{"id":30409,"date":"2019-07-05T11:27:44","date_gmt":"2019-07-05T10:27:44","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30409"},"modified":"2023-09-15T13:34:03","modified_gmt":"2023-09-15T12:34:03","slug":"cours-en-ligne-reduction-endomorphismes-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-reduction-endomorphismes-ecs2\/","title":{"rendered":"R\u00e9duction endomorphismes – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : R\u00e9duction des endomorphismes en ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Ce r\u00e9sum\u00e9 de cours concernant les r\u00e9ductions des endomorphismes est primordial de le ma\u00eetriser parfaitement, car elles rev\u00eatent une importance cruciale. Si vous rencontrez des difficult\u00e9s, n’h\u00e9sitez pas \u00e0 solliciter l’assistance de cours de maths en ligne<\/a>.<\/p>\n

Cours ECS 2 : Valeurs propres, Vecteurs propres et R\u00e9duction<\/h2>\n

1. El\u00e9ments propres : pr\u00e9sentation<\/h3>\n

Dans ce chapitre, \"E\" est un espace vectoriel<\/a> de dimension \"n\", \"n \geq 1\", sur \"\mathbb{K}\", (\"\mathbb{K}=\mathbb{R}\" ou \"\mathbb{C}\"),
\n\"\mathcal{B}=(e_{1},...,e_{n})\" est une base de \"E\", \"f\" est un endomorphisme de \"E\", \"M\" est la matrice dans la base \"\mathcal{B}\" de \"f\".<\/p>\n

M\u00e9thode 1 :\u00a0<\/b>Comment savoir si \"x\", \"x \in E\", est un vecteur propre de \"f\"?<\/b><\/p>\n

Si \"x=0\", \"x\" n’est pas un vecteur propre.
\nSi \"x \neq 0\", on calcule \"f(x)\". Si \"f(x)=\lambda x\", \"\lambda \in \mathbb{K}\", \"x\" est vecteur propre de \"f\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\lambda\".<\/p>\n

Exemple<\/b>\u00a0:\u00a0\"f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{2})\", \"(e_{1},e_{2})\" est la base canonique de \"\mathbb{R}^{2}\", \"f(e_{1})=2e_{1}+e_{2}\", \"f(e_{2})=-e_{1}\".
\nLes vecteurs suivants sont-ils vecteurs propres de \"f\" :<\/p>\n

    \n
  1. \"e_{1}+2e_{2}\"<\/li>\n
  2. \"e_{1}+e_{2}\"<\/li>\n<\/ol>\n

    R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

      \n
    1. Non<\/li>\n
    2. Oui, attach\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"1\".<\/li>\n<\/ol>\n

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      PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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      Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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      Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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      \n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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      Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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       <\/p>\n

      M\u00e9thode 2 :\u00a0Comment savoir si \"\lambda\", \"\lambda \in \mathbb{K}\", est valeur propre de \"f\" (ou de \"M\")? si \"0\" est valeur propre de \"f\" (ou de \"M\")?<\/b><\/p>\n

      \"\lambda\" est valeur propre de \"f\" si et seulement si \"f-\lambda \textrm{id}\" n’est pas injective (\"\lambda\" est valeur propre de \"M\" si et seulement si\u00a0\"M-\lambda I\" est non inversible).<\/p>\n

      En particulier, \"0\" est valeur propre de \"f\" si et seulement si \"f\" n’est pas injective (ou \"0\" est valeur propre de \"M\" si et seulement \"M\" n’est\u00a0pas inversible) .<\/p>\n

      Exemple :\u00a0<\/b>Quelles sont les valeurs propres de :<\/p>\n

        \n
      1. \"id\" ?<\/li>\n
      2. L’application nulle ?<\/li>\n<\/ol>\n

        R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

          \n
        1. 1 est la seule valeur propre<\/li>\n
        2. 0 est la seule valeur propre<\/li>\n<\/ol>\n

          M\u00e9thode 3 :\u00a0<\/b>Si \"\lambda\" est valeur propre de \"f\", comment trouver le sous-espace propre associ\u00e9?<\/b>
          \nLe sous-espace propre de \"f\" associ\u00e9 \u00e0 \"\lambda\" est \"E_{\lambda}\" , o\u00f9 :<\/p>\n

          \"E_{\lambda}\"=\"\textrm{Ker}(f-\lambda \textrm{id})\"<\/p>\n

          =\"\lbrace x\in E\ |\ (f-\lambda \textrm{id})(x)\"=\"0 \rbrace\"<\/p>\n

          =\"\lbrace x\in E|f(x)\"=\"\lambda x\rbrace\".<\/p>\n

          En particulier, le sous-espace propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"0\" est \"\textrm{Ker}(f)\".<\/p>\n

