{"id":30163,"date":"2019-07-04T10:33:42","date_gmt":"2019-07-04T09:33:42","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30163"},"modified":"2023-09-15T22:07:12","modified_gmt":"2023-09-15T21:07:12","slug":"cours-en-ligne-algebre-lineaire-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-algebre-lineaire-ecs2\/","title":{"rendered":"Compl\u00e9ments d’alg\u00e8bre lin\u00e9aire en ECS2"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Espaces vectoriels, matrices en ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Ce cours en ligne sur les espaces vectoriels est une ressource qui vous accompagnera tout au long de votre parcours en ECS2. Il est important de bien assimiler les notions de mani\u00e8re compl\u00e8te. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 solliciter l’aide d’un professeur particulier en maths<\/a> si vous \u00e9prouvez le moindre besoin.<\/p>\n

Matrices inversibles, Matrices de passage, Matrices semblables<\/h2>\n

1. Matrice d’un endomorphisme<\/h3>\n

M\u00e9thode 1 :\u00a0<\/b>Comment \u00e9crire la matrice dans la base\u00a0\"\mathcal{B}\" de \"f\"?<\/b><\/p>\n

La matrice dans \"\mathcal{B}\" de \"f\" a \"n\" lignes et \"n\" colonnes. Pour \"1\leq j \leq n\", la \"j^{\textrm{ème}}\" colonne de cette matrice est la matrice (colonne) de \"f(e_{j})\" dans \"\mathcal{B}\".<\/p>\n

Exemple<\/b>\u00a0:\u00a0Si \"f(e_{1})=2e_{1}+e_{2}\", \"f(e_{2})=-e_{1}+3e_{2}\", \u00e9crire \"M\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"M=\begin{pmatrix} 2& -1\\ 1& 3 \end{pmatrix}\"<\/p>\n

M\u00e9thode 2 :<\/b>\u00a0\u00a0Comment savoir si une matrice \"A\" \u00e0 \"n\" lignes et \"n\" colonnes est la matrice d’un endomorphisme de \"E\"? lequel?<\/b><\/p>\n

\"A\" est la matrice de l’endomorphisme<\/a> \"\varphi\" d\u00e9fini par: \"\varphi\" est lin\u00e9aire et pour \"1\leq j \leq n\" la matrice de \"\varphi(e_{j})\" dans \"\mathcal{B}\" est la \"j^{\textrm{ème}}\"colonne de \"A\"<\/p>\n

M\u00e9thode 3 :\u00a0<\/b>Comment calculer \"f(x)\" \u00e0 l’aide des matrices ?<\/b>
\nSi \"X\" est la matrice (colonne) dans \"\mathcal{B}\" de \"x\", la matrice dans \"\mathcal{B}\" de \"f(x)\" est \"MX\".
\nSi \"L_{i}=(m_{i_{1}} \dots m_{i_{n}})\" est la \"i^{\textrm{ème}}\" ligne de \"M\", et si \"X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}\", la \"i^{\textrm{ème}}\"\u00a0coordonn\u00e9e de \"f(x)\" est \"L_{i}X\", et \"L_{i}X=\displaystyle{\sum_{j=1}^{n} m_{ij}x_{j}}\"<\/p>\n

M\u00e9thode 4 :\u00a0Si \"f\" et \"g\" sont deux endomorphismes de \"E\", comment calculer la matrice de \"f\circ g\"?<\/b><\/p>\n

On effectue le produit des matrices de \"f\" et \"g\" dans la base \"\mathcal{B}\" (en respectant l’ordre): si \"A=Mat_{\mathcal{B}}(f)\", \"B=Mat_{\mathcal{B}}(g)\" et
\n\"C=Mat_{\mathcal{B}}(f\circ g)\", alors
\n\"C=AB\". Pour \"1\leq i,j \leq n\", \"\displaystyle{c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}}\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2. Isomorphismes et matrices inversibles<\/h3>\n

