{"id":27173,"date":"2019-05-28T09:33:06","date_gmt":"2019-05-28T08:33:06","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27173"},"modified":"2024-02-06T17:19:51","modified_gmt":"2024-02-06T16:19:51","slug":"cours-en-ligne-physique-quantique-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-physique-quantique-maths-spe\/","title":{"rendered":"Physique quantique en maths sp\u00e9"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Physique-Chimie en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Physique-Chimie en MP, PSI, PC, MPI, TSI, PT<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tDiffusion thermique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tConducteurs ohmiques<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tThermochimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9f\u00e9rentiels non galil\u00e9ens<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectrostatique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tMagn\u00e9tostatique et induction<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOndes dans le vide<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOndes dans les milieux<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPhysique quantique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tOptique physique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tPhysique statistique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectronique et signal<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\u00c9lectrochimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours sur physique quantique en MP, PSI, PC, MPI<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Ce cours de physique chimie gratuit sp\u00e9cialement con\u00e7u pour les \u00e9tudiants en maths sp\u00e9 vous sera tr\u00e8s utile pour \u00e9tudier la physique quantique. Au cours du cours en ligne de physique-chimie, nous aborderons les concepts suivants : Solutions stationnaires, grandeurs \"\psi\", \"\rho\" et \"\vec{J}\", paquet d’ondes, potentiel constant par morceaux et oscillations quantiques. Si vous souhaitez am\u00e9liorer vos notes, nous vous encourageons vivement \u00e0 envisager nos cours \u00e0 domicile en physique chimie<\/a>.<\/p>\n

Solutions stationnaires en maths sp\u00e9<\/h2>\n

M\u00e9thode 1.\u00a0S\u00e9paration des variables<\/b><\/h3>\n

Dans l’\u00e9quation de Schr\u00f6dinger (EDS en abr\u00e9g\u00e9) unidimensionnelle pour une particule sans spin et dans un champ d’\u00e9nergie potentielle ind\u00e9pendante du temps<\/p>\n

\"\displaystyle{i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\psi(x,t)}\"<\/p>\n

On cherche une solution stationnaire<\/p>\n

\"\psi(x,t)=u(t)\cdot\varphi(x)\"<\/p>\n

On injecte cette expression dans EDS, on divise par \"\psi(x,t)\" et on obtient<\/p>\n

\"\displaystyle{i\hbar\frac{u'(t)}{u(t)}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)}+V(x)}\"<\/p>\n

Cette \u00e9galit\u00e9 entre deux termes dont l’un ne d\u00e9pend que de \"t\" et l’autre que de \"x\" implique leur \u00e9galit\u00e9 \u00e0 une constante ind\u00e9pendante de \"t\" et de \"x\", homog\u00e8ne \u00e0 \"V(x)\", on l’identifie \u00e0 l’\u00e9nergie \"E\" de la particule. On en d\u00e9duit<\/p>\n

\"\displaystyle{u'()+i\frac{E}{\hbar} u(t)=0}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\varphi''(x)+\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-V(x)\right)\varphi(x)=0}\"<\/p>\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\n

\u00c9tablir l’expression de \"u(t)\". On prendra, en justifiant, la constante d’int\u00e9gration \u00e9gale \u00e0 1. En d\u00e9duire la relation de Planck-Einstein.<\/p>\n

M\u00e9thode 2.\u00a0R\u00e9solution de l’EDS spatiale pour un potentiel constant<\/b><\/h3>\n

On pose \"V(x)=V_0\"<\/p>\n

* Si \"E>V_0\" alors<\/p>\n

\"\varphi(x)=A\exp(ikx)+B\exp(-ikx)\"<\/p>\n

*Si \"E<V_0\" alors<\/p>\n

\"\varphi(x)=A\exp\frac{x}{\delta}+B\exp\left(-\frac{x}{\delta}\right)\"<\/p>\n

Exemple.<\/b><\/p>\n

Donner les expressions de<\/p>\n

* la pulsation spatiale \"k\" dans le cas \"E>V_0\"<\/p>\n

* l’\u00e9paisseur de peau \"\delta\" si \"E<V_0\"<\/p>\n

M\u00e9thode 3.\u00a0Interpr\u00e9ter les solutions stationnaires de l’EDS<\/b><\/h3>\n

* La solution<\/p>\n

\"\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t-kx)\right)\"<\/p>\n

est une onde progressive dans le sens des \"x\" croissants<\/p>\n

* La solution<\/p>\n

\"\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t+kx)\right)\"<\/p>\n

est une onde progressive dans le sens des \"x\" d\u00e9croissants<\/p>\n

* La solution<\/p>\n

\"\psi(x,t)=A\exp(\pm kx)\left(-i\omega t)\right)\"<\/p>\n

est une onde stationnaire<\/a> (parfois qualifi\u00e9e d’\u00e9vanescente selon le sens pour \"x\" et le signe devant \"k\").<\/p>\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\n