          Exemple :<\/b><\/p>\n

          \"M=\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ -2& 3& 0\\ 0& -2& 3 \end{pmatrix}\". Justifier que \"3\" est valeur propre de \"f\" et trouver le sous-espace propre associ\u00e9.<\/p>\n

          M\u00e9thode 4 :\u00a0Si \"\lambda\" est valeur propre de \"f\", comment trouver les vecteurs propres de \"f\" associ\u00e9s \u00e0 \"\lambda\"?<\/b><\/p>\n

          Ce sont les vecteurs non nuls qui v\u00e9rifient \"f(x)=\lambda x\".<\/p>\n

          Exemple :<\/b><\/p>\n

          \"f\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}^{2}\" qui admet la valeur propre \"3\". Le sous-espace propre de \"f\" associ\u00e9 \u00e0 \"3\" est \"\textrm{Vect}(4e_{1}-5e_{2})\".
          \nLes vecteurs propres de \"f\" sont les \"a(4e_{1}+5e_{2})\", \"a\in \mathbb{R}\"?<\/p>\n

          R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0 Non, \"a(4e_{1}+5e_{2})\" est vecteur propre si et seulement si \"a\neq 0\".<\/p>\n

          2. Recherches des valeurs et vecteurs propres<\/h3>\n

          M\u00e9thode 5 : Comment utiliser les \u00e9l\u00e9ments propres de \"f\" pour trouver ceux de :\u00a0<\/b>
          \n(i) \"a\emph{id}+bf\"?
          \n(ii) \"f^{k}\", \"k\in \mathbb{N}^{*}\"?
          \n(iii) \"P(f)\", o\u00f9 \"P\" est un polyn\u00f4me?<\/p>\n

          Si \"\lambda\" est valeur propre de \"f\" et si \"x\" est un vecteur propre associ\u00e9 (\"f(x)=\lambda x\", \"x\neq 0\"), alors
          \n(i) \"(a \textrm{id} +bf)(x)=(a+b\lambda)x\"
          \n(ii) \"f^{k}(x)=\lambda^{k}x\"
          \n(iii) \"P(f)(x)=P(\lambda)x\",
          \ndonc \"a+b\lambda\", \"\lambda^{k}\", \"P(\lambda)\" sont valeurs propres de \"a \textrm{id}+bf\",
          \n\"f^{k}\", \"P(f)\", et \"x\" est vecteur propre associ\u00e9.<\/p>\n

          Exemple :\u00a0<\/b>\"f\" a pour valeurs propres \"2\" et \"3\".<\/p>\n

          A-t-on \"\textrm{Sp}(2f-\textrm{id})=\{3,5 \}\" ?<\/p>\n

          M\u00e9thode 6 : Comment trouver le spectre de \"f\" (ou de \"M\")?
          \n<\/b>
          \nLe spectre de \"f\" (ou de \"M\") est l’ensemble des valeurs propres de \"f\" (ou de \"M\").
          \n(i) Si \"M\" est triangulaire, les valeurs propres de \"f\" (ou de \"M\") sont les coefficients diagonaux de \"M\".
          \n(ii) On sait que \"f\" (ou \"M\") admet un polyn\u00f4me annulateur non nul.
          \nSi \"P\" est un tel polyn\u00f4me ( \"P(f)=0\" (ou \"P(M)=0\") ), les valeurs propres de \"f\" (ou de \"M\") sont \u00e0 chercher parmi les racines de \"P\".
          \n(iii) En g\u00e9n\u00e9ral, on r\u00e9sout l’\u00e9quation \"f(x)=\lambda x\", d’inconnue \"x\", (ou le syst\u00e8me fourni par l’\u00e9quation matricielle \"MX=\lambda X\", d’inconnue \"X\"),
          \net on discute suivant les valeurs de \"\lambda\": si pour \"\lambda=\lambda_{0}\" on obtient d’autres solutions que \"0\", alors \"\lambda_{0}\" est valeur propre,
          \nsinon elle ne l’est pas.<\/p>\n

          Exemple\u00a0<\/b>: Trouver le spectre de \"A=\begin{pmatrix} 2& 1& 1\\ 0& -1& 4\\ 0& 0& 3 \end{pmatrix}\".<\/p>\n

