{"id":27591,"date":"2019-06-05T17:04:51","date_gmt":"2019-06-05T16:04:51","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27591"},"modified":"2023-09-15T17:32:43","modified_gmt":"2023-09-15T16:32:43","slug":"cours-en-ligne-espaces-euclidiens-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-espaces-euclidiens-maths-spe\/","title":{"rendered":"Espaces Euclidiens en maths sp\u00e9 MP PC PSI : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Espaces Euclidiens pour les MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Annales<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – Espaces Euclidiens<\/h2>\n

Plan<\/h3>\n

On suppose que \"E\" est un espace euclidien.
\n1.\u00a0<\/b>Rappel des propri\u00e9t\u00e9s du produit scalaire dans un espace vectoriel euclidien \"E\".
\n2.\u00a0<\/b>Utilisation du produit vectoriel.
\n3.\u00a0<\/b>Caract\u00e9risation des isom\u00e9tries et des matrices orthogonales.
\n4.\u00a0<\/b>Matrices orthogonales d’ordre 2.
\n5.<\/b>\u00a0Matrices orthogonales d’ordre 3.
\n6.<\/b>\u00a0Endomorphismes sym\u00e9triques.
\n7.\u00a0<\/b>Endomorphismes sym\u00e9triques positifs (exercices).<\/p>\n

1. Rappel des propri\u00e9t\u00e9s du produit scalaire dans un espace vectoriel euclidien \"E\".<\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Utilisation d’une base orthonormale \"\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n}\,\",
\n\"\ast\" \"\forall \, x \in E,\; \displaystyle x = \sum_ {i = 1} ^n (x \, | \, e_i) \, e_i\".
\n\"\ast\" \"\forall \, (x , \,y) \in E^2\",
\n\"\displaystyle x = \sum_{i = 1} ^n x_i \, e_i\,\" et \"\displaystyle y = \sum_{i = 1} ^n y_i \, e_i\,\", alors \"\displaystyle (x\, | \, y) = \sum_{i = 1} ^n x_i \, y_i\" et \"\Vert x \Vert ^2 = \displaystyle \sum_{i = 1} ^n x_i ^2\".
\n\"\ast\" Si l’on note \"X\" et \"Y\" les matrices colonnes de \"x\" et \"y\" dans la base \"\mathcal{B}\", \"(x \, | \, y ) = X^{\textrm{T} } \, Y\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Si \"\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n\, }\" est une base orthonormale de l’espace euclidien \"E\" et si \"A = M_ {\mathcal{B} }(u)\" o\u00f9 \"u \in \mathcal{L}(E)\", \"a_{i , \, j} = (e_i \, | \, u(e_j))\,\" (\u00e0 red\u00e9montrer).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0Si \"f\" est un produit scalaire sur l’espace vectoriel<\/a> euclidien \"E\" de base \"\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n}\,\", on peut d\u00e9finir la matrice \"A = (a_{i,j})_{1 \leq i , \, j \leq n}\" o\u00f9 \"\quad \forall \, (i , j) \in [\![1 ,\, n]\!]^2, \; a_{i , j} = f(e_i , \, e_j)\",
\n(on dit que \"A\" est la matrice du produit scalaire \"f\" dans la base \"\mathcal{B}\").
\nEn notant \"X = M_{\mathcal{B}} (x) = (x_i)_{1 \leq i \leq n}\" et \"Y = M_{\mathcal {B}} (y) = (y_i)_{1 \leq i \leq n}\" ,
\n\"\quad \quad f(x , \, y) = X^{\textrm{T} } \, A \, Y\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4.<\/b>\u00a0Si \"\varphi\" est une forme lin\u00e9aire sur l’espace euclidien \"E\", il existe un unique vecteur \"a \in E\" tel que \"\quad \quad\forall\, x \in E, \, \varphi(x) = (a \, | \, x)\".<\/p>\n

Exercice :\u00a0<\/b>
\nSoit \"E = \mathcal{M} _n(\mathbb{R})\" et \"\varphi\" une forme lin\u00e9aire sur \"E\". Il existe une unique matrice \"A\" telle que \"\quad \quad \forall \, M \in E, \, \varphi(M) = \textrm{Tr}(A \, M)\" .<\/p>\n

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2. Utilisation du produit vectoriel<\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0P1\u00a0<\/b>\"(u , v) \mapsto u \wedge v\" est une application bilin\u00e9aire d\u00e9finie sur \"E^ 2\" \u00e0 valeurs dans \"E\" v\u00e9rifiant :
\n\"\ast\" \"\forall\, (u ,\, v) \in E^2,\; u \wedge v = - v \wedge u\".
\n\"\ast\" \"u \wedge v = 0\" si, et seulement si, la famille \"(u , \, v)\" est li\u00e9e.
\n\"\ast\" \"u \wedge v \in (\textrm{Vect} (u , v))^{\perp}\".
\n\"\ast\" la famille \"(u , v)\" est libre ssi \"(u , \,v , \, u \wedge v)\" est une base directe de \"E\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P2<\/b>\u00a0Identit\u00e9 de Lagrange<\/i>\u00a0: \"\forall \, (u ,\, v) \in E ^2,\" \"\quad \quad \Vert u \wedge v \Vert ^2 + (u \, | \, v)^2 = \Vert u \Vert ^2 \, \Vert v \Vert ^2\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P3\u00a0<\/b>Si \"u\" et \"v\" sont deux vecteurs non nuls : \"\Vert u \wedge v \Vert = \Vert u\Vert \, \Vert v \Vert \sin \theta\", o\u00f9 \"\theta\" est la mesure de l’angle de vecteurs \"u\" et \"v\"
\n\"\theta \in [0 , \pi]\" v\u00e9rifie\u00a0\"\quad \quad \quad \displaystyle \theta = \textrm{Arccos} \left ( \frac {(u \, | \, v) } { \Vert u \Vert \, \Vert v \Vert }\right )\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P4<\/b>\u00a0interpr\u00e9tation du produit mixte<\/i>\u00a0lorsque \"u, v\" et \"w\" forment une famille libre :
\n\"\bigl | \, [u ,\, v , \,w] \, \bigl |\" est \u00e9gal au volume du parall\u00e9l\u00e9pip\u00e8de construit sur les vecteurs \"u,\, v\" et \"w\".
\n\"\bigl | \, [u , \, v ,\, w] \, \bigl |\" est \u00e9gal \u00e0 6 fois le volume du t\u00e9tra\u00e8dre construit sur les vecteurs \"u, \,v\" et \"w\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P5<\/b>\u00a0Si \"(e_1\, ,\, e_2 \, , \,e_3)\" est une base orthonormale directe de l’espace vectoriel euclidien orient\u00e9 de dimension 3 :
\n\"\ast\" \"e_1 \wedge e_2 = e_3\" , \"e_2 \wedge e_3 = e_1\" et \"e_3 \wedge e_1 = e_2\,\".
\n\"\ast\" si \"u = x\, e_1 + y \,e_2 + z \,e_3\" et \"v = x' \,e_1 + y' \,e_2 + z' \,e_3 \,\",
\n\"u \wedge v\" est \u00e9gal \u00e0 \"\quad \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} \, e_1 + \begin{vmatrix} z & z' \\ x & x' \end{vmatrix} \, e_2 + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \, e_3 \,\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P6<\/b>\u00a0\u00a0double produit vectoriel<\/i>\u00a0:
\nPour tous vecteurs \"u, v\" et \"w\" de \"E\",
\n\"(u \wedge v) \wedge w = (u \, |\, w)\, v - (v\, | \, w)\, u\"
\net \"u \wedge (v \wedge w) = (u \, |\, w)\, v - (u \, | \, v) \,w\".<\/p>\n

