{"id":27600,"date":"2019-06-05T18:34:56","date_gmt":"2019-06-05T17:34:56","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27600"},"modified":"2023-09-15T17:39:35","modified_gmt":"2023-09-15T16:39:35","slug":"cours-en-ligne-equations-differentielles-lineaires-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-equations-differentielles-lineaires-maths-spe\/","title":{"rendered":"Equations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires en maths sp\u00e9 : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires en MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Annales<\/a><\/p>\n

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R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – \u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/h2>\n

Plan<\/h3>\n

1.\u00a0<\/b>R\u00e9solution d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire scalaire d’ordre 1\u00a0 (paragraphe de r\u00e9vision du programme de premi\u00e8re ann\u00e9e).
\n2.<\/b>\u00a0\u00c9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire vectorielle du premier ordre
\n3.<\/b>\u00a0\u00c9quation \"X' = A \, X\" o\u00f9 \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\"
\n4.<\/b>\u00a0R\u00e9solution de \"X' = A \, X + B(t)\" o\u00f9 \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" et \"B(t) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K})\".5.\u00a0<\/b>Transformer une \u00e9quation diff\u00e9rentielle scalaire d’ordre \"n\" en une \u00e9quation diff\u00e9rentielle vectorielle d’ordre 1
\n6.<\/b>\u00a0R\u00e9solution d’\u00e9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires scalaires d’ordre 2
\n7.\u00a0<\/b>\u00c9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire du second ordre \u00e0 coefficients constants (Programme de maths sup)
\n8.\u00a0<\/b>Quelques autres m\u00e9thodes de r\u00e9solutions d’\u00e9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires du second ordre.
\n8.1. Par changement de fonction inconnue
\n8.2. M\u00e9thode de Lagrange
\n8.3. Par utilisation d’une s\u00e9rie enti\u00e8re
\n8.4. Par changement de variable
\n8.5. Cas des \u00e9quations d’Euler
\n8.6. En cherchant une solution particuli\u00e8re sous la forme d’une fonction polyn\u00f4me
\n8.7. M\u00e9thode de la variation des constantes (avec indications de l’\u00e9nonc\u00e9) .<\/p>\n

1. R\u00e9solution d’une \u00e9quation lin\u00e9aire scalaire d’ordre 1<\/h3>\n

1.1. R\u00e9solution de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/b><\/h4>\n

\u00a0\"\quad \quad \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = \gamma(t)\"
\no\u00f9 \"\alpha, \beta\" et \"\gamma\" sont des fonctions continues sur un intervalle \"J\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {K}\".<\/p>\n

Premi\u00e8re \u00e9tape.<\/i>
\nOn se place sur un intervalle \"I\" sur lequel \"\alpha,\, \beta,\, \gamma\" sont continues et l’application \"\alpha\" ne s’annule pas et on utilise l’\u00e9quation normalis\u00e9e (apr\u00e8s division par \"\alpha(t)\") \"\quad \quad (\mathcal{E }) : x' = a(t) \, x + b(t)\"
\net l’\u00e9quation sans second membre associ\u00e9e \"(\mathcal{H}) : x' = a(t) \, x\".<\/p>\n

Si \"I = \; ]c , \, d[\" et si la fonction \"\alpha\" s’annule sur \"I\" en un unique point \"t_0\" , on sera amen\u00e9 \u00e0 poser \"I_1 = \; ]c ,\, t_0[\" et \"I_2 = \; ]t_0 ,\, d[\" et \u00e0 r\u00e9soudre l’\u00e9quation \"(\mathcal{E})\" sur \"I_1\" et sur \"I_2\,\".
\nOn gagne du temps s’il est possible de r\u00e9soudre \"(\mathcal{E})\" sur \"I_k\" o\u00f9 \"k \in \{1 ,\, 2\}\", sans \u00eatre oblig\u00e9 de faire deux \u00e9tudes diff\u00e9rentes (l’une sur \"I_1\" , l’autre sur \"I_2\").
\n\u00c0 la fin, il faudra donner l’ensemble des solutions sur \"I_1\" puis l’ensemble des solutions sur \"I_2\,\".<\/p>\n

1.1.1<\/b>.\u00a0<\/b>R\u00e9solution de l’\u00e9quation sans second membre<\/i>\u00a0\"(\mathcal{H}) : x' = a(t)\, x\".
\nOn d\u00e9termine une primitive \"A\" de \"t \mapsto a(t)\" sur l’intervalle \"I\".
\nLa solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\" est donn\u00e9e par : \"I \to \mathbb {K},\; t \mapsto \lambda\, \textrm {e} ^{A(t)}\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

Cas particulier :
\nSi \"a \in \mathbb{K}\", l’ensemble des solutions de \"x' = a \, x\" sur \"\mathbb{R}\" est l’ensemble des fonctions \"\mathbb{R} \to \mathbb{K}\", \"t \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{a \, t}\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

Dans le cas o\u00f9 \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\", une solution de \"(\mathcal{H})\" est soit nulle sur \"I\", soit ne s’annule pas sur \"I\" et garde alors un signe constant sur \"I\".
\nDonc lorsque la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\" s’\u00e9crit sous la forme \"\quad \quad t \mapsto \lambda \, \vert u(t) \vert \, v(t)\" o\u00f9 \"\lambda \in \mathbb{R}\",
\ncomme la fonction \"t \mapsto u(t)\" ne s’annule pas sur \"I\", elle a un signe constant donc la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\" peut s’\u00e9crire \"t \mapsto \lambda \, u(t) \, v(t)\" ou \"t \mapsto - \lambda \, u(t) \, v(t)\" , donc en r\u00e9sum\u00e9 sous la forme \"t \mapsto \mu\; u(t) \, v(t)\" o\u00f9 \"\mu \in \mathbb{R}\"
\nOn peut donc \u00ab supprimer \u00bb la valeur absolue.<\/p>\n

1.1.2.<\/b>\u00a0D\u00e9termination d’une solution particuli\u00e8re de<\/i>\u00a0\"(\mathcal{E})\".
\na)<\/b>\u00a0Elle peut \u00eatre \u00e9vidente.<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0Sinon, on utilise la m\u00e9thode de variation de la constante.
\nAyant trouv\u00e9 comme solution de \"(\mathcal{H})\", \"t \mapsto \lambda \, \textrm{e} ^{A(t)}\", on note \"\quad \quad \forall\, t \in I,\, x(t) = \lambda(t) \, \textrm{e} ^{A(t)}\".
\nOn \u00e9crit que \"x\" est solution de \"(\mathcal{E})\" sur \"I\" Le terme en \"\lambda(t)\" doit dispara\u00eetre et on obtient :
\n\"x\" est solution sur \"I\" de \"(\mathcal{E})\"\"\Leftrightarrow \forall\, t \in I, \, \lambda'(t) \, \textrm{e}^{A(t)} = b( t)\" \"\Leftrightarrow \forall \, t \in I,\, \lambda'(t) = \textrm{e} ^{- A(t)}\, b( t)\".<\/p>\n

\"\bullet\" En g\u00e9n\u00e9ral, on peut d\u00e9terminer une primitive de \"t \mapsto \textrm{e} ^{- A(t)}\, b( t)\".
\n\"\bullet\" Si l’on ne sait pas d\u00e9terminer une primitive de cette fonction \u00e0 l’aide des fonctions usuelles, on introduit \"t_0 \in I\" et on dit qu’il existe \"C \in \mathbb{K},\, \forall\, t \in I,\" \"\displaystyle \lambda(t) = C + \int_{t_0} ^{t } b( u)\, \textrm{e} ^{-A(u)}\, \textrm{d} \, u\" .
\nDans ce cas, l’ensemble des solutions sur \"I\" est l’ensemble des fonctions \"I \to \mathbb{K}\", \"t \mapsto \displaystyle \, \left ( C + \int_{t_0} ^{t } b( u)\, \textrm{e} ^{-A(u)}\, \textrm{d} \, u\right ) \, \textrm{e} ^{A(t)}\"
\no\u00f9 \"C \in \mathbb{K}\".
\nOn termine en donnant l’ensemble des solutions, ou en cherchant la solution v\u00e9rifiant la condition initiale donn\u00e9e par l’\u00e9nonc\u00e9.<\/p>\n

1.1.3.\u00a0<\/b>Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy-Lipschitz\u00a0<\/i>
\nTh\u00a0<\/b>: Si les fonctions \"a\" et \"b\" sont continues sur l’intervalle \"I\", pour tout \"(t_0 ,\, x_0) \in I \times \mathbb{K}\", il existe une unique solution \"f\" de \"x' = a(t) \, x + b(t)\" sur \"I\" v\u00e9rifiant \"f(t_0) = x_0\,\".<\/p>\n

Elle est d\u00e9finie par : si \"t \in I\", \"f(t) = \displaystyle \, \left ( x_0 + \int_{t_0} ^{t } b( u)\textrm{e} ^{-A(u)}\, \textrm{d} \, u\right ) \, \textrm{e} ^{A(t)}\" avec \"\displaystyle A(t) = \int_{t_0} ^{t } {a(u)}\, \textrm{d} \, u\" .<\/p>\n

 <\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

1.2. Consignes de r\u00e9daction sur les \u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\"\u00a0a)<\/b>\u00a0Si n\u00e9cessaire, \u00e9crire l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle sous forme normalis\u00e9e, soit \"(\mathcal{E }) : x' = a(t) \, x + b(t)\".
\nD\u00e9terminer un (ou plusieurs) intervalles \"I_j\" sur lesquels les fonctions \"a\" et \"b\" sont continues.
\nDans la suite, on note \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\" (resp. \"\mathbb{K} = \mathbb{C}\") si les fonctions \"a\" et \"b\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" (resp. \"\mathbb{C}\") .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0b)<\/b>\u00a0Noter \"(\mathcal{H }) : x' = a(t)\, x\".
\nDire : on introduit \"A : I_j \to \mathbb{K}\" une primitive de \"a\" sur l’intervalle \"I_j\,\".
\nLa solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H })\" sur \"I_j\" est la fonction \"t \mapsto k\, \textrm{e} ^ {A(t)}\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{K}\".<\/p>\n

