{"id":27248,"date":"2019-05-28T15:25:22","date_gmt":"2019-05-28T14:25:22","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27248"},"modified":"2023-09-15T13:26:46","modified_gmt":"2023-09-15T12:26:46","slug":"cours-en-ligne-series-entieres-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-series-entieres-maths-spe\/","title":{"rendered":"S\u00e9ries num\u00e9riques : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S\u00e9ries enti\u00e8res en Maths Sp\u00e9<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercice et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – S\u00e9ries enti\u00e8res<\/h2>\n

1. Trouver le rayon de convergence \"R\" de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n\, x^n\" ?<\/h2>\n
\n

Il faut avoir en m\u00e9moire la repr\u00e9sentation suivante, si \"\sum a_n \, x^n\" a un rayon de convergence \"R> 0\"\u00a0 :<\/p>\n

\"S\u00e9ries<\/p>\n

A la question : d\u00e9finition du rayon de convergence<\/b>\u00a0\"R\"\u00a0 de \"\sum a_n \, x^n\" la r\u00e9ponse attendue est :
\n\"R\" est la borne sup\u00e9rieure de l’ensemble \"\quad \{ r \geq 0 \, /\, (a_n \, r^n)_n \textrm{ est bornée} \}\"
\nsi cet ensemble est major\u00e9 et \"R = +\infty\" sinon.<\/p>\n

Le dessin pr\u00e9c\u00e9dent donne lorsque \"R\" est fini et \"z \in \mathbb{C}\"\u00a0 :<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\vert z \vert < R\",
\n\"\ast\" \"\sum a_n \, z^n\" converge absolument
\n\"\ast\" \"\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n \, z^n = 0\"
\n\"\ast\" la suite \"(a_n\; z^n)_n\" est born\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\vert z \vert > R\",
\n\"\ast\" \"\sum a_n \, z^n\" diverge grossi\u00e8rement
\n\"\ast\" la suite \"(a_n\, z^n )_n\" ne converge pas vers \"0\"
\n\"\ast\" la suite \"(a_n \, z^n)_n\" n’est pas born\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\vert z\vert = R\",
\nl’\u00e9tude est \u00e0 faire selon la valeur de la suite \"(a_n)_n\", on peut avoir :
\n\"\ast\" convergence en tout \"z\"
\n(exemple \"a_n = 1/n^2\")
\n\"\ast\" convergence en certains \"z\" et divergence en d’autres \"z\"
\n(exemple \"a_n = 1/n\")
\n\"\ast\" divergence pour tout \"z\"
\n(exemple \"a_n = 1\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Par double in\u00e9galit\u00e9 :
\n\"\ast\" S’il existe \"x_0\" tel que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n \,x_0^n\" converge : \"R \geq \vert x_0 \vert\".
\n\"\ast\" S’il existe \"x_0\" tel que la suite \"(a_n \, x_0^n)_n\" soit born\u00e9e\u00a0 : \"R \geq \vert x_0 \vert\".
\n\"\ast\" S’il existe \"x_1\" tel que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n \, x_1^n\" diverge : \"R \leq \vert x_1 \vert\".
\n\"\ast\" S’il existe \"x_1\" tel que la suite \"a_n \, x_1^n\" ne soit pas born\u00e9e : \"R \leq \vert x_1 \vert\".<\/p>\n

Tracer le disque de convergence et placer le point d’affixe \"x_0\" dans le disque ferm\u00e9 de centre \"0\" et de rayon \"R\" et le point d’affixe \"x_1\" \u00e0 l’ext\u00e9rieur du disque ouvert de convergence.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Par utilisation de la r\u00e8gle de d’Alembert
\nM2.1.<\/b>\u00a0Il vaut mieux faire la d\u00e9monstration compl\u00e8te \u00e0 partir de la r\u00e8gle de d’Alembert pour les s\u00e9ries num\u00e9riques\u00a0 :
\nOn v\u00e9rifie que \"\forall \, n \in \mathbb{N} ,\, a_n \neq 0\", on d\u00e9montre que le quotient \"\displaystyle \left \vert \frac {a_{n+1}\, x^{n + 1}} {a_{n}\, x^{n}}\right \vert\" o\u00f9 \"x \neq 0\" admet une limite que l’on met en \u00e9vidence.
\n\"\ast\" Si cette limite est nulle, \"\sum a_n\, x^n\" converge pour tout \"x\", donc \"R = +\infty\".
\n\"\ast\" Si cette limite est \u00e9gale \u00e0 \"q \, \vert x\vert\" avec \"q > 0\", \"\sum a_n \, x^n\" converge si \"\vert x \vert < 1/q\" et diverge si \"\vert x \vert > 1/q\", donc \"R = 1/q\".
\nM2.2.<\/b>\u00a0En utilisant la forme suivante \u00e0 la limite du programme :
\nOn v\u00e9rifie que \"\forall \, n \in \mathbb{N} ,\, a_n \neq 0\", on d\u00e9montre que le quotient \"\displaystyle \left \vert \frac {a_{n+1}} {a_{n}}\right \vert\" admet une limite \"L\" que l’on met en \u00e9vidence.
\n\"\ast\" Si \"L > 0\", \"R = 1/L\".
\n\"\ast\" Si \"L = 0\", \"R = +\infty\".<\/p>\n

