{"id":27875,"date":"2019-06-08T13:12:37","date_gmt":"2019-06-08T12:12:37","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=27875"},"modified":"2023-03-13T10:36:54","modified_gmt":"2023-03-13T09:36:54","slug":"annale-corrige-maths-2-hec-2018-ecs","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-maths-2-hec-2018-ecs\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet HEC ESCP Maths 2 ECS 2018"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n

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Corrig\u00e9 du sujet HEC-ESCP Maths 2 ECS 2018<\/h1>\n<\/div>\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\n

Partie I : S\u00e9ries t\u00e9l\u00e9scopiques<\/strong><\/h2>\n

1\/ a\/ La s\u00e9rie \"\sum_{n\geq 1}\dfrac1{n(n+1)}\" est convergente car son terme g\u00e9n\u00e9ral est positif et \u00e9quivalent au terme g\u00e9n\u00e9ral d’une s\u00e9rie de Riemann convergente\u00a0\"\dfrac1{n^2}\"<\/p>\n

En \u00e9crivant, pour tout \"n\in\N^*\": \"\dfrac1{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\"<\/p>\n

On obtient une somme t\u00e9lescopique :<\/p>\n

\"\sum_{n=1}^N \dfrac1{n(n+1)} = 1-\dfrac1{N+1}\tendinf \xrightarrow N 1.\"<\/p>\n

La somme de la s\u00e9rie \"\sum_{n\geq 1}\dfrac1{n(n+1)}\" est donc \u00e9gale \u00e0 1.<\/p>\n

b\/ Avec la d\u00e9composition de fractions trouv\u00e9e, on reconna\u00eet pour \"X\" la loi certaine \u00e9gale \u00e0 1.<\/p>\n

2\/ a\/ La fonction \"f_n\" est positive lorsque \"c_n\geq 0\" et continue sur \"\mathbb{R}\" priv\u00e9 d’un nombre fini de points<\/p>\n

Calculons l’int\u00e9grale de \"f_n\" sur \"\mathbb{R}\" :<\/p>\n

\"\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x)dx\"<\/p>\n

= \"{ \int_{-\tfrac1{n+1}}^0 f_n(x)dx} + {\int_0^{\tfrac n{n+1}}f_n(x)dx} + { \int_{\tfrac n{n+1}}^1 f_n(x)dx} ;\"<\/p>\n

\"{ \int_{-\tfrac1{n+1}}^0 f_n(x)dx\"<\/p>\n

= \"\dfrac1{n+1}+\left[\dfrac{n+1}2x^2\right]_{-\tfrac1{n+1}}^0\"<\/p>\n

= \"\dfrac1{2(n+1)}}\"<\/p>\n

\"{\int_0^{\tfrac n{n+1}}f_n(x)dx = c_n~\dfrac n{n+1}}\"<\/p>\n

\"{ \int_{\tfrac n{n+1}}^1 f_n(x)dx\"<\/p>\n

= \"(n+1)\left[x-\dfrac{x^2}2\right]_{\tfrac n{n+1}}^1\"<\/p>\n

= \"(n+1)\left(\dfrac12-\dfrac n{n+1}+\dfrac{n^2}{2(n+1)^2}\right)\"<\/p>\n

= \"\dfrac1{2(n+1)}}.\"<\/p>\n

On a donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x)dx=1 &\iff { \dfrac1{2(n+1)}} + { c_n~\dfrac n{n+1}} + { \dfrac1{2(n+1)}}= 1 \\<\/p>\n

La fonction \"f_n\" est donc une densit\u00e9 de probabilit\u00e9 si et seulement si \"c_n=1\".<\/p>\n

Pour \"n=3\":<\/p>\n

\"f_3(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0&\text{si }x<-\dfrac14\text{ ou }x>1\\ 1+4x&\text{si }-\dfrac14\leq x \leq 0\\ 1&\text{si }0\leq x \leq \dfrac34\\ 4-4x&\text{si }\dfrac34\leq x \leq 1\end{array}\right.\".<\/p>\n

b\/ Puisque \"f_n\" est nulle en dehors de \"\left[-\dfrac1{n+1},1\right]\", la fonction de r\u00e9partition \"F_n\" de \"Y_n\" est :<\/p>\n

nulle sur \"\left]-\infty,-\dfrac1{n+1}\right]\",<\/p>\n

\u00e9gale \u00e0 1 sur \"[1,+\infty[\".<\/p>\n

pour \"-\dfrac1{n+1}\leq x\leq 0\":<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}F_n(x)& = \int_{-\tfrac1{n+1}}^x\big(1+(n+1)t\big)dt = \left[t+\dfrac{n+1}2t^2\right]_{-\tfrac1{n+1}}^x\\<\/p>\n

pour \"0\leq x\leq \dfrac n{n+1}\":<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[F_n(x) = F_n(0) + \int_{0}^x c_ndt = \dfrac1{2(n+1)}+x\]\"<\/p>\n

pour \"\dfrac n{n+1} \leq x \leq 1\":<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}F_n(x)&=F_n\left(\dfrac n{n+1}\right) + \int_{\tfrac n{n+1}}^x (n+1)(1-t)dt = \dfrac{1+2n}{2(1+n)} + \left[(n+1)\left(t-\dfrac{t^2}2\right)\right]_{\tfrac n{n+1}}^x\\<\/p>\n

Conclusion :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R},~ F_n(x)=\left\{\begin{array}{clrcl} 0&\text{si }&&x&\leq-\dfrac1{n+1}\\[0.75em] \dfrac1{2(n+1)}+x+\dfrac{n+1}2x^2&\text{si }&-\dfrac1{n+1}\leq &x&\leq 0\\[0.75em] \dfrac1{2(n+1)}+x&\text{si }&0\leq &x&\leq \dfrac n{n+1}\\[0.75em] \dfrac{1-n}2+(n+1)x-\dfrac{n+1}2x^2&\text{si }&\dfrac n{n+1}\leq &x& \leq 1\\[0.75em] 1&\text{si }&1\leq&x\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