Lorsque l’\u00e9quation est homog\u00e8ne, terminer la r\u00e9daction par :
\nl’ensemble des solutions de \"(\mathcal{H })\" sur \"I_j\" est l’ensemble des fonctions \"\quad I_j \to \mathbb{K},\, t \mapsto k \, \textrm{e} ^{A(t)}\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{K }\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0c)\u00a0<\/b>Lorsqu’il y a un second membre et pas de solution particuli\u00e8re \u00e9vidente, dire :
\nOn cherche une solution particuli\u00e8re par la m\u00e9thode de variation de la constante. On \u00e9crit :
\n\"t \mapsto \lambda(t) \, \textrm{e} ^{A(t)}\" est solution de \"(\mathcal{E })\" sur \"I_j\"
\n\"\Leftrightarrow \forall\, t \in I_j\, , \, \lambda'(t) \, \textrm{e} ^{ A(t)} = b(t)\"
\n\"\Leftrightarrow \forall\, t \in I_j\,, \, \lambda'(t) = b(t) \, \textrm{e} ^{ - A(t)}\"
\n\"\Leftrightarrow \exists \, C \in \mathbb{K} ,\, \forall\, t \in I_j\, , \, \lambda(t) = F(t) + C\" o\u00f9 \"F\" est une primitive sur \"I_j\" de \"\quad \quad \quad t \mapsto b(t) \, \textrm{e} ^{ - A(t)}\" .<\/p>\n

Terminer <\/b>en disant au choix :
\n\"\ast\" La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{E })\" sur \"I_j\" est d\u00e9finie par \"I_j \to \mathbb{K}\", \"\quad \quad t \mapsto (F(t) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{A(t)}\" o\u00f9 \"\alpha \in \mathbb{K}\".
\nou
\n\"\ast\" L’ ensemble des solutions de \"(\mathcal{E })\" sur \"I_j\" est l’ensemble des fonctions \"I_j \to \mathbb{K},\" \"t \mapsto (F(t) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{A(t)}\" o\u00f9 \"\alpha \in \mathbb{K}\"
\nou encore
\n\"\ast\" L’ ensemble \"\mathcal{S}_{I_j } (\mathcal{E })\" des solutions de \"(\mathcal{E })\" sur \"I_j\"\u00a0 est \u00e9gal \u00e0 :
\n\"\left \{ I_j \to \mathbb{K} ,\, t \mapsto (F(t) + \alpha ) \, \textrm{e} ^{A(t)} \, / \, \alpha \in \mathbb{K} \right \}\".<\/p>\n

1.3. Raccordement de solutions d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/b><\/h4>\n

Soit \"(\mathcal{E})\, : \, \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = \gamma(t)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Supposons pour fixer les id\u00e9es que \"I = \; ]a ,\, b[\" et que \"\alpha\" ne s’annule qu’en un point \"c\" de \"]a ,\, b[\".
\nSi \"a < c < b\" et si l’on a su d\u00e9terminer les solutions de \"(\mathcal{E})\" sur \"]a ,\, c[\" et sur \"]c ,\, b[\" , on pose
\n\"\quad \quad f(t) = \left \{ \begin{matrix} f_1(t) &\textrm{si}& t \in \; ]a , \, c [ \\ f_2(t) &\textrm{si}& t \in \; ]c , \, b [ \end{matrix} \right.\"
\no\u00f9 \"f_1\" est solution de \"(\mathcal{E})\" sur \"]a ,\, c[\" et \"f_2\" est solution de \"(\mathcal{E})\" sur \"]c ,\, b[\".<\/p>\n

\"\bullet\" Puis
\n\"\ast\" a) on cherche s’il est possible (en choisissant \u00e9ventuellement les constantes) de prolonger \"f\" par continuit\u00e9 en \"c\", donc on cherche si la limite \u00e0 gauche de \"c\" de la fonction \"f_1\" est \u00e9gale \u00e0 la limite \u00e0 droite de \"c\" de \"f_2\".
\nSi c’est le cas<\/i>,
\n\"\ast\" b) on cherche si la fonction \"f\" est d\u00e9rivable en \"c\".
\nSi c’est le cas<\/i>,
\n\"\ast\" c) on cherche si \"f\" est encore solution de \"(\mathcal{E})\" en \"c\".
\nDans ce cas<\/i>, la (ou les) fonction(s) obtenue(s) est (sont) solution(s) de \"(\mathcal{E})\" sur \"]a ,\, b[\".
\nOn dit que l’on a raccord\u00e9 les solutions en<\/i>\u00a0\"c\".<\/p>\n

2- \u00c9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire vectorielle du premier ordre<\/h3>\n

2.1. Premi\u00e8re forme<\/b><\/h4>\n

\"(\mathcal{E})\, : \; x' = a(t) (x) + b(t)\" o\u00f9
\n\"\ast\" \"I\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\"
\n\"\ast\" \"E\" est un \"\mathbb{K}\" espace vectoriel de dimension \"n \geq 1\" (et \"E = \mathbb{K}\" si \"n = 1)\" .
\n\"\ast\" \"I \to \mathcal{L}(E),\, t \mapsto a(t)\" est continue
\n\"\ast\" \"I \to E ,\, t \mapsto b(t)\" est continue
\net l’\u00e9quation homog\u00e8ne associ\u00e9e :
\n\"\quad \quad \quad (\mathcal{H})\, : \; x' = a(t) (x)\, .\"<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy<\/b>\u00a0: Si \"t_0 \in I\" et\u00a0 \"x_0 \in \, E\", il existe une unique fonction \"x\" de classe \"C^1\" sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"E\" v\u00e9rifiant le probl\u00e8me de Cauchy :
\n\"\left \{ \begin{matrix} \forall\, t \in I, \;\; x'(t)& =& a(t) (x(t)) + b(t) \\ x(t_0)&=& x_0 \end{matrix}\right.\"
\nDe plus \"\forall \, t \in I\",
\n\"\displaystyle x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{ t} a(s) (x(s))+ b(s) \, \textrm{d} \, s\"<\/p>\n

Cons\u00e9quence 1\u00a0<\/b>: Si \"t_0 \in I\", l’application \"\mathcal{S}(\mathcal{H}) \to E ,\, x \mapsto x(t_0)\" est un isomorphisme d’espaces vectoriels.<\/p>\n

Cons\u00e9quence 2<\/b>\u00a0: Il y a \u00e9quivalence entre :
\n\"\ast\" \"(\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)\" est une base de l’espace vectoriel des solutions de l’\u00e9quation homog\u00e8ne \"(\mathcal{H})\"
\n\"\ast\"\u00a0 \"\forall \, t \in I\", \"( \varphi_1(t)\, , \, \varphi_2(t) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t))\" est une base de \"E\"
\n\"\ast\" il existe \"t_0\in I\" tel que \"\quad \quad ( \varphi_1(t_0)\, , \, \varphi_2(t_0) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t_0))\"
\nest une base de \"E\, .\"<\/p>\n

2.2. Deuxi\u00e8me forme<\/b><\/h4>\n

\"(\mathcal{E})\, : \, X' = A(t) X + B(t)\" o\u00f9
\n\"\ast\" \"I\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\"
\n\"\ast\" \"n \in \mathbb{N},\, n \geq 2\"
\n\"\ast\" \"I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\, t \mapsto A(t)\" est continue
\n\"\ast\" \"I \to \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K}),\, t \mapsto B(t)\" est continue
\net l’\u00e9quation homog\u00e8ne associ\u00e9e :
\n\"\quad \quad \quad (\mathcal{H})\, : \, X' = A(t) X\, .\"<\/p>\n

C’est la traduction matricielle de la premi\u00e8re forme.<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy<\/b>\u00a0:
\nSi \"t_0 \in I\" et \"X_0 \in \, \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K})\", il existe une unique fonction \"X\" de classe \"C^1\" sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" v\u00e9rifiant le probl\u00e8me de Cauchy :
\n\"\left \{ \begin{matrix} \forall\, t \in I \;, \; X'(t)& =& A(t) X(t) + B(t) \\ X(t_0)&=& X_0 \end{matrix}\right.\"<\/p>\n

De plus \"\forall \, t \in I\",
\n\"\displaystyle X(t) = X_0 + \int_{t_0}^{ t} A(s)\, X(s)+ B(s) \, \textrm{d} \, s\"<\/p>\n

Cons\u00e9quence 1\u00a0<\/b>:
\nSi \"t_0 \in I\", l’application \"\quad \quad \mathcal{S}(\mathcal{H}) \to \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K}) ,\, X \mapsto X(t_0)\" est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
\n
\nCons\u00e9quence 2\u00a0<\/b>:
\nIl y a \u00e9quivalence<\/a> entre :
\n\"\ast\" \"(\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)\" est une base de l’espace vectoriel des solutions de l’\u00e9quation homog\u00e8ne \"(\mathcal{H})\"
\n\"\ast\" si \"t \in I\", \"( \varphi_1(t)\, , \, \varphi_2(t) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t))\" est une base de \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\"
\n\"\ast\" il existe \"t_0\in I\" tel que \"\quad \quad ( \varphi_1(t_0)\, , \, \varphi_2(t_0) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t_0))\"
\nest une base de \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\".<\/p>\n

2.3. R\u00e9sultats g\u00e9n\u00e9raux<\/b><\/h4>\n

Avec les hypoth\u00e8ses de 2.1. ou 2.2.:
\n\"\ast\"\u00a0T1\u00a0<\/b>: L’ ensemble \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\" des solutions de \"(\mathcal{H})\" est un espace vectoriel de dimension \"n\".<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0T2<\/b>\u00a0: La solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{E})\" est la somme d’une solution particuli\u00e8re de \"(\mathcal{E})\" et de la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{H})\". C’est un espace affine.<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0T3\u00a0<\/b>: Superposition des solutions
\nSi \"b = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, b_i\" et si \"\forall \, i \in [\! [1 , \, n ]\!]\", \"x_i\" est une solution particuli\u00e8re de \"\quad \quad x' = a(t)(x) + b_i(t)\",
\n\"x_P = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, x_i\" est une solution particuli\u00e8re de \"x' = a(t)(x) + b(t)\".
\net la traduction matricielle :
\nSi \"B = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, B_i\" et si pour tout \"i \in [\! [1 , \, n ]\!]\", \"X_i\" est une solution particuli\u00e8re de \"X' = A(t)\, X + B_i(t)\" , \"X_P = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, X_i\" est une solution particuli\u00e8re de \"X' = A(t)\, X + B(t)\".<\/p>\n

