{"id":27617,"date":"2019-06-06T09:49:30","date_gmt":"2019-06-06T08:49:30","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27617"},"modified":"2023-09-15T17:45:59","modified_gmt":"2023-09-15T16:45:59","slug":"cours-en-ligne-revision-ecrits-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-revision-ecrits-maths-spe\/","title":{"rendered":"R\u00e9vision pour les \u00e9crits en maths sp\u00e9 : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tMatrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tVariables al\u00e9atoires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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R\u00e9vision pour les \u00e9crits en MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

Alg\u00e8bre<\/a>\u00a0Analyse<\/a>\u00a0Probabilit\u00e9s<\/a><\/h2>\n

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Alg\u00e8bre – R\u00e9vision pour les \u00e9crits pour les maths sp\u00e9<\/h2>\n

Plan<\/h3>\n

Les d\u00e9monstrations du cours qui pourraient \u00eatre demand\u00e9es ainsi que les r\u00e9sultats classiques tr\u00e8s proches du cours \u00e0 savoir justifier.
\nLe temps indiqu\u00e9 est le temps minimum, il d\u00e9pend de ce que vous avez oubli\u00e9.<\/p>\n

Selon le cas, vous trouverez la d\u00e9monstration ou le lieu o\u00f9\u00a0 trouver le r\u00e9sultat dans PrepApp. Elles sont en g\u00e9n\u00e9ral rep\u00e9r\u00e9es par le nouveau symbole<\/p>\n

1. Alg\u00e8bre lin\u00e9aire<\/a>
\n2. Matrices\u00a0 : Vandermonde et d\u00e9terminants par blocs.
\n3. R\u00e9duction un exercice ajout\u00e9 en MP\/PSI
\n4. Pr\u00e9hilbertiens
\n5. Euclidiens un exercice<\/p>\n

1. Exercices sur les espaces vectoriels<\/h3>\n

S1.\u00a0<\/b>Si \"u \in \mathcal{L}(E , F)\" et \"v \in\mathcal{L}(F , G)\",
\n\"v \circ u = 0\" ssi \"\textrm{Im} \,u \subset \textrm{Ker} \, v\".<\/p>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\na) Si \"u \in \mathcal{L}(E)\" o\u00f9 \"\dim E = n\", il existe \"p \in [\![1 , n]\!]\" tel que \"\textrm{Ker } u^p = \textrm{Ker } u^{p + 1}\" et si \"k < p\", \"\textrm{Ker } u^p \, \neq\, \textrm{Ker } u^{p + 1}\".
\nb) L’entier \"p\" \u00e9tant d\u00e9fini dans la question a), montrer que si \"k \, \geq\, p\", \"\textrm{Ker } u^k = \textrm{Ker } u^{p}\".
\nQuestion 2\u00a0<\/b>
\nMontrer que la suite \"( \textrm {Im }u^k)_{k \, \geq \, 0}\" est monotone pour l’inclusion et qu’elle est stationnaire \u00e0 partir du m\u00eame rang \"p\".
\nQuestion 3\u00a0<\/b>
\nMontrer que \"E = \textrm {Im }u^p \oplus \, \textrm {Ker }u^p\" et que la restriction de \"u\" \u00e0 \"\textrm {Im }u^p\" est un automorphisme de \"\textrm {Im }u^p\"<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Soient \"E\" un espace vectoriel de dimension \"n\" et \"u \in \mathcal{L}(E)\" tel qu’il existe \"a \in E\" tel que \"\quad \quad \quad \mathcal {B} = (u ^i (a)) _{0 \leq i \leq n - 1}\"
\nsoit une base de \"E\".
\n\"\mathcal{C} = \{v \in \mathcal{L}(E) / v \circ u = u \circ v \}\" est un espace vectoriel<\/a> de dimension \"n\" et de base \"(\textrm{Id}_E , u , \, \, \cdots \, , \, u ^{n - 1})\"<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Soit \"E\" un espace vectoriel de dimension \"n > 0\" et \"u\" un endomorphisme de \"E\" de rang 1.
\n\"u ^2 = \textrm{Tr} (u)\, u\".<\/p>\n

S4.<\/b>\u00a0C’est du cours pour les MP, un exercice en PC\/PSI.
\nSoient \"(a_0 , \,a_1 ,\, ...\, , \,a_n)\" \"n + 1\" \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{K}\", deux \u00e0 deux distincts.
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nPour tout \"i\" de \"[\![0 , n]\!],\" , il existe un unique polyn\u00f4me \"L_i \in \mathbb{K}_n[{\textrm X}]\" tel que
\n\"\forall j \in [\![0 , n]\!]\", \"L_i(a_j)= \delta_{i , j}\,\".
\nLes polyn\u00f4mes \"(L_i)_{ 0 \leqslant i \leqslant n}\" sont appel\u00e9s polyn\u00f4mes d’interpolation de Lagrange sur les points \"(a_0 , a_1 ,... , a_n).\"
\nQuestion 2<\/b>
\nPour tout \"i\" de \"[\![0 , n]\!]\",
\n\"L_i = \displaystyle\prod_{0\leqslant j\leqslant n,\,j\neq i}\left(\frac{ {\textrm X} - a_j}{a_i-a_j}\right)\".
\nQuestion 3<\/b>
\n\"(L_0 ,\, L_1 ,\;...\; ,\, L_n)\" est une base de \"\mathbb{K}_n[{\textrm X}]\" et \"\quad \forall\; Q \in \mathbb{K}_n[{\textrm X}], \, Q =\displaystyle\sum_{i=0}^{n}Q(a_i)\,L_i\,\".
\nQuestion 4<\/b>
\n\"\forall\; (b_0 ,\, b_1 ,\; ...\; ,\, b_n) \in \mathbb{K}^{n + 1}\", \"\exists! P\in \mathbb{K}_n[{\textrm X}]\" tel que \"\forall i \in [\![0 , n]\!]\" , \"P(a_i)= b_i\,\", de plus \"P =\displaystyle\sum_{i=0}^{n}b_i\, L_i \,\".<\/p>\n

S5.<\/b>\u00a0Soit \"E\" un espace vectoriel r\u00e9el de dimension finie et \"f \in \mathcal{L}(E).\"
\n\"\textrm{dim Im } f - \textrm{dim Im } f^2 =\" \"\quad \quad \quad \quad \quad \textrm{dim }(\textrm{Im }f \cap \textrm{Ker }f )\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

2. Matrices<\/h3>\n

S1.<\/b>\u00a0Soient \"A , B \in \mathcal{M} _n(\mathbb{K})\", \"A\, B\" et \"B\, A\" ont m\u00eame trace.
\nDeux matrices<\/a> semblables ont m\u00eame trace.<\/p>\n

S2.<\/b>\u00a0Soit \"(E_{p , q})_{1\leqslant p , \,q \leqslant n}\" la base canonique de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nD\u00e9montrer que
\n\"E_{p , \,q} \times E_{r , \,s} = \delta_{q , \,r}\, E_{p ,\, s}\"
\nQuestion 2<\/b>
\nD\u00e9montrer que
\nSi \"A = (a_{i \,j})_{1 \leqslant i ,\, j \leqslant n}\,\",
\n\"\ast\" \"\displaystyle A =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i ,\, j} \,E_{i ,\, j}\",
\n\"\ast\" \"\displaystyle A\, E_{p,\, q} =\sum_{i=1}^{n}a_{i ,\, p}\, E_{i ,\, q}\"
\n\"\ast\" et \"\displaystyle E_{p ,\,q} \,A = \sum_{j=1}^{n}a_{q, \,j}\, E_{p,\, j}\,\".<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Si \"A \in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"A^n = 0\" et \"A^{n- 1}\neq 0\", \"A\" est semblable \u00e0
\n\"T=\begin{pmatrix}
\nsoit \"T= \begin{pmatrix}.
\nOu la forme vectorielle :
\nSi \"u\" est un endomorphisme de \"E\" , espace vectoriel de dimension \"n\" tel que \"u ^{n - 1} \neq 0\" et \"u^n = 0\", il existe une base \"\mathcal{B}\" de \"E\" dans laquelle la matrice de \"u\" est la matrice \"A\" \u00e9crite ci-dessus.<\/p>\n

S4.\u00a0<\/b>Soit \"A = ( a_ {i, j}) _ {1 \leq i , j \leq n}\" avec \"\forall \, i , j \in [\![1 , n]\! ]^2, \, a_{i ,j} = a\" si \"i \neq j\" et \"a_{i , i} = b\" o\u00f9 \"(a , b) \in \mathbb{K} ^* \times \mathbb{K}\".
\nCalculer \"A ^p\" pour \"p \in \mathbb{N }\".<\/p>\n

S5.\u00a0<\/b>Si \"E\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension \"n\" et si \"p\" est un projecteur de \"E\", \"{\rm Tr}(p) = {\rm rg}(p)\".<\/p>\n

S6. D\u00e9terminant de Vandermonde\u00a0<\/b>
\nSi \"(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n)\" sont des scalaires,\u00a0 connaitre la d\u00e9finition, la valeur de \"V(a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_n)\"\u00a0 et savoir justifier le r\u00e9sultat.<\/p>\n

S7. D\u00e9terminant d’une matrice triangulaire par blocs<\/b>
\nSoit \"M = \begin{pmatrix} A &B \\0 & C\end{pmatrix}\" o\u00f9
\n\"A \in \mathcal{M}_p( \mathbb{K})\" et \"C \in \mathcal{M}_p( \mathbb{K})\".
\nMontrer que \"\det(M) = \det(A) \, \det(C)\".<\/p>\n

3. R\u00e9duction<\/h3>\n

S1.<\/b>\u00a0Comment d\u00e9terminer rapidement le rang d’une matrice \"A\" qui est diagonalisable ?<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Condition n\u00e9cessaire et suffisante pour que \"A\" (ou un endomorphisme en dimension finie) ayant une seule valeur propre soit diagonalisable<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Si \"A \in \mathcal{M}_{2 n + 1}(\mathbb{R})\", \"A\" admet au moins une valeur propre<\/p>\n

S4.\u00a0<\/b>Condition n\u00e9cessaire et suffisante pour qu’une droite soit \"u\" -stable si \"u\" est un endomorphisme de \"E\".<\/p>\n

S5.<\/b>\u00a0Si \"u\" et \"v\" sont deux endomorphismes de \"E\", ev de dimension finie, qui permutent, les sous-espaces propres de \"u\" sont \"v\"-stables.<\/p>\n

S6.<\/b>\u00a0Si \"u\" est un endomorphisme de l’espace vectoriel \"E\" de dimension finie (ou de dimension iinfinie)\u00a0 tel que tout vecteur non nul est vecteur propre de \"u\", \"u\" est une homoth\u00e9tie.<\/p>\n

S7.\u00a0<\/b>Soient \"E\" un espace vectoriel de dimension \"n > 0\" et \"F\" un sev de \"E\" tel que \"1 \leq \textrm{dim} F <n\" stable pour l’endomorphisme \"u\" de \"E\".
\nOn note \"v\" l’endomorphisme induit par \"u\" sur \"F\".
\nQuestion 1<\/b>
\nLe polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"v\" divise celui de \"u\".
\nQuestion 2<\/b>\u00a0(sauf PC)
\nSi \"u\" est diagonalisable, \"v\" est diagonalisable.<\/p>\n

S8.\u00a0<\/b>\"E\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension \"n > 0\", \"u\" et \"v\" sont deux endomorphismes de \"E\" qui permutent.
\nSi \"u\" admet \"n\" valeurs propres distinctes,\u00a0 toute base de vecteurs propres de \"u\" est une base de vecteurs propres de \"v\".
\nEt la version matricielle :
\nSi \"A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\"\u00a0 v\u00e9rifient \"A \, B = B \, A\" et si \"A\" admet \"n\" valeurs propres distinctes, il existe\"P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})\" et deux matrices diagonales \"D\" et \"D'\" telles que \"A = P \, D \, P ^{-1}\" et \"B = P \, D ' \, P ^{- 1}\"<\/p>\n

