites born\u00e9es \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\"<\/p>\n

lorsque \"u = (u_n)_n\" , \"\displaystyle \Vert u \Vert _{\infty} = \sup _{n \in \mathbb{N}} \vert u_n\vert\".<\/p>\n

1) Homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 et max.<\/b><\/div>\n
<\/div>\n
Par exemple sur \"E = \mathbb{K}^n\" pour \"\quad \displaystyle N(x) = N(x_1 ,\, \cdots \, ,\,x_n) = \max_{1\leq i\leq n}{\vert x_i\vert}\", lorsque<\/div>\n
<\/div>\n
\"\lambda \in \mathbb{K}\" et \"x \in E\",<\/div>\n
<\/div>\n
\"\ast\" pour tout \"k\" , \"\vert \lambda \, x_k \vert \leq \vert \lambda \vert N(x)\", donc \"N(\lambda \, x ) \leq \vert \lambda \vert \, N(x)\".<\/div>\n
<\/div>\n
\"\ast\" il existe \"j\" tel que \"N(x) = \vert x_j \vert\", alors \"\vert \lambda \, x_j \vert =\vert \lambda \vert N(x)\", donc \"N(\lambda \, x ) \geq \vert \lambda \vert \, N(x)\".<\/div>\n
<\/div>\n
Par double in\u00e9galit\u00e9, \"N(\lambda \, x ) = \vert \lambda \vert\, N(x)\".<\/div>\n
<\/div>\n
2) In\u00e9galit\u00e9 triangulaire et max. <\/b><\/div>\n
<\/div>\n
On continue avec la m\u00eame fonction \"N\".<\/div>\n
<\/div>\n
Pour tout \"x , \, y \in E\", pour tout \"k\", \"\vert x_k + y_k\vert \leq \vert x_k\vert + \vert y_k\vert\leq N(x) + N(y)\", donc \"N(x + y) \leq N(x) + N(y)\".<\/div>\n
<\/div>\n
3) Homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 et sup<\/b>\u00a0(par exemple pour la norme de la convergence uniforme sur \"E\", espace vectoriel des fonctions<\/a> born\u00e9es sur<\/div>\n
\"[a,\,b]\").<\/div>\n
<\/div>\n
Soit \"\lambda \in \mathbb{K}\" et \"f \in E\".<\/div>\n
<\/div>\n
\"\bullet\" Si \"\lambda = 0\", il est \u00e9vident que \"\quad \quad \Vert \lambda\, f \Vert _{\infty}= \vert \lambda \vert \; \Vert f \Vert _{\infty}\".\"\bullet\" On suppose \"\lambda \neq 0\".<\/div>\n
<\/div>\n
\"\ast\" Pour tout \"x \in [a, \,b] , \vert \lambda \, f(x)\vert \leq \vert \lambda\vert \, \Vert f \Vert _{\infty}\".<\/div>\n
<\/div>\n
Donc \"\Vert \lambda \, f \Vert _{\infty} \leq \vert \lambda\vert \,\Vert f \Vert _{\infty}\".\"\ast\" En utilisant le r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent avec \"g = \lambda \, f\" et \"1/\lambda\", \"\Vert 1/\lambda\, . \,\lambda \, f \Vert _{\infty} \leq \vert 1/\lambda \vert \, \Vert\lambda \, f \Vert _{\infty}\"<\/div>\n
<\/div>\n
ce qui donne \"\vert \lambda \vert \, \Vert f \Vert _{\infty} \leq \Vert \lambda \, f \Vert _{\infty}\".<\/div>\n
<\/div>\n
On obtient l’homog\u00e9n\u00e9it\u00e9 par double in\u00e9galit\u00e9.<\/div>\n
<\/div>\n
4) In\u00e9galit\u00e9 triangulaire et sup<\/b> (avec le m\u00eame exemple)<\/div>\n
<\/div>\n
Si \"f ,\, g \in E\", pour tout \"x \in \, [a, \,b]\", \"\vert f(x) + g(x) \vert \leq \vert f(x) \vert + \vert g(x)\vert\" \"\Rightarrow \vert f(x) + g(x) \vert \leq \Vert f \Vert _{\infty} + \Vert g \Vert _{\infty}, donc \"\Vert f + g \Vert _{\infty}\leq \Vert f \Vert _{\infty} + \Vert g \Vert _{\infty}\,\".<\/div>\n