2.4. Variation des constantes<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\"\u00a0\u00c9quation\u00a0<\/b>\"(\mathcal{E})\, : \; x' = a(t)\, (x) + b(t)\"
\nHypoth\u00e8se\u00a0<\/i>: On a pu trouver \"n\" solutions \"(\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)\"\u00a0 de l’\u00e9quation homog\u00e8ne \"(\mathcal{H})\" formant une base de \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\".
\nOn rappelle que pour tout \"t \in I\", \"\quad \mathcal{B}(t) = ( \varphi_1(t)\, , \, \varphi_2(t) \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(t))\" est une base de \"E\".<\/p>\n

S’il n’y a pas de solution particuli\u00e8re de \"(\mathcal{E})\" \u00e9vidente, on utilise la m\u00e9thode de variation des constantes :
\nOn cherche une solution particuli\u00e8re de la forme \"t \mapsto \displaystyle \sum_{i = 1} ^n u_i(t) \varphi_i(t)\" en \u00e9crivant que \"\forall\, t \in I,\, \displaystyle \sum_{i = 1} ^n u'_i(t) \varphi_i(t) = b(t)\".
\nIl suffit de d\u00e9composer \"b(t)\" dans la base \"\mathcal{B}(t)\" :\u00a0 \"\displaystyle b(t) = \sum_{i = 1} ^n b_i(t)\, \varphi_i(t)\".
\nPar unicit\u00e9 de la d\u00e9composition de \"b(t)\" dans la base \"\mathcal{B}(t)\", il suffit de trouver une solution particuli\u00e8re des \u00e9quations si \"1 \leq i \leq n\" , \"u'_i(t) = b_i(t)\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0\u00c9quation\u00a0<\/b>\"(\mathcal{E})\, : \; X' = A(t)X + B(t)\"
\nHypoth\u00e8se\u00a0<\/i>: On a pu trouver \"n\" solutions \"(\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)\", de l’\u00e9quation homog\u00e8ne \"(\mathcal{H})\" formant une base de \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\".S’il n’y a pas de solution particuli\u00e8re de \"(\mathcal{E})\"\u00e9vidente, on utilise la m\u00e9thode de variation des constantes :<\/p>\n

On cherche une solution particuli\u00e8re de la forme \"t \mapsto \displaystyle \sum_{i = 1} ^n u_i(t) \varphi_i(t)\" en \u00e9crivant que \"\forall\, t \in I,\, \displaystyle \sum_{i = 1} ^n u'_i(y) \varphi_i(t) = B(t)\".
\nIl suffit de d\u00e9composer \"B(t)\" dans la base \"\mathcal{B}(t)\", \"\displaystyle B(t) = \sum_{i = 1} ^n B_i(t)\, \varphi_i(t)\".
\nPar unicit\u00e9 de la d\u00e9composition de \"B(t)\" dans la base \"\mathcal{B}(t)\", il suffit de trouver une solution particuli\u00e8re des \u00e9quations\u00a0 : \"\forall \, i \in [\![1 , \, n]\!]\" , \"u'_i(t) = B_i(t)\".<\/p>\n

2.5. Quelques pistes de r\u00e9solution<\/b><\/h4>\n

Si l’\u00e9nonc\u00e9 ne donne pas d’indication,
\n\"\bullet\" Dans le cas \"n = 2\" et \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\", il est parfois possible en posant \"z = x + \textrm{i} y\" d’obtenir une \u00e9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire du premier ordre en \"z\" que l’on sait r\u00e9soudre.<\/p>\n

\"\bullet\" On peut aussi chercher s’il existe une matrice \"P\" (ind\u00e9pendante de \"t\" et inversible) et une matrice diagonale ou triangulaire \"D(t)\" telles que \"\quad \quad \quad A(t) = P \,D(t)\, P ^{-1}\"
\net poser \"Y(t) = P ^{-1}\, X(t)\" (on obtient alors \"Y'(t) = D(t) Y(t) + P ^{-1}\, B(t)\").<\/p>\n

3. \u00c9quation \"X' = A\, X\" o\u00f9 \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\"<\/h3>\n

\"\bullet\"\u00a0M1.\u00a0<\/b>Utilisation de l’exponentielle de matrices<\/a><\/b>
\n\"\ast\" La solution du probl\u00e8me de Cauchy : \"X' = A \, X\" et \"X(t_0) = X_0\" est la fonction \"t \mapsto \textrm{e} ^{(t - t_0) A} \, X_0 \,\" .
\n\"\ast\" Si \"(E_1 \, , \, \cdots \, , \, E_n)\" est une base de \"\mathcal{M}_{n , 1} (\mathbb{K})\", les fonctions \"t \mapsto \textrm{e} ^{t \, A}\, E_k\" pour \"1 \leq k \leq n\" forment une base de \"\mathcal{S }(\mathcal{H})\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0\"A\"\u00a0est une matrice dagonalisable<\/a><\/b>\u00a0dans<\/b>\u00a0\"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" :
\n\"\ast\"\u00a0M2.1.\u00a0<\/b>La m\u00e9thode la plus simple est de d\u00e9terminer une base de vecteurs propres \"(V_1 \, , \, V_2 \, , \, \cdots \, , \, V_n)\" de \"A\" associ\u00e9s respectivement aux valeurs propres \"(\lambda_1 \, , \, \lambda_2 \, , \, \cdots \, , \, \lambda_n)\".
\nL’ ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions :
\n\"\mathbb{R } \to \mathcal{M}_{n , 1}(\mathbb{K})\", \"t\mapsto \displaystyle \sum _{i = 1} ^n C_i \, \textrm{e} ^{\lambda_i \, t } \, V_i\" lorsque \"(C_1 \, , \, C_2 \, , \, \cdots \, , \, C_n)\" d\u00e9crit \"\mathbb{K} ^n\".<\/p>\n

On peut aussi noter \"\quad \quad \forall\, i \in [\![1 , \, n ]\!],\; \varphi _ i : t \mapsto \textrm{e} ^{\lambda_i \, t } \, V_i\"
\net dire que \"(\varphi_1 \, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n)\" est un syst\u00e8me fondamental de solutions de \"X' = A\, X\" c’est-\u00e0-dire une base de l’espace vectoriel des solutions.<\/p>\n

\"\ast\"\u00a0M2.2.\u00a0<\/b>On d\u00e9termine \"P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})\" et \"D\" diagonale telles que \"A = P\, D \, P^{-1}\,\"; on pose \"Y = P^{-1}\, X\" ; l’\u00e9quation \u00e0 r\u00e9soudre s’\u00e9crit \"Y' = D \,Y\", ce qui donne \"n\" \u00e9quations lin\u00e9aires scalaires d’ordre 1 (du type \"y'_i = \lambda_i \, y_i\") que l’on r\u00e9sout.
\nIl suffit de calculer \"X = P \,Y\", pour obtenir \"X\". Dans ce cas, le calcul de \"P^{-1}\" est inutile.<\/p>\n

Si l’on doit de plus r\u00e9soudre le probl\u00e8me de Cauchy \"X' = A \,X\" et \"X(t_0) = X_0\,\", il faut d\u00e9terminer \"P^ {-1}\" pour d\u00e9terminer les constantes \"C_i\" de fa\u00e7on \u00e0 ce que \"Y(t_0) = P^ {- 1} \, X_0\,\" ou r\u00e9soudre directement le syst\u00e8me \"X(t_0) = X_0\,\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0\"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\"\u00a0n’est pas diagonalisable dans\u00a0<\/b>\"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\"\u00a0mais est diagonalisable dans<\/b>\u00a0\"\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\" et on cherche les solutions r\u00e9elles :
\n\"\ast\" a) Pour chaque valeur propre r\u00e9elle \"\lambda\", on d\u00e9termine une base du sous-espace propre \"E_{\lambda}(A)\".
\n\"\ast\" b) Si \"\lambda\" est une valeur propre non r\u00e9elle de \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\", on rappelle que si \"(V_1 \, , \, V_2 \, , \, \cdots \, , \, V_k)\" forme une base de \"E_{\lambda}(A)\", \"(\overline{V_1} \, , \, \overline{V_2 } \, , \, \cdots \, , \, \overline{V_k})\" forme une base de \"E_{\overline{\lambda}}(A)\".
\n\"\ast\" c) En utilisant les notations du b),\"\forall\, p \in [\![1 ,\, k]\!],\,\" \"W_p : t\mapsto \displaystyle \frac 1 2 \left ( V_p + \overline{V_p} \right )\"
\net \"Z_p : t \mapsto \displaystyle \frac 1 {2\, \textrm{i}}\left ( V_p - \overline{V_p} \right )\" sont des solutions \u00e0 valeurs r\u00e9elles de \"X' = A \,X\".
\nOn regroupe les solutions ainsi obtenues (en a) et c)), not\u00e9es par exemple \"\varphi_1\, , \, \varphi_2 \, , \, \cdots \, , \, \varphi_n\,\" et on d\u00e9montre que l’on a une famille<\/a> libre.<\/p>\n

Pour cela, il suffit de prouver que \"\textrm{det}(\varphi_1(0)\, , \, \varphi_2 (0)\, , \, \cdots \, , \, \varphi_n(0) \,) \neq 0\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3.<\/b>\u00a0\"A\"\u00a0est trigonalisable<\/b>.
\nOn introduit \"P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})\" et \"T\" matrice triangulaire sup\u00e9rieure telles que \"A = P \, T \, P^{- 1}\", on pose \"Y = P^{-1}\, X\".
\nL’ \u00e9quation \u00e0 r\u00e9soudre s’\u00e9crit \"Y' = T\, Y\", ce qui donne \"n\" \u00e9quations lin\u00e9aires scalaires.
\nOn r\u00e9sout le syst\u00e8me \u00ab triangulaire \u00bb obtenu en commen\u00e7ant par la derni\u00e8re \u00e9quation de la forme \"y_n' = \lambda_n \, y_n\,\", puis l’avant derni\u00e8re \"\quad y'_ {n - 1} = \lambda_n \, y_{n - 1} + \mu _ {n - 1 } \, y_n\" etc …
\nIl suffit de calculer \"X = P \, Y\" pour obtenir \"X\". Dans ce cas, le calcul de \"P^{- 1}\" est inutile.<\/p>\n

