{"id":27536,"date":"2019-06-05T14:37:08","date_gmt":"2019-06-05T13:37:08","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27536"},"modified":"2023-09-15T17:37:41","modified_gmt":"2023-09-15T16:37:41","slug":"cours-en-ligne-fonctions-plusieurs-variables-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-fonctions-plusieurs-variables-maths-spe\/","title":{"rendered":"Fonctions de plusieurs variables en maths sp\u00e9 MP PC PSI : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Fonctions de plusieurs variables en MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Fonctions de plusieurs variables<\/h2>\n

1.\u00a0Calcul de la d\u00e9riv\u00e9e suivant un vecteur<\/h2>\n

Hypoth\u00e8ses<\/b>\u00a0: \"f\" est d\u00e9finie sur un ouvert \"U\" d’un espace vectoriel<\/a> \"E\" de dimension finie \u00e0 valeurs dans un \"\mathbb{R}-\" ev \"F\" de dimension finie.
\n\"a \in E\" , \"h\" est un vecteur non nul de \"E\".<\/p>\n

On veut justifier l’existence de la d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" en \"a\" selon \"h\"
\n\"\bullet\"\u00a0M1<\/b>\u00a0: D\u00e9montrer que \"f\" admet une d\u00e9riv\u00e9e partielle suivant le vecteur \"h\" revient \u00e0 prouver que la fonction \"t\mapsto f(a + t h)\" est d\u00e9rivable en \"0\".
\nDans ce cas, la d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" en \"a\" suivant le vecteur \"h\" est d\u00e9finie par
\n\"\textrm{D}_h f(a) = \displaystyle \lim _ {t \to 0} \frac 1 t \left ( f(a + t h) - f(a) \right )\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.B<\/b>\u00a0: \"E = \mathbb{R}^p\" et si \"(e_1 \,, \, \cdots \, , \, e_p)\" est la base canonique de \"E\", pour tout \"k \in [\![ 1 , \, p]\!]\", la d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" en \"a\" suivant \"e_k\" est la \"k\"-\u00e8me d\u00e9riv\u00e9e partielle de \"f\" en \"a\" et not\u00e9e \"\partial_k f(a)\" ou \"\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x_k} (a)\".
\nIl est indispensable d’utiliser la limite de \"\displaystyle \frac {f(a + t \, e_k) - f(a)} {t}\" pour calculer \"\partial _k f (a)\" lorsque \"f\" est d\u00e9finie par des conditions du type \"f(x) = ...\" si \"x \neq a\" et \"f(a) = ...\".
\nLorsque \"a = (a_1 \,, \, \cdots \, , \, a_p)\", d\u00e9montrer que \"\partial _k f (a)\" existe revient \u00e0 d\u00e9montrer que la \"k\" -\u00e8me application partielle de \"f\" en \"a\" soit \"f(a_1 \,, \, \cdots \,a_{k - 1} \, , \,{\Large{ \textbf{.} }}\, , \,a_{k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_p)\",
\n\"t \mapsto f(a_1 \,, \, \cdots \,a_{k - 1}\, , \, t \, , \,a_{k + 1} \, , \, \cdots \, , \, a_p)\" est d\u00e9rivable en \"a_k\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2<\/b>\u00a0: On sait que \"f\" est diff\u00e9rentiable en \"a\", alors \"\quad \quad \textrm{D}_hf(a) = \textrm{d}f(a) (h) = df(a) . h\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3<\/b>\u00a0: \"E = \mathbb{R} ^p\" et \"f\" est de classe \"C^1\" en \"a\", si \"h = (h _ 1,\, , \, \cdots \, , \, h_p)\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \textrm{D}_h(f)(a) = \sum _{i = 1} ^p \partial_ i f(a) \, h_i\,\".<\/p>\n