Pourquoi dit-on que<\/p>\n

\"\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t-kx)\right)\"<\/p>\n

est progressive dans le sens des \"x\" croissants ?<\/p>\n

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PRENDRE DES COURS DE PHYSIQUE CHIMIE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C\u2019est comprendre et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de physique chimie<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Grandeurs \"\psi\", \"\rho\" et \"\vec{J}\"<\/h2>\n

M\u00e9thode 1.\u00a0Densit\u00e9 de probabilit\u00e9 de pr\u00e9sence<\/b><\/h3>\n

\"\psi(x,t)\" est une grandeur complexe ondulatoire<\/a>. Le carr\u00e9 de sa norme est la densit\u00e9 lin\u00e9ique de probabilit\u00e9 de pr\u00e9sence<\/p>\n

\"\rho(x,t)=\psi(x,t)\cdot\psi^*(x,t)\"<\/p>\n

o\u00f9 l’\u00e9toile d\u00e9signe le conjugu\u00e9. Par d\u00e9finition<\/p>\n

\"\displaystyle{\rho(x,t)=\frac{dP([x,x+dx],t)}{dt}}\"<\/p>\n

o\u00f9 \"dP([x,x+dx],t)\" est la probabilit\u00e9 que la particule se trouve dans l’intervalle \"[x,x+dx]\" \u00e0 la date \"t\".<\/p>\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\n

Montrer que pour une solution stationnaire<\/p>\n

\"\psi(x,t)=u(t)\varphi(x)\" de EDS, la densit\u00e9 lin\u00e9ique de probabilit\u00e9 de pr\u00e9sence ne d\u00e9pend pas de \"t\"<\/p>\n

M\u00e9thode 2.\u00a0Normalisation et calcul d’une probabilit\u00e9 de pr\u00e9sence sur un intervalle<\/b><\/h3>\n

La probabilit\u00e9 est normalis\u00e9e<\/p>\n

\"\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x,t)dx=1}\"<\/p>\n

La probabilit\u00e9 de pr\u00e9sence de la particule dans l’intervalle \"[a,b]\" est<\/p>\n

\"\displaystyle{P([a,b],t)=\int_{x=a}^b\rho(x,t)dx}\"<\/p>\n

Exemple.\u00a0<\/b><\/p>\n

Calculer la norme du complexe \"A\" pour la solution stationnaire<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=A\exp(-i\omega t)\sin\left(n\frac{\pi x}{a}\right)}\" pour \"x\in[0,a]\"<\/p>\n

et \"\psi(x,t)=0\" partout ailleurs.<\/p>\n

M\u00e9thode 3.\u00a0Vecteur densit\u00e9 de courant de probabilit\u00e9 de pr\u00e9sence<\/b><\/h3>\n

Pour une onde progressive<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t-kx)\right)}\"<\/p>\n

le vecteur densit\u00e9 de courant de probabilit\u00e9 de pr\u00e9sence est<\/p>\n

\"\displaystyle{\vec{J}(x,t)=\psi(x,t)\psi^*(x,t)\frac{\hbar k}{m}\vec{u}_x}\"<\/p>\n

\"\displaystyle{\vec{J}(x,t)=\rho(x)\frac{\hbar k}{m}\vec{u}_x}\"<\/p>\n

Exemple.<\/b><\/p>\n

Quelle est l’unit\u00e9 de \"\vec{J}\" ? En d\u00e9duire son sens physique.<\/p>\n

Paquet d’ondes en MP, PC, PSI, MPI<\/h2>\n

M\u00e9thode 1.\u00a0\u00c9tude d’un paquet d’ondes pour une particule libre<\/b><\/h3>\n

Une particule libre est soumise \u00e0 \"V_0=0\" pour tout \"x\" et d’\u00e9nergie \"E>0\".<\/p>\n

La solution stationnaire<\/p>\n

\"\displaystyle{\psi(x,t)=A\exp\left(-i(\omega t-kx)\right)}\"<\/p>\n

avec \"\displaystyle{k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}}\" et \"E=\hbar\omega\" n’est pas normalisable. La particule est assimil\u00e9e \u00e0 un paquet d’ondes d’extension spatiale \"\Delta x\" et de largeur spectrale \"\Delta k\".<\/p>\n

Un r\u00e9sultat de la th\u00e9orie spectrale de Fourier donne \"\Delta x\cdot\Delta k\simeq 2\pi\"<\/p>\n

La vitesse de la particule s’identifie \u00e0 la vitesse de l’enveloppe du paquet d’ondes, donc \u00e0 la vitesse de groupe<\/p>\n