S9. MP et PSI seulement\u00a0<\/b>
\n\"E\" est un \"\mathbb{K}\"-espace vectoriel de dimension \"n > 0\", \"u\" et \"v\" sont deux endomorphismes de \"E\" qui permutent.
\nSi \"u\" et \"v\" sont diagonalisables, il existe une base de \"E\" form\u00e9e de vecteurs propres de \"u\" et de \"v\".
\nEt la version matricielle :
\nSi \"A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\" sont diagonalisables et v\u00e9rifient \"A \, B = B \, A\" , il existe \"P \in \textrm{GL}_n(\mathbb{K})\" et deux matrices diagonales \"D\" et \"D'\" telles que \"A = P \, D \, P ^{-1}\" et \"B = P \, D ' \, P ^{- 1}\"<\/p>\n

S10.\u00a0<\/b>Soit \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\"
\nQuestion 1<\/b>
\n\"A\" est de rang 1 ssi il existe \"X, \, Y\" de \"\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\" non nulles\u00a0 telles que \"A = X\, Y^{\textrm{T }}\".
\nQuestion 2<\/b>
\nSi \"A\" est de rang 1, \"A^2 = \textrm{Tr}(A) \, A\".
\nQuestion 3<\/b>
\nSi \"\textrm{rg}(A) = 1\", \"A\" est diagonalisable ssi la trace de \"A\" est non nulle.<\/p>\n

S11. Matrice compagnon\u00a0<\/b>
\nSoit \"(a_0,\,...\,,\,a_{n-1})\in\mathbb{K}^n\" et \"A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\",
\n\"A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \cdots & 0 & a_2 \\, \"\chi_A= \displaystyle \textrm {X}^n-\sum_{i=0}^{n-1}a_i\, \textrm {X}^i.\"
\nMontrer que \"A\" est diagonalisable ssi le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"A\" est scind\u00e9 \u00e0 racines simples.<\/p>\n

S12.\u00a0<\/b>Diagonaliser (rapidement ! ) la matrice\u00a0\u00a0\"A = ( a_ {i, j}) _ {1 \leq i , j \leq n}\" avec \"\forall \, i , j \in [\![1 , n]\! ]^2, \, a_{i ,j} = b\" si \"i \neq j\" et \"a_{i , i} = a\" o\u00f9 \"(a , b) \in \mathbb{K} \times \mathbb{K} ^*\".
\nEn d\u00e9duire le polyn\u00f4me caract\u00e9ristique de \"A\".<\/p>\n

S13. MP\/PSI\u00a0<\/b>
\nSi \"u\" est un endomorphisme de matrice \"A\" dans la base \"\mathcal{B}\", \"H\" est un hyperplan \"u\"-stable \"\Leftrightarrow\" \"H\" a pour \u00e9quation dans la base \"\mathcal{B}\" : \"a_1 x_1 + ... + a_n x_n = 0\" o\u00f9 \"V = (a_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in \mathcal{M}_{n ,1}(\mathbb{K})\" est un vecteur propre de \"A^{\textrm T}\".
\nPC\u00a0<\/b>
\nSoit \"u\" l’endomorphisme canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\".
\nOn note \"P\" le plan d’\u00e9quation \"ax + b y + c z = 0\" et \"V = (a, b , c)^{\textrm{T}}\".
\n\"P\" est \"u\"-stable ssi \"V\" est un vecteur propre de \"A^{\textrm{T}}\".<\/p>\n

S14. MP et PSI\u00a0<\/b>Si la matrice \"M^2\" est diagonalisable et inversible, \"M\" est diagonalisable.<\/p>\n

Exercices conseill\u00e9s : en MP \/ PSI\u00a0<\/b>
\ndeuxi\u00e8me s\u00e9rie d’exercices : 4 . 5. et 12
\nmatrices stochastiques exercice 16, une approche compl\u00e9mentaire dans la cinqui\u00e8me\u00a0 t\u00e2che de r\u00e9visions avec les probabilit\u00e9s<\/a>.
\nExercices conseill\u00e9s en PC\u00a0<\/b>
\ndeuxi\u00e8me s\u00e9rie d’exercices : 10 . 11 . et 14
\nmatrices stochastiques exercice 14 , une approche compl\u00e9mentaire dans la cinqui\u00e8me t\u00e2che de r\u00e9visions avec les probabilit\u00e9s.<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

4. Espaces pr\u00e9hilbertiens<\/h3>\n

S1.\u00a0<\/b>Si \"(E , ( .\, |\, . ))\" est un pr\u00e9hilbertien<\/a> r\u00e9el, d\u00e9montrer l\u2019in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz :\"\quad \forall \, (x , y) \in E^2, \; \vert (x \,| \,y)\vert \leq \Vert x \Vert \; \Vert y \Vert .\"
\nD\u00e9montrer qu’il y a \u00e9galit\u00e9 si, et seulement si, la famille \"(x ,\, y)\" est li\u00e9e.<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Soit \"E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\".
\nQuestion 1<\/b>
\n\"E \times E \to \mathbb{R},\; (A , B) \mapsto \textrm{Tr}(A^{\textrm{T}} \, B)\"
\nd\u00e9finit un produit scalaire sur \"E\".
\nQuestion 2<\/b>
\n\"\mathcal{S} _ n (\mathbb{R})\" et \"\mathcal{A} _ n (\mathbb{R})\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux de \"\mathcal{M} _ n (\mathbb{R})\".
\nQuestion 3\u00a0<\/b>(plus difficile et moins courante)
\nsi \"(A ,\, B) \in E^2, \, \Vert A \, B \Vert \leq \Vert A \Vert \, \Vert B\Vert\".<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Sur l’espace vectoriel \"E\" des fonctions continues et de carr\u00e9 int\u00e9grable sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", \"\quad \quad (f \, | \, g) = \displaystyle \int_I f(t) \, g(t) \, \textrm{d} \, t\"
\nd\u00e9finit un produit scalaire.<\/p>\n

S4.\u00a0<\/b>Si \"p\" est la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel \"F\" du pr\u00e9hilbertien \"(E , ( . \, | \, . ) )\", pour tout \"(x , y) \in E^2\" , \"(x \, | \, p(y)) = (p(x) \, | \, p(y))\".<\/p>\n

S5.\u00a0<\/b>Si \"\mathcal{B} = (e_i)_{1 \leq i \leq n\, }\" est une base orthonormale de l’espace euclidien<\/a> \"E\" et si \"A = M_ {\mathcal{B} }(u)\" o\u00f9 \"u \in \mathcal{L}(E)\", \"\forall \, (i, \, j) \in [\![1, \, n]\!]^2,\,a_{i , \, j} = (e_i \, | \, u(e_j))\,\"<\/p>\n

S6.<\/b>\u00a0Soient \"E\" un espace euclidien et \"u\" une isom\u00e9trie de \"E\", \"\textrm{Ker}(u - \textrm{Id}_E)\" et \"\textrm{Im}(u - \textrm{Id}_E)\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux.<\/p>\n

S7.<\/b>\u00a0Soit \"E\" un espace euclidien de base orthonormale \"\mathcal{B}\". Soit \"(u_1 \, , \, \cdots \, , \, u_p)\" une base orthonormale du sous-espace vectoriel \"F\".
\nSi l’on note \"U_i\" la matrice de \"u_i\" dans \"\mathcal{B}\", la matrice \"Q\" de \"p_F\" dans la base \"\mathcal{B}\" est \"\displaystyle \sum _{i = 1} ^q U_i \, U_i ^{\textrm{T}}\".<\/p>\n

Conseil :\u00a0<\/b>
\nLes polyn\u00f4mes orthogonaux au programme en MP et qui peuvent faire l’objet d’un probl\u00e8me dans toutes les questions : m\u00e9thodes paragraphes 7.1. \u00e0 7.4. attention aux racines dans l’intervalle.
\n(avec les polyn\u00f4mes de Tchebichev, vous avez s\u00fbrement un sujet de devoir dessus, ou de Hermite).<\/p>\n

MP<\/b>\u00a0Seulement
\nFormule de Parseval
\nSi \"(e_n)_{n \in \mathbb{N}}\" est une suite orthonormale totale d’\u00e9l\u00e9ments du pr\u00e9hilbertien \"E\",\"\quad \quad \forall \, x \in E,\; \Vert x \Vert ^2 = \displaystyle \sum _ {n = 0} ^ {+\infty} (x \, | \, e_n)^2\" .<\/p>\n

5. Euclidiens<\/h3>\n

S1. Projecteurs orthogonaux<\/b>
\nUn projecteur \"p\" est dit orthogonal lorsque \"\textrm{Im}(p)\" et \"\textrm{Ker}(p)\" sont orthogonaux.
\nQuestion 1<\/b>
\nSoit \"E\" un espace euclidien et \"p\" un projecteur de \"E\". \"p\" est un projecteur orthogonal si, et seulement si, \"p\" est un endomorphisme sym\u00e9trique.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoit \"p\" un projecteur de \"E\".
\n\"p\" est un projecteur orthogonal ssi \"\forall \, x \in E\, ,\, \Vert p(x) \Vert \leq \Vert x \Vert\"<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Si \"A \in \mathcal{M}_{n , p} (\mathbb{R})\", \"A\" et \"A ^{\textrm{T}} \, A\" ont m\u00eame rang<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Soit \"E\" un espace euclidien et \"s\" une sym\u00e9trie de \"E\" diff\u00e9rente de \"\pm \textrm{Id}_E\". Il y a \u00e9quivalence entre :
\na)<\/b>\u00a0\"s\" est une isom\u00e9trie
\n\u00a0b)<\/b>\u00a0\"s\" est un endomorphisme sym\u00e9trique
\nc)\u00a0<\/b>les sous espaces \"\textrm{Ker}(s - \textrm{Id} _ E)\" et \"\textrm{Ker}(s + \textrm{Id} _ E)\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux.
\nOn dit que \"s\" est une sym\u00e9trie orthogonale.<\/p>\n

S4.\u00a0<\/b>Soit \"E\" euclidien de dimension \"n \geq 2\".
\nQuestion 1<\/b>
\nTraduction vectorielle puis matricielle de la sym\u00e9trie orthogonale \"s\" par rapport \u00e0 la droite \"\mathcal{D} = \textrm{Vect}(u)\" o\u00f9 \"\Vert u \Vert = 1\".
\nQuestion 2<\/b>
\nTraduction vectorielle puis matricielle de la sym\u00e9trie orthogonale \"s\" par rapport \u00e0 l’hyperplan \"\mathcal{P} =(\mathbb{R} u)^{\perp}\" o\u00f9 \"u\" est un vecteur unitaire (r\u00e9flexion).<\/p>\n

S5.<\/b>\u00a0Sur \"O(E)\".
\n\"\ast\" 1. Si \"(E ,\, ( . \, | \, . ))\" est un espace euclidien et \"u \in O(E)\", \"\textrm{Sp}(u) \subset \{1 , \, - 1\}\".<\/p>\n

\"\ast\" 2. Si \"M \in O_n(\mathbb{R})\", \"\textrm{Sp}(M) \subset \{ 1, \, - 1\}\".<\/p>\n

\"\ast\" 3. Si \"M \in O_n(\mathbb{R})\", \"\textrm{Sp}_ {\mathbb{C}}(M) \subset \{ \lambda \in \mathbb{C} , \, \vert \lambda \vert = 1\}\".<\/p>\n

\"\ast\" 4. \"O_n(\mathbb{R})\" est une partie ferm\u00e9e born\u00e9e (compacte en MP) de \"\mathcal{M}_n (\mathbb{R})\".<\/p>\n

S6.\u00a0<\/b>Si \"u\" est un endomorphisme sym\u00e9trique de \"E\", \"\textrm{Ker }u\" et \"\textrm{Im } u\" sont des suppl\u00e9mentaires orthogonaux.
\nLes sous-espaces propres de \"u\" sont deux \u00e0 deux orthogonaux.<\/p>\n

S7.<\/b>\u00a0Soient \"u\" et \"v\" deux endomorphismes sym\u00e9triques de l’espace euclidien \"E\" tels que \"u \circ v = v \circ u\".
\n\"u\" et \"v\" sont diagonalisables dans la m\u00eame base orthonormale.<\/p>\n

