{"id":27844,"date":"2019-06-08T12:14:06","date_gmt":"2019-06-08T11:14:06","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27844"},"modified":"2022-06-11T17:42:27","modified_gmt":"2022-06-11T16:42:27","slug":"annale-corrige-sujet-hec-maths-1-2018-ecs","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-hec-maths-1-2018-ecs\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2018"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n

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Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2018<\/h1>\n<\/div>\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\n

Partie Pr\u00e9liminaire<\/h2>\n

1\/ a\/<\/strong> Pour tout \"k\in \mathbb{N}\", la fonction \"f_k\" d\u00e9finie sur \"[0,+\infty[\" par :<\/p>\n

\"\ds f_k(t) = t^k e^{-t^2}dt\" est continue et positive sur \"[0,+\infty[\",<\/p>\n

et en \"+\infty\" \"\ds f_k(t) = o \left( \frac{1}{t^2}\right)\" ;<\/p>\n

Par comparaison \u00e0 l’int\u00e9grale de Riemann convergente<\/p>\n

\"\ds \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2}dt\", \"\ds \int_1^{+\infty} f_k(t)dt\" converge<\/p>\n

donc \"\ds\int_0^{+\infty} f_k(t)dt\" converge.<\/p>\n

b\/<\/strong> Soit \"\ds g : t \mapsto \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2}\" une densit\u00e9 de la loi normale<\/p>\n

\"\ds {\cal N}\left(0, \frac 12 \right)\", et \"X\" une VAR suivant cette loi normale ;<\/p>\n

\"\ds A_0=\sqrt{\pi} \int_0^{+\infty} g(t)dt\"<\/p>\n

=\"\frac{\sqrt{\pi}}{2}\"<\/p>\n

car \"g\" est paire et \"\ds \int_{-\infty}^{+\infty} g(t)dt=1\" ;<\/p>\n

\"\ds A_2\"<\/p>\n

=\"\sqrt{\pi} \int_0^{+\infty} t^2 g(t)dt\"<\/p>\n

=\"\frac{\sqrt{\pi}}{2} E(X^2)\"<\/p>\n

car \"t\mapsto t^2g(t)\" est paire<\/p>\n

Donc \"\ds A_2\"<\/p>\n

=\"\frac{\sqrt{\pi}}{2} (V(X)+E(X)^2)\"<\/p>\n

=\"\frac{\sqrt{\pi}}{4}\"<\/p>\n

\"\ds A_1\"<\/p>\n

=\"\int_0^{+\infty}te^{-t^2}dt\"<\/p>\n

=\"\lim_{x\to +\infty} \left[ -\frac 12 e^{-t^2}\right]\"<\/p>\n

=\"\frac 12\".<\/p>\n

Ainsi, \"A_0\"<\/p>\n

=\"\frac{\sqrt{\pi}}{2}, \:\: A_1\"<\/p>\n

=\"\frac {1}{2}\"<\/p>\n

et\u00a0 \"A_2=\frac{\sqrt{\pi}}{4}}\"<\/p>\n

2\/<\/strong> La fonction qui \u00e0 \"t\in [0,+\infty[\" associe \"\ds \left| e^{-t^2}\cos(xt) \right|\" est continue, positive, et domin\u00e9e par \"\ds f_0\" ;<\/p>\n

Ainsi \"\ds \int_0^{+\infty} \cos(xt)e^{-t^2}dt\" converge absolument, donc converge ;<\/p>\n

De m\u00eame \"\ds \int_0^{+\infty} t^2\sin(xt)e^{-t^2}dt\" converge absolument.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

Partie I. Calcul d’une fonction auxiliaire<\/h2>\n

3\/ a\/<\/strong> D’apr\u00e8s l’in\u00e9galit\u00e9 de Taylor-Lagrange \u00e0 l’ordre 0 en 0, pour la fonction<\/p>\n

\"\sin\" qui est de classe \"{\cal C}^1\" sur \"\mathbb{R}z\" :<\/p>\n

\"\forall u \in \mathbb{R}z \quad \left| \sin(u)-\sin(0) \right| \leq M |u|\"<\/p>\n

avec \"\ds M\"<\/p>\n

=\"\sup _{t\in [0,u]} | \sin '(t)|\"<\/p>\n

=\"\sup_{t\in[0,u]} |\cos(t) | \leq 1\",<\/p>\n

donc : \"{\forall u \in \mathbb{R}z \quad \left| \sin(u) \right| \leq |u| }\"<\/p>\n

b\/<\/strong> \"\ds \forall (a,b) \in \mathbb{R}z^2 \quad \cos(a-b)+\cos(a+b)\"<\/p>\n

