{"id":27527,"date":"2019-06-05T14:21:30","date_gmt":"2019-06-05T13:21:30","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27527"},"modified":"2023-09-15T13:31:16","modified_gmt":"2023-09-15T12:31:16","slug":"cours-en-ligne-prehilbertiens-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-prehilbertiens-maths-spe\/","title":{"rendered":"Pr\u00e9hilbertiens en maths sp\u00e9 MP PC PSI : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9hilbertiens pour les MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Pr\u00e9hilbertiens<\/h2>\n

1.\u00a0Pour d\u00e9montrer que l’on a d\u00e9fini un produit scalaire<\/h2>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Si \"E\" est un \"\mathbb{R}\"-espace vectoriel,
\n\"\ast\" v\u00e9rifier que \"E^2 \to \mathbb{R}, \, (x , \,y) \mapsto \varphi (x , \,y)\" est une\u00a0forme bilin\u00e9aire sym\u00e9trique<\/i>\u00a0en d\u00e9montrant les deux propri\u00e9t\u00e9s :
\n…\u00a0 \"\forall \, y \in E, \; x \mapsto \varphi(x , \,y)\" est lin\u00e9aire
\n… et \"\forall\, (x , \,y) \in E^2, \; \varphi(x , \,y) = \varphi(y ,\, x)\".
\n\"\ast\"\u00a0 puis montrer que \"\varphi\" est\u00a0positive non d\u00e9g\u00e9n\u00e9r\u00e9e<\/i>\u00a0en prouvant que :
\n… \"\forall \, x \in E, \; \varphi(x , \,x) \geq 0\"
\n…\u00a0 \"\varphi(x , \,x) = 0 \Rightarrow x = 0\"
\nce qui est plus simple en g\u00e9n\u00e9ral que de prouver que : \"\quad \quad \forall \, x \in E \setminus \{0\},\; \varphi(x ,\, x) > 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2<\/b>. Lorsque \"E = \mathbb{R}^n\", on peut aussi
\n\"\ast\" \u00e9crire \"f(x , \, y) = X^{\textrm{T}} \, A\, Y\" o\u00f9 \"X\" et \"Y\" sont les matrices<\/a> de \"x\" et \"y\" dans la base canonique \"b\" et v\u00e9rifier que \"A\" est une matrice sym\u00e9trique r\u00e9elle.
\n\"\ast\" et d\u00e9montrer que \"\textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Pour montrer que \"N\" est une norme euclidienne, il faut montrer qu’il existe un produit scalaire \"\varphi\" d\u00e9fini sur \"E\" v\u00e9rifiant \"\forall \, x \in \, E ,\; N(x) =\sqrt {\varphi(x ,\, x)}\".<\/p>\n

On peut trouver l’expression de \"\varphi\" en utilisant l’une des deux identit\u00e9s de polarisation :
\n\"\varphi(x ,\, y) =\"
\n\"\displaystyle \quad \frac 1 2 (N(x + y)^2 - N(x)^2 - N(y)^2)\"
\nou \"\displaystyle \varphi(x , \, y) = \frac 1 4 (N(x + y)^2 - N(x - y)^2).\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>Conna\u00eetre les produits scalaires au programme.
\n\"\ast\" Sur \"\mathbb{R}^n\", le produit scalaire canonique
\nsi \"x = (x_1 , \, \cdots \, , \, x_n)\" et \"y = (y_1 , \, \cdots \, , \, y_n)\", \"\displaystyle (x\, | \, y) = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i\".<\/p>\n

\"\ast\" Sur \"\mathcal{M} _{n , 1} (\mathbb{R})\", le produit scalaire canonique :
\nsi \"X = (x_i) _{1 \leq i \leq n}\" et \"Y = (y_i) _{1 \leq i \leq n}\"
\n\"\quad \quad \displaystyle (X\, | \, Y) = X^{\textrm{T}}\, Y = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i\".<\/p>\n

\"\ast\" Sur l’espace vectoriel<\/a> \"E\" des fonctions continues sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", \"\quad \quad (f \, | \, g) = \displaystyle \int_a ^b f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

\"\ast\" Sur l’espace vectoriel \"E\" des fonctions continues et de carr\u00e9 int\u00e9grable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\",\u00a0 \"\quad \quad (f \, | \, g) = \displaystyle \int_I f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

