{"id":26924,"date":"2019-05-22T16:35:12","date_gmt":"2019-05-22T15:35:12","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26924"},"modified":"2023-09-15T13:17:31","modified_gmt":"2023-09-15T12:17:31","slug":"cours-en-ligne-suites-series-fonctions-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-suites-series-fonctions-maths-spe\/","title":{"rendered":"Suites et s\u00e9ries de fonctions : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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M\u00e9thodes Suites et s\u00e9ries de fonctions en MP, PC, PSI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Suites et s\u00e9ries de fonctions<\/h2>\n

1. Comment d\u00e9montrer qu’une suite de fonctions converge uniform\u00e9ment sur \"I\" ?<\/h3>\n

Les fonctions \"f_n\" sont d\u00e9finies sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" (resp. l’e.v.n. \"F\").<\/p>\n

a)\u00a0<\/b>On d\u00e9termine, pour tout \"x\" de \"I\", la limite \"f(x)\" de la suite de scalaires (resp. vecteurs) \"(f_n(x))_n\" , c’est-\u00e0-dire on \u00e9tudie la limite simple de \"(f_n)_n\" .<\/p>\n

b)\u00a0<\/b>On v\u00e9rifie que les fonctions<\/a> \"f_n - f\" sont born\u00e9es sur \"I\" pour \"n\" assez grand.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b> On peut chercher \u00e0 d\u00e9terminer \"\Vert f_n - f \Vert_ {\infty}\" et ensuite on regarde si \"\displaystyle \lim_{n \to \infty} \Vert f_n - f \Vert_ {\infty} = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Lorsque les fonctions \"f_n\" et \"f\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\",\u00a0 il suffit (lorsque les calculs sont simples) d’\u00e9tudier les variations de \"f_n - f\" sur \"I\", en faisant attention au signe de \"(f_n - f)(x)\" et en utilisant le tableau de variation, on d\u00e9termine \"\Vert f_n - f \Vert_ {\infty}\".<\/p>\n

\"\ast\" Lorsque les fonctions sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{C}\" , il suffit d’\u00e9tudier la fonction \"x \mapsto \vert f_n(x) - f(x) \vert\" sur \"I\" (fonction \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\") pour d\u00e9terminer \"\Vert f_n - f \Vert_ {\infty}\,\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour des fonctions \u00e0 valeurs dans \"F\", il faudrait \u00e9tudier la fonction \"x \mapsto \Vert f_n (x)- f(x) \Vert_ {\infty}\" sur \"I\".
\nOn peut choisir une base \"b = (e_1 , \, \cdots \, , \, e_p)\" de \"F\" et chercher \u00e0 \u00e9tudier la convergence uniforme sur \"I\" des suites de coordonn\u00e9es \"(f_{n,\, i})_n\" pour \"1 \leq i \leq p\" vers la \"i\" -\u00e8me coordonn\u00e9e \"f _i\" de \"f\" dans la base \"b\" et choisir une norme<\/a> sur \"F\" utilisant cette base.<\/p>\n

Exemple <\/b><\/p>\n

On note si \"x \in \mathbb{R}, \; n \in \mathbb{N}^*, \; \displaystyle f_n(x) =\frac {2 \, \sqrt{n} \, x } {n^2 + x^2}\" .<\/p>\n

Convergence simple et uniforme de la suite de fonctions.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Pour \"n \in \mathbb{N}\", on peut chercher \"\alpha_n \in \mathbb{R}^+\" tel que \"\forall\, x \in I, \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \alpha_n\"
\n(resp. \"\forall\, x \in I, \Vert f_n(x) - f(x)\Vert_F \leq \alpha_n\"), la suite \"(\alpha_n)_n\" \u00e9tant convergente vers 0.<\/p>\n

Dans les deux cas,\u00a0\u00a0\"\Vert f_n - f\Vert_{\infty} \leq \alpha_n\", \"\displaystyle \lim _{n\to\infty} \Vert f_n - f\Vert_{\infty} = 0\".<\/p>\n

Exemple <\/b><\/p>\n

Soit si \"x \in \mathbb{R}\" et \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle f_n(x) = \frac{\cos(nx)} {n} + \frac{\sin(nx)} {n ^2}\".<\/p>\n

