{"id":27583,"date":"2019-06-05T16:23:37","date_gmt":"2019-06-05T15:23:37","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27583"},"modified":"2023-09-15T13:30:25","modified_gmt":"2023-09-15T12:30:25","slug":"cours-en-ligne-probabilites-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-probabilites-maths-spe\/","title":{"rendered":"Probabilit\u00e9s en maths sp\u00e9 MP PC PSI : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Probabilit\u00e9s en Maths Sp\u00e9 pour les MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Annales<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Probabilit\u00e9s<\/h2>\n

Plan<\/h3>\n

1. D\u00e9finir une probabilit\u00e9 en SPE
\n2.\u00a0\u00a0Probabilit\u00e9 d’une r\u00e9union. (1h pour les 5 exercices)
\n3.\u00a0 Probabilit\u00e9 d’\u00e9v\u00e9nements contenant l’expression \u00ab\u00a0au moins\u00a0\u00bb . (40 mn pour les 3 exercices)
\n4. Probabilit\u00e9 conditionnelle.(15 mn pour les 2 exercices)
\n5. Quelques m\u00e9thodes de calcul de probabilit\u00e9.(90 mn pour les 5 exercices).
\n6. Cha\u00eene de Markov.
\nPour les m\u00e9thodes seules : 90 mn.<\/p>\n

Toutes les probabilit\u00e9s obtenues doivent \u00eatre \u00e9l\u00e9ments de \"[0 , \,1]\".<\/p>\n

Il faut s’apercevoir des erreurs flagrantes (probabilit\u00e9 strictement n\u00e9gative ou strictement sup\u00e9rieure \u00e0 1), reconna\u00eetre qu’il y a erreur, m\u00eame si l’on ne sait pas la d\u00e9couvrir ou la corriger.<\/p>\n

Les probabilit\u00e9s demand\u00e9es seront donn\u00e9es\u00a0 \u00e0 \"10^{-3}\" en utilisant un \u00ab\u00a0.\u00a0\u00bb comme s\u00e9parateur d\u00e9cimal.<\/p>\n

1. D\u00e9finir une probabilit\u00e9 en Maths sp\u00e9<\/h3>\n

Rappel<\/b>\u00a0d\u00e9finition d’une tribu<\/b>
\nSoit \"\Omega\" un ensemble et \"\mathcal{A}\" une partie de \"\mathcal{P}(\Omega)\" est une\u00a0tribu<\/i>\u00a0sur \"\Omega\" lorsque
\n\"\ast\" \"\Omega \in \mathcal{A}\"
\n\"\ast\" \"\forall\, \, A \in \mathcal{A},\overline{A} = \Omega \setminus A \in \mathbb{A}\"
\n\"\ast\" si \"\forall \, n \in \mathbb{N}, \, A_n \in \mathcal{A}, \, \displaystyle \bigcup _{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}\".
\n\"(\Omega, \, \mathcal{A})\" est appel\u00e9\u00a0espace probabilisable<\/i>.<\/p>\n

M1.\u00a0<\/b>\u00a0Conna\u00eetre la d\u00e9finition :\u00a0<\/b>
\nOn suppose que \"(\Omega, \mathcal{A})\" est un espace probabilisable. \"\mathbb{P}\" est une application de \"\mathcal{A}\" dans \"[0 ,\, 1]\" telle que
\n\"\ast\" \"\mathbb{P}(\Omega) = 1\"
\n\"\ast\" Si \"(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}\" v\u00e9rifie \"\forall \, i \neq j, \, A_i \cap A_j = \varnothing\" , alors la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\mathbb{P}(A_n)\" est convergente et \"\displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup_{n \in \mathbb{N} } A_n \right ) = \sum _ {n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)\".<\/p>\n

\"(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\" est un\u00a0espace probabilis\u00e9<\/i>.<\/p>\n

M2.<\/b>\u00a0Si \"(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\" est un espace probabilis\u00e9,
\n\"\ast\" \"\mathbb{P}(\varnothing) = 0\".
\n\"\ast\" si \"A \in \mathcal{A},\, \mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)\".
\n\"\ast\" si \"n \in \mathbb{N}^*\", si \"(A_k)_{ 0 \leq k \leq n } \in \mathcal{A} ^{n +1}\" v\u00e9rifie si \"i \neq j, \, A_i \cap A_j = \varnothing\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 0} ^{n} A_i \right ) = \sum _{i = 0} ^{n} \mathbb{P} (A_i)\".
\n\"\ast\" si \"n \in \mathbb{N}^*\", si \"(A_k)_{ 0 \leq k \leq n } \in \mathcal{A} ^{n +1}\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 0} ^{n} A_i \right ) \leq \sum _{i = 0} ^{n} \mathbb{P} (A_i)\".
\n\"\ast\" si \"A ,\, B \in \mathcal{A}\" et \"A \subset B\", \"\mathbb{P} (A)\leq \mathbb{P}(B)\".
\n\"\ast\" propri\u00e9t\u00e9 de continuit\u00e9 croissante
\nSi \"(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}\" v\u00e9rifie \"\forall \, n \in \mathbb{N}, \, A_n \subset A_{n + 1} \,\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup_{n \in \mathbb{N} } A_n \right ) = \lim _ {n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n)\".
\n\"\ast\" propri\u00e9t\u00e9 de continuit\u00e9 d\u00e9croissante
\nSi \"(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}\" v\u00e9rifie \"\forall \, n \in \mathbb{N}, \, A_{n + 1} \subset A_{n}\,\",
\n\"\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap_{n \in \mathbb{N} } A_n \right ) = \lim _ {n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n)\".
\n\"\ast\" si \"(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}\", \"\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup_{n \in \mathbb{N} } A_n \right ) \leq \sum _ {n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)\"
\navec la convention \"\displaystyle \sum _ {n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P}(A_n) = +\infty\" lorsque la s\u00e9rie diverge.<\/p>\n

M3.\u00a0 Caract\u00e9risation d’une probabilit\u00e9<\/b>\u00a0sur \"(\Omega,\, \mathcal{P}(\Omega) )\", lorsque \"\Omega\" est fini ou d\u00e9nombrable.
\nSe donner une probabilit\u00e9 sur \"(\Omega,\, \mathcal{P}(\Omega) )\" revient \u00e0 se donner une application \"f : \Omega \to \mathbb{R} ^+\" telle que la famille \"(f(\omega))_{\omega \in \Omega}\" soit une famille sommable<\/a> de somme \u00e9gale \u00e0 1.
\nDans ce cas, pour tout \"A \subset \Omega,\" \"\quad \quad \mathbb{P}(A) = \displaystyle \sum _ {a \in A} f(a)\".<\/p>\n

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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

2. Probabilit\u00e9 d’une r\u00e9union<\/h3>\n

2.1. Cas d’\u00e9v\u00e9nements deux \u00e0 deux incompatibles.<\/b><\/h4>\n

Avant d’\u00e9crire \"\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{ k = 1} ^n A_k \right ) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (A_k)\",
\nv\u00e9rifier que les \u00e9v\u00e9nements \"A_k\" sont deux \u00e0 deux incompatibles.<\/p>\n

Exercice 1<\/b>\u00a0:
\nSoit une urne contenant une proportion \"p\" de boules blanches et une proportion \"q\" de boules noires avec \"p + q = 1\".
\nA et B tirent alternativement chacun au plus \"n\" boules avec remise et le joueur A commence. Le premier qui a tir\u00e9 une boule blanche a gagn\u00e9.
\nQuelle est la probabilit\u00e9 que A gagne ? que B gagne ?<\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>:
\nQuelle est la probabilit\u00e9 d’avoir au plus un carreau en tirant 5 cartes d’un jeu de 32 cartes ?<\/p>\n

