{"id":30298,"date":"2019-07-04T17:10:15","date_gmt":"2019-07-04T16:10:15","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30298"},"modified":"2022-07-13T13:44:54","modified_gmt":"2022-07-13T12:44:54","slug":"cours-en-ligne-corriges-algebre-lineaire-en-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-algebre-lineaire-en-ecs2\/","title":{"rendered":"Compl\u00e9ments d’alg\u00e8bre lin\u00e9aire en ECS2 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Corrig\u00e9s d’exercices : Espaces vectoriels, matrices en ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Alg\u00e8bre lin\u00e9aire ECS2<\/h2>\n

Exercice 1 : <\/b>Calcul de \"M^{k}\"<\/h3>\n

Soit a est un r\u00e9el de \"]0,1[\", et \"M=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 1-a & a& 0\\ 0&1-a &a\end{pmatrix}\".<\/p>\n

On note \"f\" l’endomorphisme<\/a> de \"\mathbb{R}^{3}\" dont la matrice dans la base canonique \"\mathcal{B}_{0}=(e_{1},e_{2},e_{3})\" de \"\mathbb{R}^{3}\" est \"M\".<\/p>\n

Question 1 : <\/b><\/p>\n

Si \"\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}+\lambda_{3}e_{3}=0\" comme \"\mathcal{B}_{0}\" est libre, \"\lambda_{1}=0\", \"\lambda_{1}+\lambda_{3}=0\", \"\lambda_{1}+\lambda_{2}=0\",
\ndonc \"\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0\". Donc, \"\mathcal{B}\" est une famille libre. Cette famille a \"3\" \u00e9l\u00e9ments et \"\dim (\mathbb{R}^{3})=3\",
\ndonc c’est une base de \"\mathbb{R}^{3}\".<\/p>\n

Les colonnes de \"M\" sont les matrices de \"f(e_{1})\", \"f(e_{2})\", \"f(e_{3})\" dans \"\mathcal{B}_{0}\", donc \"f(e_{1})=e_{1}+e_{2}+e_{3}\",
\n\"f(e_{2})=ae_{1}+(1-a)e_{3}\",
\n\"f(e_{3})=ae_{3}\", donc \"C=\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0&a &(1-a)\\ 0& 0& a \end{pmatrix}\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Par r\u00e9currence, pour \"k\in \mathbb{N}\", \"C^{k}=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\0& a^{k}& ka^{k-1}(1-a)\\ 0& 0& a^{k} \end{pmatrix}\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"P=P_{\mathcal{B}_{0},\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0 \end{pmatrix}\"; \"P^{-1}=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}_{0}}\". Si \"u_{1}=, \"u_{2}=e_{3}\", \"u_{3}=e_{2}\", alors \"e_{1}=u_{1}-u_{2}-u_{3}\", \"e_{2}=u_{3}\", \"e_{3}=u_{2}\", donc \"P^{-1}=\begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\.
\nComme \"M=PCP^{-1}\", pour \"k\in \mathbb{N}\", \"M^{k}=PC^{k}P^{-1}\", ce qui donne:<\/p>\n

\"M^{k}\"=\"\begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ (1-a)^{k}& a^{k}& 0 \\ 1-a^{k}-ka^{k-1}(1-a)& ka^{k-1}(1-a)<\/p>\n

Exercice 2 : <\/b>Rang et base<\/h3>\n

On consid\u00e8re l’application :<\/p>\n

\"Tr: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}\",(\"n\in \mathbb{N}^{*}\").<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

L’application \"\textrm{Tr}\" est lin\u00e9aire, donc \"\textrm{Im}(\textrm{Tr})\" est un sous-espace vectoriel de \"\mathbb{R}\", donc c’est \"\lbrace 0 \rbrace\" ou \"\mathbb{R}\".
\nPour \"n\in \mathbb{N}^{*}\", la matrice \"I_{n}\" a pour trace \"n\", donc \"\textrm{Im}(\textrm{Tr})\neq\lbrace 0 \rbrace\", donc \"\textrm{Im}(\textrm{Tr})=\mathbb{R}\".
\nD’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me du rang,
\n\"\textrm{dim}(\textrm{Ker}(\textrm{Tr}))= \dim(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))-\dim(\textrm{Im}(\textrm{Tr}))\", donc \"\dim (\textrm{Ker}(\textrm{Tr}))=n^{2}-1\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

On utilise la base canonique \"(E_{i,j})\" de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\". Si \"M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\",
\n\"\displaystyle{M=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} m_{i,j}E_{i,j}}\", \"M\"
\nappartient \u00e0 \"\textrm{Ker}(\textrm{Tr})\" si et seulement si \"m_{n,n}=-\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1} m_{i,i}}\", c’est-\u00e0-dire si et seulement si
\n\"\displaystyle{M=\sum_{i=1}^{n} \sum_ {\stackrel{j=1}{i\neq j}}^{n}<\/p>\n

La famille des \"(E_{i,j}\", \"1\leq i,j \leq n\" et \"i\neq j\";\"E_{i,i}-E_{n,n}\", \"1\leq i\leq n-1)\" est donc une
\nfamille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"\textrm{Ker}(\textrm{Tr})\". Elle comporte \"n(n-1)+n-1=n^{2}-1\" \u00e9l\u00e9ments. Donc, c’est une base de \"\textrm{Ker}(\textrm{Tr})\".<\/p>\n

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Exercice 3 : \u00a0Les matrices telles que \"Tr(A(^{t}A))=0\"<\/b><\/h3>\n

On note \"\displaystyle{A=(a_{i,j})_{1\leq i \leq n,1\leq j \leq p}}\".<\/p>\n

Alors \"\displaystyle{^{t}A=(a'_{i,j})_{1\leq i \leq p,1\leq j\leq n)}}\", o\u00f9 pour tous \"i\" et \"j\" \u00a0tels que
\n\"1\leq i \leq p\" et
\n\"1\leq j\leq n\", \"a'_{i,j}=a_{j,i}\".<\/p>\n

La matrice \"A(^{t}A)\" appartient \u00e0 \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\"\u00a0et<\/p>\n

\"\textrm{Tr}(A(^{t}A))\"<\/p>\n

=\"\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}a'_{k,i}\"<\/p>\n

=\"\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{p} a_{i,k}^{2}\"<\/p>\n

Donc \",\textrm{Tr}(A(^{t}A)=0\" si et seulement tous les \"a_{i,k}\" sont nuls, c’est-\u00e0-dire si et seulement si \"A=0\".<\/p>\n

Tous les chapitres de maths au programme d’ECS2 sont \u00e9galement propos\u00e9s gratuitement sur notre site, comme :<\/p>\n