Pour retenir la formule : vecteur du milieu multipli\u00e9 par le produit scalaire des deux autres moins le produit du vecteur restant dans la parenth\u00e8se multipli\u00e9 par le produit scalaire des deux autres.<\/p>\n

3. Caract\u00e9risation des isom\u00e9tries et des matrices orthogonales<\/h3>\n

\"\bullet\" Si \"E\" est un espace vectoriel euclidien de dimension \"n\" et si \"u \in \mathcal{L} (E)\", il y a \u00e9quivalence<\/a> entre :
\n1.\u00a0<\/b>\"u\" est une\u00a0isom\u00e9trie<\/b>\u00a0(ou un automorphisme orthogonal),
\n2.\u00a0<\/b>\"\forall \, (x ,\, y) \in E^2,\" \"\quad \quad \quad \; (u(x)\, | \, u(y)) = (x \, |\, y)\",
\n3.\u00a0<\/b>\"\forall \, x \in E,\; \Vert u(x)\Vert =\Vert x\Vert\",
\n4.\u00a0<\/b>pour toute base orthonormale \"\mathcal{B}\" de \"E,\" \"u(\mathcal{B})\" est une base orthonormale de \"E\",
\n5.<\/b>\u00a0il existe une base orthonormale \"\mathcal{B}\" de \"E\" telle que \"u(\mathcal{B})\" soit une base orthonormale de \"E\",
\n6.\u00a0<\/b>la matrice de \"u\" dans une base orthonormale est une matrice<\/a> orthogonale.<\/p>\n

\"\ast\" On note \"O(E)\" l’ensemble des isom\u00e9tries de \"E\", \"O(E)\" est un sous-groupe de \"(\textrm{GL}_n(\mathbb{R}), \, \circ)\" appel\u00e9\u00a0groupe orthogonal\u00a0<\/i>de \"E\".
\n\"\ast\" Si \"u\" est une isom\u00e9trie, \"\det(u) = \pm 1\".
\n\"\ast\" On note \"SO(E)\" l’ensemble des\u00a0rotations\u00a0<\/i>de \"E\" (isom\u00e9tries de \"E\" de d\u00e9terminant \u00e9gal \u00e0 1), \"SO(E)\" est un sous-groupe de \"O(E)\" appel\u00e9\u00a0groupe sp\u00e9cial orthogonal\u00a0<\/i>de \"E\".<\/p>\n

\"\det(u) = \pm 1\" n’implique pas que \"u\" est une isom\u00e9trie.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"M \in \mathcal{M}_n (\mathbb {R})\" et si \"(C_1\, ,\, C_2 \,, \, \cdots \, , \, C_n)\" est le syst\u00e8me de ses vecteurs colonnes, il y a \u00e9quivalence entre :
\n1.<\/b>\u00a0\"M\" est une\u00a0matrice orthogonale<\/b>,
\n2.<\/b>\u00a0\"M^{\textrm{T}}\, M = \textrm{I}_n\,\",
\n3.<\/b>\u00a0\"M\, M^{\textrm{T}} = \textrm{I}_n \,\",
\n4.<\/b>\u00a0\"M^{- 1} = M^{\textrm{T}}\",
\n5.<\/b>\u00a0\"(C_1\, ,\, C_2 \,, \, \cdots \, , \, C_n)\" est une base orthonormale de l’espace vectoriel euclidien \"\mathbb{R} ^n\" pour la structure euclidienne canonique,
\n6.<\/b>\u00a0\"\forall\, (i , \, j) \in [\![1 , \, n]\!]^2 , \; (C_i \, | \, C_j ) = \delta_{i , \, j} \,\",
\n7.<\/b>\u00a0\"M\" est la matrice d’une isom\u00e9trie de \"E\", espace euclidien de dimension \"n\", dans une base orthonormale.<\/p>\n

\"\ast\" On note \"O_n(\mathbb{R})\" l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre \"n\".
\n\"O_n(\mathbb{R})\" est un sous-groupe de \"(\textrm{GL}_n(\mathbb{R}) ,\, .)\" appel\u00e9\u00a0groupe orthogonal d’ordre<\/i>\u00a0\"n\".
\n\"\ast\" Si \"M \in O_n(\mathbb{R})\", \"\det M = \pm 1\".
\n\"\ast\" \"\{ U \in O_n(\mathbb{R}) \, / \, \textrm{det}(U) = 1\}\" est un sous-groupe de \"O_n(\mathbb{R})\" not\u00e9 \"SO_n(\mathbb{R})\" et appel\u00e9\u00a0groupe sp\u00e9cial orthogonal d’ordre\u00a0<\/i>\"n\".<\/p>\n

\"\det M = \pm 1\" n’implique pas que \"M\" est une matrice orthogonale.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0 \u00c0 savoir red\u00e9montrer :
\n\"\ast\"\u00a01.<\/b>\u00a0Si \"(E ,\, ( . \, | \, . ))\" est un espace euclidien et \"u \in O(E)\", \"\quad \quad \quad \textrm{Sp}(u) \subset \{1 , \, - 1\}\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a02.<\/b>\u00a0Si \"M \in O_n(\mathbb{R})\", \"\textrm{Sp}(M) \subset \{ 1, \, - 1\}\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a03.\u00a0<\/b>Si \"M \in O_n(\mathbb{R})\", \"\quad \quad \textrm{Sp}_ {\mathbb{C}}(M) \subset \{ \lambda \in \mathbb{C} , \, \vert \lambda \vert = 1\}\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a04.<\/b>\u00a0\"O_n(\mathbb{R})\" est une partie compacte de \"\mathcal{M}_n (\mathbb{R})\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9duction d’une isom\u00e9trie\u00a0<\/b>:
\nSoient \"E\" un espace euclidien et \"u\" une isom\u00e9trie.
\nIl existe une base orthonormale dans laquelle la matrice de \"u\" est diagonale par blocs, les blocs \u00e9tant de la forme \"\textrm{I}_r\, ,\" \"-\textrm{I}_q\" et \"R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\" o\u00f9 \"\theta \notin \pi \mathbb{Z}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0R\u00e9duction d’une matrice orthogonale<\/b>\u00a0:
\nToute matrice orthogonale est orthogonalement semblable \u00e0 une matrice diagonale par blocs, les blocs \u00e9tant de la forme \"\textrm{I}_r\" , \"-\textrm{I}_q\" et \"R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\" o\u00f9 \"\theta \notin \pi \mathbb{Z}\".<\/p>\n

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4. Matrices orthogonales d’ordre 2<\/h3>\n

P1 :<\/b>\u00a0Toute matrice de \"O_2(\mathbb{R})\" s’\u00e9crit
\n\"\ast\" \"R(t) = \begin{pmatrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}\" si son d\u00e9terminant<\/a> est \u00e9gal \u00e0 \"1\".
\n\"\ast\" \"S(t) = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix}\" si son d\u00e9terminant est \u00e9gal \u00e0 \"-1\".<\/p>\n

P2 :<\/b>\u00a0\"\ast\" \"(SO(E)\, ,\, .)\" est un groupe commutatif.
\nPour tout \"(t , t') \in \mathbb{R}^2\",
\n\"\ast\" \"R(t) R't') = R(t + t') = R(t') R(t)\" et \"R(t) ^{-1} = R(-t)\".
\n\"\ast\" \"S(t) S(t') = R(t - t')\".<\/p>\n

P3 :<\/b>\u00a0Soit \"E\" un plan euclidien orient\u00e9 et \"r \in SO(E)\", il existe un unique r\u00e9el \"t\" de \"]- \pi,\, \pi]\" tel que la matrice de \"r\" dans toute base orthonormale directe de \"E\" s’\u00e9crive \"R(t)\".
\nOn dit que \"r\" est une\u00a0rotation d’angle de mesure\u00a0<\/i>\"t\".<\/p>\n