Convergence simple et uniforme.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b> Dans les probl\u00e8mes th\u00e9oriques, il peut \u00eatre n\u00e9cessaire de revenir \u00e0 la d\u00e9finition utilisant des \"\varepsilon\" :<\/div>\n
\"\forall \, \varepsilon > 0, \; \exists \, n_0 \in \mathbb{N} , \; \forall \,n \in \mathbb{N},\" \"\quad \quad \quad ( n \geq n_0 \Rightarrow \Vert f_n - f \Vert _{\infty} \leq \varepsilon )\" .
\n(soit selon le cas, \"\forall \, x \in I ,\; \vert f_n(x) - f(x)\vert \leq \varepsilon\" ou \"\forall \, x \in I , \Vert f_n(x) - f(x)\Vert_F \leq \varepsilon\").<\/div>\n
<\/div>\n
Exemple<\/b><\/div>\n
Soit \"f\" une fonction continue sur \"[0 ,\, 1]\" telle que \"f(1) = 0\".<\/div>\n
On note\u00a0 \u00a0\"\forall\, n \in \mathbb{N}, \forall \, x \in [0, \, 1], \; f_n (x) = x^n f(x)\".<\/div>\n
\u00c9tude de la convergence simple et uniforme.<\/div>\n

2. Comment prouver qu’une suite de fonctions ne converge pas uniform\u00e9ment sur \"I\" ?\u00a0<\/strong><\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Si \"f_n - f\" n’est pas born\u00e9e sur \"I\" pour \"n\" assez grand, la suite \"(f_n)_n\" ne converge pas uniform\u00e9ment vers \"f\" sur \"I\".<\/p>\n

Dans la suite, on suppose que les fonctions \"f_n - f\" sont born\u00e9es sur \"I\" pour \"n\" assez grand.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0On d\u00e9montre que la suite \"\left ( \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \right ) _ n\" ne converge pas vers 0.<\/p>\n

Dans le cas particulier o\u00f9 \"f\" et \"f_n\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", il suffit d’\u00e9tudier \"f_n - f\" et de d\u00e9montrer que la suite \"\displaystyle \left ( \sup _ {x \in I} \vert f_n(x) - f(x) \vert \right ) _ n\" ne converge pas vers 0.<\/p>\n

Exemple<\/b>
\nAppliquer M2 \u00e0\u00a0 \"f_n : \, [0 ,\, 1] \rightarrow \mathbb{R},\; x \mapsto x^n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Il suffit de trouver une suite \"(x_n)_n\" de points de \"I\" telle que la suite \"(f_n(x_n) - f(x_n))_n\" ne converge pas vers 0.<\/p>\n

Exemple<\/b>
\nAppliquer M3 \u00e0 \"f_n : \, [0 ,\, 1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0Si pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"f_n\" est continue sur \"I\" et s’il existe \"a \in I\" tel que \"f\" est discontinue en \"a\", la suite \"(f_n)_n\" ne converge pas uniform\u00e9ment vers \"f\". (S’il y avait convergence uniforme, \"f\" devrait aussi \u00eatre continue.).<\/p>\n

Exemple<\/b><\/p>\n

Appliquer M4 \u00e0 \"f_n : \, [0 ,\, 1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0<\/b>Lorsque la suite de fonctions continues \"(f_n)_n\" converge vers la fonction continue \"f\" sur \"I\", s’il existe \"(a ,\, b) \in I^2\" o\u00f9 \"a < b\" et tel que \"\displaystyle \lim_{n \to \infty } \int_a^b f_n(t) \textrm{d}t \neq \int_a^b f(t) \textrm{d}t\", la suite \"(f_n)_n\" ne converge pas uniform\u00e9ment vers \"f\" sur \"I\".<\/p>\n

Exemple <\/b><\/p>\n

Appliquer M5 \u00e0\u00a0\"f_n(x) = n \, x^n(1 - x^n)\" sur \"I = [0 ,\, 1]\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.\u00a0<\/b>On d\u00e9montre que le th\u00e9or\u00e8me de la double limite ne s’applique pas :<\/p>\n

c’est \u00e0 dire \"a\" \u00e9tant une borne de l’intervalle \"I\" (resp. un point adh\u00e9rent \u00e0 \"I),\" on d\u00e9montre que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"f_n\" a une limite \"b_n\" finie (resp. dans \"F\") en \"a\", et on d\u00e9montre que la suite \"(b_n)_n\" ne converge pas, ou que la limite simple \"f\" de la suite \"(f_n)_n\" n’admet pas\u00a0 \"\displaystyle \lim _{n \to \infty} b_n\" pour limite en \"a\".<\/p>\n

