{"id":27164,"date":"2019-05-28T08:28:51","date_gmt":"2019-05-28T07:28:51","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27164"},"modified":"2024-02-06T17:12:07","modified_gmt":"2024-02-06T16:12:07","slug":"cours-en-ligne-ondes-electromagnetiques-milieu-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-ondes-electromagnetiques-milieu-maths-spe\/","title":{"rendered":"Cours, exercices et corrig\u00e9s : Ondes \u00e9lectromagn\u00e9tiques dans les milieux"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Physique-Chimie en MP, PSI, PC, MPI, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tDiffusion thermique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConducteurs ohmiques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tThermochimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9f\u00e9rentiels non galil\u00e9ens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectrostatique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMagn\u00e9tostatique et induction<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOndes dans le vide<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOndes dans les milieux<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPhysique quantique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOptique physique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPhysique statistique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectronique et signal<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectrochimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur ondes \u00e9lectromagn\u00e9tiques dans les milieux en MPI, MP, PSI, PC et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercics et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Accorder du temps \u00e0 la r\u00e9vision du cours des ondes \u00e9lectromagn\u00e9tiques en physique chimie est d’une importance capitale pour les \u00e9tudiants en maths sp\u00e9, car cette mati\u00e8re occupe une place primordiale dans leur programme. Nous aborderons des concepts de thermodynamique en physique-chimie, notamment Pseudo-OPPH, Vitesse de groupe, vitesse de phase en pr\u00e9pa, Plasma et OEM dans les conducteurs ohmiques. Se tourner vers des cours particuliers en physique chimie<\/a> peut \u00e9galement \u00eatre b\u00e9n\u00e9fique pour pallier d’\u00e9ventuels blocages au cours de l’ann\u00e9e. Il est incontestable que poss\u00e9der une solide ma\u00eetrise de la physique chimie constitue un \u00e9l\u00e9ment essentiel pour r\u00e9ussir les concours en MP, PC, PSI, MPI.<\/p>\n

Pseudo-OPPH en maths sp\u00e9<\/h2>\n

M\u00e9thode 1 :\u00a0pseudo-OPPH.<\/b><\/h3>\n

Une pseudo-OPPH est une Onde (les champs d\u00e9pendent de l’espace et du temps) Plane (dans un plan donn\u00e9, les champs sont uniformes) Progressive (le champ varie selon \"\omega t-\vec{k}\cdot\vec{OM}\") Harmonique (fonction trigonom\u00e9trique monochromatique de pulsation \"\omega\") dans laquelle le vecteur d’onde s’\u00e9crit \"\underline{k}\vec{u}\" o\u00f9 \"\underline{k}\" est complexe et \"\vec{u}\" est un vecteur unitaire dans le sens et la direction de propagation.<\/p>\n

En formalisme complexe, si \"\underline{V}\" est un champ scalaire et \"\vec{\underline{A}}\" un champ vectoriel<\/p>\n

\"\frac{\partial\vec{\underline{A}}}{\partial t}=i\omega\vec{\underline{A}}\" et \"\frac{\partial\underline{V}}{\partial t}=i\omega\underline{V}\"<\/p>\n

\"\mathrm{div}\vec{\underline{A}}=-i\vec{\underline{k}}\cdot\vec{\underline{A}}\" et \"\vec{\mathrm{grad}}\underline{V}=-i\vec{\underline{k}}\cdot \underline{V}\"<\/p>\n

\"\vec{\mathrm{rot}}\vec{\underline{A}}=-i\vec{\underline{k}}\wedge\vec{\underline{A}}\"<\/p>\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\n

Dans le vide, traduire les quatre \u00e9quations de Maxwell en formalisme complexe.<\/p>\n

M\u00e9thode 2.\u00a0\u00c9quation de dispersion<\/b><\/h3>\n

En combinant les diverses relations, on obtient une \u00e9quation ind\u00e9pendante des champs, en \"\underline{k}\", en g\u00e9n\u00e9ral du second degr\u00e9, dans laquelle interviennent les diff\u00e9rents param\u00e8tres du probl\u00e8me et la variable \"\omega\" : c’est l’\u00e9quation de dispersion.<\/p>\n