P4 :<\/b>\u00a0Si \"r\" est une rotation du plan euclidien orient\u00e9 \"E\", on d\u00e9termine une mesure de l’angle \"t\" de la rotation \"r\" en introduisant un vecteur unitaire \"u\" et en r\u00e9solvant
\n\"\quad \cos t = (u \, | \, v)\" et \"\sin t = [u \, , \, v]\"
\n(\"[u \, ,\, v]\" est le produit mixte de \"u\" et \"v\" soit le d\u00e9terminant de \"(u , \, v)\" dans une base orthonormale directe).<\/p>\n

P5 :\u00a0<\/b>Si\u00a0\"s\" est une isom\u00e9trie du plan euclidien \"E\" de d\u00e9terminant \u00e9gal \u00e0 \"- 1\", il existe un r\u00e9el \"t\" tel que la matrice de \"s\" dans une base orthonormale soit \"S(t)\".\u00a0 \"s\" est alors la\u00a0r\u00e9flexion<\/i>, i.e. la sym\u00e9trie orthogonale par rapport \u00e0 \"\textrm{Vect}(a)\" o\u00f9 \"a\" est un vecteur directeur de la droite \"\textrm{Ker} (s - \textrm{Id}_E).\"<\/p>\n

5. Matrices orthogonales d’ordre 3<\/h3>\n

5.1. R\u00e9duction en base orthonormale d’une isom\u00e9trie<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\"\u00a0P1\u00a0<\/b>: Si \"u\" est une isom\u00e9trie d’un espace euclidien \"E\" de dimension 3, il existe une base orthonormale \"\mathcal{B}\" de \"E\" et un r\u00e9el \"\theta\" tels que la matrice de \"u\" dans la base \"\mathcal{B}\" s’\u00e9crive :
\n\"R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta&- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\"
\nou \"R'(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0& - 1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0P2<\/b>\u00a0: Si \"M\in O_3(\mathbb{R})\",\u00a0 il existe une matrice \"P\" orthogonale d’ordre 3 et un r\u00e9el \"\theta\" tels que
\n\"M = P \begin{pmatrix} \cos \theta &- \sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&1\end{pmatrix} \, P ^{\textrm{T}}\"
\nou \"\; \; M = P \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0& - 1\end{pmatrix} \, P ^{\textrm{T}}\".<\/p>\n

Remarque\u00a0<\/i>: on peut supposer que la base \"\mathcal{B}\" du premier r\u00e9sultat est orthonormale directe (si \"\mathcal{B} = (i , \,j , \, k)\" n’est pas orthonormale directe, \"\mathcal{B}' = (i , \, j , \,- k)\" est directe et la matrice de \"u\" dans \"\mathcal{B}'\" est \u00e9gale \u00e0 la matrice de \"u\" dans la base \"\mathcal{B}\".)
\nOn peut donc aussi supposer que \"P\" est une matrice orthogonale directe dans le r\u00e9sultat 2).<\/p>\n

Les r\u00e9sultats r\u00e9sum\u00e9s ci-dessous sont d\u00e9velopp\u00e9s dans les diff\u00e9rents paragraphes qui suivent :
\n\"\bullet\"\u00a01er cas<\/b>\u00a0: matrice \"R(\theta)\"
\n\"\ast\"\u00a01er sous-cas<\/i>\u00a0: \"\theta \in 2 \pi \mathbb{Z}\",
\n\"\quad \quad \quad u = \textrm{Id} _E\" , \"M = \textrm{I} _3\".
\n\"\ast\"\u00a02\u00e8me sous-cas<\/i>\u00a0: \"\theta = (1 + 2 \, p)\, \pi\" o\u00f9 \"p\in \mathbb {Z}\",
\n\"u\" est une sym\u00e9trie orthogonale par rapport \u00e0 \"\textrm{Vect}(k)\" (cf \u00a75.2.).
\n\"M\" est sym\u00e9trique de d\u00e9terminant \u00e9gal \u00e0 1.
\nOn peut aussi dire que \"u\" est une rotation d’axe dirig\u00e9 par \"k\" et d’angle \"\pi\".
\n\"\ast\"\u00a03\u00e8me sous-cas<\/i>\u00a0: \"\theta \notin \pi \mathbb{Z}\" et \"\mathcal{B}\" est une base directe,
\n\"u\" est une rotation d’axe dirig\u00e9 par \"k\" et d’angle \"\theta\" (cf \u00a7 5.3.).<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a02\u00e8me cas<\/b>\u00a0matrice \"R'(\theta)\"
\n\"\ast\"\u00a01er sous-cas<\/i>\u00a0: \"\theta \in 2 \pi \mathbb{Z}\"
\n\"u\" est une r\u00e9flexion par rapport \u00e0 \"\textrm{Vect}(i , \, j)\" (cf \u00a75.2.).
\n\"M\" est sym\u00e9trique de d\u00e9terminant \u00e9gal \u00e0 \"- 1\".
\n\"\ast\"\u00a02\u00e8me sous-cas<\/i>\u00a0: \"\theta = (1 + 2 \, p) \, \pi\" o\u00f9 \"p\in \mathbb {Z}\"
\n\"\quad \quad \quad u = - \textrm{Id}_E\" , \"M = - I_3\,\".
\n\"\ast\"\u00a03\u00e8me sous-cas<\/i>\u00a0: \"\theta \notin \pi \mathbb{Z}\" et \"\mathcal{B}\" est une base directe
\nh.p : \"u\" est une anti-rotation (cf \u00a7 5.4.).<\/p>\n

5.2. Matrices orthogonales et sym\u00e9triques<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.<\/b>\u00a0Interpr\u00e9tation d’une matrice orthogonale d’ordre 3 et sym\u00e9trique.<\/i>
\nSi \"A \in O_3(\mathbb{R})\" et si \"A^{\textrm{T}} = A\", \"A\" est la matrice d’une sym\u00e9trie orthogonale not\u00e9e \"u\".
\nDans le cas o\u00f9 \"A \neq \pm \textrm{I}_3\,\",
\n\"\ast\" si \"\textrm{det}(A) = - 1 \Leftrightarrow \textrm{Tr}(A) = 1\", \"u\" est une\u00a0r\u00e9flexion<\/i>\u00a0c’est-\u00e0-dire une sym\u00e9trie telle que les sous espaces vectoriels \"\textrm{Ker}(u - \textrm{Id}_E)\" et \"\textrm{Ker}(u + \textrm{Id}_E)\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux et \"\textrm{dim Ker }(u - \textrm{Id}_E ) = 2\".
\nLa r\u00e9solution de l’\u00e9quation \"A X = X\" donne l’\u00e9quation d’un plan \"P\" et on d\u00e9termine un vecteur \"a\" orthogonal \u00e0 ce plan \"P\".
\n\"u\" est la r\u00e9flexion par rapport au plan \"P = \textrm{Vect}(a) ^{\perp}\".<\/p>\n

\"\ast\" si \"\textrm{det}(A) = 1 \Leftrightarrow \textrm{Tr}(A) = - 1\", \"u\" est un\u00a0retournement ou demi-tour\u00a0<\/i>(une sym\u00e9trie telle que \"\textrm{Ker}(u - \textrm{Id}_E)\" et \"\textrm{Ker}(u + \textrm{Id}_E)\" sont des sous espaces suppl\u00e9mentaires orthogonaux et \"\textrm{dim Ker }(u - \textrm{Id}_E ) = 1\").
\nEn r\u00e9solvant \"A X = - X\", on obtient l’\u00e9quation d’un plan \"P\", on d\u00e9termine un vecteur \"a\" orthogonal \u00e0 ce plan \"P\" .
\n\"u\" est le demi-tour par rapport \u00e0 la droite \"\textrm{Vect}(a)\".<\/p>\n