La fonction \"F_n\" est de classe \"\mathcal C^1\" sur \"\mathbb{R}\" car \"f_n\" est continue sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

c\/ Si \"x<0\", alors, comme \"-\dfrac1{n+1}\tendinf \xrightarrow n0\":<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\exists N\in\N,~ \forall n\geq N,~ x\leq -\dfrac1{n+1} \quad \text{et donc }F_n(x)=0\tendinf \xrightarrow n0\]\"<\/p>\n

Si \"0\leq x<1\" alors de m\u00eame :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\exists N^\prime\in\N,~ \forall n\geq N^\prime,~ 0\leq x\leq \dfrac n{n+1} \quad \text{et donc }F_n(x)=\dfrac1{2(n+1)}+x\tendinf \xrightarrow nx\]\"<\/p>\n

Si \"x\geq 1\", alors :~ \"F_n(x)=1\tendinf \xrightarrow n1\".<\/p>\n

Conclusion :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R},~ F_n(x)\tendinf \xrightarrow n\left\{\begin{array}{cl} 0& \text{si }0\leq x\\ x&\text{si }0\leq x \leq 1\\ 1&\text{si }x\geq 1 \end{array}\right.\]\"<\/p>\n

ce qui prouve la convergence en loi de \"(Y_n)\" vers une variable al\u00e9atoire \"Y\hookrightarrow\mathcal U([0,1])\".<\/p>\n

3\/ a\/ Pour tout \"\varepsilon>0\":<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\P\left(\left|\dfrac{X_{n+1}}{n+1}\right|\geq \varepsilon\right) = 1-\underbrace{F\big(\varepsilon(n+1)\big)}_{\displaystyle\tendinf \xrightarrow n 0} + \underbrace{F\big(-\varepsilon(n+1)\big)}_{\displaystyle\tendinf n1}\tendinf \xrightarrow n 0.\]\"<\/p>\n

(o\u00f9 \"F\" est la fonction de r\u00e9partition de \"X\" (donc aussi celle de \"X_{n+1}\"))\\\\
\nce qui prouve la convergence en probabilit\u00e9 de \"\left(\dfrac{X_{n+1}}{n+1}\right)\" vers 0.<\/p>\n

b\/ Comme \"X_1 \mathop{\longrightarrow}^{\mathcal L} X\" et \"\dfrac{X_{n+1}}{n+1}\mathop{\longrightarrow}^{\mathrm p}0\", le th\u00e9or\u00e8me de Slutsky donne la convergence en loi de la suite de variables al\u00e9atoires \"(D_n)\" vers \"X\".<\/p>\n

c\/ En remarquant que :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R},~ \P\left(-\dfrac{X_{n+1}}{n+1} \leq x\right) =\P\big(-X_{n+1} \leq x(n+1)\big) = 1-F\big(-x(n+1)\big)\]\"<\/p>\n

on obtient une densit\u00e9 de la variable al\u00e9atoire \"-\dfrac{X_{n+1}}{n+1}\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[g_{n+1}:\left\{\begin{array}{rcl} \mathbb{R}&\to&\mathbb{R} \\ t&\mapsto&(n+1)f\big(-(n+1)t\big) \end{array}\right.\]\"<\/p>\n

L’ind\u00e9pendance des variables \"X_1\" et \"-\dfrac{X_{n+1}}{n+1}\" permet alors d’utiliser le produit de convolution pour obtenir une densit\u00e9 \"f_{D_n}\" de \"D_n\" en notant que, \"f\" \u00e9tant born\u00e9e, la fonction \"f_{D_n}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\" ci-dessous est bien d\u00e9finie et continue sauf en un nombre fini de points:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R},~ f_{D_n}(x)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g_{n+1}(x-t)dt = (n+1)\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)f\big((n+1)(t-x)\big)dt.\]\"<\/p>\n

d\/ Supposons que \"X\" suive la loi uniforme sur \"[0,1]\". On peut choisir la densit\u00e9 :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[f:\left\{\begin{array}{rcl} \mathbb{R}&\to&\mathbb{R} \\ x&\mapsto&\left\{\begin{array}{cl} 1&\text{si }x\in[0,1]\\ 0&\text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right..\]\"<\/p>\n

qui est born\u00e9e<\/p>\n

La question (c) donne une densit\u00e9 de \"D_n\" ; or :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}<\/p>\n

et \"f(t)\times f\big((n+1)(t-x)\big)=0\" sinon.\\\\<\/p>\n

On est donc amen\u00e9 \u00e0 d\u00e9terminer l’intersection <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[{ [0,1]}\cap{\left[x,x+\dfrac1{n+1}\right]}\]\"<\/p>\n

qui est un intervalle born\u00e9 (comme intersection de deux intervalles born\u00e9s), \u00e9ventuellement vide, et dont on note \"L_x\" la longueur (diff\u00e9rence entre les deux bornes si l’intervalle est d’int\u00e9rieur non vide ; nulle s’il est vide ou r\u00e9duit \u00e0 un point).<\/p>\n

On aura alors :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R},~ h_n(x)=(n+1)\times L_x.\]\"<\/p>\n

Il s’agit de la densit\u00e9 \"f_n\" de la question 2.
\nD’apr\u00e8s (b), \"(D_n)\" converge en loi vers la variable \"X\hookrightarrow \mathcal U([0,1])\".<\/p>\n

On a donc retrouv\u00e9 le r\u00e9sultat de la question 2.(c).<\/p>\n

4\/ a\/ Les deux variables al\u00e9atoires \"\dfrac{X_n}n\" et \"\dfrac{X_{n+1}}{n+1}\" v\u00e9rifient une loi normale (chacune transform\u00e9e affine d’une variable al\u00e9atoire suivant une loi normale).\\\\ Elles sont de plus ind\u00e9pendantes, donc par stabilit\u00e9 additive de la loi normale, \"U_n\" suit une loi normale, de param\u00e8tres :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\E(U_n)=\dfrac1n\E(X_n)-\dfrac1{n+1}\E(X_{n+1})=0 \quad;\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\V(U_n)=\dfrac1{n^2}\V(X_n)+\dfrac1{(n+1)^2}\V(X_{n+1})=\dfrac1{n^2}+\dfrac1{(n+1)^2}.\]\"<\/p>\n

b\/ Avec les notations de la question 3.:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{n=1}^N U_n=X_1-\dfrac{X_{N+1}}{N+1}=D_N\]\"<\/p>\n