Remarque : dans le maniement des relations, on est souvent amen\u00e9 \u00e0 utiliser la formule du double produit vectoriel :<\/p>\n

\"\vec{u}\wedge(\vec{v}\wedge\vec{w})=(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}\"<\/p>\n

Sa r\u00e9solution donne en g\u00e9n\u00e9ral deux solutions complexes qui correspondent aux deux sens de propagation possibles pour l’onde. On note<\/p>\n

\"\underline{k}=k'+ik''\"<\/p>\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\n

\u00c9tablir l’\u00e9quation de dispersion pour les ondes \u00e9lectromagn\u00e9tiques dans le vide<\/a>.<\/p>\n

M\u00e9thode 3.\u00a0Type d’onde selon les signes de \"k'\" et \"k''\".<\/b><\/p>\n

Posons \"\vec{\underline{k}}=\underline{k}\vec{u}_x\"<\/p>\n

En injectant dans l’expression de la pseudo-OPPH, on a<\/p>\n

\"\displaystyle{\vec{\underline{A}}=\vec{\underline{A}}_0e^{k''x}e^{i(\omega t-k'x)}}\"<\/p>\n

soit en posant \"\displaystyle{\vec{\underline{A}}_0=\vec{A}_0e^{i\varphi}}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\vec{\underline{A}}=\vec{A}_0e^{k''x}e^{i(\omega t-k'x+\varphi)}}\"<\/p>\n

et en grandeurs r\u00e9elles<\/p>\n

\"\displaystyle{\vec{A}=\vec{A}_0e^{k''x}\cos(\omega t-k'x+\varphi)}\"<\/p>\n

On en d\u00e9duit<\/p>\n

* Si \"k''=0\", onde plane progressive harmonique non att\u00e9nu\u00e9e, non amplifi\u00e9e.<\/p>\n

* Si \"k'=0\", onde stationnaire, sans propagation, \u00e9vanescente si \"k''<0\" et \"x\" d\u00e9fini sur \"[a,+\infty[\"<\/p>\n

Si \"k'k''<0\" (cas le plus fr\u00e9quent), onde progressive att\u00e9nu\u00e9e.<\/p>\n

Si \"k'k''>0\" (cas rare mais pas impossible dans des conditions particuli\u00e8res, par exemple o\u00f9 le milieu donne de l’\u00e9nergie \u00e0 l’onde), onde progressive amplifi\u00e9e.<\/p>\n

Exemple<\/b><\/p>\n

L’\u00e9quation de dispersion s’\u00e9crit<\/p>\n

\"\underline{k}^2=k_0^2\left[1-i\varepsilon\right]\" avec \"k_0>0\" et \"\varepsilon\ll 1\".<\/p>\n

Donner la valeur approch\u00e9e de \"\underline{k}\" et pr\u00e9ciser le type d’onde.<\/p>\n

Vitesse de groupe, vitesse de phase en pr\u00e9pa<\/h2>\n

M\u00e9thode 1.\u00a0Calcul de \"v_g\" et de \"v_{\varphi}\".
\n<\/b><\/h3>\n

La vitesse de groupe est<\/p>\n

\"v_g=\frac{d\omega}{dk'}\"<\/p>\n

La vitesse de phase est<\/p>\n

\"v_{\varphi}=\frac{\omega}{k'}\"<\/p>\n

La vitesse de groupe est celle de propagation de l’enveloppe d’un paquet d’ondes ; la vitesse de phase est la vitesse de propagation d’un maximum de la porteuse \u00e0 l’int\u00e9rieur d’un paquet d’ondes. L’information se propage \u00e0 la vitesse de groupe. Il est donc possible que la vitesse de phase d\u00e9passe la c\u00e9l\u00e9rit\u00e9 de la lumi\u00e8re.<\/p>\n

Exemple<\/b><\/p>\n

La relation de dispersion dans le vide s’\u00e9crit \"k=\frac{\omega}{c_0}\". Exprimer les vitesses de groupe et de phase.<\/p>\n

M\u00e9thode 2.\u00a0Dispersion<\/b><\/h3>\n

Un milieu dispersif est caract\u00e9ris\u00e9 par une vitesse de phase qui d\u00e9pend de la pulsation. Dans ce cas, les diff\u00e9rentes composantes harmoniques du paquet d’ondes non monochromatique ne se propagent pas \u00e0 la m\u00eame vitesse. On observe alors l’\u00e9talement du paquet d’ondes.<\/p>\n