\"f\" peut avoir une d\u00e9riv\u00e9e suivant tout vecteur en un point sans \u00eatre diff\u00e9rentiable en \"a\".<\/p>\n

exemple<\/b>\u00a0: \"f(x , \, y) = \displaystyle \frac {x^2 y } {x^2 + y^2}\" et \"f(0 ,\, 0) = 0\". \u00c9tudier la d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" suivant un vecteur \"v\" en \"(0, \, 0)\" .<\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2.\u00a0Probl\u00e8mes de diff\u00e9rentiabilit\u00e9<\/h3>\n

2.1. En utilisant la d\u00e9finition\u00a0<\/b>
\nHypoth\u00e8se<\/b>\u00a0: \"f\" est d\u00e9finie sur un ouvert \"U\" d’un \"\mathbb{R}\" espace vectoriel \"E\" de dimension finie \u00e0 valeurs dans un \"\mathbb{R}-\" ev \"F\" de dimension finie et \"a \in U\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1<\/b>\u00a0En appliquant la d\u00e9finition :
\n\"f\" est diff\u00e9rentiable en \"a\" s’il existe une application lin\u00e9aire \"\varphi\" de \"E\" dans \"F\" et un voisinage \"\mathcal{V}\" de \"0\" tel que si \"h \in \mathcal{V}\", \"\quad f(a + h) = f(a) + \varphi(h) + o(h)\".<\/p>\n

En particulier dans le cas o\u00f9 \"E = \mathbb{R} ^p\",
\n\"\ast\" calculer pour tout \"k \in [\![1 , p]\!]\", \"\partial_k f(a)\"
\n\"\ast\" introduire \"h = (h _ 1\, , \, \cdots \, , \, h_p)\" et former
\n\"A(h) = f(a + h) - f(a) - \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p h_i \, \partial _i f(a)\"
\n\"\ast\" v\u00e9rifier que \"\displaystyle \frac {A(h)} { \sqrt{h_1^2 + \cdots \,+ \, h_p^2} }\" admet \"0\" pour limite lorsque \"h \to 0\" .<\/p>\n

Cons\u00e9quence<\/i>\u00a0: avec les notations pr\u00e9c\u00e9dentes, \"\varphi\" est unique et appel\u00e9e\u00a0diff\u00e9rentiell<\/i>e\u00a0<\/i>de \"f\" en \"a\" et not\u00e9e \"\textrm{d}f (a)\".
\nOn all\u00e8ge les notations en \u00e9crivant \"\textrm{d}f(a) (h) = \textrm{d}f(a) . h\"<\/p>\n

exemple 1<\/b>\u00a0:
\nSi \"E = F = \mathcal{M}_n (\mathbb{R} )\" et si \"f : M \mapsto M^2\", montrer que \"f\" est diff\u00e9rentiable en tout \"A \in E\".<\/p>\n

2.1. En utilisant les th\u00e9or\u00e8mes\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Appliquer les th\u00e9or\u00e8mes pour d\u00e9montrer que \"F\" est diff\u00e9rentiable en \"a \in U\" :
\n\"\ast\"\u00a0combinaison lin\u00e9aire<\/i>\u00a0de fonctions de fonctions diff\u00e9rentiables<\/a> en \"a \in U\",
\navec \"\textrm{d}(\lambda f + g) (a) = \lambda \textrm{d} f (a) + \textrm{d} g (a)\"<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0produit<\/i>\u00a0de deux fonctions diff\u00e9ren- tiables en \"a\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\",
\n\"\textrm{d}(fg) (a) = g(a) \, \textrm{d}f(a) + f(a) \, \textrm{d}g(a)\"<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0quotien<\/i>t de 2 fonctions diff\u00e9rentia- bles en \"a\" et \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", le d\u00e9nominateur ne s’annulant pas,
\n\"\displaystyle \textrm{d} \left ( \frac {f} {g} \right ) (a) =\" \"\displaystyle \quad \quad \frac 1 {g(a) ^2} \left ( g(a) \, \textrm{d}f(a) - f(a) \, \textrm{d}g(a)\right )\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0compos\u00e9e\u00a0<\/i>de fonctions diff\u00e9rentia- bles :
\nhyp : \"f\" diff\u00e9rentiable en \"a \in U\", \"f(U) \subset V\" et \"g\" diff\u00e9rentiable en \"b = f(a)\"
\nconclusion : \"g \circ f\" est diff\u00e9rentiable en \"a\" et \"\textrm{d}(g \circ f) (a) = \textrm{d}g (b) \circ \, \textrm{d}f(a)\"<\/p>\n