=\"2\sin(a)\sin(b)\" ;<\/p>\n

pour \"(u,v)\in\rz^2\", prenons<\/p>\n

\"\ds a=\frac{u+v}{2}\"<\/p>\n

et \"\ds b=\frac{u-v}{2}\",<\/p>\n

On a bien \"a+b=u\"<\/p>\n

et \"a-b=v\" d’o\u00f9 :<\/p>\n

\"{\cos(u )-\cos(v)\"<\/p>\n

=\"2\sin \left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\left(\frac{v-u}{2}\right)}\"<\/p>\n

c\/<\/strong> Soit \"\ds (x,y)\in\mathbb{R}z^2\" ;
\n\"\begin{array}{lll}<\/p>\n

Ainsi \"{ |F(x)-F(y)| \leq 2A_1 |x-y| }\"
\ndonc :
\n\"{ \lim _{y\to x} F(y)=F(x) }\" \"F\" est continue en \"x\"<\/p>\n

et ceci pour tout \"x\in\mathbb{R}z\".<\/p>\n

4\/ a\/<\/strong> Par l’in\u00e9galit\u00e9 de Taylor-Lagrange \u00e0 l’ordre 1 en 0, pour la fonction \"\sin\" qui est de classe \"{\cal C}^2\" sur \"\mathbb{R}z\" :
\n\"\forall u \in \mathbb{R}z \quad \left| \sin(u)-\sin(0) - \sin'(0) u\right| \leq M \frac{u^2}{2}\"
\navec \"\ds M= \sup _{t\in [0,u]} | \sin ''(t)| = \sup_{t\in[0,u]} |-\sin(t) | \leq 1\", donc :<\/p>\n

\"{\forall u \in \mathbb{R}z \quad \left| \sin(u)-u \right| \leq \frac{u^2}{2} }\"<\/p>\n

b\/<\/strong> Soit \"\ds (x,h)\in\mathbb{R}z^2\" ;
\n\"|F(x+h)-F(x) + 2hG(x)|\"<\/p>\n

=\"\left| \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \left( \cos(2(x+h)t) - \cos(2xt)+2h t\sin(2xt) \right)dt\right|\"<\/p>\n

avec :<\/p>\n

\"\begin{array}{l}<\/p>\n

On remarque que \"\ds e^{-t^2} \left( \left| \cos(2xt) \right| (1-\cos (2ht) ) \right)\leq 2 |\cos(2xt)| e^{-t^2},\" qui est le terme g\u00e9n\u00e9ral d’une int\u00e9grale convergente d’apr\u00e8s la partie pr\u00e9liminaire ;<\/p>\n

\"\ds e^{-t^2} \left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \leq<\/p>\n

Ainsi \"\ds \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \left( \left| \cos(2xt) \right|\left(1-\cos (2ht) \right) +\left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \right)dt\" converge comme somme d’int\u00e9grales convergentes, donc :<\/p>\n

\"\ds \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \left( \cos(2(x+h)t) - \cos(2xt)+2h t\sin(2xt) \right)dt\" est absolument convergente ;<\/p>\n

D’apr\u00e8s l’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire :
\n\"{\left| F(x+h)-F(x) + 2hG(x)\right| \leq \int_0^{+\infty} \left( \left| \cos(2xt) \right|\left(1-\cos (2ht) \right) +\left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \right)dt}\"<\/p>\n

c\/<\/strong> D’apr\u00e8s les in\u00e9galit\u00e9s \u00e9tablies dans la question pr\u00e9c\u00e9dente,<\/p>\n

\"\ds e^{-t^2} \left| \sin(2xt)\left( 2ht-\sin(2ht) \right) \right| \leq<\/p>\n

et
\n\"e^{-t^2} \left| \cos(2xt) \right|\left(1-\cos (2ht) \right) \leq 2 e^{-t^2} \sin ^2( ht) \left| \cos(2xt) \right| \leq 2 e^{-t^2} h^2t^2 \left| \cos(2xt) \right|\"<\/p>\n

donc :
\n\"{ \left| F(x+h)-F(x) + 2hG(x)\right| \leq \ds 2 h^2 \int_0^{+\infty} e^{-t^2} t^2 \left( |\sin(2xt)|+ | \cos(2xt) | \right)dt }\"<\/p>\n