2.2. Cas d’\u00e9v\u00e9nements non incompatibles.\u00a0<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\" Pour \"n =2\" :\u00a0 \"\mathbb{P} (A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\"<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"n = 3\", en utilisant deux fois la formule pr\u00e9c\u00e9dente, on obtient :
\n\"\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C)\"
\n\"\; - \, \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) - \mathbb{P}(B \cap C)\"
\n\"+ \,\mathbb{P}(A \cap B \cap C)\".<\/p>\n

Exercice 3\u00a0\u00a0<\/b>
\nOn place \"n\" boules num\u00e9rot\u00e9es dans 4 tiroirs num\u00e9rot\u00e9s de 1 \u00e0 4.
\nCalculer la probabilit\u00e9 que chacun des trois premiers tiroirs contienne au moins une boule.<\/p>\n

Exercice 4\u00a0<\/b>
\nOn place \"2 n\" boules num\u00e9rot\u00e9es de \"1\" \u00e0 \"2 n\" dans \"n\" tiroirs num\u00e9rot\u00e9s de \"1\" \u00e0 \"n\", quelle est la probabilit\u00e9 qu’aucun tiroir ne soit vide ?<\/p>\n

2.3. Probabilit\u00e9 d’une r\u00e9union d\u00e9nombrable.<\/b><\/h4>\n

Calcul de \"\displaystyle \mathbb{P} \left (\bigcup _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right )\".
\nOn ne sait r\u00e9soudre ce probl\u00e8me que dans deux situations :
\na)<\/b>\u00a0Les \u00e9v\u00e9nements \"(A_n)_n\" sont deux \u00e0 deux incompatibles,\u00a0 alors\u00a0\u00a0\"\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left (\bigcup _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right ) =\sum _{n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)\".
\nb)<\/b>\u00a0La suite \"(A_n)_n\" est une suite croissante d’\u00e9v\u00e9nements (\"A_n \subset A_{n + 1}\"), alors\u00a0\u00a0\"\displaystyle \mathbb{P} \left (\bigcup _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right ) = \lim _{n \to +\infty} \mathbb{P}(A_n)\". (propri\u00e9t\u00e9 de continuit\u00e9 croissante)<\/p>\n

Exercice 5\u00a0<\/b>
\nD\u00e9montrer que si pour tout entier \"n\", \"A_n\" est un \u00e9v\u00e9nement n\u00e9gligeable (de probabilit\u00e9 nulle), leur r\u00e9union est n\u00e9gligeable.<\/p>\n

3. Probabilit\u00e9 d’\u00e9v\u00e9nements contenant l’expression \u00ab\u00a0au moins\u00a0\u00bb<\/h3>\n

3.1. Calcul de \"P(A)\" o\u00f9 \"A\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0avoir au moins un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\"\u00ab\u00a0<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\"\u00a0M1<\/b>\u00a0: on passe par le compl\u00e9mentaire \"\overline {A}\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0n’avoir aucun \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant \"\mathcal{P}\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2<\/b>\u00a0: on peut aussi poser \"A = \displaystyle \bigcup _ {k \geq 1} ^n A_k\" o\u00f9 \"A_k\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0avoir exactement \"k\" \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant \"\mathcal{P}\"\u00a0\u00bb en cherchant le nombre maximum \"n\" d’\u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant \"\mathcal{P}\" que l’on peut obtenir ; les \u00e9v\u00e9nements \"A_k\" \u00e9tant deux \u00e0 deux disjoints, \"\mathbb{P} (A) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n \mathbb{P} (A _k)\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3\u00a0<\/b>: on peut aussi se ramener au calcul de \"\mathbb{P} (A) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _ {k \geq 1} ^n A_k \right )\"o\u00f9 les \"A_k\" ne sont pas deux \u00e0 deux disjoints.<\/p>\n

Exercice 1<\/b>
\nEn tirant 6 cartes dans un jeu de 32 cartes, probabilit\u00e9 d’avoir au moins une paire de coeurs.<\/p>\n

3.2. Calcul de \"\mathbb{P} (A \cup B)\" o\u00f9 \"A\" : \u00ab\u00a0avoir au moins un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\" \u00a0\u00bb et \"B\" : \u00ab\u00a0avoir \"k\" \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{Q}\" \u00ab\u00a0<\/b><\/h4>\n

Si \"\Omega\" est l’univers, on utilise \"\Omega = A \cup \overline{A}\", alors
\n\"\quad B = B \cap \Omega = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)\",
\nles \u00e9v\u00e9nements \u00e9tant incompatibles, \"\mathbb{P} (B) = \mathbb{P} (A \cap B) + \mathbb{P} (\overline{A} \cap B)\".
\nDonc \"\mathbb{P} (A \cap B) = \mathbb{P} (B) - \mathbb{P} (\overline{A} \cap B)\".<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nEn tirant 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilit\u00e9 d’avoir deux valets et au moins un as ?<\/p>\n

3.3. Calcul de \"\mathbb{P} (A \cap B)\" o\u00f9 \"A\" : \u00ab\u00a0avoir au moins un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{P}\" \u00a0\u00bb et \"B\" : \u00ab\u00a0avoir au moins un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant une propri\u00e9t\u00e9 \"\mathcal{Q}\" \u00ab\u00a0<\/b><\/h4>\n

On passe par le compl\u00e9mentaire \"\quad \quad \mathbb{P} (A \cap B) = 1 - \mathbb{P} \left ( \overline{A} \cup \overline {B} \right)\".<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral \"\overline{A}\" et \"\overline{B}\" ne sont pas incompatibles.<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nEn tirant 5 cartes dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilit\u00e9 d’avoir au moins un as et au moins un c\u0153ur ?<\/p>\n

4. Probabilit\u00e9 conditionnelle<\/h3>\n

4.1. Il faut distinguer les quantit\u00e9s \"\mathbb{P} (A \cap B)\" et \"\mathbb{P}(A \, | \, B) = \mathbb{P}_B (A)\"<\/b><\/h4>\n

a)\u00a0<\/b>Quand on calcule \"\mathbb{P} (A \cap B)\", on calcule la probabilit\u00e9 que \"A\" et \"B\" soient r\u00e9alis\u00e9s en m\u00eame temps.
\nDans ce cas, \"A \cap B\" est un \u00e9v\u00e9nement<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0Quand on calcule \"\mathbb{P}(A\, | \, B)\", on calcule un quotient de probabilit\u00e9s\u00a0 : \"\quad \quad \mathbb{P}(A\, | \, B) = \displaystyle \frac {{P}(A \cap B)} {{P}( B)}\" .
\n\"A \, | \, B\" n’est pas un \u00e9v\u00e9nement.
\nOn sait que \"B\" est r\u00e9alis\u00e9 et on cherche la probabilit\u00e9 que \"A\" soit r\u00e9alis\u00e9 lorsque \"B\" l’est.<\/p>\n

Cela n\u00e9cessite une lecture attentive de l’\u00e9nonc\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\" Dans certains cas, il est \u00e9vident que l’on demande une probabilit\u00e9 conditionnelle, car on demande la probabilit\u00e9 d’un \u00e9v\u00e9nement sachant (ou lorsque) l’on a obtenu \"B\". On peut rep\u00e9rer cette situation en cherchant les mots \u00ab\u00a0sachant\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0si\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0lorsque\u00a0\u00bb dans l’\u00e9nonc\u00e9.
\n\"\bullet\" Dans d’autres cas, on donne la r\u00e9alisation de l’\u00e9v\u00e9nement \"B\", dans une phrase du type \u00ab\u00a0on a obtenu ? \u00a0\u00bb et on demande ensuite de calculer la probabilit\u00e9 de \"A\", donc de calculer \"\mathbb{P}(A \,| \,B)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Par contre, si l’on demande le calcul de \"\mathbb{P} (A \cap B)\", il faut voir s’il vaut mieux calculer :
\n\"\ast\" \"\mathbb{P} (A \cap B)\" : \u00e9v\u00e9nements de \u00ab\u00a0m\u00eames rangs\u00a0\u00bb ou de \u00ab\u00a0m\u00eame \u00e9poque\u00a0\u00bb.
\n\"\ast\" \"\mathbb{P}(A \, |\, B)\" c’est-\u00e0-dire si la r\u00e9alisation de \"B\" permet de savoir comment r\u00e9aliser \"A\".<\/p>\n

