{"id":27515,"date":"2019-06-05T13:49:31","date_gmt":"2019-06-05T12:49:31","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27515"},"modified":"2023-09-15T13:29:23","modified_gmt":"2023-09-15T12:29:23","slug":"cours-en-ligne-variables-aleatoires-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-variables-aleatoires-maths-spe\/","title":{"rendered":"Cours sur les variables al\u00e9atoires en maths sp\u00e9 MP PC PSI"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours Variables al\u00e9atoires MP, PC, PSI, PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Variables al\u00e9atoires<\/h2>\n

1. Variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a01. Pour d\u00e9montrer que \"X\" est une variable al\u00e9atoire discr\u00e8t<\/b>e sur<\/b>\u00a0\"(\Omega, \, \mathcal{A})\"
\n\"\ast\" Il suffit de d\u00e9montrer que
\n… \"X\" est une application de \"\Omega\" dans un ensemble \"E\".
\n… \"X(\Omega)\" est une partie finie ou d\u00e9nombrable<\/a> de \"E\".
\n… et \"\forall \, x \in X(\Omega)\", \"(X = x) \in \mathcal{A}\"
\n\"\ast\" Il suffit de prouver que \"X\" est une combinaison lin\u00e9aire ou un produit d’un nombre fini de variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes r\u00e9elles sur \"(\Omega, \, \mathcal{A})\".
\n\"\ast\" Il suffit de trouver une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te \"Y\" sur \"(\Omega, \, \mathcal{A} )\" et une fonction \"f\" d\u00e9finie sur \"Y(\Omega)\" telles que \"X = f(Y)\".
\n\"\ast\" Il suffit de trouver \"n\" variables al\u00e9atoires \"(Y_k)_{1 \leq k \leq n}\" sur \"(\Omega, \, \mathcal{A})\" et une fonction \"f\" d\u00e9finie sur \"\displaystyle \prod_{k = 1 }^n Y_k(\Omega)\" telles que \"X = f(Y_1 \, , \, \, \cdots \, ,\, Y_n)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a02.<\/b>\u00a0Pour donner la loi d’une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te<\/b>\u00a0\"X\", on d\u00e9termine \"X(\Omega)\" et pour \"x \in X(\Omega), \, \mathbb{P}(X = x)\".
\nIl est conseill\u00e9 si la loi de \"X\" doit servir et si les calculs sont assez simples de prendre le temps de v\u00e9rifier que la famille \"\left ( \mathbb {P}(X=x)\right) _ {x \in X(\Omega)}\" est une famille sommable<\/a> de somme \u00e9gale \u00e0 1.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a03. Obtention d’un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements<\/b>
\n\"\left ( (X = x) \right ) _ {x \in X(\Omega)}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a04<\/b>. Pour d\u00e9montrer que\u00a0les variables al\u00e9atoires \"X\" et \"Y\" suivent la m\u00eame loi<\/b>, on d\u00e9montre que
\n\"\ast\" \"X(\Omega) = Y(\Omega)\"
\n\"\ast\" \"\forall \, x \in X(\Omega),\; \mathbb{P}(X = x) = \mathbb{P}(Y = x)\".
\nDans ce cas, si elles existent, \"\quad \textrm{E}(X) = \textrm{E}(Y)\" et \"\textrm{V}(X) = \textrm{V}(Y)\".
\nCela ne veut pas dire que \"X = Y\".
\nVoir aussi l’utilisation des fonctions<\/a> g\u00e9n\u00e9ratrices lorsque \"X\" et \"Y\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a05. Variables al\u00e9atoires suivant une loi binomiale<\/b>
\n\"\ast\" On peut justifier le fait que \"X\" suit une loi binomiale de param\u00e8tres \"n\" et \"p\" en montrant que \"X\" est le nombre de succ\u00e8s au cours de \"n\" \u00e9preuves identiques et ind\u00e9pendantes de Bernoulli de probabilit\u00e9<\/a> \"p\" de \u00ab\u00a0succ\u00e8s\u00a0\u00bb.
\n\"\ast\" On peut aussi justifier la loi binomiale en \u00e9crivant \"X\" comme somme de \"n\" variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes, de m\u00eame loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"p\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a06. Variables al\u00e9atoires suivant une loi g\u00e9om\u00e9trique\u00a0<\/b>
\nLorsque l’on effectue une suite d’\u00e9preuves ind\u00e9pendantes et identiques de probabilit\u00e9 \"p\" de \u00ab\u00a0succ\u00e8s\u00a0\u00bb, la variable al\u00e9atoire \u00e9gale au rang du premier succ\u00e8s suit une loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a07. Pour v\u00e9rifier qu’une application \"f\" d\u00e9finit la loi d’une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te<\/b>
\nIl suffit de se donner un ensemble \"E\" fini ou d\u00e9nombrable et une fonction \"f\" de \"E\" dans \"\mathbb{R} ^+\" telle que la famille \"(f(x))_{x \in E}\" soit sommable de somme \u00e9gale \u00e0 1.
\nAlors il existe une variable al\u00e9atoire sur \"X\" sur \"(\Omega , \mathcal {A} , \mathbb{P})\" telle que \"X(\Omega) = E\" et \"\forall \, x \in E, \; \mathbb{P} (X = x) = f(x)\".<\/p>\n