Cette derni\u00e8re int\u00e9grale converge de la m\u00eame mani\u00e8re que la deuxi\u00e8me de la question 2), et ne d\u00e9pend pas de \"h\", ce qui justifie de remplacer sa valeur par une constante \"C\" :<\/p>\n

\"{ \left| F(x+h)-F(x) + 2hG(x)\right| \leq \ds C h^2 }\"<\/p>\n

5\/ a\/<\/strong> Soit \"x\in \mathbb{R}z\" ; \"\ds\forall h \in \mathbb{R}z^* \:\: \left| \frac{F(x+h)-F(x)}{h}+2G(x) \right| \leq C|h|\"<\/p>\n

donc : \"\lim_{h\to 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = -2G(x)\"<\/p>\n

donc \"F\" est d\u00e9rivable en \"x\" et \"\ds F'(x)=-2G(x)\".<\/p>\n

Ceci \u00e9tant vrai pour tout \"x\in \mathbb{R}z\", \"F\" est d\u00e9rivable sur \"\rz\" et \"{F'=-2G}\"<\/p>\n

b\/<\/strong> Soit \"x\in \mathbb{R}z\" ; \"\ds F(x) = -2\int_0^{+\infty} te^{-t^2}\sin(2xt)dt\".<\/p>\n

Int\u00e9gration par parties sur le segment \"[0,A]\" (\"A\geq 0\"), avec<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{ll}<\/p>\n

les fonctions \"u\" et \"v\" \u00e9tant bien de classe \"{\cal C}^1\" sur \"\mathbb{R}z\" :<\/p>\n

\"\begin{array}{lll}
\ndonc : <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{A\to +\infty} \int_0^{A} -2te^{t^2}\sin(2xt)dt = 0 -2x \int_0^{+\infty} \cos(2xt)e^{-t^2}dt\]\"<\/p>\n

donc : \"{F'(x)=-2xF(x)}\"<\/p>\n

c\/<\/strong> Soit \"H\" la fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}z\" par : \"H(x)=F(x)e^{x^2}\".<\/p>\n

\"H\" est d\u00e9rivable et \"\ds \forall x\in \mathbb{R}z \quad H'(x) = F'(x)e^{x^2} + F(x)2xe^{x^2}=0\"<\/p>\n

Ainsi, \"H\" est constante donc : \"\ds \forall x \in \mathbb{R}z \quad H(x)=H(0)=F(0)=A_0=\frac{\sqrt{\pi}}{2} ;\"<\/p>\n

Ainsi, \"{\forall x \in \mathbb{R}z \quad F(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-x^2}}\"<\/p>\n

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COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

II. Fonction de Dirichlet<\/h2>\n

6\/ a\/<\/strong> Sur \"{\cal D}\" : \"\ds \:\:\: \frac u2 \in \mathbb{R}z \setminus \{k\pi, k\in \mathbb{Z} \}\" donc \"\ds \sin \left( \frac u2 \right)\" ne s’annule pas, et \"\varphi_n\" est continue comme quotient de fonctions continues avec un d\u00e9nominateur non nul.<\/p>\n

En 0 : \"\ds \varphi_n(u) \sim \frac{\left(n+\frac 12 \right)u}{2 \frac u2} \sim n+\frac 12\",
\ndonc : \"{\varphi_n \mbox{ est prolongeable par continuité avec } \varphi_n(0)=n+\frac 12}\"<\/p>\n

b\/<\/strong> \"\begin{array}{lll}
\nAinsi \"\ds \varphi_n\" est \"2\pi\"-p\u00e9riodique, donc : \"{\forall k\in \zz, \:\:\: \lim_{x\to 2k\pi} \varphi_n(x)=\lim_{x\to 0} \varphi_n(x) = n+\frac 12}\"<\/p>\n

\"\varphi_n\" est bien prolongeable par continuit\u00e9 sur \"\mathbb{R}z\".
\nc\/ \"\varphi_n\" est paire comme quotient de fonctions impaires.<\/p>\n