Important : la r\u00e8gle de d’Alembert ne peut servir qu’\u00e0 d\u00e9terminer un rayon de convergence, elle n’est d’aucune utilit\u00e9 lorsque l’on conna\u00eet le rayon de convergence de \"\sum a_n x^n\" .
\nNe pas oublier de pr\u00e9ciser que \"x \neq 0\" en utilisant M2.1.
\nIl est indispensable d’utiliser M2.1. pour les s\u00e9ries dites \u00ab\u00a0lacunaires\u00a0\u00bb (par exemple si les \"a_{2n}\" sont nuls ou si les \"a_{2n+1}\" sont nuls).<\/p>\n

La r\u00e8gle de d’Alembert est assez efficace lorsque \"a_n\" est un produit de facteurs.
\nLorsque \"a_n\" est \u00ab\u00a0compliqu\u00e9e\u00a0\u00bb,\u00a0 il vaut mieux chercher avant un \u00e9quivalent simple \"b_n\" de \"a_n\". On rappelle que \"\sum a_n \, x^n\" et \"\sum b_n \, x^n\" ont alors m\u00eame rayon de convergence.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Par comparaison \u00e0 une s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"b_n\, x^n\" dont on conna\u00eet le rayon de convergence \"R'\" :
\n\"\ast\"\u00a0M3.1.<\/b>\u00a0si \"\forall \, n \in \mathbb{N}\" , \"\vert a_n \vert \leq \vert b_n \vert\" : \"R \geq R'\"
\n\"\ast\"\u00a0M3.2.<\/b>\u00a0si \"a _n \underset {n \to +\infty}{ = } \textrm{O} (b_n)\" : \"R \geq R'\"
\n\"\ast\"\u00a0M3.3.<\/b>\u00a0si \"a _n \underset {n \to +\infty}\sim b_n\" : \"R = R'\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4-\u00a0<\/b>Par utilisation des op\u00e9rations sur les s\u00e9ries enti\u00e8res :
\n\"\ast\"\u00a0M4.1.<\/b>\u00a0Si \"\sum a_n\, x^n\" et \"\sum b_n\, x^n\" ont pour rayons de convergence respectifs \"R\" et \"R'\", le rayon de convergence \"R''\" de\u00a0 \"\sum (a_n + b_n)\, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 \"\min(R , \, R')\" lorsque \"R \neq R'\" et sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"R\" lorsque \"R = R'\".
\n\"\ast\"\u00a0M4.2.\u00a0<\/b>Si \"\sum a_n\, x^n\" et \"\sum b_n\, x^n\" ont pour rayons de convergence respectifs \"R\" et \"R'\", le rayon de convergence \"R''\" de la s\u00e9rie\u00a0 produit de Cauchy, \"\sum c_n\, x^n\" o\u00f9 \"\displaystyle c_n = \sum _{k = 0} ^n a_k \, b_{n - k} \,\", est sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"\min(R , R')\".
\n\"\ast\"\u00a0M4.3.<\/b>\u00a0Il y a conservation du rayon de convergence par d\u00e9rivation ou int\u00e9gration terme \u00e0 terme.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b> Si l’on conna\u00eet les rayons de convergence \"R_1\" et \"R_2\" de \"\sum a_{2n} \, x^{2n}\" et de \"\sum a_{2n+1} \, x^{2n+1}\", le rayon \"R\" de convergence de \"\sum a_{n} \, x^{n}\" est \u00e9gal \u00e0 \"R = \min(R_1 , \, R_2)\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n<\/div>\n