Remarque\u00a0<\/b>: il est possible que \"X\" ne soit d\u00e9finie que presque-s\u00fbrement c’est \u00e0 dire que \"\left ( (X = x) \right ) _{x \in X(\Omega)}\" soit seulement un syst\u00e8me quasi-complet d’\u00e9v\u00e9nements.
\nC’est le cas pour \"X\" de loi g\u00e9om\u00e9trique \u00e9gale au temps d’arr\u00eat pour obtenir pour la premi\u00e8re fois un \u00e9v\u00e9nement \"A\" de probabilit\u00e9 \"p\", la probabilit\u00e9 de ne jamais obtenir l’\u00e9v\u00e9nement \"A\" \u00e9tant nulle.<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2. Couples de variables al\u00e9atoires<\/h3>\n

2.1. Loi d’un couple et lois marginales<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a01. Pour donner la loi d’un couple<\/b>\u00a0\"(X , \,Y)\" de variables discr\u00e8tes, il faut donner :\u00a0\"X(\Omega),\, Y(\Omega)\" et pour tout \"x \in X(\Omega)\" et \"y \in Y(\Omega)\", la valeur de \"\mathbb{P} (X = x \cap Y = y)\".
\n\"\ast\" On peut noter aussi : \"\mathbb{P} (X = x \cap Y = y) = \mathbb{P} (X = x \, , \, Y = y)\"
\n\"\ast\" Faire appara\u00eetre clairement les conditions sur \"x\" et \"y\" lorsque \"\mathbb{P} (X = x \cap Y = y)\" d\u00e9pend des positions relatives de \"x\" et \"y\".
\n\"\ast\" Lorsque \"X(\Omega)\" et \"Y(\Omega)\" sont de cardinal peu \u00e9lev\u00e9, on peut pr\u00e9senter les r\u00e9sultats en un tableau \u00e0 double entr\u00e9e.
\nLa famille \"\quad \left ( \mathbb{P} (X = x \cap Y = y) \right )_{x \in X(\Omega) , \, y \in Y(\Omega)}\" est sommable de somme \u00e9gale \u00e0 1.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a02.<\/b>\u00a0Ayant la loi du couple \"(X , Y)\", on en d\u00e9duit\u00a0les lois marginales<\/b>\u00a0par sommation.
\n\"\forall \, x \in X(\Omega),\" \"\displaystyle \mathbb{P} (X = x) = \sum _{y \in Y(\Omega)} \mathbb{P} (X = x \cap Y = y)\".
\n\"\forall \, y \in Y(\Omega),\"\u00a0 \"\displaystyle \mathbb{P} (Y = y) = \sum _{x \in X(\Omega)} \mathbb{P} (X = x \cap Y = y)\".
\nLa seule difficult\u00e9 est de tenir compte des conditions liant \"x\" et \"y\" s’il y en a.<\/p>\n