La variable al\u00e9atoire \"X\hookrightarrow \mathcal N(0,1)\" poss\u00e8de une densit\u00e9 born\u00e9e, donc d’apr\u00e8s 3.(b), la suite \"(D_N)_{N\geq 1}\" converge en loi vers \"X\".\\\\ La s\u00e9rie \"\sum_{n\geq 1} U_n\" converge donc en loi vers \"X\hookrightarrow \mathcal N(0,1)\".<\/p>\n

c\/ Par ind\u00e9pendance des variables al\u00e9atoires \"U_n^\prime\" (\"n\in\N^*\") et par stabilit\u00e9 additive de la loi normale :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[T_n^\prime\hookrightarrow \mathcal N\left(0,{\sigma_n}^2\right) \quad\text{ avec }\sigma_n=\sqrt{\sum_{k=1}^n \dfrac1{k^2}+\dfrac1{(k+1)^2}}.\]\"<\/p>\n

La fonction de r\u00e9partition de \"T_n^\prime\" est donn\u00e9e par :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\forall x\in\mathbb{R},~ F_{T_n^\prime}(x)&=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma_n} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\dfrac12\left(\dfrac t{{\sigma_n}}\right)^2\right)dt\\<\/p>\n

(avec le changement de variable \"u=\dfrac t{\sigma_n}\").\\\\<\/p>\n

Par ailleurs:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[{\sigma_n}^2= 2\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac1{k^2} - 1 \xrightarrow[n\to+\infty]{} \zeta(2)-1=\dfrac{\pi^2}3-1.\]\"<\/p>\n

Par continuit\u00e9 de \"\Phi\" (sur \"\mathbb{R}\"):<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\mathbb{R},~ F_{T_n^\prime}(x)=\Phi\left(\dfrac x{\sigma_n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \Phi\left(\dfrac x\sigma\right) \quad\text{ où }\sigma=\sqrt{\zeta(2)-1}\]\"<\/p>\n

ce qui prouve que la suite \"T_n^\prime\" converge en loi vers une variable al\u00e9atoire de loi normale \"\mathcal N\left(0, \dfrac{\pi^2}3-1\right)\".
\nContrairement \u00e0 la convergence d’une {suite} de variables al\u00e9atoires \"(U_n)_{n\in\N^*}\", la convergence d’une {s\u00e9rie} de variables al\u00e9atoires \"\sum_{n\geq 1} U_n\" ne d\u00e9pend pas que des lois des variables \"U_n\" (\"n\in\N^*\") ; elle est li\u00e9e \u00e0 la loi de la somme partielle \"\sum_{k=1}^n U_k\" qui elle-m\u00eame ne peut se d\u00e9duire de la seule connaissance des lois des variables \"U_n\" (\"n\in\N^*\"), sauf en cas d’ind\u00e9pendance.\\\\<\/p>\n

Or dans cet exemple les variables al\u00e9atoires \"U_n^\prime\" (\"n\in\N^*\") sont ind\u00e9pendantes, mais les variables \"U_n\" (\"n\in\N\") ne le sont pas.\\\\
\nPr\u00e9cis\u00e9ment, pour tout \"n\in\N^*\", les variables \"U_n\" et \"U_{n+1}\" ne sont pas ind\u00e9pendantes puisque :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\Cov(U_n,U_{n+1})&=\Cov\left(\dfrac{X_n}n- \dfrac{X_{n+1}}{n+1}, \dfrac{X_{n+1}}{n+1}-\dfrac{X_{n+2}}{n+2}\right)\\<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Partie II : S\u00e9ries harmoniques \u00ab\u00a0lacunaires\u00a0\u00bb<\/h2>\n
\n

5\/ a\/ \"h_n(\mathcal D)=\sum_{k\in\{1,\dots,n\}, k\in\mathcal D} \dfrac1k = \sum_{\ell=1}^{\lfloor \sqrt n\rfloor} \dfrac1{\ell^2}\"
\nb\/ Comme \"\lfloor x\rfloor\tendinf \xrightarrow {x} +\infty\" (ce que l’on d\u00e9duit de l’in\u00e9galit\u00e9 \"x-1\leq \lfloor x\rfloor\"): <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[h_n(\mathcal D)\tendinf \xrightarrow {n} \zeta(2).\]\"<\/p>\n

c\/ Si \"m=q^6\" avec \"q\in \N^*\", alors \"m=\left(q^3\right)^2\in \mathcal D\" et \"m=\left(q^2\right)^3\in \mathcal T\".
\nR\u00e9ciproquement, supposons que \"m\" est \u00e0 la fois un carr\u00e9 et un cube:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\exists n,p\in\N^*,~ m=n^2=p^3.\]\"<\/p>\n

