{"id":26936,"date":"2019-05-22T16:59:17","date_gmt":"2019-05-22T15:59:17","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=26936"},"modified":"2023-09-15T13:25:10","modified_gmt":"2023-09-15T12:25:10","slug":"cours-en-ligne-integration-intervalle-quelconque-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-integration-intervalle-quelconque-maths-spe\/","title":{"rendered":"Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque en Maths Sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque<\/h2>\n

1. Comment prouver qu’une int\u00e9grale est convergente ?<\/h2>\n
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⚠️\u00a0<\/b>⚠️\u00a0\u00a0Toujours commencer par l’\u00e9tude de la continuit\u00e9 de \"f\".<\/b><\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>Par utilisation des int\u00e9grales impropres au programme\u00a0<\/i>(en g\u00e9n\u00e9ral par comparaison par in\u00e9galit\u00e9 ou par \u00e9quivalence<\/a> avec M3) :
\n\"\ast\" l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_1^{\infty} \frac 1 {t^{\alpha}} \,\textrm{d} \, t\" converge ssi \"\alpha > 1\" .
\n\"\ast\" si \"a < b\", les int\u00e9grales \"\displaystyle \int_a^{b} \frac 1 {( t- a)^{\alpha}} \,\textrm{d} \, t\" et \"\displaystyle \int_a^{b} \frac 1 {( b- t)^{\alpha}} \, \textrm{d} \, t\" convergent ssi \"\alpha < 1\".
\n\"\ast\" l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_0^{1} \ln(t) \, \textrm{d} \, t\" converge.
\n\"\ast\" si \"\alpha \in \mathbb{R}\", l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_0^{\infty} \textrm{e} ^{ - \alpha\, t } \, \textrm{d} \, t\" converge ssi \"\alpha > 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Par somme ou produit par un scalaire<\/i>\u00a0:
\nSi \"f\" et \"g\" sont continues par morceaux sur l’intervalle de bornes \"a\" et \"b\" et si \"\lambda\" est un scalaire,\u00a0 lorsque les int\u00e9grales \"\int_a^b f(t)\, \textrm{d} \, t\" et \"\int_a^b g(t)\, \textrm{d} \, t\" convergent, les int\u00e9grales \"\int_a^b (f(t)+g(t)) \, \textrm{d} \, t\" et \"\int_a^b \lambda \, f(t) \,\textrm{d} \, t\" convergent.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Dans le cas de fonctions<\/a> \u00e0 valeurs positives ou nulles par utilisation des relations de comparaison<\/i>
\nSi \"f\" et \"g\" sont continues par morceaux sur \"I = [a ,\, b[\" \u00e0 valeurs positives ou nulles,
\n\u00a0a)<\/b>\u00a0si \"f(x) \underset{x \to b} { = } O(g(x))\" et si l’int\u00e9grale \"\int_a^b g(t)\, \textrm{d} \, t\" est convergente, alors l’int\u00e9grale \"\int_a^b f(t)\, \textrm{d} \, t\" est convergente.