\"\bullet\"3.\u00a0<\/b>\"\ast\"\u00a0La donn\u00e9e des lois marginales de \"X\" et \"Y\" ne donne pas la loi du couple<\/b>\u00a0sauf si les variables \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes.
\n\"\ast\" Il est possible d’avoir des couples \"(X , \,Y)\" et \"(X' , \, Y')\" ayant des lois conjointes diff\u00e9rentes, alors que les lois marginales sont les m\u00eames.
\n\"\ast\" Si \"X\" et \"Y\" suivent des lois de Bernoulli de param\u00e8tres connus et si l’on conna\u00eet une des 4 probabilit\u00e9s
\n\"\mathbb{P} (X = \varepsilon_1 , Y = \varepsilon_2)\" avec \"\varepsilon_1\" et \"\varepsilon _2\" dans \"\{0 ,\, 1\}\", on peut trouver la loi du couple \"(X ,\, Y)\".<\/p>\n

2.2. Ind\u00e9pendance de deux variables al\u00e9atoires
\n<\/b>\"\bullet\"\u00a01. Pour \u00e9tudier l’ind\u00e9pendance des variables<\/b>\u00a0\"X\" et \"Y\",
\na)<\/b>\u00a0s’il existe \"x \in X(\Omega)\" et \"y \in Y(\Omega)\" tels que \"\mathbb{P} (X = x \cap Y = y) = 0\" alors que \"\mathbb{P} (X = x)\, \mathbb{P}(Y = y) \neq 0\", les variables \"X\" et \"Y\" ne sont pas ind\u00e9pendantes.
\nb)<\/b>\u00a0s’il existe \"x \in X(\Omega)\" et \"y \in Y(\Omega)\" tels que \"\mathbb{P} (X = x , Y = y) \neq \mathbb{P} (X = x)\, \mathbb{P}(Y = y)\" les variables \"X\" et \"Y\" ne sont pas ind\u00e9pendantes.
\nc)\u00a0<\/b>si l’on ne trouve pas de telles valeurs, pour d\u00e9montrer l’ind\u00e9pendance, on doit v\u00e9rifier que
\n\"\forall \, x \in X(\Omega), \; \forall \, y \in Y(\Omega)\", \"\mathbb{P} (X = x , Y = y) = \mathbb{P} (X = x)\, \mathbb{P}(Y = y)\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a02.<\/b>\u00a0Si \"X\" et \"Y\" sont des variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes, pour tout \"A \subset X(\Omega)\" et \"B \subset Y(\Omega)\", \"(X \in A)\" et \"(Y \in B)\" sont des \u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants.
\nCe r\u00e9sultat est souvent utilis\u00e9 sous la forme :
\nSi \"X\" et \"Y\" sont des variables al\u00e9atoires r\u00e9elles ind\u00e9pendantes, pour tous intervalles \"I\" et \"J\" de \"\mathbb{R}\", les \u00e9v\u00e9nements \"(X \in I)\" et \"(Y \in J)\" sont ind\u00e9pendants.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a03.\u00a0<\/b>Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes et ont une esp\u00e9rance math\u00e9matique, \"X\, Y\" a une esp\u00e9rance et \"\quad \quad \quad \textrm{E}(X Y) = \textrm{E}(X) \textrm{E}(Y)\"
\ndonc la covariance de \"X\" et \"Y\" est nulle. La r\u00e9ciproque est fausse.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a04.\u00a0<\/b>Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes et si \"f\" (resp. \"g\") est une application d\u00e9finie sur \"X(\Omega)\" (resp. \"Y(\Omega)\"), \"f(X)\" et \"g(Y)\" sont des variables ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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3. Ind\u00e9pendance mutuelle de \"n\" variables al\u00e9atoires<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a01.<\/b>\u00a0\"X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n\" sont des\u00a0variables<\/b>\u00a0al\u00e9atoires discr\u00e8tes\u00a0mutuellement ind\u00e9pendantes<\/b>\u00a0lorsque
\n\"\forall\, k \in [\![1 , n ]\!],\; \forall\, t_k \in X_k(\Omega),\"
\n\"\displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _ {k = 1} ^n (X_k =t_k) \right ) = \prod_{k = 1} ^n \mathbb{P} (X_k = t_k)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a02.\u00a0<\/b>Si \"X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n\" sont des variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes mutuellement ind\u00e9pendantes,
\n\"\ast\" elles sont 2 \u00e0 2 ind\u00e9pendantes.
\n\"\ast\" si \"\forall \,k \in [\![1 , n]\!]\", \"f_k\" est une application d\u00e9finie sur \"X_k(\Omega)\", \"f_1(X_1)\, , \, \cdots \, , \, f_n(X_n)\" sont des variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes mutuellement ind\u00e9pendantes.
\n\"\ast\" si \"1 \leq p < n\" et si \"f\" est une application d\u00e9finie sur \"X_1(\Omega) \times \cdots \,\times \, X_p(\Omega)\" et \"g\" est d\u00e9finie sur \"X_{p +1}(\Omega)\times \cdots \,\times \, X_n(\Omega)\", les variables \"f(X_1 \, , \, \cdots \, , \, X_p)\" et \"g(X_{p + 1} \, , \, \cdots \, , \, X_n)\" sont ind\u00e9pendantes.
\nDans la suite, on suppose de plus que les variables al\u00e9atoires sont r\u00e9elles.
\n\"\ast\"\u00a0Si \"\forall \,k \in [\![1 , n]\!]\", \"I_k\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\" les \u00e9v\u00e9nements \"(X_k \in I_k)_{1 \leq k \leq n}\" sont mutuellement ind\u00e9pendants.
\n\"\ast\" \"X_ 1 \, + \, \cdots \, + \, X_{n - 1}\" et \"X_n\" sont des variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes.
\n(lemme des coalitions)<\/p>\n