\"\ast\" et le r\u00e9sultat classique \u00e0 savoir d\u00e9montrer :\u00a0Soit \"E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\".
\n\"\quad \quad E \times E \to \mathbb{R},\; (A , B) \mapsto \textrm{Tr}(A^{\textrm{T}} \, B)\" d\u00e9finit un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2.\u00a0Comment utiliser le fait que \"(E , ( . \,|\, . ))\" est un pr\u00e9hilbertien r\u00e9el ?<\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Pour d\u00e9montrer qu’un vecteur \"x\" de \"E\" pr\u00e9hilbertien r\u00e9el est nul, on peut
\n\"\ast\" d\u00e9montrer que \"\Vert x \Vert ^2 = 0\"
\n\"\ast\" d\u00e9montrer que \"\forall \, y \in E,\; (x \,|\, y) = 0\", c’est-\u00e0-dire que \"x \in E^{\perp}\".
\nEn particulier si l’on a prouv\u00e9 que \"\quad \quad \forall \, y \in E,\; (x\, |\, y) = (x' \,|\, y)\",
\nalors \"\forall \, y \in E,\; (x - x' \,|\, y) = 0\", donc \"x - x' \in E^{\perp} = \{0\}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Si \"F\" est un sous-espace vectoriel de dimension finie du pr\u00e9hilbertien r\u00e9el \"E\", \"E = F \oplus ^{\perp} F^{\perp}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Si \"(E , ( .\, |\, . ))\" est un pr\u00e9hilbertien r\u00e9el, on peut utiliser l\u2019in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz<\/i>\u00a0:\"\quad \quad \forall \, (x , y) \in E^2, \; \vert (x \,| \,y)\vert \leq \Vert x \Vert \; \Vert y \Vert .\"
\nIl y a \u00e9galit\u00e9 si, et seulement si, la famille \"(x ,\, y)\" est li\u00e9e.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>In\u00e9galit\u00e9 de Bessel<\/i>\u00a0:
\nSi \"(E , ( .\, | \,. ) )\" est un pr\u00e9hilbertien r\u00e9el et si \"(e_i)_{1 \leq i \leq n}\" est une famille orthonormale de \"E\",
\n\"\quad \forall x \in E,\, \displaystyle \sum _{i = 1} ^n (e_i \, | \, x)^2 \leq \Vert x \Vert ^2\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.<\/b>\u00a0Cas des familles<\/a> totales :
\nrappel : la suite<\/a> \"(e_n)_{n \in \mathbb{N}}\" de vecteurs de \"E\" est totale si l’espace vectoriel qu’elle engendre est une partie dense de \"E\" i.e. \"E = \overline {\textrm{Vect} ( (e_n )_{n \in \mathbb{N }})}\".
\nP : Soit \"(e_n)_{n \in \mathbb{N}}\" une suite orthonormale totale d’\u00e9l\u00e9ments de \"E\".
\nOn note \"p_n\" la projection orthogonale sur l’espace \"F_n = \textrm{Vect}(e_0 \, , \, \cdots \, , \, e_n)\",
\n\"\forall x \in E,\, \displaystyle \lim _{n \to + \infty} p_n(x)= x\"
\nsoit \"\displaystyle x = \sum _ {n = 0}^{+\infty} (x \, | \, e_n)\, e_n\" .
\n
\nh.p<\/u> : On peut d\u00e9montrer la formule de Parseval :
\nSi \"(e_n)_{n \in \mathbb{N}}\" est une suite orthonormale totale d’\u00e9l\u00e9ments de \"E\", alors \"\quad \quad \forall \, x \in E,\; \Vert x \Vert ^2 = \displaystyle \sum _ {n = 0} ^ {+\infty} (x \, | \, e_n)^2\" .<\/p>\n