\n\u00a0b)<\/b>\u00a0si \"f(x) \underset {x \to b } \sim g(x)\", l’int\u00e9grale \"\int_a^b f(t)\, \textrm{d} \, t\" est convergente ssi l’int\u00e9grale \"\int_a^b g(t)\, \textrm{d} \, t\"est convergente.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>En d\u00e9montrant que l’int\u00e9grale est absolument convergente<\/i>, c’est-\u00e0-dire en d\u00e9montrant que l’int\u00e9grale \"\int_a^b \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \, t\" est convergente.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0<\/b>Lorsque \"f\" est continue par morceaux et \u00e0 valeurs positives sur \"I = [a ,\, b[\" (resp \"I = ]a ,\, b]\"), en d\u00e9montrant que la fonction \"x \mapsto \int_a^x f(t)\, \textrm{d} \, t\" (resp. \"x \mapsto \int_x^b f(t)\, \textrm{d} \, t\") est major\u00e9e sur \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.\u00a0<\/b>Par\u00a0\u00e9valuation d’une limite d’int\u00e9grale<\/i>\u00a0(m\u00e9thode d\u00e9conseill\u00e9e sauf dans le cas d’int\u00e9grales<\/a> du type M7) :
\n\"\ast\" Si \"f\" est continue par morceaux sur \"[a , \,b[\", en d\u00e9montrant que la fonction \"x \mapsto \int_a^x f(t)\, \textrm{d} \, t\" a une limite finie \u00e0 gauche en \"b\" si \"b\" est fini ou en \"+\infty\" si \"b = +\infty\".
\nOn peut aussi prendre \"c \in \; ]a ,\, b[\" et raisonner avec \"x \mapsto \int_c^x f(t)\, \textrm{d} \, t\".
\n\"\ast\" Si \"f\" est continue par morceaux sur \"]a ,\, b]\", en d\u00e9montrant que la fonction \"x \mapsto \int_x^b f(t)\, \textrm{d} \, t\" a une limite finie \u00e0 droite en \"a\" si \"a\" est fini ou en \"- \infty\" si \"a = - \infty\". On peut aussi raisonner avec \"x \mapsto \int_x^c f(t)\, \textrm{d} \, t\" o\u00f9 \"c \in \; ]a ,\, b[\".
\n\"\ast\" Si \"f\" est continue par morceaux sur \"]a ,\, b[\", on introduit \"c \in\; ]a ,\, b[\" et on d\u00e9montre que les int\u00e9grales \"\int_a^c f(t)\, \textrm{d} \, t\" et \"\int_c^b f(t)\, \textrm{d} \, t\" sont convergentes (cf a) et b)).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.<\/b>\u00a0En connaissant l’exemple classique<\/i>\u00a0: l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_{ 1} ^{+\infty }\frac { \sin(t) } {t } \, \textrm{d} \, t\" converge mais ne converge pas absolument.
\nDe m\u00eame, si \"0 < a \leq 1\", les int\u00e9grales \"\displaystyle \int_{ 1} ^{+\infty }\frac { \sin(t) } {t ^a } \, \textrm{d} \, t\" et \"\displaystyle \int_{ 1} ^{+\infty }\frac { \cos(t) } {t ^a } \, \textrm{d} \, t\" convergent.
\n(La d\u00e9monstration utilise une int\u00e9gration par parties).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M8.<\/b>\u00a0Par utilisation du th\u00e9or\u00e8me de changement de variable<\/a>\u00a0<\/i>\u00e0 partir d’une int\u00e9grale convergente :
\nSi \"f\" est continue par morceaux sur \"]a ,\, b[\" et si \"\varphi\" est une bijection strictement monotone de \"]\alpha ,\, \beta[\" sur \"]a , \,b[\" et de classe \"C^1\",
\nl’int\u00e9grale \"\int_a^b f(t) \, \textrm{d} \, t\" converge ssi\u00a0 l’int\u00e9grale \"\int_{\alpha}^{\beta} f\circ \varphi (u)\, \varphi'(u) \, \textrm{d} \, u\" converge. Et dans ce cas :
\n\"\int_a^b f(t) \, \textrm{d} \, t = \int_{\alpha}^{\beta} f\circ \varphi (u)\, \vert \varphi'(u) \vert \, \textrm{d} \, u\"<\/p>\n