Remarque :
\n\"u\" est la r\u00e9flexion par rapport au plan \"(\textrm{Vect}(a))^{\perp}\" ssi \"- u\" est le retournement par rapport \u00e0 la droite \"\textrm{Vect}(a)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0On se place ici dans un espace euclidien de dimension \"n \geq 3.\"
\n\u00c9criture matricielle d’une sym\u00e9trie orthogonale<\/i>\u00a0(c’est-\u00e0-dire une sym\u00e9trie telle que les sous-espaces vectoriels \"\textrm{Ker}(u - \textrm{Id}_E)\" et \"\textrm{Ker}(u + \textrm{Id}_E)\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux. On suppose ici que \"\textrm{dim} E = n \geq 2\".
\n\"\ast\"\u00a0M2.1.<\/b>\u00a0Traduction de la\u00a0sym\u00e9trie orthogonale<\/i>\u00a0\"s\"\u00a0par rapport \u00e0 la droite<\/i>\u00a0\"\mathcal{D} = \textrm{Vect}(u)\" o\u00f9 \"\Vert u \Vert = 1\".
\nLa projection orthogonale \"p\" sur \"\mathcal{D}\" est d\u00e9finie par \"p : x \mapsto (u \, | \, x)\, u\", la sym\u00e9trie \"s\" v\u00e9rifie \"s = 2\,p - \textrm{Id}_E\" , soit \"\quad \quad s : x \mapsto 2(u \, | \, x)\, u - x\".
\nSi \"U\" est la matrice de \"u\" dans une base orthonormale \"\mathcal{B}\", on peut d\u00e9montrer que la matrice de \"s\" dans la base \"\mathcal{B}\" est \"2 \, U \,U^{\textrm{T}} - \textrm{I}_n\,\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M2.2.<\/b>\u00a0Traduction de la\u00a0r\u00e9flexion<\/i>\u00a0\"s\" par rapport \u00e0 l’hyperplan \"\mathcal{P} =(\mathbb{R} u)^{\perp}\" o\u00f9 \"u\" est un vecteur unitaire :
\nLa projection orthogonale \"q\" sur \"\textrm{Vect}(u)\" est d\u00e9finie par \"\quad \quad \quad q : x \mapsto (u \, |\, x)\, u\",
\nla projection orthogonale \"p\" sur \"(\mathbb{R} u)^{\perp}\" est d\u00e9finie par \"p = \textrm{Id}_E - q\".
\nLa sym\u00e9trie par rapport \u00e0 \"\mathcal{P}\" est d\u00e9finie par \"s = 2 p -\textrm{Id}_E = 2(\textrm{Id}_E - q) - \textrm{Id}_E\" \"s =\textrm{Id}_E - 2 q\", soit \"\quad \quad \quad s : x \mapsto x - 2 (u\, |\, x)\, u\".
\nLorsque \"U\" est la matrice de \"u\" dans une base orthonormale \"\mathcal{B}\", la matrice de la r\u00e9flexion \"s\" dans la base \"\mathcal{B}\" est \u00e9gale \u00e0\"\textrm{I}_n - 2\, U\, U ^{\textrm{T}}\" (\u00e0 d\u00e9montrer).<\/p>\n

On pourra s’aider du dessin suivant pour la r\u00e9flexion par rapport \u00e0 \"F\".<\/p>\n

5.3. Matrices de rotation<\/b><\/h4>\n

Dans ce paragraphe, on consid\u00e8re que \"(E, ( .\, | \,. ))\" est un espace euclidien orient\u00e9 de dimension 3.
\n\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Si \"(i ,\, j ,\, k)\" est une base orthonormale directe de \"E\", la matrice de la rotation \"r\" d’axe dirig\u00e9 par le vecteur \"k\" et d’angle de mesure \"\theta\" dans la base \"(i ,\, j ,\, k)\" est \"\quad \quad R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\".
\nDe plus, si \"x \in (\mathbb{R} \, k)^{\perp},\" \"\quad \quad r(x) = \cos \theta x + \sin \theta (k \wedge x)\". (sauf MP)<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Soit \"A\" la matrice d’une rotation \"r\"
\n\"\ast\" 1- Si \"\theta\" est une mesure de l’angle de la rotation : \"\textrm{Tr}(A) = 2 \cos \theta + 1\".
\n\"\ast\" 2- On d\u00e9termine un vecteur unitaire \"a\" de l’axe de la rotation en r\u00e9solvant \"r(a) = a\" (soit \"A X = X\").
\n\"\ast\" 3- On d\u00e9termine le signe de \"\sin\theta\" en prenant \"b \notin \mathbb{R} a\" et en utilisant \"\sin \theta\" a m\u00eame signe que le produit mixte \"\quad \quad [a , \,b ,\, r(b)] = [b ,\, r(b) ,\, a]\".
\nen effet \"[a , \,b ,\, r(b)] = \sin\theta \, \Vert a \wedge b\Vert ^2\".<\/p>\n

exercice\u00a0<\/b>
\nSoit \"A = \begin{pmatrix} 0 &0&1\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\". Caract\u00e9riser l’endomorphisme \"r\" canoniquement associ\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.\u00a0<\/b>Pour \u00e9crire la matrice de la rotation \"r\" d’axe dirig\u00e9e par le vecteur unitaire \"a\" et d’angle \"\theta\", on introduit un vecteur \"b\" unitaire tel que \"(a\, |\, b) = 0\". On d\u00e9termine \"c\" tel que \"\mathcal{C} = (b ,\, c ,\, a)\" soit une base orthonormale directe. Dans cette base, la matrice \"R(\theta)\" de \"r\" est la matrice \u00e9crite dans M1, puis en introduisant \"P\" la matrice de passage de la base orthonormale directe de l’\u00e9nonc\u00e9 \u00e0 la base \"\mathcal{C}\", \"A = P \,R(\theta)\, P^{\textrm{T}}\" par la formule de changement de bases.
\n(h.p. : \"c = a \wedge b\").<\/p>\n

Exercice :\u00a0<\/b>
\nEcrire la matrice de la rotation de \"\mathbb{R}^3\" d’axe dirig\u00e9 par \"u = (1 ,\ 2 , \,- 2)\" et d’angle de mesure \"- \pi/2\" dans la base canonique de \"\mathbb{R}^3\".<\/p>\n

5.4. Matrices d’anti-rotation (h.p.)<\/b><\/h4>\n

Dans ce paragraphe, on consid\u00e8re que \"(E, ( . \, | \,. ))\" est un espace euclidien orient\u00e9 de dimension 3.
\nSoit une base orthonormale directe \"\mathcal{B} = (i ,\, j , \, k)\".
\nOn suppose que \"u\" est une isom\u00e9trie dont la matrice dans \"\mathcal{B}\" est \"R'(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\".
\navec \"\theta \notin \pi \, \mathbb{Z}\".
\n\"R'(\theta)\" est \u00e9gale aux deux produits :
\n\"\begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix} \,\begin{pmatrix} 1&0 & 0\\ 0& 1& 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\".
\n\"\begin{pmatrix} 1 &0 & 0\\ 0& 1& 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} \cos\theta &- \sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\".
\nalors \"u = r \circ s = s \circ r\" o\u00f9 \"r\" est la rotation d’axe dirig\u00e9 par \"k\" et d’angle \"\theta\" et \"s\" est la r\u00e9flexion par rapport au plan \"\textrm{Vect}(i ,\, j)\".<\/p>\n