Exemple <\/b><\/p>\n

Appliquer M6 \u00e0 la suite de fonctions d\u00e9finies pour \"n \in \mathbb{N}\" et \"x \in \, ]0 , \, + \infty[\" par \"\displaystyle f_n(x) = \sin \left ( \frac {nx + 1} {x + n} \right )\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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 <\/p>\n

3. Comment utiliser la convergence uniforme d’une suite de fonctions ?\u00a0<\/strong><\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Continuit\u00e9<\/i>\u00a0: Si la suite de fonctions continues \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment vers \"f\" sur \"I\", la fonction \"f\" est continue sur \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1B.<\/b>\u00a0Pour d\u00e9montrer que \"f\" est continue sur \"I\", il suffit de montrer que \"(f_n)_n\" est une suite de fonctions continues sur \"I\" qui converge uniform\u00e9ment sur tout segment de \"I\" (resp. au voisinage de tout point \"a \in I\") vers \"f\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0On peut alors appliquer le th\u00e9or\u00e8me de la\u00a0double limite<\/i>\u00a0: Si \"a\" est une borne de l’intervalle \"I\" (resp. un point adh\u00e9rent \u00e0 \"I\"), si la suite de fonctions \"(f_n)_n\" converge uniform\u00e9ment vers \"f\" sur \"I\" et si pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"\displaystyle \lim_{x \to a } f_n(x) = b_n\" o\u00f9 \"b_n \in \mathbb{K}\" (resp dans \"F\"), alors \"f\" admet une limite en \"a\" et \"\displaystyle \lim_{x \to a} \left ( \lim_{n \to \infty} f_n(x)\right ) = \lim_{n \to \infty}\left ( \lim_{x \to a} f_n(x) \right )\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Int\u00e9grale sur un segment\u00a0<\/i>:<\/p>\n

Si \"(f_n)_n\" est une suite de fonctions continues sur l’intervalle \"I\" qui converge uniform\u00e9ment sur tout segment de \"I\" vers la fonction \"f\", lorsque \"a\" et \"b\" sont \u00e9l\u00e9ments de \"I\",<\/p>\n

\"\quad \quad \displaystyle \lim_{n \to \infty } \int_a^b f_n(t) \textrm{d}t = \int_a^b f(t) \textrm{d}t\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0D\u00e9rivabilit\u00e9<\/i> :<\/p>\n

On prouve que<\/p>\n

\"\ast\" pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"f_n\" est de classe \"C^1\" sur l’intervalle \"I\",<\/p>\n

\"\ast\" la suite \"(f_n)_n\" converge simplement sur \"I\" vers la fonction \"f\",<\/p>\n

\"\ast\" la suite de fonctions \"(f'_n)_n\"converge uniform\u00e9ment vers \"g\" sur tout segment de \"I\".<\/p>\n

Alors \"f\" est de classe \"C^1\" sur \"I\" et \"f ' = g\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0Fonctions de classe\u00a0<\/i>\"C^k\" o\u00f9 \"k\in \mathbb{N }^*\"<\/p>\n

On prouve que<\/p>\n

\"\ast\" pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"f_n\" est de classe \"C^k\" sur l’intervalle \"I\",<\/p>\n

\"\ast\" pour tout \"p \in \{0 , \, \cdots \, , \, k - 1\}\" , la suite de fonctions \"(f_n^{(p)})_n\" converge simplement sur \"I\" vers une fonction \"g_p\"<\/p>\n

\"\ast\" la suite de fonctions \"(f_n^{(k)})_n\" converge uniform\u00e9ment sur tout segment de \"I\" vers une fonction \"g_k\" .<\/p>\n

Alors \"g_0\" est de classe \"C^k\" sur I et pour tout \"p \in \{1 , \, \cdots \, ,\, k\}\", \"g_p =g_0^{(p)}\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.\u00a0<\/b>Le th\u00e9or\u00e8me de convergence domin\u00e9e (chapitre int\u00e9gration sur un intervalle quelconque<\/a>) permet d’intervertir, sous certaines conditions, l’int\u00e9grale et la limite (sans avoir besoin de la convergence uniforme).<\/p>\n