2.\u00a0Comment utiliser les propri\u00e9t\u00e9s de la somme d’une s\u00e9rie enti\u00e8re de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n \, x^n\" de rayon de convergence \"R > 0\" ? <\/strong><\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0P1.<\/b>\u00a0La s\u00e9rie de fonctions \"x \mapsto a_n \, x^n\" est normalement convergente sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence \"]- R ,\, R[\".
\n\"\bullet\"\u00a0P1B.\u00a0\u00a0<\/b>La s\u00e9rie de fonctions \"z \mapsto a_n \, z^n\" est normalement convergente sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence \"\{ z \in \mathbb{C}, \, /\, \vert z \vert < R \}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P2.<\/b>\u00a0La somme de la s\u00e9rie est continue sur l’intervalle ouvert de convergence et sur le disque ouvert de convergence.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P3.\u00a0<\/b>Si \"R > 0\" est le rayon de convergence de \"\sum a_n \, x^n\" et si \"\sum \vert a_n \vert \, R^n\" converge, la somme \"S\" est continue sur \"[ - R, \, R]\".
\nLa d\u00e9monstration est obligatoire.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P4.\u00a0<\/b>La somme \"S\" de la s\u00e9rie est de classe \"C^{\infty}\" sur l’intervalle \"]-R , R[\" et on obtient sa d\u00e9riv\u00e9e en d\u00e9rivant terme \u00e0 terme la somme de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n \, x^n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P5.<\/b>\u00a0On peut calculer les d\u00e9riv\u00e9es successives en \"0\" de la somme \"S\" de la s\u00e9rie enti\u00e8re de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n \, x^n\" :
\n\"S^{(n)} (0) = n! \; a_n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P6.<\/b>\u00a0On obtient une primitive de la somme \"S\" de la s\u00e9rie sur \"]-R , \, R[\" en int\u00e9grant terme \u00e0 terme la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n \, x^n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P7.<\/b>\u00a0On peut intervertir le signe \"\sum\" et le signe \"\int\" sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence
\npour tout \"(c ,\, d) \in \; ]- R , R[ ^2\", \"\quad \displaystyle \int_c^d \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \, t ^n\, \textrm{d} \, t = \sum _{n = 0} ^{\infty} \int _c ^d a_n \, t ^n \, \textrm{d} \, t\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P8.<\/b>\u00a0Unicit\u00e9 des coefficients du d\u00e9veloppement en s\u00e9rie enti\u00e8re :
\ns’il existe \"\alpha > 0\" tel que \"\displaystyle \forall x \in \; ]-\alpha , \alpha[, \; \sum _{n = 0} ^{+\infty} a_n \, x^n = \sum _{n = 0} ^{+\infty} b_n \, x^n\"\u00a0 pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"a_n = b_n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P9.<\/b>\u00a0Pour d\u00e9montrer qu’une fonction \"f\" est de classe \"C^{\infty}\" au voisinage de \"0\", il suffit de prouver que \"f\" est la somme d’une s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"]- \alpha , _, \alpha[\".
\nC’est utilisable en particulier pour \"\quad x \mapsto \displaystyle \frac {\sin(x)} x\", \"\quad x \mapsto \displaystyle \frac {1 - \cos(x)} {x^2}\", \"\quad x \mapsto \displaystyle \frac {\ln(1 + x)} x\", \"\quad x \mapsto \displaystyle \frac {\textrm{e}^{ x} - 1 } x\"
\n(avec d\u00e9monstration et en prolongeant par continuit\u00e9 la fonction en 0).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P10.\u00a0<\/b>On peut en d\u00e9duire le d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"n\" au voisinage de \"0\" de \"f\" :
\nsi pour \"x \in\; ]-R , R[\" o\u00f9 \"R > 0\", \"f(x) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \, x ^n\", alors \"\quad \quad \displaystyle f(x) \underset {x \to 0} { = } \sum_{k = 0} ^{n} a_k \, x ^k + o(x^n)\".<\/p>\n