6. Endomorphismes sym\u00e9triques<\/h3>\n

6.1. R\u00e9sultats g\u00e9n\u00e9raux<\/b><\/h4>\n

D :\u00a0<\/b>Un endomorphisme \"u\" de l’espace euclidien \"E\" est sym\u00e9trique ssi \"\forall\, (x, \, y) \in E^2, \;(u(x) \, | \, y) = (x \, | \, u(y))\".<\/p>\n

P1 :<\/b>\u00a0L’ensemble des endomorphismes sym\u00e9triques de l’espace euclidien \"E\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathcal{L}(E)\" not\u00e9 \"\mathcal{S}(E)\".<\/p>\n

P2 :<\/b>\u00a0Soit \"E\" est un espace euclidien et \"u \in \mathcal{L}(E)\".
\nIl y a \u00e9quivalence entre :
\n\"\ast\" \"u\" est un endomorphisme sym\u00e9trique de \"E\".
\n\"\ast\" pour toute base orthonormale \"\mathcal{B}\" de \"E\" la matrice de \"u\" dans la base \"\mathcal{B}\" est une matrice sym\u00e9trique,
\n\"\ast\" il existe une base orthonormale \"\mathcal{B}\" de \"E\" dans laquelle la matrice de \"u\" est une matrice sym\u00e9trique.<\/p>\n

P3 :<\/b>\u00a0Si \"E\" est un espace euclidien de dimension \"n > 0\", \"\quad \quad \textrm{dim } \mathcal {S}(E) =\displaystyle \frac { n(n + 1)} 2\".<\/p>\n

P4 :<\/b> Si \"u\" est un endomorphisme sym\u00e9trique de \"E\", \"\textrm{Ker }u\" et \"\textrm{Im } u\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux.\u00a0\u00a0🧡<\/p>\n

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6.2. R\u00e9duction<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\" LE th\u00e9or\u00e8me (dit aussi\u00a0th\u00e9or\u00e8me spectral<\/b>) :
\nSi \"u\" est un endomorphisme sym\u00e9trique de l’espace vectoriel euclidien \"E\" de dimension \"n > 0\", il existe une base orthonormale de \"E\" form\u00e9e de vecteurs propres de \"u\".
\n\"E\" est somme directe des sous-espaces propres de \"u\" qui sont deux \u00e0 deux orthogonaux.<\/p>\n

\"\bullet\" La\u00a0traduction matricielle<\/b>\u00a0: soit \"A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\",\u00a0il existe une matrice \"D\" diagonale et une matrice \"P\" orthogonale d’ordre \"n\" telles que \"A = P\, D\, P\,^{\textrm{T}}\".<\/p>\n

Cons\u00e9quences<\/i>\u00a0:
\n\"\ast\" Si l’on demande de diagonaliser un endomorphisme<\/a> \"u\" d’un espace vectoriel euclidien \"E\", il faut commencer par se demander si \"u\" est un endomorphisme sym\u00e9trique.
\n\"\ast\" Pour effectuer des raisonnements sur un endomorphisme sym\u00e9trique \"u\", il peut \u00eatre int\u00e9ressant d’introduire une base orthonormale \"(e_i)_{1 \leq i \leq n}\" de vecteurs propres de \"u\".
\n\"\ast\" Pour prouver des propri\u00e9t\u00e9s de \"A\" sym\u00e9trique r\u00e9elle, il est en g\u00e9n\u00e9ral utile de simplifier les calculs en \u00e9crivant \"A = P \, D\, P\,^{\textrm{T}}\" o\u00f9 \"D\" est diagonale et \"P\" orthogonale.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M\u00e9thode de r\u00e9duction d’une matrice sym\u00e9trique r\u00e9elle<\/b>\u00a0\"A\" (d’ordre \"n\")
\n\"\ast\" a) Commencer par dire qu’elle est diagonalisable et qu’il existe une matrice \"P\" orthogonale telle que \"P^{\textrm{T}}\, A\, P\" soit diagonale.
\n\"\ast\" b) D\u00e9terminer \"\textrm{Sp}(A)\" (en g\u00e9n\u00e9ral par calcul de \"\chi_A\").
\n\"\ast\" c) D\u00e9terminer une base orthonormale de vecteurs propres de \"A\", pour obtenir \"P\" orthogonale.
\ni) Si \"A\" a \"n\" valeurs propres distinctes, il suffit de d\u00e9terminer une base de vecteurs propres et de normer<\/a> chacun de ces vecteurs.
\nii) Si \"A\" a au moins une valeur propre multiple, pour chacune des valeurs propres multiples \"\lambda\", il sera n\u00e9cessaire de d\u00e9terminer une base orthonormale du sous-espace propre.
\nOn peut commencer par d\u00e9terminer une base de \"\textrm{E}_{\lambda} (A)\" puis on\u00a0 peut\u00a0 l’orthonormaliser par le principe d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.<\/p>\n

Cas particulier : \"A \in \mathcal{S}_3 (\mathbb{R})\" a une valeur propre double \"\alpha\" et une valeur propre simple \"\beta\" .
\nSoit \"u\" l’endomorphisme canonique- ment associ\u00e9 \u00e0 \"A\".
\nDans ce cas, \"\mathbb{R} ^3 =\textrm{E}_{\alpha} (u) \oplus ^{\perp} \textrm{E}_{\beta} (u)\" o\u00f9 \"\textrm{dim } \textrm{E}_{\alpha} (u) = 2\" et \"\textrm{dim } \textrm{E}_{\beta} (u) = 1\".
\n\"\ast\" En traduisant \"A X =\alpha X\", on obtient une \u00e9quation de plan de la forme \"\quad \quad \lambda\, x + \mu \, y +\nu \,z = 0\".
\n\"\ast\" \"(\lambda ,\, \mu ,\, \nu ) \in \left ( \textrm{E}_{\alpha} (u) \right ) ^{\perp} = \textrm{E}_{\beta} (u)\".
\nOn en d\u00e9duit \"a \in \mathbb{R} ^3\" tel que \"\Vert a \Vert = 1\" et \"u(a) = \beta\, a\".
\n\"\ast\" On introduit \"b \in \mathbb{R} ^3\" tel que \"\Vert b \Vert = 1\" et \"(a \, |\, b) = 0\", alors \"u(b) = \alpha\, b\" car \"\quad \quad \quad \left ( \textrm{E}_{\alpha} (u) \right ) ^{\perp} = \textrm{E}_{\beta} (u)\".
\n\"\ast\" Soit \"c' \in \textrm{E}{\beta} (u)\" non colin\u00e9aire \u00e0 \"b\". Par le proc\u00e9d\u00e9 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, on d\u00e9termine une base orthonormale \"(b , c)\" de\u00a0\"\textrm{E}{\beta} (u)\"\u00a0.
\nAlors \"\mathcal{C}\" est une base orthonormale de vecteurs propres de \"u\".<\/p>\n

h.p. en utilisant le produit vectoriel, (c’est plus rapide) :
\n\"\ast\" On introduit \"b \in \mathbb{R} ^3\" tel que \"\Vert b \Vert = 1\" et \"(a \, |\, b) = 0\", alors \"u(b) = \alpha\, b\" car \"\left ( \textrm{E}_{\alpha} (u) \right ) ^{\perp} = \textrm{E}_{\beta} (u)\".
\n\"\ast\" Soit \"c = a \wedge b\". \"\mathcal{C} = (a , \, b ,\, c)\" est une base orthonormale. On v\u00e9rifie que \"u(c) = \alpha\, c\".
\nAlors \"\mathcal{C}\" est une base orthonormale de vecteurs propres de \"u\".<\/p>\n