exemple\u00a0<\/i>: On sait que l’int\u00e9grale \"\int_0^1 \ln(t) \, \textrm{d} \, t\" converge. Comme la fonction \"\varphi \, :\; ]0 , \,1[ \rightarrow \, ]0 , \,1[,\; u \mapsto 1 - u\" est une bijection strictement d\u00e9croissante de classe \"C^1\", alors l’int\u00e9grale \"\int_0^1 \ln(1 - u ) \, \textrm{d} \, u\" converge.<\/p>\n

👍 Pour la\u00a0r\u00e9daction d’un changement de variable :
\nOn suppose que \"t\" est la variable initiale et \"I\" l’intervalle initial d’int\u00e9gration et que vous voudriez remplacer \"t\" en fonction de \"u\".
\nSuivre les \u00e9tapes suivantes :
\n\"\ast\" D\u00e9finir \"\varphi : \; ?? \rightarrow I\",
\n\"\ast\" puis \"u \mapsto \; ?\" et remplacez le \"?\" par ce par quoi vous voulez remplacer \"t\".
\n\"\ast\" Et enfin terminez en rempla\u00e7ant \"??\" par l’intervalle \"J\" de fa\u00e7on \u00e0 avoir d\u00e9fini une bijection. (voir un exemple en M1 \u00a7 5.)<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M9.<\/b>\u00a0Par\u00a0utilisation du th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration par parties<\/i>.
\nSi l’on \u00e9crit la fonction \"f\" sous la forme \"f = u' \, v\", les fonctions \"u\" et \"v\" \u00e9tant de classe \"C^1\" sur l’intervalle \"I\" de bornes \"a\" et \"b\", si la fonction \"u \, v\" admet une limite finie en \"a\" et en \"b\", il suffit que l’int\u00e9grale \"\int_a^b u'(t)\, v(t) \, \textrm{d} \, t\" converge pour que l’int\u00e9grale \"\int_a^b u(t) \, v'(t) \, \textrm{d} \, t\" converge.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2. Comment prouver qu’une fonction est int\u00e9grable ?\u00a0\u00a0<\/strong><\/h2>\n

Important : Toujours commencer par v\u00e9rifier que \"f\" est continue par morceaux sur l’intervalle \"I\".<\/p>\n

