{"id":27566,"date":"2019-06-05T15:42:05","date_gmt":"2019-06-05T14:42:05","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27566"},"modified":"2023-09-15T13:28:45","modified_gmt":"2023-09-15T12:28:45","slug":"cours-en-ligne-integrales-parametre-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-integrales-parametre-maths-spe\/","title":{"rendered":"Int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre en maths sp\u00e9 MP PC PSI : Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours Int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre MP, PC, PSI, PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices et corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tres<\/b><\/h2>\n

I- Continuit\u00e9 des int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tres en maths sp\u00e9<\/b><\/h3>\n

1.1. Continuit\u00e9<\/b><\/h4>\n

Soient \"I\" un intervalle de \"\mathbb{R}\" et soit \"A\" une partie non vide d’un espace vectoriel de dimension finie.
\nSoit\u00a0 \"f : A \times I \to \mathbb{K}\".
\n\"\ast\" (a) si pour tout \"x \in A\", \"t \mapsto f(x , \, t)\" est continue par morceaux sur \"I\"
\n\"\ast\" (b) si pour tout \"t \in I\", \"x \mapsto f(x ,\, t)\" est continue sur \"A\"
\n\"\ast\" (c) s’il existe une fonction \"\varphi\" , continue par morceaux sur \"I\" et int\u00e9grable sur \"I\" telle que \"\quad \forall \, (x , t) \in A \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)\",<\/p>\n

Conclusion
\n\"\ast\" \"\ast\" la fonction \"g : x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t\" est d\u00e9finie sur \"\mathcal{V}\" et continue en \"a\".<\/p>\n

Pour la continuit\u00e9 en un point :\u00a0<\/i>
\nSoit \"I\" un intervalle de \"\mathbb{R}\" et soit \"A\" une partie non vide d’un espace vectoriel<\/a> de dimension finie et \"a \in A\".
\nSoit \"f : A \times I \to \mathbb{K}\".
\n\"\ast\" (a)si pour tout \"x \in A\", \"t \mapsto f(x , \, t)\" est continue par morceaux sur \"I\".
\n\"\ast\" (b) si pour tout \"t \in I\", \"x \mapsto f(x ,\, t)\" est continue en \"a\"
\n\"\ast\" (c) s’il existe un voisinage \"\mathcal{V}\" de \"a\" et une fonction \"\varphi\", continue par morceaux sur \"I\" et int\u00e9grable sur \"I\" telle que \"\quad \forall \, (x , t) \in \mathcal{V} \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)\",<\/p>\n

Conclusion
\n\"\ast\" \"\ast\" la fonction \"g : x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t\" est d\u00e9finie sur \"\mathcal{V}\" et continue en \"a\".<\/p>\n

Dans la plupart des exercices, \"A\" est un intervalle et on peut utiliser la forme\u00a0 \u00e9nonc\u00e9e dans le sous-paragraphe suivant.<\/p>\n

1.2. Cas g\u00e9n\u00e9ral<\/b><\/h4>\n

Soit \"I\" un intervalle de \"\mathbb{R}\" et soit \"A\" un intervalle de \"\mathbb{R}\".
\nSoit\u00a0 \"f : A \times I \to \mathbb{K}\".
\n\"\ast\" (a) si pour tout \"x \in A\", \"t \mapsto f(x , \, t)\" est continue par morceaux sur \"I\"
\n\"\ast\" (b) si pour tout \"t \in I\", \"x \mapsto f(x ,\, t)\" est continue sur \"A\"
\n\"\ast\" (c)\u00a0hypoth\u00e8se de domination globale\u00a0<\/i>
\ns’il existe une fonction \"\varphi\", continue par morceaux et int\u00e9grable sur \"I\", telle que \"\forall \, (x , t) \in A \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)\",
\n\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 ou\u00a0<\/i>
\n\"\ast\" (c’)\u00a0hypoth\u00e8se de domination locale\u00a0<\/i>
\nsi pour tout segment \"S\" inclus dans \"A\", il existe une fonction \"\varphi\", continue par morceaux sur \"I\" et int\u00e9grable sur \"I\", telle que \"\forall \, (x , t) \in S \times I, \vert f(x , \, t)\vert \leq \varphi (t)\",<\/p>\n

Conclusion :
\n\"\ast\" \"\ast\" la fonction \"g : x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t\" est d\u00e9finie et continue sur \"A\".<\/p>\n