S8.\u00a0<\/b>Soit \"E\" un espace euclidien.
\nUn endomorphisme \"u\" sym\u00e9trique de \"E\" est dit positif si \"\forall \, x \in E\", \"(u(x) \,| \, x) \geq 0\".
\nUn endomorphisme \"u\" sym\u00e9trique de \"E\" est dit d\u00e9fini positif si
\n\"\quad \quad \forall \, x \in E \setminus \{0\}\", \"(u(x) \,| \, x) > 0\".<\/p>\n

Soit \"u\" un endomorphisme sym\u00e9trique de \"E\". Montrer que :
\n\"u\" est positif ssi \"\textrm{Sp}(u) \subset \mathbb{R}^+\" ;
\n\"u\" est d\u00e9fini positif ssi \"\textrm{Sp}(u) \subset \mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

S9.\u00a0<\/b>Soit \"u\" un endomorphisme sym\u00e9trique positif. Il existe un endomorphisme sym\u00e9trique \"v\" positif tel que \"v^2 = u\".<\/p>\n

S10.<\/b>\u00a0Soit \"A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\".
\n\"A\" est dite positive ssi \"\quad \forall \, X \in \mathcal {M}_{n , 1} ( \mathbb{R}) , \; X^{\textrm{T}}\, A\, X \geq 0\".
\n\"A\" est dite d\u00e9finie positive ssi \"\quad \forall \, X \in \mathcal {M}_{n , 1}(\mathbb{R}) \setminus \{0\}, \; X^{\textrm{T}}\, A\, X >0\".
\nOn note \"\mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R})\" l’ensemble des matrices sym\u00e9triques r\u00e9elles positives et \"\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\" l’ensemble des matrices sym\u00e9triques r\u00e9elles d\u00e9finies positives.<\/p>\n

Montrer que
\n\"A \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^+\"
\net \"A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \textrm{Sp}(A) \subset \mathbb{R}^{+*}\".<\/p>\n

S11. a)<\/b>\u00a0Si \"A \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R})\", la matrice \"B = A^{\textrm{T}} \, A\" est une matrice sym\u00e9trique positive.
\nb)<\/b>\u00a0Si \"A \in \textrm{GL}_n\mathbb{R})\", la matrice \"B = A^{\textrm{T}} \, A\" est une matrice sym\u00e9trique d\u00e9finie positive.<\/p>\n

S12.\u00a0<\/b>Si \"A\" est une matrice sym\u00e9trique positive, il existe \"B\" sym\u00e9trique positive telle que \"A = B^2\".<\/p>\n

S13. In\u00e9galit\u00e9 de Hadamard<\/b>
\nSoit \"n \in \mathbb{N}, \, n \geq 2\" et \"M \in \mathcal{M} _n(\mathbb{R})\".
\nOn note \"(X_1 \, \, \cdots \, , \, X_n)\" les vecteurs colonnes de \"M\".
\nOn note \"\Vert \textbf{.} \Vert\" la norme euclidienne canonique dans \"\mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{R})\".<\/p>\n

a)\u00a0<\/b>Montrer que \"\vert \textrm{det} (M) \vert \leq \displaystyle \prod _{k = 1} ^n \Vert X_k \Vert\".
\nb)\u00a0<\/b>Trouver une CNS pour qu’il y ait \u00e9galit\u00e9<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

Exercices conseill\u00e9s<\/b>
\nPremi\u00e8re s\u00e9rie : Paragraphes 1 , 5 et 6
\nDeuxi\u00e8me s\u00e9rie : Paragraphe 8 et 9
\nTroisi\u00e8me s\u00e9rie : Paragraphes 5 – 6 et 8<\/p>\n

Partie Analyse<\/h2>\n

Plan<\/p>\n

Les d\u00e9monstrations du cours qui pourraient \u00eatre demand\u00e9es ainsi que les r\u00e9sultats classiques tr\u00e8s proches du cours \u00e0 savoir justifier.
\nLe temps indiqu\u00e9 est le temps minimum, il d\u00e9pend de ce que vous avez oubli\u00e9.<\/p>\n

Selon le cas, vous trouverez la d\u00e9monstration ou le lieu o\u00f9 trouver le r\u00e9sultat dans PrepApp. Elles sont en g\u00e9n\u00e9ral rep\u00e9r\u00e9es par le nouveau symbole<\/p>\n

1. S\u00e9ries num\u00e9riques<\/a>
\n2. Suites et s\u00e9ries de fonctions<\/a>
\n3. S\u00e9ries enti\u00e8res
\n4. Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque
\n5. Convergence domin\u00e9e et th\u00e9or\u00e8me d’int\u00e9gration terme \u00e0 terme
\n6. Int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre.
\n7. Espaces vectoriels norm\u00e9s<\/a>
\n8. \u00c9quations diff\u00e9rentielles
\n9. Fonctions de plusieurs variables<\/a>
\n10. Familles sommables en MP.<\/p>\n

1. S\u00e9ries num\u00e9riques<\/h3>\n

S1.\u00a0<\/b>Si \"f\" est une fonction continue, d\u00e9croissante et \u00e0 valeurs positives ou nulles, non int\u00e9grable sur \"[1 , +\infty[\", trouver un \u00e9quivalent de \"\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^ n f(k)\"<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Soit \"(u_n)_n\" une suite qui converge vers 0 et \"v_n=u_{2n}+u_{2n+1}\" .
\n\"\sum u_n\" converge \"\Leftrightarrow\" \"\sum v_n\" converge.<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Soit \"\alpha > 1\" et \"\beta\" un r\u00e9el.
\nPour \"n\, {\geq}\, 2\" , \"\displaystyle u_n=\frac 1{n^{\alpha } \ln ^{\beta }(n)}\" .
\nMontrer que \"{\sum} u_n\" converge.<\/p>\n

S4.<\/b>\u00a0Soit \"\beta \, > \, 0\".
\n\"\quad \quad \forall \, n \geq 2, \; \displaystyle u_n=\frac 1 {n\; \ln ^\beta (n)}\".
\nMontrer que \"{\sum} u_n\" converge \"\Leftrightarrow \, \beta \,> \, 1\"<\/p>\n

S5<\/b>. Justifier la divergence des s\u00e9ries de termes g\u00e9n\u00e9raux :
\n\"\displaystyle u_n= \frac {1} {n \ln ^{\beta}(n)}\" si \"\beta \, {\leq} \, 0\"
\net \"\displaystyle v_n=\frac 1{n^{\alpha }\ln ^{\beta }(n)}\" si \"\alpha \, < \, 1\"<\/p>\n

S6.\u00a0<\/b>Un grand classique : Constante d’Euler
\nConvergence de la suite de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle a_n=\sum _{k=1}^n\frac 1 k - \ln (n)\" o\u00f9 \"n \, {\geq} \, 1\".
\nTrouver un \u00e9quivalent de\u00a0\"\displaystyle H_n=\sum _{k=1}^n\frac 1 k\"<\/p>\n

S7.\u00a0<\/b>Si \"f\" est continue sur [0 , +\"\infty\"[, d\u00e9croissante et de limite nulle en \"+ {\infty}\", la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle u_n=\int _{n\pi }^{(n+1)\pi }f(x)\sin (x)\textrm {d} x\" converge.<\/p>\n

S8.\u00a0<\/b>Convergence et somme de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle \frac{(-1)^n}{2n+1}\".<\/p>\n

S9.<\/b>\u00a0\"\displaystyle u_n=\int _0^1 x^n\sin (\pi \;x)\textrm {d}x\", convergence de \"{\sum} u_n\" et somme.<\/p>\n

S10.<\/b>\u00a0Soit \"\alpha > 1\" et si \"n \, \in \, \mathbb{N}^*\" , \"\displaystyle u_n = {\frac 1 {n ^{\alpha}}}\".
\nOn note \"\displaystyle R_n = \sum_{k = n + 1}^{\infty} u_k\", montrer que \"\displaystyle R_n \underset{n\to +\infty }{\sim } \frac 1{(\alpha - 1) n ^{\alpha - 1}}\".<\/p>\n

S11.<\/b>\u00a0Soient \"(u_n)_{n \geq 0}\" et \"(v_n)_{n \geq 0}\" deux suites telles que :
\n\"\ast\" la suite \"(u_n)_{n \geq 0}\" est une suite de r\u00e9els d\u00e9croissante, convergente de limite nulle
\n\"\ast\" la suite \"(v_n)_{n \geq 0}\" est une suite de complexes telle que si l’on note, pour \"n \in \mathbb{N}\" , \"\displaystyle V_n =\sum _{k = 0 }^{n} v_k\" , la suite \"(V_n)_{n \geq 0}\" est born\u00e9e.<\/p>\n

a)\u00a0<\/b>On note si \"n \in \mathbb{N}^*\", \"\displaystyle S_n = \sum _{k = 0 } ^{n} u_k v_k.\"
\nMontrer que \"(S_n)_{n \geq 1}\" v\u00e9rifie :
\n\"\displaystyle S_n = \sum _{k = 0} ^{n - 1} (u_k - u_ {k + 1}) V_k + u_n V_n .\"<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0Montrer que \"\sum u_n v_n\" converge.<\/p>\n

S12. R\u00e9vision de cours en MP et exercice en PC\/PSI.
\n<\/b>Soient \"(a_n)_n\" et \"(b_n)_n\" deux suites telles \"\forall \, n \in \mathbb{N}, b_n > 0.\"
\nOn suppose que \"\sum b_n\" converge.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a_n\underset{n\rightarrow +\infty}{=}o(b_n)\", montrer que
\n\"\quad \quad \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}a_k\underset{n\rightarrow +\infty}{=}o\left(\sum_{k=n}^{+\infty}b_k\right)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a_n\underset{n\rightarrow +\infty}{= }o(b_n)\", montrer que
\n\"\quad \quad \displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}a_k\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\sum_{k=n}^{+\infty}b_k\,\".<\/i><\/p>\n

S13. R\u00e9vision de cours en MP et exercice en PC\/PSI.<\/b>
\nSoient \"(a_n)_n\" et \"(b_n)_n\" deux suites telles \"\forall \, n \in \mathbb{N}, b_n > 0.\"
\nOn suppose que \"\sum b_n\" diverge.
\n\"\bullet\" Si \"a_n\underset{n\rightarrow +\infty}{=}o(b_n)\",
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k\underset{n\rightarrow +\infty}{=}o\left(\sum_{k=0}^{n}b_k\right)\,\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"a_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}b_n\",
\n\"\quad \quad \quad \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\sum_{k=0}^{n}b_k\,\".<\/p>\n

2. Suites et s\u00e9ries de fonctions<\/h3>\n

MP seulement\u00a0<\/b>
\nSoit \"f\" une fonction continue sur \"[a ,\, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" telle que \"\quad \quad \forall \, n \in \mathbb{N},\; \int_a^b t^n f(t)\, \textrm{d} \, t = 0\".
\nAlors la fonction \"f\" est nulle sur \"[a ,\, b]\".<\/p>\n

S1.\u00a0<\/b>Lorsque \"f\" est continue sur \"[0 ,\, 1]\", convergence et calcul de la somme de la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\quad \quad I_n = (- 1)^n \, \int_0^1 t^n \, f(t) \textrm {d} t\".<\/p>\n