Quelques remarques pour simplifier :\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" Si l’intervalle \"I\" est de la forme \"]a ,\, b[\", prouver que \"f\" est int\u00e9grable sur \"]a ,\, c]\" et sur \"[c , \,b[\" o\u00f9 \"c\" est un r\u00e9el donn\u00e9 de \"]a ,\, b[\".
\n\"\ast\" Cas de simplification : si \"I =\; ]a ,\, b[\" et s’il est possible de prolonger la fonction par continuit\u00e9 en \"a\", il suffira de prouver que \"f\" est int\u00e9grable sur \"[c , \, b[\" o\u00f9 \"c \in \, ]a ,\, b[\" puisque \"f\" sera continue sur \"[a ,\, c]\".
\n\"\ast\" Dans le cas o\u00f9 \"I =\; ]- a ,\, a[\" et o\u00f9 \"f\" est paire ou impaire, il suffit de prouver que \"f\" est int\u00e9grable sur \"[0 ,\, a[\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1<\/b>. Si \"I = [a ,\, b]\", on v\u00e9rifie que \"f\" est continue par morceaux sur \"[a ,\, b]\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2<\/b>. Si \"I\" n’est pas un segment, on v\u00e9rifie que \"f\" est une fonction continue par morceaux sur \"I\" puis on prouve que l’int\u00e9grale de \"f\" sur \"I\" est absolument convergente (cf \u00a7 I.)<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3<\/b>. Les\u00a0exemples fondamentaux\u00a0<\/i>au programme.
\n\"\ast\" \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x^\alpha}\" est int\u00e9grable sur \"[1 , \,+\infty[\" ssi \"\alpha > 1\"
\n\"\ast\" \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {x^\alpha}\" est int\u00e9grable sur \"]0 , \, 1]\" ssi \"\alpha < 1\"
\n\"\ast\" \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {(b - x)^\alpha }\" est int\u00e9grable sur \"[a , \,b[\" ssi \"\alpha < 1\"
\n\"\ast\" \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {(a - x)^\alpha }\" est int\u00e9grable sur \"]a , \,b]\" ssi \"\alpha < 1\"
\n\"\ast\" \"x \mapsto \textrm{e} ^{- a x }\" est int\u00e9grable sur \"[0 ,\, +\infty [\" ssi \"a > 0\"
\n\"\ast\" \"x \mapsto \ln(x)\" est int\u00e9grable sur \"]0 ,\, 1]\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4<\/b>.\u00a0Par majoration\u00a0<\/i>:
\nSi \"f\" est continue par morceaux sur l’intervalle \"I\" et s’il existe une fonction \"g\" continue par morceaux, int\u00e9grable sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}^+\" telle que \"\forall \, x \in I, \; \vert f(x)\vert \leq g(x)\", \"f\" est int\u00e9grable sur \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0<\/b>En prouvant que \"f\" est\u00a0\u00e9quivalente<\/i>\u00a0\u00e0 une fonction int\u00e9grable :
\nN.B. : quand cette m\u00e9thode est utilisable, elle est pr\u00e9f\u00e9rable \u00e0 la m\u00e9thode M6 car elle est plus simple et donne alors une CNS d’int\u00e9grabilit\u00e9 (utile si \"f\" d\u00e9pend d’un param\u00e8tre), ce que l’on n’obtient pas en utilisant M6.
\n\"\ast\"\u00a0M5.1<\/b>.<\/b>\u00a0Cas \"I = [a , \,+\infty[\" : si \"f \in C_m(I , \, \mathbb{K})\" et s’il existe \"\alpha \in \mathbb{R}\" et \"A \in \mathbb{R}^*\" tels que : \"\displaystyle f(x) \underset {x \to \infty } \sim \frac A {x ^\alpha}\"
\n\"f\" est int\u00e9grable sur \"I\" ssi \"\alpha > 1\" .
\n\"\ast\"\u00a0M5.2.\u00a0<\/b>Cas \"I = \, ]a ,\, b]\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\" : si \"f \in C_m (]a ,\, b] ,\, \mathbb{K} )\" et s’il existe \"\alpha \in \mathbb{R}\" et \"A \in \mathbb{R}^*\" tels que \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a } \sim \frac A {(x-a) ^\alpha}\" ,
\n\"f\" est int\u00e9grable sur \"I\" ssi \"\alpha < 1\".
\n\"\ast\"\u00a0M5.3.\u00a0<\/b>Cas \"I = [a ,\, b[\" o\u00f9 \"b \in \mathbb{R}\" : si \"f \in C_m([a , \, b[ , \, \mathbb{K})\" et s’il existe \"\alpha \in \mathbb{R}\" et \"A \in \mathbb{R}^*\" tels que \"\displaystyle f(x) \underset {x \to b } \sim \frac A {(b-x) ^\alpha}\" ,
\n\"f\" est int\u00e9grable sur \"I\" ssi \"\alpha < 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.<\/b>\u00a0En prouvant que \"f\" est\u00a0domin\u00e9e\u00a0<\/i>par une fonction int\u00e9grable :
\n\"\ast\"\u00a0M6.1.<\/b>\u00a0Cas \"I = [a , \, +\infty[\" : si \"f \in C_m(I , \,\mathbb{K})\", il suffit qu’il existe \"\alpha > 1\" tel que \"\displaystyle f(x) \underset {x \to \infty} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {x^\alpha} \right )\" .