Lorsque l’intervalle \"A\" est ouvert ou non born\u00e9, il est courant de raisonner par domination locale.<\/p>\n

Important : si \"f\" est continue sur \"A \times I\", les hypoth\u00e8ses de continuit\u00e9 contenues dans (a) et (b) sont v\u00e9rifi\u00e9es.<\/p>\n

1.3. Cas particulier<\/b><\/h4>\n

Soit \"I = [a ,\, b]\" un segment de \"\mathbb{R}\" et soit \"A\" un intervalle de \"\mathbb{R}\".
\nSoit \"f : A\times I \to \mathbb{K}\" continue.
\nLa fonction \"\quad \quad g : A \to \mathbb{K}, \; x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t\"
\nest continue sur \"A\".<\/p>\n

1.4. Exemple : la fonction \"\Gamma\" <\/b><\/h4>\n

\"\Gamma : x \mapsto \int_0^{+\infty} t^ {x - 1} \textrm{ e} ^ {- t}\, \textrm{d} \, t\".
\nRetrouver le domaine de d\u00e9finition de la fonction\u00a0 \"\Gamma\".
\nD\u00e9montrer qu’elle est continue.<\/p>\n

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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. D\u00e9rivabilit\u00e9 des int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tres<\/b><\/h3>\n

2.1. Cas g\u00e9n\u00e9ral<\/b><\/h4>\n

Soient \"I\" et \"A\" deux intervalles de \"\mathbb{R}\".
\nSoit \"f : A \times I \to \mathbb{K}\".
\nHypoth\u00e8ses :
\n\"\ast\" (a) si pour tout \"x \in A\", \"t \mapsto f(x , \, t)\" est continue par morceaux et int\u00e9grable sur \"I\",
\n\"\ast\" (b) si pour tout \"t \in I\", \"x \mapsto f(x ,\, t)\" est de classe \"C^1\" sur \"A\",
\n\"\ast\" (c) si pour tout \"x \in A\", \"t \mapsto \displaystyle \frac {\partial f} {\partial x} (x , \, t)\" est continue par morceaux sur \"I\",
\n\"\ast\" (d)\u00a0hypoth\u00e8se de domination globale\u00a0<\/i>
\ns’il existe une fonction \"\varphi\", continue par morceaux sur \"I\" et int\u00e9grable sur \"I\", telle que \"\displaystyle \forall \, (x , t) \in A \times I, \;\left \vert \frac {\partial f} {\partial x}(x , \, t) \right \vert \leq \varphi (t)\"
\n\u00a0 ou\u00a0<\/i>
\n\"\ast\" (d’)\u00a0hypoth\u00e8se de domination locale\u00a0<\/i>
\nsi pour tout segment \"S\" inclus dans \"A\", il existe une fonction \"\varphi\", continue par morceaux sur \"I\" et int\u00e9grable sur \"I\" telle que \"\displaystyle \forall \, (x , t) \in S \times I, \;\left \vert \frac {\partial f} {\partial x}(x , \, t)\right \vert \leq \varphi (t)\"<\/p>\n

Conclusion :
\n\"\ast\" \"\ast\" pour tout \"x \in A\", la fonction \"\displaystyle t \mapsto \frac {\partial f} {\partial x}(x ,\, t)\" est int\u00e9grable sur \"I\"
\n\"\ast\" \"\ast\" la fonction \"g\", d\u00e9finie sur \"A\" par \"\forall \, x \in A, \; g(x) = \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t\", est de classe \"C^1\" sur \"A\",
\net \"\displaystyle \forall \, x \in A, \; g'(x) = \int_I \frac {\partial f} {\partial x}(x,\, t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

👍 Si \"f\" est de classe \"C^1\" sur \"A \times I\", les hypoth\u00e8ses de continuit\u00e9 contenues dans (a), (b)\u00a0 et (c) sont v\u00e9rifi\u00e9es. (n\u00e9cessite le cours sur les fonctions de plusieurs variables<\/a>).<\/p>\n