6.3.\u00a0\u00a0Projecteurs orthogonaux, sym\u00e9tries orthogonales<\/b><\/h4>\n

R\u00e9sultats \u00e0 savoir d\u00e9montrer
\nDef :<\/b>\u00a0un projecteur \"p\" est dit orthogonal lorsque \"\textrm{Im}(p)\" et \"\textrm{Ker}(p)\" sont orthogonaux.<\/p>\n

R1 :\u00a0<\/b>Soit \"E\" un espace euclidien et \"p\" un projecteur de \"E\". \"p\" est un projecteur orthogonal si, et seulement si, \"p\" est un endomorphisme sym\u00e9trique.\u00a0( au programme en MP)<\/p>\n

R2<\/b>\u00a0: Soit \"E\" un espace euclidien et \"s\" une sym\u00e9trie de \"E\" diff\u00e9rente de \"\pm \textrm{Id}_E\". Il y a \u00e9quivalence entre :
\na)<\/b>\u00a0\"s\" est une isom\u00e9trie
\n\u00a0\u00a0b<\/b>) \"s\" est un endomorphisme sym\u00e9trique
\nc)<\/b>\u00a0les sous espaces \"\textrm{Ker}(s - \textrm{Id} _ E)\" et \"\textrm{Ker}(s + \textrm{Id} _ E)\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux.
\nOn dit que \"s\" est une\u00a0sym\u00e9trie orthogonale<\/i>.<\/p>\n

7. Endomorphismes sym\u00e9triques positifs (exercices)<\/h3>\n

7.1. Raisonnements sur les endomorphismes<\/b><\/h4>\n

Soit \"E\" un espace euclidien.
\nUn endomorphisme \"u\" sym\u00e9trique de \"E\" est dit\u00a0positif\u00a0<\/i>si \"\forall \, x \in E\", \"(u(x) \,| \, x) \geq 0\".
\nUn endomorphisme \"u\" sym\u00e9trique de \"E\" est dit\u00a0d\u00e9fini positif\u00a0<\/i>si
\n\"\quad \quad \forall \, x \in E \setminus \{0\}\", \"(u(x) \,| \, x) > 0\".<\/p>\n

Exercice 1<\/b>
\nSoit \"u\" un endomorphisme sym\u00e9trique de \"E\". Montrer que :
\n\"u\" est positif ssi \"\textrm{Sp}(u) \subset \mathbb{R}^+\" ;
\n\"u\" est d\u00e9fini positif ssi \"\textrm{Sp}(u) \subset \mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

Exercice 2\u00a0<\/b>
\nSoit \"u\" un endomorphisme sym\u00e9trique positif. Il existe un endomorphisme sym\u00e9trique \"v\" positif tel que \"v^2 = u\".
\n\"v\" est unique.<\/p>\n

7.2. Raisonnements sur les matrices<\/b><\/h4>\n

Soit \"A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\".
\n\"A\" est dite\u00a0positive<\/i>\u00a0ssi \"\quad \forall \, X \in \mathcal {M}_{n , 1} ( \mathbb{R}) , \; X^{\textrm{T}}\, A\, X \geq 0\".
\n\"A\" est dite\u00a0d\u00e9finie positive<\/i>\u00a0ssi \"\quad \forall \, X \in \mathcal {M}_{n , 1}(\mathbb{R}) \setminus \{0\}, \; X^{\textrm{T}}\, A\, X >0\".
\nOn note \"\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})\" l’ensemble des matrices sym\u00e9triques r\u00e9elles positives et \"\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\" l’ensemble des matrices sym\u00e9triques r\u00e9elles d\u00e9finies positives.<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nMontrer que
\n\"A \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^+\"
\net \"A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\na)\u00a0<\/b>Si \"A \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R})\", la matrice \"B = A^{\textrm{T}} \, A\" est une matrice sym\u00e9trique positive.
\nb)<\/b>\u00a0Si \"A \in \textrm{GL}_n\mathbb{R})\", la matrice \"B = A^{\textrm{T}} \, A\" est une matrice sym\u00e9trique d\u00e9finie positive.<\/p>\n

Exercice 5<\/b>
\nSi \"A\" est une matrice sym\u00e9trique positive, il existe \"B\" sym\u00e9trique positive telle que \"A = B^2\".<\/p>\n

Exercice 6<\/b>
\nSoit \"A \in \mathcal{S} _ n(\mathbb{R})\" et \"u\" l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\".
\n\"u\" est un endomorphisme sym\u00e9trique positif (resp. d\u00e9fini positif) ssi \"A\" est une matrice sym\u00e9trique positive (resp. d\u00e9finie positive).<\/p>\n

Les deux points de vue ont \u00e9t\u00e9 d\u00e9velopp\u00e9s de fa\u00e7on ind\u00e9pendante de fa\u00e7on \u00e0 pouvoir \u00eatre utilis\u00e9s dans un devoir.<\/p>\n

Exercices sur les espaces euclidiens en maths sp\u00e9<\/b><\/h2>\n

Plan<\/h3>\n

1. Famille libre de matrices de rang 1 (25 mn)
\n2. Sur les projections orthogonales (60 mn)
\n3. Base orthonormale et distance \u00e0 un s.e.v. (15 mn)
\n4. Caract\u00e9risation de sous-espaces orthogonaux en termes de distances. (30 mn)
\n5. Endomorphisme 1-lipschitzien d’un espace euclidien (30 mn)
\n6.\u00a0Matrice telle que \"A^ {\textrm{T}}\, A = A \, A^ {\textrm{T}}\" (40 mn).<\/p>\n

1. Famille libre de matrices de rang 1<\/h3>\n

Soient \"E = \mathcal{M}_{n,\, 1}(\mathbb{R})\" et \"(p , q) \in [\![1 , n]\!]^2\".
\nSoient \"(X_1 \,, \,X_2 ,\, \cdots\, , \, X_p)\" et \"(Y_1 \,, \,Y_2 ,\, \cdots\, , \, Y_q)\" deux familles<\/a> libres de \"E\".
\nLa famille \"(Y_j\, X_i^{\textrm{T}})_{1 \leq i \leq p ,1\leq j \leq q }\" est une famille libre de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\" form\u00e9e de matrices de rang 1. Vrai ou Faux ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi \"(X_1 \,, \,X_2 ,\, \cdots\, , \, X_n)\" est une base orthonormale de \"E\" pour le produit scalaire usuel, \"\mathcal {C} = (X_j\, X_i^{\textrm{T}})_{1 \leq i, j \leq n }\" est une base orthonormale de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\" muni du produit scalaire usuel not\u00e9 \"< . \, ,\, . >\" .<\/p>\n