\"\ast\" restriction \u00e0 un ouvert d’une\u00a0application lin\u00e9aire<\/i><\/a>\u00a0\"\varphi\"
\npour tout \"a \in U\", \"\textrm{d} \varphi (a) = \varphi\".<\/p>\n

\"\ast\" Cas o\u00f9 \"F = B(f , g)\", \"f\" \u00e9tant diff\u00e9rentiable en \"a\" \u00e0 valeurs dans \"E_1\" et \"g\" \u00e9tant diff\u00e9rentiable en \"a\" \u00e0 valeurs dans \"E_2\" , \"B\" \u00e9tant\u00a0bilin\u00e9aire<\/i>\u00a0sur \"E_1 \times E_2\".
\n\"\textrm{d}F(a) (h , h') =\" \"\quad B(\textrm{d}f(a).h , g(a)) + B(f(a) , \textrm{d}g(a).h')\"<\/p>\n

Application<\/b>\u00a0si \"E_1 = E_2 = \mathcal{M}_n (\mathbb{R} )\" et si \"G : M \mapsto M^2\",
\nen introduisant l’application bilin\u00e9aire \"B : (M , N) \mapsto MN\" et les applications lin\u00e9aires \"f= g =\textrm{ Id}\", \"G\" est diff\u00e9rentia- ble en \"(M , N)\" et
\n\"\quad \textrm{d}G(M , N) : (H , K) \mapsto H N + M H\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>En d\u00e9montrant que la fonction est de classe \"C^1\" sur \"U\".<\/p>\n

Les cours en ligne de Maths en MP<\/a>, les cours en ligne de Maths en PC<\/a> et les cours en ligne de PSI en Maths<\/a> comme les cours en ligne de Maths en PT<\/a>\u00a0 et les cours de maths \u00e0 Paris<\/a> sont des aides pour les \u00e9tudiants de Maths Sp\u00e9. Ils ne remplacent pas les cours dispens\u00e9s en pr\u00e9pa, en revanche, ils permettent de les compl\u00e9ter pour am\u00e9liorer vos connaissances et donc vos notes.<\/p>\n

3.\u00a0Fonctions de classe \"C^1\"<\/h2>\n

3.1. D\u00e9montrer que<\/b>\u00a0\"f\"\u00a0est de classe<\/b>\u00a0\"C^1\"
\nHypoth\u00e8se<\/b>\u00a0: \"f\" est d\u00e9finie sur un ouvert \"\Omega\" d’un \"\mathbb{R}\" -espace vectoriel \"E\" de dimension finie \u00e0 valeurs dans un \"\mathbb{R}\" -ev de dimension finie et \"a \in E\".<\/p>\n

