{"id":27555,"date":"2019-06-05T14:51:18","date_gmt":"2019-06-05T13:51:18","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27555"},"modified":"2023-09-15T17:41:24","modified_gmt":"2023-09-15T16:41:24","slug":"cours-en-ligne-familles-sommables-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-familles-sommables-maths-spe\/","title":{"rendered":"Familles sommables en maths sp\u00e9 MP: Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n

<\/a><\/p>\n

\n
\n

Familles sommables pour les MP<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Familles sommables<\/h2>\n

1. Les familles de r\u00e9els positifs index\u00e9es par un ensemble d\u00e9nombrable<\/h2>\n

1.1. D\u00e9finition d’une famille sommable de r\u00e9els positifs ou nuls
\n<\/b>
\ndef :\u00a0<\/b>La famille \"(u_i)_{i \in I}\" de r\u00e9els positifs ou nuls, index\u00e9e par un ensemble \"I\" d\u00e9nombrable, est dite\u00a0sommable<\/i>\u00a0si \"\quad \mathcal{S } = \left \{ \displaystyle \sum _{i \in F} u_i \; \Bigl | \; F \subset I ,\, F \textrm{ finie } \right \}\"
\nest major\u00e9 dans ce cas, la somme de la famille \"(u_i)_{i \in I}\" est \"\displaystyle \sum _{i \in I} u_i = \sup \mathcal{S}\".
\nSi la famille \"(u_i)_{i \in I}\" n’est pas sommable, on note\u00a0\"\displaystyle \sum _{i \in I} u_i = +\infty\".
\n
\n<\/b>Cons\u00e9quence pratique :
\n<\/b>Soit \"I = \mathbb{N} ^2\" et \"(u_{n,m}) _ {(n , m) \in I}\" une famille d\u00e9nombrable de r\u00e9els positifs ou nuls.
\nPour d\u00e9montrer que la famille \"(u_{n,m}) _ {(n , m) \in \mathbb{N}^2}\" est sommable, il suffit de prouver qu’il existe un r\u00e9el \"M\" tel que \"\forall\, (n , m) \in \mathbb{N} ^2,\; \displaystyle \sum _{i = 0} ^m \left ( \sum _{j = 0} ^{n} u_{i,j} \right ) \leq M\",
\ncar toute partie finie de \"\mathbb{N} ^2\" est contenue dans une partie de la forme \"[\![ 0 , n ]\!] \times [\![ 0 , m ]\!]\".<\/p>\n

Exemple\u00a0\u00a0<\/b>:
\nLa famille \"\displaystyle \left( \frac 1 {p^2 + q^2} \right )_{(p , q) \in \mathbb{N} ^{*2}}\" est-elle sommable ?<\/p>\n

1.2. Propri\u00e9t\u00e9s
\n<\/b>
\nP1 :\u00a0<\/b>Soient \"(u_i)_{i \in I}\" et \"(v_i)_{i \in I}\" deux familles d\u00e9nombrables<\/a> de r\u00e9els positifs ou nuls.
\nSi pour tout \"i \in I,\; v_i \leq u_i\" et si la famille \"(u_i)_{i \in I}\" est sommable, la famille \"(v_i)_{i \in I}\" est sommable et de plus\u00a0\u00a0\"\displaystyle \sum _ {i \in I} v_i \leq \sum _ {i \in I} u_i\".<\/p>\n

P2 :<\/b>\u00a0 Soit \"(u_n)_{n \in \mathbb {N} }\" une suite de r\u00e9els positifs ou nuls, la famille \"(u_n)_{n \in \mathbb {N} }\" est sommable si, et seulement si, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" est convergente. Dans ce cas, \"\displaystyle \sum _{n \in \mathbb{N} } u_n =\sum _{n = 0} ^{+\infty } u_n\".<\/p>\n