On rappelle que si \"B \in \mathcal{A}\" v\u00e9rifie \"\mathbb{P}(B) \neq 0\", \"\mathcal{A} \to \mathbb{R}, A \mapsto \mathbb{P}(A \, | \, B)\" d\u00e9finit une probabilit\u00e9 sur \"(\Omega\, , \, \mathbb{A})\".<\/p>\n

4.2. Utilisation de la formule des probabilit\u00e9s compos\u00e9es<\/b><\/h4>\n

\"\displaystyle \mathbb{P}\left ( \bigcap _{k = 1} ^{n} A_k \right) =\"
\n\"\displaystyle \mathbb{P} \left (A_n \; \Biggl | \; \bigcap _{k = 1} ^{n - 1} A_k \right) \, \times \mathbb{P} \left ( A_{n - 1} \; \Biggl | \; \bigcap _{k = 1} ^{n - 2} A_k \right)\"
\n\"\quad \quad \quad \times \, \cdots\, \times \mathbb{P} (A_2 \, |\, A_{1}) \, \mathbb{P} (A_1) \,\".<\/p>\n

Ne pas oublier de v\u00e9rifier que \"\mathbb{P} (A_1 \cap \, \cdots \, \cap A_{n - 1}) > 0\", pour justifier l’existence des probabilit\u00e9s conditionnelles.<\/p>\n

On conditionne \u00ab\u00a0en remontant le temps\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire par les \u00e9v\u00e9nements ant\u00e9rieurs.<\/p>\n

4.3. Probabilit\u00e9 d’une intersection d\u00e9nombrable<\/b><\/h4>\n

On ne sait calculer \"\displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right )\" que lorsque \"\forall \, n \in \mathbb{N}, A_{n + 1} \subset A_n\" : par propri\u00e9t\u00e9 de continuit\u00e9 d\u00e9croissante,
\n\"\quad \quad \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcap _{n = 0} ^{+\infty} A_n \right ) = \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P} (A_n)\".<\/p>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>
\nSi l’on effectue des tirages avec remise dans une urne contenant une proportion \"p\" de boules rouges, calculer la probabilit\u00e9 de toujours obtenir une boule bouge.<\/p>\n

Exercice 2\u00a0\u00a0<\/b>
\nSoit \"(A_n)_{n \geq 1}\" une suite d’\u00e9v\u00e9nements mutuellement ind\u00e9pendants.
\nOn note \"R = \displaystyle \bigcap _{n = 1} ^{+\infty} A_n\".
\n\"\displaystyle \mathbb{P}(R) = \lim_{n \to +\infty} \prod _ {k = 1} ^{n} \mathbb{P}(A_k)\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

5. Quelques m\u00e9thodes de calcul de probabilit\u00e9<\/h3>\n

5.1. Utilisation de la formule des probabilit\u00e9s totales<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\" Rappel de la formule
\nSoit \"(\Omega,\, \mathcal {A}, \, \mathbb{P})\" un espace probabilis\u00e9.
\n\"\ast\" Si \"(A_i) _ {1 \leq i \leq n}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements de probabilit\u00e9 non nulle, pour tout \"B \in \mathcal {A}\",\u00a0\"\quad \displaystyle \mathbb{P}(B) = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (B \, | \, A_k) \mathbb{P} (A_k)\".<\/p>\n

\"\ast\" Si \"(A_n) _ {n \in \mathbb{N} }\" est un syst\u00e8me complet (ou quasi-complet) d’\u00e9v\u00e9nements, pour tout \"B \in \mathcal {A}\",\u00a0\"\displaystyle \mathbb{P}(B) = \sum _{n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P} (B \cap A_n)\"
\nCe que l’on peut \u00e9crire sous la forme
\n\"\displaystyle \mathbb{P}(B) =\sum _{n = 0} ^{+\infty} \mathbb{P} (B \, | \, A_n) \mathbb{P} (A_n)\",
\n…. si pour tout \"n\", \"\mathbb{P} (A_n) > 0\"
\n…. en ajoutant la convention si \"\mathbb{P} (A_n) = 0\", \"\mathbb{P} (B \, | \, A_n) \mathbb{P} (A_n) = 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1<\/b>\u00a0Lorsque l’on fait des tirages qui peuvent avoir lieu dans des urnes diff\u00e9rentes ou dans des conditions diff\u00e9rentes qui sont d\u00e9finies par les r\u00e9sultats d’une premi\u00e8re \u00e9preuve, il faut introduire un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements correspondant aux diff\u00e9rents choix des urnes ou des diff\u00e9rents r\u00e9sultats de la premi\u00e8re \u00e9preuve.<\/p>\n

Exercice 1<\/b>
\nOn lance un d\u00e9 \u00e9quilibr\u00e9. Lorsque l’on obtient la face \"k\", on tire dans une urne contenant les jetons num\u00e9rot\u00e9s de 1 \u00e0 \"k\". Quelle est la probabilit\u00e9 d’obtenir un jeton num\u00e9rot\u00e9 1 ?<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2<\/b>\u00a0Lorsque les r\u00e9sultats de l’\u00e9preuve \"n\" d\u00e9pendent des r\u00e9sultats de l’\u00e9preuve \"n - 1\", introduire un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements correspondant \u00e0 toutes les \u00e9ventualit\u00e9s du rang \"n - 1\" et utiliser la formule des probabilit\u00e9s totales.<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nOn a deux urnes contenant respectivement une proposition \"p\" et \"p'\" de boules blanches. Le premier tirage a lieu dans la premi\u00e8re urne.
\nPuis si l’on obtient une boule blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne 1 sinon il se fait dans l’urne 2.
\nSi \"b_n\" est la probabilit\u00e9 d’obtenir une boule blanche au \"n\"-\u00e8me tirage, trouver une relation de r\u00e9currence liant \"b_n\" et \"b_{n - 1}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3\u00a0<\/b>Lorsque les r\u00e9sultats de l’\u00e9preuve \"n\" d\u00e9pendent des r\u00e9sultats de toutes les \u00e9preuves pr\u00e9c\u00e9dentes, introduire un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements correspondant \u00e0 toutes les \u00e9ventualit\u00e9s des premi\u00e8res \u00e9preuves permettant soit de terminer l’ensemble des \u00e9preuves soit de \u00ab\u00a0remettre le compteur \u00e0 z\u00e9ro\u00a0\u00bb et utiliser la formule des probabilit\u00e9s totales.
\nSi \"B\" est un des \u00e9v\u00e9nements du syst\u00e8me complet pr\u00e9c\u00e9dent correspondant \u00e0 \"k\" \u00e9preuves, on sera donc amen\u00e9 \u00e0 calculer des probabilit\u00e9s du type \"\mathbb{P} (A \, | \, B)\" : il reste \"n - k\" \u00e9preuves \u00e0 effectuer pour passer d’une situation r\u00e9sultant de la r\u00e9alisation de \"B\" \u00e0 une situation o\u00f9 l’on doit avoir \"A\".<\/p>\n