Les cours de math\u00e9matiques en Maths Sp\u00e9 doivent \u00eatre appris rigoureusement, et les d\u00e9finitions de cours ainsi que les m\u00e9thodes de cours doivent \u00eatre apprises par c\u0153ur. Chaque cours comme les cours en ligne de Maths en PT<\/a>, par exemple ou les cours en ligne de Maths en MP<\/a>, les cours en ligne de Maths en PSI<\/a> et les cours en ligne de Maths en PC<\/a> comportent ces notions essentielles qui guideront les \u00e9tudiants vers la r\u00e9ussite.<\/p>\n

4. Recherche de lois particuli\u00e8res<\/h2>\n

4.1. Maximum et minimum de 2 variables al\u00e9atoires r\u00e9elles<\/b>
\nSi \"X_1\" et \"X_2\" sont deux variables et \"U = \min(X_1 , \, X_2)\" et \"V = \max(X_1 , \, X_2)\",
\n\"\bullet\"\u00a0Lois de \"U\" et \"V\"\u00a0<\/b>
\n\"\mathbb{P} (U = u) = \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = u)\"
\n\"\quad \quad \quad \quad +\, \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 > u)\"
\n\"\quad \quad \quad \quad + \,\mathbb{P}(X_1 > u \cap X_2 = u)\".
\n\"\ast\" \"\forall \, v\",
\n\"\mathbb{P}(V = v) = \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 = v)\"
\n\"\quad \quad \quad \quad + \, \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 < v)\"
\n\"\quad \quad \quad \quad +\, \mathbb{P}(X_1 < v \cap X_2 = v)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Loi du couple\u00a0<\/b>
\n\"\ast\" \"\forall \, u,\" \"\mathbb{P}(U = u \cap V = u) =\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = u)\".
\n\"\ast\" Si \"u < v\", \"\mathbb{P}(U = u \cap V = v) =\"\"\quad \quad \quad \quad \mathbb{P}(X_1 = u \cap X_2 = v)\"
\n\"\quad \quad \quad \quad +\, \mathbb{P}(X_1 = v \cap X_2 = u)\"
\n\"\ast\" et si \"u > v,\; \mathbb{P}(U = u \cap V = v) = 0\".<\/p>\n