Cas particulier : la somme des dimensions des sous-espaces propres de \"A\" est \u00e9gale \u00e0 \"n - 1\".
\nSoit \"u\" l’endomorphisme<\/a> canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A\" et \"(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _{n - 1} )\" une famille libre de \"n - 1\" vecteurs propres.
\nEn introduisant un vecteur \"\varepsilon_n\" tel que \"(\varepsilon _1 \, , \, \cdots \, , \, \varepsilon _{n - 1} \, , \, \varepsilon _n )\" soit une base \"\mathcal {C}\" de \"\mathbb{R} ^n\", la matrice \"T\" de \"u\" dans la base \"\mathcal {C}\" est triangulaire sup\u00e9rieure.
\nIl est alors possible d’appliquer la m\u00e9thode pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n

4. \u00c9quation \"X' = A\, X + B(t)\"<\/h3>\n

\"X' = A\, X + B(t)\" o\u00f9 \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" et \"B(t) \in \mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{K})\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M1. Cas<\/b>\u00a0\"n = 2\".
\nLorsque la fonction<\/a> \"B\" est d\u00e9rivable sur l’intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\", la m\u00e9thode la plus simple de r\u00e9solution d’un syst\u00e8me diff\u00e9rentiel lin\u00e9aire d’ordre 2 avec second membre est de chercher une \u00e9quation diff\u00e9rentielle d’ordre 2 v\u00e9rifi\u00e9e par \"x\", en d\u00e9duire \"x\" puis \"y\".
\nEn n’oubliant pas la r\u00e9ciproque !<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0Cas \"n > 2\" et \"A\"\u00a0diagonalisable<\/b>\u00a0:
\nIntroduire \"P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})\" et \"D\" diagonale telles que \"A = P \, D \, P^{-1}\", poser \"Y = P^{-1}\, X\" et \"C(t) = P^{-1}\, B(t)\".
\nL’ \u00e9quation \"X' = A\, X + B(t)\" s’\u00e9crit \"Y' = D \, Y + C(t)\".
\nOn obtient alors un syst\u00e8me de \"n\" \u00e9quations du type.
\n\"\quad \quad y'_k = \lambda_k \, y_k + f_k(t)\" o\u00f9 \"1\leq k \leq n\,\".
\nAyant r\u00e9solu ce syst\u00e8me, il reste \u00e0 calculer \"X = P\, Y\". Dans ce cas, on doit calculer \"P^{-1}\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3<\/b>. Cas \"n > 2\" et \"A\"\u00a0trigonalisable<\/b>\u00a0:
\nIntroduire \"P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})\" et \"T\" triangulaire telles que \"A = P \, T\, P^{-1}\", poser \"Y = P^{-1}\, X\" et \"C(t) = P^{-1} \, B(t)\".
\nL’ \u00e9quation \"X' = A\, X + B(t)\" s’\u00e9crit \"Y' = T \, Y + C(t)\".<\/p>\n

On obtient alors un syst\u00e8me triangulaire de \"n\" \u00e9quations.
\nOn commence par r\u00e9soudre \"\quad \quad y'_n = \lambda _n \, y_n + f_n (t)\"
\npuis on \u00ab remonte \u00bb.
\nAyant r\u00e9solu ce syst\u00e8me, il reste \u00e0 calculer \"X = P\, Y\".
\nDans ce cas, on doit calculer \"P^{-1}\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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 <\/p>\n

5. Transformer une \u00e9quation diff\u00e9rentielle scalaire d’ordre \"n\" en une \u00e9quation diff\u00e9rentielle vectorielle d’ordre 1<\/h3>\n

Hypoth\u00e8se<\/i>\u00a0: on suppose que \"(a_k)_{0 \leq k \leq n}\" est une famille de fonctions continues sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" .<\/p>\n

Soit l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire d’ordre \"n\" : \"\quad (\mathcal{E }) \, : \, \displaystyle x^ {(n)} + \sum_{k = 0} ^{n - 1} a_k (t) \, x^{(k)} = b(t)\,\".
\nOn pose
\n\"A(t) = \begin{pmatrix} 0&1&0& \cdots & 0\\ 0&0&1&\ddots &\vdots\\ \vdots &\textrm{ }&\ddots &\ddots & 0\\ 0& \cdots & \cdots &0 &1 \\ -a_0(t)&-a_1(t)&\cdots &\cdots &-a_{n - 1}(t) \end{pmatrix}\"
\n\"B( t)= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ \vdots \\ 0\\ b(t)\end{pmatrix} , \, Y(t) = \begin {pmatrix} x(t) \\x'(t)\\ \vdots \\ x^{(n - 2)} (t) \\ x^{(n - 1)} (t) \end{pmatrix}\"<\/p>\n

\"(\mathcal{E})\" est \u00e9quivalente \u00e0 \"\quad\forall\, t \in I,\, Y'(t) = A(t) \, Y(t)+ B(t)\".
\net
\n\"(\mathcal{H})\" : \"\displaystyle x^ {(n)} + \sum_{k = 0} ^{n - 1} a_k (t) \, x^{(k)} = 0\,\"
\nest \u00e9quivalente \u00e0 \"\quad \quad \forall\, t \in I,\, Y'(t) = A(t) \, Y(t)\".<\/p>\n

En particulier on peut \u00e9crire \"\quad \quad x'' + a(t) \,x' + b(t) \,x = c(t)\" sous la forme \u00e9quivalente \"\quad \forall\, t \in I,\, Y'(t) = A \, Y(t)+ B(t)\" avec
\n\"\quad \quad A(t) = \begin{pmatrix} 0&1 \\-b(t)&- a(t) \end{pmatrix}\", \"B(t)= \begin{pmatrix} 0\\ c(t)\end{pmatrix}\" et \"Y(t) = \begin {pmatrix} x(t) \\x'(t) \end{pmatrix}\" .<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy<\/b>
\nSi \"b\" et \"(a_k)_{0 \leq k \leq n}\" sont des fonctions continues sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\",
\nsi \"t_0 \in I\" et si \"(y_0 \,, \, \cdots \, , \, y_{n - 1}) \in \mathbb{K} ^n\, ,\"
\nil existe une unique fonction \"\varphi\" v\u00e9rifiant le probl\u00e8me de Cauchy suivant :
\n\"\forall\, t \in I \, , \, \displaystyle \varphi^ {(n)}(t) + \sum_{k = 0} ^{n - 1} a_k (t) \, \varphi^{(k)}(t) = b(t)\,\"
\net \"\forall \, k \in [\![0, n - 1]\!],\, \varphi^{(k)} (t_0) = y_k \, .\"<\/p>\n

P1<\/b>\u00a0: L’ensemble des solutions de \"\mathcal{H}\" sur \"I\" est un \"\mathbb{K}\" espace vectoriel de dimension \"n\".<\/p>\n

P<\/b>2<\/b> : L’ensemble des solutions de \"(\mathcal{E})\" est un espace affine : la solution g\u00e9n\u00e9rale est la somme de la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"\mathcal{H}\" et d’une solution particuli\u00e8re de \"\mathcal{E}\".<\/p>\n

Les \u00e9tudiants de Maths Sp\u00e9 qui n’ont pas la possibilit\u00e9 de faire appel \u00e0 un prof de maths particulier<\/a> ou de participer \u00e0 des stages intensifs de r\u00e9vision en Maths Sup, ont la possibilit\u00e9 d’utiliser diff\u00e9rents cours en ligne de Maths en PT<\/a>, ou des cours en ligne de PSI en Maths<\/a>, des cours en ligne de MP en Maths<\/a> ou m\u00eame des cours en ligne de PC en Maths<\/a> pour s’aider dans leurs r\u00e9visions personnelles.<\/p>\n

6. R\u00e9solution d’\u00e9quations linaires scalaires du second ordre<\/h3>\n

6.1. Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy<\/b><\/h4>\n

On cherche \u00e0 d\u00e9terminer les fonctions \"x\" deux fois d\u00e9rivables sur \"I\" et v\u00e9rifiant
\n\"\forall \, t \in I,\,\" \"a(t)\, x''(t) + b(t)\, x'(t) + c(t) \, x(t) = d(t)\"
\no\u00f9 \"a, \, b, \, c, \, d\" sont des fonctions continues sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\", la fonction \"a\" ne s’annulant pas sur \"I\".<\/p>\n

Dans le cas o\u00f9 \"a, \, b, \, c\" sont des scalaires, on se trouve dans le cas des \u00e9quations \u00e0 coefficients constants \u00e9tudi\u00e9es au paragraphe VII.<\/p>\n

En se pla\u00e7ant sur un intervalle \"I\" o\u00f9 la fonction \"a\" ne s’annule pas, on obtient
\nl’\u00e9quation homog\u00e8ne \"(\mathcal{H})\" : \"\quad \quad x'' + \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = 0\"
\net l’\u00e9quation compl\u00e8te \"(\mathcal{E})\" : \"\quad x'' + \alpha(t) \, x' + \beta(t) \, x = \gamma(t)\" .
\nles fonctions \"\alpha,\, \beta , \, \gamma\" \u00e9tant continues sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\".<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me de Cauchy<\/b>\u00a0:
\nOn suppose que les fonctions \"\alpha,\, \beta , \, \gamma\" sont continues sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\".
\nPour tout \"t_0 \in I\" et \"(x_0 ,\, x_1) \in \mathbb{K} ^2\", il existe une unique fonction \"x\" deux fois d\u00e9rivable sur \"I\" et v\u00e9rifiant le probl\u00e8me de Cauchy :\"\left \{ \begin{matrix} \forall \, t \in I , \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ x''(t) + \alpha(t) \, x'(t) + \beta(t) \, x(t)= \gamma(t)\\ x(t_0)= x_0 ,\; x'(t_0) = x_1 \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

Cons\u00e9quence : Pour prouver que deux solutions \"f\" et \"g\" de \"(\mathcal{E})\" sur \"I\" sont \u00e9gales, il suffit de trouver \"t_0 \in I\" tel que \"f(t_0) = g(t_0)\" et \"f'(t_0) = g'(t_0)\" et utiliser ensuite l’unicit\u00e9 donn\u00e9e par le th\u00e9or\u00e8me de Cauchy.<\/p>\n