2.2. Cas particulier<\/b><\/h4>\n

Soit \"I = [a ,\, b]\" un segment de \"\mathbb{R}\" et soit \"A\" un intervalle de \"\mathbb{R}\".
\nSoit \"f : A \times I \to \mathbb{K}\" continue telle que la fonction \"\displaystyle \frac {\partial f} {\partial x}\" est d\u00e9finie et continue sur\u00a0\"A \times I\" .
\n\"g : A \to \mathbb{R}, \; x \mapsto \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t\" est de classe \"C^1\" sur \"A\" et \"\quad \displaystyle \forall \, x \in A, \; g'(x) = \int_I \frac {\partial f} {\partial x}(x,\, t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

3. G\u00e9n\u00e9ralisation aux fonctions de classe \"C^k\" – int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tres<\/b><\/h3>\n

3.1. Th\u00e9or\u00e8me<\/b><\/h4>\n

Pr\u00e9sentation avec une domination locale\u00a0<\/i>:
\nSoient \"I\" et \"A\" deux intervalles de \"\mathbb{R}\".
\nSoit \"k \in \mathbb{N}, \; k\geq 2\".
\nOn consid\u00e8re \"f : A \times I \to \mathbb{K}\".
\nHypoth\u00e8ses\u00a0<\/i>
\n\"\ast\" si pour tout \"t \in I\", \"x \mapsto f(x ,\, t)\" est de classe \"C^k\" sur \"A\",
\n\"\ast\" si pour tout \"x \in A\", \"t \mapsto f(x ,\, t)\" et les fonctions \"t \mapsto \displaystyle \frac {\partial^i f} {\partial x^i } (x , \, t)\" o\u00f9 \"1 \leq i \leq k - 1\" sont continues par morceaux et int\u00e9grables sur \"I\",
\n\"\ast\" si pour tout \"x \in A\", \"t \mapsto \displaystyle \frac {\partial^k f} {\partial x^k } (x , \, t)\" est continue par morceaux sur \"I\" et si pour tout segment \"S\" inclus dans \"A\", il existe une fonction \"\varphi\" continue par morceaux et int\u00e9grable sur \"I\" telle que
\n\"\quad \forall (x , \, t) \in S \times I,\; \displaystyle \left \vert \frac {\partial^k f} {\partial x^k } (x , \, t \right \vert \leq \varphi(t)\",<\/p>\n

conclusion\u00a0<\/i>
\n\"\ast\" \"\ast\" pour tout \"x \in A\", la fonction \"\displaystyle t \mapsto \frac {\partial f^k } {\partial x^k }(x ,\, t)\" est int\u00e9grable sur \"I\"
\n\"\ast\" \"\ast\" la fonction \"g\", d\u00e9finie sur \"A\" par \"\forall \, x \in A, \; g(x) = \int_I f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t\", est de classe \"C^k\" sur \"A\" et \"\displaystyle \forall\, i \in [\![1 , \, k]\!]\",
\n\"\displaystyle \forall \, x \in A, \; g^{(i)} (x) = \int_I \frac {\partial f^i } {\partial x^i }(x,\, t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

3.2. Application \u00e0 la fonction \"\Gamma\". <\/b><\/h4>\n

Montrer que la fonction \"\Gamma\" est de classe \"C^2\" sur \"\mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

Pour r\u00e9ussir en Maths Sp\u00e9, il est important de revenir r\u00e9guli\u00e8rement sur l’ensemble des chapitres de maths au programme de Maths en Maths Sp\u00e9. Les cours en ligne de PT en Maths<\/a>, les cours en ligne de Maths en PC<\/a>, ou les cours en ligne de Maths en PSI<\/a> ou encore les cours en ligne de Maths en MP<\/a>, permettent aux \u00e9tudiants de pouvoir revoir les grandes notions de cours rapidement et efficacement.<\/p>\n

4. \u00c9tude d’une int\u00e9grale \u00e0 param\u00e8tre<\/b><\/h3>\n

On se place dans le cas o\u00f9 \"\quad \quad \quad F(x) = \int_a ^b f(x , \, t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Comment donner le domaine de d\u00e9finition \"\mathcal{D}\" de \"F\" ?
\nIl s’agit de d\u00e9terminer l’ensemble \"\mathcal{D}\" des \"x\" tels que la fonction \"t \mapsto f(x ,\, t)\" soit int\u00e9grable sur \"I\". Attention \"t\" est la variable<\/a> d’int\u00e9gration et \"x\" est un param\u00e8tre.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0On \u00e9tudie la continuit\u00e9 de \"F\" sur \"\mathcal{D}\", en utilisant le paragraphe I.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Si l’on demande d’\u00e9tudier la monotonie de \"F\" en demandant seulement dans une question situ\u00e9e plus loin de prouver que \"F\" est d\u00e9rivable : on prend \"x < y\" dans \"\mathcal{D}\" et on \u00e9tudie le signe de \"F(y) - F(x)\" en \u00e9tudiant le signe sur \"I\" de la fonction \"t \mapsto f(y , t) - f(x , t)\".<\/p>\n