7\/ a\/<\/strong> \"\ds (e^{iku})_{k\in\nz}\" est une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison \"\ds e^{iu}\", donc :<\/p>\n

si \"u\in {\cal D}\" : \"\ds e^{iu}=1\" donc \"\ds \sum_{k=1}^n e^{iu} = n\" ;<\/p>\n

si \"u\not\in {\cal D}\" :
\n\"\begin{array}{lll}<\/p>\n

\"{ \sum_{k=1}^n e^{iku} = \left\{\begin{array}{l}<\/p>\n

b\/<\/strong> Si \"u\in {\cal D}\" : \"\ds \cos(ku)=1\" donc \"\ds \sum_{k=1}^n \cos(ku) = n = \varphi_n(u)-\frac 12\" ;<\/p>\n

si \"u\not\in {\cal D}\" :
\n\"\begin{array}{lll}<\/p>\n

Dans tous les cas, \"{ \sum_{k=1}^n \cos(ku) = \varphi_n(u)-\frac 12}\"<\/p>\n

c\/<\/strong> \"\ds \int _0^{2\pi} \varphi_n(u)du = \int_0^{2\pi} \left( \frac 12 + \sum _{k=1}^n \cos(ku)\right) du = \pi + \sum_{k=1}^n \left[ \frac{\sin(ku)}{k}\right]_0^{2\pi} = \pi + 0\"<\/p>\n

\"{\int _0^{2\pi} \varphi_n(u)du =\pi}\"<\/p>\n

8\/<\/strong> Soit \"x\in\mathbb{R}z\" et \"\ds n=\left\lfloor \frac xT \right\rfloor\" ; alors \"\ds n \leq \frac xT < n+1\", donc :
\n\"nT \leq x < (n+1)T \leq x+T\"
\nLa relation de Chasles donne :
\n\"\int_x^{x+T} \psi(u)du = \int_x^{(n+1)T} \psi(u)du + \int_{(n+1)T}^{x+T} \psi(u)du\"<\/p>\n

Effectuons les deux changements de variables suivantes, affines donc licites :<\/p>\n

Premi\u00e8re int\u00e9grale : \"v=u-nT\" donne : \"\ds \int_x^{(n+1)T} \psi(u)du = \int _{x-nT}^T \psi(v)dv\".<\/p>\n

Deuxi\u00e8me int\u00e9grale : \"v=u-(n+1)T\" donne : \"\ds \int_{(n+1)T}^{x+T} \psi(u)du = \int _{0}^{x-nT} \psi(v)dv\".<\/p>\n

Ainsi \"{\int_x^{x+T} \psi(u)du = \int _{x-nT}^T \psi(v)dv + \int _{0}^{x-nT} \psi(v)dv = \int_0^T \psi(v)dv}\"<\/p>\n

Partie III. Formule sommatoire de Poisson<\/h2>\n

9\/ a\/<\/strong> Pour tout \"x\in \mathbb{R}z\",
\n\"\ds k^2f(x+2k\pi) = \exp\left( 2\ln(k) -\theta(x+2k\pi)^2 \right) ;\"<\/p>\n

or, lorsque \"k \to +\infty\", \"\ds -\theta(x+2k\pi)^2 \sim -4\theta \pi^2 k^2\", et \"\ln(k) = o(k^2)\", donc :<\/p>\n

\"2\ln(k) -\theta(x+2k\pi)^2 \sim -4\theta \pi^2 k^2\" donc : \"\lim_{k\to+\infty} 2\ln(k) -\theta(x+2k\pi)^2 = -\infty\"<\/p>\n

donc : \"\ds \lim_{k\to+\infty} k^2f(x+2k\pi) =0\" et par cons\u00e9quent \"f(x+2k\pi) = o\left( \frac{1}{k^2}\right)\"<\/p>\n

Par crit\u00e8re de comparaison \u00e0 une s\u00e9rie de Riemann convergente, \"\ds \sum_{k\geq 1} f(x+2k\pi)\" converge et de m\u00eame pour \"\ds \sum_{k\geq 1} f(x-2k\pi)\".<\/p>\n

b\/<\/strong> \"f\" \u00e9tant paire,
\n\"\begin{array}{lllll}<\/p>\n

Ainsi, \"H\" est paire et donc sa d\u00e9riv\u00e9e est impaire<\/p>\n

10\/ a\/<\/strong> Pour \"N\in \nz^*\",<\/p>\n

\"\ds \begin{array}{lll}<\/p>\n

b\/<\/strong> \"\ds \int_0^{+\infty} f(u)\cos(nu) du=\int_0^{+\infty} e^{-\theta u^2} \cos(nu) du= \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos\left(\frac{nt}{\sqrt{\theta}}\right) \frac{dt}{\sqrt{\theta}}\" ;<\/p>\n

cette int\u00e9grale est donc absolument convergente d’apr\u00e8s la partie pr\u00e9liminaire;<\/p>\n