Exemple<\/b><\/p>\n

Le verre et l’eau sont des milieux transparents dispersifs pour les ondes \u00e9lectromagn\u00e9tiques, leur vitesse de phase vaut<\/p>\n

\"v_{\varphi}=\frac{c_0}{n(\omega)}\"<\/p>\n

avec (loi de Cauchy)<\/p>\n

\"n(\omega)=A+B\omega^2\"<\/p>\n

Quel ph\u00e9nom\u00e8ne bien connu traduit cette propri\u00e9t\u00e9 ?<\/p>\n

Plasma maths sp\u00e9 : m\u00e9thodes<\/h2>\n

M\u00e9thode 1.\u00a0Traduire les hypoth\u00e8ses du plasma pour d\u00e9finir sa loi constitutive.\u00a0<\/b><\/h3>\n

Un plasma est suppos\u00e9 neutre, dilu\u00e9, peu dense, non relativiste.<\/p>\n

* Il est neutre donc \"\rho=0\"<\/p>\n

* On n\u00e9glige le poids de l’\u00e9lectron devant la force \u00e9lectrique qu’il subit.<\/p>\n

* Il est dilu\u00e9 donc on n\u00e9glige la force de frottement devant la force \u00e9lectrique<\/a>.<\/p>\n

* Il est dilu\u00e9 donc l’onde qui s’y propage est proche de l’onde dans le vide, donc en ordres de grandeur \"E\simeq c_0 B\". On en d\u00e9duit, que<\/p>\n

\"\displaystyle{\frac{\|e\vec{v}\wedge\vec{B}\|}{\|e\vec{E}\|}\simeq\frac{v}{c_0}\ll 1}\" car les \u00e9lectrons sont non relativistes.<\/p>\n

* Le PFD appliqu\u00e9 \u00e0 l’\u00e9lectron donne donc<\/p>\n

\"m_e\frac{d\vec{v}}{dt}=-e\vec{E}\"<\/p>\n

* On passe en formalisme complexe, on d\u00e9finit la densit\u00e9 \"n_0\" d’\u00e9lectrons par m\u00e8tre cube et on n\u00e9glige le courant ionique devant le courant \u00e9lectronique<\/a>.<\/p>\n

\"\vec{\underline{j}}=n_0(-e)\vec{\underline{v}}=\frac{n_0e^2}{i\omega m}\vec{\underline{E}}\"<\/p>\n

donc \"\vec{\underline{j}}=\underline{\gamma}\vec{\underline{E}}\"<\/p>\n

o\u00f9 \"\underline{\gamma}\" est la conductivit\u00e9 complexe du plasma.<\/p>\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\n

Quel est le rapport entre le courant ionique et le courant \u00e9lectronique pour un plasma d’hydrog\u00e8ne ?<\/p>\n

M\u00e9thode 2.\u00a0\u00c9quation de dispersion du plasma<\/b><\/h3>\n

On applique la m\u00e9thode indiqu\u00e9e dans la partie 1 de cette fiche. On obtient apr\u00e8s calculs<\/p>\n

\"\displaystyle{\underline{k}^2=\frac{\omega^2-\omega_p^2}{c_0^2}}\"<\/p>\n

avec \"\displaystyle{\omega_p=\sqrt{\frac{n_0e^2}{\varepsilon_0m_e}}}\" pulsation plasma.<\/p>\n

On distingue donc deux cas.<\/p>\n

* Si \"\omega<\omega_p\", il y a une onde \u00e9vanescente.<\/p>\n

* Si \"\omega>\omega_p\", il y a propagation sans att\u00e9nuation.<\/p>\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\n

Exprimer la distance caract\u00e9ristique d’att\u00e9nuation de l’onde \u00e9vanescente dans le cas \"\omega<\omega_p\"<\/p>\n

M\u00e9thode 3.\u00a0Propagation dans le plasma<\/b><\/h3>\n

On calcule ais\u00e9ment \"v_g\" et \"v_{\varphi}\" dans le plasma pour \"\omega>\omega_p\".<\/p>\n

On constate que \"v_g\cdot v_{\varphi}=c_0^2\" avec \"v_g<c_0<v_{\varphi}\"<\/p>\n