M\u00e9thode 5 :\u00a0\u00a0Comment voir sur \"M\" si \"f\" est un isomorphisme (c’est-\u00e0-dire si \"f\" est bijective) ou non?<\/b><\/p>\n

\"f\" est bijective si et seulement si \"M\" est inversible.
\nSi \"M\" appartient \u00e0 \"\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\", \"M=\begin{pmatrix} a& c\\ b& d\end{pmatrix}\", \"M\" est inversible si et seulement \"ad-bc\neq 0\" (\"ad-bc\" est le d\u00e9terminant de \"M\").<\/p>\n

Si \"M\" est triangulaire, \"f\" est bijective si et seulement si les coefficients diagonaux de \"M\" sont tous non nuls.<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral:
\n– si les colonnes de \"M\" forment une famille libre, alors la famille \"(f(e_{1}), \dots, f(e_{n}))\" est libre, donc c’est une base de \"E\", donc \"f\" est bijective; si les
\ncolonnes de \"M\" sont li\u00e9es, \"f\" n’est pas bijective.
\n– si l’\u00e9quation \"MX=0\" (qui \u00e9quivaut \u00e0 \"f(x)=0\"), d’inconnue \"X=\begin{pmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}\", a pour unique solution \"X=0\", alors \"Ker(f)=\{0\}\",
\ndonc \"f\" est injective, et comme \"E\" est de dimension finie, \"f\" est bijective; si cette \u00e9quation admet d’autres solutions, \"f\" n’est pas injective, donc pas bijective.<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b>\"A=\begin{pmatrix} 1& 3& 7 \\ 2& 6& 5 \\ -1& -3& 4 \end{pmatrix}\" et \"B=\begin{pmatrix} 0& 1& 1 \\ 1& 2& 1 \\ 3& 0& 2 \end{pmatrix}\".<\/p>\n

Dire si \"f\" est un isomorphisme quand sa matrice dans la base \"\mathcal{B}\" est \"A\" ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Les deux premi\u00e8res colonnes de \"A\" sont proportionnelles, donc \"A\" n’est pas inversible, donc si la matrice de \"f\" est \"A\", \"f\" n’est pas un isomorphisme<\/p>\n

M\u00e9thode 6 :\u00a0\u00a0Comment savoir si \"f\" est bijective et si elle l’est trouver la matrice de \"f^{-1}\"?<\/b><\/p>\n

Si \"f\" est bijective, la matrice de \"f^{-1}\" est \"M^{-1}\".<\/div>\n
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Si \"M=\begin{pmatrix} a& c\\ b& d \end{pmatrix}\" o\u00f9 \"ad-bc\neq 0\", alors \"M^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d& -c\\ -b&a\end{pmatrix}\".<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral, pour trouver \"M^{-1}\",on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"MX=Y\" o\u00f9 \"Y=\begin{pmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}\" est donn\u00e9e et
\n\"X=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}\" est l’inconnue (cette \u00e9quation est \u00e9quivalente \u00e0 \"f(x)=y\", o\u00f9 \"x\" et \"y\" ont pour matrices \"X\" et \"Y\" dans \"\mathcal{B}\"). C’est une \u00e9quation matricielle, qui se pr\u00e9sente comme un syst\u00e8me o\u00f9 les inconnues sont \"x_{1}\", \"x_{2}, \dots , x_{n}\", et on peut r\u00e9soudre ce syst\u00e8me par la m\u00e9thode que l’on veut (la m\u00e9thode de Gauss en est un exemple).<\/p>\n<\/div>\n