On peut aussi utiliser la m\u00e9thode du paragraphe suivant.<\/p>\n

👍\u00a0Il est utile de se souvenir des relations : \"U + V = X_1 + X_2\" et \"V - U = \vert X_1 - X_2\vert\".<\/p>\n

4.2. Maximum et minimum de \"n \geq 3\" variables al\u00e9atoires r\u00e9elles
\n<\/b>Si \"X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n\" sont \"n\" variables al\u00e9atoires r\u00e9elles, on note \"\quad U = \displaystyle \min _{1 \leq i \leq n} X_i\" et \"V = \displaystyle \max _{1 \leq i \leq n} X_i\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Loi de \"U\"<\/b>
\nOn calcule \"\mathbb {P} (U \geq u) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{i = 1} ^n ( X_i \geq u) \right )\"
\n(On peut aussi utiliser \"\mathbb{P} (U > u)\").
\nLorsque les variables \"X_i\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\", on utilise si \"u \in \mathbb{N},\" \"\quad (U \geq u) = (U = u) \cup (U \geq u + 1)\" donc
\n\"\mathbb{P} (U = u) = \mathbb{P}(U \geq u) - \mathbb{P}(U \geq u + 1)\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Loi de \"V\"\u00a0<\/b>
\nOn calcule \"\mathbb {P} (V \leq v) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{i = 1} ^n ( X_i \leq v) \right )\".
\nLorsque les variables \"X_i\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\", on utilise si \"v \in \mathbb{N}^*,\" \"\quad (V \leq v) = (V = v) \cup (V \leq v - 1)\" donc
\n\"\mathbb{P} (V = v) = \mathbb{P}(V \leq v) - \mathbb{P}(V \leq v - 1)\" et \"\mathbb{P} (V = 0) = \mathbb{P} (V \leq 0)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Loi du couple \"(U , \, V)\"\u00a0<\/b>
\nOn d\u00e9termine lorsque \"u \leq v\", \"\mathbb{P} (U \geq u , V \leq v) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _ {i = 1} ^n (u \leq X_i \leq v ) \right )\"<\/p>\n

4.3. Utilisation de relations matricielles<\/b>
\nSoit \"k \in \mathbb{N},\; k \geq 2\". \"I\" une partie non vide de \"\mathbb{N}\" form\u00e9e d’\u00e9l\u00e9ments cons\u00e9cutifs (en g\u00e9n\u00e9ral \"I = \mathbb{N}\" ou \"\mathbb{N}^*\").
\nOn suppose que l’on d\u00e9finit une famille (finie ou infinie) de variables al\u00e9atoires \"(X_n)_{n \in I}\" \u00e0 valeurs dans \"[\![1 , k ]\!]\" telles que \"\forall \, n \in I\" tel que \"n + 1 \in I\", \"\quad \quad \mathbb{P}(X_{ n + 1} = i \, | \, X_n = j) = a_{i , j}\"
\n(\"a_{i,\, j}\" est ind\u00e9pendant de \"n\").
\nOn introduit la matrice<\/a> \"A = (a_{i , j}) _{1 \leq i , j \leq k}\"
\nSoit \"\; \; U_n = \left (\mathbb{P}(X_n = i) \right ) _{1 \leq i \leq k} \in \mathcal{M} _{k , 1} ( \mathbb{R})\".
\nOn v\u00e9rifie que \"U_{n+ 1} = A \, U_n\" .
\nDans le cas o\u00f9 \"I = \mathbb{N}\", on obtient pour tout entier \"n\", \"U_n = A^n \, U_0\,\", il faudra d\u00e9terminer la matrice \"A^n\" (en la diagonalisant par exemple).<\/p>\n