\"\ds u\mapsto f(u)\cos(nu)\" est paire ;<\/p>\n

donc \"\ds \int_{-\infty} ^{+\infty} f(u)\cos(nu)du\" converge et vaut \"\ds 2 \int_0^{+\infty} f(u)\cos(nu) du\" ;<\/p>\n

donc \"\ds \lim_{N\to+\infty} \int_{-2N\pi}^{(2N+1)\pi} f(u)\cos(nu)du = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u)\cos(nu)du\"<\/p>\n

et \"\encadre{\ds \lim_{N\to+\infty} H_N(x)\cos(nx)dx = 2 \int_0^{+\infty} f(u)\cos(nu) du}\"<\/p>\n

c\/<\/strong> Pour tout \"\encadre{ x\in [0,2\pi] }\" et \"N\in \nz^*\" :<\/p>\n

\"\begin{array}{lll}<\/p>\n

\"\left| H(x)-H_N(x)\right| =\ds \left| \sum_{k=N+1}^{\infty}f(x+2k\pi) + \sum_{k=N+1}^{\infty} f(x-2k\pi) \right|\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{ll}<\/p>\n

et<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{ll}<\/p>\n

Ainsi,
\n\"{\left| H(x)-H_N(x) \right| \leq \sum_{k=N+1}^{\infty} \exp(-\theta 4k^2\pi^2 ) + \sum_{j=N}^{\infty} \exp(-\theta 4j^2\pi^2 ) \leq 2 \sum_{k=N}^{\infty} \exp(-\theta 4k^2\pi^2 ) }\"<\/p>\n

d\/<\/strong> D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente,
\n\"\begin{array}{l}<\/p>\n

donc : \"{\int_0^{2\pi} H(x)\cos(nx)dx = \ds \lim_{N\to\infty} \int_0^{2\pi} H_N(x)\cos(nx)dx = 2 \int_0 ^{+\infty} f(u)\cos(nu)du}\"<\/p>\n

\"\begin{array}{lll}<\/p>\n

donc : \"{\int_0^{2\pi} H(x)\cos(nx)dx = 2 \int_0 ^{+\infty} f(u)\cos(nu)du = \sqrt{\frac{\pi}{\theta}} e^{-n^2/4\theta}}\"<\/p>\n

11\/<\/strong> \"\ds a_n=\int_0^{2\pi} H(x)\cos(nx)dx = 2\int_0^{+\infty} f(u)\cos(nu)du = \sqrt{\frac{\pi}{\theta}} \exp\left( -\frac{n^2}{4\theta}\right)\".<\/p>\n

a\/<\/strong> \"\begin{array}{lll}<\/p>\n

or \"\ds \int_0^{2\pi} H(u)du=a_0\", donc :<\/p>\n

\"{ a_0+2\sum_{n=1}^{N} a_n\cos(nx) = \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(x+u)du + \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(x-u)du }\"<\/p>\n

b\/<\/strong> Transformons \"\ds \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(x+u)du\" \u00e0 l’aide du changement de variable affine \"v=u+x\" :<\/p>\n

\"\int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(u+x)du = \int_x^{2\pi+x} H(v+x)\varphi_N(v)dv\"<\/p>\n

Or \"H\" est \"2\pi-\"p\u00e9riodique, car<\/p>\n

\"\begin{array}{lll}
\n\"\varphi_N\" est \u00e9galement \"2\pi-\"p\u00e9riodique d’apr\u00e8s le r\u00e9sultat \u00e9tabli en 6)b), donc la fonction \\\\ \"\ds v \mapsto H(v+x)\varphi_N(v)\" est \"2\pi-\"p\u00e9riodique, et ainsi, d’apr\u00e8s la question 8),<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_x^{2\pi+x} H(v+x)\varphi_N(v)dv = \int_0^{2\pi} H(v+x)\varphi_N(v)dv = \int_0^{2\pi} H(v+x) \frac{\sin \left( \left( N+\frac 12 \right)v\right)}{2\sin \left(\frac v2 \right)}dv\]\"<\/p>\n

