{"id":27639,"date":"2019-06-06T10:54:49","date_gmt":"2019-06-06T09:54:49","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27639"},"modified":"2023-09-15T08:50:01","modified_gmt":"2023-09-15T07:50:01","slug":"cours-en-ligne-algebre-lineaire-matrices-maths-spe","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-algebre-lineaire-matrices-maths-spe\/","title":{"rendered":"R\u00e9visions alg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices en maths sp\u00e9 MP PC PSI : Cours, exercices et corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quivalents<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tD\u00e9nombrement<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProbabilit\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces pr\u00e9hilbertiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces euclidiens<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFonctions de variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCourbes param\u00e9tr\u00e9es<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c9quations diff\u00e9rentielles lin\u00e9aires<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tFamilles sommables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\u00c0 savoir d\u00e9montrer<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Cours en ligne Maths en Maths Sp\u00e9<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries num\u00e9riques<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tEspaces vectoriels norm\u00e9s<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tSuites et s\u00e9ries de fonctions<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9gration intervalle quelconque<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tS\u00e9ries enti\u00e8res<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tInt\u00e9grales \u00e0 param\u00e8tre<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Alg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices pour les MP, PC, PSI et PT<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et exercices corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours et m\u00e9thodes – alg\u00e8bre lin\u00e9aire et matrices<\/h2>\n

1.\u00a0Sous espaces vectoriels d’un e.v. de dimension 3<\/h2>\n

Dans toute cette partie, \"E\" est un \"\mathbb{K}\"– espace vectoriel de dimension 3 de base \"(e_1,\, e_2,\, e_3)\".<\/p>\n

Exercice 1.\u00a0<\/b>
\nSoit \"F\" le sous espace vectoriel<\/a>
\n\" \{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\,/\, x+2y+3z= 0 \}\".<\/p>\n

1. Trouver une base de\u00a0\"F\"<\/p>\n

2. Trouver une base pour \"F' = \{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\;/\;x = 2 y \}\"<\/p>\n

3.\u00a0On rappelle que \"F =\" \"\{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\,/\, x+2y+3z= 0 \}\" et que \"F' = \{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\;/\;x = 2 y \}\".
\nTrouver une base de \"F\;{\cap}\; F'\"<\/p>\n

4. Montrer que \"F + F' = E\"<\/p>\n

2.\u00a0S.e.v. et suppl\u00e9mentaire<\/h2>\n

Soit \"E = {\mathbb{R}}^4\" dont la base canonique est not\u00e9e \"(e_1\, ,\,e_2\, ,\,e_3\, ,\,e_4)\".
\nSoit\u00a0\u00a0\"A\"\u00a0 l’ensemble<\/a>
\n\"\{ (x, y , z , t)\; {\in}\; {\mathbb{R}}^4\; /\; x + y- z - t = 0\"
\net \"x + 2 z = 0\}\".<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nQuel est la dimension de l’espace vectoriel \"A\" ?<\/p>\n

Question 2<\/b>
\nOn rappelle que \"A\" est \u00e9gal \u00e0
\n\"\{ (x, y , z , t)\; {\in}\; {\mathbb{R}}^4\; /\; x + y- z - t = 0\"
\net \"x + 2 z = 0\}\"
\net que \"(e_1\, ,\,e_2\, ,\,e_3\, ,\,e_4)\" est la base canonique.<\/p>\n

Quel est le couple de vecteurs qui n’engendre pas un suppl\u00e9mentaire de \"A\; ?\"<\/p>\n

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3. Exemples d’espaces vectoriels d’applications<\/h2>\n

On se place dans l’espace vectoriel \"E\" des applications d\u00e9rivables de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Premier exemple\u00a0<\/b>
\nOn note \"f_1\" : \"x\mapsto \cos(x) \cos(2 x)\",
\n\"f_2\" : \"x\mapsto \sin(x) \sin(2 x)\"
\net \"f_3\" : \"x\mapsto cos(x)\".<\/p>\n