Dans la suite du paragraphe, \"E\" est un espace euclidien.\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0M6.<\/b>\u00a0Utilisation d’une base orthonormale \"\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n}\,\",
\n\"\ast\" \"\forall \, x \in E,\; \displaystyle x = \sum_ {i = 1} ^n (x \, | \, e_i) \, e_i\".
\n\"\ast\" \"\forall \, (x , \,y) \in E^2\",
\n\"\displaystyle x = \sum_{i = 1} ^n x_i \, e_i\,\" et \"\displaystyle y = \sum_{i = 1} ^n y_i \, e_i\,\", alors \"\displaystyle (x\, | \, y) = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i\" et\u00a0\"\Vert x \Vert ^2 = \displaystyle \sum_{i = 1} ^n x_i ^2\".
\n\"\ast\" Si l’on note \"X\" et \"Y\" les matrices colonnes de \"x\" et \"y\" dans la base \"\mathcal{B}\", \"(x \, | \, y ) = X^{\textrm{T} } \, Y\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M7.<\/b>\u00a0Si \"\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n\, }\" est une base orthonormale de l’espace euclidien<\/a> \"E\" et si \"A = M_ {\mathcal{B} }(u)\" o\u00f9 \"u \in \mathcal{L}(E)\", \"\forall \, (i, \, j) \in [\![1, \, n]\!]^2,\,a_{i , \, j} = (e_i \, | \, u(e_j))\,\"
\n(\u00e0 red\u00e9montrer).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M8.<\/b>\u00a0Si \"f\" est un produit scalaire sur l’espace vectoriel euclidien \"E\" de base \"\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n}\,\",\u00a0on peut d\u00e9finir la matrice \"A = (a_{i,j})_{1 \leq i , \, j \leq n}\" o\u00f9 \"\quad \forall \, (i , j) \in [\![1 ,\, n]\!]^2, \; a_{i , j} = f(e_i , \, e_j)\",
\n(on dit que \"A\" est la matrice du produit scalaire \"f\" dans la base \"\mathcal{B}\").
\nEn notant \"X = M_{\mathcal{B}} (x) = (x_i)_{1 \leq i \leq n}\" et \"Y = M_{\mathcal {B}} (y) = (y_i)_{1 \leq i \leq n}\" ,
\n\"\quad \quad f(x , \, y) = X^{\textrm{T} } \, A \, Y\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

3.\u00a0Comment construire une famille orthonormale ?<\/h2>\n

Dans ce paragraphe, \"(E ,\, ( . \, | \, . ))\" est un espace pr\u00e9hilbertien r\u00e9el.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>en utilisant\u00a0<\/b>le\u00a0proc\u00e9d\u00e9 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt<\/b>\u00a0:
\n\"\ast\" Introduire une famille libre \"(e_1 \, ,\, e_2 \, ,\, \cdots \, ,\, e_n)\" de \"E\".
\n\"\ast\" Poser \"\varepsilon _1 = \displaystyle \frac {e_1} {\Vert e_1\Vert}\".
\n\"\ast\" Construire les vecteurs par r\u00e9currence : apr\u00e8s avoir construit \"(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _ k)\", on introduit la projection orthogonale \"p_k\" sur \"\textrm{ Vect}(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _ k)\" d\u00e9finie par \"p_k(u) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^k (u \, | \, \varepsilon_i) \, \varepsilon_i\" et on calcule \"u_{k + 1} = e_{k + 1} - p_k (e_{k + 1})\" puis on d\u00e9finit (*) \"\varepsilon _{k + 1}= \displaystyle \frac {u_{k + 1}} {\Vert u_{k + 1} \Vert}\".<\/p>\n

Il est aussi possible en cas d’oubli de la formule d’introduire, \"\quad \quad u_{k + 1} = e_ {k + 1} + \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{k} \alpha_i \, \varepsilon _ i\"
\npuis de chercher \"(\alpha_i) _ {1 \leq i \leq k}\" tels que \"\quad \forall \, j \, \in [\![1, \, k]\!] ,\; (\varepsilon _j \, |\, u_{k + 1} ) = 0\"
\nsoit \"\alpha_j+ ( \varepsilon _j \, | \, e_{k + 1}) = 0\" , ce qui permet de calculer les \"\alpha_j\" et on termine par (*).<\/p>\n

Remarque<\/i>\u00a0: dans le cas o\u00f9 \"E\" est de dimension finie et o\u00f9 \"(e_i)_{1 \leq i \leq n}\" est une base de \"E\", on construit ainsi une base orthonormale \"(\varepsilon _k) _{1 \leq k \leq n}\" de \"E\".<\/p>\n