et de m\u00eame pour \"\ds \int_0^{2\pi} H(u)\varphi_N(u-x)du\".<\/p>\n

Par cons\u00e9quent : \"{ a_0+2\sum_{n=1}^{N} a_n\cos(nx) = \int_0^{2\pi} \frac{H(v+x)+H(v-x)}{2\sin(v/2)} \times \sin \left( \left( N+\frac 12 \right)v\right) dv}\"<\/p>\n

c\/<\/strong> Sur \"]0,2\pi[\" : \"H\" est de classe \"{\cal C}^1\" (admis) donc continue ; \"\ds v \mapsto \sin(v/2)\" est continue et ne s’annule pas, donc \"K_x\" est continue par quotient.<\/p>\n

En 0 : \"v \mapsto H(x+v)\" \u00e9tant de classe \"{\cal C}^1\" sur \"\mathbb{R}z\", elle est notamment d\u00e9rivable en \"0\" et y admet un DL d’ordre 1 :<\/p>\n

\"\begin{array}{l}<\/p>\n

donc : \"\ds H(v+x)+H(v-x) -2H(x) = o(v)\"<\/p>\n

Par ailleurs, lorsque \"v\to 0\", \"\ds 2\sin \left(\frac v2 \right) \sim 2\frac v2 \sim v\", donc :
\n\"{\lim_{v\to 0} \frac{H(v+x)+H(v-x) -2H(x)}{2\sin \left( \frac v2 \right)} =0 \mbox{ donc } K_x \mbox{ continue en 0} }\"<\/p>\n

En \"2\pi\" :<\/p>\n

\"\begin{array}{lll}<\/p>\n

donc : \"\lim_{v \to 2\pi^-} K_x(v)=\lim_{u\to 0^+} K_x(u) = 0\" donc \"K_x\"\u00a0 continue en \"2\pi\"
\n(par le changement de variable \"u=2\pi-v\".)<\/p>\n

d\/<\/strong> D’apr\u00e8s 7)c), <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n \in \nz \:\: \: \pi = \int _0^{2\pi} \varphi_n(x)dx\]\"<\/p>\n

donc : <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\ds \pi = \int_0^{2\pi} \varphi_N(x)dx = \int_0^{2\pi} \frac{\sin \left( \left( N+\frac 12\right)v\right)}{2\sin \left(\frac v2\right)}dv\]\"<\/p>\n

donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{l}<\/p>\n

12\/ a\/<\/strong> <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0 ^1 g(t)\sin(\lambda t)dt = \left[ g(t)\frac{\sin(\lambda t)}{\lambda} \right]_0^1 - \frac{1}{\lambda} g'(t)\sin(\lambda t)dt = g(1) \frac{\sin( \lambda)}{\lambda} + \frac{1}{\lambda}\int_0^1 g'(t)\sin(\lambda t) dt\]\"<\/p>\n

(Int\u00e9gration par parties avec \"\ds et \"\ds v'(t) = \sin(\lambda t) \mbox{ pour }\lambda >0\")<\/p>\n

\"\ds \left| g(1) \frac{\sin(\lambda)}{\lambda} \right| \leq \frac{|g(1)|}{\lambda}\" donc \"\ds \lim_{\lambda \to\infty} g(1) \frac{\sin(\lambda)}{\lambda}=0\" ;<\/p>\n

\"\ds \left| \frac{1}{\lambda}\int_0^1 g'(t)\sin(\lambda t) dt\right| \leq \frac{1}{\lambda} \int_0^1 |g'(t)\sin(\lambda t)| dt \leq \frac{1}{\lambda} \int_0^1 |g'(t)| dt =\frac{K}{\lambda}\",<\/p>\n

donc \"\ds \lim_{\lambda \to\infty}\frac{1}{\lambda}\int_0^1 g'(t)\sin(\lambda t) dt = 0\".<\/p>\n