S2. Question 1 (MP\/PSI)<\/b>
\nLa s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\displaystyle u_n : x \mapsto \frac 1 {n ^x}\" converge sur \"]1 , +\infty[\".
\nLa somme \"\zeta\" tend vers \"+\infty\" en \"1^+\".
\nQuestion 1 (PC)<\/b>
\n\"\zeta\" est d\u00e9finie sur \"]1 ,\, +\infty[\" par \"\displaystyle \zeta(x) = \sum _{n = 1} ^{+\infty} \frac 1 {n ^x}\".
\na)\u00a0<\/b>Montrer que la fonction \"\zeta\" admet une limite finie \"L\" en \"+\infty\".
\nb)\u00a0<\/b>Soit \"S_n\" et \"R_n\" la somme partielle et le reste d’ordre n de la s\u00e9rie de fonctions. D\u00e9terminer \"L\" en d\u00e9montrant que si \"x \geq 2\", \"\zeta(x) \leq S_n(x) + R_n(2)\".
\nQuestion 2\u00a0<\/b>
\nSoit pour \"n >0\", \"f_n :\displaystyle x \mapsto \frac 1 {n ^x}\".
\n\"\sum f_n\" ne converge pas uniform\u00e9ment sur \"]1 , \, 2]\" .
\nEn proposer deux d\u00e9monstrations (une seule en\u00a0 PC) .
\nQuestion 3<\/b>
\nLa fonction \"\zeta: x \mapsto \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{\infty} \frac 1 {n ^x}\" est de classe \"C^{\infty}\" sur \"]1 , \, +\infty[\".
\nQuestion 4<\/b>
\n\u00c9quivalent en 1 de \"\zeta(x) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{\infty} \frac 1 {n ^x}\" .
\nQuestion 5 (MP\/PSI)<\/b>
\nSoit si \"x > 1,\; \zeta(x) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{\infty} \frac 1 {n ^x}\".
\nMontrer que \"\displaystyle \zeta(x) - 1 \underset {x \to +\infty} \sim \frac 1 {2 ^x}\".
\nQuestion 5 (PC)<\/b>
\nEn vous inspirant de la m\u00e9thode utilis\u00e9e dans la question 1), d\u00e9terminer la limite en \"+ \infty\" de \"(\zeta(x) - 1) / 2^x\".<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Soit si \"x \in \mathbb{R}^{+* }\", \"\displaystyle G(x) =\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac {(-1)^{n}} {n^x}\" .
\nQuestion 1<\/b>
\n\"G\" est continue sur \"\mathbb {R}^+\".
\nQuestion 2.<\/b>
\n\"G\" est de classe \"C^1\" sur \"]0 , + \infty[\".
\nQuestion 3<\/b>
\nSimplifier \"\zeta(x) + G(x)\". En d\u00e9duire la limite de \"G\" en \"+\infty\".<\/p>\n

Exercice conseill\u00e9<\/b>\u00a0:
\nexercice 2 question 1 \u00e0 7\u00a0 de la t\u00e2che exercices sur les s\u00e9ries de fonctions.
\nAjouter la question\u00a0 :
\nLa somme \"S\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^{+*}\"<\/p>\n

3. S\u00e9ries enti\u00e8res<\/h3>\n

S1.\u00a0<\/b>D\u00e9finition du rayon de convergence \"R\" de \"\sum a_n \, x^n\"<\/p>\n

S2<\/b>. Si la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"(-1)^n a_n\" v\u00e9rifie les hypoth\u00e8ses du th\u00e9or\u00e8me des s\u00e9ries altern\u00e9es et si le rayon de convergence \"R\" de \"\sum a_n \, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 1, la somme \"f\" est continue sur \"[-1 , \, 0]\".<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Ecrire \"J(x)= \displaystyle \int_ {0}^{ \pi/2} \cos(x \sin(t)) \, \textrm{d} \, t\" comme somme d’une s\u00e9rie enti\u00e8re<\/a>.
\nOn donne pour \"n \in \mathbb{N},\" \"W_n =\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin^{2 n } (t) \, \textrm{d} \, t = \binom {2 n} n \frac {\pi} {2 ^{2 n + 1} }\".<\/p>\n

S4.\u00a0<\/b>Si le rayon de convergence de \"\sum a_n \, x^n\" est \u00e9gal \u00e0 \"R > 0\", le rayon de convergence de \"\displaystyle \sum \frac {a_n\, x^n} {n!}\" est \u00e9gal \u00e0 \"+\infty\".<\/p>\n

S5.<\/b>\u00a0Donner le d\u00e9veloppement en s\u00e9rie enti\u00e8re de \"x \mapsto \displaystyle \frac 1 {\sqrt {1 + x}}\", on exprimera les coefficients \u00e0 l’aide de coefficients binomiaux.<\/p>\n

S6.<\/b>\u00a0Montrer que la fonction \"\displaystyle f : x \mapsto \frac 1 {x} -\frac 1 {\sin(x)}\" est prolongeable par continuit\u00e9 en \"0\" en une fonction de classe \"C ^{\infty}\" sur \"] - \pi , \, \pi[\" .<\/p>\n

S7. Int\u00e9grale de Poisson\u00a0<\/b>
\nQuestion 1<\/b>
\nSoit \"t \in \mathbb{R} \setminus \pi \mathbb{Z}\". Montrer que \"x \mapsto \ln(x^2 - 2\, x\, \cos t + 1)\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\". La d\u00e9velopper en s\u00e9rie enti\u00e8re.
\nMontrer que le r\u00e9sultat obtenu est encore valable si \"t = k \pi\" o\u00f9 \"k \in \mathbb{Z}\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nSoit \"a \in \; ]0 ,\, \pi]\". D\u00e9velopper en s\u00e9rie enti\u00e8re \"g_a \, : \; ]- 1 , \, 1[\; \rightarrow \mathbb{R} ,\" \"\displaystyle \quad \quad x \mapsto \int_{0} ^ {a} \ln(x^2 - 2\, x\, \cos t + 1) \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

S8.\u00a0<\/b>On note \"\displaystyle f(x) = \textrm{exp} \left ( - \frac 1 {x^2} \right )\" si \"x \neq 0\" et \"f(0) = 0\".
\n\"f\" est de classe \"C ^{\infty}\" sur \"\mathbb{R}\" mais n’est pas d\u00e9veloppable en s\u00e9rie enti\u00e8re au voisinage de 0.<\/p>\n

Exercices conseill\u00e9s<\/b>\u00a0:
\nDans la t\u00e2che Exercices 2
\nI- Questions 1 \u00e0 4.
\nII –
\nIII
\nIV –
\nVIII – Questions 1 et 2 au minimum.<\/p>\n

Les cours en ligne de Maths en PC<\/a>, les cours en ligne de Maths en PT<\/a>, les cours en ligne de Maths en PSI<\/a> et les cours en ligne de Maths en MP<\/a> sont bas\u00e9s sur le programme de Maths Sp\u00e9 en vigueur. Chaque cours correspond donc aux notions de cours qui sont vues avec les professeurs en pr\u00e9pa.<\/p>\n

4. Int\u00e9gration sur un intervalle quelconque<\/h3>\n

Un premier savoir faire important<\/b>\u00a0:
\nSoit \"I = [a , + \infty[\" et \"f\" une fonction continue et int\u00e9grable sur I \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\".
\nComment justifier la d\u00e9rivation de
\n\"F : I \to \mathbb{K} , \; x \mapsto \int_x ^{+\infty} f(t) \, \textrm{d} \, t\" ?<\/p>\n

Deuxi\u00e8me savoir faire important\u00a0<\/b>
\nQuelles sont les hypoth\u00e8ses (et \u00e9ventuellement le raisonnement) qui permettent de passer de
\n\"\int_a ^b f(t) \, \textrm{d} \, t = 0\"
\nou de \"\forall x \, \in I = [a , b] ,\, \int_a ^x f(t) \, \textrm{d}\, t = 0\"
\nou de \"\forall x \, \in I = \; ]a , b[ ,\, \int_a ^x f(t) \, \textrm{d}\, t = 0\"
\nou de \"\forall \, x \, \in I = \; ]a ,\, b[ ,\, \int_x ^b f(t) \, dt= 0\"
\n\u00e0 \"f\" est nulle sur l’intervalle consid\u00e9r\u00e9 ?<\/p>\n

S1. Int\u00e9grale de Dirichlet\u00a0<\/b>
\nL’ int\u00e9grale \"\displaystyle \int_{0} ^{ +\infty } \frac {\sin(t)} {t } \, \textrm d \, t\" est convergente mais non absolument convergente.<\/p>\n

S2. Int\u00e9grale de Dirichlet –\u00a0 autre m\u00e9thode pour la convergence<\/b>.
\nRetrouver la convergence de l’int\u00e9grale de Dirichlet en utilisant l’int\u00e9grale<\/a> \"\quad \quad \quad \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {1 - \cos(t)} {t^2} \, \textrm {d} \, t\".<\/p>\n

S3.<\/b>\u00a0Si l’int\u00e9grale \"\int_1^{+\infty} f(t) \, \textrm{d}\, t\" est convergente\u00a0et si \"f\" a une limite \"L\" en \"+\infty\", cette limite est nulle.<\/p>\n

S4.<\/b>\u00a0Donner un exemple de fonction \"f\" continue sur \"[1 , \, +\infty[\" telle que l’int\u00e9grale \"\int_1^{+\infty} f(t) \, \textrm{d}\, t\" est convergente et sans limite en \"+\infty\", elle peut m\u00eame \u00eatre non born\u00e9e.<\/p>\n

S5. Int\u00e9grale de Bertrand\u00a0<\/b>: savoir choisir la bonne m\u00e9thode selon le cas de l’exercice pour
\n\"\bullet\"\u00a0 \u00e9tudier la convergence de l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_1^{+\infty } \frac 1 {t ^{\alpha} \, \ln^{\beta} (t) } \, \textrm{d} \,t\"
\n\"\bullet\"\u00a0 \u00e9tudier la convergence de l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_0^{1/2 } \frac 1 {t ^{\alpha} \, \ln^{\beta} (t) } \, \textrm{d} \,t\"<\/p>\n

S6.\u00a0<\/b>Soit \"n \in \, \mathbb{N}\". Justifier l’existence de \"I_n = \int_0 ^{+\infty} t^n \, \textrm{e} ^{- x\, t} \, \textrm{d} \, t\" o\u00f9 \"x > 0\" et la calculer.<\/p>\n

S7.\u00a0<\/b>Soient \"f\" et \"g\" deux fonctions continues sur \"I = [0 , \,+ \infty[\" et \u00e0 valeurs r\u00e9elles.
\nSi les fonctions \"t \mapsto f ^2 (t) \, \textrm {e}^{- t}\" et \"t \mapsto g ^2 (t) \, \textrm {e}^{- t}\" sont int\u00e9grables sur \"I\", la fonction \"t \mapsto f (t)\, g(t) \, \textrm {e}^{- t}\" est int\u00e9grable sur \"I\".<\/p>\n

S8.\u00a0<\/b>Si \"a > 0\", l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac {\sin(t)} {t ^a } \, \textrm{d}\, t\" converge.<\/p>\n

S9. Question 1<\/b>
\nLa fonction \"\Gamma \,: \, x \mapsto \int_0 ^{+\infty} t ^{x - 1} \textrm{e} ^{ - t} \, \textrm{d} \, t\" est d\u00e9finie sur \"]0 ,\, + \infty[\"<\/p>\n

Question 2<\/b>
\n\"\Gamma(x + 1) = x \, \Gamma(x)\".<\/p>\n

S10. Question 1<\/b>
\nSoient \"f\" une fonction continue sur \"\mathbb{R}^+\", d\u00e9rivable en \"0\" et \"a, b\" deux r\u00e9els tels que \"0 < a < b\".
\nOn suppose que \"t \mapsto f(t) / t\" est int\u00e9grable sur \"[1 , + \infty[\".
\nProuver l’existence de l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {f(b\,t ) - f(a \, t) } t \, \textrm {d} \, t\" et donner sa valeur.<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer l’ensemble des r\u00e9els \"x\" tels que l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac {\textrm{sh} (x\, t )} t \, \textrm {e} ^{ - t } \, \textrm{d} \, t\" converge et la calculer.<\/p>\n

S11.<\/b>\u00a0Soit \"f(x) = \int_x^{+\infty} \textrm{e} ^{ - t ^2} \, \textrm{d} \, t\" .<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nJustifier l’existence de \"f(x)\" pour tout r\u00e9el \"x\", trouver sa limite en \"+ \infty\", sa d\u00e9riv\u00e9e, un \u00e9quivalent en \"+ \infty\"<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nMontrer que \"f\" est int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^ +\" et calculer son int\u00e9grale.<\/p>\n

5. Convergence domin\u00e9e et int\u00e9gration terme \u00e0 terme<\/h3>\n

S1.\u00a0<\/b>Soit \"f\" une fonction continue et born\u00e9e sur \"\mathbb{R}^+\" .
\nQuestion 1<\/b>
\nJustifier l’existence pour \"n \in \mathbb{N}^*\" de \"I_n = \int_0^{+ \infty }f(t) \, \textrm {e} ^{ - n\, t } \, \textrm{d} \, t\" et trouver la limite de la suite \"(I_n)_n\".
\nQuestion 2<\/b>
\nOn suppose que \"f(0) \neq 0\". Donner un \u00e9quivalent de \"I_n\"<\/p>\n