Propri\u00e9t\u00e9s de\u00a0<\/i>\"A\"\u00a0et de sa transpos\u00e9e.\u00a0<\/i>
\n\"\ast\"\u00a0a)<\/b>\u00a0La somme des termes de chaque colonne de \"A\" est \u00e9gale \u00e0 1.
\n\"\ast\"\u00a0b)<\/b>\u00a0\"A^{\textrm{T}}\" admet 1 pour valeur propre et le vecteur<\/a> de coordonn\u00e9es \u00e9gales \u00e0 1 est un vecteur propre de \"A^{\textrm{T}}\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1
\n\"\ast\"\u00a0c)<\/b>\u00a01 est toujours valeur propre de la matrice \"A\" (puisque 1 est valeur propre de \"A^{\textrm{T}}\" ). On peut d\u00e9montrer que les autres valeurs propres de \"A\" sont de module inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

Voir aussi le paragraphe 5 cha\u00eenes de Markov (m\u00e9thodes probabilit\u00e9s), pour d\u00e9terminer la limite de la suite \"\left ( \mathbb{P}(X_n = i)\right)_ n\" lorsque \"i \in [\![ 1 , \, k]\!]\".<\/p>\n

4.5. Loi de la diff\u00e9rence de deux variables al\u00e9atoires \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\"\u00a0<\/b>
\nSoient \"X\" et \"Y\" deux variables al\u00e9atoires \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\".
\nOn utilise si \"n \in \mathbb{N}\", \"\displaystyle (X - Y = n) = \bigcup_{k = 0} ^{+\infty} (X = k + n , Y = k)\"
\net \"\displaystyle (X - Y = - n) = \bigcup_{k = 0} ^{+\infty} (X = k , Y = k + n)\"
\nDans les deux cas, on a introduit une r\u00e9union d\u00e9nombrable d’\u00e9v\u00e9nements 2 \u00e0 2 incompatibles.<\/p>\n

Il est conseill\u00e9 de calculer\u00a0\u00a0\"\mathbb{P}(X - Y = - n)\" si \"n \in \mathbb{N}^*\" plut\u00f4t que\u00a0\u00a0\"\mathbb{P} (X - Y = m)\" pour \"m \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\".<\/p>\n

On raisonne comme dans le paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent, avec les m\u00eames pr\u00e9cautions dans les calculs pratiques.
\nPar contre, il est impossible d’utiliser la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice de \"X - Y\" sauf si \"X \geq Y\".<\/p>\n

Il est conseill\u00e9 de calculer\u00a0\u00a0\"\mathbb{P}(X - Y = - n)\" si \"n \in \mathbb{N}^*\" plut\u00f4t que\u00a0\u00a0\"\mathbb{P} (X - Y = m)\" pour \"m \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}\".<\/p>\n

On raisonne comme dans le paragraphe pr\u00e9c\u00e9dent, avec les m\u00eames pr\u00e9cautions dans les calculs pratiques.
\nPar contre, il est impossible d’utiliser la fonction g\u00e9n\u00e9ratrice de \"X - Y\" sauf si \"X \geq Y\".<\/p>\n

D\u00e9laisser les r\u00e9visions de certains chapitres de maths est une mauvaise strat\u00e9gie de r\u00e9vision. En effet, pour obtenir de bonnes notes lors des \u00e9preuves de concours, il est primordial de s’assurer d’avoir un niveau de connaissances homog\u00e8ne dans tous les chapitres du programme. Si ce n’est pas le cas, utilisez un cours particulier de maths en ligne<\/a> pour am\u00e9liorer votre niveau, et r\u00e9visez :<\/p>\n