2. Comment \u00e9tudier l’\u00e9quivalence des normes ?\u00a0<\/strong><\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Pour prouver que deux normes \"N\" et \"N'\" sur le \"\mathbb{K}\" -espace vectoriel \"E\" sont \u00e9quivalentes<\/a>, il faut trouver deux r\u00e9els \"\alpha\" et \"\beta\" strictement positifs tels que : \"\quad \forall \, x \in \, E, \;\alpha\, N(x) \leq N'(x) \leq \beta \, N(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0En dimension finie, toutes les normes sont \u00e9quivalentes : il n’y a rien \u00e0 faire sauf si l’on demande des valeurs de \"\alpha\" et \"\beta\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b> En dimension infinie, pour prouver que deux normes \"N\" et \"N'\" ne sont pas \u00e9quivalentes, il suffit de trouver une suite<\/p>\n

\"(u_n)_n\" de \"E\" telle que \"\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {N(u_n)} {N'(u_n)} = +\infty\" ou telle que \"\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {N'(u_n)} {N(u_n)} = +\infty\".<\/p>\n

Les notions conserv\u00e9es pour des normes \u00e9quivalentes : suite convergente et sa limite, point adh\u00e9rent, point int\u00e9rieur, ouvert, ferm\u00e9, ensemble born\u00e9, limite, continuit\u00e9.<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

3. Comment prouver qu’une suite d’un \"\mathbb{K}\"-e.v.n. converge ?\u00a0<\/strong><\/h2>\n

Lorsque \"E\" n’est pas de dimension finie, l’\u00e9nonc\u00e9 introduit une norme \"N\" sur \"E\".<\/p>\n

Lorsque \"E\" est de dimension finie, on peut choisir une norme particuli\u00e8re simplifiant les calculs.<\/p>\n

Pour d\u00e9montrer que la suite \"(u_n)_{n \geq 0}\" converge dans \"(E , \, N)\" :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Trouver \"L\" de \"E\" tel que la suite de r\u00e9els \"(N(u_n - L))_n\" converge vers 0.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b> Trouver \"L\" de \"E\" tel que<\/p>\n

\"\forall \, \varepsilon > 0, \exists\, n_0 \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \mathbb{N},\"<\/p>\n

\" (n\geq n_0 \Rightarrow N(u_n - L) \leq \varepsilon)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b> Si \"E\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension finie, on peut introduire une base \"b = (e_1 ,\, e_2 ,\, \cdots \, , \, e_p)\" de \"E\" et en \u00e9crivant\u00a0\"\displaystyle u_n =\sum _{k= 1}^p u_n(k) \, e_k\" , montrer que pour tout \"k \in \{ 1 , \, \cdots \, \, p \}\" , la suite de scalaires \"(u_n(k))_n\" converge dans \"\mathbb{K}\".<\/p>\n

Cette m\u00e9thode peut \u00eatre utilis\u00e9e en particulier pour \u00e9tudier la limite d’une suite \"(A_n)_n\" de matrices<\/a> de type \"(p , \,q)\" , en \u00e9tudiant, pour tout couple \"(i ,\, j)\" o\u00f9 \"1 \leq i \leq p, \, 1\leq j \leq q\" , la limite de la suite \"n \mapsto a_{i,j}(n)\", o\u00f9 \"a_{i,j}(n)\" est le terme de la ligne \"i\" et colonne \"j\" de \"A_n\" :<\/p>\n

La suite \"(A_n)_n\" converge ssi pour tout \"(i,\, j)\" de \"\{ 1 , \, \cdots \, \, p \}\times \{ 1 , \, \cdots \, \, q \}\" , la suite \"(a_{i,j}(n))_n\" converge.<\/p>\n

Dans ce cas, \"\; \; \displaystyle \lim _ {n \to \infty } A_n = \left ( \lim _ {n \to \infty } a_n(i , j) \right ) _ {1 \leq i \leq p , 1\leq j \leq q }\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0En appliquant les r\u00e9sultats usuels sur les op\u00e9rations sur les suites<\/a> convergentes.<\/p>\n