3. Comment d\u00e9montrer qu’une fonction \"f\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"] - \alpha , \, \alpha[\" ?<\/strong><\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>En utilisant la\u00a0formule de Taylor<\/b>\u00a0:
\n\"\ast\"\u00a0M1.1.<\/b>\u00a0Par la formule de Taylor avec reste int\u00e9gral (peu utilis\u00e9).
\nPar la condition n\u00e9cessaire et suffisante : \"f\" \u00e9tant suppos\u00e9e de classe \"C^{\infty}\" sur \"] - \alpha , \, \alpha[\",\u00a0\"f(x) = S_n(x) + R_n(x)\" o\u00f9 \"\displaystyle S_n(x) = \sum_{k = 0} ^n \frac {f ^{(k)}(0)} {k!} {x ^k}\" et \"\displaystyle R_n(x) = \int_0 ^x \frac {(x - t) ^{n} } {n !} {f ^{(n + 1 )}(t)}\, \textrm{d} \, t\".
\n\"f\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"] - \alpha , \, \alpha[\" ssi pour tout \"x\" de \"] - \alpha , \, \alpha[\", la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"(R_n(x))_n\" converge vers \"0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.2.\u00a0<\/b>Par la condition suffisante :
\n\"f\" \u00e9tant suppos\u00e9e de classe \"C^{\infty}\" sur \"[-\alpha ,\, \alpha]\", \"f\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"[-\alpha ,\, \alpha]\" lorsque la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\quad \quad \quad \quad \displaystyle \frac {\alpha^{n + 1} } {(n + 1)! } \Vert f ^{(n + 1)} \Vert _{\infty , [- \alpha , \, \alpha] }\"
\nconverge vers \"0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0En utilisant des\u00a0sommes<\/b>\u00a0de DSE connus.\u00a0C’est utilisable :
\n\"\ast\"\u00a01.<\/b>\u00a0pour tout polyn\u00f4me en \"\cos(x)\" ou \"\sin(x)\", en lin\u00e9arisant l’expression.
\n\"\ast\"\u00a02.\u00a0<\/b>pour toute expression de la forme \"\textrm{e} ^{a \, x}\, \cos(b\, x)\" ou \"\textrm{e} ^{a \, x} \, \sin(b\, x)\", en introduisant \"\textrm{e} ^{(a + \textrm {i} \,b)\, x}\".
\n\"\ast\"\u00a03.<\/b>\u00a0pour tout polyn\u00f4me en \"\textrm{ch}(x)\" et \"\textrm{sh}(x)\", en exprimant \"\textrm{ch}(x)\" et \"\textrm{sh}(x)\" en fonction de \"\textrm{e}^{x}\" et de \"\textrm{e} ^{- x}\".
\n\"\ast\"\u00a04.\u00a0<\/b>utiliser\u00a0\u00a0<\/b>\"\ln(1 - x +x ^2) = \ln(1 + x^3) - \ln(1 + x)\" et pour \"\ln(1 + x + x^2) = \ln(1 - x^3) - \ln(1 - x)\".
\n\"\ast\"\u00a05.<\/b>\u00a0pour\u00a0\"\displaystyle \frac 1 {1 - x + x^2} = \frac {1 + x} {1 + x^3}\", utiliser :\u00a0 \"\displaystyle \frac 1 {1 - x + x^2} = \frac 1 {1 + x^3} + \frac x {1 + x^3}\"
\npour \"\displaystyle \frac 1 {1 + x + x^2} = \frac {1 - x} {1 - x^3}\",\u00a0 utiliser \"\displaystyle \frac 1 {1 + x + x^2} = \frac 1 {1 - x^3} - \frac x {1 - x^3}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0En\u00a0int\u00e9grant<\/b>\u00a0des DSE connus (par exemple pour \"x \mapsto \textrm{ Arctan} x\", \"x \mapsto \ln(1 + x)\", \"x \mapsto \textrm{Arcsin}(x)\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>En\u00a0d\u00e9rivant<\/b>\u00a0des DSE connus (pour retrouver par exemple le DSE sur \"]-1 ,\, 1[\" de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {(1 - x)^k}\").
\n\"\quad \displaystyle \frac 1 {(1 - x)^k} = \sum_{n = 0} ^{+\infty} \binom {n + k - 1} {n} x^n\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0En utilisant des\u00a0produits\u00a0<\/b>de DSE connus.
\nSi \"\vert x \vert < R_1,\" \"\displaystyle f(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n \, x^n\" et si \"\vert x\vert < R_2, \displaystyle g(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty} b_n \, x^n\", en notant \"R = \min(R_1 \, , \, R_2)\", si \"x \in\; ]- R ,\, R[,\" \"\displaystyle \, f(x) \, g(x) =\sum _ {n = 0} ^{+ \infty} c_n \, x^n\" o\u00f9 pour tout \"n \in \mathbb{N }, \, \displaystyle c_n =\sum _{k = 0} ^n a_k \, b _{n - k}\,\".
\nPrendre le temps d’\u00e9crire la formule avant de faire l’application num\u00e9rique.<\/p>\n