6.2. \u00c9quation homog\u00e8ne<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\" L’ ensemble des solutions de \"(\mathcal{H})\" : \"x'' + \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = 0\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension 2.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"t_0 \in I\", l’application :
\n\"\quad \mathcal{S}(\mathcal{H}) \to \mathbb{K} ^2\", \"f \mapsto (f(t_0) ,\, f '(t_0))\"
\nest un isomorphisme d’espaces vectoriels.
\nC’est \u00e0 dire si \"t_0 \in I\" et \"(a , b) \in \mathbb{K}^2\", il existe une unique solution \"f\" de \"(\mathcal{H})\" telle que \"f(t_0) = a\" et \"f'(t_0) = b\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"t_0 \in I\" et si \"x\" est solution de \"(\mathcal{H})\" et v\u00e9rifie \"x(t_0) = x'(t_0) = 0\", alors \"x = 0\", car \"x\" et la solution nulle v\u00e9rifient le m\u00eame probl\u00e8me de Cauchy.\u00a0🧡<\/p>\n

\"\bullet\" Pour v\u00e9rifier que deux solutions \"h_1 ,\, h_2\" forment une base de \"(\mathcal{H})\", il suffit de prendre \"t_0 \in I\" (le plus simple possible) et de prouver que \"\left ( \theta_{t_0 }( h_1),\, \theta_{t_0 }( h_2) \right )\" est une base de \"\mathbb{K}^2\" (il suffit de prouver que \"\quad \quad \begin{vmatrix} h_1(t_0)& h_2(t_0)\\ h'_1(t_0)& h'_2(t_0) \end{vmatrix}\neq 0\")
\net de dire que \"(h_1 , h_2)\" est une base de \"\mathcal{S}(\mathbb{K})\" comme image d’une base de \"\mathbb{K}^2\" par l’isomorphisme \"\theta_{t_0} ^{- 1}\, .\"<\/p>\n

Si \"(h_1 ,\, h_2)\" est une base de \"\mathcal{S}(\mathbb{K})\", pour tout \"t \in I,\" \"\begin{vmatrix} h_1(t)& h_2(t)\\ h'_1(t)& h'_2(t) \end {vmatrix} \neq 0\" .
\ndem<\/i>\u00a0: il suffit de dire que pour tout \"t \in I, \, (\theta_t(h_1) , \, \theta_t(h_2))\" est une base de \"\mathbb{K}^2\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"t_0 \in I\",
\n\"\ast\" il existe un unique couple \"(h_1 ,\, h_2)\" de solutions de \"(\mathcal{h})\" v\u00e9rifiant
\n\"\quad \quad h_1(t_0)=1 \textrm{ et } h'_1(t_0)=0\" \"\quad \quad h_2(t_0)= 0 \textrm{ et } h'_2(t_0)= 1\" .
\n\"\ast\" \"(h_1 ,\, h_2)\" est une base de \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\", comme image de la base canonique de \"\mathbb{K}^2\" par l’isomorphisme \"\theta_{t_0} ^{-1}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"h_1\" et \"h_2\" sont solutions de \"(\mathcal{H})\", la fonction \"W\" d\u00e9finie, pour tout \"t \in I\", par \"W(t) = \begin{vmatrix} h_1(t)& h_2(t)\\ h'_1(t)& h'_2(t) \end {vmatrix}\" est solution de l’\u00e9quation lin\u00e9aire du premier ordre :
\n\"\quad \quad \forall \, t \in I,\, W'(t)= - \alpha(t) \,W(t)\".\u00a0🧡<\/p>\n

6.3. Consignes de r\u00e9daction (cas de fonctions \u00e0 valeurs r\u00e9elles)<\/b><\/h4>\n

Si \"(h_1\,,\, h_2)\" est une base de \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\" et si \"x_p\" est une solution particuli\u00e8re de \"(\mathcal{E}),\" conclure en disant au choix :
\n\"\ast\" la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"(\mathcal{E})\" sur \"\mathbb {R}\" est d\u00e9finie par
\n\"I \to \mathbb {R}\", \"t \mapsto A\, h_1(t) + B \, h_2(t) + x_p(t)\" o\u00f9 \"(A ,\, B) \in \mathbb {R}^2\".
\nou
\n\"\ast\" l’ensemble des solutions de \"(\mathcal{E})\" sur \"\mathbb {R}\" est l’ensemble des fonctions
\n\"I \to \mathbb {R}\", \"t \mapsto A\, h_1(t) + B \, h_2(t) + x_p(t)\" o\u00f9 \"(A , \, B) \in \mathbb {R}^2\".<\/p>\n

6.4. Raccordements de solutions d’une \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/b><\/h4>\n

Si \"a < c < b\" et si l’on a su d\u00e9terminer les solutions de \"(\mathcal{E})\" sur \"]a ,\, c[\" et sur \"]c ,\, b[\", on pose
\n\"\quad f(t) = \left \{ \begin{matrix} f_1(t) &\textrm{si}& t \in \; ]a , \, c [ \\ f_2(t) &\textrm{si}& t \in \; ]c , \, b [ \end{matrix} \right.\"
\no\u00f9 \"f_1\" est solution de \"(\mathcal{E})\" sur \"]a ,\, c[\" et \"f_2\" est solution de \"(\mathcal{E})\" sur \"]c ,\, b[\".
\nPuis
\n\"\ast\"\u00a0a)<\/b>\u00a0on cherche s’il est possible (en choisissant \u00e9ventuellement les constantes) de prolonger \"f\" par continuit\u00e9 en \"c\", donc en d\u00e9montrant que la limite \u00e0 gauche de \"c\" de la fonction \"f_1\" est \u00e9gale \u00e0 la limite \u00e0 droite de \"f_2\" en \"c\".
\nSi c’est le cas<\/i>,
\n\"\ast\"\u00a0b)<\/b>\u00a0on cherche si la fonction \"f\" est d\u00e9rivable en \"c\"
\n… par limite du taux d’accroissement de \"f\" en \"c\"
\n… ou en cherchant si \"f'\" admet la m\u00eame limite \"L\" \u00e0 droite et \u00e0 gauche en \"c\" (dans ce cas, on rappelle que, par th\u00e9or\u00e8me, \"f\" est de classe \"C^1\" sur \"]a , b[\" et \"f '(c) = L\")
\nSi c’est le cas<\/i>,
\n\"\ast\"\u00a0c)<\/b>\u00a0on cherche si \"f\" est deux fois d\u00e9rivable en \"c\" (par limite du taux d’accroissement de \"f'\" en \"c\" ou gr\u00e2ce \u00e0 la limite de \"f''\" en c).
\nSi c’est le cas<\/i>,
\n\"\ast\"\u00a0d)<\/b>\u00a0on cherche si \"f\" est encore solution de \"(\mathcal{E})\" en \"c\".<\/p>\n

Dans ce cas, la (ou les) fonction(s) obtenue(s) est (sont) solution(s) de \"(\mathcal{E})\" sur \"]a ,\, b[\".
\nOn dit que l’on a raccord\u00e9 les solutions en<\/i>\u00a0\"c\".<\/p>\n

7. \u00c9quation lin\u00e9aire du second ordre \u00e0 coefficient constants<\/h3>\n

Hypoth\u00e8ses<\/i>\u00a0: soit \u00e0 r\u00e9soudre l’\u00e9quation \"\quad \quad (\mathcal{E}) : a\, x'' + b\, x' + c \, x = f(t)\"
\no\u00f9 \"(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2\" et \"f\" est une fonction continue sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\". On note \"(\mathcal{H}) : a\, x'' + b \,x' + c \,x = 0\".<\/p>\n

7.1. R\u00e9solution de\u00a0<\/b>\"a\, x'' + b \,x' + c \,x = 0\"\u00a0o\u00f9<\/b>\u00a0\"(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2\".
\nOn note \"P(r) = a\, r^2 + b\, r + c\".
\nL’ ensemble des solutions \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\" de l’\u00e9quation homog\u00e8ne est un espace vectoriel de dimension 2 et on note \"(h_1, \, h_2)\" une base de \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\".<\/p>\n

Si l’\u00e9quation caract\u00e9ristique \"P(r) = 0\"
\n\"\ast\" a deux racines distinctes \"\alpha\" et \"\beta\" dans \"\mathbb{K}\" :
\n… \"h_1 : t \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, t}\"
\n\"h_2 : t \mapsto \textrm {e} ^{\beta \, t}\".<\/p>\n

\"\ast\" a une racine double \"\alpha\" :
\n… \"h_1 : t \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, t}\"
\n\"h_2 : t \mapsto t \, \textrm {e} ^{\alpha \, t}\".<\/p>\n

\"\ast\" a deux racines complexes conjugu\u00e9es : \"\alpha + \textrm {i} \, \beta\" et \"\alpha - \textrm {i} \, \beta\" , o\u00f9 \"\beta \neq 0\" dans le cas o\u00f9 \"\mathbb{K} = \mathbb{R}\" :
\n… \"h_1 : t \mapsto \textrm {e} ^{\alpha \, t}\, \cos(\beta\, t)\"
\n\"h_2 : t \mapsto \, \textrm {e} ^{\alpha \, t}\, \sin(\beta\, t)\".<\/p>\n

\"\ast\" et pour aller plus vite dans le cas \"y'' + \, \omega^2\, y = 0\" avec \"\omega > 0\" :
\n… \"h_1 : t \mapsto \cos(\omega \, t)\"
\n\"h_2 : t \mapsto \sin(\omega \, t)\".<\/p>\n

\"\ast\" et pour aller plus vite dans le cas \"y'' - \, \omega^2\, y = 0\" avec \"\omega > 0\" :
\n… \"h_1 : t \mapsto \textrm{ch}(\omega \, t)\"
\n\"h_2 : t \mapsto \textrm{sh}(\omega \, t)\".
\nou
\n… \"h_1 : t \mapsto \textrm{e}^{\omega \, t}\"
\n\"h_2 : t \mapsto \textrm{e}^{- \omega \, t}\".<\/p>\n

Hypoth\u00e8ses : soit \u00e0 r\u00e9soudre l’\u00e9quation \"\quad \quad (\mathcal{E}) :a\, x'' + b \,x' + c \,x = f(t)\"
\no\u00f9 \"(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2\" et \"f\" est une fonction continue sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\". On note \"(\mathcal{H}) : a\, x'' + b \,x' + c \,x = 0\".<\/p>\n