Il y a deux th\u00e9or\u00e8mes \u00e9crivant une fonction \"f\" comme limite uniforme.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.<\/b>\u00a0Th\u00e9or\u00e8me de Weierstrass\u00a0<\/i>: Toute fonction \"f\" continue sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {K}\" est limite uniforme sur \"[a , \, b]\" d’une suite de fonctions polyn\u00f4mes \u00e0 coefficients dans \"\mathbb {K}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M8.\u00a0<\/b>Toute fonction continue par morceaux sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {K}\" est limite uniforme sur \"[a , \,b]\" d’une suite de fonctions en escalier sur \"[a ,\, b]\".<\/p>\n

Les \u00e9tudiants en Maths Sp\u00e9, peuvent se servir des cours en ligne de maths en PSI<\/a>, des cours en ligne en PC de Maths<\/a> ou des cours en ligne de Maths en MP<\/a> et des cours de maths \u00e0 domicile<\/a> pour compl\u00e9ter leurs r\u00e9visions en vue des concours des \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs.<\/p>\n

4. Comment \u00e9tudier la convergence d’une s\u00e9rie de fonctions ?<\/h3>\n

Les questions \u00e0 se poser<\/b>\u00a0quand on demande d’\u00e9tudier la convergence de la s\u00e9rie<\/a> de fonctions de terme g\u00e9n\u00e9ral \"f_n\" sur l’intervalle \"I\".
\n\"\bullet\"\u00a0Q1.<\/b>\u00a0La s\u00e9rie est-elle simplement convergente sur \"I\" ? Si ce n’est pas le cas, on se place sur un intervalle \"J\" tel que \"J \subset I\" sur lequel la s\u00e9rie de fonctions de terme g\u00e9n\u00e9ral \"f_n\" converge simplement.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Q2.\u00a0<\/b>La s\u00e9rie est-elle normalement convergente sur \"I\" ? Si oui, l’\u00e9tude de la convergence est termin\u00e9e, car la s\u00e9rie est uniform\u00e9ment convergente sur \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Q3.<\/b>\u00a0Si la s\u00e9rie n’est pas normalement convergente sur \"I\", on cherche si \"\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Vert f_n\Vert _ {\infty} = 0\" .
\n\"\ast\" Si la suite \"\left ( \Vert f_n\Vert _ {\infty} \right)_n\" ne converge pas vers 0, il ne peut y avoir convergence uniforme.
\n\"\ast\" Si la suite \"\left ( \Vert f_n\Vert _ {\infty} \right)_n\" converge vers 0, on peut \u00e9tudier la convergence uniforme : dans ce cas, on regarde si \"\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Vert R_n\Vert _ {\infty} = 0\", o\u00f9 \"R_n\" est le reste d’ordre \"n\" de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"f_n\".<\/p>\n

M\u00e9thode d’\u00e9tude :<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0ET1.\u00a0<\/b>\u00c9tudier la convergence simple de la s\u00e9rie, c.a.d. \u00e9tudier la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"f_n(x)\" : il s’agit d’un probl\u00e8me de convergence de s\u00e9rie num\u00e9rique<\/a> (resp. de s\u00e9rie vectorielle).
\nIl suffit de prouver que la s\u00e9rie converge absolument (c’est \u00e0 dire que \"\sum \vert f_n(x)\vert\" ou \"\sum \Vert f_n(x)\Vert\" selon la nature de l’ensemble d’arriv\u00e9e, converge).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0ET2.<\/b>\u00a0Pour \u00e9tudier la convergence normale (lorsque les fonctions \"f_n\" sont born\u00e9es sur I) :
\n\"\ast\" soit on calcule \"\Vert f_n\Vert_{\infty}\" (en \u00e9tudiant \u00e9ventuellement la fonction \"f_n\" si elle est \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", et \"\vert f_n\vert\" si elle est \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{C}\") et on d\u00e9montre que \"\sum \Vert f_n\Vert_{\infty}\" converge.
\n\"\ast\" soit on trouve \"\alpha_n\" tel que \"\Vert f_n\Vert_{\infty}\leq \alpha_n\" et tel que \"\sum \alpha_n\" converge (m\u00e9thode \u00e0 utiliser lorsque les variations de \"f_n\" sont compliqu\u00e9es pour les fonctions \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\").<\/p>\n

Il faudra peut-\u00eatre restreindre l’intervalle et d\u00e9montrer que la s\u00e9rie converge normalement sur un intervalle (ou un ensemble) plus petit.<\/p>\n