S2.<\/b>\u00a0\u00c9crire \"\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac 1 {1 + \textrm {e} ^t} \, \textrm{d} \, t\" comme somme d’une s\u00e9rie. En d\u00e9duire la somme de la s\u00e9rie harmonique altern\u00e9e.<\/p>\n

S3.<\/b>\u00a0Montrer, en justifiant soigneusement les affirmations que si \"x > 0\", \"\displaystyle \Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty .} \int_0 ^n \left ( 1 - \frac t n \right ) ^n \, t ^{x - 1} \, \textrm{d} \, t\".<\/p>\n

S4. Question 1<\/b>
\nEn utilisant le r\u00e9sultat de l’exercice pr\u00e9c\u00e9dent, donner la valeur de \"\Gamma(1/2)\" .
\nRappel : si \"W_n = \int_0 ^{\pi/2} \sin^n (t) \, \textrm {d} \, t\" , alors \"W_n \underset {n \to +\infty} \sim \displaystyle \sqrt {\frac {\pi} {2 n}}\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nJustifier l’existence de l’int\u00e9grale de Gauss \"\displaystyle \int_ {- \infty} ^{+\infty} \, \textrm{e} ^{ - t^2} \, \textrm{d} \, t\". En donner la valeur.<\/p>\n

S5.<\/b>\u00a0Soit si \"\alpha \in \mathbb{R} ,\; \displaystyle I(\alpha) = \int_0^ {+\infty} \frac {\sin(\alpha\, t)} { \textrm{e} ^{t } - 1} \, \textrm{d} \, t\".
\nQuestion 1<\/b>
\nJustifier l’existence de \"I(\alpha)\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nD\u00e9terminer \"a,\, b\" dans \"\mathbb{R}\" tels que \"I(\alpha) = \displaystyle \sum _{n = 1} ^ {+\infty} \frac a {n ^2 + b^2}\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nEn d\u00e9duire la limite de \"I(\alpha)\" quand \"\alpha\" tend vers \"+ \infty\"<\/p>\n

6. Int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/h3>\n

S1.<\/b>\u00a0La fonction \"\Gamma\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\n\"\Gamma : x \mapsto \int_0^{+\infty} t^ {x - 1} \textrm{ e} ^ {- t}\, \textrm{d} \, t\".
\nRetrouver le domaine de d\u00e9finition de la fonction \"\Gamma\".
\nD\u00e9montrer qu’elle est continue .
\nQuestion 2<\/b>
\nMontrer que la fonction \"\Gamma\" est de classe \"C^2\" sur \"\mathbb{R}^{+*}\".
\nQuestion 3<\/b>
\nSens de variation de la fonction \"\Gamma\".
\n\u00c9tude aux bornes et branches infinies du graphe.
\nMP : Convexit\u00e9 de \"\ln \circ \, \Gamma\".<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Soit \"f\" continue sur \"[0 , \, 1]\" et si \"x \in [0 , \, 1],\" \"\quad \quad g(x) = \int_ 0 ^1 \min(x , \, t) f(t) \, \textrm {d} \, t\".
\nD\u00e9riv\u00e9e de \"g\".<\/p>\n

Vous pouvez aussi revoir dans les int\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/a> :
\nExercices\u00a0<\/b>
\nLes exercices 1, 2, 4 sont aussi des extraits de sujets de concours<\/p>\n

Annales 1<\/b>
\nTransform\u00e9e de Laplace.<\/p>\n

Annales 2<\/b>
\nTransform\u00e9e de Fourier de 1 \u00e0 7 en MP,\u00a0 de 1 \u00e0 6 en PC \/PSI
\n(partie 3 moins int\u00e9ressante).<\/p>\n

Annales 3\u00a0<\/b>
\nAnnales sur la fonction \"\Gamma\". parties 2 \u00e0 4.<\/p>\n

7. Espaces vectoriels norm\u00e9s<\/h3>\n

S1.<\/b>\u00a0\u00a0\"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{R}\" , \"\displaystyle A \mapsto \max_{1 \leq i \leq n} \sum _{j = 1}^n |a_{i,j}|\" est une norme<\/a> qui v\u00e9rifie \"\quad \quad \Vert A \, B \Vert \leq \Vert A \Vert \; \Vert B \Vert\"\u00a0 \"\quad \quad \textrm{et } \Vert A \, X \Vert_{\infty} \leq \Vert A \Vert \; \Vert X \Vert_{\infty}\"
\nen notant \"\Vert X \Vert_{\infty} = \displaystyle \max _{1 \leq i \leq n } \vert x_i \vert\" lorsque \"X \in \mathcal{M}_{n,1} (\mathbb{K})\".<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Sur l’espace vectoriel \"E\" des fonctions born\u00e9es sur \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\" : si \"f \in E\", \"\displaystyle \Vert f \Vert _{\infty} = \sup _{x \in I} \vert f(x) \vert\"\u00a0d\u00e9finit une norme.<\/p>\n

S3.<\/b>\u00a0Comparer les normes de la convergence uniforme , de la convergence en moyenne et de la convergence en moyenne quadratique sur l’espace vectoriel des fonctions continues sur \"[a \, b]\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" et d\u00e9montrer qu’elles ne sont pas \u00e9quivalentes.<\/p>\n

S4.\u00a0<\/b>Montrer que \"f : \mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{R}\", telle que \"\forall \, x \in \mathbb{R}^*, f(x) = \sin(1/x)\" n’a pas de limite en \"0\".<\/p>\n

S5.<\/b>\u00a0Soit \"(E ,\, N)\" un espace vectoriel norm\u00e9 et \"A\" une partie non vide de \"E\". Si \"x \in A\", on note \"\quad \quad \quad \displaystyle d(x , A) = \inf_{a\in A}N(x - a)\".
\nL’application \"E \rightarrow \mathbb{R} , \; x \mapsto d(x , A)\" est 1-lipschitzienne sur \"(E ,\, N)\".<\/p>\n

S6. Version MP Premi\u00e8re partie\u00a0<\/b>
\nOn suppose que \"E\" et \"F\" sont deux espaces vectoriels de dimension finie et \"u \in \mathcal {L}(E , F)\",
\n\"\ast\" les trois r\u00e9els suivants sont d\u00e9finis et \u00e9gaux :
\n\"\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert = \sup_{\{x \in E, \, \Vert x \Vert_{E} \leq 1 \}} \Vert u(x)\Vert _F\"
\n\"\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert= \sup_{\{x \in E, \, \Vert x \Vert_{E} = 1 \}} \Vert u(x)\Vert _F\"
\n\"\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert = \sup_{\{x \in E, \,x \not = 0\} } \frac {\Vert u(x) \Vert_{F}} {\Vert x \Vert_{E}}\,\".
\nOn l’appelle norme subordonn\u00e9e de \"u\" relative aux normes \"\Vert \textrm { . } \Vert_E\" et \"\Vert \textrm { . } \Vert_F\".<\/p>\n

\"\ast\" \"\forall\, x \, \in \, E, \; \Vert \ u(x) \Vert_F \leq \vert \vert \vert u \vert \vert \vert\; \Vert x \Vert_E\".<\/p>\n

\"\ast\" L’application \"u \mapsto \vert \vert \vert u \vert \vert \vert\" d\u00e9finit une norme sur \"\mathcal{L}(E , F)\".<\/p>\n

S6 Deuxi\u00e8me partie Version MP\u00a0<\/b>
\nSi \"E, F, G\" sont des espaces vectoriels de dimensions finies, si \"u \in \mathcal {L}(E , F)\" et \"v \in \mathcal{L}(F , G)\",
\n\"\quad \quad \vert \vert \vert v \circ u \vert \vert \vert_3 \leq \vert \vert \vert v \vert \vert \vert_2 \; \vert \vert \vert u\vert \vert \vert_ 1\"
\nen notant
\n\"\vert \vert \vert \textrm { . } \vert \vert \vert_1\" la norme subordonn\u00e9e aux normes choisies dans \"E\" et \"F\"
\n\"\vert \vert \vert \textrm { . } \vert \vert \vert_2\" la norme subordonn\u00e9e aux normes choisies dans \"F\" et \"G\"
\net \"\vert \vert \vert \textrm { . } \vert \vert \vert_3\" la norme subordonn\u00e9e aux normes choisies dans \"E\" et \"G\".<\/p>\n

S6. Version PC\/PSI<\/b>
\nOn suppose que \"E\" et \"F\" sont des \"\mathbb{K}\" – espaces vectoriels de dimension finie. Soit \"u \in \mathcal{L}(E, \,F)\" .
\nOn note \"x \mapsto \Vert x \Vert_E\" (resp. \"x \mapsto \Vert x \Vert_F\") une norme sur \"E\" (resp. \"F\" ).
\nQuestion 1<\/b>
\nD\u00e9montrer que \"\displaystyle \mu = \sup_ {\Vert x \Vert_E \leq 1 } \Vert u(x)\Vert_F\" est d\u00e9fini et qu’il existe \"a \in E\" tel que \"\Vert a \Vert_E = 1\" et \"\Vert u(a)\Vert_F = \mu\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nMontrer que \"\quad \quad \forall \, x \in E, \; \Vert u(x) \Vert _F \leq \mu \Vert x \Vert _E\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nOn note \"\displaystyle \vert \vert \vert u \vert \vert \vert = \sup_ {\Vert x \Vert_E \leq 1 } \Vert u(x)\Vert_F\" .
\nMontrer que \"u \mapsto \vert \vert \vert u \vert \vert \vert\" est une norme sur \"\mathcal{L}(E, F)\".<\/p>\n

S7.\u00a0<\/b>Soit \"E = \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\". Soit \"A = (a_{i\,j})_{1 \leq i , j \leq n } \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\" .
\nSi \"X = (x_i)_{1\leq i \leq n} \in E\", on note\"\quad \quad \displaystyle \Vert X \Vert = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|\".
\nMontrer que \"\displaystyle \sup _ {\Vert X \Vert \leq 1} \Vert A \, X \Vert\" existe et que
\n\"\quad \quad \displaystyle \sup _ {\Vert X \Vert \leq 1} \Vert A\, X \Vert = \max _ {1 \leq i \leq n} \sum _{j = 1} ^n |a_{i,j}|\".<\/p>\n

S8.<\/b>\u00a0MP<\/b>\u00a0: \"\mathcal{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \, / \, A^{\textrm{T}}\, A = \textrm{I}_n\}\" est un compact de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\".
\nPSI\/PC<\/b>\u00a0:\u00a0\"\mathcal{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \, / \, A^{\textrm{T}}\, A = \textrm{I}_n\}\" est une partie ferm\u00e9e born\u00e9e\u00a0 de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\".<\/p>\n

En MP : espaces vectoriels norm\u00e9s, m\u00e9thodes 2 paragraphe 10
\nEn PC\/PSI : m\u00e9thodes 2 paragraphe 8<\/p>\n

S9.<\/b>\u00a0MP<\/b>\u00a0On suppose que \"E\" et \"F\" sont des \"\mathbb{K}\" – espaces vectoriels de dimension finie. Soit \"u \in \mathcal{L}(E, F)\".
\nOn note \"x \mapsto \Vert x \Vert_E\" (resp. \"x \mapsto \Vert x \Vert_F\") une norme sur \"E\" (resp. \"F\" ).
\nD\u00e9montrer que \"\displaystyle \mu = \sup_ {\Vert x \Vert_E \leq 1 } \Vert u(x)\Vert_F\" est d\u00e9fini et qu’il existe \"a \in E\" tel que \"\Vert a \Vert_E = 1\" et \"\Vert u(a)\Vert_F = \mu\".<\/p>\n

S10.<\/b>\u00a0Si \"A\" et \"B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\", \"A \, B\" et \"B\, A\" ont m\u00eame polyn\u00f4me caract\u00e9ristique.<\/p>\n

En MP : Espaces vectoriels norm\u00e9es. M\u00e9thode 2 exercice classique 1 du paragraphe 13
\nPC\/PSI : Espaces vectoriels norm\u00e9s. M\u00e9thode 2 Paragraphe X.3.<\/p>\n