Pour d\u00e9montrer que \"f\" est de classe \"C^1\" sur l’ouvert \"\Omega\"
\n\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0d\u00e9montrer que \"f\" est diff\u00e9rentia- ble en tout point de \"\Omega\" et que l’application \"a \mapsto df(a)\" est continue sur \"\Omega\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0 introduire une base \"\mathcal {B}\" de \"E\" (la base canonique si \"E = \mathbb{R}^p\") et d\u00e9montrer que \"f\" admet des d\u00e9riv\u00e9es partielles relativement \u00e0 cette base continues sur \"\Omega\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0utiliser les th\u00e9or\u00e8mes sur les fonctions de classe \"C^1\" :
\n\"\ast\" combinaison lin\u00e9aire de fonctions de classe \"C^1\,\",
\n\"\ast\" produit de deux fonctions de classe \"C^1\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\",
\n\"\ast\" quotient de 2 fonctions de classe \"C^1\" et \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", le d\u00e9nominateur ne s’annulant pas,
\n\"\ast\" compos\u00e9e de fonctions diff\u00e9rentia- bles :
\nhyp : \"f\" est de classe \"C^1\" sur l’ouvert \"U\", \"f(U) \subset V\" et \"g\" est de classe \"C^1\" sur l’ouvert \"V\".
\nconclusion : \"g \circ f\" est de classe \"C^1\" sur \"U\".
\n\"\ast\" restriction \u00e0 un ouvert d’une applica- tion lin\u00e9aire \"\varphi\"
\n\"\ast\" cas o\u00f9 \"F = B(f , g)\", \"f \in C^1 (U , E_1)\" et \"g \in C^1 (U , E_2)\", \"B\" \u00e9tant bilin\u00e9aire sur \"E_1 \times E_2\".<\/p>\n

3.2. Utiliser des fonctions de classe<\/b>\u00a0\"C^1\"
\n\"\bullet\"\u00a0Th1.<\/b>\u00a0Si \"f\" est une application de classe \"C ^1\" de \"\Omega\"\u00ad dans \"F\", si \"\gamma\" est une application de classe \"C ^1\" de \"[0,\,1]\" dans \"\Omega\"\u00ad, si \"\gamma(0) = 1\" et \"\gamma(1) = b\"
\n\"\displaystyle f(b)- f(a) = \int _0 ^1 \textrm{d}f(\gamma(t)). \gamma'(t) \textrm{d} t\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Th2.<\/b>\u00a0Si \"\Omega\" est un ouvert connexe par arcs et si \"f\" est une application de classe \"C ^1\" d\u00e9finie sur \"\Omega\" \u00e0 valeurs \u00ad dans \"F\",
\n\"f\" est constante sur \"\Omega\" ssi sa diff\u00e9ren- tielle est nulle sur \"\Omega\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

4.\u00a0Gradient – hors extremum<\/h2>\n

4.1. D\u00e9finition\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\" si \"f\" est diff\u00e9rentiable en \"a \in U\", le\u00a0gradient<\/i>\u00a0de \"f\" en \"a\" est l’unique vecteur not\u00e9 \"\nabla f (a)\" tel que pour tout \"h \in E\", \"\textrm{d} f(a) . h = (\nabla f(a) \, | \, h)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Lorsque \"E = \mathbb{R}^p\" , \"\quad \nabla f(a)= (\partial f _ 1(a) , \, \cdots \, , \, \partial f_p(a))\".<\/p>\n

\"\bullet\" Dans une base orthonormale \"(e_1 \, , \, \cdots \, , \, e_p)\" de \"E\", \"\quad \quad \quad \nabla f(a)= \displaystyle \sum _{ i = 1} ^ p \textrm{D} _ {e_i} f (a) \, e_i \,\".<\/p>\n

4.2. D\u00e9termination de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel\u00a0<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Dans le cas le plus simple : \"\mathbb{R}^n\" muni du produit scalaire canonique
\n\"\ast\" Si \"H\" est l’hyperplan d’\u00e9quation \"a_1\, x_1 \, + a_2\, x_2 \, + \, \cdots \, +\, a_n \, x_n = 0\" dans la base canonique,\u00a0\"H ^{\perp} =\textrm{Vect} (a)\" o\u00f9 \"a = (a_1\, , \,a_2 \, ,\, \cdots \, ,\, a_n)\".
\n\"\ast\" Soit \"a = (a_1\, , \,a_2 \, ,\, \cdots \, ,\, a_n) \neq 0\" et\u00a0 \"F = \textrm{Vect}(a)\", \"F^{\perp}\" est l’hyperplan d’\u00e9quation \"a_1\, x_1 \, + \, \cdots \, +\, a_n \, x_n = 0\" dans la base canonique.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Si \"F = \textrm{Vect}(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)\", \"(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)\" \u00e9tant une famille<\/a> quelconque,
\n\"x \in F ^{\perp}\" ssi \"\forall \, i \in [\![1 , \, p]\!], \; (x \, | \, u_i) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"F\" est de dimension finie et si l’on conna\u00eet une base orthonormale de \"F\" not\u00e9e \"(u_1\, , \, \cdots \, , \, u_p)\",
\n\"F^{\perp } = \displaystyle \left \{ x - \sum _{i = 1} ^p (x \, | \, u_i) \, u_i \; / \; x \in E \right \}\" .<\/p>\n