          R\u00e9ponse : <\/b>\"\textrm{Sp}(M)=\lbrace 2, -1, 3 \rbrace\".<\/p>\n

          M\u00e9thode 7 : Quand on a trouv\u00e9 les valeurs propres de \"f\", que peut-on dire des sous-espaces propres?
          \n<\/b>
          \n(i) Des sous-espaces propres associ\u00e9s \u00e0 des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
          \nDonc, si \"\lambda_{1},\dots,\lambda_{k}\" sont des valeurs propres distinctes de \"f\", on a:
          \n\"\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{k} E_{\lambda_{i}}\subset E\", et
          \n\"\displaystyle \sum_{i=1}^{k} \textrm{dim}(E_{\lambda_{i}})\leq \textrm{dim}(E)\".
          \n(ii) Si \"f\" admet \"n\" valeurs propres distinctes, les sous-espaces propres de \"f\" sont de dimension \"1\" et \"E\" est somme directe de ces sous-espaces.<\/p>\n

          Exemple\u00a0<\/b>: \"f\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{4})\", \"1, 2\", et \"3\" sont valeurs propres de \"f\", et on a: \"f(e_{2}+e_{3})=e_{2}+e_{3}\" et \"f(e_{4})=e_{4}\".<\/p>\n

          Trouver le spectre de \"f\" et la dimension des sous-espaces propres de \"f\".<\/p>\n

          M\u00e9thode 8 : Comment savoir qu’on a bien toutes les valeurs propres de \"f\" (ou de \"M\")?
          \n<\/b>
          \n(i) Des vecteurs propres associ\u00e9s \u00e0 des valeurs propres distinctes forment une famille libre.
          \nUne famille libre a au plus \"n\" \u00e9l\u00e9ments, donc \"f\" admet au plus \"n\" valeurs propres distinctes.
          \n(ii) Des sous-espaces propres associ\u00e9s \u00e0 des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
          \nSi \"\lambda_{1},\dots,\lambda_{k}\" sont valeurs propres de \"f\" et si \"E=\displaystyle \bigoplus_{i=1}^{k} E_{\lambda_{i}}\", ou si
          \n\"\textrm{dim}(E)=\displaystyle \sum_{i=1}^{k}\textrm{dim}(E_{\lambda_{i}})\", (les deux conditions sont \u00e9quivalentes), alors
          \n\"\textrm{Sp}(f)=\lbrace \lambda_{1},\dots,\lambda_{k}\rbrace\".<\/p>\n

          Exemple<\/b>\u00a0: \"f\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}^{5}\", \"M\" n’est pas inversible, \"2\" est valeur propre de \"f\" et le sous-espace propre associ\u00e9 est de dimension
          \n\"2\", et \"f(e_{1})=-e_{1}\", \"f(e_{3}+e_{4})+e_{4}=-e_{3}\".<\/p>\n

          Trouver le spectre de \"f\".<\/p>\n

          R\u00e9ponse : <\/b>\"0\" est valeur propre de \"f\", donc \"\textrm{dim}(E_{0})\geq 1\"; \"-1\" est valeur propre de \"f\", \"e_{1}\" et \"e_{3}+e_{4}\" appartiennent \u00e0 \"E_{-1}\", et
          \nces deux vecteurs forment une famille libre, donc \"\textrm{dim}(E_{-1})\geq 2\". La somme des dimensions des sous-espaces propres associ\u00e9s \u00e0 \"0, 2\", et
          \n\"-1\" est au moins \"5\", donc \u00e9gale \u00e0 \"5\". On a donc toutes les valeurs propres de \"f\": ce sont \"0, 2\", et \"-1\".<\/p>\n

           <\/p>\n

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          AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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          C'est gagner en autonomie<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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          \n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths particulier<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
          \n\t\t\t
          \n\t\t\t\t\t\t\t
          \n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

           <\/p>\n

          3. R\u00e9duction<\/h3>\n

          M\u00e9thode 9 : Comment montrer que \"f\" (ou \"M\") est diagonalisable?<\/b><\/p>\n

          On doit montrer qu’il existe une base de \"E\" dans laquelle la matrice de \"f\" est diagonale (ou que \"M\" est semblable \u00e0 une matrice diagonale).<\/p>\n

          Exemple<\/b>\u00a0: \"f\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{2})\" et \"f(e_{1}+e_{2})=e_{1}+e_{2}\", \"f(e_{1}-e_{2})=-e_{1}+e_{2}\". \"f\" est-elle diagonalisable?<\/p>\n

          R\u00e9ponse : <\/b>Oui: \"(e_{1}+e_{2}, e_{1}-e_{2})\" est une base de \"\mathbb{R}^{2}\" et la matrice de \"f\" dans cette base est \"\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

