{"id":30200,"date":"2019-07-04T15:30:54","date_gmt":"2019-07-04T14:30:54","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30200"},"modified":"2022-07-13T13:43:45","modified_gmt":"2022-07-13T12:43:45","slug":"cours-en-ligne-exercices-algebre-lineaires-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-algebre-lineaires-ecs2\/","title":{"rendered":"Compl\u00e9ments d’alg\u00e8bre lin\u00e9aire en ECS2 – Exercices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices : Espaces vectoriels, matrices en ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Exercices – Rang et base, matrices commutantes et matrices de passage<\/h2>\n

Exercice 1 : <\/b>Calcul de \"M^{k}\"<\/h3>\n

Soit a est un r\u00e9el de \"]0,1[\", et \"M=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 1-a & a& 0\\ 0&1-a &a\end{pmatrix}\".<\/p>\n

On note \"f\" l’endomorphisme<\/a> de \"\mathbb{R}^{3}\" dont la matrice dans la base canonique \"\mathcal{B}_{0}=(e_{1},e_{2},e_{3})\" de \"\mathbb{R}^{3}\" est \"M\".<\/p>\n

Question 1 : <\/b><\/p>\n

V\u00e9rifier que la famille \"\mathcal{B}=(e_{1}+e_{2}+e_{3},e_{3},e_{2})\" est une base de \"\mathbb{R}^{3}\" et trouver la matrice de \"f\" dans cette base; on la notera \"C\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Calculer, pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\", \"C^{k}\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/b><\/p>\n

En d\u00e9duire \"M^{k}\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 2 : <\/b>Rang et base<\/h3>\n

On consid\u00e8re l’application :<\/p>\n

\"Tr: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}\",(\"n\in \mathbb{N}^{*}\").<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Quel est le rang de cette application ?<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Donner une base du noyau de cette application.<\/p>\n

Exercice 3 : \u00a0Les matrices telles que \"Tr(A(^{t}A))=0\"<\/b><\/h3>\n

Trouver les matrices \"A\" de \"\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\" (\"n\",\"p \in \mathbb{N}^{*}\") telles que \"Tr(A(^{t}A))=0\".<\/p>\n

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Exercice 4 : Matrices commutantes<\/b><\/h3>\n

On donne la matrice \"P=\begin{pmatrix} 2& 3& 0\\ 1& 1& 1\\ -2& -2& -1 \end{pmatrix}\". On note \"\mathcal{B}_{0}\" la base canonique de \"\mathbb{R}^{3}\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0\u00a0<\/b><\/p>\n

Montrer que la matrice \"P\" est la matrice de passage de la base \"\mathcal{B}_{0}\" \u00e0 une base \"\mathcal{B}\" que l’on pr\u00e9cisera.<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Calculer<\/a> \"P^{-1}\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Soit \"A=\begin{pmatrix} 8& 18& 18\\ 3& 13& 10\\ -6& -20& -17 \end{pmatrix}\"\u00a0et \"f\" l’endomorphisme de \"\mathbb{R}^{3}\" canoniquement associ\u00e9.<\/p>\n

Trouver la matrice de \"f\" dans la base \"\mathcal{B}\". On notera \"D\" cette matrice.<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Trouver l’ensemble \"\mathcal{C}(D)\" des matrices qui commutent avec \"D\".<\/p>\n

Question 5 :\u00a0<\/b><\/p>\n

En d\u00e9duire l’ensemble \"\mathcal{C}(A)\" des matrices qui commutent avec \"A\".<\/p>\n

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Exercice 5 : Matrices semblables<\/b><\/h3>\n

Soient les matrices \"A=\begin{pmatrix} 1& -12& 2 \\ 1& 1& 1 \\ 4& 8& 3 \end{pmatrix}\" et \"B=\begin{pmatrix} -1& 0& 0 \\ 0& 3& 1 \\ 0& 0& 3 \end{pmatrix}\"
\n\"A\" et \"B\" sont-elles semblables ? R\u00e9pondez \u00e0 la question en justifiant votre r\u00e9ponse.<\/p>\n

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Exercice 6 : Matrices de passage<\/h3>\n

Pour \"n\in \mathbb{N}^{*}\", l’espace vectoriel \"R_{n}[X]\" des polyn\u00f4mes \u00e0 coefficients r\u00e9els de degr\u00e9 au plus \"n\" est muni de la base canonique
\n\"\mathcal{B}=(1,X,\dots,X^{n})\".<\/p>\n

Question 1<\/b>\u00a0:<\/p>\n

Montrer que la famille \"\mathcal{B'}=(1,X+1,\dots,(X+1)^{n})\" est une base de \"\mathbb{R}_{n}[X]\".<\/p>\n

Question 2<\/b>\u00a0:<\/p>\n

Trouver la matrice de passage de \"\mathcal{B}\" \u00e0 \"\mathcal{B'}\". On la notera \"P\".<\/p>\n

Question 3<\/b>\u00a0:<\/p>\n

Trouver la matrice de passage de \"\mathcal{B}'\" \u00e0 \"\mathcal{B}\". On la notera \"P'\".<\/p>\n

Question 4<\/b>\u00a0:<\/p>\n

Calculer directement \"PP'\" et retrouver ainsi le r\u00e9sultat \"PP'=I_{n+1}\".<\/p>\n

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