\nCe raisonnement s’applique en particulier lorsque \"\displaystyle \lim _{x\to+\infty} \, x^{\alpha} \, f(x) = 0\" avec \"\alpha > 1\".
\n
\nCas fr\u00e9quents d’utilisation<\/b>\u00a0:
\na)\u00a0<\/b>si \"f (t) = g(t)\, \textrm {exp}(- \alpha t)\" ou \"f(t) = g(t)\, \textrm {exp}(- \alpha t^ 2)\" avec \"\alpha > 0\" et \"g\" continue sur \"[a , +\infty[\", il est souvent possible de conclure en prouvant que \"\displaystyle \lim _{x\to+\infty} \, x^{2} \, f(x) = 0\" .
\nOn pourra en particulier utiliser ce raisonnement lorsque \"g\" est une fonction polyn\u00f4me de degr\u00e9 \"n\".
\nb)<\/b>\u00a0si \"f(t) = g(t) \ln t\", o\u00f9 \"g\" est continue sur \"[a , +\infty[\" (\"a > 0\"), il suffit de trouver \"\alpha > 1\" tel que \"\displaystyle \lim _{x\to+\infty} \, x^{ \alpha} \, f(x) = 0\" .<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M6.2.<\/b>\u00a0Cas \"I = \; ]a ,\, b]\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{R}\" : si \"f \in C_m (]a ,\, b] ,\, \mathbb{K} )\" et s’il existe \"\alpha < 1\" tel que \"\displaystyle f(x) \underset {x \to a} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {(x- a) ^{\alpha }} \right )\",\u00a0\u00a0on \u00e9crit que la fonction \"\displaystyle x \mapsto \frac 1 {(x- a) ^{\alpha }}\" est int\u00e9grable sur \"]a , \, b]\", donc \"f\" est int\u00e9grable sur \"]a ,\, b]\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M6.3.\u00a0<\/b>Cas \"I = [a ,\, b[\" o\u00f9 \"b \in \mathbb{R}\" : si \"f \in C_m([a , _, b[ , \, \mathbb{K} )\" et s’il existe \"\alpha < 1\" tel que \"\displaystyle f(x) \underset {x \to b} { = } \textrm{0} \left ( \frac 1 {(b- x) ^{\alpha }} \right )\", on \u00e9crit que la fonction \"\displaystyle x \mapsto \frac 1 {(b- x) ^{\alpha } }\" est int\u00e9grable sur \"[a , \, b[\", donc \"f\" est int\u00e9grable sur \"[a ,\, b[\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.<\/b>\u00a0En utilisant un DL<\/i>\u00a0:
\nSi \"f \in C_m([a , \, +\infty[ , \mathbb{R}[)\" et si l’on peut trouver un d\u00e9veloppement limit\u00e9 de \"f\" en \"1/t\" \u00e0 l’ordre 2 de la forme \"\displaystyle f(t) \underset {t \to \infty} { = } \alpha + \frac \beta t + \frac \gamma {t ^2} + \textrm{o} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )\" ,
\n\"f\" est int\u00e9grable sur \"[a , +\infty[\" ssi \"\alpha = \beta = 0\" (justifier le r\u00e9sultat \u00e0 chaque fois).
\nOn peut aussi \u00e9crire que \"\displaystyle f(t) \underset {t \to \infty} { = } \alpha + \frac \beta t + \textrm{O} \left ( \frac 1 {t ^2} \right )\" et justifier que \"f\" est int\u00e9grable sur \"[a , +\infty[\" ssi \"\alpha = \beta = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M8.\u00a0<\/b>En utilisant le\u00a0th\u00e9or\u00e8me de changement de variable<\/i>\u00a0:
\nOn suppose que \"f\" est continue par morceaux sur \"I\" et qu’il existe une fonction \"\varphi\" de classe \"C^1\" sur l’intervalle \"J\" d\u00e9finissant une bijection strictement monotone de \"J\" sur \"I\",
\nalors \"f\" est int\u00e9grable sur \"I\" ssi \"f \circ \varphi \vert \, \varphi ' \vert\" est int\u00e9grable sur \"J\" et dans ce cas \"\int_I f = \int_J f \circ \varphi \, \vert \varphi ' \vert\"
\nd\u00e9m : On applique le th\u00e9or\u00e8me de changement de variable aux fonctions \"\vert f \vert\" et \"\vert f \vert \circ \varphi \vert \, \varphi ' \vert\" pour prouver l’int\u00e9grabilit\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M9.\u00a0<\/b>Lorsqu’une primitive de \"\vert f \vert\" est simple, on d\u00e9montre que \"x \mapsto\int_a^x \vert f(t)\vert \, \textrm{d} \, t\" admet une\u00a0limite finie\u00a0<\/i>en \"b\" pour d\u00e9montrer que \"f\" est int\u00e9grable sur \"[a ,\, b[\", etc….<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M10.<\/b>\u00a0En utilisant des\u00a0fonctions de carr\u00e9 int\u00e9grables<\/i>\u00a0: si les fonctions \"f\" et \"g\" sont continues par morceaux \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" sur l’intervalle \"I\" et de carr\u00e9 int\u00e9grable, la fonction \"f g\" est int\u00e9grable sur \"I\".
\nOn rappelle que la justification (parfois demand\u00e9e) r\u00e9sulte de l’in\u00e9galit\u00e9 classique :\u00a0 \"2 \vert f(t) \, g(t)\vert \leq f ^2(t) + g^2(t)\".<\/p>\n