La famille<\/a> \"(f_1\, ,\,f_2\, ,\,f_3)\" est-elle une famille libre ?<\/p>\n

Deuxi\u00e8me exemple<\/b>
\nSoit \"g_1\" : \"x \mapsto \, \textrm e^x,\" \"g_2\" : \"x \mapsto \, \cos(x) \textrm e^{ - x},\" \"g_2\" : \"x \mapsto \, \sin(x) \textrm e^{ 2 x}\".
\nLa famille \"(g_1,\,g_2,\,g_3)\" est-elle une famille libre ?<\/p>\n

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4.\u00a0Recherche d’image et de noyau<\/b><\/h2>\n

Soit \"u\" l’endomorphisme de \"{\mathbb{R}}^3\" canoniquement associ\u00e9 \u00e0
\n\"\quad \quad \quad A\;=\;\left(\begin{matrix}1&1&2\\1&2&3\\1&3&4\end{matrix}\right)\".<\/p>\n

Question 1<\/b>
\nQuel est le rang de \"u\" ?<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>:\u00a0Image de \"u\"
\nUne base de \"\textrm{Im} (u)\" est \u00e9gale \u00e0<\/p>\n

Question 3<\/b>\u00a0: Noyau de \"u\"
\nUne base de \"\textrm{Ker} (u)\" est \"e_1 + \alpha e_2+ \beta e_3\" pour \"(\alpha\, , \, \beta ) =\"<\/p>\n

Question 4<\/b>
\n\"\textrm{Im}(u)\" a pour \u00e9quation dans la base canonique \"x + b y + c z = 0\"<\/p>\n

5. \u00c9tude d’une matrice de projecteur<\/h2>\n

Question 1\u00a0<\/b>
\nL’ endomorphisme<\/a> \"p\" canoniquement associ\u00e9 \u00e0 la matrice
\n\"\quad \quad \quad A=\begin{pmatrix}2&-2&-2\\2&-3&-4\\-1&2&t\end{pmatrix}\"
\nest un projecteur pour \"t =\" ?<\/p>\n

On suppose dans la suite<\/a> que \"A\" est la matrice d’un projecteur \"p\" dans la base canonique de \"{\mathbb{R}}^3\".<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>
\nPour d\u00e9terminer \"\textrm{Ker}(p)\", on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"A\, X = 0\" ?<\/p>\n

Question 3\u00a0<\/b>
\nPour d\u00e9terminer une base de \"\textrm{Im}(p)\", on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"A \, X = X\" ?<\/p>\n

Question 4<\/b>
\n\"\textrm{Im}(p)\" est le plan d’\u00e9quation \"x + {\beta}y + {\gamma}z = 0\" o\u00f9\u00a0 \"(\beta, \, \gamma) =\" ?<\/p>\n

Question 5<\/b>\u00a0: (suite des questions 3 et 4)
\n\"(a, \,b,\,c)\" est une base de \"{\mathbb{R}}^3\" dans laquelle la matrice de \"p\" est une matrice diagonale ?
\nSi l’affirmation est vraie, donner cette matrice<\/a> diagonale.<\/p>\n

Question 6<\/b>
\nMontrer que la matrice de passage de la base canonique \u00e0 la base \"{\cal C}\" est
\n\"\quad \quad \quad Q=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\"
\net \"A = Q\, {\Delta}\, Q ^{-1}\".<\/p>\n

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 <\/p>\n

Corrig\u00e9s des exercices sur les espaces vectoriels en maths sp\u00e9<\/b><\/h2>\n

Exercice 1 :<\/strong><\/span><\/p>\n

1.\u00a0M\u00e9thode\u00a0<\/b>:
\n\"a x + b y + c z = 0\" est l’\u00e9quation<\/a> d’un plan \"H\" dans un espace vectoriel de dimension 3 par rapport \u00e0 une base donn\u00e9e.
\nOn tire l’une des inconnues en fonction des autres, on remplace dans le vecteur g\u00e9n\u00e9rique de \"H\" que l’on ordonne en fonction des inconnues conserv\u00e9es ; les deux vecteurs ainsi obtenus en coefficients de ces inconnues forment une base du plan.<\/span><\/p>\n