1.3. Th\u00e9or\u00e8me de sommation par paquets<\/b>
\nTh\u00e9or\u00e8me de sommation par paquets<\/i>\u00a0:
\nSi \"(I_n)_{n \in \mathbb{N}}\" est une partition de \"I\" et \"(u_i)_{i \in I}\" une famille de r\u00e9els positifs, alors la famille \"(u_i)_{i \in I}\" est sommable si, et seulement si,
\n\"\ast\" pour tout entier \"n\", la famille \"(u_i)_{i \in I_n}\" est sommable.
\n\"\ast\" la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum \left (\sum _ {i \in I_n} u_i \right )\" converge.
\nDans ce cas,\u00a0 \"\; \displaystyle \sum_{i \in I} u_i =\sum_{n = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _{i \in I_n} u_i \right )\".
\n
\nExemples de choix de partition\u00a0<\/i>
\n\"\ast\" Pour \"I = \mathbb{N}^2\", on peut choisir si \"n \in \mathbb{N} ,\" \"I_n = \{(n , \, q)\, /\, q \in \mathbb{N} \}\", \"I_n = \{(p , \, n) \, /\, p \in \mathbb{N} \}\",
\nou \"I_n = \{(p , \, q)\, \in \mathbb{N} ^2 \, / \, p + q = n\}\".
\n\"\ast\" Pour\u00a0 \"I = \mathbb{N}^* \times \mathbb{N} ^*\", on peut choisir si \"n \in \mathbb{N} ^*, \; I_n = \{(p ,\, q)\in \mathbb{N} ^{*2}\, / \, p \, q = n\}\".<\/p>\n

 <\/p>\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

2.\u00a0Cas des familles de complexes index\u00e9es par un ensemble d\u00e9nombrable<\/h3>\n

2.1. D\u00e9finition d’une famille sommable et de la somme
\n<\/b>
\ndef\u00a0<\/b>: La famille \"(u_i)_{i \in I}\" de r\u00e9els de signe quelconque ou de complexes, index\u00e9e par un ensemble \"I\" d\u00e9nombrable, est dite\u00a0sommable\u00a0<\/i>lorsque la famille de r\u00e9els positifs ou nuls \"(\vert {u_i}\vert )_{i \in I}\" est sommable.<\/p>\n

D\u00e9finition de la somme dans le cas d’une famille sommable<\/b>\u00a0:
\n\"\ast\" Dans le cas d’une famille sommable \"(u_i)_{i \in I}\" de r\u00e9els de signe quelconque, on d\u00e9finit pour tout \"i \in I\", \"u_i^{+} = \max (u_i , 0)\" et \"u_i^{-} = \max (-u_i , 0)\"
\nalors \"u_i = u_i^{+} - u_ i^{-}\" et \"\vert {u_i}\vert = u_i^{+} + u_ i^{-} \,\".
\nOn en d\u00e9duit que \"\quad \quad 0 \leq u_i^{+} \leq \vert{u_i}\vert \textrm{ et } 0\leq u_ i^{-}\leq \vert{u_i}\vert\".
\nLes familles \"(u_i^+)_{i \in I}\" et \"(u_i^{-} )_{i \in I}\" sont des familles sommables de r\u00e9els positifs. On pose :
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {i \in I} u_i = \sum _{i \in I} u_i ^+ - \sum _ {i _in I} u_i ^{-}\".<\/p>\n

\"\ast\" Dans le cas d’une famille sommable \"(u_k)_{k \in I}\" de complexes, on note pour tout \"k \in I\", \"u_k = a_k + \textrm{i} \, b_k\".
\nLes familles \"(a_k)_{k \in I}\" et \"(b_k)_{k \in I}\" sont des familles sommables de r\u00e9els et on pose
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _ {k \in I} u_k = \sum _{k \in I} a_k + \textrm{i} \sum _ {k _in I} b_k\".<\/p>\n

2.2. Propri\u00e9t\u00e9s des familles sommables
\n<\/b>
\nP1<\/b>\u00a0: Soit \"(u_n)_{n \in \mathbb {N} }\" une suite complexe, la famille \"(u_n)_{n \in \mathbb {N} }\" est sommable si, et seulement si, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"u_n\" est convergente.
\nDans ce cas, \"\displaystyle \sum _{n \in \mathbb{N} } u_n =\sum _{n = 0} ^{+\infty } u_n\".<\/p>\n

P2<\/b>\u00a0: Soient \"(u_i)_{i \in I}\" et \"(v_i)_{i \in I}\" deux familles sommables de complexes et \"\alpha\" et \"\beta\" deux complexes.
\nLa famille \"(\alpha \,u_i + \beta\, v_i )_{i \in I}\" est sommable et \"\displaystyle \sum _{i \in \mathbb{N} } (\alpha \, u_i + \beta \, v_i ) = \alpha \, \sum _{i \in \mathbb{N} } u_i + \beta \, \sum _{i \in \mathbb{N} } v_i\".<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de sommation par paquets\u00a0<\/b>:
\nSi \"(I_n)_{n \in \mathbb{N}}\" est une partition de \"I\" et \"(u_i)_{i \in I}\" une famille sommable de complexes, alors,
\n\"\ast\" pour tout entier \"n\", la famille \"(u_i)_{i \in I_n}\" est sommable.
\n\"\ast\" la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum \left (\sum _ {i \in I_n} u_i \right )\" converge.
\n\"\ast\" \"\displaystyle \sum_{i \in I} u_i =\sum_{n = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _{i \in I_n} u_i \right )\".<\/p>\n