          M\u00e9thode 10 : Comment caract\u00e9riser une base de \"E\" dans laquelle la matrice de \"f\" est diagonale?<\/b><\/p>\n

          La matrice de \"f\" dans une base de \"E\" est diagonale si et seulement si cette base est form\u00e9e de vecteurs propres de \"f\".<\/p>\n

          Exemple\u00a0<\/b>: \"M=\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1& 0 \end{pmatrix}\". Peut-on trouver une base de \"\mathbb{R}^{2}\" dans laquelle la matrice de \"f\" soit diagonale?<\/p>\n

          M\u00e9thode 11 : Comment trouver une base de \"E\" form\u00e9e de vecteurs propres de \"f\"?<\/b><\/p>\n

          Si \"\textrm{Sp}(f)=\lbrace \lambda_{1},\dots ,\lambda_{k} \rbrace\", et si \"\displaystyle E=\bigoplus _{i=1}^{k} \textrm{Ker}(f-\lambda \textrm{id})\" \"(1)\"
          \nou, ce qui est \u00e9quivalent \"\displaystyle \textrm{dim}(E)=\sum_{i=1}^{k} \textrm{dim}(\textrm{Ker}(f-\lambda \textrm{id}))\" \"(2)\", on obtient une base de \"E\"
          \nen concat\u00e9nant des bases \"\mathcal{B}_{1},\dots, \mathcal{B}_{k}\" de \"\textrm{Ker}(f-\lambda_{1}\textrm{id}),\dots, \textrm{Ker}(f-\lambda_{k}\textrm{id})\".
          \nSi l’une ou l’autre des conditions \u00e9quivalentes \"(1)\" ou \"(2)\" n’est pas v\u00e9rifi\u00e9e, on ne peut pas trouver une telle base.<\/p>\n

          Exemple\u00a0<\/b>: \"f\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}^{3}\"; le noyau de \"f\" est la droite vectorielle de base \"e_{1}+e_{2}+e_{3}\"; \"f\" admet la valeur propre \"2\" et le
          \nsous-espace propre asoci\u00e9 a pour \u00e9quation \"x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\".<\/p>\n

          Peut-on trouver une base de \"\mathbb{R}^{3}\" form\u00e9e de vecteurs propres de \"f\"?<\/p>\n

          R\u00e9ponse : <\/b>Oui: par exemple \"(e_{1}-e_{2}, e_{1}-e_{3})\" est une base de \"E_{2}\", \"e_{1}+e_{2}+e_{3}\" appartient \u00e0 \"E_{0}\", donc<\/p>\n

          \"(e_{1}-e_{2}, e_{1}-e_{3}\", \"e_{1}+e_{2}+e_{3})\" est une base convenable.<\/div>\n
          <\/div>\n
          <\/div>\n

          M\u00e9thode 12 : Dans quels cas simples peut-on dire que \"f\" est diagonalisable si :
          \n<\/b>
          \n(i) \"f\" admet \"n\" valeurs propres distinctes \"\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\", \"f\" est diagonalisable: \"M\" est semblable \u00e0
          \n\"\textrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\", les sous-espaces propres sont de dimension \"1\".
          \n(ii) \"f^{2}=f\", c’est-\u00e0-dire si \"f\" est un projecteur, \"f\" est diagonalisable: \"f=0\", ou \"f=\textrm{id}\", ou sinon \"\textrm{Sp}(f)=\lbrace 0,1 \rbrace\",
          \n\"E_{0}=\textrm{Ker}(f)\", \"E_{1}=\textrm{Im}(f)\", et \"M\" est semblable \u00e0 \"\begin{pmatrix} 0& 0\\ 0&I_{r} \end{pmatrix}\", o\u00f9 \"r=\textrm{rang}(f)\".
          \n(iii) \"f^{2}=\textrm{id}\", c’est-\u00e0-dire si \"f\" est une sym\u00e9trie vectorielle, \"f\" est diagonalisable: \"f=\textrm{id}\", ou \"f=-\textrm{id}\", ou sinon
          \n\"\textrm{Sp}(f)=\lbrace 1,-1 \rbrace\", et \"M\" est semblable \u00e0 \"\begin{pmatrix} I_{k}& 0\\ 0& -I_{n-k}\end{pmatrix}\", o\u00f9 \"k=\textrm{dim}(E_{1})\".<\/p>\n

          Exemple\u00a0<\/b>: \"f\" v\u00e9rifie \"(f-2\textrm{id})^{2}=\textrm{id}\". Est-elle diagonalisable ?<\/p>\n