En posant \"q=\dfrac np\" (\"\in\mathbb Q\"), on a :~ \"q^6=\dfrac{\left(n^2\right)^3}{\left(p^3\right)^2}=\dfrac{m^3}{m^2}=m\".\\\\
\nDe plus, \"q^2=\dfrac{n^2}{p^2}=p\" (car \"n^2=p^3\") donc \"q^2\" est entier.\\\\
\nAvec la propri\u00e9t\u00e9 admise dans l’\u00e9nonc\u00e9, comme \"q\" n’est pas irrationnel et \"q^2\" est entier, \"q\" est entier.<\/p>\n

d\/ En distinguant chacun des quatre cas { \\og \"k\in\mathcal D\" et \"k\in \mathcal T\"\\fg{}}, {\\og \"k\in\mathcal D\" et \"k\notin \mathcal T\"\\fg{}}, { \\og \"k\notin\mathcal D\" et \"k\in \mathcal T\"\\fg{}} et {{purple}\\og \"k\notin\mathcal D\" et \"k\notin \mathcal T\"\\fg{}}, on v\u00e9rifie que :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathds1_{\mathcal D\cup \mathcal T}=\mathds 1_{\mathcal D}+\mathds1_{\mathcal T}-\mathds1_{\mathcal D\cap \mathcal T}\]\"<\/p>\n

et on obtient alors, avec la m\u00eame explication qu’en (a) :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[h_n(\mathcal D\cup \mathcal T)=\sum_{\substack{k\in\{1,\dots,n\}\\ k\in\mathcal D}} \dfrac1k+\sum_{\substack{k\in\{1,\dots,n\}\\ k\in\mathcal T}} \dfrac1k-\sum_{\substack{k\in\{1,\dots,n\}\\ k\in\mathcal D\cap T}} \dfrac1k \tendinf{n} \zeta(2)+\zeta(3)-\zeta(6).\]\"<\/p>\n

6\/ a\/ Pour tout \"t\in[n,n+1]\":<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leq \dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2t-1} \leq \dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n+1}=\dfrac2{(2n-1)(2n+1)} \leq \dfrac2{(2n-1)^2}.\]\"<\/p>\n

On obtient donc l’encadrement demand\u00e9 par croissance de l’int\u00e9grale.<\/p>\n

b\/<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\sum_{k=1}^{\left\lfloor\tfrac{n+1}2\right\rfloor} u_k&= \sum_{k=1}^{\left\lfloor\tfrac{n+1}2\right\rfloor} \int_k^{k+1} \dfrac1{2k-1}dt - \sum_{k=1}^{\left\lfloor\tfrac{n+1}2\right\rfloor} \int_k^{k+1} \dfrac1{2t-1}dt\\<\/p>\n

et donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=1}^{\left\lfloor\tfrac{n+1}2\right\rfloor} u_k<\/p>\n

En effet, \"2\left\lfloor\dfrac{n+1}2\right\rfloor-1\" est le plus grand entier impair inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\" (il vaut \"n-1\" si \"n\" est pair ; \"n\" si \"n\" est impair) :<\/p>\n

si \"n=2p\" (\"p\in\N^*\") :~ \"2\left\lfloor\dfrac{n+1}2\right\rfloor-1 = 2\left\lfloor p+\dfrac12\right\rfloor-1 = 2p-1 = n-1\" ;
\nsi \"n=2p+1\":~ \"2\left\lfloor\dfrac{n+1}2\right\rfloor-1 = 2\left\lfloor p+1\right\rfloor-1 = 2(p+1)-1 = 2p+1 = n\".<\/p>\n

c\/<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x>0,~ \ln(x) \leq x-1\]\"<\/p>\n

{(que l’on retrouve par exemple en \u00e9tudiant la fonction \\og diff\u00e9rence des deux membres \\fg{})} donne :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\in\N^*,~ \ln\Bigg(\dfrac1n\left(2\left\lfloor \dfrac{n+3}2\right\rfloor-1\right)\Bigg) \leq \dfrac2n \underbrace{\left\lfloor \dfrac{n+3}2\right\rfloor}_{\geq 1}\overbrace{-\dfrac1n-1}^{\leq 0} \leq \dfrac2n.\]\"<\/p>\n

d\/ La s\u00e9rie \"\sum_{n\geq 1} \dfrac2{(2n-1)^2}\" est convergente car son terme g\u00e9n\u00e9ral (positif) est \u00e9quivalent \u00e0 \"\dfrac1{2n^2}\" et la s\u00e9rie de Riemann \"\sum_{n\geq 1}\dfrac1{n^2}\" converge.\\\\
\nL’encadrement \u00e9tabli en (a) donne donc la convergence de la s\u00e9rie \"\sum_{n\geq 1} u_n\".\\\\<\/p>\n

Avec l’\u00e9galit\u00e9 de la question (b):<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}h_n(\mathcal I)-\ln(\sqrt n) &= \sum_{k=1}^{\left\lfloor\tfrac{n+1}2\right\rfloor}u_k + \int_1^{\left\lfloor \tfrac{n+3}2\right\rfloor} \dfrac1{2t-1}dt-\ln(\sqrt n)\\<\/p>\n

e\/ D’apr\u00e8s la majoration de \"u_n\" \u00e9tablie en question (a), il suffirait de prouver que :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\in\N^*,~ \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac2{(2k-1)^2} \leq \dfrac1{2n-1}.\]\"<\/p>\n

On peut utiliser la technique suivante assez classique.\\\\
\nLa fonction \"f:\left\{\begin{array}{rcl}[1,+\infty[&\to&\mathbb{R}\\ t&\mapsto&\dfrac2{(2t-1)^2} \end{array}\right.\" \u00e9tant d\u00e9croissante, on a :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k\in\N^*,~f(k)\leq \int_{k-1}^k f(t)dt\]\"<\/p>\n

donc en sommant ces in\u00e9galit\u00e9s pour \"k\in[n+1,+\infty[\" et avec la relation de Chasles:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac2{(2k-1)^2} \leq \int_n^{+\infty} \dfrac2{(2t-1)^2} dt = \dfrac1{2n-1}.\]\"<\/p>\n

f\/ On utilise le calcul fait en question (d):<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\delta-\big(h_n(\mathcal I)-\ln(\sqrt n)\big)&= \sum_{n=1}^{+\infty} u_n -\sum_{k=1}^{\left\lfloor\tfrac{n+1}2\right\rfloor}u_k -\dfrac12\ln\Bigg(\dfrac1n\left(2\left\lfloor \dfrac{n+3}2\right\rfloor-1\right)\Bigg)\\<\/p>\n