Exercice 3\u00a0<\/b>
\nOn joue \u00e0 pile (probabilit\u00e9 \"p\") ou face (probabilit\u00e9 \"q\") en arr\u00eatant d\u00e8s que l’on obtient pour la premi\u00e8re fois deux\u00a0 piles de suite.
\nOn note \"a_n\" la probabilit\u00e9 de s’arr\u00eater au \"n\"-\u00e8me lancer.
\nTrouver une relation de r\u00e9currence exprimant \"a_n\" en fonction des \"(a_k)_{1\leq k\leq n - 1}\" si \"n \geq 3\".<\/p>\n

On peut calculer la probabilit\u00e9 que le jeu s’arr\u00eate au bout d’un nombre fini d’\u00e9preuves sans avoir calcul\u00e9 \"a_n = \mathbb{P} (A_n)\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4\u00a0<\/b>Dans une suite infinie d’\u00e9preuves, lorsque l’on gagne en obtenant pour la premi\u00e8re fois une suite donn\u00e9e de r\u00e9sultats, pour calculer la probabilit\u00e9 de gagner, on peut introduire un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements correspondant aux premi\u00e8res \u00e9preuves (on obtient la bonne figure, ou on revient apr\u00e8s quelques \u00e9preuves \u00ab\u00a0\u00e0 une remise \u00e0 z\u00e9ro\u00a0\u00bb).<\/p>\n

Exercice 4\u00a0\u00a0<\/b>
\nDans une suite d’\u00e9preuves ind\u00e9pendantes de pile (probabilit\u00e9 \"p\") et face (probabilit\u00e9 \"q\"), on gagne en obtenant la suite \"PPP\".
\nQuelle est la probabilit\u00e9 de gagner ?<\/p>\n

5.2. Calcul de \"\mathbb{P}(A)\" o\u00f9 \"A\" est du type \u00ab\u00a0il faut faire \"k\" \u00e9preuves pour obtenir un \"x\" -\u00e8me \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant \"H\"\u00ab\u00a0<\/b>\u00a0(avec \"x \in \mathbb{N}^*\" et \"x \leq k\").<\/h4>\n

On \u00e9crit \"A = B \cap C\" avec
\n\"\ast\" \"C\" : \u00ab\u00a0lors de la \"k\" \u00e8me \u00e9preuve, on obtient un \u00e9l\u00e9ment v\u00e9rifiant \"H\"\u00a0\u00bb
\n\"\ast\" \"B\" : \u00ab\u00a0lors des \"k - 1\" premi\u00e8res \u00e9preuves, on a obtenu \"x - 1\" \u00e9l\u00e9ments v\u00e9rifiant \"H\" et \"k - x\" \u00e9l\u00e9ments ne v\u00e9rifiant pas \"H\"\u00ab\u00a0.
\npuis on utilise \"\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B \cap C) = \mathbb{P}(C \,|\, B) \, \mathbb{P}(B)\".<\/p>\n

Exercice 5\u00a0<\/b>
\nOn lance une pi\u00e8ce donnant pile avec la probabilit\u00e9 \"p\" jusqu’\u00e0 obtenir le troisi\u00e8me pile.
\nQuelle est la probabilit\u00e9 de lancer la pi\u00e8ce \"n\" fois (avec \"n \geq 3\") ?<\/p>\n

5.3. Recherche de la probabilit\u00e9 de gain de \"A\" dans une suite de jeux<\/b><\/h4>\n

a)\u00a0<\/b>On note \"G_k\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0\"A\" gagne la partie avec le \"k\" -i\u00e8me jeu \u00a0\u00bb .
\nOn cherche \"I\" l’ensemble des num\u00e9ros des jeux o\u00f9 \"A\" peut gagner (attention \"I\" peut \u00eatre infini si l’on a une suite infinie de jeux).
\nSi \"G\" est l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0\"A\" gagne\u00a0\u00bb, \"\quad G = \displaystyle \bigcup _{i \in I} G_i\" et \"\displaystyle \mathbb{P} (G) = \sum _{i \in I} \mathbb{P} (G_i).\"<\/p>\n

b)\u00a0<\/b>Si l’unique adversaire de \"A\" est \"B\", il est possible que la probabilit\u00e9 que \"B\" gagne ne soit pas \u00e9gale \u00e0 \"1 - \mathbb{P}(A)\" : il existe des jeux o\u00f9 il n’y a pas de gagnant.<\/p>\n

En reprenant l’exemple du paragraphe 1.1., la probabilit\u00e9 qu’il y ait un gagnant est \"\mathbb {P} (G) + \mathbb{P}(G') = 1 - q^{2 n}\".<\/p>\n

6. Cha\u00eene de Markov<\/h4>\n

On consid\u00e8re une suite d’\u00e9preuves identiques, chaque \u00e9preuve pouvant donner \"k\" r\u00e9sultats diff\u00e9rents.
\nOn note les \"k\" r\u00e9sultats \u00e0 l’\u00e9preuve \"n\" sous la forme \"R_n^{(1)},\,R_n^{(2)},\,\cdots\,,\, R_n^{(k)}\".<\/p>\n

M\u00e9thode habituelle dans les sujets<\/b>\u00a0:
\nOn suppose que, pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\" et pour tout \"(i, j) \in [\![ 1 , \,k ]\!]^2\", la probabilit\u00e9 \"\mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\, \Bigl |\, R_{n-1}^{(j)}\right )\" ne d\u00e9pend pas de \"n\" et on la note \"a_{i , j}\,\".
\nOn introduit la matrice \"A = (a_{i,j})_{ 1 \leq i , j \leq k }\"
\nOn d\u00e9finit la matrice colonne \"U_n\" de type \"(k , 1)\" par \"U_n = \left ( \mathbb{P} (R_n^{(i)})\right ) _{1\leq i \leq k}\".<\/p>\n

Par la formule des probabilit\u00e9s totales, \"\displaystyle \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\right ) = \sum _{ j = 1} ^ k \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\, \Bigl |\, R_{n-1}^{(j)}\right ) \, \mathbb{P} \left ( R_{n-1}^{(j)}\right )\" ce qui se traduit matriciellement par \"U_n = A\, U_{n - 1}\".
\nOn en d\u00e9duit \"U_n\" par la formule \"U_n = A^{n - 1} \, U_1\" ou \"U_n = A^n \, U_0\" . Il suffit de savoir diagonaliser \"A\" pour trouver \"U_n\" .<\/p>\n

Quelques remarques utiles :\u00a0<\/b>
\nR1<\/b>\u00a0: La somme des termes de chaque colonne de \"A\" est \u00e9gale \u00e0 1.
\nR2<\/b>\u00a0: La matrice \"A^{\textrm{T}}\" est dite\u00a0stochastique<\/i>\u00a0: les coefficients de \"A^{\textrm{T}}\" sont positifs ou nuls et la somme des termes de chaque ligne de \"A^{\textrm{T}}\" est \u00e9gale \u00e0 1.
\n1 est valeur propre de \"A^{\textrm{T}}\" (donc aussi de \"A\"), la matrice colonne dont tous les termes sont \u00e9gaux \u00e0 1 est un vecteur<\/a> propre de \"A^{\textrm{T}}\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1.<\/p>\n

et deux r\u00e9sultats que l’on trouve dans de nombreux sujets<\/i>\u00a0:
\nTh\u00e9or\u00e8me3<\/b>\u00a0: On peut d\u00e9montrer que les valeurs propres de \"A^{\textrm{T}}\" (donc de \"A\") sont de module inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me4<\/b>\u00a0: Si les \u00e9l\u00e9ments de la matrice \"A^{\textrm{T}}\" sont strictement positifs, 1 est la seule valeur propre de module 1 de \"A\" et le sous-espace propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1 est de dimension 1.<\/p>\n