Rappel\u00a0<\/i>: La famille construite par le proc\u00e9d\u00e9 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt d\u00e9crit ci-dessus est l’unique famille orthonormale v\u00e9rifiant pour tout\u00a0\"k \in [\![1 , \, n]\!]\",\u00a0\"(e_k \, | \, \varepsilon_k) > 0\" et
\n\"\textrm{Vect} (e_1\, , \, \cdots \, , \, e_k) = \textrm{Vect}(\varepsilon_1\, ,\, \cdots \, , \, \varepsilon_k)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Si \"E = F \oplus^{\perp} G\" et si \"E\" est de dimension finie, il suffit de construire une base orthonormale de \"F\" et une base orthonormale de \"G\", pour obtenir une base orthonormale de \"E\" par juxtaposition des bases.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3. (h.p.)\u00a0<\/b>Si \"E\" est un espace euclidien orient\u00e9 de dimension 3 et si \"(u ,\, v)\" est une famille orthonormale, \"(u ,\, v ,\, u \wedge v)\" est une base orthonormale directe de \"E\".<\/p>\n

Pour avoir de bonnes notes et une bonne moyenne en Maths Sp\u00e9, il faut conna\u00eetre parfaitement son cours et \u00e9galement conna\u00eetre les bonnes m\u00e9thodes de travail \u00e0 adopter. Avoir la bonne m\u00e9thodologie pourra vous faire gagner beaucoup de temps et vous \u00e9vitez des erreurs. Dans les cours en ligne de PT en Maths<\/a>, mais aussi les cours en ligne de Maths en PC<\/a>, les cours en ligne de Maths en PSI<\/a> et les cours en ligne de Maths en MP<\/a> mais de plus nos profs particuliers de maths<\/a> comportent justement toutes les m\u00e9thodes \u00e0 conna\u00eetre pour maximiser vos r\u00e9sultats.<\/p>\n

4.\u00a0Sous-espaces orthogonaux<\/h2>\n

4.1. Pour d\u00e9montrer que deux sous-espaces sont orthogonaux<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Pour d\u00e9montrer que \"F\" et \"G\" sont orthogonaux, il suffit de prouver que \"\quad \quad \forall\, f \in F\" et \"\forall \, g \in G\", \"(f\, |\, g) = 0\".
\n\"F\" et \"G\" sont orthogonaux ssi \"F \subset G^{\perp}\" ssi \"G \subset F^{\perp}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Utilisation d’une famille g\u00e9n\u00e9ratrice.
\n\"\ast\" Si \"G = \textrm{Vect}(g_1\, , \, \cdots \, , \, g_p)\", pour montrer que \"F\" et \"G\" sont orthogonaux, il suffit de prouver que\u00a0\"\quad \quad \forall \, f \in F ,\; \forall j \in [\![1 , \, p]\!] , \; (f \, | \, g_i) = 0\".
\n\"\ast\" Si \"F = \textrm{Vect}(f_1\, , \, \cdots \, , \, f_n)\" et \"G = \textrm{Vect}(g_1\, , \, \cdots \, , \, g_p)\", pour montrer que \"F\" et \"G\" sont orthogonaux, il suffit de prouver que \"\forall (i , \, j) \in [\![1 , \, n]\!] \times [\![1 , \, p]\!]\" , \"(f_i \, | \, g_j) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Les sous-espaces propres d’un endomorphisme<\/a> sym\u00e9trique sont deux \u00e0 deux orthogonaux.<\/p>\n

Si \"F\" et \"G\" sont des sous espaces orthogonaux, \"F \cap G = \{0\}\".
\nEn effet, \"F \perp G \Rightarrow G \subset F^ {\perp}\", alors \"\{0\} \subset F \cap G \subset F \cap F^{\perp } = \{0\}\", donc \"F \cap G = \{0\}\".<\/p>\n