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3. Les risques d’erreurs sur les int\u00e9grales sur un intervalle quelconque<\/strong><\/h2>\n

3.1. int\u00e9grabilit\u00e9 sur \"[a , +\infty[\" et limite en \"+\infty\"<\/b><\/p>\n

\u00e0 savoir d\u00e9montrer\u00a0<\/i>:
\nSi \"f\" est int\u00e9grable sur \"[a ,\, +\infty[\" et si \"f\" a une limite \"L\" en \"+\infty\", cette limite est nulle.<\/p>\n

⚠️<\/b>\u00a0Mais d\u00e9montrer que \"f\" a une limite nulle en \"+\infty\" ne prouve pas que \"f\" est int\u00e9grable sur \"[1 ,\, +\infty[\" (consid\u00e9rer \"t \mapsto 1/t\").<\/p>\n

⚠️\u00a0<\/b>Il existe des fonctions int\u00e9grables sur \"\mathbb{R}^+\" et sans limite en \"+\infty\", elles peuvent m\u00eame \u00eatre non born\u00e9es. 🧡<\/p>\n

3.2. faute sur l’intervalle<\/b>
\n<\/b><\/p>\n

⚠️\u00a0<\/b>\u00a0\"\ast\" On \u00e9crit que \"t \mapsto 1/t^{\alpha}\" est int\u00e9grable sur \"[1 , +\infty[\" lorsque \"\alpha > 1\", mais elle n’est pas int\u00e9grable sur \"]0 , +\infty[\" !
\n\"\ast\" On \u00e9crit que \"t \mapsto 1/t^{\alpha}\" est int\u00e9grable sur \"]0 ,\, 1]\" lorsque \"\alpha < 1\", mais elle n’est pas int\u00e9grable sur \"]0 , +\infty[\" !<\/p>\n

⚠️<\/b>\u00a0On suppose que \"c \in \; ]a ,\, b[\". Si l’on a prouv\u00e9 que \"f\" est int\u00e9grable sur \"[c ,\, b[\", il ne suffit pas que \"f\" soit continue par morceaux sur \"]a , \,b]\" pour que \"f\" soit int\u00e9grable sur \"]a ,\, b[\" (prendre \"f : t \mapsto 1/t^ 2\" avec \"a = 0, c = 1 \textrm { et } b = +\infty\").
\nPar contre, si \"f\" est int\u00e9grable sur \"[c ,\, b[\" et si \"f\" est continue sur \"[a , \, c]\", \"f\" est int\u00e9grable sur \"[a ,\, b[\", donc int\u00e9grable sur \"]a , \,b[\".<\/p>\n

 <\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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4. Comment prouver que \"f\" n’est pas int\u00e9grable sur \"I\"<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>En trouvant une fonction \"g\" non int\u00e9grable sur \"I\" telle que pour tout \"x \in I,\" \"\vert f(x)\vert \geq g(x)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Lorsque \"I = [a ,\, b[\", en montrant que \"f\" est \u00e9quivalente au voisinage de \"b\" \u00e0 une fonction non int\u00e9grable sur \"[a ,\, b[\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"f\" est \u00e0 valeurs positives ou nulles et si \"f\" a une primitive simple, en d\u00e9montrant que \"x \mapsto \int_a^x f(t) \, \textrm {d} \, t\" n’admet pas de limite finie en \"b\", on d\u00e9montre que \"f\" n’est pas int\u00e9grable sur \"[a , \, b[\", etc….
\nDans le cas o\u00f9 \"f\" n’est pas \u00e0 valeurs positives ou nulles, il faut raisonner avec \"\vert f \vert\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0En utilisant l’exemple classique : la fonction \"\displaystyle t \mapsto \frac {\sin(t)} t\" n’est pas int\u00e9grable sur \"[1 , +\infty[\".<\/p>\n

5. Int\u00e9grales de Bertrand.<\/h2>\n

⚠️\u00a0<\/b>Tr\u00e8s important : les int\u00e9grales de Bertrand ne sont pas au programme, vous ne pouvez pas utiliser le r\u00e9sultat sur la convergence. Vous ne devez pas dire triomphant \u00a0\u00bb c’est une int\u00e9grale de Bertrand \u00ab\u00a0. Gardez Mr Bertrand comme ami inavou\u00e9 et utilisez la m\u00e9thode adapt\u00e9e suivant le cas rencontr\u00e9 en pratique.
\nLe compter ouvertement pour votre ami, c’est vous exposer \u00e0 devoir faire une d\u00e9monstration compl\u00e8te.<\/p>\n

