{"id":27467,"date":"2019-06-05T11:46:51","date_gmt":"2019-06-05T10:46:51","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27467"},"modified":"2023-09-15T13:27:34","modified_gmt":"2023-09-15T12:27:34","slug":"cours-en-ligne-denombrements-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-denombrements-maths-spe\/","title":{"rendered":"Cours sur D\u00e9nombrements en MP PC PSI"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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M\u00e9thodes et cours sur les d\u00e9nombrements en MP, PC, PSI, PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – D\u00e9nombrements<\/h2>\n

1. R\u00e9vision du programme de maths sup sur le d\u00e9nombrement<\/b><\/h2>\n

1. En utilisant des r\u00e9sultats de cours<\/h3>\n

1.1. R\u00e9capitulatif des r\u00e9sultats<\/b><\/h4>\n

Dans la suite<\/a>, \"n\" et \"p\" sont des entiers non nuls et \"E_n\" est un ensemble de cardinal \"n\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"n^p\" est le nombre
\n\"\ast\" de choix successifs avec remise de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\"
\n\"\ast\" de listes avec r\u00e9p\u00e9tition de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\"
\n\"\ast\" d’applications de \"E_p\" dans \"E_n\".
\nl’ordre des \u00e9l\u00e9ments a de l’importance<\/p>\n

\"\bullet\" si \"p \leq n\", \"\displaystyle A_n^p = \frac {n!} {(n - p)!}\" est le nombre
\n\"\ast\" de choix successifs sans remise de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\"
\n\"\ast\" de listes de \"p\" \u00e9l\u00e9ments distincts de \"E_n\"
\n\"\ast\" d’applications injectives de \"E_p\" dans \"E_n\".
\nles \u00e9l\u00e9ments sont choisis les uns apr\u00e8s les autres et les \"p\" \u00e9l\u00e9ments choisis sont distincts.<\/p>\n

\"\bullet\" si \"p \leq n\", \"\displaystyle {\binom {n} {p}} = \displaystyle \frac{n!} {p! \, (n - p)!}\" est le nombre
\n\"\ast\" de choix simultan\u00e9s sans remise de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\"
\n\"\ast\" de listes strictement croissantes de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"[\![1 , n]\!]\" (voir dem 1)
\n\"\ast\" de parties \u00e0 \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\".
\nles \u00e9l\u00e9ments sont choisis en m\u00eame temps. Les \"p\" \u00e9l\u00e9ments choisis n’ont pas d’ordre.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0hors programme<\/i>\u00a0\"\displaystyle \Gamma_n^p = {\binom {n + p - 1} {p}}\" est le nombre
\n\"\ast\" de listes croissantes de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"[\![1 , n]\!]\"
\n\"\ast\" de solutions enti\u00e8res de l’\u00e9quation<\/a> \"x_1 + x_2 + \cdots + x_n = p\".
\n(\"p\"– combinaisons avec r\u00e9p\u00e9titions des \"n\" \u00e9l\u00e9ments de \"E_n\")
\nVoir dem 2.<\/p>\n

Nombre de listes strictement croissantes de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"[\![1 , n]\!]\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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1.2. R\u00e8gle du produit<\/b><\/h4>\n

Si l’on doit choisir un premier \u00e9l\u00e9ment de \"n_1\" fa\u00e7ons, un deuxi\u00e8me \u00e9l\u00e9ment de \"n_2\" fa\u00e7ons , … , et le \"p\"– i\u00e8me \u00e9l\u00e9ment de \"n_p\" fa\u00e7ons, le nombre de choix possibles est \u00e9gal \u00e0 \"n_1\, n_2\, \cdots \,n_p\" (r\u00e8gle du produit).<\/p>\n

1.3. Cardinal d’une r\u00e9union de deux ensembles<\/b><\/h4>\n

Si l’on doit choisir un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"P_1\" ou un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"P_2\" :
\nOn note \"A\" (resp \"B\") l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant \"P_1\" (resp \"P_2\").
\na)<\/b>\u00a0Dans le cas o\u00f9 il n’y a aucun \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant les propri\u00e9t\u00e9s \"P_1\" et \"P_2\" en m\u00eame temps :
\n\"\quad \quad \# (A \cup B) = \# A + \# B\"
\ncar \"A \cap B = \varnothing\".<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0Dans le cas o\u00f9 il y a des \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant les propri\u00e9t\u00e9s \"P_1\" et \"P_2\" en m\u00eame temps :
\n\"\# (A \cup B) = \# A + \# B - \# (A \cap B)\".<\/p>\n

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1.4. Cardinal d’une r\u00e9union de \"n\" ensembles<\/b><\/h4>\n

Pour justifier \"\displaystyle \# A = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,\", commencer par prouver que la famille<\/a> \"(A_k)_{0\leq k\leq n }\" est une partition de \"A\" (parties non vides, deux \u00e0 deux disjointes, de r\u00e9union \u00e9gale \u00e0 \"A\").
\nPuis \"\displaystyle \# \bigcup _{k = 0} ^n A_k = \sum _{k = 0} ^n \# A_k\,\".<\/p>\n

1.5. \u00ab\u00a0avoir au moins un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\"\u00a0 \u00ab\u00a0<\/b><\/h4>\n

Pour d\u00e9nombrer un probl\u00e8me contenant un \u00ab\u00a0au moins\u00a0\u00bb, en g\u00e9n\u00e9ral, il est plus simple de d\u00e9nombrer le compl\u00e9mentaire (c’est le cas lorsque le compl\u00e9mentaire se traduit par \u00ab\u00a0sans\u00a0\u00bb).<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2. Propri\u00e9t\u00e9s des coefficients du bin\u00f4me<\/h3>\n

2.1. Les r\u00e9sultats \u00e0 savoir<\/b><\/h4>\n

1.<\/b>\u00a0\"\displaystyle \binom {n} {1} =\binom {n} {n - 1} = n\", \"\displaystyle\binom {n} {2} = \binom {n} {n - 2 }= \frac {n(n - 1)} 2\", \"\displaystyle \binom {n} {3} = \binom {n} {n - 3 }= \frac {n(n - 1)(n - 2)} 6\"
\nce qui permet d’aller plus vite, garder dans les autres cas \"\displaystyle \binom {n} {k}= \frac {n!} {k! \, (n - k)!}\".<\/p>\n

2.\u00a0<\/b>Si \"0 \leq k \leq n\" , \"\displaystyle \binom {n} {k} = \binom {n} {n - k}\".<\/p>\n

3.<\/b>\u00a0Si \"1 \leq k \leq n\", \"\displaystyle k \, \binom {n} {k} = n\, \binom {n - 1 } {k - 1}\".<\/p>\n

4.\u00a0<\/b>\u00a0Formule du<\/i>\u00a0triangle de Pascal<\/i>\u00a0si \"1 \leq k \leq n - 1\", \"\quad \quad \displaystyle \binom {n} {k} = \binom {n - 1 } {k - 1} + \binom {n - 1 } {k }\".<\/p>\n

5.<\/b>\u00a0Formule du bin\u00f4me de Newton.
\n<\/i>\u00a0Si \"a , b \in \mathbb{C}\", \"\quad \quad \displaystyle (a + b) ^n = \sum _ {p = 0} ^n \binom {n } {p} a ^p \, b ^{n - p}\" .<\/p>\n

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