4.2. D\u00e9termination de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Dans le cas le plus simple : \"\mathbb{R}^n\" muni du produit scalaire canonique
\n\"\ast\" Si \"H\" est l’hyperplan d’\u00e9quation<\/a> \"a_1\, x_1 \, + a_2\, x_2 \, + \, \cdots \, +\, a_n \, x_n = 0\" dans la base canonique,\u00a0\"H ^{\perp} =\textrm{Vect} (a)\" o\u00f9 \"a = (a_1\, , \,a_2 \, ,\, \cdots \, ,\, a_n)\".
\n\"\ast\" Soit \"a = (a_1\, , \,a_2 \, ,\, \cdots \, ,\, a_n) \neq 0\" et\u00a0 \"F = \textrm{Vect}(a)\", \"F^{\perp}\" est l’hyperplan d’\u00e9quation \"a_1\, x_1 \, + \, \cdots \, +\, a_n \, x_n = 0\" dans la base canonique.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Si \"F = \textrm{Vect}(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)\", \"(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)\" \u00e9tant une famille quelconque,
\n\"x \in F ^{\perp}\" ssi \"\forall \, i \in [\![1 , \, p]\!], \; (x \, | \, u_i) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"F\" est de dimension finie et si l’on conna\u00eet une base orthonormale de \"F\" not\u00e9e \"(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)\",
\n\"F^{\perp } = \displaystyle \left \{ x - \sum _{i = 1} ^p (x \, | \, u_i) \, u_i \; / \; x \in E \right \}\" .<\/p>\n

4.3. Suppl\u00e9mentaires orthogonaux<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Si \"E\" est de dimension finie ou non et si \"F\" est un sous-espace vectoriel de dimension finie de \"E\", \"E = F \oplus^{\perp } F^{\perp }\".
\nSi \"E\" est de dimension infinie, il est possible lorsque \"F\" n’est pas de dimension finie que \"F\" et \"F^{\perp }\" ne soient pas des suppl\u00e9mentaires orthogonaux.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>Si \"E\" est un pr\u00e9hilbertien, pour d\u00e9montrer que les sous-espaces vectoriels<\/a> \"F\" et \"G\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux, il suffit de prouver que \"E = F + G\" et que \"\forall \, f \in F\" et \"\forall \, g \in G,\; (f\, | \, g) = 0.\"
\nDonc \"F \cap G = \{0\}\" et \"E = F \oplus ^{\perp} G\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"E\" est un espace euclidien, pour d\u00e9montrer que \"F\" et \"G\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux,
\n\"\ast\"\u00a0M3.1.<\/b>\u00a0la m\u00e9thode la plus simple est souvent de prouver\u00a0\"\; \textrm{dim}\, E = \textrm{dim}\,F + \textrm{dim}\, G\" et \"F \perp G\"\u00a0 (a)
\net de rappeler le raisonnement du 4.1. donnant\u00a0 : \"F \perp G \Rightarrow F \cap G = \{0\}\" (b)\u00a0 donc \"E = F \oplus^{\perp} G\", en utilisant (a) et (b).<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M3.2.\u00a0<\/b>Il est aussi possible de prouver que \"G = F ^{\perp }\" et d’utiliser : dans tout espace euclidien, \"E = F \oplus ^{\perp} F^{\perp}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0Si \"u\" est un endomorphisme sym\u00e9trique d’un espace euclidien, \"\textrm{Ker } u\" et \"\textrm{Im } u\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux.<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M3.1.<\/b>\u00a0la m\u00e9thode la plus simple est souvent de prouver\u00a0\"\; \textrm{dim}\, E = \textrm{dim}\,F + \textrm{dim}\, G\" et \"F \perp G\"\u00a0 (a)
\net de rappeler le raisonnement du 4.1. donnant\u00a0 : \"F \perp G \Rightarrow F \cap G = \{0\}\" (b)\u00a0 donc \"E = F \oplus^{\perp} G\", en utilisant (a) et (b).<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M3.2.\u00a0<\/b>Il est aussi possible de prouver que \"G = F ^{\perp }\" et d’utiliser : dans tout espace euclidien, \"E = F \oplus ^{\perp} F^{\perp}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0Si \"u\" est un endomorphisme sym\u00e9trique d’un espace euclidien, \"\textrm{Ker } u\" et \"\textrm{Im } u\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux.<\/p>\n

Exercices sur les espaces pr\u00e9hilbertiens<\/b><\/h2>\n

1. Un probl\u00e8me de distance<\/h3>\n

Exercice 1 :<\/b>
\nOn note \"E\" l’espace vectoriel des applications continues sur \"[-1,1]\" et \u00e0 valeurs r\u00e9elles.<\/p>\n

1. D\u00e9montrer que l’on d\u00e9finit un produit scalaire sur \"E\" en posant pour \"f\" et \"g\" dans \"E\", \"\displaystyle (f\, |\, g)=\int_{-1}^1f(t)g(t)\;\textrm{d}\,t\".<\/p>\n