Exercice<\/b><\/p>\n

Soit \"\displaystyle F(x) = \int_{ 1} ^{ +\infty} \frac 1 {1 + t ^x} \, \textrm{d} \, t\".
\nDomaine de d\u00e9finition et sens de variation de \"F\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.\u00a0<\/b>On d\u00e9montre que la fonction \"F\" est de classe \"C^1\" en utilisant le \u00a7 2, de classe \"C^n\" en utilisant le \u00a7 3.
\nDans certains cas, il est possible de calculer l’int\u00e9grale<\/a> d\u00e9finissant \"F'(x)\" et d’en d\u00e9duire par int\u00e9gration la fonction \"F\", en d\u00e9terminant la constante d’int\u00e9gration.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0<\/b>Pour d\u00e9terminer la limite de la fonction \"F\" en une des bornes \"c\" de \"\mathcal{D}\" :
\n\"\ast\"\u00a0M5.1.<\/b>\u00a0Il est parfois possible d’encadrer \"F(x)\" par deux fonctions admettant m\u00eame limite en \"c\", ou de minorer \"F(x)\" par une fonction qui tend vers \"+\infty\" en \"c\", ou de la majorer par une fonction qui tend vers \"- \infty\" en \"c\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M5.2.\u00a0<\/b>On applique la g\u00e9n\u00e9ralisation du th\u00e9or\u00e8me de convergence domin\u00e9e.
\nOn se place sur un intervalle \"A \subset \mathcal {D}\" de borne \"c\".\u00a0On v\u00e9rifie que :
\n… pour tout \"x \in A, \; t \mapsto f(x , t)\" est continue par morceaux sur \"I\",
\n… pour tout \"t \in I, \; x \mapsto f(x , t)\" admet une limite en \"c\" not\u00e9e \"g(t)\" et que la fonction \"g\" est continue par morceaux sur \"I\".
\n… On cherche une fonction \"\varphi\" continue par morceaux et int\u00e9grable sur \"I\" telle que \"\forall \, (x, t) \in A \times I, \; \vert f(x , \, t) \vert \leq \varphi(t)\".
\nAlors \"F\" admet une limite en \"c\" et \"\quad \displaystyle \lim_{x \to c} F(x) = \int_a ^b \lim_{x \to c} f(x , t) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

Exercice <\/b><\/p>\n

Si \"x > 1\", \"\displaystyle F(x) = \int_{ 1} ^{ +\infty} \frac 1 {1 + t ^x} \, \textrm{d} \, t\".\u00a0 D\u00e9terminer les limites aux bornes de la fonction \"F\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M6.\u00a0<\/b>Dans quelques cas particuliers, on peut ramener l’\u00e9tude de \"x \mapsto \int_a ^b f(x ,\, t) \, \textrm {d} \, t\" \u00e0 l’\u00e9tude d’une fonction de la forme \"x \mapsto \int_{u(x)} ^{v(x)} g(t) \, \textrm {d} \, t\".<\/p>\n

Exemple 1\u00a0🧡<\/b>
\nSi \"x \in [0 , \, 1],\" \"\quad \quad g(x) = \int_ 0 ^1 \min(x , \, t) f(t) \, \textrm {d} \, t\"
\no\u00f9 \"f\" est continue sur \"[0 , \, 1]\".
\nD\u00e9riv\u00e9e de \"g\" .<\/p>\n

Exemple 2<\/b>
\n\"g(x)= \int_{ 0}^ {1}\cos(t) f(x + t) \, \textrm {d} \, t\"\u00a0 o\u00f9 \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}\". D\u00e9rivabilit\u00e9 de \"g\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