          M\u00e9thode 13 : Quand on sait que \"M\" est semblable \u00e0 une matrice diagonale \"D\" connue, comment retrouver \u00e0 l’aide de \"D\" les \u00e9l\u00e9ments propres de \"f\" (ou de \"M\")?
          \n<\/b>
          \n(i) Le spectre de \"f\" est l’ensemble des \u00e9l\u00e9ments diagonaux distincts de \"D\".
          \n(ii) Pour \"\lambda \in \textrm{Sp}(f)\", la dimension de \"\textrm{Ker}(f-\lambda\textrm{id})\" est le nombre d’\u00e9l\u00e9ments diagonaux de \"D\" \u00e9gaux \u00e0 \"\lambda\".
          \n(iii) Si \"M=PDP^{-1}\", les colonnes de \"P\" sont les matrices dans la base \"(e_{1},\dots,e_{n})\" de vecteurs propres \"u_{1},\dots,u_{n}\" associ\u00e9s aux coefficients
          \ndiagonaux \"d_{1},\dots,d_{n}\" de \"D\", et ces vecteurs forment une famille libre.
          \n(iv) Si les \u00e9l\u00e9ments diagonaux de \"D\" \u00e9gaux \u00e0 \"\lambda\" sont \"d_{k},\dots, d_{k+j}\", alors
          \n\"\textrm{Ker}(f-\lambda\textrm{id})=\textrm{Vect}(u_{k},\dots,u_{k+j})\".
          \n(v) Si \"\textrm{Sp}(f)=\lbrace \lambda_{1},\dots, \lambda_{k}\rbrace\", et si, pour \"1\leq i\leq k\", \"\textrm{dim}(\textrm{Ker}(f-\lambda_{i}\textrm{id})=n_{i}\",
          \nalors \"\textrm{Tr}(M)=\displaystyle \sum_{i=1}^{k} n_{i}\lambda_{i}\".<\/p>\n

          Exemple\u00a0<\/b>:<\/p>\n

          \"M=PDP^{-1}\", o\u00f9 \"D=\textrm{diag}(1, 2, 1, 3)\" et \"P=\begin{pmatrix} 1& 2& 0& 1\\ 0& 1& -1& 2\\ 1& 1& 0& 1\\ 0& 1& -1& 1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

          Trouver les valeurs propres de \"f\", donner la dimension et une base des sous-espaces propres.<\/p>\n

          R\u00e9ponse<\/strong> : \"\textrm{Sp}(M)=\{ 1, 2, 3\}\", \"\textrm{dim}(E_{1})=2\", \"\textrm{dim}(E_{2})=\textrm{dim}(E_{3})=1\", \"E_{1}=\textrm{Vect}(e_{1}+e_{3}, -e_{2}-e_{4})\",
          \n\"E_{2}=\textrm{Vect}(2e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4})\", \"E_{3}=\textrm{Vect}(e_{1}+2e_{2}+e_{3}+e_{4})\".<\/p>\n

          M\u00e9thode 14 : Comment utiliser la r\u00e9duction pour \u00e9tudier \"f\"?
          \n<\/b>
          \n(i) Les sous-espaces propres de \"f\" sont stables par \"f\", et la restriction de \"f\" \u00e0 \"E_{\lambda}\" est \"\lambda \textrm{id}\".<\/p>\n

          Si \"E\" est somme directe de sous-espaces propres, et que l’on veut \u00e9tablir une propri\u00e9t\u00e9 de \"f\", il suffit souvent de l’\u00e9tablir sur chaque sous-espace propre.<\/p>\n

          (ii) Les calculs matriciels sont plus simples avec une matrice diagonale.<\/p>\n

          En particulier, si \"A=PDP^{-1}\", alors, pour \"n\in \mathbb{N}\", \"A^{n}=PD^{n}P^{-1}\".<\/p>\n

          Exemple\u00a0<\/b>: \"f\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}^{2}\", de matrice \"M=\begin{pmatrix} 1& 8\\ 1& 3\end{pmatrix}\". Calculer \"M^{n}\".<\/p>\n

          R\u00e9ponse : <\/b>\u00a0\"\textrm{Sp}(M)=\{-1,5\}\", si \"D=\textrm{diag}(-1,5)\" et \"P=\begin{pmatrix} -4& 2\\ 1& 1 \end{pmatrix}\", \"M=PDP^{-1}\", donc
          \n\"M^{n}=P\textrm{diag}((-1)^{n},5^{n})P^{-1}\".<\/p>\n

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