2. Sur les projections orthogonales<\/h3>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nSoit \"F\" un sous-espace vectoriel de dimension finie du pr\u00e9hilbertien<\/a> \"(E , \, (. \, | \, . )\"\u00a0 et \"p_F\" la projection orthogonale sur \"F\".
\na)\u00a0<\/b>\"F =\{ x \in E \, / \, \Vert p_F(x) \Vert = \Vert x \Vert \}\"
\nb)\u00a0<\/b>Pour tout \"x \in E ,\, \Vert p_F(x) \Vert \leq \Vert x \Vert\"
\nc)<\/b>\u00a0\"p_F\" v\u00e9rifie \"\forall \, (x , \, y) \in E^2, \, (p_F(x) \, | \, y) = (x \, | \, p_F(y))\"<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoient \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels de dimension finie.
\nOn suppose que \"p_F \circ p_G = p_H\,\".
\na)<\/b>\u00a0Caract\u00e9riser \"H\".
\nb)<\/strong>\u00a0On suppose toujours\u00a0\"p_F \circ p_G = p_H\,\".
\n\"p_F \circ p_G = p_G \circ p_F\"<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn se place dans un espace euclidien de dimension 3 de base orthonormale \"(i ,\, j , \,k)\".
\na)\u00a0<\/b>Les sous-espaces\u00a0<\/b>\"F = \textrm{Vect}(i + j)\" et \"F' = \textrm{Vect}(i - j,\, k)\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux.
\nb)\u00a0<\/strong>Soit \"G = \textrm{Vect}(i + k)\".
\n\"p_F \circ p_G\" est une projection orthogonale<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nSoient \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels de dimension finie du pr\u00e9hilbertien \"(E , \, (. \, | \, . ))\".
\nOn suppose que \"p_F \circ p_G = p_G \circ p_F\, .\"
\n\"p_F \circ p_G\" est une projection orthogonale.<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSoient \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels de dimension finie du pr\u00e9hilbertien \"(E , \, (. \, | \, . ))\".
\n\"p_F \circ p_G = p_G \circ p_F\" ssi \"F\" et \"F ^\perp\" sont stables par \"p_G\".<\/p>\n

Question 6\u00a0<\/b>
\nOn note \"\mathbb{P}\" l’ensemble des projections orthogonales d\u00e9finies sur l’espace euclidien \"E\" de dimension \"n > 0\".
\n\"\mathbb{P}\" est une partie compacte de \"\mathcal{ L}(E)\".<\/p>\n

3. Base orthonormale et distance \u00e0 un plan.<\/h3>\n

On se place dans \"\mathbb{R}^4\" .
\nOn consid\u00e8re le sous-espace vectoriel \"F\" d’\u00e9quations<\/a> \"x - y + z + t = 0\" et \"x - y - 2 z - t = 0\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\n\"F\" admet pour base \"(a , b)\" avec \"a = (1 , 1 , 0 , 0)\" et \"b= (1 , 0 , \lambda , \mu )\"<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nTrouver une base orthonormale de \"F\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nLa distance de \"v = (1 , 0 , - 1 , 0)\" \u00e0 \"F\" est \u00e9gale \u00e0
\na)\u00a0<\/b>\"\displaystyle \frac {2 \sqrt{3}} 3\"\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0b )\u00a0<\/b>\"\displaystyle \frac 2 3\"<\/p>\n

4. Caract\u00e9risation de suppl\u00e9mentaires orthogonaux en terme de distances.<\/h3>\n

Mines Ponts PC 2014.
\nSoient \"F\" et \"G\" deux sous-espaces vectoriels d’un espace euclidien \"(E, (. \, | \, .))\" et on note \"\Vert . \Vert\" la norme euclidienne associ\u00e9e.
\nMontrer que \"F\" et \"G\" sont des s.e.v. suppl\u00e9mentaires orthogonaux si, et seulement si, pour tout \"x \in E\", \"\Vert x \Vert ^2 = (d(x ,\, F))^2 + (d(x ,\, G))^2\" .<\/p>\n

5. Endomorphisme 1-lipschitzien d’un espace euclidien<\/h3>\n

Mines Ponts MP
\nSoit \"E\" un espace vectoriel euclidien et \"f\" un endomorphisme de \"E\" tel que pour tout \"x \in E,\, \Vert f(x)\Vert \leq \Vert x \Vert\".
\nOn d\u00e9finit \"g\" tel que pour tout \"x\" et \"y\" dans \"E\", \"(g(x)\, |\, y) = (x \,| \, f(y))\".
\nQuestion 1<\/b>
\na)\u00a0<\/b>Justifier l’existence de \"g\" et montrer que \"g\" est un endomorphisme de \"E\".
\nb)\u00a0<\/b>Pour tout \"x \in E,\" \"\Vert g(x)\Vert \leq \Vert x \Vert\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"f(x) = x \Leftrightarrow g(x) = x\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\n\"E = \textrm{Im}(f - \textrm{Id}) \oplus^{\perp} \textrm{Ker}(f - \textrm{Id}).\"<\/p>\n

6. Matrice telle que \"A^ {\textrm{T}}\, A = A \, A^ {\textrm{T}}\"<\/h3>\n

CCP PSI 2006
\nSoit \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\".
\nOn suppose que \"A^ {\textrm{T}}\, A = A \, A^ {\textrm{T}}\".
\nOn note \"u\" (resp. \"v\") l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 la matrice \"A\" (resp. \"A^ {\textrm{T}}\").
\nQuestion 1<\/b>
\nMontrer que \"\quad \quad \forall \, x \in \mathbb{R}^n,\, \Vert u(x) \Vert = \Vert v(x) \Vert .\"
\nEn d\u00e9duire que \"\textrm{Ker } u = \textrm{Ker } v\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"u\" et \"v\" ont les m\u00eames valeurs propres et les m\u00eames sous espaces propres.<\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b>
\nSoient \"\lambda\" et \"\mu\" deux valeurs propres distinctes de \"u\". Les sous-espaces propres associ\u00e9s sont orthogonaux.<\/p>\n

Question 4<\/b>
\n\"\mathbb{R}^n = \textrm{Ker } u \oplus \textrm{Im } u\".<\/p>\n

Autres exercices sur les espaces euclidiens<\/h2>\n

Plan<\/h3>\n

1. Matrices blocs et matrices orthogonales (15mn)
\n2. Sur les coefficients d’une matrices orthogonale (35 mn)
\n3. Conservation de l’orthogonalit\u00e9 (25 mn)
\n4. R\u00e9flexions (40 mn)
\n5. Rotation en dimension 3\u00a0 – exercice 1 (20 mn)
\n6. Rotation en dimension 3 –\u00a0 exercice 2\u00a0 (25 mn) J’ai oubli\u00e9 de le supprimer. A ne pas faire, hp MP
\n7.\u00a0Isom\u00e9tries de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\" (30 mn)
\n8.\u00a0Endomorphismes antisym\u00e9triques et isom\u00e9tries (40 mn)
\n9. Matrices telles que \"A^\textrm{T}\, A = B^\textrm{T}\, B\" (40 mn).<\/p>\n

1. Matrices blocs et matrices orthogonales<\/h3>\n

Soient \"(n , p) \in\mathbb{N}^{*2}\", \"A \in \mathcal{M} _ {n}(\mathbb{R})\", \"B \in \mathcal{M} _ {n,p}(\mathbb{R})\", \"C \in \mathcal{M} _ {p,n}(\mathbb{R})\" et \"D \in \mathcal{M} _ {p}(\mathbb{R})\".
\nOn suppose que \"M = \begin{pmatrix} A&B\\C&D \end{pmatrix}\in O_{n + p} (\mathbb{R})\" et \"A\in O_{n} (\mathbb{R})\" ou \"D \in O_{p} (\mathbb{R})\".
\nMontrer que
\n\"B = 0, C = 0, A \in O_{n} (\mathbb{R})\" et \"D\in O_{ p} (\mathbb{R})\".<\/p>\n

2. Sur les coefficients d’une matrice orthogonale<\/h3>\n

Soit \"A\in O_{n} (\mathbb{R})\", \"A = (a_{i, j})_{1\leq i,j\leq n}\".
\nQuestion 1<\/b>
\nMontrer que \"\displaystyle \left \vert \sum _ {i = 1} ^n \sum _ {j = 1} ^n a_{i,j} \right \vert \leq n\". \u00c9tudier le cas d’\u00e9galit\u00e9.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\na)<\/b>\u00a0\"\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \sum _ {j = 1} ^n \vert a_{i,j} \vert \leq n\, \sqrt{n}\".
\nb)<\/b>\u00a0Cas d’\u00e9galit\u00e9<\/p>\n