5. Fin de l’\u00e9tude de la fonction \"\Gamma\"<\/b><\/h3>\n

On a d\u00e9j\u00e0 prouv\u00e9 que \"\Gamma\" est de classe \"C^2\"\u00a0 sur \"]0 , +\infty[\" (on pourrait d\u00e9montrer qu’elle est \"C ^{\infty}\").
\nDans le chapitre Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque, on a prouv\u00e9 que
\npour tout \"x > 0, \; \Gamma(x + 1) = x\, \Gamma(x)\".
\npour tout \"n \in \mathbb{N}^*, \, \Gamma (n) = (n - 1)!\".<\/p>\n

\"\bullet\" Signe de \"\Gamma'\".\u00a0<\/b>
\nComme tout \"x > 0, \, \Gamma''(x) > 0\" (car on int\u00e8gre une fonction continue positive ou nulle est diff\u00e9rente de la fonction nulle), \"\Gamma'\" est strictement croissante sur \"\mathbb{R}^{+*}\".
\nComme \"\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1\", le th\u00e9or\u00e8me de Rolle assure l’existence de \"a \in \; ]1 , \, 2[\" tel que \"\Gamma'(a) = 0\".
\nLa stricte croissance de \"\Gamma'\" assure que \"\Gamma'(x) < 0\" si \"x < a\" et \"\Gamma'(x) > 0\" si \"x > a\".
\nLa fonction \"\Gamma'\" est strictement croissante et s’annule en \"a\in \; ]1 , \, 2[\".
\n\"\Gamma\" est strictement d\u00e9croissante sur \"]0 , \, a]\" et strictement croissante sur \"[a, \, +\infty[\".
\nOn peut d\u00e9montrer que \"a \approx 1.45\" et \"\Gamma(a) \approx 0.866\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0\u00c9tude aux bornes<\/b>\u00a0:
\n\"\ast\" En utilisant la continuit\u00e9 de \"\Gamma\" en 1, \"\Gamma(1) = 1\" et la relation \"\quad \quad \quad \displaystyle \Gamma(x) = \frac {\Gamma(x + 1) } x\",
\n\"\quad \quad \quad \Gamma(x) \underset {x \to 0} \sim \displaystyle \frac 1 x\",
\nce qui donne \"\displaystyle \lim_{x\to 0} \Gamma(x) = +\infty\".
\nLa courbe admet une asymptote d’\u00e9quation<\/a> \"x = 0\".<\/p>\n

\"\ast\" Soit \"x \geq 2\" et \"p\" la partie enti\u00e8re de \"x\".
\nPar croissance de \"\Gamma\" sur \"[2 , +\infty[\", \"\Gamma(x) \geq \Gamma(p)\" donc
\n\"\quad \Gamma(x) \geq (p - 1)! \geq (x - 2)(x - 3)\".
\nCette minoration donne :
\n\"\displaystyle \lim_{x\to \infty} \Gamma(x) = +\infty\" et \"\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac {\Gamma(x)} x = +\infty\".
\nLa courbe<\/a> repr\u00e9sentative de \"\Gamma\" admet une branche parabolique de direction \"Oy\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0La fonction \"\ln \circ \, \Gamma\" est convexe.<\/b><\/p>\n

6. Autres types de fonctions d\u00e9finies avec une int\u00e9grale<\/b><\/h3>\n

On se place dans le cas o\u00f9 \"F\" est d\u00e9finie par \"F(x) = \displaystyle \int _{u(x)}^{v(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t\", \"f\" \u00e9tant continue.<\/p>\n

6.1. Domaine de d\u00e9finition.<\/b><\/h4>\n

\"\ast\" On cherche le domaine de d\u00e9finition \"\Delta\" de \"f\". On suppose dans la suite<\/a> que \"f\" est continue sur \"\Delta\".
\n\"\ast\" Puis on d\u00e9termine l’ensemble des \"x\" tels que \"u(x)\" et \"v(x)\" soient d\u00e9finis et tels que le segment d’extr\u00e9mit\u00e9s \"u(x)\" et \"v(x)\" soit inclus dans un intervalle \"I\" sur lequel \"f\" est continue.<\/p>\n

On note \"\mathcal{D}\" le domaine de d\u00e9finition de \"F\".<\/p>\n

⚠️<\/b>\u00a0: les domaines \"\Delta\" et \"\mathcal{D}\" peuvent \u00eatre distincts.<\/p>\n

exemple<\/i>\u00a0\"f : t \mapsto t \sqrt{ \vert \ln (t)\vert }\", \"0 \mapsto 0\" est continue sur \"\mathcal{D} = \mathbb{R}^+\".
\nTrouver le domaine de d\u00e9finition de \"\displaystyle F : x \mapsto \int_{1 - x } ^{x^2} f(t) \, \textrm{d}\,t\".<\/p>\n