Pour des fonctions scalaires, il est inutile de vouloir \u00e9tudier la convergence normale sur \"I\" lorsqu’il existe \"x \in I\" tel que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\vert f_n(x)\vert\" diverge, ou lorsque les fonctions \"f_n\" ne sont pas born\u00e9es sur l’intervalle \"I\".<\/p>\n

S’il existe \"x_n \in I\" tel que \"\sum \vert f_n(x_n)\vert\" diverge, en \u00e9crivant \"\Vert f_n\Vert_{\infty} \geq \vert f_n(x_n)\vert\" , on d\u00e9montre que \"\sum f_n\" ne converge pas normalement sur \"I\".<\/p>\n

Quelques m\u00e9thodes de choix d’intervalle pour d\u00e9montrer une convergence normale dans le cas de fonctions d\u00e9finies sur un intervalle r\u00e9el
\n\"\bullet\" l’intervalle de convergence simple not\u00e9 \"I\" est ouvert : il est souvent n\u00e9cessaire de se restreindre \u00e0 un segment inclus dans \"I\".
\n\"\ast\" l’intervalle de convergence simple not\u00e9 \"I\" est un intervalle centr\u00e9 en 0 : il est plus simple de d\u00e9montrer que la s\u00e9rie converge normalement sur un segment du type \"[- a ,\, a]\" o\u00f9 \"a \in I\".
\n\"\ast\" en \u00e9tudiant les variations de \"f_n\" (\u00e0 valeurs r\u00e9elles) sur \"I\", on a trouv\u00e9 \"\alpha_n\" tel que \"\vert f_n \vert\" admette un maximum en \"\alpha_n\" et \"\sum \vert f_n(\alpha_n) \vert\" diverge, la fonction \"f_n\"\u00a0 changeant de sens de variation en \"\alpha_n\" ,
\n… lorsque \"\displaystyle \lim_{n \to\infty} \alpha_n = b\in \mathbb{R}\" ou \"b = - \infty\" prendre \"a > b\" et \"a\in I\", d\u00e9montrer qu’il existe \"N \in \mathbb{N}\" tel que si \"n > N,\, \alpha_n < a\" et utiliser la monotonie de \"f_n\" sur \"[a , +\infty[\,\cap \, I\" pour prouver la convergence normale sur \"[a , +\infty[ \, \cap \, I\".
\n… lorsque \"\displaystyle \lim_{n \to\infty} \alpha_n = +\infty\",introduire \"a \in I\", d\u00e9montrer qu’il existe \"N \in \mathbb{N}\" tel que si \"n > N,\, a < \alpha_n\" et utiliser la monotonie de \"f_n\" sur \"]-\infty , a] \,\cap \, I\" pour prouver la convergence normale sur \"]-\infty , a] \,\cap \, I\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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 <\/p>\n

5. Comment utiliser la convergence uniforme d’une s\u00e9rie de fonctions ?<\/h3>\n

Lorsque la s\u00e9rie de fonctions de terme g\u00e9n\u00e9ral \"f_n\" est simplement convergente, on note \"\displaystyle S = \sum_{n = 0} ^{+\infty} f_n\".
\n\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Continuit\u00e9 : Si pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"f_n\" est continue sur \"I\" et si \"\sum f_n\" converge uniform\u00e9ment sur tout segment inclus dans \"I\" (resp. au voisinage de tout point \"a \in I\"), la somme \"S\" est continue sur \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0On peut alors appliquer le th\u00e9or\u00e8me de la double limite :
\nSi \"a\" est une borne de l’intervalle \"I\" (resp. \"a\" est un point adh\u00e9rent \u00e0 \"I\"), si la s\u00e9rie de fonctions de terme g\u00e9n\u00e9ral \"f_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"I\" et si pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"f_n\" admet en \"a\" une limite \"b_n \in \mathbb{K}\" (resp. \"b_n \in F\"), alors \u00a0\"\displaystyle \lim _ {x \to a} \sum _{n = 0}^{+ \infty} f_n(x) = \sum _{n = 0}^{+ \infty} \lim _ {x \to a} f_n(x) = \sum_{n = 0} ^{\infty} b_n\".<\/p>\n