Question 3<\/b>
\na)<\/b>\u00a0\"\displaystyle n \leq \sum _ {i = 1} ^n \sum _ {j = 1} ^n \vert a_{i,j} \vert \".
\nb)\u00a0<\/b>Cas d’\u00e9galit\u00e9.<\/p>\n

3. Conservation de l’orthogonalit\u00e9<\/h3>\n

Question 1<\/b>
\nSoit \"u\" un endomorphisme non nul de l’espace vectoriel euclidien \"E\".
\n\"u\" est une isom\u00e9trie ssi deux vecteurs orthogonaux ont deux images par \"u\" orthogonales<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi \"u\" est un endomorphisme non nul de l’espace euclidien \"E\" tel que deux vecteurs orthogonaux ont deux images orthogonales, il existe \"\lambda \in \mathbb{R}^{+*}\" et une isom\u00e9trie \"v\" tels que \"u = \lambda v\".<\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b>
\nMines Ponts PC 2018
\nD\u00e9terminer l’ensemble des endomor- phismes \"u\" non nuls de \"E\" tels que pour tout sev \"V\" de \"E\", \"u(V ^{\perp} ) \subset (u(V))^{\perp}\".<\/p>\n

4. R\u00e9flexions<\/h3>\n

CCP MP 2017
\nSoit \"E\" un espace euclidien de dimension \"n >0\".
\nSoit \"u \in E \setminus \{0\}\". On pose \"H = (\mathbb{R} \, u)^{\perp}\".
\nOn rappelle qu’une r\u00e9flexion par rapport \u00e0 l’hyperplan \"H\" est la sym\u00e9trie de \"E\" sur \"H\" par rapport \u00e0 \"H^{\perp}\".
\nSoit \"s\" la r\u00e9flexion par rapport \u00e0 \"H\" et \"f \in O(E)\".
\nQuestion 1<\/b>
\n\"s\" est une isom\u00e9trie.<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\n\"f \circ s \circ f^{-1}\" est une r\u00e9flexion par rapport \u00e0
\na)<\/b>\u00a0\"H\"\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0b)\u00a0<\/b>\"f(H)\"\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0c)<\/b>\u00a0\"f^{-1}(H)\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\n\"f\" et \"s\" commutent si, et seulement si, \"u\" est vecteur propre de \"f\".<\/p>\n

Question 4\u00a0<\/b>Premi\u00e8re\u00a0<\/b>application de la question 3
\nLe centre de \"O(E)\" c’est \u00e0 dire l’ensemble des \"g \in O(E)\" tels que pour tout \"f \in O(E)\", \"f \circ g = g \circ f\" est \u00e9gal \u00e0\u00a0\"\{\textrm{Id}_E \}\".<\/p>\n

Question 5<\/b>\u00a0Deuxi\u00e8me application de la question 3
\nSoient \"u\" et \"f\" deux r\u00e9flexions par rapport aux hyperplans \"H\" et \"H'\" respectivement.
\n\"f\" et \"s\" permutent ssi \"H'^{\textrm{T }} \subset H\" ou \"H' = H\".<\/p>\n

5- Rotation en dimension 3 – exercice 1<\/h3>\n

Soit \"\mathcal{B} = (e_1 \,, \,e_2 \,,\, e_3)\" une base orthonormale directe de \"\mathbb{R}^3\".
\nD\u00e9montrer qu’il existe une unique rotation \"r\" telle que \"r(e_1) = - e_2\" et si \"u = e_1 - e_2 + e_3\" , \"r(u) = u\".
\nDonner la matrice de \"r\" dans la base \"\mathcal{B}\" et en donner les \u00e9l\u00e9ments caract\u00e9ris- tiques.<\/p>\n

6. Isom\u00e9tries de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\"<\/h3>\n

On munit \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\" du produit scalaire canonique not\u00e9 \"<., . >\".
\nSoit \"P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{R})\" . On d\u00e9finit \"\varphi : A \mapsto A \, P\" et et \"\psi : A \mapsto P^{-1} \, A \, P\" .
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nSoit \"P \in O_n(\mathbb{R})\".
\n\"\varphi\" et \"\psi\" sont des isom\u00e9tries de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSi \"\varphi\" est une isom\u00e9trie de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\", la matrice \"P\" est-elle orthogonale ?<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSi \"\psi\" est une isom\u00e9trie de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\", la matrice \"P\" est-elle orthogonale ?<\/p>\n

7. Endomorphismes antisym\u00e9triques et isom\u00e9tries<\/h3>\n

Soient \"E\" un espace euclidien et \"u\" un endomorphisme de \"E\". On dit que \"u\" est un endomorphisme antisiym\u00e9trique lorsque \"\forall \, x \in E,\, (u(x)\, | \, x) = 0\".
\nQuestion 1<\/b>. Navale PSI
\nSi \"u\" est un endomorphisme antisym\u00e9trique, \"\textrm{Im}(u) \oplus^{\perp} \textrm{Ker}(u) = E\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"u\" un endomorphisme de \"E\" v\u00e9rifie \"\forall \, x \in E ,\, (u(x)\, | \, x) = 0\" ssi sa matrice dans une base orthonormale est antisym\u00e9trique.<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSi \"u\" est un endomorphisme antisym\u00e9trique, \"\textrm{Sp}(u) \subset \{0\}\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\na)<\/b>\u00a0Si \"u\" est un endomorphisme antisym\u00e9trique, \"\quad \quad v = (\textrm{Id}_E - u) \circ (\textrm{Id}_E + u)^{ - 1}\"
\nest d\u00e9fini et est une isom\u00e9trie
\nb)\u00a0<\/b>L’endomorphisme \"v\" ainsi d\u00e9fini est une rotation et n’admet pas \"-1\" comme valeur propre.<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSoit \"v\" une isom\u00e9trie n’admettant pas \"-1\" pour valeur propre.
\nIl existe un unique endomorphisme antisym\u00e9trique \"u\" de \"E\" tel que \"\quad \quad v = (\textrm{Id}_E - u) \circ (\textrm{Id}_E + u)^{ - 1}\".<\/p>\n

8. Matrices telles que \"A^\textrm{T}\, A = B^\textrm{T}\, B\"<\/h3>\n

MInes Ponts PSI 2015
\nSoient \"A\" et \"B\" deux matrices carr\u00e9es d’ordre \"n> 1\" v\u00e9rifiant \"A^\textrm{T}\, A = B^\textrm{T}\, B\".
\nQuestion 1<\/b>
\n\"\textrm{Ker}(A) = \textrm{Ker}(B)\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoient \"f\" et \"g\" les endomorphismes canoniquement associ\u00e9s \u00e0 \"A\" et \"B\" et \"E = \mathbb{R}^n\".
\n\"\forall \, (x,\, y) \in E^2\", \"\quad \quad (f(y) \, |\, f(x)) = (g(y) \, |\, g(x))\".<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSoit \"p = \textrm{rg}(f)\".
\nIl existe \"(x_1\, , \, \cdots \, , \, x_p) \in E^p\" tel que \"(f(x_1)\, , \, \cdots \, , \, f(x_p))\" soit une base de \"\textrm{Im }f\" et \"(g(x_1)\, , \, \cdots \, , \, g(x_p))\" soit une base de \"\textrm{Im }g\".<\/p>\n

Question 4<\/b>
\nMontrer qu’il existe \"O\", matrice orthogonale, telle que \"B = O \, A\".<\/p>\n

Annales sur\u00a0<\/b>les espaces euclidiens en maths sp\u00e9<\/h2>\n

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