4.2. Interpr\u00e9tation<\/b>
\n\"\bullet\"\u00a0Interpr\u00e9tation g\u00e9om\u00e9trique du gradient<\/i>\u00a0 :\u00a0 si \"\nabla f (a) \neq 0\", l’ensemble \"\{ D_v f(a) \, / \, \Vert v \Vert = 1 \}\" admet un maximum obtenu pour \"\quad \quad \displaystyle \frac 1 { \Vert \nabla f (a)\Vert } \nabla f (a)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une partie de \"E\" et \"x\" un point de \"X\", un\u00a0vecteur<\/i>\u00a0\"v\" de \"E\" est\u00a0tangent \u00e0<\/i>\u00a0\"X\" en \"x\" s’il existe \"\varepsilon > 0\" et un arc \"\gamma\" d\u00e9fini sur \"]- \varepsilon ,\, \varepsilon[\" d\u00e9rivable en \"0\" \u00e0 valeurs dans \"X\", tels que\"\gamma(0) = x\" et \"\gamma'(0) = v \in X\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est une fonction \u00e0 valeurs r\u00e9elles d\u00e9finie et diff\u00e9rentiable sur un ouvert \"U\" de l’espace euclidien<\/a> \"E\", si \"X\" est une ligne de niveau de \"f\" (c’est \u00e0 dire l’ensemble des \"x \in U\" tels que \"f(x ) = \textrm{constante}\"), alors les vecteurs tangents \u00e0 \"X\" au point \"x\" de \"X\" sont orthogonaux au gradient de \"f\" en \"x\".<\/p>\n

\"\bullet\" \"E = \mathbb{R} ^3\".
\nPlan affine tangent<\/i>\u00a0\u00e0 une surface\u00a0<\/i>d’\u00e9quation cart\u00e9sienne \"z = f (x, y)\" en un point \"M_0 = (x_0 , y_0 , z_0)\", lorsque \"f\" est diff\u00e9rentiable en \"(x_0 , y_0)\" et \"\nabla f(x_0 ,\, y_0) \neq 0\" , c’est le plan passant par \"M_0\" et orthogonal \u00e0 \"\nabla f(x_0 ,\, y_0)\".<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

\"\bullet\" \"E = \mathbb{R} ^3\".
\nPlan affine tangent<\/i>\u00a0\u00e0 une surface\u00a0<\/i>d’\u00e9quation cart\u00e9sienne \"z = f (x, y)\" en un point \"M_0 = (x_0 , y_0 , z_0)\", lorsque \"f\" est diff\u00e9rentiable en \"(x_0 , y_0)\" et \"\nabla f(x_0 ,\, y_0) \neq 0\" , c’est le plan passant par \"M_0\" et orthogonal \u00e0 \"\nabla f(x_0 ,\, y_0)\".<\/p>\n

Exercices sur les fonctions de plusieurs variables<\/b><\/h2>\n

1. Sont -elles de classe \"C^1\" ?<\/h3>\n

Exercice 1 : (<\/b>Mines Ponts MP 2018)
\nOn pose \"f(x,y) = \displaystyle \sum _{n = 0} ^ {+\infty} \ln(1 + x^{2 n} + y ^{2 n} )\" .<\/p>\n