Si cette \u00e9quation admet toujours (quelque soit \"Y\")une unique solution \"X\", on peut l’\u00e9crire \"X=CY\" o\u00f9 \"C\" est une matrice \u00e0 \"n\" lignes et \"n\" colonnes (ce qui \u00e9quivaut \u00e0 \"x=g(y)\", \"g\" \u00e9tant est l’endomorphisme dont la matrice dans \"\mathcal{B}\" est \"C\").<\/div>\n
Donc \"f\" est bijective (et \"f^{-1}=g\"), donc \"Mat_{\mathcal{B}}(f^{-1})=C\" et \"C=M^{-1}\".<\/div>\n

M\u00e9thode 7 :\u00a0\u00a0Comment montrer que \"f\" est bijective et trouver \"f^{-1}\" en utilisant un polyn\u00f4me annulateur?<\/b><\/p>\n

Si \"a_{0}id+a_{1}f+\dots+a_{p}f^{p}=0\" (ou si \"a_{0}I_{n}+\dots+a_{p}M^{p}=0\") et si \"a_{0} \neq 0\", alors \"f\" (ou \"M\") est inversible et \"f^{-1}=\displaystyle{-\frac{1}{a_{0}} (ou \"M^{-1}=\displaystyle{-\frac{1}{a_{0}}(a_{1}I_{n}+\dots+a_{p}M^{p-1})}\"<\/div>\n

Exemple :\u00a0<\/b>\u00a0\"M^{3}-2M^{2}+4M+5I=0\". \"M\" est-elle inversible? Si oui, exprimer \"M^{-1}\" \u00e0 l’aide de \"M\". \"M\" est-elle inversible?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"-5I= M(M^{2}-2M+4I)=(M^{2}-2M+4I)M\", donc \"M\" est inversible et \"M^{-1}={-\frac{1}{5}(M^{2}-2M+4I)}\".<\/p>\n

3. Matrices de passage<\/h3>\n

M\u00e9thode 8 :<\/b>\u00a0Comment \u00e9crire la matrice de passage \"P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\" de la base \"\mathcal{B}\" \u00e0 une autre base \"\mathcal{B}'\" de \"E\"? et la matrice de passage de \"\mathcal {B}'\" \u00e0 \"\mathcal{B}\"?\u00a0<\/b><\/p>\n

Si \"\mathcal{B}'=(e'_{1},\dots,e'_{n})\", pour \"1\leq j \leq n\", la \"j^{\textrm{ème}}\" colonne de \"P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\" est la matrice dans \"\mathcal{B}\" du vecteur
\n\"e'_{j}\".
\nLa matrice \"P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\" est inversible et son inverse est \"P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}\".<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>: Ecrire la matrice de passage de \"\mathcal{B}\" \u00e0 \"\mathcal{B'}\" quand \"\mathcal{B}=(e_{1},e_{2})\" et \"\mathcal{B}'=(2e_{1}+3e_{2}, -e_{1}+e_{2})\". La matrice de passage est ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"P_{\mathcal{B},\mathcal{B'}}=\begin{pmatrix} 2& -1\\3& 1\end{pmatrix}\"<\/p>\n

M\u00e9thode 9 :<\/b>\u00a0Comment calculer la matrice d’un vecteur ou d’un endomorphisme dans une nouvelle base \"\mathcal{B}'\"?<\/b><\/p>\n

Si \"x\" appartient \u00e0 \"E\", \"Mat_{\mathcal{B}'}(x)=P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}Mat_{\mathcal{B}}(x)\", et si \"f\" appartient \u00e0 \"\mathcal{L}(E)\", \"Mat_{\mathcal{B}'}(f)=. En notant \"P\" la matrice de passage de \"\mathcal{B}\" \u00e0 \"\mathcal{B}'\", on obtient \"Mat_{\mathcal{B}'}(f)=P^{-1}MP\".<\/p>\n

M\u00e9thode 10 :\u00a0\u00a0Comment savoir si une matrice est une matrice de passage?<\/b>
\nUne matrice \"A\" est une matrice de passage si et seulement si elle est carr\u00e9e et inversible.\u00a0Si c’est le cas, les colonnes \"A_{1},\dots,A_{n}\" de \"A\" sont les matrices dans \"\mathcal{B}\" de vecteurs \"a_{1},\dots,a_{n}\" de \"E\".<\/p>\n