S11. MP<\/b>\u00a0seulement
\nSi \"H\" est un sous groupe de (\"\mathbb{R}\" , +), il existe \"a \in \mathbb{Z}\" tel que \"H = a \, \mathbb{Z}\" ou \"H\" est dense dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

S12.\u00a0<\/b>\"\bullet\"\u00a0C1\u00a0<\/b>: si \"D\" est une matrice diagonale, \"D = \textrm{diag}(\lambda_1 ,\, \cdots\, , \lambda_p)\",
\nla suite<\/a> \"(D^n)_n\" converge ssi \"\; \; \forall \, i \in [\![1 , \, p]\!], \, \vert \lambda _ i \vert < 1 \textrm{ ou } \lambda_i = 1\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0C2\u00a0<\/b>: Si \"A_n = P \,D_n \,P^{-1}\", la suite \"(A_n)_n\" converge ssi la suite \"(D_n)_n\" converge.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0C3<\/b>\u00a0: Si \"\forall \, n \, \in \, \mathbb{N}, A_n \, \in \, \mathcal{M}_{p , q}(\mathbb{K})\" et \"B_n \, \in \, \mathcal{M}_{q , r}(\mathbb{K})\" et si \"\displaystyle \lim _{n \to \infty } A_n = A\" et \"\displaystyle \lim _{n \to \infty } B_n = B\", \"\displaystyle \lim _{n \to \infty } A_n\, B_n = A\, B\".<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0C4<\/b>\u00a0: Toute matrice carr\u00e9e \"A \, \in \, \mathcal{M}_{p }(\mathbb{K})\" est limite d’une suite de matrices inversibles.<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0C5<\/b>\u00a0: Si la suite \"(A^n )_n\" converge vers \"0\" et si \"\lambda\" est valeur propre de \"A\", \"|\lambda| < 1\" .<\/p>\n

\"\bullet\"\u00a0C6<\/b>\u00a0: Si \"A\, \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})\" et si la suite \"(A^n)_n\" converge, pour tout \"X_0 \, \in \,\mathcal{M}_{p, 1 }(\mathbb{K})\", la suite \"(A^n X_0)_n\" converge vers \"L\" tel que \"A\, L = L\" (donc si \"L \neq 0\", \"L\" est un vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1).<\/p>\n

S13.<\/b>\u00a0\"\textrm{GL}_n(\mathbb{K})\" est un ouvert de \"\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\".<\/p>\n

S14.\u00a0<\/b>Soient \"E\" et \"E'\" deux espaces vectoriels de dimension finie. Si \"F\" (resp. \"F'\") est\u00a0 un ferm\u00e9 de \"E\" (resp \"E'\"), \"F \times F'\" est un ferm\u00e9 de \"E \times E'\".<\/p>\n

S15.\u00a0<\/b>Si \"A\" et \"B\" sont deux parties compactes de \"(E,\, N)\", \"\quad A + B = \{a + b \, /\, a \in A\textrm{ et } b \in B\}\"
\nest une partie compacte de \"(E, \, N)\".
\nEn\u00a0PC\/PSI<\/b>, remplacer partie compacte par partie ferm\u00e9e born\u00e9e.<\/p>\n

S16.<\/b>\u00a0Soit \"p \in \mathbb{N}\", \"p \geq 2\", \"A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})\".
\nSi la suite \"(A_n)_n\" converge vers \"B\", \"B^2 = B\".<\/p>\n

S17.<\/b>\u00a0Si \"f\" est continue sur \"[a , \, + \infty[\" \u00e0 valeurs dans \"(E, \,N)\" et admet une limite \"L\" en \"+\infty\", \"f\" est born\u00e9e sur \"[a , \, + \infty[\"<\/p>\n

S18.\u00a0<\/b>L’ensemble des matrices carr\u00e9es d’ordre \"p\" sym\u00e9triques et \u00e0 valeurs propres positives ou nulles et une partie ferm\u00e9e de \"\mathcal{M} _p (\mathbb{R})\".<\/p>\n

S19.<\/b>\u00a0L’ensemble des projecteurs orthogonaux de l’espace euclidien \"E\"\u00a0 est une partie ferm\u00e9e born\u00e9e de \"\mathcal{L}(E)\".<\/p>\n

S20.\u00a0<\/b>Soit \"E\" un \"\mathbb{K}\"– espace vectoriel de dimension finie et \"N\" une norme sur \"\mathcal{L}(E)\".\u00a0Il existe un r\u00e9el \"C > 0\" tel que \"\forall \, (u , \, v) \in \mathcal{L}(E) ^2\", \"\quad \quad N(u \circ v) \leq C \, N(u) \, N(v)\".<\/p>\n

S21.<\/b>\u00a0Soit \"E\" un \"\mathbb{K}\"– espace vectoriel de dimension finie et \"N\" une norme sur \"\mathcal {L}(E)\" et \"\Vert . \Vert\" une norme sur \"E\"
\nIl existe un r\u00e9el \"C > 0\" tel que \"\forall \, u \in \mathcal{L}(E), \, \forall \, x \in E\", \"\quad \quad \quad \quad \Vert u (x) \Vert \leq C \, N(u) \, \Vert x \Vert\".<\/p>\n

S22.\u00a0<\/b>Soit \"E\" un espace vectoriel euclidien et \"f\" un endomorphisme sym\u00e9trique.
\nOn d\u00e9finit \"\varphi : x \mapsto (f(x) \, | \, x)\" et \"S = \{x \in E \, \textrm{/} \, \Vert x \Vert = 1 \}\".<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nMontrer que \"\varphi\" admet un maximum sur \"S\" atteint en \"a\".<\/p>\n

Question 2.\u00a0<\/b>
\nOn introduit \"b\" unitaire et orthogonal \u00e0 \"a\"\u00a0Soit si \"t \in \mathbb{R}\", \"u(t) = \cos(t) \, a + \sin(t) \, b\" et \"F(t) = \varphi (u(t))\".
\na)\u00a0<\/b>Montrer que \"F'(0) = 0\"
\nb)\u00a0<\/b>En d\u00e9duire que \"(b | f(a) ) = 0\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nMontrer que \"a\" est un vecteur propre de \"f\".<\/p>\n

8. Equations diff\u00e9rentielles<\/h3>\n

S1.<\/b>\u00a0Exprimer la solution g\u00e9n\u00e9rale de \"\quad \quad (\mathcal{E }) : x' = a(t) \, x + b(t)\"
\no\u00f9 \"a\" et \"b\" sont des fonctions continues sur un intervalle \"J\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb {K}\" \u00e0 l’aide d’int\u00e9grales<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Transformer l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle lin\u00e9aire<\/a> d’ordre \"n\" : \"\quad (\mathcal{E }) \, : \, \displaystyle x^ {(n)} + \sum_{k = 0} ^{n - 1} a_k (t) \, x^{(k)} = b(t)\,\" en une \u00e9quation vectorielle d’ordre 1.
\nSavoir le faire sans h\u00e9siter dans le cas particulier \"\quad \quad x'' + a(t) \,x' + b(t) \,x = c(t)\".<\/p>\n

Dans la suite (questions S3 \u00e0\u00a0 S5) , \"\alpha\", \"\beta\" sont des fonctions continues sur l’intervalle \"I\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{K}\"\u00a0 et\u00a0\u00a0\"(\mathcal{H})\" : \"x'' + \alpha(t) \, x' + \beta(t)\, x = 0\".
\nS3.\u00a0<\/b>Si \"t_0 \in I\" et si \"x\" est solution de \"(\mathcal{H})\" et v\u00e9rifie \"x(t_0) = x'(t_0) = 0\", alors \"x = 0\".<\/p>\n

S4.\u00a0<\/b>\"t_0 \in I\", justifier :
\n\"\ast\" il existe un unique couple \"(h_1 ,\, h_2)\" de solutions de \"(\mathcal{h})\" v\u00e9rifiant
\n\"\quad \quad h_1(t_0)=1 \textrm{ et } h'_1(t_0)=0\" \"\quad \quad h_2(t_0)= 0 \textrm{ et } h'_2(t_0)= 1\" .
\n\"\ast\" \"(h_1 ,\, h_2)\" est une base de \"\mathcal{S}(\mathcal{H})\".<\/p>\n

S5.\u00a0<\/b>Si \"h_1\" et \"h_2\" sont solutions de \"(\mathcal{H})\", la fonction \"W\" d\u00e9finie, pour tout \"t \in I\", par \"W = h_1 \, h'_2 - h'_1\, h_2 \" est solution d’une \u00e9quation lin\u00e9aire du premier ordre \u00e0 donner<\/p>\n

S6.<\/b>\u00a0Equations d’Euler
\n\"a \, t^2 \, x''(t) + b\, t\, x' + c\, x = f(t)\" o\u00f9 \"(a , \, b ,\, c) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C} ^2\".
\nRetrouver l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle en utilisant le changement de variable \"u = \ln \vert t \vert\".<\/p>\n

S7.\u00a0<\/b>Retrouver l’\u00e9quation diff\u00e9rentielle obtenue par la m\u00e9thode de Lagrange
\nOn suppose que l’on doit r\u00e9soudre \"(\mathcal{E}) : a(t) \, x'' + b(t) \, x' + c(t) \, x = f(t)\" quand
\na) les fonctions \"a,\, b,\, c\" et \"f\" sont continues sur l’intervalle \"I\" et \"a\" ne s’annule pas sur l’intervalle \"I\".
\nb) on conna\u00eet une solution particuli\u00e8re \"x_1\" de \"\quad (\mathcal{H}) : a(t) \, x'' + b(t) \, x' + c(t) \, x = 0\" ne s’annulant pas sur \"I\".<\/p>\n

S8.\u00a0<\/b>On suppose que l’on conna\u00eet deux solutions \"h_1\" et \"h_2\" formant une base de l’espace vectoriel des solutions de \"(\mathcal{H }) : x'' + \alpha(t) \, x' + \beta (t)\, x = 0.\"
\nLa m\u00e9thode de variation des constantes consiste \u00e0 trouver deux fonctions \"u_1\" et \"u_2\" de classe \"C^1\" sur \"I\" telles que \"x = u_1\, h_1 + u_2 \,h_2\" soit solution de
\n\"(\mathcal{E }) : x'' + \alpha(t) \, x' + \beta (t)\, x = \gamma(t)\"
\navec la condition \"u'_1\, h_1+ u'_2\, h_2= 0\" .
\nRetrouver le syst\u00e8me \u00e0 r\u00e9soudre<\/p>\n

S9.\u00a0<\/b>Soit \"\omega > 0\".
\nR\u00e9soudre l’\u00e9quation \"x'' + \omega^2 x = f(t)\" o\u00f9 la fonction \"f\" est continue sur l’intervalle \"I\" en utilisant la m\u00e9thode de variation des constantes.<\/p>\n

S10.\u00a0<\/b>Soient \"\varphi\" et \"\psi\" deux fonctions continues sur \"\mathbb{R}\" et \"T\" -p\u00e9riodiques o\u00f9 \"T > 0\".
\nOn note \"(\mathcal{E})\" : \"x'' = \varphi (t)\, x + \psi(t)\".
\nUne solution \"f\" de \"(\mathcal{E})\" est \"T\"-p\u00e9riodique ssi \"f(T) = f(0)\" et \"f'(T) = f'(0)\".<\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

9. Fonctions de plusieurs variables<\/h3>\n

En MP<\/b>\u00a0: travailler les m\u00e9thodes (la recherche d’extremum local sur un ouvert est plut\u00f4t un exercice d’oral, par contre ce n’est pas le cas pour la recherche d’extremum global<\/a> sur un compact).<\/p>\n

Il est important de savoir passer en polaire, calculer les d\u00e9riv\u00e9es partielles par rapport \u00e0 \"r\" et \"\theta\" en fonction de celles par rapport \u00e0 \"x\" et \"y\" et vice-versa.<\/p>\n

N’oubliez pas : vous devez savoir \u00e9crire une \u00e9quation
\n\"\ast\" de la tangente en un point r\u00e9gulier \"M(a , b)\" \u00e0 la courbe<\/a> d\u00e9finie par \"f(x , y) = 0\".
\n\"\ast\" du plan tangent en un point r\u00e9gulier \"M(a , b , c)\" de la surface d’\u00e9quation cart\u00e9sienne \"f(x , y , z) = 0\".<\/p>\n