\"\displaystyle{v_g=\frac{d\omega}{dk}=\sqrt{\frac{2\hbar\omega}{m}}}\"<\/p>\n

D\u00e9monstrations de cours<\/b><\/p>\n

D\u00e9montrer les trois r\u00e9sultats fondamentaux suivants.<\/p>\n

1. Relation de de Broglie :\u00a0 en notant \"\vec{p}\" la quantit\u00e9 de mouvement de la particule<\/p>\n

\"\vec{p}=\hbar\vec{k}\" donc \"\displaystyle{p=\frac{h}{\lambda}}\"<\/p>\n

2. In\u00e9galit\u00e9 de Heisenberg spatiale<\/p>\n

\"\Delta x\Delta p\simeq h\"<\/p>\n

3. \u00c9nergie cin\u00e9tique<\/p>\n

\"\displaystyle{E=\frac{p^2}{2m}}\"<\/p>\n

M\u00e9thode 2.\u00a0Densit\u00e9 de courant de probabilit\u00e9 de pr\u00e9sence pour une particule libre.\u00a0<\/b><\/h3>\n

En utilisant la relation de de Broglie<\/p>\n

\"\vec{J}=\rho\vec{v}_g\"<\/p>\n

Exemple.<\/b><\/p>\n

V\u00e9rifier sur cette expression l’unit\u00e9 et le sens physique de \"\vec{J}\" (voir partie 2, m\u00e9thode 3).<\/p>\n

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UN APPRENTISSAGE DYNAMIQUE ET COMPLET EN PHYSIQUE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Le confort de l'apprentissage chez vous<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de physique<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Potentiel constant par morceaux<\/h2>\n

M\u00e9thode 1.\u00a0Solution stationnaire par morceaux<\/b><\/h3>\n

Le potentiel<\/a> est constant par morceaux, il forme une fonction en escaliers sur la droite r\u00e9elle. Soit \"E\" l’\u00e9nergie et \"m\" la masse d’une particule.<\/p>\n

Pour chaque intervalle, on distingue deux cas.<\/p>\n

* Si \"E>V\", on pose \"\displaystyle{k=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}}}\" et<\/p>\n

\"\psi(x,t)=\exp(-i\omega t)\"<\/p>\n

\"\left[A\exp(ikx)+B\exp(-ikx)\right]\"<\/p>\n

soit \"\psi(x,t)=A\exp(-i(\omega t-kx))\"<\/p>\n

\"+B\exp(-i(\omega t+kx)\"<\/p>\n

qu’on interpr\u00e8te par la superposition de deux ondes harmoniques se propageant dans le sens croissant et dans le sens d\u00e9croissant des \"x\".<\/p>\n

* SI \"E<V\", on pose \"\displaystyle{\delta=\sqrt{\frac{\hbar^2}{2m(V-E)}}}\" et<\/p>\n

\"\psi(x,t)=\exp(-i\omega t)\"<\/p>\n

\"\left[A\exp\left(-\frac{x}{\delta}\right)+B\exp\frac{x}{\delta}\right]\"<\/p>\n

En particulier, si \"V=+\infty\", \"\psi(x,t)=0\"<\/p>\n

On a donc deux constantes pour chaque intervalle. On \u00e9crit les relations de continuit\u00e9 en chaque point de discontinuit\u00e9 du potentiel.<\/p>\n

* \"\varphi(x)\" est toujours continue<\/p>\n

* Si la hauteur de la discontinuit\u00e9 du potentiel est finie, \"\varphi'(x)\" est continue.<\/p>\n

Exemple.<\/b><\/p>\n

Le puits de potentiel infini est form\u00e9 par<\/p>\n

\"V(x)=0\" si \"x\in[0,a]\" et \"V(x)=+\infty\" ailleurs.<\/p>\n

D\u00e9terminer la solution g\u00e9n\u00e9rale (en supposant \"E>0\") et les deux relations de continuit\u00e9 (sans r\u00e9soudre le syst\u00e8me).<\/p>\n

M\u00e9thode 2.\u00a0Exploiter les relations pour prouver la quantification de l’\u00e9nergie<\/b><\/h3>\n

Il est parfois possible d’\u00e9liminer les constantes entre les relations de continuit\u00e9, et d’en d\u00e9duire une relation entre les pulsations spatiales (\"k\") et les \u00e9paisseurs de peau (\"\delta\") dans les diff\u00e9rents intervalles. Comme ces grandeurs ne d\u00e9pendent que de \"E\" et des diff\u00e9rents param\u00e8tres (les valeurs des potentiels et \"m\"), on en d\u00e9duit une \u00e9quation dont l’unique inconnue est \"E\".<\/p>\n