1. D\u00e9terminer le domaine de d\u00e9finition \"D\" de \"f\".<\/p>\n

2.\u00a0\"f\" est-elle de classe \"C^1\" sur \"D\" ?<\/p>\n

2. Fonctions \u00e0 variables s\u00e9par\u00e9es<\/h3>\n

Exercice 2 :<\/b><\/p>\n

1. Soit \"F\" une fonction non identiquement nulle sur \"\mathbb{R }^2\" telle que \"\forall (x , \, y) \in \mathbb{R} ^2\", \"\quad F(x, \, y) = f(x) \, g(y) = h(x)\, k(y)\".
\nMontrer qu’il existe \"\lambda \in \mathbb{R}^*\" tel que \"\quad \quad \forall \, x \in \mathbb{R}, \, f(x) = \lambda\, h(x)\" \"\quad \textrm{et } \forall \, y \in \mathbb{R},\,k(y) = \lambda\, g(y)\".
\nOn dit que \"F\" est\u00a0\u00e0 variables<\/a> s\u00e9par\u00e9es<\/i>.<\/p>\n

2. D\u00e9terminer \"F\" \u00e0 variables s\u00e9par\u00e9es de classe \"C ^1\" telle que \"\partial _1 F = \partial _ 2 F\".<\/p>\n

3. D\u00e9terminer \"F\" de classe \"C^1\" telle que \"F : (x ,\, y) \mapsto \varphi (x) + \Phi(y)\" v\u00e9rifie \"\forall \, (x , y) \in \mathbb{R}^2,\" \"\displaystyle y \, \frac {\partial F} {\partial x}(x , \, y) - x \, \frac {\partial F} {\partial y } (x , \, y)= \" \"\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x\, y\, (x ^2 + y ^2)\".<\/p>\n

3.\u00a0Extremums locaux<\/h3>\n

Exercice 3 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Soit si \"(x, \, y) \in \mathbb{R}^2\", \"f(x , \,y) = \cos x + \cos y - \cos(x + y)\".<\/p>\n

Montrer que \"f\" admet un minimum et un maximum global sur \"\mathbb{R}^2\" et les calculer.<\/p>\n

Corrig\u00e9s sur les fonctions de plusieurs variables :<\/b><\/h2>\n

Exercice 1 :<\/strong><\/p>\n

1. Soit \"u_n(x , y) = \ln(1 + x^{2 n} + y ^{2 n} )\".
\n\"\ast\" Si \"\vert x \vert < 1\" et \"\vert y \vert < 1\" , alors \"u_n(x , y) \underset {n \to +\infty} { \sim} x^{2 n} + y ^{2 n}\" avec \"\sum (x^{2 n} + y ^{2 n})\" convergente comme somme de deux s\u00e9ries g\u00e9om\u00e9triques (pour \"x^2\" et \"y^2\" ), donc \"\sum u_n(x , y)\" converge.<\/p>\n

\"\ast\" Si \"\vert x \vert \geq 1\" ou \"\vert y \vert \geq 1\", \"u_n(x , y)\geq \ln(2)\", donc la suite<\/a> \"(u_n(x , y))_n\" ne converge pas vers \"0\" et la s\u00e9rie diverge grossi\u00e8rement.<\/p>\n

En conclusion, \"f\" est d\u00e9finie sur l’ouvert \"D = \; ] - 1 , 1[ \times ]-1 , 1[\".<\/p>\n

\n

2. \"\bullet\"\u00a0Existence des d\u00e9riv\u00e9es partielles\u00a0<\/b>
\nOn fixe \"y \in \; ] - 1 , 1[\" et on note si \"n\in \mathbb{N}\" et \"x \in \; ]-1 , \, 1[\", \"v_n(x) = u_n(x , y)\"
\n\"\ast\" La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"v_n\" converge simplement sur \"I =\, ] - 1 ,\, 1[\".<\/p>\n

\"\ast\" Pour tout \"n \in \mathbb{N}\", \"v_n\" est de classe \"C^1\" sur \"I\" et \"v_n'(x) = \displaystyle \frac {2\, n\, x^{2 n - 1} } {1 + x^{2 n} + y^{2 n}}\"<\/p>\n