Pour les exercices demandant de prouver que pour tout \"i \in [\![1 , k]\!]\", la suite \"\left ( \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\right ) \right ) _n\" converge :\u00a0<\/b>
\na)\u00a0<\/b>\u00c9tudier la r\u00e9duction<\/a> de \"A\".
\nLorsque \"A\" est diagonalisable<\/a> dans \"\mathcal{M} _ k ( \mathbb{C})\", il existe \"P \in \text{GL}_k(\mathbb{C})\" telle que \"A = P \, D\, P ^{- 1}\", o\u00f9 \"\quad \quad \quad D = \textrm{diag}(\lambda_1 ,\, \cdots \, , \, \lambda_k)\".<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0\"1 \in \textrm{Sp}(A)\". On suppose dans la suite que \"r\" est tel que \"\quad \quad \lambda_1 = \, \cdots \, = \lambda_r = 1\" \"\quad \textrm{et si } k \geq i > r,\; \vert \lambda_i \vert < 1.\"
\nDans ce cas,\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} D^n = \Delta = \textrm{diag} (1 , \cdots , 1 , 0, \cdots , 0)\" (\"r\" fois 1 et \"k - r\" fois 0).
\nPar continuit\u00e9 de l’endomorphisme de \"\mathcal{M} _ k ( \mathbb{C})\", \"M \mapsto P \, M\, P^{ - 1}\", \"\quad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty } P \, D^n \, P ^{- 1} = P \, \Delta \, P^{-1}\".
\nLa suite \"(A^n)_n\" converge vers \"\quad \quad P \, \Delta \, P^{-1} \in \mathcal{M} _ k ( \mathbb{R})\".<\/p>\n

c)<\/b>\u00a0Par continuit\u00e9 de l’application lin\u00e9aire \"\mathcal{M} _ k ( \mathbb{R}) \to \mathcal{M} _ {k, 1} ( \mathbb{R})\", \"\quad \quad \quad \quad M \mapsto M \, U_0\,\",
\n\"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} U_n = P \, \Delta \, P^{-1} \, U_0\" que l’on note \"L\".<\/p>\n

d)<\/b>\u00a0\"U_{n + 1} = A \,U_n \,\", par continuit\u00e9 de l’endomorphisme de \"\mathcal{M} _ {k, 1} ( \mathbb{R})\", \"X \mapsto A \, X\", on obtient : \"L = A \,L\".<\/p>\n

e)<\/b>\u00a0Si \"L = (\mu_i)_{1 \leq i \leq k} \,\", \"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^k \mu_i = 1\".
\navec pour tout \"i,\; \mu_i \geq 0\"
\ncar pour tout \"n \in \mathbb{N}^*\",
\n\"\quad \displaystyle \sum _{i = 1} ^k \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\right ) = 1\" et \"\mathbb{P} \left ( R_n^{(i)} \right ) \geq 0\".<\/p>\n

f)<\/b>\u00a0Lorsque \"r = 1\", le sous espace propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1 est de dimension 1, \"L\" est le vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1 et dont la somme des coefficients est \u00e9gale \u00e0 1.<\/p>\n

Autre traduction\u00a0<\/b>:
\nCertains \u00e9nonc\u00e9s peuvent introduire la matrice ligne de type \"(1 , \, k)\".
\n\"L_n = \left ( \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\right ) \right )_{1 \leq i \leq k }\".<\/p>\n

Dans ce cas, on note \"B = (b_{i,j})_{ 1 \leq i , j \leq k}\" avec \"b_{i, j} = \mathbb{P} \left ( R_n^{(i)}\, \Bigl |\, R_{n-1}^{(j)}\right )\".
\nAlors, \"B = A^{\textrm{T}}\" o\u00f9 \"A\" est d\u00e9finie ci-dessus.
\nLa relation s’\u00e9crit \"L_{n + 1} = L_n \, A^{\textrm{T}}\".<\/p>\n

Les cours en pr\u00e9pa se d\u00e9roulent relativement rapidement et certaines notions importantes sont parfois abord\u00e9es trop vite. Les cours en ligne de Maths en PSI<\/a>, les cours en ligne de Maths en MP<\/a> et les cours en ligne de Maths en PC<\/a> ou aussi les cours en ligne de Maths en PT<\/a> permettent ainsi aux \u00e9tudiants de pouvoir compl\u00e9ter leur prise de notes.<\/p>\n

Exercices sur les probabilit\u00e9s en maths sp\u00e9<\/b><\/p>\n

Plan<\/h3>\n

1. Ajout de boules apr\u00e8s tirages (30 mn).
\n2. Balade sur un triangle (20 mn).
\n3. Des questions de parit\u00e9 (20 mn).
\n4. Un jeu de fl\u00e9chette (20 mn).
\n5. Tirages de parties de \"E\" (60 mn)
\n6. \"2n\" boules pour \"n\" bo\u00eetes (30 mn)<\/p>\n

1. Ajout de boules apr\u00e8s tirage<\/h3>\n

Soit une urne contenant initialement \"b\" boules blanches et \"r\" boules rouges. On note \"N = b + r\".
\n\u00c0 la suite de chaque tirage, on remet dans l’urne la boule tir\u00e9e ainsi que \"a\" boules de la m\u00eame couleur (\"a \in \mathbb{N}^*\").
\nQuestion 1<\/b>
\nQuelle est la probabilit\u00e9 en \"n\" tirages de n’obtenir que des blanches ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nLa probabilit\u00e9 d’obtenir une boule blanche au deuxi\u00e8me tirage si l’on a obtenu blanc au premier et troisi\u00e8me tirage est \u00e9gale \u00e0
\na)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \frac {a } {N + a}\"\u00a0\u00a0 \u00a0 \u00a0 b)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \frac {a + b} {N + a}\"\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0c)\u00a0<\/b>\"\displaystyle \frac {2 a + b} {N + 2 a}\" .<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nLa probabilit\u00e9 de tirer blanc au \"n\"-i\u00e8me tirage ne d\u00e9pend pas de \"n\".<\/p>\n

2. Balade sur un triangle<\/h3>\n

CCP MP 2018
\nUne puce se d\u00e9place sur un triangle \u00e9quilat\u00e9ral \"ABC\".
\nElle se situe initialement en \"A\".
\nSi elle est en \"A\" \u00e0 un instant \"n\" donn\u00e9, elle se d\u00e9place sur un des deux autres sommets \u00e0 l’instant \"n + 1\" de mani\u00e8re \u00e9quiprobable.
\nSi elle est en \"B\" \u00e0 un instant \"n\" donn\u00e9, elle se d\u00e9place sur un des deux autres sommets \u00e0 l’instant \"n + 1\" de mani\u00e8re \u00e9quiprobable.
\nSi elle est en \"C\" \u00e0 un instant,\u00a0 elle reste en \"C\" \u00e0 l’instant suivant.
\nOn note \"A_n\"(resp \"B_n,\, C_n\") \u00ab\u00a0La puce est en \"A\" (resp \"B,\, C\") \u00e0 l’instant \"n\"\u00ab\u00a0.
\nOn note \"u_n\"(resp \"v_n\", \"w_n\") \"\mathbb{P}(A_n)\"(resp \"\mathbb{P}(B_n)\", \"\mathbb{P}(C_n)\").<\/p>\n

Question 1<\/b>
\na)\u00a0<\/b>D\u00e9terminer \"u_{n+1}\,, \, v_{n+1}\, ,\, w_{n+1}\" en fonction de \"u_{n}\,, \, v_{n}\, ,\, w_{n}\".
\nb)\u00a0<\/b>Soit \"X_n =\begin{pmatrix} u_n\\v_n\\w_n \end{pmatrix}\". Il existe une matrice \"M \in \mathcal{M} _ 3(\mathbb{R})\" telle que \"X_n = M^n \, X_0\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nDonner les expressions explicites de \"u_{n}\,, \, v_{n}\, ,\, w_{n}\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nQue se passe-t-il lorsque \"n \to +\infty\" ? Expliquer.<\/p>\n