Cette derni\u00e8re somme \u00e9tant positive, la question (c) donne imm\u00e9diatement :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[-\dfrac1n \leq \delta-\big(h_n(\mathcal I)-\ln(\sqrt n)\big).\]\"<\/p>\n

De m\u00eame {le logarithme dans l’\u00e9galit\u00e9 ci-dessus} \u00e9tant positif, la question (e) donne:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\delta-\big(h_n(\mathcal I)-\ln(\sqrt n)\big)<\/p>\n

En utilisant l’in\u00e9galit\u00e9 \"x-1 \leq \lfloor x\rfloor\", valable pour tout \"x\in\R\", on a:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac1{2\left\lfloor\dfrac{n+1}2\right\rfloor-1} \leq \dfrac1{2\left(\dfrac{n+1}2-1\right)-1} = \dfrac1{n-2}\]\"<\/p>\n

et donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\delta-\big(h_n(\mathcal I)-\ln(\sqrt n)\big) \leq \dfrac1{n-2}.\]\"<\/p>\n

g\/ On a :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac1{n-2}>0,2 \iff n-2<5 \iff n<8.\]\"<\/p>\n

Pour eps=0.2, le programme affectera \u00e0 s successivement les valeurs de :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[h_3(\mathcal I)-\ln(\sqrt3) \quad ; \quad h_5(\mathcal I)-\ln(\sqrt5) \quad ; \quad h_7(\mathcal I)-\ln(\sqrt7).\]\"<\/p>\n

~~<\/p>\n

function s=delta(eps)
\nn = 3
\ns = 1+1\/3-log(3)\/2
\nwhile 1\/(n-2) > eps
\nn = n+2
\ns = s+1\/n+log((n-2)\/n)\/2
\nend
\nendfunction<\/p>\n

L’encadrement de la question (f) donne :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac1{n-2}\leq \varepsilon \implies -\varepsilon \leq -\dfrac1{n-2} \leq -\dfrac1n \leq \delta-\big(h_n(\mathcal I)-\ln(\sqrt n)\big) \leq\dfrac1{n-2}\leq \varepsilon\]\"<\/p>\n

Il existe donc un entier \"n\" \"(n\geq\dfrac1\varepsilon+2\") tel que \"-\varepsilon \leq \delta-\big(h_n(\mathcal I)-\ln(\sqrt n)\big)\leq \varepsilon\", ce qui assure la pr\u00e9cision souhait\u00e9e.<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Partie III : S\u00e9ries de Riemann altern\u00e9es<\/h2>\n
\n

7\/ a\/<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k\geq 2,~ x_k=s_k-s_{k-1}\quad\text{(et }x_1=s_1)\]\"<\/p>\n

on a, pour tout \"n\geq 2\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\sum_{k=1}^n \dfrac{x_k}{k^\beta} &= \dfrac{s_1}k + \sum_{k=2}^n \dfrac{s_k-s_{k-1}}{k^\beta}=\dfrac{s_1}k + \sum_{k=2}^n \dfrac{s_k}{k^\beta}-\sum_{k=2}^n \dfrac{s_{k-1}}{k^\beta}\\<\/p>\n

Prouvons la convergence (pour \"n\to+\infty\") de chacun des deux termes ci-dessus :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{s_n}{n^\beta} \quad\text{ et }\quad \sum_{k=1}^{n-1} s_k\left(\dfrac1{k^\beta}-\dfrac1{(k+1)^\beta}\right).\]\"<\/p>\n

Avec la majoration de \"|s_n|\" suppos\u00e9e dans l’\u00e9nonc\u00e9, on a:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\in\N^*,~ 0 \leq \left|\dfrac{s_n}{n^\beta}\right| \leq \underbrace{M n^{\alpha-\beta}}_{\substack{\tendinf \xrightarrow n 0\\\text{ car }\alpha-\beta<0}}\]\"<\/p>\n

donc par le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{s_n}{n^\beta}\tendinf \xrightarrow n0.\]\"<\/p>\n

La question est donc de prouver la convergence de la s\u00e9rie : <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{n\geq 1} s_n\left(\dfrac1{n^\beta}-\dfrac1{(n+1)^\beta}\right).\]\"<\/p>\n

On va en montrer la convergence absolue (qui implique la convergence).\\\\
\nAvec l’hypoth\u00e8se de l’\u00e9nonc\u00e9 sur \"s\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\in\N^*,~ |s_n|\overbrace{\left(\dfrac1{n^\beta}-\dfrac1{(n+1)^\beta}\right)}^{(\geq 0)} \leq M~n^\alpha\left(\dfrac1{n^\beta}-\dfrac1{(n+1)^\beta}\right).\]\"<\/p>\n

D\u00e9terminons un \u00e9quivalent de ce majorant :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}n^\alpha\left(\dfrac1{n^\beta}-\dfrac1{(n+1)^\beta}\right) &= n^\alpha \dfrac{(n+1)^\beta-n^\beta}{\big(n(n+1)\big)^\beta} = n^{\alpha+\beta} \dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^\beta-1}{\big(n(n+1)\big)^\beta}\\<\/p>\n

La s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique \"\sum_{n \geq 1} \dfrac1{n^{1+\beta-\alpha}}\" est convergente car \"1+\beta-\alpha>1\" (\"\beta>\alpha\"), donc par crit\u00e8res de comparaisons des s\u00e9ries \u00e0 terme g\u00e9n\u00e9ral positif, on obtient la convergence annonc\u00e9e.<\/p>\n

Conclusion : la s\u00e9rie \"\sum_{n\geq1} \dfrac{x_n}{n^\beta}\" est convergente {(mais peut-\u00eatre pas absolument!)}.<\/p>\n

b\/ En prenant \"(x_n)=\big((-1)^n\big)\", on a:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\in\N^*,~ s_n=\sum_{k=1}^n x_k = -1+1-1+1-\dots(-1)^n= \left\{\begin{array}{c} 0\\\text{ou}\\-1\end{array}\right.\]\"<\/p>\n

et en prenant \"M=1\" et \"\alpha\" un r\u00e9el v\u00e9rifiant \"0<\alpha<x\" (par exemple \"\alpha=\dfrac x2\"):<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall \in\N^*,~ |s_n| = \left\{\begin{array}{c} 0\\\text{ou}\\1\end{array}\right\} \leq \underbrace{M~n^\alpha}_{\substack{=1 \text{ pour }n=1\\ \geq 1 \text{ pour tout }n}}.\]\"<\/p>\n