Si certaines difficult\u00e9s persistent n’h\u00e9sitez pas \u00e0 bien relire votre cours ou prendre cours de maths \u00e0 Lyon<\/a> et \u00e0 croiser les m\u00e9thodes et les exemples de cours avec les notions de cours pr\u00e9sentes dans les cours en ligne de Maths en PC<\/a>, les cours en ligne de Maths en PSI<\/a> ou encore les cours en ligne de Maths en MP<\/a> et aussi les cours en ligne de PT en Maths<\/a>.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.\u00a0<\/b>En utilisant des\u00a0fractions rationnelles\u00a0<\/b>dont le d\u00e9nominateur ne s’annule pas :
\nOn d\u00e9veloppe \"f\" en \u00e9l\u00e9ments simples dans le domaine complexe soit sous la forme de sommes de quantit\u00e9 du type suivant :
\n\"\ast\" pour \"a \in \mathbb{C}^*\", si \"\vert x \vert < \vert a \vert\",
\n\"\displaystyle \frac 1 {x+ a} = \frac 1 a \times \frac 1 {1 +(x/a)}\" \"\displaystyle \frac 1 {x + a} = \frac 1 a \sum_{n = 0} ^{\infty} ( - 1) ^n \left ( \frac x a \right ) ^n\".<\/p>\n

\"\ast\" pour \"a \in \mathbb{C}^*\" et \"p \in \mathbb{N}^* \setminus \{1 \},\" si \"\vert x \vert < \vert a \vert,\" \"\displaystyle \frac 1 { {(x+ a)}^p} = \frac 1 {a^p} \times \frac 1 {(1 +(x/a)) ^p }\" \"\displaystyle \quad = \frac 1 {a^p} \sum_{n = 0} ^{\infty} \binom {n + p - 1} {p - 1} \left ( - \frac x a \right ) ^n\".<\/p>\n

On peut conserver les termes de la forme \"\displaystyle \frac 1 {(x^k + a)^p}\" o\u00f9 \"(k, \, p)\,\in \mathbb{N}^{*2}\" et \"a \in \mathbb{C}^*\" , en utilisant les calculs pr\u00e9c\u00e9dents en rempla\u00e7ant \"x\" par \"x^k\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.\u00a0<\/b>Par utilisation d’\u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/b>\u00a0:
\na)<\/b>\u00a0On d\u00e9montre que \"f\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re
\nb)<\/b>\u00a0On cherche une \u00e9quation diff\u00e9rentielle \"(E)\" dont \"f\" est solution et on l’\u00e9crit de fa\u00e7on \u00e0 ce que les calculs qui suivent soient simples.
\nc)\u00a0<\/b>On \u00e9crit qu’il existe \"R > 0\" tel que \"\forall x \in\; ]- R ,\, R[, \; f(x) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{\infty} a_n \, x^n\", puis que \"f\" est solution de \"(E)\" sur \"]-R , \,R[\".
\nEn utilisant l’unicit\u00e9 du DSE, on obtient une relation entre les coefficients \"a_n\,\".
\nd)<\/b>\u00a0On calcule \"a_n\" et le rayon de convergence.
\ne)<\/b>\u00a0Si l’on obtient une seule suite \"(a_n)_n\,\", on a trouv\u00e9 le d\u00e9veloppement en s\u00e9rie enti\u00e8re de \"f\".
\nSi l’on obtient plusieurs suites \"(a_n)_n\,\", on cherche la suite qui convient en utilisant \"f(0)\" et \u00e9ventuellement \"f '(0)\".<\/p>\n

variante<\/b>\u00a0: (c’est la m\u00e9thode utilis\u00e9e pour trouver le d\u00e9veloppement en s\u00e9rie enti\u00e8re de \"x \mapsto (1 + x) ^{\alpha})\"
\n\u00a0a)\u00a0<\/b>On ne sait pas d\u00e9montrer que \"f\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re mais on peut d\u00e9montrer que \"f\" est la seule solution d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle \"(E)\" v\u00e9rifiant de plus une condition \"(C)\".
\n\u00a0b)<\/b>\u00a0On d\u00e9montre qu’il existe une et une seule fonction \"g\" d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"]-R , R[\" solution de \"(E)\" et v\u00e9rifiant la condition \"(C)\".
\n\u00a0c)\u00a0<\/b>Alors \"f = g\" sur \"]-R ,\, R[\", donc \"f\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re sur \"]-R ,\, R[\".<\/p>\n