3. On note \"u\ :\ t\mapsto 1\", \"v\ :\ t\mapsto t\" et \"F=\textrm{Vect}(u,v)\". D\u00e9terminer une base orthonormale de \"F\".<\/p>\n

3. D\u00e9terminer le projet\u00e9 orthogonal de la fonction<\/a> \"w\ :\ t\mapsto \textrm{e} ^t\" sur le sous-espace \"F\" et en d\u00e9duire la valeur du r\u00e9el \"\displaystyle \inf_{(a,b)\in\mathbb{R} ^2}\int_{-1}^1\left (\textrm{e} ^t-(a+bt)\right )^2\;\textrm{d} t\".<\/p>\n

2.\u00a0Convergence faible et convergence<\/h3>\n

Exercice 2 :<\/b>
\nSoit \"E\" un espace pr\u00e9hilbertien r\u00e9el. On dit qu’une suite \"(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\" de vecteurs de \"E\" converge faiblement vers \"x \in E\" si \"\forall \, y \in E, \displaystyle \lim _{n \to + \infty} (x_n - x \, | \, y) = 0\".<\/p>\n

1. Si la suite \"(x_n)_n\" converge vers \"x\", \"(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\" converge faiblement vers \"x\".<\/p>\n

2. On suppose que \"E\" est de dimension finie. Si \"(x_n)_{n \in \mathbb{N}}\" converge faiblement vers \"x\", \"(x_n)_n\" converge vers \"x\".<\/p>\n

3. La r\u00e9ciproque du r\u00e9sultat de la question 1 est fausse en dimension infinie.<\/p>\n

3. Exercices sur les matrices de Gram<\/h3>\n

Exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

Soit \"(E , (.\,|\,.))\" un pr\u00e9hilbertien r\u00e9el.
\n\u00c9tant donn\u00e9s \"n\" vecteurs de \"E\"\u00a0 \"(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)\", on d\u00e9finit la matrice de Gram :
\n\"G(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) = ((x_i | x_j))_{1 \leq i , j \leq n}\,\" .
\nOn note \"DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)\" son d\u00e9terminant.<\/p>\n

1. Si \"(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)\" est une famille li\u00e9e, \"DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) = 0\".<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

2. On suppose que \"(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)\" est libre et on note \"F = \textrm{Vect} (x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)\".
\nSoit \"A\" la matrice de la famille \"(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)\" dans une base orthonormale de \"F\".
\n\"G (x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) = A^{\textrm{T}}\, A\"\u00a0et \"DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) > 0\".<\/p>\n

3. \"DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)\" est invariant lorsque l’on ajoute \u00e0 l’un des vecteurs une combinaison lin\u00e9aire des autres vecteurs.<\/p>\n

4. On suppose que \"(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)\" est une famille libre.
\nSoit \"F = \textrm{Vect}(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)\" et\u00a0\u00a0\"x \in E\".
\n\"d(x ,\, F)^2 =\displaystyle \frac {DG(x \,, \, x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n) } {DG(x_1 \,,\, \cdots \,, \,x_n)}\".<\/p>\n

5. Soit \"\mathcal {B} = (a_1\, , \, ,\, \cdots \, , \, , a_n)\" une base orthonormale de l’espace euclidien \"E\", et \"u \in \mathcal{L}(E)\".
\n\"DG(u(a_1),\, \cdots \,, \, u(a_n)) = \textrm{det}^2 (u)\"<\/p>\n

Corrig\u00e9s des exercices sur les pr\u00e9hilbertiens :<\/b><\/h2>\n

Exercice 1 :<\/strong><\/p>\n

1. \"\ast\" Toute fonction continue sur un segment est int\u00e9grable sur ce segment, donc \"(.|.)\" est d\u00e9fini sur \"E^2\".
\n\"\ast\" La sym\u00e9trie provient de la commuta- tivit\u00e9 de la multiplication dans \"\mathbb{R}\".
\n\"\ast\" La lin\u00e9arit\u00e9 par rapport \u00e0 la premi\u00e8re variable<\/a> d\u00e9coule de la lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale<\/a> sur le segment \"[-1, \, 1]\".
\n\"\ast\" Si \"f\in E\", \"f^2\geq 0 \Rightarrow (f \, |\,f)\geq 0\".
\nSi \"(f \, | \, f) = 0\", \"f^2\" est une fonction continue positive d’int\u00e9grale nulle, donc \"f^2\" est nulle. \"f\" l’est donc aussi. Ceci justifie le caract\u00e8re d\u00e9fini positif.<\/p>\n