exemple<\/b>
\nSi \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"x \geq 0\", \"\displaystyle f_n(x ) = \frac 1 {n ^2} ( \textrm {e}^{- n x} + 1)\" \u00e9tude de la limite de \"S\" en \"+\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Int\u00e9grale<\/a> sur un segment : Si pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"f_n\" est continue sur \"[a ,\, b]\" et si la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"f_n\" converge uniform\u00e9ment sur \"[a , \,b]\", \"\displaystyle \int_a^b \sum _{n = 0}^{+\infty} f_n(x) \textrm{d}x = \sum _{n = 0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x) \textrm{d}x\".
\nOn verra un autre th\u00e9or\u00e8me permettant d’intervertir somme et int\u00e9grale avec une hypoth\u00e8se de convergence simple. (cf chapitre int\u00e9gration sur un intervalle quelconque).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>D\u00e9rivabilit\u00e9 : si l’on prouve que :
\n\"\ast\" pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"f_n\" est de classe \"C^1\" sur l’intervalle \"I\",
\n\"\ast\" \"\sum f_n\" converge simplement sur \"I\",
\n\"\ast\" \"\sum f'_n\" converge uniform\u00e9ment sur tout segment de \"I\",
\n\"\ast\" \"\ast\" la somme \"S\" est de classe \"C^1\" sur \"I\" et \"\displaystyle \left ( \sum _{n = 0}^{\infty} f_n \right) ' = \sum _{n = 0}^{\infty} f'_n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0<\/b>Fonctions de classe \"C^k\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{N}^*\" : si l’on prouve que
\n\"\ast\" pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"f_n\" est de classe \"C^k\" sur l’intervalle \"I\",
\n\"\ast\" pour tout \"p \in \{ 0 , \, \cdots \, , \, k - 1 \}\",\u00a0 \"\sum f_n^{(p)}\" converge simplement sur \"I\",
\n\"\ast\"\u00a0 \"\sum f_n^{(k)}\" converge uniform\u00e9ment sur tout segment de \"I\",
\n\"\ast\" \"\ast\" la somme \"S\" est de classe \"C^k\" sur \"I\" et \"\forall\, p \in \{ 1 , \, \cdots \, , \, k\} , \; \displaystyle \left ( \sum _{n = 0}^{\infty} f_n \right) ^{(p)} = \sum _{n = 0}^{\infty} f_n^{(p)}\".<\/p>\n

Application \u00e0 l’exponentielle d’une matrice<\/a>, d’un endomorphisme<\/a> :\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0A1<\/b>\u00a0: Soit \"p \in \mathbb{N}^*\" et \"A \in \mathcal{M}_p ( \mathbb{K} )\" .
\na)<\/b>\u00a0On peut d\u00e9finir pour tout \"t \in \mathbb{R}\", \"\displaystyle \textrm{exp}(t A) = \sum _{n = 0}^{\infty} \frac {t^n} {n!} A ^n\"\u00a0 not\u00e9e aussi \"\textrm{e}^{ t A}\".
\nLa s\u00e9rie converge normalement sur tout segment \"[- \alpha , \, \alpha ]\" o\u00f9 \"\alpha > 0\"
\nb)<\/b>\u00a0La fonction \"f : t \mapsto \textrm{exp}(t \, A)\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" et pour tout \"t \in \mathbb{R},\" \"f '(t) = A \, \textrm{exp}(t \,A) = \textrm{exp}(t\, A)\, A\".
\n<\/a>
\n\"\bullet\"\u00a0A2<\/b>\u00a0: Soit \"E\" un \"\mathbb{K}\"–espace vectoriel<\/a> de dimension finie et \"a \in \mathcal{L}(E)\".
\na)\u00a0<\/b>On peut d\u00e9finir pour tout \"t \in \mathbb{R}\", \"\displaystyle \textrm{exp}(t \, a) = \sum _{n = 0}^{\infty} \frac {t^n} {n!} \, a^n\" not\u00e9 aussi \"\textrm{e} ^{t\, a}\".
\nLa s\u00e9rie converge normalement sur tout segment \"[- \alpha , \, \alpha ]\" o\u00f9 \"\alpha > 0\"
\nb)<\/b>\u00a0La fonction \"f : t \mapsto \textrm{exp}(t \,a)\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" et pour tout \"t \in \mathbb{R}\" \"f '(t) = a \circ \textrm{exp}(t \,a)= \textrm{exp}(t \,a) \circ a\".<\/p>\n

En plus de ce cours en ligne sur les suites et s\u00e9ries de fonctions<\/strong>, de nombreux autres cours peuvent \u00eatre retravaill\u00e9s. En voici quelques exemples :<\/p>\n