On choisit bien s\u00fbr \"\beta=x\" (\">\alpha\"), et la question pr\u00e9c\u00e9dente nous donne la convergence de la s\u00e9rie \"\sum_{n\geq 1}\dfrac{(-1)^n}{n^x}\" pour tout \"x>0\".<\/p>\n

8\/ a\/ D\u00e9terminons d’abord la loi de \"S_n\" :<\/p>\n

Comme \"S_n\" est somme de \"n\" nombres valant chacun 1 ou \"-1\":<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[S_n(\Omega) \subset \llbracket-n,n\rrbracket.\]\"<\/p>\n

{(Mais il ne s’agit pas d’une \u00e9galit\u00e9 ; en effet \"S_n\" ne prend parmi les valeurs de cet intervalle que celles de m\u00eame parit\u00e9 que \"n\".)}
\nPour tout \"k\", la variable al\u00e9atoire \"Y_k=\dfrac{X_k+1}2\" suit la loi \"\mathcal B\left(\dfrac12\right)\".\\\\
\nLes variables al\u00e9atoires \"Y_k\" (\"k\in\N^*\") \u00e9tant ind\u00e9pendantes, la stabilit\u00e9 additive de la loi binomiale donne :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=1}^n Y_k =\dfrac12 S_n+\dfrac n2\hookrightarrow \mathcal B\left(n,\dfrac12\right)\]\"<\/p>\n

c’est-\u00e0-dire :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall j\in\llbracket 0,n\rrbracket,~ \P(S_n=2j-n)=\binom nj \dfrac1{2^n}.\]\"<\/p>\n

Appliquons le th\u00e9or\u00e8me de transfert :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\E\left(\e^{tS_n}\right) &= \sum_{j=0}^n \e^{t(2j-n)} \binom nj \dfrac1{2^n} = \e^{-tn}\dfrac1{2^n} \sum_{j=0}^n \left(\e^{2t}\right)^j \binom nj\\<\/p>\n

b\/ Soit \"t\in\R\". Travaillons avec les sommes partielles des s\u00e9ries exponentielles intervenant ici ; pour \"n\in\N\":<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac12\left(\sum_{k=0}^n \dfrac{t^k}{k!}+\sum_{k=0}^n \dfrac{(-t)^k}{k!}\right)<\/p>\n

Or:~ \"\forall \ell\in\N,~ (2\ell)! \geq 2^\ell~ \ell!\" ; en effet, il y a \u00e9galit\u00e9 pour \"\ell=0\", et pour \"\ell\geq 1\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[(2\ell)! = \ell!~\overbrace{\underbrace{(\ell+1)}_{\geq2}\dots\underbrace{(\ell+\ell)}_{\geq2}}^{\ell \text{ facteurs}}.\]\"<\/p>\n

On a donc l’in\u00e9galit\u00e9 :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac12\left(\sum_{k=0}^n \dfrac{t^k}{k!}+\sum_{k=0}^n \dfrac{(-t)^k}{k!}\right) \leq \sum_{\ell=0}^{\left\lfloor \tfrac n2\right\rfloor} \dfrac{\left(t^2\right)^\ell}{2^\ell~ \ell!} = \sum_{\ell=0}^{\left\lfloor \tfrac n2\right\rfloor} \dfrac{\left(\dfrac{t^2}2\right)^\ell}{\ell!}.\]\"<\/p>\n

Par passage \u00e0 la limite quand \"n\to+\infty\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall t\in\R,~ \dfrac{\e^t+\e^{-t}}2 \leq \e^{\tfrac{t^2}2}.\]\"<\/p>\n

c\/ Appliquons l’in\u00e9galit\u00e9 de Markov \u00e0 la variable al\u00e9atoire positive \"\e^{tS_n}\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\overbrace{\P(S_n>s) = \P\left(\e^{tS_n} > \e^{ts}\right) }^{\text{croissance de }\exp ~;~ t>0}\leq \underbrace{\dfrac{\E\left(\e^{tS_n}\right)}{\e^{ts}} \leq \dfrac{\left(\e^{\tfrac{t^2}2}\right)^n}{\e^{ts}}}_{\text{avec les questions (a) et (b)}}=\exp\left(\dfrac{nt^2}2-ts\right).\]\"<\/p>\n

d\/ L’in\u00e9galit\u00e9 prouv\u00e9e en question pr\u00e9c\u00e9dente est vraie pour tout \"t>0\" mais le membre de gauche ne d\u00e9pend pas de \"t\". Or le membre de droite est minimal pour \"{t=\dfrac sn}\" (il suffit de faire le tableau de variations de \"t\mapsto \dfrac {nt^2}2-ts\"). Donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\P(S_n>s) \leq \exp\left(\dfrac{n{{\left(\dfrac sn\right)}}^2}2-{\left(\dfrac sn\right)}s\right) = \exp\left(-\dfrac{s^2}{2n}\right).\]\"<\/p>\n

Par ailleurs :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\P(|S_n| > s)=\P(S_n>s)+\P(S_n<-s)\]\"<\/p>\n

et on v\u00e9rifie que les deux probabilit\u00e9s \"\P(S_n>s)\" et \"\P(S_n<-s)\" sont \u00e9gales en utilisant la loi de \"S_n\" d\u00e9termin\u00e9e en (a) :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}\forall j\in\llbracket0,n\rrbracket,~ \P(S_n=n-2j) &= \P(S_n=2{ (n-j)}-j)=\binom n{{ n-j}}\dfrac1{2^n}\\&= \binom nj\dfrac1{2^n}=\P(S_n=2j-n)\end{align*}\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{et donc :}\qquad \forall i\in S_n(\Omega),~ \P(S_n=i)=\P(S_n=-i).\]\"<\/p>\n