Les exercices \u00e0 revoir
\nPremi\u00e8re s\u00e9rie : tout le paragraphe 1 ; question 1 du paragraphe 2, les paragraphes 3 et 4
\nDeuxi\u00e8me s\u00e9rie : l’exercice 3
\nTroisi\u00e8me s\u00e9rie : les exercices 1 et 3.<\/p>\n

En PC\/PSI<\/b>\u00a0: travailler les m\u00e9thodes (la recherche d’extremum local sur un ouvert est plut\u00f4t un exercice d’oral, par contre ce n’est pas le cas pour la recherche d’extremum global sur un compact).<\/p>\n

Il est important de savoir passer en polaire, calculer les d\u00e9riv\u00e9es partielles par rapport \u00e0 \"r\" et \"\theta\" en fonction de celles par rapport \u00e0 \"x\" et \"y\" et vice-versa.<\/p>\n

N’oubliez pas : vous devez savoir \u00e9crire une \u00e9quation
\n\"\ast\" de la tangente en un point r\u00e9gulier \"M(a , b)\" \u00e0 la courbe d\u00e9finie par \"f(x , y) = 0\".
\n\"\ast\" du plan tangent en un point r\u00e9gulier \"M(a , b , c)\" de la surface d’\u00e9quation cart\u00e9sienne \"f(x , y , z) = 0\".<\/p>\n

Les exercices \u00e0 revoir
\nPremi\u00e8re s\u00e9rie : exercices 1 et 2 du paragraphe 1 ; question 1 du paragraphe 2, les paragraphes 3 et 4
\nDeuxi\u00e8me s\u00e9rie : l’exercice 3
\nTroisi\u00e8me s\u00e9rie : les exercices 1 et 3.<\/p>\n

Il y a aussi des probl\u00e8mes un peu \u00ab\u00a0sadiques\u00a0\u00bb (pour le candidat et pour le correcteur) qui demandent de calculer\u00a0\"\displaystyle \frac {\partial ^2f } {\partial x ^2}\" et \"\displaystyle \frac {\partial ^2 f } {\partial y ^2}\" en fonction des d\u00e9riv\u00e9es partielles de \"g\" lorsque \"\quad \quad f(x , y) = g(r \cos \theta, \, r \sin \theta)\".<\/p>\n

10. Familles sommables en MP<\/h3>\n

S1.\u00a0<\/b>Soit une famille d\u00e9nombrable \"(u_i)_{i \in I}\" de r\u00e9els positifs ou nuls.
\nOn consid\u00e8re une suite \"(I_n)_{n \in \mathbb{N}}\" de parties finies de \"I\" telle que si \"n \in \mathbb{N}\", \"I_n \subset I_{n + 1}\" et \"\displaystyle I = \bigcup _{n = 0} ^{+\infty} I_n\".
\nLa famille \"(u_i)_{i \in I}\" est une famille sommable<\/a> ssi la suite \"(S_n)_{n \in \mathbb{N}}\" o\u00f9 \"S_n = \displaystyle \sum _{i \in I_n} u_i\" est convergente.
\nDans ce cas, \"\displaystyle \sum _ {i \in I} u_i =\sum _ {n = 0} ^{+\infty} u_n\".<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Soit \"\alpha \in \mathbb{R}\" et \"u_{n , p} = \displaystyle \frac 1 {(n + p) ^{\alpha} }\" si \"(n ,\, p) \in \mathbb{N}^{*2}\".
\nEnsemble des r\u00e9els \"\alpha\" tels que la famille double \"(u_{n , p})_ {(n , p) \in \mathbb{N}^{*2}}\" soit sommable. Valeur de la somme.<\/p>\n

S3.<\/b>\u00a0La s\u00e9rie de terme de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\zeta(p) - 1\" si \"p > 1\" est convergente et calcul de la somme.<\/p>\n

<\/a><\/p>\n

S4.\u00a0a)<\/b>\u00a0Si \"\sum n \, a_ n\" converge absolument, \"\quad \quad \displaystyle \sum _{n = 1} ^{+\infty } \left ( \sum _ {p = n} ^{+\infty} a_p \right ) = \sum _ {n = 1} ^{+\infty} n \, a_n\".
\n\u00a0\u00a0 b)<\/b>\u00a0Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire<\/a> \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\" admettant une esp\u00e9rance, \"\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {n = 1} ^{+\infty} \mathbb{P}(X \geq n)\".<\/p>\n

Exercices conseill\u00e9s<\/b>
\nExercice 3
\nExercices 6 et 7 plus difficiles<\/p>\n

Probabilit\u00e9s<\/h2>\n

Plan<\/p>\n

Les d\u00e9monstrations du cours qui pourraient \u00eatre demand\u00e9es ainsi que les r\u00e9sultats classiques tr\u00e8s proches du cours \u00e0 savoir justifier.
\nLe temps indiqu\u00e9 est le temps minimum (en PC\/PSI) , il d\u00e9pend de ce que vous avez oubli\u00e9.<\/p>\n

1. Les matrices stochastiques (concerne les espaces vectoriels norm\u00e9s, la diagonalisation et les probabilit\u00e9s). Vous pourrez aussi voir le paragraphe 7 dans le chapitre R\u00e9duction<\/a> deuxi\u00e8me s\u00e9rie d’exercices
\n2. Des probl\u00e8mes d’interversion de signes \"\sum\".
\n3. D\u00e9nombrements<\/a>
\n4. Probabilit\u00e9s
\n5. Variables al\u00e9atoires.<\/p>\n

1. Les matrices stochastiques<\/h3>\n

Soit \"n \in \mathbb{N}, \, n \geq 2\".
\nOn note \"\mathcal{S}_n\" l’ensemble des matrices stochastiques d’ordre \"n\" c’est-\u00e0-dire l’ensemble des matrices \"A = (a_{i ,j} )_{1 \leq i,j \leq n}\" \u00e0\u00a0coefficients positifs ou nuls tels que \"\quad \quad \forall \, i \in [\![1 , \, n]\!], \displaystyle \sum _{j = 1} ^n a_{i ,j} = 1\".
\nOn munit \"\mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C})\" de la norme d\u00e9finie lorsque \"X = (x_i)_{1 \leq i \leq n}\" par \"\quad \quad \quad \Vert X \Vert_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \vert x_i\vert\".
\nQuestion 1\u00a0<\/b>
\nOn note \"U \in \mathcal{M} _{n , 1} \mathbb({R})\" dont tous les \u00e9l\u00e9ments sont \u00e9gaux \u00e0 1.
\nMontrer que \"A \in \mathcal{M} _{n} (\mathbb{R})\" \u00e0 coefficients positifs ou nuls est stochastique ssi \"A \, U = U\".<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nMontrer que \"\mathcal{S}_n\" est une partie stable pour la multiplication et ferm\u00e9e dans \"\mathcal{M} _n(\mathbb{R})\".<\/p>\n

Question 3<\/b>
\nSoit \"M \in \mathcal{S}_n\".
\na)\u00a0<\/b>Montrer que 1 est valeur propre de \"M\".
\nb)<\/b>\u00a0Montrer que pour tout \"X \in \mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C})\" \"\Vert M X \Vert _{\infty} \leq \Vert X \Vert _{\infty}\".
\nc)<\/b>\u00a0En d\u00e9duire que toute valeur propre de \"M\" est de module inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 1.<\/p>\n

Question 4.\u00a0<\/b>
\nOn suppose que \"M \in \mathcal{S}_n\".
\na)\u00a0<\/b>Soit \"Y = M X - X\" tel que \"Y \in \textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)\".
\nMontrer que \"\Vert Y \Vert_ {\infty} \leq \displaystyle \frac 2 k \, \Vert X \Vert _{\infty}\".
\nb)\u00a0<\/b>En d\u00e9duire que \"\mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C}) = \textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)\oplus \textrm{Im} (M - \textrm{I}_n)\"<\/p>\n

Question 5<\/b>
\nSoit \"M \in \mathcal{S}_n\,\".
\nOn note si \"k \in \mathbb{N}\", \"C_k = \displaystyle \frac 1 {k + 1} \sum _ {i = 0 } ^{k} M ^i\".
\nOn note \"P\" la matrice de la projection de \"\mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C})\" sur \"\textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)\" parall\u00e8lement \u00e0 \"\textrm{Im} (M - \textrm{I}_n)\"<\/p>\n

a)\u00a0<\/b>Soit \"X\in \mathcal{M} _{n , 1}(\mathbb{C})\", on \u00e9crit \"X= X_1 + X_2\" avec \"X_1 = P\, X \in \textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)\" et \"X_2 = M Z - Z \in \textrm{Ker} (M - \textrm{I}_n)\".
\nMontrer que \"\quad \quad \Vert C_k X - P\, X \Vert _{\infty} \leq \displaystyle \frac {2 \Vert Z \Vert _{\infty}} {k + 1}\".<\/p>\n

b)<\/b>\u00a0Montrer que \"\displaystyle \lim_ {k \to + \infty } C_k \, X = P \, X\" puis \"\displaystyle \lim_ {k \to + \infty} C_k = P\".<\/p>\n

Il y a bien d’autres r\u00e9sultats ….
\nLes r\u00e9sultats ci-dessus sont inspir\u00e9s d’un sujet Mines Ponts PC\/PSi 2017 et d’un sujet Epita 2015.
\nVous pouvez aussi retrouver d’autres r\u00e9sultats sur les matrices stochastiques dans le dernier paragraphe de la deuxi\u00e8me s\u00e9rie d’exercices dans le chapitre R\u00e9duction.<\/p>\n

Revoir le paragraphe des m\u00e9thodes Probabilit\u00e9s sur les cha\u00eenes de Markov pour leur utilisation en Probabilit\u00e9s.<\/p>\n

2. Sur les interversions de signes \"\sum\"<\/h3>\n

S1.<\/b>\u00a0Intervertir les signes \"\sum\" dans :
\na)\u00a0<\/b>\"A = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n} \left ( \sum _ {i = 0}^k a_{i,k} \right )\"
\nb)<\/b>\u00a0\"B = \displaystyle \sum_{k = 0} ^{n-1 } \left ( \sum _ {i = k + 1 }^b a_{i,k} \right )\".<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire sur \"(\Omega, \mathcal{A} , \mathbb{P})\"\u00a0telle que \"X(\Omega) = [\![1 , \, n]\!]\" o\u00f9 \"n \in \mathbb{N}, n \geq 2\".
\nOn suppose que \"Y\" est une variable al\u00e9atoire telle que si \"k \in [\![1 , \, n]\!]\", \"Y \, | \, (X = k)\" suit une loi uniforme sur \"[\![1 , \, k]\!]\".
\nCalculer l’esp\u00e9rance de \"Y\".<\/p>\n

S3.<\/b>\u00a0Soit \"p \in \mathbb{N }, p \geq 2\"
\nSoit \"(a_ {k,n})_{0 \leq k \leq p , n \geq 0}\" une famille de r\u00e9els.
\nDonner une condition suffisante permettant d’\u00e9crire :
\n\"\displaystyle \sum _ {n = 0} ^ {+\infty} \left ( \sum _ {k = 0} ^p a_{k , n} \right ) = \sum _{k = 0} ^p \left ( \sum _{n =0 } ^{+\infty} a_{k , n} \right )\".<\/p>\n

S4. Pour PC et PSI<\/b>
\nSommes doubles de r\u00e9els positifs ou nuls.\u00a0<\/b>
\nSoit \"u : \mathbb{N}^2 \to \mathbb{R}^+, \, (n , p)\mapsto u_{n , p}\,\" .
\nOn suppose que \"\forall\, p \in \mathbb{N}\", la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum _ n u_{n , p}\" converge et a pour somme \"S_p\" et que \"\sum S_p\" converge et a pour somme \"S\".
\na)<\/b>\u00a0Montrer que \"\forall \, n \in \mathbb{N}\", \"\displaystyle \sum _{p } u_{n , p}\" converge. On note \"T_n\" sa somme.
\nb)<\/b>\u00a0Montrer que \"\displaystyle \sum T_n\" converge. On note \"T\" sa somme. Montrer que \"T \leq S\".
\nc)<\/b>\u00a0Montrer que \"S = T\".
\nOn dit que la s\u00e9rie double de r\u00e9els positifs \"\sum u_{n , p}\" converge, dans ce cas on peut \u00e9crire :
\n\"\quad \displaystyle \sum _{p = 0 } ^{+ \infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^ {+\infty} u_{n , p} \right ) = \sum _{n = 0 } ^{+ \infty} \left ( \sum _ {p = 0} ^ {+\infty} u_{n , p} \right )\".
\nIl existe un r\u00e9sultat de m\u00eame type avec des s\u00e9ries absolument convergentes qui est alors donn\u00e9 par l’\u00e9nonc\u00e9.<\/p>\n