On peut d\u00e9finir l’indice de r\u00e9fraction du plasma \"n=\frac{v_{\varphi}}{c_0}\" et faire une \u00e9tude g\u00e9om\u00e9trique de propagation des rayons, mettre en \u00e9vidence, en particulier, un angle limite de r\u00e9fraction.<\/p>\n

Exemple.<\/b><\/p>\n

Donner les expressions des vitesses de groupe et de phase dans le plasma dans le cas \"\omega>\omega_p\"<\/p>\n

Pour plus de cours et plus d’exercices, d\u00e9couvrez les autres cours en ligne de physique-chimie en PSI<\/a>, les cours en ligne de physique-chimie en PT<\/a> ainsi que les cours en ligne de physique-chimie en MP<\/a> sur le site. Pour ce qui est des PC, les cours en ligne de physique en PC<\/a> et les cours en ligne de PC en chimie<\/a> sont \u00e9galement disponibles.<\/p>\n

OEM dans les conducteurs ohmiques<\/h2>\n

M\u00e9thode 1.\u00a0\u00c9quations de Maxwell dans un conducteur ohmique en r\u00e9gime lentement variable<\/b><\/h3>\n

Le \u00ab\u00a0r\u00e9gime lentement variable\u00a0\u00bb correspond \u00e0 des fr\u00e9quences inf\u00e9rieures \u00e0 \"10^{15}~\mathrm{Hz}\" environ pour un bon conducteur ohmique de conductivit\u00e9<\/p>\n

\"\gamma\simeq 10^7~\mathrm{S\cdot m^{-1}}\"<\/p>\n

Sous cette hypoth\u00e8se, le milieu est localement neutre, et le courant de d\u00e9placement est n\u00e9gligeable devant le courant \u00e9lectronique.<\/p>\n

On en d\u00e9duit<\/p>\n

\"\mathrm{div}\vec{E}=0\" et \"\mathrm{div}\vec{B}=0\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\vec{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}}\"<\/p>\n

et \"\displaystyle{\vec{\mathrm{rot}}\vec{B}=\mu_0\vec{j}=\mu_0\gamma\vec{E}}\"<\/p>\n

Exemple<\/b><\/p>\n

V\u00e9rifier la n\u00e9gligeabilit\u00e9 du courant de d\u00e9placement devant le courant \u00e9lectronique avec les valeurs propos\u00e9es.<\/p>\n

On donne \"\varepsilon_0=8,854\cdot 10^{-12}~\mathrm{F\cdot m^{-1}}\"<\/p>\n

M\u00e9thode 2.\u00a0\u00c9quation de dispersion dans le conducteur ohmique, effet de peau<\/b><\/h3>\n

On applique la m\u00e9thode indiqu\u00e9e dans la partie 1 de cette fiche. On obtient apr\u00e8s calculs<\/p>\n

\"\displaystyle{\underline{k}^2=-i\mu_0\gamma\omega}\"<\/p>\n

donc en gardant la solution de partie r\u00e9elle positive<\/p>\n

\"\displaystyle{\underline{k}=\sqrt{\frac{\mu_0\gamma\omega}{2}}-i\sqrt{\frac{\mu_0\gamma\omega}{2}}}\"<\/p>\n

Il y a donc propagation att\u00e9nu\u00e9e avec une distance caract\u00e9ristique d’att\u00e9nuation appel\u00e9e \u00e9paisseur de peau<\/p>\n

\"\displaystyle{\delta=-\frac1{k''}=\sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}}}\"<\/p>\n

Exemple.<\/b><\/p>\n

Calculer l’\u00e9paisseur de peau pour une onde radio de fr\u00e9quence \"f=162~\mathrm{kHz}\" dans un conducteur ohmique de conductivit\u00e9 \"\gamma=1,0\cdot 10^6~\mathrm{S\cdot m^{-1}}\". On donne \"\mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}~\mathrm{H\cdot m^{-1}}\"<\/p>\n

R\u00e9visez, entrainez-vous et v\u00e9rifiez vos connaissances sur les autres chapitres au programme de physique-chimie en maths sp\u00e9, pour \u00eatre s\u00fbr de r\u00e9ussir les concours :<\/p>\n