\u00a05.1 sur \"\mathbf{[1 , +\infty[}\"\u00a0<\/b>
\nBut<\/i>\u00a0\u00e9tude de la convergence de l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_1^{+\infty } \frac 1 {t ^{\alpha} \, \ln^{\beta} (t) } \, \textrm{d} \,t\"<\/p>\n

R\u00e9sultat<\/i>\u00a0: Int\u00e9grale convergente \"\Leftrightarrow \alpha > 1 \textrm { ou } (\alpha = 1 \textrm { et }\beta > 1)\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M\u00e9thode si \"\mathbf{\alpha > 1}\"\u00a0<\/b>:
\nChercher au brouillon \"\gamma > 1\" tel que \"\displaystyle \lim_{t \to \infty} t ^{\gamma} \, f(t) = 0\".
\nVous prendrez \"\gamma\" tel que \"1 < \gamma < \alpha\" et justifierez sur votre copie que \"\displaystyle \lim_{t \to +\infty} t ^{\gamma} \, f(t) = 0\" puis que \"\displaystyle f(t) \underset {t \to +\infty} { = } \textrm{o} \left ( \frac 1 {t^\gamma} \right )\" etc …<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M\u00e9thode si \"\mathbf{\alpha = 1}\"<\/b>\u00a0:
\nCalculer \"\displaystyle F(x) = \int_2^x \frac 1 {t \, \ln^{\beta} (t)} \, \textrm {d} \, t\" en distinguant \"\beta \neq 1\" et \"\beta = 1\".
\nSuivant le cas, \u00e9tudier la limite de \"F\" en \"+\infty\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M\u00e9thode si \"\mathbf{\alpha < 1}\"<\/b>\u00a0:
\nMontrer que \"\displaystyle \lim_{t \to +\infty}\, t \, f(t) = +\infty\" et montrer qu’il existe \"c \geq2\" tel que sur \"[c , + \infty[, f(t) > 1/t\" et conclure par minoration \u00e0 la divergence.<\/p>\n

5.2 sur \"\textbf{]0 , 1/2]}\"\u00a0<\/b>
\nBut<\/i>\u00a0\u00e9tude de la convergence de l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_0^{1/2 } \frac 1 {t ^{\alpha} \, \ln^{\beta} (t) } \, \textrm{d} \,t\"<\/p>\n

R\u00e9sultat<\/i>\u00a0: Int\u00e9grale convergente \"\Leftrightarrow \alpha < 1 \textrm { ou } (\alpha = 1 \textrm { et }\beta > 1)\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M\u00e9thode si \"\mathbf{\alpha < 1}\"<\/b>\u00a0:
\nChercher au brouillon \"\gamma < 1\" tel que \"\displaystyle \lim_{t \to 0} t ^{\gamma} \, f(t) = 0\".
\nVous prendrez \"\gamma\" tel que \"\alpha < \gamma < 1\" et justifierez sur votre copie que \"\displaystyle \lim_{t \to 0}\, t ^{\gamma} \, f(t) = 0\" puis que \"\displaystyle f(t) \underset {t \to 0} { = } \textrm{o} \left ( \frac 1 {t^\gamma} \right )\" etc …<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M\u00e9thode si \"\mathbf{\alpha = 1}\"<\/b>\u00a0:
\nCalculer \"\displaystyle F(x) = \int_x^{1/2} \frac 1 {t \, \ln^{\beta} (t)} \, \textrm {d} \, t\" en distinguant \"\beta \neq 1\" et \"\beta = 1\".
\nSuivant le cas, \u00e9tudier la limite de \"F\" en \"0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M\u00e9thode si \"\mathbf{\alpha > 1}\"<\/b>\u00a0:
\nMontrer que \"\displaystyle \lim_{t \to 0} \, t \, f(t) = +\infty\" et montrer qu’il existe \"c \in \; ]0 , \,1/2]\" tel que sur \"]0 , \, c], f(t) > 1/t\" et conclure par minoration \u00e0 la divergence.<\/p>\n

Le programme entier de Maths en Maths Sp\u00e9 est en ligne. R\u00e9visez une nouvelle fois en cours de maths particulier<\/a> ou prenez quelques semaines d’avance en revoyant par exemple les notions suivantes :<\/p>\n