a)<\/b>\u00a0Avant de se lancer dans les calculs, voir s’il n’y a pas de simplification possible (par exemple, \"f\" paire ou impaire).
\nb)<\/b>\u00a0On remplace \"f\" par son d\u00e9veloppement en s\u00e9rie enti\u00e8re dans \"(E)\". On d\u00e9veloppe les calculs.
\nOn regroupe les termes en \"x^n\", ceux en \"x^{n - 1}\" , ceux en \"x^{n + 1}\" , etc … . On effectue des changements d’indice de fa\u00e7on \u00e0 ce que toutes les sommes obtenues s’expriment en fonction de \"x^n\".
\nles coefficients des \"x^n\" doivent \u00eatre ind\u00e9pendants de \"x\" !
\nc)<\/b>\u00a0Si l’on obtient \"a_n\" en fonction de \"a_{n - 2}\,\" il faut calculer s\u00e9par\u00e9ment \"a_{2p}\" en fonction de \"a_0\" ou \"a_2\" et \"a_{2p + 1}\" en fonction de \"a_1\" ou \"a_3\" .<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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4. Comment calculer la somme d’une s\u00e9rie enti\u00e8re ?<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>cas o\u00f9 \"u_n = P(n) x^n\" o\u00f9 \"P \in \mathbb{C} _p[\textrm{X} ]\" et \"P \neq 0\".
\nEn utilisant un \u00e9quivalent de \"P(n)\", d\u00e9montrer que le rayon de convergence est \u00e9gal \u00e0 \"1\".
\nD\u00e9composer \"P\" dans la base \"b = (1 ,\, \textrm{X} ,\, \textrm{X}(\textrm{X} - 1) ,\ \cdots\, ,\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \quad \textrm{X}(\textrm{X} - 1)\cdots (\textrm{X} - p + 1))\",
\nde fa\u00e7on \u00e0 pouvoir utiliser les sommes de s\u00e9ries suivantes :
\nsi \"\vert x \vert < 1,\"\u00a0\"\displaystyle S_k(x) = \sum_{n = k} ^{+\infty} n(n - 1)\cdots (n- k + 1) x ^n\"
\n\"S_k(x) = \displaystyle \sum _{ n = k} ^{+\infty } \frac {n!} {(n - k)! } x^n\"
\n\"S_k(x)= \displaystyle \sum_{p = 0} ^{\infty} \frac {(p+ k )!}{p! }\, x^{p +k}\" \"\S_k(x) = \displaystyle \frac {k! \, x^k} {(1 -x)^{k + 1}}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>cas o\u00f9 \"\displaystyle u_n = \frac {P(n)} {n!} x^n\" o\u00f9 \"P \in \mathbb{C} _p[\textrm{X} ]\" et \"P \neq 0\".
\nEn utilisant un \u00e9quivalent de \"P(n)\", d\u00e9montrer que le rayon de convergence est \u00e9gal \u00e0 \"+\infty\".
\nD\u00e9composer \"P\" dans la base \"b = (1 ,\, \textrm{X} ,\, \textrm{X}(\textrm{X} - 1) ,\, \cdots\, ,\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \textrm{X}(\textrm{X} - 1)\cdots (\textrm{X} - p + 1))\",
\nde fa\u00e7on \u00e0 se ramener \u00e0 des sommes de s\u00e9ries de la forme :
\nsi \"x \in \mathbb{C}\",
\n\"\displaystyle S_k(x) = \sum_{n = k}^{+\infty} n(n - 1)\cdots (n -k+1) \frac {x ^n}{n!}\"
\n\"\displaystyle S_k(x) = \sum_{n = k} ^{+\infty} \frac 1 {(n - k)! }\, x^n = \sum _{p = 0}^{\infty} \frac {1} {p! } \, x^{p + k}\" \"S_k(x) = x^k \, \textrm{e} ^x\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0cas o\u00f9 \"\displaystyle u_n = \frac {P(n)} {Q(n)} \, x^n\" o\u00f9 \"P\" et \"Q\" sont des fonctions polyn\u00f4mes et \"x \in \mathbb{R}\".
\nD\u00e9composer la fraction \"P/Q\" en \u00e9l\u00e9ments simples.
\nOn saura trouver la somme lorsque l’on obtient des termes de la forme :
\n\u00a0a)\u00a0<\/b>\"\displaystyle \frac {x^n} {n - a}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{Z}\" , en utilisant le changement d’indice \"p = n - a\", on se ram\u00e8ne \u00e0 la somme \"\quad \quad \displaystyle \sum_{p = 1} ^{+\infty} \frac {x^p} p = - \ln(1 - x)\".
\n\u00a0b)<\/b>\"\displaystyle \frac {x^n} {2 n + 1}\", utiliser le changement de variable :\u00a0 \"t= \sqrt{x} \textrm{ si } x > 0\" et \"t = \sqrt{ - x} \textrm{ si } x < 0\", de fa\u00e7on \u00e0 se ramener au calcul de \"\displaystyle g(t) =\sum _ {n = 0} ^{ +\infty} \frac {t ^{2 n + 1}} {2 n + 1}\" ou \"\displaystyle g(t) =\sum _ {n = 0} ^{ +\infty} (- 1) ^n \frac {t ^{2 n + 1}} {2 n + 1}\" .
\nDans ce cas, on calcule \"g'(t)\" pour se ramener \u00e0 la somme d’une s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0cas o\u00f9 \"\displaystyle u_n = \frac {P(n)} {n! \, Q(n)} \, x^n\" o\u00f9 \"P\" et \"Q\" sont des fonctions polyn\u00f4mes et \"x \in \mathbb{R}\".
\nD\u00e9composer la fraction \"P/Q\" en \u00e9l\u00e9ments simples.
\nOn saura trouver la somme lorsque l’on obtient des termes de la forme :
\n\u00a0\u00a0a)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \frac {x^n} {n!(n - a)}\" o\u00f9 \"a \in \mathbb{Z}\", introduire \"\displaystyle g(x) = \sum _{n = max(a + 1, 0)} ^{+\infty} \frac {x^{n - a} } {n!(n - a)}\" puis calculer \"g'(x)\".
\n\u00a0\u00a0b)<\/b>\"\displaystyle \frac {x^n} {n! \,(2 n + 1)}\" , utiliser le changement de variable : \"t = \sqrt{x} \textrm{ si } x > 0\" et \"t = \sqrt{-x} \textrm{ si } x < 0\" , de fa\u00e7on \u00e0 introduire \"\displaystyle g(t) =\sum _ {n = 0} ^{ +\infty} \frac {t ^{2 n + 1}} {n!(2 n + 1)}\"\u00a0 \"\textrm {ou } \displaystyle g(t) =\sum _ {n = 0} ^{ +\infty} (- 1) ^n \frac {t ^{2 n + 1}} {n!(2 n + 1)}\"
\net calculer \"g'(t)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0utilisation d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle : (uniquement si c’est sugg\u00e9r\u00e9).
\na)<\/b>\u00a0\u00c9crire que \"f\" est solution d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle \"(E)\".
\nsi l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle n’est pas donn\u00e9e par l’\u00e9nonc\u00e9, trouver une expression sans d\u00e9nominateur liant \"a_{n + 1}\" et \"a_n\" (et \u00e9ventuellement \"a_{n- 1}\"), sommer les relations ainsi obtenues multipli\u00e9es par \"x^n\" (ou \"x^{n + 1}\")\u00a0 et exprimer ces sommes \u00e0 l’aide de \"f(x),\, f '(x)\" (\u00e9ventuellement \"f ''(x)\") et \"x\".
\nb)<\/b>\u00a0R\u00e9soudre \"(E)\".
\nc)<\/b>\u00a0Parmi les solutions de \"(E)\", chercher celle qui convient (en g\u00e9n\u00e9ral, on utilisera \"f(0)\" et m\u00eame \"f '(0)\".<\/p>\n