Par somme, \"{\lim_{\lambda \to\infty}\int_0^1 g(t)\sin(\lambda t)dt = 0}\"<\/p>\n

b\/<\/strong> <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}<\/p>\n

Or, d’apr\u00e8s 11)d), <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[a_0+2\sum_{n=1}^N a_n\cos(nx) -2\pi H(x) = \int_0^{2\pi} K_x(v)\sin \left( \left(N+\frac 12 \right) v \right) dv\]\"<\/p>\n

d’apr\u00e8s 11)c), \"K_x\" est continue sur \"[0,2\pi]\" ;<\/p>\n

d’apr\u00e8s 12)a), \"\ds \lim_{N\to\infty} \int_0^{2\pi} K_x(v) \sin\left( \left( N+\frac 12 \right) v \right)dv=0\"<\/p>\n

donc \"\ds a_0 +2\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) = 2\pi H(x)\"<\/p>\n

donc : \"{ \ds \frac{1}{2\pi} \left( a_0 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) \right) = H(x) = e^{-\theta x^2} +\sum_{k=1}^{\infty} e^{-\theta (x+2k\pi)^2} +\sum_{k=1}^{\infty} e^{-\theta(x-2k\pi)^2}}\"<\/p>\n

Partie IV. Une application probabiliste de la formule sommatoire de Poisson<\/strong><\/h2>\n

13\/<\/strong> \"\tt\" s=s+2 ; j=1
\n\"\tt\" i est le nombre de lancers effectu\u00e9s depuis le d\u00e9but de la partie et jusqu’\u00e0 l’arr\u00eat du jeu.
\n\"\tt\" v est un indicateur permettant de savoir quel est le joueur en cours (et donc qui gagne).
\nDans les initialisations ajouter : \"\tt k=1\"<\/p>\n

Dans la boucle \"\tt\" while, avant l’instruction if j>s …, ajouter :<\/p>\n

if v==1 then<\/p>\n

k=k+1<\/p>\n

end<\/p>\n

M\u00e9thode de Monte-Carlo : une valeur approch\u00e9e est la fr\u00e9quence de l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0\"A\" vainqueur\u00a0\u00bb sur un grand nombre de simulations :<\/p>\n

N=10000 ;<\/p>\n

f=0 ;<\/p>\n

p=input(‘entrez probabilit\u00e9 de Pile’) ;<\/p>\n

for k=1:N<\/p>\n

if jeu(p)==1 then<\/p>\n

f=f+1<\/p>\n

end<\/p>\n

end<\/p>\n

disp(f\/N)<\/p>\n

14\/ a\/<\/strong> \"H\cup K\" signifie qu’il y a un vainqueur (le jeu se termine) ; \"\ds \overline{H\cup K}\" signifie qu’il n’y a pas de vainqueur : le jeu continue ind\u00e9finiment, ce qui signifie que \u00ab\u00a0Pile\u00a0\u00bb ne sort jamais.<\/p>\n

Notons, pour \"n\in\nz^*\", \"F_n\" l’\u00e9v\u00e9nement : \u00ab\u00a0il n’y a eu que des Face lors des \"n\" premiers lancers\u00a0\u00bb.<\/p>\n

\"\ds (F_n)_{n\in\nz^*}\" est une suite d\u00e9croissante d’\u00e9v\u00e9nements, donc, par le th\u00e9or\u00e8me de limite monotone~:
\n\"P_p( \overline{H\cup K}) = P_p \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} F_n \right) = \lim_{n\to\infty} P_p(F_n) = \lim_{n\to\infty} (1-p)^n=0\"
\ndonc :
\n\"{P_p(H\cup K)=1 }\"<\/p>\n

\"X+Y\" est le nombre total de lancers effectu\u00e9s jusqu’\u00e0 l’arr\u00eat du jeu (obtention du premier \u00ab\u00a0Pile\u00a0\u00bb). D’apr\u00e8s ce qui pr\u00e9c\u00e8de, \"X+Y\" a une valeur finie presque s\\^urement et :
\n\"{ X+Y \hookrightarrow {\cal G}(p)}\"<\/p>\n

b\/<\/strong> Notons \"A_1\" l’\u00e9v\u00e9nement : le joueur \"A\" gagne d\u00e8s le premier lancer (autrement dit, \u00ab\u00a0Pile\u00a0\u00bb sort au premier lancer). Alors<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lc}<\/p>\n

Par th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, \"{\lim_{p\to 1} P_p(H)=1}\"<\/p>\n

15\/ a\/<\/strong> Les s\u00e9quences sont de longueur impaire : 1,3,5 …<\/p>\n

Ainsi, la s\u00e9quence num\u00e9ro \"j\" est de longueur \"2j+1\", avec les conventions suivantes :<\/p>\n