La famille \"\mathcal{B}'= (a_{1},\dots,a_{n})\" est une base de \"E\" et \"A=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0La matrice \"A=\begin{pmatrix} 1& 2 \\ 4& 9 \end{pmatrix}\" est-elle une matrice de passage? Entre quelles bases?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"\det(A)=1\", donc \"A\" est inversible, donc \"A\" est la matrice de passage d’une base \"(e_{1},e_{2})\" \u00e0 la base \"(e_{1}+4e_{2}, 2e_{1}+9e_{2})\".<\/p>\n

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AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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4. Matrices semblables et trace :<\/h3>\n

M\u00e9thode 11\u00a0<\/b>:\u00a0Quand peut-on dire que les matrices \"M\" et \"M'\" sont semblables?<\/b><\/p>\n

\"M'\" est semblable \u00e0 \"M\" (ou \"M\" et \"M'\" sont semblables) si \"M'\" est la matrice de \"f\" dans une base \"\mathcal{B}'\" de \"E\", c’est-\u00e0-dire s’il existe une matrice \"P\" de \"GL_{n}(\mathbb{K})\" telle que
\n\"M'=P^{-1}MP\". Alors \"P=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Montrer que \"M=\begin{pmatrix} 1& 1\\ 1& 1 \end{pmatrix}\" et \"M'=\begin{pmatrix} 2& 0\\ 0& 0 \end{pmatrix}\" sont semblables.<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"M\" est la matrice de \"f\" dans la base \"(e_{1},e_{2})\", donc \"f(e_{1})=f(e_{2})=e_{1}+e_{2}\", donc \"f(e_{1}+e_{2})=2(e_{1}+e_{2})\" et \"f(e_{1}-e_{2})=0\".
\nLa matrice de \"f\" dans la base \"(e_{1}+e_{2},e_{1}-e_{2})\" est \"M'\", donc \"M\" et \"M'\" sont semblables.<\/p>\n

M\u00e9thode 12 :\u00a0\u00a0\u00a0Comment calculer des traces?<\/b><\/p>\n

La trace d’une matrice carr\u00e9e est la somme de ses coefficients diagonaux.
\nUne matrice carr\u00e9e et sa transpos\u00e9e ont m\u00eame trace.
\nSi \"A, B\" appartiennent \u00e0 \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\" et si \"\lambda\" appartient \u00e0 \"\mathbb{K}\", \"Tr(A+\lambda B)=Tr(A)+\lambda Tr(B)\", et \"Tr(AB)=Tr(BA)\".
\nDeux matrices semblables ont m\u00eame trace.<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b>(i) \"A=\begin{pmatrix} 2& 5& 0 \\ 3& -1& 8 \\ 4& 6& 5 \end{pmatrix}\".<\/p>\n

Calculer la trace de \"2I+4A\".<\/p>\n

(ii) \"B\" et \"C\" sont deux matrices \u00e0 \"2\" lignes et \"2\" colonnes inversibles.<\/p>\n

Calculer la trace de \"C^{-1}BAB^{-1}C\" .<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

(i) \"\textrm{Tr}(A)\" = \"2-1+5\" = \"6\" et<\/p>\n

\"\textrm{Tr}(2I+4A)\"<\/p>\n

= \"2\textrm{Tr}(I)+4\textrm{Tr}(A)\"<\/p>\n

= \"2 \times 2+4 \times 6\"<\/p>\n

= \"30\".<\/p>\n

\n

(ii) \"C^{-1}BAB^{-1}C=(B^{-1}C)^{-1}A(B^{-1}C)\" donc<\/p>\n<\/div>\n

\"\textrm{Tr}(C^{-1}BAB^{-1}C)=\textrm{Tr}(A)=6\"<\/div>\n


\nM\u00e9thode 13 :\u00a0\u00a0\u00a0Comment savoir si \"M\" et \"M'\" sont semblables?<\/b><\/p>\n