La pr\u00e9sence d’exponentielles complexes dans cette \u00e9quation conduit \u00e0 des \u00e9quations trigonom\u00e9triques, qui admettent des solutions discr\u00e8tes, d’o\u00f9 quantification de \"E\". Il est fr\u00e9quent qu’on recoure \u00e0 une r\u00e9solution graphique.<\/p>\n

Exemple.<\/b><\/p>\n

Expliciter les valeurs quantifi\u00e9es de \"k\", \"E\" et \"\omega\" pour la particule dans le puits de potentiel infini.<\/p>\n

M\u00e9thode 3.\u00a0Exploiter les relations pour calculer un coefficient de r\u00e9flexion<\/b><\/h3>\n

Le cas d’\u00e9cole est la marche de potentiel.<\/p>\n

En un point de discontinuit\u00e9, on d\u00e9termine le rapport entre le coefficient complexe de l’onde complexe \u00ab\u00a0r\u00e9fl\u00e9chie\u00a0\u00bb qui se propage dans le sens des \"x\" d\u00e9croissants et celui de l’onde complexe \u00ab\u00a0incidente\u00a0\u00bb qui se propage dans le sens des \"x\" croissants.<\/p>\n

On en d\u00e9duit le coefficient de r\u00e9flexion en densit\u00e9s de courant entre l’onde r\u00e9fl\u00e9chie et l’onde incidente.<\/p>\n

Exemple<\/b><\/p>\n

Une particule d’\u00e9nergie \"E\" et de masse \"m\" aborde une marche de potentiel<\/p>\n

(\"V(x)=0\" pour \"x\" n\u00e9gatif)<\/p>\n

\"\rightarrow\" (\"V(x)=V_0<E\" pour \"x\" positif).<\/p>\n

D\u00e9terminer le coefficient de r\u00e9flexion et de transmission de l’onde en fonction de<\/p>\n

\"\displaystyle{k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}}\"<\/p>\n

et \"\displaystyle{k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}}\"<\/p>\n

On supposera que les particules arrivent de \"-\infty\"<\/p>\n

Restez motiv\u00e9s et entrainez-vous gr\u00e2ce aux autres cours en ligne de Maths Sp\u00e9 \u00e0 votre disposition, comme les cours en ligne de physique-chimie en MP<\/a>, ou bien les cours en ligne de physique-chimie en PSI<\/a> et bien s\u00fbr, les cours en ligne de physique-chimie en PT<\/a>. Pour vous, les \u00e9tudiants de PC, r\u00e9visez sur les cours en ligne de chimie de PC<\/a> ainsi que sur les cours en ligne de physique en PC<\/a>.<\/p>\n

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STAGE INTENSIF EN PR\u00c9PA SCIENTIFIQUE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Profite de tes vacances pour progresser en vue des concours.<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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96%<\/span><\/strong> \u00a0de r\u00e9ussite aux concours<\/span>
44%<\/strong><\/span> dans le TOP 10<\/span>
99%<\/span><\/strong> de recommandation<\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tStage pr\u00e9pa<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Oscillations quantiques<\/h2>\n

M\u00e9thode.\u00a0Expliciter la superposition de deux solutions stationnaires et observer qu’elle n’est pas stationnaire<\/b><\/h3>\n

On forme la superposition de deux solutions stationnaires d’\u00e9nergies diff\u00e9rentes \"E_1\" et \"E_2\"<\/p>\n

\"\psi(x,t)=\psi_1(x,t)+\psi_2(x,t)\"<\/p>\n

On exprime la densit\u00e9 de probabilit\u00e9<\/p>\n

\"\rho(x,t)=\psi(x,t)\psi^*(x,t)\"<\/p>\n

On met en \u00e9vidence les termes carr\u00e9s<\/p>\n

\"\rho_1(x)\" et \"\rho_2(x)\"<\/p>\n

qui sont ind\u00e9pendants du temps<\/p>\n

et la somme des termes rectangles qui s’exprime par une fonction cosinuso\u00cfdale du temps, de pulsation<\/p>\n

\"\displaystyle{\omega_{1,2}=\frac{|E_1-E_2|}{\hbar}}\"<\/p>\n

D\u00e9monstration de cours que les oscillations quantiques<\/b><\/h3>\n

D\u00e9montrer la propri\u00e9t\u00e9 \u00e9nonc\u00e9e.<\/p>\n

L’ann\u00e9e de maths sp\u00e9 est tr\u00e8s courte et les concours arrivent tr\u00e8s vite, d’intenses et r\u00e9guli\u00e8res r\u00e9visions sont donc indispensables. Revoyez par exemple, les chapitres suivants au programme de physique-chimie en maths sp\u00e9 :<\/p>\n