5.\u00a0D\u00e9veloppement en s\u00e9rie enti\u00e8re d’une int\u00e9grale \u00e0 param\u00e8tre<\/h2>\n

Hypoth\u00e8ses\u00a0<\/b>soit \u00e0 d\u00e9velopper en s\u00e9rie enti\u00e8re \"F(x) = \int_c^d f(x , t) \, \textrm{d} \,t\" lorsque \"(x, \, c, \,d) \in \mathbb{R}^3\", \"c < d\" et si pour tout \"t \in [c, \, d] ,\; x \mapsto f(x, \, t)\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re.<\/p>\n

1-\u00a0<\/b>Montrer que l’on peut \u00e9crire pour tout \"x \in \; ]- R , R[,\; f(x, t) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n(t) x^n\" pour \"t \in [c , \, d]\".
\n2-\u00a0<\/b>Fixer \"x\" dans \"]- R , R[\". Lorsque \"t \in [c ,\, d]\", poser \"u_n(t) = a_n(t)\, x^n\" (\u00e9tape indispensable).
\nIl est important de bien faire attention \u00e0 la variable de la fonction \"u_n\" il s’agit de la variable d’int\u00e9gration.
\n3-\u00a0<\/b>Montrer que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", la fonction \"u_n\" est continue sur \"[c ,\, d]\".
\n4-<\/b>\u00a0Montrer que la s\u00e9rie de fonctions de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" (de la variable \"t\") converge uniform\u00e9ment sur \"[c ,\, d]\".
\nOn peut alors intervertir l’int\u00e9grale sur \"[c ,\, d]\" et le signe \"\sum\" et \u00e9crire que :
\n\"\forall \, x \in \; ]-R , R[,\" \"F(x) = \displaystyle \int_c^d f(x,t) \, \textrm {d} \, t= \int_c^d \sum_{n = 0}^{+\infty} u_n(t) \textrm{d} \,t\"
\n\"\displaystyle F(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty}\int_c^d u_n(t) \, \textrm{d}\, t\" \"\displaystyle F(x) =\sum _{n = 0} ^{+\infty} \int _ c^d a_n(t)\, x^n \, \textrm{d}\, t\"
\n\"\displaystyle F(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty} x^n \int_c^d a_n(t)\, \textrm{d}\, t\".<\/p>\n