7.2. Recherche d’une solution particuli\u00e8re de<\/b>\u00a0\"\quad (\mathcal{E}) : a\, x'' + b \,x' + c \,x = f(t)\"\u00a0o\u00f9\u00a0<\/b>\"(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb {K}^* \times \mathbb{K}^2\" .
\n\"\bullet\"\u00a0M1. Utilisation du principe de superposition des solutions.<\/b>
\nSi \"f = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, f_i\" et si \"\forall\, i \in [\! [1 , \, n ]\!]\", \"x_i\" est une solution particuli\u00e8re de \"\quad \quad a\, x'' + b\, x' + c\,x = f_i(t)\",
\n\"x = \displaystyle \sum _ {i = 1 } ^n \alpha _ i \, x_i\" est solution de \"\quad \quad \, x'' + b\, x' + c\, x = f(t)\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2. Utilisation de la fonction conjugu\u00e9e.\u00a0<\/b>
\nSi \"(a ,\, b ,\, c) \in \mathbb{R} ^3\" et si \"I \to \mathbb {C }\", \"t \mapsto x(t)\" est solution de \"a \,x'' + b \,x' + c\, x = f(t)\" la fonction \"I \to \mathbb {C }\", \"t \mapsto \overline {x(t)}\" est solution de \"\quad a \,x'' + b \,x' + c \,x = \overline {f(t)}\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M3. Second membre<\/b>\u00a0\"f(t) = g(t)\, \textrm{e} ^{m \,t}\" o\u00f9 \"m\"\u00a0est racine double de l’\u00e9quation caract\u00e9ristique\u00a0<\/b>\"P\".
\n\"\ast\" On cherche une solution particuli\u00e8re \"x : t \mapsto h(t) \, \textrm{e} ^{m \, t}\".
\nApr\u00e8s calculs, on obtient l’\u00e9quation : \"a \, h''(t) = g(t)\".
\n\"\ast\" Cette m\u00e9thode peut aussi \u00eatre utilis\u00e9e lorsque le second membre est de la forme \"f(t) = g(t) \, \textrm{e} ^{m \, t}\", o\u00f9 \"m\" est racine simple de l’\u00e9quation caract\u00e9ris- tique \"P\". On obtient l’\u00e9quation : \"\quad a\, h''(t) + (2\, a\, m + b)\, h'(t) = g(t)\"
\net on se ram\u00e8ne donc \u00e0 une \u00e9quation lin\u00e9aire scalaire du premier ordre (en posant \"H(t) = h'(t)\").<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4. Second membre<\/b>\u00a0\"f\"\u00a0de la forme\u00a0<\/b>\"t \mapsto Q(t) \, \textrm {e} ^ {m \, t}\",\u00a0o\u00f9<\/b>\u00a0\"Q\"\u00a0est une fonction polyn\u00f4me et\u00a0<\/b>\"m \in \mathbb {C}\".
\nOn cherche une solution particuli\u00e8re sous la forme \"t \mapsto R(t) \, \textrm{e} ^{m \,t}\" o\u00f9 \"R : t \mapsto t ^{\alpha } \, U(t)\" avec \"U\" fonction polyn\u00f4me de m\u00eame degr\u00e9 que \"Q\" et
\n\"\ast\" si \"m\" n’est pas racine de \"P\", \"\alpha = 0\"
\n\"\ast\" si \"m\" est racine simple de \"P\", \"\alpha = 1\"
\n\"\ast\" si \"m\" est racine double de \"P\", \"\alpha = 2\"
\n(attention, M3 est plus simple dans ce dernier cas).
\nDans cette m\u00e9thode, lorsque le degr\u00e9 de \"Q\" est \u00ab\u00a0\u00e9lev\u00e9\u00a0\u00bb, il est conseill\u00e9 de calculer les d\u00e9riv\u00e9es de \"t \mapsto R(t) \textrm{e} ^{m \, t}\", puis de remplacer dans l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle et d’introduire ensuite les coefficients de \"U\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M4B.<\/b>\u00a0On peut aussi raisonner avec \"R\" et d\u00e9montrer que \"t\mapsto R(t)\, \textrm{e} ^{m\, t}\" est solution de l’\u00e9quation \"(\mathcal{E})\" ssi
\n\"\forall \, t \in \mathbb{R}\", \"(a m ^2 + b m + c) \, R(t)\"
\n\"+ \, (2 a m + b) \, R'(t) + a R''(t) = Q(t)\"
\net de trouver ensuite une solution particuli\u00e8re de cette \u00e9quation.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M5.\u00a0<\/b>Second membre\u00a0<\/b>\"\quad \quad f(t) = \lambda \, \cos (\alpha\, t) + \mu \sin (\alpha \, t)\", lorsque \"(a , \,b , \,c) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^2\".
\nM5.1.\u00a0<\/b>On cherche une solution particuli\u00e8re sous la forme :
\n\"\ast\" \"t \mapsto C\, \cos(\alpha\, t) + D\, \sin(\alpha\,t)\" si \"\textrm{i} \, \alpha\" n’est pas racine du polyn\u00f4me caract\u00e9ristique \"P\".
\n\"\ast\" \"t \mapsto t \left ( C\, \cos(\alpha\, t) + D\, \sin(\alpha\,t) \right )\" si \"\textrm{i} \, \alpha\" est racine simple du polyn\u00f4me caract\u00e9ristique \"P\".<\/p>\n

M5.2<\/b>. On utilise les formules d’Euler, on cherche une solution particuli\u00e8re \"x_0\" de \"\quad a \, x'' + b\, x' + c\, x = \textrm{e} ^{\textrm{i} \, \alpha \, t}\" ;
\non utilise M2 pour dire que \"\overline {x_0}\" est solution particuli\u00e8re de \"\quad \quad a\, x'' + b \, x' + c \, x = \textrm{e} ^{ - \textrm{i} \, \alpha \, t}\"
\net on termine par utilisation du principe de superposition des solutions (cf M1).
\nEn particulier, \"\textrm{Re}(x_0)\" est une solution particuli\u00e8re de \"\quad \quad a x'' + b x' + c x = \cos(\alpha \, t)\"
\net \"\textrm{Im}(x_0)\" est une solution particuli\u00e8re de \"\quad \quad a x'' + b x' + c x = \sin(\alpha \, t)\".<\/p>\n

8. Quelques autres m\u00e9thodes de r\u00e9solutions d’\u00e9quations diff\u00e9rentielles scalaires du second ordre<\/h3>\n

8.1. Par changement de fonction inconnue<\/b><\/h4>\n

On note \"x\" l’ancienne fonction, \"y\" la nouvelle fonction et \"t\" la variable. On exprime \"x'\" et \u00e9ventuellement \"x''\" en fonction de \"t,\, y,\, y'\" et \u00e9ventuellement \"y''\".
\nOn remplace dans l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle donn\u00e9e. On doit obtenir une \u00e9quation diff\u00e9rentielle en \"y\" de m\u00eame ordre que celle dont on est parti.
\nOn r\u00e9sout l’\u00e9quation obtenue. Ne pas oublier \u00e0 la fin de donner les solutions \"x\" en utilisant la relation entre \"x\" et \"y\".<\/p>\n

8.2. M\u00e9thode de Lagrange pour les \u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/b><\/h4>\n

On suppose que l’on doit r\u00e9soudre \"(\mathcal{E}) : a(t) \, x'' + b(t) \, x' + c(t) \, x = f(t)\" quand
\na) les fonctions \"a,\, b,\, c\" et \"f\" sont continues sur l’intervalle \"I\" et \"a\" ne s’annule pas sur l’intervalle \"I\".
\nb) on conna\u00eet une solution particuli\u00e8re \"x_1\" de \"\quad (\mathcal{H}) : a(t) \, x'' + b(t) \, x' + c(t) \, x = 0\" ne s’annulant pas sur \"I\".<\/p>\n

On note \"\forall\, t \in I, \, x(t) = u(t)\, x_1(t)\".
\n\"x\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"I\" ssi \"u\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"I\".
\nEn \u00e9crivant que \"x\" est solution sur \"I\" de \"(\mathcal{E})\" et en utilisant le fait que \"x_1\" est solution de \"(\mathcal{H})\", on obtient (calculs \u00e0 faire) :
\n\"x\" est solution sur \"I\" de \"(\mathbb{E})\" ssi \"\forall\, t \in I,\" \"\left (2 \, a(t)\, x'_1(t)+ b( t)\, x_1(t) \right ) u'(t)\" \"\quad \quad \quad \quad +a\, ( t) \, x_1(t)\, u''(t) = f(t).\"
\nEn posant \"y = u'\", la fonction \"y\" est solution sur \"I\" de l’\u00e9quation lin\u00e9aire scalaire d’ordre 1 :
\n\"\left (2 \, a(t)\,x'_1(t)+ b( t)\, x_1(t) \right ) y\" \"\quad \quad \quad \quad \quad + \, a( t) \, x_1(t)\, y' = f(t)\"
\nOn r\u00e9sout cette \u00e9quation puis il reste \u00e0 r\u00e9soudre \"u' = y\".<\/p>\n

Important : Il vaut mieux conserver (sauf si \"x_1\" est tr\u00e8s simple) l’expression litt\u00e9rale \"x_1\" et on arrive \u00e0 l’\u00e9quation sans second membre, normalis\u00e9e sous la forme, \"\quad \displaystyle y ' + \left (\frac {2 \, x'_1(t)} {x_1(t)} + \frac {b(t)} {a(t)} \right ) y = 0\".
\nIl suffit ensuite de trouver une primitive de \"f\" de \"\displaystyle t \mapsto \frac {b(t)} {a(t)}\" pour en d\u00e9duire que \"t \mapsto f(t) + 2 \ln \vert x_1(t) \vert\" est une primitive de \"\displaystyle t \mapsto \frac {2 \, x'_1(t)} {x_1(t)} + \frac {b(t)} {a(t)}\".<\/p>\n