On g\u00e9n\u00e9ralise cette m\u00e9thode dans le cas d’un hyperplan \"H\" d’\u00e9quation \"a_1 x_1 + ... + a_n x_n = 0\" dans un espace vectoriel de dimension \"n\".<\/p>\n

Calcul<\/b>\u00a0:
\n\"F\" est un plan donn\u00e9 par son \u00e9quation dans la base \"(e_1,\, e_2,\, e_3)\" ,
\ndonc \"\dim F= 2.\"
\n\"F = \{ x\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\,/\,x = - 2 y - 3 z \}\"
\n\"= \{ - (2 y + 3 z )e_1 + y e_2 + z e_ 3\, /\, (y , z)\, {\in}\, {\mathbb{K}}^2\}\"
\n\"= \{ -y(2 e_1 - e_2)- z(3e_1 - e_3)/(y , z){\in}{\mathbb{K}}^2\}\"
\n\"F = \textrm {Vect} (a , b)\"
\no\u00f9 \"a =2 e_1 - e_2\" et \"b = 3 e_1 - e_3\,\".
\n\"(a,b)\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice form\u00e9e de deux vecteurs non colin\u00e9aires, c’est une base de \"F\".<\/p>\n

⚠️ On peut d\u00e9montrer par contre que
\nVect\"(e_1+2e_2+3e_3)\" est un suppl\u00e9mentaire de \"F\".
\nPour cela, puisque \"F\" est un plan de \"E\" , il suffit de prouver que \"e_1+2e_2+3e_3\,{\not\in} \,F\"<\/p>\n

⚠️ On fera attention \u00e0 ne pas confondre le vecteur \"3e_1 - e_3\" et les coordonn\u00e9es \"(3 , 0 , - 1)\".
\nPour qu’il y ait \u00e9galit\u00e9, il faut que \"E\" soit \u00e9gal \u00e0 \"{\mathbb{K}}^3\" et que \"(e_1,\,e_2,\, e_3)\" soit la base canonique de \"{\mathbb{K}}^3\".<\/p>\n

2. \"F' = \{ 2y\,e_1+y\,e_2+z\,e_3\;/\;(y , z)\; {\in}\; {\mathbb{K}}^2 \}\"\u00a0\"F'= \{ y(2 e_1+e_2)+z\,e_3\,/\,(y , z)\; {\in}\; {\mathbb{K}}^2 \}\"\u00a0\"F'= {\rm Vect}(a',\,b')\"
\no\u00f9 \"a'=2 e_1+e_2\" et \"b' = e_3 \,\".
\n\"(a',\, b')\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice du plan \"F'\" form\u00e9e de deux vecteurs non colin\u00e9aires, c’est une base de \"F'\" .<\/p>\n

3. On cherche \"u = x e_1 + y e_2+ z e_3\" v\u00e9rifiant le syst\u00e8me :
\n\"\left\{\begin{matrix}x + 2 y + 3 z& =&0 \\x - 2 y &=& 0\end{matrix}\right.\"\u00a0\"{\Leftrightarrow} \left\{\begin{matrix}4 y + 3 z &=&0\\x&=&2 y \end{matrix}\right.\"\u00a0\u00a0\"{\Leftrightarrow} \left\{\begin{matrix}z&=& - 4 y /3 \\x&=&2 y \end{matrix}\right.\"
\nOn obtient \"u = y(2 e_1 + e_2 - 4/3 e_3)\" et on obtient une base en prenant \"y = 3\" soit \"6 e_1 + 3 e_2 - 4 e_3\".<\/p>\n

4.Par la formule de Grassmann,
\n\"\textrm {dim} (F + F') =\"
\n\"\textrm {dim}\; F + \textrm {dim} \; F' -\; \textrm {dim}\; ( F\;{\cap}\; F') = 3 ,\"
\ndonc \"F + F' = E\".<\/p>\n

La Maths Sp\u00e9 est la derni\u00e8re ligne droite avant l’int\u00e9gration des meilleures \u00e9coles d’ing\u00e9nieurs fran\u00e7aises. Pour maximiser vos chances de r\u00e9ussite, continuez vos r\u00e9visions avec les autres chapitres au programme de MP, PC et PSI, dont :<\/p>\n