2.3. Application aux suites doubles.
\n<\/b>
\nTh\u00e9or\u00e8me de Fubini\u00a0 pour les suites doubles de r\u00e9els positifs ou nuls :\u00a0<\/b>
\nLa famille \"(u_{p,\, q})_{ (p , \, q) \in \mathbb{N} ^2}\" de r\u00e9els positifs ou nuls est sommable
\nsi, et seulement si,
\n\u00a0a)<\/b>\u00a0pour tout \"p \in \mathbb{N}\", la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum _ q u_{p,\,q}\" est convergente de somme not\u00e9e \"U_p\,\",
\n\u00a0b)\u00a0<\/b>la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"U_p\" est convergente,
\nsi, et seulement si,
\n\u00a0\u00a0\u00a0a)<\/b>\u00a0pour tout \"q \in \mathbb{N}\", la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum _ p u_{p,\,q}\" est convergente de somme not\u00e9e \"V_q\,\",
\nb)<\/b>\u00a0la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"V_q\" est convergente.
\nDans ce cas :
\n\"\displaystyle \sum _{(p , q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \,q} = \sum _{p = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} u_{p ,\, q} \right )\".
\n\"\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \, q} = \sum _{q = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^{+\infty} u_{p ,\, q} \right )\".<\/p>\n

Les diff\u00e9rents cours en ligne de MP en Maths<\/a>, les cours en ligne de PC en Maths<\/a> et les cours en ligne de PSI en Maths<\/a>, permettent aux \u00e9tudiants de ne pas rester bloqu\u00e9s sur leur cours. Les d\u00e9finitions, les exemples et les m\u00e9thodes pr\u00e9sentent dans les cours en ligne permettent de faciliter la compr\u00e9hension du cours.<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de Fubini\u00a0 pour les suites doubles de complexes :<\/b>
\nSoit \"(u_{p,\,q} )_{ (p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2}\" une suite double sommable de complexes. Alors :
\na)<\/b>\u00a0pour tout \"p \in \mathbb{N}\", la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum _ q u_{p,\, q}\" est convergente de somme not\u00e9e \"U_p\,\",
\n\u00a0b)<\/b>\u00a0la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"U_p\" est convergente,
\net
\n\u00a0a)<\/b>\u00a0pour tout \"q \in \mathbb{N}\", la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum _ p u_{p,\, q}\" est convergente de somme not\u00e9e \"V_q\,\",
\n\u00a0b)<\/b>\u00a0la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"V_q\" est convergente.
\nDe plus,
\n\"\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \, q} = \sum _{p = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} u_{p , \, q} \right )\"
\n\"\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \, q} = \sum _{q = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^{+\infty} u_{p ,\, q} \right )\" .<\/p>\n

Remarque<\/b>\u00a0: Soit \"(u_{p,\, q}) _{ (p , \,q) \in \mathbb{N} ^2}\" une suite double de r\u00e9els positifs ou nuls, si \"\displaystyle \sum _{p = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} u_{p , \, q} \right )\" est d\u00e9fini, la famille double \"(u_{p,\,q}) _ {(p , \,q) \in \mathbb{N} ^2}\" est sommable et\u00a0\"\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \,q} = \sum _{p = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} u_{p , \, q} \right )\"
\net\u00a0 \"\displaystyle \sum _{(p ,\, q) \in \mathbb{N} ^2 } u_{p , \, q} = \sum _{q = 0} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^{+\infty} u_{(p ,\, q)} \right )\".<\/p>\n

P3<\/b>\u00a0: Soient \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"(v_n)_{n \in \mathbb{N}}\" deux suites<\/a> complexes. Pour que la famille double \"(u_p \, v_q )_{(p, q) \in \mathbb{N}^2}\" soit sommable, il suffit que les s\u00e9ries de termes g\u00e9n\u00e9raux \"u_n\" et \"v_n\" soient absolument convergentes. Dans ce cas :
\n\"\displaystyle \sum _{(p , q) \in \mathbb{N} ^2 } u_p \, v_ q = \left ( \sum _{p = 0} ^{+\infty} u_ p \right ) \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} v_{ q} \right )\".<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