La premi\u00e8re porte le num\u00e9ro 0, elle ne comporte que le premier lancer (effectu\u00e9 par le joueur \"A\")<\/p>\n

\"A\" joue les s\u00e9quences de num\u00e9ro \"j\" pair et \"B\" les s\u00e9quences de num\u00e9ro \"j\" impair<\/p>\n

Lorsque la s\u00e9quence num\u00e9ro \"j\" commence, le nombre total de lancers d\u00e9j\u00e0 effectu\u00e9s est donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=0}^{j-1} (2k+1) = 2 \sum_{k=0}^{j-1}k + j =j(j-1)+j = j^2\]\"<\/p>\n

Par cons\u00e9quent, \"\encadre{\mbox{ la séquence numéro } j \mbox{ commence au lancer numéro }j^2+1}\"<\/p>\n

Or, {\"A\" effectue les s\u00e9quences de num\u00e9ro pair : \"j=2n\"} donc :<\/p>\n

Le premier lancer de la s\u00e9quence est le lancer num\u00e9ro \"(2n)^2+1=4n^2+1\" ;<\/p>\n

La s\u00e9quence est de longueur \"2j+1 = 4n+1\" donc le dernier lancer (s’il a lieu) porte le num\u00e9ro \"4n^2+4n+1\"<\/p>\n

Ainsi, les valeurs de \"I\" sont incluses dans l’ensemble \"\ds \bigcup _{n\in\nz}\llbracket 4n^2+1,4n^2+4n+1\rrbracket\".<\/p>\n

b\/<\/strong> Notons \"A_n\" l’\u00e9v\u00e9nement : \u00ab\u00a0\"A\" gagne lors de la s\u00e9quence num\u00e9ro \"2n\"\u00ab\u00a0.<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[A_n= F_1\cap \cdots \cap F_{4n^2} \cap \left( \bigcup_{k=1}^{4n+1} (\underbrace{F\cdots F}_{\mbox{k-1 fois}}P) \right)\]\"<\/p>\n

donc, la r\u00e9union \u00e9tant disjointe et les lancers ind\u00e9pendants,<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{ll}<\/p>\n

\"H\" \u00e9tant l’union disjointe des \"A_n\",
\n\"{P_p(H) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( (1-p)^{4n^2}-(1-p)^{4n^2+4n+1}\right)}\"<\/p>\n

\"J\" prend ses valeurs dans l’ensemble compl\u00e9mentaire de celles de \"I\" : les s\u00e9ries d\u00e9marrent aux lancers \"4n^2+4n+1\" et terminent aux lancers \"4(n +1)^2-1\" :<\/p>\n

\"{P_p(K)=\sum_{n=0}^{\infty} \left( (1-p)^{4n^2+4n+1}-(1-p)^{4(n+1)^2}\right)}\"<\/p>\n

16\/ a\/<\/strong> D’apr\u00e8s 12)b),<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{\sqrt{\pi\theta}} \left( \frac 12 +\sum_{n=1}^{\infty} \exp \left( -\frac{n^2}{4\theta}\right) \cos(nx) \right) = e^{-\theta x^2} +\sum_{k=1}^{\infty} e^{-\theta (x+2k\pi)^2} + \sum_{k=1}^{\infty} e^{-\theta (x-2k\pi)^2}\]\"<\/p>\n

Appliquons cette \u00e9galit\u00e9 avec :<\/p>\n

\"x=\pi\" donc \"\cos(nx)=(-1)^n\"<\/p>\n

\"\ds \theta =-\frac{1}{4\ln(1-p)}\" donc \"\ds e^{-1/4\theta} = 1-p\" et \"\ds \exp \left( -\frac{n^2}{4\theta}\right) = (1-p)^{n^2}\"<\/p>\n

Ainsi,<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{ll}<\/p>\n

b\/<\/strong> \"\ds P_p(H)=\sum_{n=0}^{\infty} \left( (1-p)^{4n^2}-(1-p)^{(2n+1)^2} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (1-p)^{k^2} > \frac 12\"<\/p>\n

Conclusion : le jeu est in\u00e9quitable car \"A\" a plus de chance de gagner que \"B\".<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2018 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Partie Pr\u00e9liminaire 1\/ a\/ Pour tout , la fonction d\u00e9finie sur par : est continue et positive sur , et en ; Par comparaison \u00e0 l’int\u00e9grale de Riemann convergente , converge donc converge. b\/ Soit une densit\u00e9 de 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