On conclut :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\P(|S_n| > s) \leq 2\exp\left(-\dfrac{s^2}{2n}\right).\]\"<\/p>\n

9\/ a\/ La stabilit\u00e9 d’une tribu par unions et intersections d\u00e9nombrables justifie l’appartenance de \"\mathcal C_\alpha\" \u00e0 \"\mathcal A\".
\nb\/ Supposons \"\alpha>\dfrac12\". D’apr\u00e8s 8.(d):<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\geq 1,~ \P(|S_n| > n^\alpha) \leq 2\exp\left(-\dfrac12n^{2\alpha-1}\right)=2\left(\dfrac1{\sqrt\e}\right)^{\displaystyle n^{2\alpha-1}}=2~q^{\displaystyle n^{\beta}}\]\"<\/p>\n

avec \"q=\dfrac1{\sqrt \e}>0\" et \"\beta=2\alpha-1>0\".
\nPar croissances compar\u00e9es :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{q^{\displaystyle n^{\beta}}}{n^2} = \left(\dfrac{q^n}{n^{\tfrac 2\beta}}\right)^\beta \tendinf \xrightarrow n 0.\]\"<\/p>\n

Par comparaison avec la s\u00e9rie de Riemann convergente \"\sum_{n\geq1} \dfrac1{n^2}\", la s\u00e9rie \u00e0 terme g\u00e9n\u00e9ral positif \"\sum_{n\geq 1}q^{\displaystyle n^{\beta}}\" est convergente et, avec l’in\u00e9galit\u00e9 ci-dessus, il en est donc de m\u00eame de la s\u00e9rie \u00e0 terme g\u00e9n\u00e9ral positif \"\sum_{n\geq 1} \P(|S_n| > n^\alpha)\".<\/p>\n

c\/ La suite d’\u00e9v\u00e9nements \"\left(\mathop{\bigcup}\limits_{k=n}^{+\infty} \big(|S_k|>k^\alpha\big)\right)_{n\geq 1}\" est d\u00e9croissante :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\geq1,~ \mathop{\bigcup}\limits_{k=n+1}^{+\infty} \big(|S_k|>k^\alpha\big) \subset \mathop{\bigcup}\limits_{k=n}^{+\infty} \big(|S_k|>k^\alpha\big).\]\"<\/p>\n

Le th\u00e9or\u00e8me de la limite monotone donne donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\P(C_\alpha)=\lim_{n\to+\infty} \P\left(\mathop{\bigcup}\limits_{k=n}^{+\infty} \big(|S_k|>k^\alpha\big)\right).\]\"<\/p>\n

De plus :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leq \P\left(\mathop{\bigcup}\limits_{k=n}^{+\infty} \big(|S_k|>k^\alpha\big)\right) \leq \underbrace{\sum_{k\geq n}\P\Big(\big(|S_k|>k^\alpha\big)\Big)}_{\substack{\tendinf \xrightarrow n0\\ \text{(reste d'une série convergente)}}}\]\"<\/p>\n

et on conclut avec le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement que \"C_\alpha\" est de probabilit\u00e9 nulle.<\/p>\n

10\/ a\/ Soit \"\alpha\in[0,1[\".\\\\
\nOn remarque que : <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\omega\in\mathcal C_\alpha \iff \forall n\in\N,~ \exists k\geq n,~ |S_k(\omega)| > k^\alpha.\]\"<\/p>\n

Soit \"\omega\in \overline{\mathcal C_\alpha}\". \u00c9crivons la n\u00e9gation de l’assertion pr\u00e9c\u00e9dente :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\exists N\in\N,~ \forall n\geq N,~ |S_n(\omega)| \leq n^\alpha.\]\"<\/p>\n

En posant, pour tout \"n\in\N^*\":<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[x_n=X_n(\omega) \quad ; \quad s_n=S_n(\omega) \quad ; \quad M=1 \quad ; \quad \beta=1~ (\text{donc }\beta>\alpha)\]\"<\/p>\n

les hypoth\u00e8ses de la question 7. sont v\u00e9rifi\u00e9es.\\\\<\/p>\n

On en d\u00e9duit avec 7.(a)ii. la convergence de la s\u00e9rie \"\sum_{n\geq 1} \dfrac{x_n}{n^\beta} =\sum_{n\geq 1}\dfrac{X_n(\omega)}n\".\\\\ Autrement dit :~ \"\omega\in\mathcal C\".<\/p>\n

b\/ Soit \"\alpha\in\left]\dfrac12,1\right[\" (par exemple \"\alpha=\dfrac34\").\\\\
\nD’apr\u00e8s la question 9., \"\P(C_\alpha)=0\" donc \"\P\left(\overline{C_\alpha}\right)=1\".\\\\
\nDonc avec l’inclusion prouv\u00e9e en question 10.(a) et par croissance de \"\P\":~ \"\P(\mathcal C)=1\".<\/p>\n

c\/ Si \"\omega\in\mathcal C\", par d\u00e9finition de \"K\", on a \"K(\omega)-K_n(\omega)\tendinf \xrightarrow n 0\" c’est-\u00e0-dire:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\exists N \in \N^*,~ \forall n\geq N,~ |K(\omega)-K_n(\omega)| \leq \varepsilon.\]\"<\/p>\n

Or par d\u00e9finition de \"E(\varepsilon)\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\omega\in E(\varepsilon) \iff \forall N \in \N^*,~ \exists n\geq N,~ |K(\omega)-K_n(\omega)| > \varepsilon\]\"<\/p>\n

ce qui est exactement la n\u00e9gation de l’assertion pr\u00e9c\u00e9dente.\\\\
\nPar cons\u00e9quent :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\omega\in E(\varepsilon) \implies \omega\notin \mathcal C, \quad \text{c'est-à-dire :}\quad E(\varepsilon) \subset \overline{\mathcal C}\]\"<\/p>\n

et on en d\u00e9duit :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\P\big(E(\varepsilon)\big) \leq \P\left(\overline{\mathcal C}\right)=1-\P(\mathcal C)=0 \quad\text{et donc}\quad \P\big(E(\varepsilon)\big)=0.\]\"<\/p>\n