Pour aller plus loin dans les r\u00e9visions et pourquoi pas prendre de l’avance sur les cours enseign\u00e9s en classe en pr\u00e9pa, jetez un \u0153il sur les diff\u00e9rents cours en ligne de Maths en PSI<\/a>, les cours en ligne de Maths en PC<\/a> et aussi les cours en ligne de Maths en MP<\/a>.<\/p>\n

4. Comment raisonner avec les valeurs d’adh\u00e9rence d’une suite ?<\/h2>\n

Lorsque \"E\" n’est pas de dimension finie, l’\u00e9nonc\u00e9 introduit une norme \"N\" sur \"E\" . Lorsque \"E\" est de dimension finie, on peut choisir la norme dans \"E\", la notion de valeur d’adh\u00e9rence ne d\u00e9pend pas de la norme choisie.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Def<\/b>. \"x \in \, E\" est une\u00a0valeur d’adh\u00e9rence<\/i> de la suite \"(a_n)_n\" de \"E\" si, et seulement si, il existe une suite extraite<\/p>\n

\"(a_{\varphi(n)} ) _ n\" qui converge vers \"x\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U1.<\/b>\u00a0Une suite ayant au moins deux valeurs d’adh\u00e9rence distinctes diverge.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U2.\u00a0<\/b>Th\u00e9or\u00e8me de Bolzano- Weierstrass<\/b>\u00a0: toute suite r\u00e9elle born\u00e9e admet une valeur d’adh\u00e9rence.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U3.<\/b>\u00a0Une suite born\u00e9e d’un espace vectoriel de dimension finie converge si, et seulement si, elle a une unique valeur d’adh\u00e9rence.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U4.\u00a0<\/b>Une partie non vide \"A\" est un compact si, et seulement si, toute suite de \"A\" admet une valeur d’adh\u00e9rence.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U5.<\/b>\u00a0Une suite d’\u00e9l\u00e9ments d’une partie compacte converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d’adh\u00e9rence.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0U6.<\/b>\u00a0Une suite born\u00e9e d’un espace vectoriel de dimension finie converge si, et seulement si, elle a une unique valeur d’adh\u00e9rence.<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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5. Comment raisonner avec des points adh\u00e9rents ?<\/h2>\n

Lorsque \"E\" n’est pas de dimension finie, l’\u00e9nonc\u00e9 introduit une norme \"N\" sur \"E\" ; lorsque \"E\" est de dimension finie, on peut choisir la norme dans \"E\".<\/p>\n

Pour d\u00e9montrer que \"a\" est adh\u00e9rent \u00e0 la partie non vide \"F\" (lorsque \"a \notin F\") :<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>d\u00e9montrer qu’il existe une suite \"(a_n)_n\" de points de \"F\" qui converge vers \"a\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>d\u00e9montrer que \"\quad \quad \forall \varepsilon > 0, \; B_o(a , \,\varepsilon) \cap F \not = \emptyset\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0L’adh\u00e9rence<\/i> de \"A\", not\u00e9e \"\overline A\", est l’ensemble des points adh\u00e9rents \u00e0 \"A\", elle contient \"A\".<\/p>\n

C’est le plus petit ferm\u00e9 de \"(E,\,N)\" contenant \"A\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0Une partie \"A\" de \"(E , \,N)\" est dense dans \"E\" lorsque \"\overline A = E\".<\/p>\n

Exemples<\/u> :<\/p>\n

L’adh\u00e9rence de \"B_0(a,r)\" est \"B_f(a,r)\".<\/p>\n

\"\mathbb{Q}\" est dense dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Certains \u00e9tudiants de Maths Sp\u00e9 se rel\u00e2chent consid\u00e9rablement lorsqu’ils ne sont pas suivis en cours de soutien de maths<\/a> ou lors d’un stage de maths sp\u00e9<\/a> de r\u00e9vision. Ainsi, pour \u00e9viter ce rel\u00e2chement et rester \u00e0 un bon niveau, les \u00e9tudiants sont vivement incit\u00e9s \u00e0 consulter les cours en ligne ainsi que les exercices corrig\u00e9s au programme de Maths Sp\u00e9, comme :<\/p>\n