3. Des questions de parit\u00e9<\/h3>\n

TPE MP 2018
\nOn dispose de \"n\" pi\u00e8ces num\u00e9rot\u00e9es. La \"k\"-i\u00e8me pi\u00e8ce a une probabilit\u00e9 \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac 1{2k+1}\" de donner pile.
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nOn note \"u_i\" la probabilit\u00e9 d’avoir un nombre pair de \u00ab\u00a0pile\u00a0\u00bb apr\u00e8s avoir lanc\u00e9 les \"i\" premi\u00e8res pi\u00e8ces. Exprimer \"u_{i+1}\" en fonction de \"i\" et \"u_i\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nQuelle est la probabilit\u00e9 d’avoir un nombre pair de \u00ab\u00a0pile\u00a0\u00bb en lan\u00e7ant toutes les pi\u00e8ces ?<\/p>\n

4. Un jeu de fl\u00e9chettes<\/h3>\n

A, B et C jouent aux fl\u00e9chettes.
\nLa probabilit\u00e9 que A (resp. B, resp. C) touche la cible est \u00e9gale \u00e0 \"\displaystyle \frac 1 4\" (resp. \"\displaystyle \frac 1 6\" , resp \"\displaystyle \frac 1 8\" ).
\nOn choisit au hasard le premier joueur.
\nQuestion 1<\/b>
\nQuelle est la probabilit\u00e9 que la cible soit atteinte ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi la cible n’est pas atteinte, A rejoue. Quelle est la probabilit\u00e9 que A touche la cible ?<\/p>\n

Question 3.<\/b>
\nLa cible a \u00e9t\u00e9 touch\u00e9e. Quelle est la probabilit\u00e9 que ce soit par A ?<\/p>\n

5. Tirages de parties de \"E\"<\/h3>\n

Soient \"n \in \mathbb{N}^*\" et \"E\" un ensemble de cardinal \"n\".
\nPartie 1<\/b>
\nOn se donne une partie \"A\" de \"E\", de cardinal \"k\" o\u00f9 \"k \in [\![1 \, n]\!]\".
\nOn tire au hasard une partie \"B\" de \"E\".
\nOn suppose que toutes les parties de \"E\" ont la m\u00eame probabilit\u00e9 d’\u00eatre tir\u00e9es.
\nQuestion 1<\/b>
\nCalculer la probabilit\u00e9 de tirer la partie \"A\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nCalculer la probabilit\u00e9 de l’\u00e9v\u00e9nement \"F\" : \u00ab\u00a0la partie tir\u00e9e contient \"A\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn note \"G\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0la partie tir\u00e9e est incluse dans \"A\"\u00ab\u00a0. Les \u00e9v\u00e9nements \"F\" et \"G\" sont-ils ind\u00e9pendants ?<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nCalculer la probabilit\u00e9 de tirer une partie disjointe de \"A\".<\/p>\n

Deuxi\u00e8me partie<\/b>
\nOn tire maintenant avec remise deux parties de \"E\".
\nQuestion 1<\/b>
\nQuelle est la probabilit\u00e9 qu’elles soient \u00e9gales ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nQuelle est la probabilit\u00e9 qu’elles soient disjointes ?<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nQuelle est la probabilit\u00e9 que l’une des parties tir\u00e9es soit incluse dans l’autre ?<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nOn se donne une partie \"F\" de \"E\" \u00e0 \"k\" \u00e9l\u00e9ments (\"1 \leq k \leq n - 1\").
\nQuelle est la probabilit\u00e9 que l’intersection des deux parties tir\u00e9es soit \u00e9gale \u00e0 \"F\" ?<\/p>\n

Question 5<\/b>\u00a0(plus simple en utilisant des variables al\u00e9atoires<\/a>)
\nQuelle est la probabilit\u00e9 que les parties tir\u00e9es aient m\u00eame cardinal ?<\/p>\n

6. \"2n\" boules pour \"n\" bo\u00eetes<\/h3>\n

Un sac contient \"n\" boules noires et \"n\" boules blanches, discernables (\"n > 2\").
\nOn r\u00e9partit au hasard ces boules dans \"n\" bo\u00eetes, \u00e0 raison de deux boules par bo\u00eete.
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nCalculer la probabilit\u00e9 \"p_n\" pour que chaque bo\u00eete contienne une boule de chaque couleur.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nCalculer la probabilit\u00e9 \"q_n\" pour que chaque bo\u00eete contienne deux boules de la m\u00eame couleur.<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nMontrer que pour tout \"n \in \mathbb{N }^*,\" \"\quad \quad \quad \displaystyle \frac {2 ^{2 n - 1} } n \leq \binom {2 n} n \leq 2 ^{2n}\"<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nD\u00e9terminer \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} p_n\" et \"\displaystyle \lim_{n \to + \infty} q_{n}\"<\/p>\n

Autres exercices<\/b><\/h2>\n

Plan<\/h3>\n

1. Une tribu et une probabilit\u00e9 (15 mn)
\n2. Probabilit\u00e9 sur \"\mathbb{N}^*\" (20 mn)
\n3. Un jeu de balle (30 mn).
\n4. Une in\u00e9galit\u00e9 (30 mn).
\n5. Remplir trois bo\u00eetes (45 mn).
\n6. Suite croissante de r\u00e9sultats (30 mn).
\n7. Lemme de Borel Cantelli (40 mn).
\n8. Probabilit\u00e9s et nombres premiers (40 mn).
\n9. Un jeu de pile ou face (60 mn).
\n10. D\u00e9monstration de la formule de Poincar\u00e9 en utilisant des variables al\u00e9atoires. (30 mn).<\/p>\n

1. Une tribu et une probabilit\u00e9<\/h3>\n

Question 1<\/b>
\nSoit \"\Omega\" un ensemble infini non d\u00e9nombrable<\/a>.
\nOn note \"\mathcal{A}\" l’ensemble des parties \"A\" de \"\Omega\" telles que \"A\" ou \"\overline{A}\" est fini ou d\u00e9nombrable.
\n\"\mathcal{A}\" est une tribu sur \"\Omega\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nOn d\u00e9finit la fonction \"\mathbb{P}\" sur \"\mathcal{A}\" par si \"A \in \mathcal{A}\", \"\mathbb{P}(A) = 0\" si \"A\" est fini ou d\u00e9nombrable et \"\mathbb{P}(A) = 1\" si \"A\" n’est pas fini ou d\u00e9nombrable.
\n\"\mathbb{P}\" est une probabilit\u00e9 sur \"(\Omega , \mathcal{A})\".<\/p>\n

2. Une probabilit\u00e9 sur \"\mathbb{N}^*\"<\/h3>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nD\u00e9terminer le r\u00e9el \"\alpha\" qu’il existe une probabilit\u00e9 sur \"(\mathbb{N}^*, \, \mathcal{P}(\mathbb{N}^*))\" telle que si \"n \in \mathbb{N}^*, \, \mathbb{P}(\{n\}) = \displaystyle \frac {\alpha} {2 ^n}\"<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nSoit \"k \in \mathbb{N}^*\" , on note \"A_k\" l’\u00e9v\u00e9nement : \u00a0\u00bb l’entier tir\u00e9 est un multiple de \"k\" \u00ab\u00a0. Calculer \"\mathbb{P}(A _k)\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nCalculer \"\mathbb{P}(A_2 \cup A_3)\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nOn note \"B\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00a0\u00bb l’entier tir\u00e9 est un nombre premier\u00a0\u00bb.
\n\"\displaystyle \frac {13} {32 } \leq \mathbb{P}(B) \leq \frac {209} {504}\"<\/p>\n