P4<\/b>\u00a0:\u00a0Produit de Cauchy\u00a0<\/i>
\nSoient \"(u_n)_{n \in \mathbb{N}}\" et \"(v_n)_{n \in \mathbb{N}}\" deux suites complexes. On suppose que les s\u00e9ries \"\sum u_n\" et \"\sum v_n\" sont absolument convergentes.
\nOn note \"\displaystyle w_n = \sum _{p + q = n} u_p \, v_q\,\", la s\u00e9rie produit de Cauchy de terme g\u00e9n\u00e9ral \"w_n\" est absolument convergente et
\n\"\quad \quad \displaystyle \sum _{n = 0 } ^{+\infty} w_n = \left ( \sum _{p = 0} ^{+\infty} u_ p \right ) \left ( \sum _ {q = 0} ^{+\infty} v_{ q} \right )\".<\/p>\n

 <\/p>\n

\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Exercices sur les familles sommables<\/b><\/h2>\n

1. Sommables ou pas<\/h3>\n

Exercice 1<\/b>
\nLa famille \"\displaystyle \left ( \frac 1 {p \, q (p + q)} \right)_{(p,q) \in \mathbb{N}^{*2}}\" est-elle sommable ?<\/p>\n

2.\u00a0Une premi\u00e8re famille double<\/h3>\n

Exercice 2 :<\/b><\/p>\n

On note \"\displaystyle u_{n , \, p} = \frac {(- 1) ^p } {p^2}\" si \"p \geq n > 0\" et \"u_{n , \, p} = 0\" si \"1 \leq p < n\".<\/p>\n

1. La suite<\/a> double \"(u_{n,\, p}) _{(n ,\,p) \in \mathbb{N} ^{*2}}\" est sommable ?<\/p>\n

2. Les r\u00e9els \"\displaystyle \sum_{n = 1} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 1} ^{+\infty} u_{n , \, p} \right )\" et\u00a0 \"\displaystyle \sum_{p = 1} ^{+\infty} \left ( \sum _ {n = 1} ^{+\infty} u_{n , \,p} \right )\" sont d\u00e9finis.<\/p>\n

3. \"\displaystyle \sum_{n = 1} ^{+\infty} \left ( \sum _ {p = 1} ^{+\infty} u_{n , p} \right ) = \sum_{p = 1} ^{+\infty} \left ( \sum _ {n = 1} ^{+\infty} u_{n , p} \right )\"<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s sur les familles sommables :<\/b><\/h2>\n

Exercice 1 :\u00a0<\/strong><\/p>\n

On note \"I_n = \{(p,\, q) \in \mathbb{N}^{*2} \; / \; p + q = n \}\".
\n\"(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\" est une partition de \"\mathbb{N}^{*2}\".\"S_n = \displaystyle \sum _ {(p ,\, q) \in I_n} u_{p , \, q} = \sum _ {(p , \, q) \in I_n} \frac 1 {p \, q \, n}\"
\n\"S_n = \displaystyle \frac 1 n \sum _{p = 1} ^{n - 1} \frac 1 {p \,(n - p)}\".
\nPar d\u00e9composition en \u00e9l\u00e9ments simples,\u00a0\"S_n = \displaystyle \frac 1 {n ^2} \sum _{p = 1} ^{n - 1} \left ( \frac 1 { p} + \frac 1 {n - p} \right )\" .
\nEn posant \"k = n - p\", \"\quad \quad \displaystyle \sum _{p = 1} ^{n - 1} \frac 1 {n - p} = \sum _{k = 1} ^{n - 1} \frac 1 {k} = H_{n - 1}\"
\n\"S_n = \displaystyle \frac {2 H_{n - 1}} {n ^2}\".On a le r\u00e9sultat classique \"\quad \quad H_n = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \frac 1 k \underset {n \to +\infty } \sim \ln(n)\".
\n\"\displaystyle S_n \underset {n \to +\infty } \sim \frac {2 \ln(n - 1)} {n ^2}\",
\nalors \"\displaystyle S_n \underset {n \to +\infty } = \textrm{o} \left ( \frac {1} {n ^{3/2}} \right)\", donc \"\sum S_n\" converge.
\nEn utilisant le th\u00e9or\u00e8me de sommation par paquets, la famille est sommable.<\/p>\n

M\u00eame en fin d’ann\u00e9e il est important de r\u00e9viser les cours vus en d\u00e9but d’ann\u00e9e, car lors des concours, la connaissance de tous les chapitres sera obligatoire pour arriver dans les meilleurs et \u00eatre admis dans l’\u00e9cole de son choix. N’oubliez pas, par exemple, de r\u00e9viser r\u00e9guli\u00e8rement les chapitres suivants que vous avez la possibilit\u00e9 de reviser lors de nos cours de maths<\/a> :<\/p>\n