8.3. Par utilisation d’une s\u00e9rie enti\u00e8re<\/b><\/h4>\n

On r\u00e9dige ainsi :
\nOn cherche une suite<\/a> \"(a_n)_n\" telle que la s\u00e9rie enti\u00e8re de terme g\u00e9n\u00e9ral \"a_n\, x^n\" ait un rayon de convergence \"R > 0\" et telle que la fonction \"f\" d\u00e9finie pour tout \"t \in \; ]- R ,\, R[\", par \"\displaystyle f(t) = \sum _{n = 0} ^{+\infty} a_n \, t^n\" soit solution sur \"]- R ,\, R[\" de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"( \mathcal {E})\".<\/p>\n

Par propri\u00e9t\u00e9 des sommes de s\u00e9rie enti\u00e8re sur l’intervalle ouvert de convergence, pour tout \"t \in\; ]- R ,\, R[\",
\n\"\displaystyle f'(t) = \sum _{n = 1} ^{+\infty}n \, a_n \, t^{n - 1}\" et \"\displaystyle f''(t) = \sum _{n = 2} ^{+\infty}n( n - 1) \, a_n \, t^{n - 2}\".<\/p>\n

Puis
\n1. On \u00e9crit que \"f\" est solution de \"( \mathcal {E})\".
\n2. En utilisant l’unicit\u00e9 de l’\u00e9criture d’une s\u00e9rie enti\u00e8re, on obtient une relation entre les coefficients \"a_n\" .
\n3. On d\u00e9termine \"a_n\" .
\n4. On cherche le rayon de convergence \"R\".
\n5. Si possible, on calcule la somme de la s\u00e9rie enti\u00e8re et \u00e9ventuellement on termine la r\u00e9solution de l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle (par exemple, en utilisant la m\u00e9thode de Lagrange dans le cas d’une \u00e9quation lin\u00e9aire du second ordre).<\/p>\n

Cette m\u00e9thode peut \u00eatre utilis\u00e9e lorsque les coefficients de l’\u00e9quation sont des fonctions polyn\u00f4mes, le second membre \u00e9tant une fonction polyn\u00f4me ou une fonction d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re.<\/p>\n

8.4. Par changement de variable pour une \u00e9quation lin\u00e9aire du second ordre.<\/b><\/h4>\n

On note \"t\" l’ancienne variable<\/a> et \"u = \Phi(t)\" la variable propos\u00e9e par l’\u00e9nonc\u00e9.
\n\"\ast\" On suppose que \"\Phi\" est une bijection de classe \"C^2\" de l’intervalle \"I\" sur l’intervalle \"J\" et que \"\forall\, t \in I, \Phi'(t) \neq 0\".
\n\"\ast\" Alors la fonction \"\Phi ^{-1}\" est de classe \"C^2\" sur \"J\".
\n\"\ast\" On \u00e9crit \"x(t) = z(u) = z (\Phi(t))\" soit \"x = z \circ \Phi \Leftrightarrow z = x\, \circ \, \Phi^{ - 1}\".
\n\"\ast\" La fonction \"x\" est de classe \"C^2\" sur \"I\" ssi la fonction \"z\" est de classe \"C^2\" sur \"J.\"<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall \, t \in I,\, x'(t) = z'(\Phi(t)) \Phi'(t)\" \"x'(t) = z'(u) \Phi'(t)\"
\net \"x''(t) = z''(\Phi(t) ) \Phi'^2(t) + z'(\Phi(t)) \Phi''(t)\" \"x''(t) = z''(u) \Phi'^2(t) + z'(u) \Phi''(t)\".
\n\"\ast\" On remplace dans l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle et on doit obtenir \u00e0 la fin une \u00e9quation diff\u00e9rentielle de m\u00eame ordre que celle dont on est parti, ne d\u00e9pendant que de \"u\".
\n\"\ast\" On la r\u00e9sout puis on d\u00e9termine l’ensemble des solutions \"t \mapsto x(t)\", en utilisant le changement de variable donn\u00e9.<\/p>\n

8.5. Cas des \u00e9quations d’Euler : \"a \, t^2 \, x''(t) + b\, t\, x' + c\, x = f(t)\" o\u00f9 \"(a , \, b ,\, c) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C} ^2\"<\/b><\/h4>\n

\"\bullet\"\u00a0M1. <\/b>par changement de variable :
\nOn r\u00e9sout l’\u00e9quation sur \"I_1 = \; ]0 ,\, +\infty[\" ou \"I_2 = \; ]- \infty ,\, 0[\" et on utilise le changement de variable :
\n\"u = \ln \vert t \vert\" ou \"t = \varepsilon \, \textrm{e} ^u\" (\"\varepsilon = 1\" si l’on r\u00e9sout sur \"I_1\" et \"\varepsilon = - 1\" sinon).<\/p>\n

La fonction \"\Phi : I_k \to \mathbb {R}, t \mapsto \ln \vert t \vert\" est une bijection de classe \"C^2\" telle que \"\Phi ^{ - 1} : \mathbb {R} \to I_k , \, u \mapsto \varepsilon\, \textrm{e} ^{u}\" (\"\varepsilon = 1\" pour \"I_1\" et \"\varepsilon = - 1\" pour \"I_2\") est une bijection de classe \"C^2\" .
\nOn note \"x(t) = x(\varepsilon \textrm {e} ^u) = z(u)\" ; on en d\u00e9duit que \"x\" est de classe \"C^2\" sur \"I_1\,\", (resp \"I_2\") ssi \"z\" est de classe \"C ^2\" sur \"\mathbb {R}\".<\/p>\n

On obtient l’\u00e9quation \u00e0 coefficients constants :
\n\"\forall \, u \in \mathbb {R},\" \"a z''(u) + (b - a) z'(u) + c z(u) = f(\varepsilon \, \textrm {e} ^u).\"<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0M2.<\/b>\u00a0On peut aussi chercher les solutions de l’\u00e9quation homog\u00e8ne sur \"I_1 = \; ]0 ,\, + \infty[\" ou \"I_2 =\; ]-\infty ,\, 0[\" sous la forme \"x_{\alpha} : t \to \vert t \vert ^{\alpha }\".
\nOn d\u00e9montre que \"x_{\alpha}\" est solution ssi \"\quad \quad a \, \alpha^2 + (b - a) \, \alpha + c = 0\".
\nDans le cas o\u00f9 il y a deux solutions distinctes, on v\u00e9rifie que l’on obtient une base de l’espace vectoriel<\/a> des solutions \"\mathcal{S }(\mathcal{H})\".<\/p>\n

8.6. En cherchant une solution particuli\u00e8re sous la forme d’une fonction polyn\u00f4me<\/b><\/h4>\n

On commence par d\u00e9terminer le degr\u00e9 du polyn\u00f4me \"P\" : en notant \"n = \textrm{deg} P\", on calcule le terme de plus haut degr\u00e9 dans l’\u00e9quation, ce qui permet d’obtenir une \u00e9quation, donnant en g\u00e9n\u00e9ral la valeur de \"n\".
\nIl ne reste plus qu’\u00e0 noter \"\quad \quad \quad \displaystyle P(t) = \sum_{k = 0} ^n a_k \, t^k\".
\nEn rempla\u00e7ant dans l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle, on d\u00e9termine les coefficients \"a_k\" par r\u00e9solution d’un syst\u00e8me lin\u00e9aire.<\/p>\n

8.7. M\u00e9thode de la variation des constantes<\/b><\/h4>\n

On suppose que l’on conna\u00eet deux solutions \"h_1\" et \"h_2\" formant une base de l’espace vectoriel des solutions de \"(\mathcal{H }) : x'' + \alpha(t) \, x'(t) + \beta (t)\, x = 0.\"<\/p>\n

La m\u00e9thode de variation des constantes consiste \u00e0 trouver deux fonctions \"u_1\" et \"u_2\" de classe \"C^1\" sur \"I\" telles que \"x = u_1\, h_1 + u_2 \,h_2\" soit solution de
\n\"(\mathcal{E }) : x'' + \alpha(t) \, x'(t) + \beta (t)\, x = \gamma(t)\"
\navec la condition \"u'_1\, h_1+ u'_2\, h_2= 0\" .<\/p>\n

On rappelle que les fonctions v\u00e9rifient le syst\u00e8me :
\n\"\quad \quad \left \{ \begin{matrix} u'_1\, h_1+ u'_2\, h_2&=& 0\\ u'_1\, h'_1+ u'_2\, h'_2&= &\gamma \end{matrix} \right.\"<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

On r\u00e9sout le syst\u00e8me en \"u'_1\", \"u'_2\". Puis on d\u00e9termine \"u_1\" et \"u_2\" : comme on cherche une solution particuli\u00e8re, on peut choisir les constantes d’int\u00e9gration<\/a> de \"u_1\" et \"u_2\".<\/p>\n

Exercice<\/b>
\nSoit \"\omega > 0\".
\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation \"x'' + \omega^2 x = f(t)\" o\u00f9 la fonction \"f\" est continue sur l’intervalle \"I\" en utilisant la m\u00e9thode de variation des constantes.<\/p>\n

Exercices sur\u00a0les \u00c9quations\u00a0diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires en maths sp\u00e9<\/span><\/h2>\n

Plan<\/h3>\n

1. Syst\u00e8mes diff\u00e9rentiels (100 mn)
\n2. R\u00e9solution d’\u00e9quations lin\u00e9aires du premier ordre (60 mn)
\n3. R\u00e9solution d’\u00e9quations lin\u00e9aires du second ordre (110mn)
\n4. Probl\u00e8mes th\u00e9oriques avec des \u00e9quation du premier ordre\u00a0 (40 mn)
\n5. Probl\u00e8mes th\u00e9oriques avec des \u00e9quations du second ordre. (180 mn)<\/p>\n

1. Syst\u00e8mes diff\u00e9rentiels<\/h3>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>
\nR\u00e9soudre sur \"I = \mathbb{R}\" l’\u00e9quation \"(\mathcal{H})\" : \"X' = A(t) X\" avec \"A(t) =\begin {pmatrix} 1 & - 2 t \\ 2 t & 1 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

Exercice 2<\/b>
\nR\u00e9soudre le syst\u00e8me \"X' = A X\" avec \"A = \begin {pmatrix} - 5 &6&12\\4&-3&-8\\-4&4&9 \end{pmatrix}\".<\/p>\n

Exercice 3<\/b>
\nSolutions r\u00e9elles de \"X' = A X\" avec \"A = \begin {pmatrix} - 1 &1&0\\-1&0&1\\1&0&-1 \end{pmatrix}\".<\/p>\n