Autre cas\u00a0<\/b>: lorsque l’intervalle d’int\u00e9gration \"I\" de bornes \"c\" et \"d\"\u00a0 n’est pas un segment et lorsque pour tout \"t \in I, \; x \mapsto f(x, \, t)\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re.
\n1-<\/b>\u00a0Montrer que l’on peut \u00e9crire pour tout \"x \in \; ]- R , R[,\; f(x, t) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n(t) x^n\" pour \"t \in I\".
\n2-\u00a0<\/b>Fixer \"x\" dans \"]- R , R[\". Lorsque \"t \in I\", poser \"u_n(t) = a_n(t)\, x^n\" (\u00e9tape indispensable).
\nIl est important de bien faire attention \u00e0 la variable de la fonction \"u_n\" il s’agit de la variable d’int\u00e9gration.
\n3-\u00a0<\/b>Montrer que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", la fonction \"u_n\" est continue et int\u00e9grable sur \"I\".
\n4-\u00a0<\/b>Par hypoth\u00e8se, la s\u00e9rie de fonctions de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" (de la variable \"t\") converge simplement sur \"I\" et sa somme \"t \mapsto(x,\, t)\" est continue sur \"I\".
\n5-<\/b>\u00a0Montrer que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle \int_c^d \vert u_n(t) \vert \, \textrm{d} \, t\" converge.
\nOn peut alors utiliser le th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration terme \u00e0 terme et intervertir l’int\u00e9grale sur \"I\" et le signe \"\sum\" et conclure comme dans le premier cas que :
\n\"\forall \, x \in \; ]-R , R[,\;\" \"\quad \displaystyle F(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty} x^n \int_c^d a_n(t)\, \textrm{d}\, t\"<\/p>\n

Autre cas\u00a0<\/b>: lorsque l’intervalle d’int\u00e9gration \"I\" de bornes \"c\" et \"d\"\u00a0 n’est pas un segment et lorsque pour tout \"t \in I, \; x \mapsto f(x, \, t)\" est d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re.
\n1-<\/b>\u00a0Montrer que l’on peut \u00e9crire pour tout \"x \in \; ]- R , R[,\; f(x, t) = \displaystyle \sum_{n = 0} ^{+\infty} a_n(t) x^n\" pour \"t \in I\".
\n2-\u00a0<\/b>Fixer \"x\" dans \"]- R , R[\". Lorsque \"t \in I\", poser \"u_n(t) = a_n(t)\, x^n\" (\u00e9tape indispensable).
\nIl est important de bien faire attention \u00e0 la variable de la fonction \"u_n\" il s’agit de la variable d’int\u00e9gration.
\n3-\u00a0<\/b>Montrer que pour tout \"n \in \mathbb{N}\", la fonction \"u_n\" est continue et int\u00e9grable sur \"I\".
\n4-\u00a0<\/b>Par hypoth\u00e8se, la s\u00e9rie de fonctions de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" (de la variable \"t\") converge simplement sur \"I\" et sa somme \"t \mapsto(x,\, t)\" est continue sur \"I\".
\n5-<\/b>\u00a0Montrer que la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle \int_c^d \vert u_n(t) \vert \, \textrm{d} \, t\" converge.
\nOn peut alors utiliser le th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration terme \u00e0 terme et intervertir l’int\u00e9grale sur \"I\" et le signe \"\sum\" et conclure comme dans le premier cas que :
\n\"\forall \, x \in \; ]-R , R[,\;\" \"\quad \displaystyle F(x) = \sum_{n = 0} ^{+\infty} x^n \int_c^d a_n(t)\, \textrm{d}\, t\".<\/p>\n

De nombreux autres cours en ligne ont \u00e9galement \u00e9t\u00e9 r\u00e9dig\u00e9s par nos professeurs, pour accompagner les \u00e9tudiants dans leur pr\u00e9paration aux concours post-pr\u00e9pa, en voici quelques-uns :<\/p>\n