6.2. Comment trouver la limite de \"F\" lorsque \"u\" et \"v\" ont m\u00eame limite \"L\" et o\u00f9 \"\displaystyle \lim_{t \to L} \vert f(t) \vert = +\infty\" ?\u00a0<\/b><\/h4>\n

Hypoth\u00e8ses<\/i>\u00a0:
\n\"L \in \mathbb{R}\,\", \"\displaystyle \lim_{x\to a} u(x) = \lim_{x\to a} v(x) = L\" et \"\displaystyle \lim_{t \to L} \vert f(t) \vert = + \infty.\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>On cherche un \u00e9quivalent<\/a> simple not\u00e9 \"g(t)\" de \"f(t)\" lorsque \"t\" tend vers \"L\". On note \"h(t) = f(t) - g(t)\".
\nOn d\u00e9montre que \"h\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"L\". On d\u00e9termine un intervalle \"I\" contenant \"L\" sur lequel \"h\" est continue et on introduit une primitive \"H\" de \"h\" sur \"I\". On v\u00e9rifie que \"(u(x) , \, v(x)) \in I^ 2\" lorsque \"x\" tend vers \"a\" et en \u00e9crivant \"\displaystyle \int_{u(x)} ^{v(x)} h(t) \, \textrm{d} \,t = H(v(x) ) - H(u(x))\",
\non obtient
\n\"\displaystyle \lim_{x \to a} \int_{u(x)} ^{v(x)} h(t) \, \textrm{d} \,t = H(L) - H(L) = 0\"
\nIl reste \u00e0 trouver \"\displaystyle \lim_{x \to a} \int_{u(x)} ^{v(x)} g(t) \, \textrm{d} \,t\" pour trouver la limite de \"F\" en \"a\".<\/p>\n

exemple :\u00a0<\/i>
\nLimite en \"0\" de \"x \mapsto \displaystyle \int_x^{3 x} \frac {\cos(t)} t \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0On peut aussi chercher \u00e0 encadrer \"f(t)\" et en d\u00e9duire un encadrement de \"F(x)\" par deux fonctions ayant m\u00eame limite.<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/i>:
\nAppliquer une m\u00e9thode d’encadrement \u00e0\u00a0 \"F(x) = \displaystyle \int_x^{3 x} \frac {\cos(t)} t \, \textrm{d} \, t\" pour en retrouver la limite en \"0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Si \"f\" est int\u00e9grable sur \"[\alpha ,\, L[\" ou sur \"]L ,\, \alpha]\" o\u00f9 \"\alpha \in \Delta\" (\"\Delta\" est le domaine de continuit\u00e9 de \"f\"), on note \"K = \int_{\alpha} ^L f(t) \, \textrm{d} \, t\"\u00a0et on \u00e9crit \"F(x) = \displaystyle \int _{\alpha}^{v(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t - \int _{\alpha}^{u(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t\".
\nQuand \"x\" tend vers \"a\", comme \"u(x)\" et \"v(x)\" admettent \"L\" pour limite, \"F(x)\" admet \"K - K = 0\" pour limite lorsque \"x\" tend vers \"a\".<\/p>\n

exemple<\/i>\u00a0: \"F : x \mapsto \displaystyle \int_{x^2} ^{x} \frac 1 {\sqrt{1 - t ^3}} \, \textrm{d}\,t\"
\nTrouver le domaine de d\u00e9finition et \u00e9tudier la limite de \"F\" aux bornes.<\/p>\n

6.3. Calcul de la d\u00e9riv\u00e9e.<\/b><\/h4>\n

Introduire une primitive \"\Phi\" de \"f\" sur un intervalle \"I\" \u00e0 pr\u00e9ciser et \u00e9crire \"F(x) = \Phi (v(x)) - \Phi(u(x))\" ; d\u00e9river alors les fonctions compos\u00e9es ainsi obtenues.<\/p>\n

exemple\u00a0<\/i>:
\nD\u00e9riv\u00e9e de la fonction d\u00e9finie par \"F(x) = \displaystyle \int_x^{3 x} \frac {\cos(t)} t \, \textrm{d} \, t\" si \"x \neq 0\"\u00a0 et \"F(0) = \ln(3)\".<\/p>\n