3. Un jeu de balle<\/h3>\n

Trois enfants A, B et C jouent avec une balle.
\nLorsque A a la balle, la probabilit\u00e9 pour qu’il l’envoie \u00e0 B est 0.75 et la probabilit\u00e9 pour qu’il l’envoie \u00e0 C est 0.25.
\nLorsque B a la balle, la probabilit\u00e9 pour qu’ il l’envoie \u00e0 A est 0.75 et la probabilit\u00e9 pour qu’il l’envoie \u00e0 C est 0.25.
\nC envoie toujours la balle \u00e0 B.
\nOn d\u00e9signe respectivement par \"p_n\" , \"q_n\" et \"r_n\" les probabilit\u00e9s pour qu’\u00e0 l’issue du jeu \"n\" ce soit A, resp B, resp. C qui ait la balle.<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nMontrer qu’il existe une matrice carr\u00e9e d’ordre 3 not\u00e9e \"M\" telle que\"\quad \quad \quad \begin {pmatrix} p_{n + 1} \\q_{n + 1} \\r_{n + 1} \end{pmatrix} = M \, \begin {pmatrix} p_n \\q_n \\r_n \end{pmatrix}\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nExprimer la matrice \"M ^n\" sous forme de produit de matrices<\/a> simples.<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nD\u00e9montrer que les suites<\/a> \"(p_n)_n\, , \, (q_n)_n\" et \"(r_n)_n\" convergent et en d\u00e9terminer les limites.
\nOn v\u00e9rifiera que ces limites sont ind\u00e9pendantes de l’enfant qui avait la balle au d\u00e9but du jeu.<\/p>\n

4. Une in\u00e9galit\u00e9<\/h3>\n

CCP MP 2018
\nSoit \"(\Omega, \, \mathcal{A} , \, \mathbb{P})\" un espace probabilis\u00e9.
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nSi \"x \in [0 , \, 1]\", l’in\u00e9galit\u00e9 \"\displaystyle x(1 - x) \leq \frac 1 4\" est v\u00e9rifi\u00e9e.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoient \"A, \, B\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal{A}\", incompatibles.
\n\"\displaystyle \mathbb{P}(A)\; \mathbb{P}(B) \leq \frac 1 4\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSoient \"A, \, B\" deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal{A}\".
\na)\u00a0<\/b>Montrer que
\n\"\mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A)\, \mathbb{P}(B) =\"
\n\" \quad \mathbb{P}(A \cap B)\, \mathbb{P}(\overline {A} ) - \mathbb{P}(\overline {A} \cap B)\, \mathbb{P}(A).\"
\nb)\u00a0<\/b>Montrer que \"\displaystyle \quad \left \vert \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A)\, \mathbb{P}(B) \right \vert \leq \frac 1 4\".<\/p>\n

\u00a0Question 4\u00a0<\/b>
\nL’in\u00e9galit\u00e9 pr\u00e9c\u00e9dente est une \u00e9galit\u00e9 si, et seulement si,
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = \frac 1 2\"\u00a0 \"\quad \quad \textrm{et }\displaystyle \mathbb{P} (A \cap B) \in\left \{0 , \, \frac 1 2 \right \}\".<\/p>\n

5. Remplir trois bo\u00eetes<\/h3>\n

Des boules indiscernables en nombre infini sont plac\u00e9es dans des boites num\u00e9rot\u00e9es de 1 \u00e0 3 \u00e0 capacit\u00e9 illimit\u00e9e.
\nOn place les boules ind\u00e9pendamment les unes des autres.
\nOn arr\u00eate quand les trois bo\u00eetes sont non vides.
\nQuestion 1<\/b>
\nOn note \"B_k\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on a plac\u00e9 \"k\" boules lorsque pour la premi\u00e8re fois deux bo\u00eetes des trois bo\u00eetes sont non vides\u00a0\u00bb.
\nCalculer \"\mathbb{P}(B_k)\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"(B_k)_{k \geq 2}\" est un syst\u00e8me quasi-complet d’\u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn note \"C_p\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on a plac\u00e9 \"p\" boules lorsque pour la premi\u00e8re fois les trois bo\u00eetes sont non vides\u00a0\u00bb.
\nSi \"p \in \mathbb{N}\", \"p \geq 3\",\u00a0 \"\mathbb{P}(C_p)\" est \u00e9gal \u00e0
\na)\u00a0<\/b>\"\displaystyle \frac {2 ^{p - 1} } {3^{p - 1}}\"\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0b)<\/b>\"\displaystyle \frac {2 ^{p - 1} - 2 } {3^{p - 1}}\"\u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0c)<\/b>\"\displaystyle \frac {2 ^{p - 1} - 1 } {3^{p - 1}}\"<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nLa probabilit\u00e9 d’arr\u00eater la r\u00e9partition au bout d’un nombre fini d’\u00e9preuves est \u00e9gale \u00e0 1<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nQuelle est la probabilit\u00e9 d’arr\u00eater avec deux bo\u00eetes ne contenant qu’une seule boule ?<\/p>\n

6. Suite croissante de r\u00e9sultats<\/h3>\n

Question 1<\/b>
\nSoit \"n\" et \"N\" deux entiers naturels non nuls.\u00a0On note \"\mathcal{C}_{n , N} = \{ u_1\, , \, \cdots \, , \, u_n) \in \mathbb{N}^n\" \"\quad \quad \quad \quad 1 \leq u_1 \leq \cdots \leq u_n \leq N\}\".
\nEn utilisant \"\varphi\" d\u00e9finie sur \"\mathcal{C}_{n , N}\" par \"\varphi (u_1\, , \, \cdots \, , \, u_n) = (v_1\, , \, \cdots \, , \, v_n)\" o\u00f9 \"\quad \forall\, \, k \in [\! [1 , n]\!] , \, v_k = u _ k + k - 1\",
\nd\u00e9terminer \"\# \, \mathcal{C}_{n , N}\, \".<\/p>\n

Dans la suite, \"N \in \mathbb{N} ^*\". On effectue des tirages avec remise dans un sac contenant \"N\" jetons num\u00e9rot\u00e9s de \"1\" \u00e0 \"N\".
\nQuestion 2.<\/b>
\nSi \"n \geq 2\", on note \"A_n\" l’\u00e9v\u00e9nement : \u00ab\u00a0les \"n\" num\u00e9ros tir\u00e9s sont rang\u00e9s par ordre croissant (au sens large)\u00a0\u00bb.
\nCalculer \"a_n = \mathbb{P}(A_n)\,\".
\nOn pose \"a_1 = 1\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nEn utilisant la s\u00e9rie<\/a> de terme g\u00e9n\u00e9ral \"b_n = \ln(a_{n + 1}) - \ln(a_n)\", d\u00e9terminer la convergence de la suite \"(a_n)_n\" et sa limite.<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nOn arr\u00eate les tirages lorsque l’on obtient pour la premi\u00e8re fois un num\u00e9ro strictement inf\u00e9rieur aux num\u00e9ros d\u00e9j\u00e0 tir\u00e9s.
\nLa probabilit\u00e9 d’obtenir d’arr\u00eater au bout d’un nombre fini de tirages est strictement inf\u00e9rieure \u00e0 1.<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nQuelle est la probabilit\u00e9 \"p_n\" d’arr\u00eater au \"n\"-i\u00e8me tirage ?<\/p>\n

7. Lemme de Borel-Cantelli<\/h3>\n

Soit \"(A_n)_n\" une suite d’\u00e9v\u00e9nements de l’espace probabilis\u00e9 \"(\Omega, \, \mathcal{A})\",
\nQuestion 1<\/b>
\nOn note \"A\"\u00a0 : \u00ab\u00a0une infinit\u00e9 d’\u00e9v\u00e9nements \"A_n\" sont r\u00e9alis\u00e9s\u00a0\u00bb.
\nExprimer \"A\" et justifier que \"A\" est un \u00e9v\u00e9nement.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nOn suppose que \"\sum \mathbb{P}(A_n)\" est convergente. \"A\" est un \u00e9v\u00e9nement<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn suppose que les \u00e9v\u00e9nements \"(A_n)_n\" sont ind\u00e9pendants et que \"\sum \mathbb{P}(A_n)\" diverge. \"A\" est un \u00e9v\u00e9nement<\/p>\n