On a prouv\u00e9 que \"(.|.)\" est un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\n

\n

2. On pourrait utiliser les formules de Schmidt. Cependant, il est imm\u00e9diat que \"(u\, |\, v) = 0\" et il suffit de normer<\/a> les vecteurs pour obtenir une base orthonormale.
\n\"(u \, | \, u) = 2\" et \"(v \, | \, v) = \displaystyle \frac 2 3\".
\n\"\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}u\, , \, \sqrt{\frac{3}{2}}\; v\right )\" est une b.o.n. de \"F\".<\/p>\n

3.\u00a0\"\bullet\" En utilisant la base orthonormale de \"F\" d\u00e9finie dans la question pr\u00e9c\u00e9dente \"\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}u\, ,\, \sqrt{\frac{3}{2}}\, v\right )\", si \"p\" est la projection orthogonale sur \"F\",
\n\"\quad \quad \displaystyle p(w)=\frac{(w\, |\, u)}{2}\, u+\frac{3 (w\, |\, v)}{2}\, v\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"(w \, | \, u) = \int_{-1} ^1 \textrm{e} ^t \, \textrm{d} \,t = \left [ \textrm{e}^t \right ] _{- 1} ^1\" \"(w \, | \, u) = \textrm{e} - \textrm{e}^{-1}\".
\n\"(w \, | \, v) = \int_{-1}^1 t \, \textrm{e} ^t \, \textrm{d} \,t = \left [ (t - 1) \, \textrm{e}^t \right ] _{- 1} ^1\" \"(w \, | \, v) = 2 \, \textrm{e}^{-1}\".
\nDonc \"\displaystyle p(w)=\frac{\textrm{e}-\textrm{e}^{-1}}{2}\, u+{3}\, \textrm{e}^{-1}\, v\".<\/p>\n

\"\bullet\" On remarque que :
\n\"\displaystyle \inf_{(a,b)\in \mathbb{R}^2}\int_{-1}^1\left (\textrm{e}^t-(a+bt)\right )^2\;\textrm{d} t\"
\n\"\quad \quad \quad \quad \displaystyle =\inf_{f\in F}\Vert w-f\Vert ^2 = d(w,\, F)^2\".
\nD’apr\u00e8s le cours, cette distance est atteinte pour \"f=p(w)\" et vaut donc \"\Vert w-p(w)\Vert^2\".
\nEn \u00e9crivant que \"w=(w-p(w))+p(w)\" et en remarquant que \"w-p(w)\" et \"p(w)\" sont orthogonaux, le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore donne :
\n\"\quad \quad \displaystyle d(w,\, F)^2 =\Vert w\Vert ^2-\Vert p(w)\Vert ^2\"
\n\"\Vert w\Vert ^2 =\displaystyle \left [ \frac {\textrm{e}^{2 t}} 2 \right ] _ 1 ^1 = \frac{\textrm{e}^2-\textrm{e}^{-2}}{2}\" .
\n\"\displaystyle \Vert p(w) \Vert ^2 = \frac{(w \, | \, u)^2 }{2}+ \frac{3 \, (w\, |\, v)^2}{2}\".
\n\"\Vert p(w) \Vert ^2 = \displaystyle \frac { ( \textrm{e} - \textrm{e}^{-1})^2 } 2 + 6\, \textrm{e}^{-2}\".<\/p>\n

Un calcul au brouillon permet de simplifier cette expression et d’obtenir
\n\"\displaystyle \inf_{(a,b)\in\mathbb{R} ^2}\int_{-1}^1\left (\textrm{e}^t-(a+bt)\right )^2\;\textrm{d} t\" \"\quad \quad \quad \quad =1-{7}\, \textrm{e}^{-2}\".<\/p>\n

N’oubliez pas, avant les concours de bien revoir tous les chapitres de math\u00e9matiques au programme de Maths Sp\u00e9, afin de vous assurer de n’avoir fait aucune impasse. Quelques chapitres essentiels \u00e0 r\u00e9viser avant les concours post-pr\u00e9pa :<\/p>\n<\/div>\n

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