S5.\u00a0<\/b>Soit \"(a_ {k,n})_{0 \leq k \leq n}\" une famille de r\u00e9els positifs ou nuls.
\nDonner une condition suffisante permettant d’assurer l’existence de :
\n\"\displaystyle S = \sum _ {n = 0} ^ {+\infty} \left ( \sum _ {k = 0} ^n a_{k , n} \right )\" et donner une autre expression de \"S\".<\/p>\n

S6.\u00a0<\/b>Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire sur \"(\Omega, \mathcal{A} , \mathbb{P})\" telle que \"X(\Omega) = \mathbb{N}^*\".
\nOn suppose que \"Y\" est une variable al\u00e9atoire telle que si \"n \in \mathbb{N}^*\", la variable\u00a0 \"Y \, | \, (X = n)\" suit une loi uniforme sur \"[\![1 , \, n]\!]\".
\nMontrer que \"Y\" admet une esp\u00e9rance et la calculer.<\/p>\n

3. D\u00e9nombrements<\/h3>\n

S1.\u00a0<\/b>L’\u00a0application \"\varphi : \mathbb{N} ^2 \to \mathbb{N},\; (n , p) \mapsto 2^n \, (2 p + 1) - 1\" d\u00e9finit une bijection qui permet de d\u00e9montrer que \"\mathbb{N}^2\" est d\u00e9nombrable.<\/p>\n

S2.\u00a0<\/b>L’application : \"\psi : \mathbb {N} ^2 \to \mathbb{N},\" \"\quad (n , \, p) \mapsto \displaystyle \frac {(n + p)(n + p + 1)} 2 + p\" est une bijection.<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Nombre de listes strictement croissantes de \"p\" \u00e9l\u00e9ments de \"[\![1 , n]\!]\".<\/p>\n

S4.<\/b>\u00a0Nombre de solutions enti\u00e8res de l’\u00e9quation \"x_1 + x_2 + \cdots + x_n = p\".<\/p>\n

S5.<\/b>\u00a0Application de la formule du triangle de Pascal pour calculer \"\displaystyle \sum _ {k = p} ^n \binom {k} {p}\" lorsque \"1 \leq p \leq n\"<\/p>\n

S6.<\/b>\u00a0Par application de la formule du bin\u00f4me, calculer si \"(a , \, b) \in \mathbb{C} ^2\", \"\quad \quad \displaystyle S = \sum _ {p = 0} ^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom {n } {2\,p}\, a ^{2p} \, b ^{n - 2p}\".<\/p>\n

S7.\u00a0<\/b>Soient \"a,\, b\" et \"n\" trois entiers naturels non nuls avec \"n \leq a + b\".
\nEn utilisant un raisonnement de d\u00e9nombrement, d\u00e9montrer la formule de Vandermonde :
\n\"\displaystyle \binom {a+b} {n} = \sum_{ k = \max(0 , n - b)}^{\min(a , \,n)}\binom {a} {k} \, \binom {b} {n- k}\".<\/p>\n

4. Probabilit\u00e9s<\/h3>\n

S1.\u00a0<\/b>Si pour tout entier \"n\", \"A_n\" est un \u00e9v\u00e9nement n\u00e9gligeable (de probabilit\u00e9 nulle), d\u00e9montrer que leur r\u00e9union est n\u00e9gligeable.<\/p>\n

S2. S<\/b>oit \"(A_n)_{n \geq 1}\" une suite d’\u00e9v\u00e9nements mutuellement ind\u00e9pendants et\u00a0\"R = \displaystyle \bigcap _{n = 1} ^{+\infty} A_n\,\".
\nMontrer que \"\displaystyle \mathbb{P}(R) = \lim_{n \to +\infty} \prod _ {k = 1} ^{n} \mathbb{P}(A_k)\".<\/p>\n

S3.<\/b>\u00a0On a deux urnes contenant respectivement une proposition \"p\" et \"p'\" de boules blanches. Le premier tirage a lieu dans la premi\u00e8re urne.
\nPuis si l’on obtient une boule blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne 1 sinon il se fait dans l’urne 2.
\nSi \"b_n\" est la probabilit\u00e9 d’obtenir une boule blanche au \"n\"-\u00e8me tirage, trouver une relation de r\u00e9currence liant \"b_n\" et \"b_{n - 1}\".<\/p>\n

S4.\u00a0<\/b>Dans une suite d’\u00e9preuves ind\u00e9pendantes de pile (probabilit\u00e9 \"p\") et face (probabilit\u00e9 \"q\"), on gagne en obtenant la suite \"PPP\". Quelle est la probabilit\u00e9 de gagner ?<\/p>\n

S5.\u00a0<\/b>On lance une pi\u00e8ce donnant pile avec la probabilit\u00e9 \"p\" jusqu’\u00e0 obtenir le troisi\u00e8me pile.
\nQuelle est la probabilit\u00e9<\/a> de lancer la pi\u00e8ce \"n\" fois (avec \"n \geq 3\") ?<\/p>\n

S6.<\/b>\u00a0Soit \"(A_n)_n\" une suite d’\u00e9v\u00e9nements de l’espace probabilis\u00e9 \"(\Omega, \, \mathcal{A})\".
\na)\u00a0<\/b>L’ensemble \"S\" des \"\omega \in \Omega\" appartenant \u00e0 une infinit\u00e9 d’\u00e9l\u00e9ments de la suite \"(A_n)_n\" est un \u00e9v\u00e9nement.
\nb)<\/b>\u00a0L’ensemble \"T\" des \"\omega \in \Omega\" appartenant \u00e0 tous les \"(A_n)_n\" \u00e0 partir d’un certain rang est un \u00e9v\u00e9nement.<\/p>\n

S7.<\/b>\u00a0Quelques mod\u00e9lisations :
\ntout le paragraphe 2 du QCM.<\/p>\n

S8.<\/b>\u00a0Soit \"(\Omega, \mathcal{A} , \mathbb{P})\" un espace probabilis\u00e9.
\nSi \"A\" et \"B\" sont des \u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants,
\n\"\ast\" lorsque \"N\" est n\u00e9gligeable, \"A \cup N\" et \"B \cup N\" sont ind\u00e9pendants.
\n\"\ast\" lorsque \"C\" est presque s\u00fbr, \"A \cap C\" et \"B \cap C\" sont ind\u00e9pendants.<\/p>\n

Exercices conseill\u00e9s<\/b>\u00a0 dans Exercices
\nParagraphes 2, 3 , 7 et 8.<\/p>\n

5. Variables al\u00e9atoires<\/h3>\n

S1.\u00a0<\/b>Soit \"a, \, n \in \mathbb{N} ^*\". On place au hasard \"N = a\, n\" boules distinctes dans \"n\" tiroirs num\u00e9rot\u00e9s de 1 \u00e0 \"n\".
\nOn note \"X\" le nombre de tiroirs vides.
\n1. Calculer l’esp\u00e9rance et la variance de \"X\".
\n2. En trouver un \u00e9quivalent<\/a> si \"n \to +\infty\"<\/p>\n

S2. a)\u00a0<\/b>\u00a0Fonction g\u00e9n\u00e9ratrice de \"X + Y\" si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\".
\nb)<\/b>\u00a0Lorsque \"X_1\, , \, \cdots \, , \, X_n\" sont ind\u00e9pendantes et \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\", fonction g\u00e9n\u00e9ratrice de \"Y = \displaystyle \sum_{i = 1} ^n X_i\,\".<\/p>\n

S3.\u00a0<\/b>Un exercice classique paragraphe VIII dans les M\u00e9thodes.<\/p>\n

S4.\u00a0<\/b>Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle discr\u00e8te ayant un moment d’ordre 2, \"X\" admet une esp\u00e9rance math\u00e9matique.<\/p>\n

S5.\u00a0<\/b>Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te et si \"f : X(\Omega) \to \mathbb{R}\" est born\u00e9e, \"f(X)\" admet une esp\u00e9rance math\u00e9matique.<\/p>\n

S6.\u00a0<\/b>Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle discr\u00e8te presque s\u00fbrement constante \u00e9gale \u00e0 \"C\", \"X\" admet une esp\u00e9rance math\u00e9matique \u00e9gale \u00e0 \"C\".<\/p>\n

S7.\u00a0<\/b>Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\".
\na)\u00a0<\/b>\"X\" admet une esp\u00e9rance math\u00e9matique ssi \"\sum \mathbb{P} (X \geq n)\" converge
\nb) D<\/b>ans ce cas : \"\quad \quad \quad \textrm{E} (X) = \displaystyle \sum _ {n =0 }^{+\infty} \mathbb{P} (X \geq n)\".<\/p>\n

S8.\u00a0<\/b>Soient \"X\" et \"Y\" des variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes de loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tres \"p\" et \"p'\".
\nLa variable \"U = \min(X , \, Y)\" suit une loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"1 - q^2\"<\/p>\n

S9.<\/b>\u00a0Soit \"X\" une variable al\u00e9atoire discr\u00e8te admettant une variance nulle, en utilisant l’in\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebichev, montrer que \"\quad \quad \mathbb{P} \left ( X = \textrm{E} (X) \right ) = 1\".<\/p>\n

S10.<\/b>\u00a0Si \"X\" et \"Y\" sont deux variables al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes de lois \"\mathcal{B} (n _1 , \, p)\" et\u00a0\"\mathcal{B} (n _2 , \, p)\", loi de \"X + Y\"<\/p>\n

S11.<\/b>\u00a0Si \"\forall \, i \in [\![1, n]\!], \, X_i\" suit une loi de Poisson de param\u00e8tre\"\lambda_i\" et si les variables sont ind\u00e9pendantes, loi de la somme.<\/p>\n

S12.\u00a0<\/b>On suppose que \"(X_1 \, , \, \cdots \, , \, X_n)\" sont ind\u00e9pendantes et de loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p\". On note \"Y = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n X_i\,\".
\nD\u00e9terminer la loi de \"Y\".<\/p>\n

Les autres d\u00e9monstrations \u00e0 savoir faire<\/b>, (allez dans votre cours)
\nIn\u00e9galit\u00e9 de Markov.
\nIn\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tchebichev
\nLoi faible des grands nombres.
\nCNS pour qu’une variable ait une variance nulle.\u00a0 ou par la question 23 du QCM<\/p>\n

Exercices conseill\u00e9s<\/b>
\nPremi\u00e8re s\u00e9rie : Paragraphe 7
\nDeuxi\u00e8me s\u00e9rie : Paragraphes 2, 4 et 7
\nTroisi\u00e8me s\u00e9rie : Paragraphes 8 , 10 en MP, 11 et 13<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Annales de math\u00e9matiques<\/b>\u00a0en maths sp\u00e9<\/h2>\n

Toutes les annales pour les \u00e9tudiants en Maths Sp\u00e9, en PC, MP, PSI, et PT peuvent \u00eatre consult\u00e9es dans la rubrique Annales Maths Sp\u00e9.\u00a0<\/span><\/p>\n

Pour r\u00e9ussir les \u00e9preuves \u00e9crites de math\u00e9matiques du concours Centrale Sup\u00e9lec, de l’X et l’ENS, de Mines Ponts ou encore de Mines T\u00e9l\u00e9com absolument tous les chapitres de maths doivent \u00eatre parfaitement assimil\u00e9s et ne pr\u00e9senter aucune difficult\u00e9. Quelques chapitres de maths classiques \u00e0 r\u00e9viser seul\/e ou avec un prof particulier de maths<\/a> :<\/p>\n