Question 4<\/b>\u00a0application :
\nSoit une \u00e9preuve ayant \"r\" issues distinctes \u00e9quiprobables.
\nSoit\u00a0 \"n \in \mathbb{N}^*\" et\u00a0\"A_n\" l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0au cours des \"n\, r\" premi\u00e8res \u00e9preuves, on obtient chacun des \"r\" r\u00e9sultats \"n\" fois \u00ab\u00a0. On dit alors qu’il y a compensation exacte.
\na)<\/b>\u00a0Calculer \"\mathbb{P}(A_n)\".
\nb)<\/b>\u00a0En d\u00e9duire un \u00e9quivalent<\/a> de \"\mathbb{P}(A_n)\".
\nc)\u00a0<\/b>Si \"r \geq 4\", l’\u00e9v\u00e9nement\u00a0 \u00ab\u00a0il n’y a qu’un nombre fini de compensations exactes\u00a0\u00bb est<\/p>\n

8. Probabilit\u00e9s et nombres premiers<\/h3>\n

On note si \"s > 1, \, \zeta (s) = \displaystyle \sum _{n = 1} ^{+\infty} \frac 1 {n ^s}\".
\nQuestion 1<\/b>
\nD\u00e9terminer le r\u00e9el \"a\" tel qu’il existe une probabilit\u00e9 \"\mathbb{P}\" sur \"(\mathbb{N}^*, \, \mathcal {P} ( \mathbb{N}^*) )\" telle que\u00a0\"\displaystyle \forall \, n \in \mathbb{N}^*, \, \mathbb{P} ( \{ n \}) = \frac a {n ^s}\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoit \"q \in \mathbb{N}^*\" et \"A_q\" l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{N}^*\" divisibles par \"q\". Calculer \"\mathbb{P}(A_q)\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn note \"(p_k)_{k \in \mathbb{N}^*}\" l’ensemble des nombres premiers.
\nSi \"k \in \mathbb{N}^*,\" on note \"B_{k}\" l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{N}^*\" divisibles par \"p_k\,\".
\n\"(B_{k})_{k \in \mathbb{N}^*}\" est une famille d’\u00e9v\u00e9nements mutuellement ind\u00e9pendants.<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nEn d\u00e9duire que \"\quad \quad \displaystyle \frac 1 {\zeta(s)} = \lim_{n \to +\infty} \prod _{k = 1} ^{n} \left ( 1 - \frac 1 {p_k^s} \right )\".<\/p>\n

9. Un jeu de pile ou face<\/h3>\n

On effectue une s\u00e9rie de lancers d’une pi\u00e8ce donnant pile avec une probabilit\u00e9 \"p\" et face avec la probabilit\u00e9 \"q\".
\nLe joueur A gagne si \u00ab\u00a0PFP\u00a0\u00bb sort avant \u00ab\u00a0FFP\u00a0\u00bb auquel cas B gagne.
\nOn note \"Fk\" : \u00ab\u00a0face sort au \"k\" -i\u00e8me jeu\u00a0\u00bb et \"Pk\" : \u00ab\u00a0pile sort au \"k\" -i\u00e8me jeu\u00a0\u00bb,
\n\"A\" : \u00ab\u00a0A gagne\u00a0\u00bb et \"B\" : \u00ab\u00a0B gagne\u00a0\u00bb.
\nQuestion 1<\/b>
\nLa probabilit\u00e9\u00a0de n’obtenir que des faces \u00e0 partir du rang 2 est nulle<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nCalculer\u00a0\"\mathbb{P} (A \cap F_1)\" en fonction de \"\mathbb{P}(A \cap P_1)\". En d\u00e9duire \"\mathbb{P}(A)\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nCalculer \"\mathbb{P}(B \cap P_1)\" et \"\mathbb{P}(B \cap F_1)\". En d\u00e9duire \"\mathbb{P}(B)\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\n\u00ab\u00a0Il y a un gagnant\u00a0\u00bb est un \u00e9v\u00e9nement presque certain<\/p>\n

10. D\u00e9monstration de la formule de Poincar\u00e9 ou du crible<\/h3>\n

Soit \"(\Omega , \, \mathcal{A},\, \mathbb {P})\" un espace probabilis\u00e9.
\nSi \"A\" est une partie de \"\Omega\", on appelle\u00a0fonction caract\u00e9ristique\u00a0<\/i>de \"A\" la fonction \"\textbf{1}_A\"\u00a0 d\u00e9finie sur \"\Omega\" \u00e0 valeurs dans \"\{0 ,\, 1\}\" par
\n\"\textbf{1}_A(x) = 1\" si \"x \in A\" et \"\textbf{1}_A(x) = 0\" si \"x \notin A\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\n\"\textbf{1}_A\" est une variable al\u00e9atoire sur \"(\Omega,\, \mathcal{A} )\" ssi \"A \in \mathcal{A}\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoient \"A,\, B \in \mathcal{A}\".
\na)<\/b>\u00a0D\u00e9terminer \"\textbf{1}_{\Omega}\,\", \"\textbf{1}_{\overline{A}}\,\".
\nb)\u00a0<\/b>\"\textbf{1}_{A} . \textbf{1}_{B} = \textbf{1}_{A\cap B}\,\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSoit \"(A_k)_{1 \leq k \leq n } \in \mathcal{A}^n\".
\nEn utilisant le d\u00e9veloppement de \"\displaystyle \prod_{i = 1} ^{n}(1 - x_i)\" o\u00f9 \"\forall \, i \in [\![1 ,\, n]\!], \; x _ i \in \mathbb{R}\" et les fonctions<\/a> caract\u00e9ristiques des \u00e9v\u00e9nements \"A_k\,\", d\u00e9montrer la formule du crible ou Poincar\u00e9 :
\n\"\displaystyle \mathbb{P}\left (\bigcup_{k = 1} ^n A_k \right)\"
\n\"\displaystyle = \sum _{k = 1} ^n \mathbb{P} (A_k) - \sum _{1 \leq i < j \leq n } \mathbb{P} (A_i \cap A_j) + \, \cdots \,\"
\n\"\displaystyle + \,(- 1) ^{k - 1} \sum _{1 \leq i_1 < \, \cdots \, < i_k \leq n } \mathbb{P}\left ( A_{i_1} \cap \, \cdots \, \cap \, A_{i_k} \right )\"
\n\"+\, \cdots\,+\, (-1) ^{n- 1} \mathbb{P} \left (A_1 \cap \, \cdots \, \cap A_n \right )\".<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Annales sur\u00a0<\/b>les probabilit\u00e9s en maths sp\u00e9<\/h2>\n

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L’int\u00e9gralit\u00e9 des chapitres de math\u00e9matiques doit \u00eatre parfaitement assimil\u00e9e par les \u00e9tudiants de Maths Sp\u00e9, s’ils souhaitent pouvoir int\u00e9grer les meilleures \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs de France. Chaque r\u00e9vision de cours doit se d\u00e9rouler s\u00e9rieusement et avec rigueur. Si certaines difficult\u00e9s refont surface, il suffit de prendre le temps de bien revoir les d\u00e9finitions et les m\u00e9thodes de cours qu’il faut conna\u00eetre par c\u0153ur, vous pouvez aussi completer cela avec des cours de maths particulier<\/a>. Quelques chapitres indispensables \u00e0 r\u00e9viser :<\/p>\n