Comme pour la question 9.(c), le th\u00e9or\u00e8me de la limite monotone donne :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim_{N\to+\infty} \P\left(\mathop{\bigcup}\limits_{n=N}^{+\infty} \big(|K-K_n|>\varepsilon\big)\right)=\P\big(E(\varepsilon)\big)=0.\]\"<\/p>\n

En \u00e9crivant, pour tout \"N\in\N^*\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leq \P\big(|K-K_N|>\varepsilon\big) \leq \P\left(\mathop{\bigcup}\limits_{n=N}^{+\infty} \big(|K-K_n|>\varepsilon\big)\right)\]\"<\/p>\n

le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement donne :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall \varepsilon>0,~\P\big(|K-K_N|>\varepsilon\big) \tendinf \xrightarrow N 0\]\"<\/p>\n

ce qui signifie que la suite de variable al\u00e9atoire \"(K_n)\" converge en probabilit\u00e9 vers \"K\".<\/p>\n

11\/ a\/ Pour tout \"k\in\N^*\", la variable \"B_k\" est d’esp\u00e9rance \"\dfrac12\" et de variance \"\dfrac14\".\\\\
\nPar lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance et propri\u00e9t\u00e9 de la variance (utilisant l’ind\u00e9pendance des variables \"B_k\" (\"k\in\{1,\dots,n\}\")):<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\E(H_n)=\sum_{k=1}^n\dfrac1{2k} \tendinf \xrightarrow n +\infty \quad ; \quad \V(H_n)=\sum_{k=1}^n \dfrac1{4k^2} \tendinf \xrightarrow n \dfrac{\zeta(2)}4=\dfrac{\pi^2}{24}.\]\"<\/p>\n

b\/ Soit \"r>0\". Comme \"\E(H_n)\tendinf \xrightarrow n +\infty\" :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\exists N\in\N^*,~ \forall n\geq N,~ \E(H_n)-r>0\]\"<\/p>\n

On peut alors utiliser l’in\u00e9galit\u00e9 de Bienaym\u00e9-Tch\u00e9bychev :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\P\big(|H_n-\E(H_n)| \geq \varepsilon\big) \leq \dfrac{\V(H_n)}{\varepsilon^2} \quad\text{avec } \varepsilon=E(H_n)-r\]\"<\/p>\n

ce qui donne :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}0 \leq \P(H_n \leq r) &= \P\big(\E(H_n)-H_n\geq \E(H_n)-r\big)\\<\/p>\n

Avec les deux limites trouv\u00e9es en (a) :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dfrac{\V(H_n)}{\big(\E(H_n)-r\big)^2} \tendinf \xrightarrow n 0 \qquad (\text{\og $\dfrac\ell{+\infty}$\fg{} avec $\ell\in\mathbb{R}^*$})\]\"<\/p>\n

On conclut avec le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement que :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall r>0,~ \P(H_n\leq r) \tendinf \xrightarrow n 0.\]\"<\/p>\n

c\/ On peut proposer le programme suivant :<\/p>\n

function y=simul (n,p)
\ny=zeros (p,1)
\nfor i=1 : p
\nfor k=1 : n
\ny (i,1) = y(i,1)+ (grand (i,1,’bin’,1,0.5) + ((-1)^k-1)\/2) \/k
\nend
\nend
\nendfunction<\/p>\n

12\/ Pour tout \"n\in\N^*\", :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\hspace{-1cm}\sum_{k=1}^n \dfrac{B_k^\prime}k-h_n(\mathcal I) = \sum_{k=1}^n \dfrac{1+X_k}{2k}+\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k-1}{2k} = \dfrac12 \sum_{k=1}^n \dfrac{X_k}k + \sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k}{2k} = \dfrac{K_n}2 + \sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^k}{2k}.\]\"<\/p>\n

Les variables al\u00e9atoires \"B_n^\prime\" (\"n\in\N^*\") suivent la loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"\dfrac12\" {(astuce utilis\u00e9e en question 8.(a))}, c’est-\u00e0-dire la m\u00eame loi que \"B_n\", et sont ind\u00e9pendantes (car les \"X_n\" le sont).\\\\
\nLes lois des variables \"\sum_{k=1}^n \dfrac{B_k^\prime}k-h_n(\mathcal I)\" et \"H_n-h_n(\mathcal I)\" sont donc les m\u00eames.
\nLa convergence en loi de \"(K_n)\" vers \"K\" et le th\u00e9or\u00e8me de Slutsky donnent donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[H_n-h_n(\mathcal I) \xrightarrow[]{~~\mathcal L~~} \dfrac K2+\dfrac12\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}n\]\"<\/p>\n

Cette somme vaut \"-\ln2\" ; en effet : pour tout r\u00e9el \"x<1\", la s\u00e9rie \"\sum \dfrac{x^n}n\" converge de somme \"-\ln(1-x)\".\\\\
\nOn a donc :<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[H_n-h_n(\mathcal I) \xrightarrow[]{~~\mathcal L~~} \lambda K+\mu \qquad \text{avec }\lambda=\dfrac12, \mu=-\dfrac{\ln 2}2.\]\"<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/section>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Corrig\u00e9 du sujet HEC-ESCP Maths 2 ECS 2018 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Partie I : S\u00e9ries t\u00e9l\u00e9scopiques 1\/ a\/ La s\u00e9rie est convergente car son terme g\u00e9n\u00e9ral est positif et \u00e9quivalent au terme g\u00e9n\u00e9ral d’une s\u00e9rie de Riemann convergente\u00a0 En \u00e9crivant, pour tout : On obtient une somme t\u00e9lescopique : 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