\"\ast\" Si \"a \in \; ]0 , \, 1[\" et si \"x \in [-a , \, a]\", \"\vert v_n'(x) \vert \leq n \vert x \vert ^{2 n - 1} \leq n \, a ^{2 n - 1}\"
\ndonc \"\Vert v'_n \Vert_{\infty , [-a , \, a] } \leq n \ a ^{2 n - 1}\"
\net \"\sum n \ a ^{2 n - 1}\" converge, donc \"\sum v'_n\" converge normalement<\/a> donc uniform\u00e9ment sur \"[-a , \, a]\" donc converge uniform\u00e9ment sur tout segment de \"I\".<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de d\u00e9rivation des sommes de s\u00e9ries de fonctions, \"\displaystyle \sum _{n = 0} ^{+\infty} v_n\" est de classe \"C^1\" sur \"I\" et on peut d\u00e9river terme \u00e0 terme.
\nOn en d\u00e9duit que \"x \mapsto f(x ,\, y)\" est de classe \"C^1\" sur \"I\" lorsque \"y\" est fix\u00e9 dans \"I\" et que si \"(x , \, y) \in D\"
\n\"\quad \quad \displaystyle \frac {\partial f } {\partial x} (x , \, y) = \sum _ {n = 1} ^{+\infty} \frac {2 \, n\, x^{2 n - 1} } {1 + x^{2 n} + y^{2 n}}\".<\/p>\n

Par sym\u00e9trie, si \"(x , y) \in D\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \frac {\partial f } {\partial y} (x , \, y) = \sum _ {n = 1} ^{+\infty} \frac {2\, n\, y^{2 n - 1} } {1 + x^{2 n} + y^{2 n}}\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0Continuit\u00e9 de\u00a0<\/b>\"\displaystyle \frac {\partial f } {\partial x}\" sur \"D\".
\nOn note si \"(x ,\, y) \in D\", \"\quad \quad w_n(x ,\, y) = \displaystyle \frac {2\, n\, x^{2 n - 1} } {1 + x^{2 n} + y^{2 n}}\"<\/p>\n

\"\ast\" Pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\", \"w_n\" est continue sur \"D\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"a \in ] -0 , \, 1[\" .
\nPour tout \"(x , \, y) \in [-a , \, a]\" ,\"\quad \quad \quad \vert w_n(x, \, y) \vert \leq n \,a ^{2 n - 1}\"
\ndonc \"\Vert w_n \Vert_{\infty , [-a ,\, a] } \leq n \ a ^{2 n - 1}\"
\net \"\sum n \, a ^{2 n - 1}\" converge, alors \"\sum w_n\" converge normalement sur \"[-a , \, a] \times [-a , \, a]\".<\/p>\n

Par le th\u00e9or\u00e8me de continuit\u00e9 des sommes de s\u00e9ries de fonctions<\/a>, \"\partial_1 f\" est continue sur \"[-a ,\, a] \times [-a , \, a]\".
\nCette propri\u00e9t\u00e9 \u00e9tant vraie pour tout \"a \in \; ]0 ,\, 1[\", \"\partial_1 f\" est continue sur \"D\".<\/p>\n

Par sym\u00e9trie, \"\partial_2 f\" est aussi continue sur \"D\".
\nDonc \"f\"\u00a0est de classe\u00a0<\/b>\"C^1\" sur \"D\".<\/p>\n

En Maths Sp\u00e9, m\u00eame si le niveau demeure \u00e9lev\u00e9, certains chapitres sont plus complexes que d’autres. Il est donc important de passer un peu plus de temps sur les chapitres difficiles afin de ne pas tra\u00eener des lacunes tout au long de l’ann\u00e9e de Maths Sp\u00e9. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 r\u00e9viser par exemple, r\u00e9guli\u00e8rement ces quelques chapitres :<\/p>\n