Si \"M\" et \"M'\" sont semblables, elles ont m\u00eame rang (celui de \"f\"), elles sont toutes les deux inversibles (si \"f\" est bijective) ou toutes les deux non inversibles (si
\n\"f\" n’est pas bijective),
\nelles ont m\u00eame trace.\\par Si l’une de ces propri\u00e9t\u00e9s n’est pas v\u00e9rifi\u00e9e, \"M\" et \"M'\" ne sont pas semblables. \\par Si elles sont toutes v\u00e9rifi\u00e9es, on peut revenir \u00e0 la d\u00e9finition et chercher une base \"\mathcal{B}'\" telle que \"M'\" soit la matrice de \"f\" dans \"\mathcal{B}'\", ou chercher une matrice carr\u00e9e P inversible telle que \"PM=M'P\".<\/p>\n

M\u00e9thode 14 :\u00a0Comment exploiter le fait que \"M\" et \"(M)'\" sont semblables?<\/b><\/p>\n

Certains calculs<\/a> se font plus simplement en utilisant \"M'\".<\/p>\n

Par exemple si \"M\" et \"M'\" sont semblables, pour tout entier naturel \"n\", \"M^{n}\" et \"(M')^{n}\" sont\u00a0 semblables (ce sont deux matrices de \"f^{n}\"): si \"M=PM'P^{-1}\", \"M^{n}=P(M')^{n}P^{-1}\".<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>:\u00a0On sait que \"A=P\begin{pmatrix} 2& 0& 0\\ 0& 5& 0 \\ 0& 0& 3\end{pmatrix}P^{-1}\". Calculer \"A^{n}\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"A^{n}=P\begin{pmatrix} 2^{n}&0& 0\\ 0& 5^{n}& 0\\ 0& 0& 3^{n}\end{pmatrix}P^{-1}\".<\/p>\n

5. Sous-espaces stables :<\/h3>\n

M\u00e9thode 15 :\u00a0\u00a0\u00a0Si \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\", comment savoir s’il est stable par \"f\"?<\/b><\/p>\n

On prend un vecteur \"x\" quelconque de \"F\". Si \"f(x)\" appartient toujours \u00e0 \"F\", alors \"F\" est stable par \"f\".
\nSi on connait une famille g\u00e9n\u00e9ratrice \"(x_{1},\dots ,x_{k})\" de \"F\", il suffit de montrer que \"f(x_{1}), \dots ,f(x_{k})\" appartiennent \u00e0 \"F\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"p\" est un projecteur, \"u\" appartient \u00e0 \"\textrm{Ker}(p)\" et \"v\" appartient \u00e0 \"\textrm{Im}(p)\". \"\textrm{Vect}(u,v)\" est-il stable par \"p\"?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Oui: \"p(u)=0\" et \"p(v)=v\", donc \"p(u)\" et \"p(v)\" appartiennent \u00e0 \"\textrm{Vect}(u,v)\".<\/p>\n

M\u00e9thode 16 :\u00a0Comment voir sur \"M\" un sous-espace stable par \"f\"?<\/b><\/p>\n

Si par exemple\u00a0Si par exemple \"Vect(e_{1},\dots,e_{k})\" o\u00f9 \"k<n\"\u00a0est stable par \"f\", \"M\" se d\u00e9compose en blocs: \"M=\begin{pmatrix} M_{k} & C \\ 0 & D \end{pmatrix}\" o\u00f9<\/p>\n

\"M_{k}\" appartient \u00e0 \"\mathcal{M}_{k}\". Inversement, si \"M\" est de cette forme, \"Vect(e_{1},\dots,e_{k})\" est stable par \"f\".<\/p>\n

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