Exercice 4<\/b>
\nSolutions r\u00e9elles de \"x'' = y - x' + y'\" et \"y'' = x - x' + y'\"<\/p>\n

2. R\u00e9solution d’\u00e9quations du premier ordre<\/h3>\n

Exercice 1\u00a0<\/b>Mines Ponts PC<\/p>\n

R\u00e9soudre l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"y'(x) = x\, y(- x)\"<\/p>\n

Exercice 2<\/b> Centrale PSI
\n<\/span>Soit \"(\mathcal{E})\" l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle : \"- (1 - x)\ln(1 - x)y' + y = 1 - x\".<\/span><\/p>\n

Question 1
\n<\/b>D\u00e9terminer une relation de r\u00e9currence satisfaite par les coefficients d’une s\u00e9rie enti\u00e8re<\/a> \"\sum a_n \, x^n\" dont la somme satisfait \"(\mathcal{E})\" au voisinage de 0.
\n<\/span>Question 2
\n<\/b>Montrer que \"\displaystyle \frac{- 1} {n + 1} \leq a_n \leq 0\" pour \"n \geq 1\" ; minorer alors le rayon de convergence de \"\sum a_n \, x^n\".
\n<\/span>Question 3
\n<\/b>Exprimer \u00e0 l’aide des fonctions \u00e9l\u00e9mentaires la solution trouv\u00e9e dans la question 1.<\/span><\/p>\n

3. R\u00e9solution d’\u00e9quations d’ordre sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 2<\/b><\/h3>\n

Exercice 1.<\/b> CCP PC 2018
\n<\/span>On consid\u00e8re l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"(\mathcal{H})\" : \"y ^{(3)} = y\".<\/span><\/p>\n

Question 1
\n<\/b>Montrer que \"f\" v\u00e9rifie \"(\mathcal{H})\" ssi il existe \"\lambda \in \mathbb{R }\" tel que \"\forall \, x \in \mathbb{R},\, f ''(x) + f'(x) + f(x) = \lambda \, \textrm{e}^{ x}\".<\/p>\n

Question 2
\n<\/b>R\u00e9soudre l’\u00e9quation \"(\mathcal{H})\".<\/span><\/p>\n

Exercice 2<\/b> MinesPOnts PC<\/span><\/p>\n

L’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"\quad \quad y'' + 4y = t\, \cos t\"\u00a0<\/span>poss\u00e8de-t-elle des solutions born\u00e9es sur \"\mathbb{R}\" ?<\/span><\/p>\n

Exercice 3 <\/b>CCP PC 2018
\n<\/span>R\u00e9soudre sur \"\mathbb{R}\" l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"y''(x) + y(x) = y(0)\cos(x)\".<\/span><\/p>\n

Exercice 4
\n<\/b>R\u00e9soudre \"\quad (\mathcal{E}) \; (t^2 + 1) x'' - 2 t x' + 2 x = 0\"\u00a0<\/span>en cherchant une solution polynomiale.<\/span><\/p>\n

Exercice 5
\n<\/b>R\u00e9soudre, sur tout intervalle ne contenant pas \"\pm 1\", l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"(x^2 - 1) y'' - 2 x y' - (x^2 - 2 x - 1) y = 0\" en cherchant une solution de la forme \"x \mapsto \textrm{e} ^{a\,x}\".<\/span><\/p>\n

Exercice 6<\/b> Mines Ponts MP 2018
\n<\/span>On consid\u00e8re l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"\quad x^2 y'' - 4 x y' + (x^2 + 6)\, y = 0\".<\/span><\/p>\n

Question 1
\n<\/b>D\u00e9terminer les solutions d\u00e9veloppables en s\u00e9rie enti\u00e8re.<\/span><\/p>\n

Question 2
\n<\/b>Quelle est la dimension de l’espace des solutions sur \"\mathbb{R}\" ?<\/span><\/p>\n

Exercice 7
\n<\/b>R\u00e9soudre sur \"]0 , \, \pi[\", \u00a0l’\u00e9quation \"x''(t) + x(t) = \textrm{cotan} t\".
\n<\/span>Indication : quelle est la d\u00e9riv\u00e9e de \"F : \displaystyle t \mapsto \ln \tan \left ( \frac {t } {2}\right )\" ?<\/span><\/p>\n

4. Probl\u00e8mes th\u00e9oriques pour les \u00e9quations d’ordre 1<\/b><\/h3>\n

Exercice 1
\n<\/b>Soit \"a\" une fonction continue de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" et p\u00e9riodique de p\u00e9riode 1.\u00a0Montrer qu’il existe un unique r\u00e9el \"\alpha\" tel que pour toute solution non nulle \"f\" de \"\quad \quad \quad \quad (\mathcal{E}) : y' = a(x)\, y\"\u00a0<\/span>l’application \"F : x \mapsto \textrm{e} ^{ -\alpha \, x} \, f(x)\" soit p\u00e9riodique.<\/span><\/p>\n

Exercice 2
\n<\/b>Question 1
\n<\/b>Soit \"h\" une fonction de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" continue telle que \"\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x) = 0\".\u00a0<\/span>Montrer que toute solution de \"y' + y = h\" admet \"0\" pour limite en \"+\infty\".<\/span><\/p>\n

Question 2
\n<\/b>Soient \"L \in \mathbb{R}\" et \"f\" une fonction continue de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" telle que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) + f '(x) = L\", montrer que \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = L\".<\/span><\/p>\n

5. Probl\u00e8mes th\u00e9oriques pour les \u00e9quations d’ordre 2<\/b><\/h3>\n

Exercice 1 <\/b>Mines Ponts MP 2018<\/span><\/p>\n

Question 1 :<\/b> lemme de Gronwall
\n<\/span><\/i>Soit \"y : [a\, ,b] \to \mathbb{R}\" de classe \"C^1\", \"\varphi : [a,\, b] \to \mathbb{R }^+\" continue et \"C \in \mathbb{R}\" tels que pour tout \"x \in [a,\, b]\", \"\quad \quad y(x) \leq C + \int_a ^x \varphi (t)\, y(t)\, \textrm{d} \, t\"<\/span><\/p>\n

Question 2<\/b>
\nOn suppose \"a\" impaire et \"b\" paire. Montrer que la fonction \"f\" solution de \"(\mathcal{E})\" avec les conditions initiales \"f(0) = 1\" et \"f '(0) = 1\" est paire.
\nMontrer de m\u00eame que la fonction \"g\" solution de \"(\mathcal{E})\" avec les conditions initiales \"g(0) = 0\" et \"g'(0) = 1\" est impaire.
\nEn d\u00e9duire qu’il existe une base de l’espace des solutions de \"(\mathcal{E})\" constitu\u00e9e d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
\nQuestion 3\u00a0<\/b>
\nOn note \"\mathcal{S}(\mathcal{E})\" l’ ensemble des solutions de \"(\mathcal{E})\".\u00a0On suppose que \"\mathcal{S}(\mathcal{E})\" admet une base \"(f , \,g)\" avec \"f\" paire et \"g\" impaire.
\nMontrer que \"a\" est impaire et \"b\" est paire.<\/p>\n

Exercice 2 <\/b>Centrale 2015
\n<\/span>Soit \"a \in C^1 (\mathbb{R}^+, \mathbb{R} )\" int\u00e9grable sur \"\mathbb{R} ^+\".<\/span><\/p>\n

Question 1
\n<\/b>A-t-on toujours \"\displaystyle \lim_{x \to + \infty} a(x) = 0\" ?<\/span><\/p>\n

Question 2
\n<\/b>Soit \"f\" v\u00e9rifiant sur \"\mathbb{R} ^+\" : \"\quad \quad y''(x) + (1 + a(x)) y(x) = 0\".<\/span><\/p>\n

Soit \"g : x \to \mathbb{R} ^+\", \u00a0\"x \mapsto f(x) + \int_0 ^x \sin(x - t)\, a(t) f(t) \, \textrm{d} \, t\".\u00a0<\/span>Montrer que \"g\" est de classe \"C^2\" sur \"\mathbb{R} ^+\" puis que \"g'' + g = 0\".<\/span><\/p>\n

Question 3
\n<\/b>Montrer qu’il existe \"c \in \mathbb{R} ^+\" tel que pour tout \"x\in \mathbb{R} ^+\",\u00a0<\/span>\"\quad \vert f(x) \vert \leq c + \int_0 ^x \, \, \vert a(t) \vert \, \vert f(t) \vert \, \textrm{d} \, t\".<\/span><\/p>\n

Question 4
\n<\/b>Montrer que toutes les solutions sur \"\mathbb{R} ^+\" de \"y'' + (1 + a(x) ) \,y = 0\" sont born\u00e9es.<\/span><\/p>\n

Exercice 3 <\/b>TPE
\n<\/span>Soit l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"\quad \quad (\mathcal{E}) : y'' + f(x) y = 0\",\u00a0<\/span>o\u00f9 \"f\" est continue et int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^+\".<\/span><\/p>\n

question 1
\n<\/b>Montrer que si \"y_1\" et \"y_2\" sont solutions de \"(\mathcal{E})\", \"y'_1 \, y_2 - y_1\, y'_2\" est constante.<\/p>\n

Question 2
\n<\/b>Montrer que si \"y\" est une solution de \"(\mathcal{E})\" born\u00e9e sur \"\mathbb{R}^+\", \"y'(x)\" admet une limite finie quand \"x\" tend vers \"+ \infty\", puis montrer que cette limite est nulle.<\/span><\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Question 3
\n<\/b>Montrer que \"(\mathcal{E})\" admet une solution non born\u00e9e.<\/p>\n

Exercice 4<\/b><\/p>\n

MinesPonts MP 2018 (PC 2014)
\n<\/span>Soient \"a,\, b : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\" continues et \"(\mathcal{E})\" l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle \"\quad \quad y'' = a(t) y' + b(t) y\".<\/span><\/p>\n

Calculer pour deux solutions \"f,\, g\" de \"(\mathcal{E})\" la quantit\u00e9 \"W = f\, g' - f' \, g.\"<\/span><\/p>\n

Annales sur\u00a0<\/b>les \u00e9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires en maths sp\u00e9<\/h2>\n

Des annales de m<\/span>aths sp\u00e9 en math\u00e9matiques sont disponibles via la rubrique Annales.\u00a0\u00a0<\/span><\/p>\n

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