6.4. Comment trouver la limite de \"F\" en \"a\" lorsque \"u\" et \"v\" tendent vers \"\infty\" ?<\/b><\/h4>\n

Hypoth\u00e8ses<\/i>\u00a0: \"\displaystyle \lim_{x \to a} u(x) = \lim_{x \to a} v(x) = \varepsilon \; \infty\" o\u00f9 \"\varepsilon = \pm 1\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Lorsque la fonction \"f\" est monotone, on encadre \"f(t)\" entre \"f(u(x))\" et \"f(v(x))\" (il faut faire attention \u00e0 la position relative des r\u00e9els \"u(x\") et \"v(x)\"), puis on int\u00e8gre entre \"u(x\") et \"v(x)\" (toujours en faisant attention \u00e0 la position relative de \"u(x)\" et \"v(x)\"), de fa\u00e7on \u00e0 obtenir un encadrement de \"F(x)\".
\nOn saura trouver la limite de \"F(x)\"
\n\"\ast\" lorsque les deux fonctions encadrant \"F\" ont m\u00eame limite,
\n\"\ast\" ou lorsqu’on a minor\u00e9 \"F\" par une fonction admettant \"+\infty\" pour limite en \"a\"
\n\"\ast\" ou lorsqu’on a major\u00e9 \"F\" par une fonction admettant \"- \infty\" pour limite en \"a\"<\/p>\n

exemple<\/i>\u00a0: Soit \"\displaystyle F : x \mapsto \int _x ^{2 x} \frac {\textrm{exp}(t)} t \, \textrm{d} \, t\" et \"F(0) = \ln(2)\".
\nD\u00e9terminer les limites de \"F\" en \"\pm \infty\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.\u00a0<\/b>S’il existe \"\alpha\" tel que \"f\" soit int\u00e9grable sur \"I = [\alpha , \, +\infty[\" (resp. sur \"I = ]- \infty , \, \alpha]\"), on note\u00a0\"\quad \quad K = \int _{\alpha}^{+\infty } f(t) \, \textrm{d}\,t\" \"\quad \quad (\textrm{resp.} \; K' = \int _{- \infty}^{\alpha} f(t) \, \textrm{d}\,t\").
\nOn \u00e9crit que \"\displaystyle F(x) = \int _{\alpha}^{v(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t - \int _{\alpha}^{u(x)} f(t) \, \textrm{d}\,t\" ; \"F(x\") admet \"K - K = 0\" pour limite si \"v(x)\" et \"u(x)\" tendent vers \"+\infty\"
\n(resp. \"- K' + K' = 0\" si \"u(x)\" et \"v(x)\" tendent vers \"- \infty\").
\n<\/a><\/p>\n

exemple<\/i>\u00a0: \"\displaystyle F : x \mapsto \int _x ^{2 x} \frac {\textrm{exp}(t)} t \, \textrm{d} \, t\". \u00c9tude de la limite en \"- \, \infty\".<\/p>\n

6.5. Lorsqu’une seule des bornes tend vers \"\infty\"<\/b><\/h4>\n

Par exemple sous les hypoth\u00e8ses\u00a0 :
\n\"\displaystyle \lim_{x \to a} u(x) = L\" et \"\displaystyle \lim_{x \to a} v(x) = \infty\",
\ncela revient \u00e0 chercher si l’int\u00e9grale \"\int_{L} ^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \, t\" ou \"\int_{-\infty} ^{L} f(t) \, \textrm{d} \, t\" converge.<\/p>\n

exemple<\/i> : \u00c9tude des limites de \"F\" o\u00f9 \"F(x) = \displaystyle \int_{1/x} ^x \frac {\textrm{e} ^{- t}} {\sqrt {\vert t \vert }} \, \textrm{d} \, t\"\u00a0 en \"0\" et \"\infty\".<\/p>\n

Lors de vos r\u00e9visions de cours ou lors de votre pr\u00e9paration aux concours, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 revoir plusieurs chapitres de Maths afin de v\u00e9rifier r\u00e9ellement votre niveau de connaissances et d’identifier d’\u00e9ventuelles lacunes. Vous pouvez par exemple, \u00e0 la suite de ce cours, revenir sur les chapitres en cours de maths particuliers<\/a> :<\/p>\n