{"id":30443,"date":"2019-07-05T11:27:53","date_gmt":"2019-07-05T10:27:53","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30443"},"modified":"2022-07-13T13:47:28","modified_gmt":"2022-07-13T12:47:28","slug":"cours-en-ligne-exercices-reduction-endomorphismes-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-reduction-endomorphismes-ecs2\/","title":{"rendered":"R\u00e9duction des endomorphismes en ECS2 – Exercices"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n

<\/a><\/p>\n

\n
\n

Exercices : R\u00e9duction des endomorphismes en ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Exercices – Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres<\/h2>\n

Dans ce chapitre, \"E\" est un espace vectoriel de dimension \"n\", \"n \geq 1\", sur \"\mathbb{K}\", (\"\mathbb{K}=\mathbb{R}\" ou \"\mathbb{C}\"),
\n\"\mathcal{B}=(e_{1},...,e_{n})\" est une base de \"E\", \"f\" est un endomorphisme de \"E\", \"M\" est la matrice dans la base \"\mathcal{B}\" de \"f\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Exercice 1 : Valeurs propres et vecteurs propres<\/h3>\n

\"A=\begin{pmatrix} 2& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 3& -2 \end{pmatrix}\" et \"B=\begin{pmatrix} 3& 2& -2 \\ -1& 0& 2 \\ 1& 2& 0\end{pmatrix}\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de \"A\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de \"B\".<\/p>\n

Exercice 2 : Valeurs propres et sous-espaces propres<\/h3>\n

\"A=\begin{pmatrix} 2& 0& 4\\ 3& -4& 12\\ 1& -2& 5\end{pmatrix}\" et \"B=\begin{pmatrix} -4& -4& 2\\ 3& 0& 1\\ 2& 1& 0\end{pmatrix}\"<\/p>\n

Calculer \"AB\". En d\u00e9duire les valeurs propres et les sous-espaces propres de \"A\".<\/p>\n

Exercice 3 : Valeurs propres et sous-espaces propres<\/h3>\n

\"A\" est une matrice de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\".<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

\"A\" et \"^{t}A\" ont-elles les m\u00eames valeurs propres ? Si oui, montrez-le.<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"A\" et \"B\" sont deux matrices de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\".<\/p>\n

\"AB\" et \"BA\" ont-elles les m\u00eames valeurs propres. Si oui, montrez le.<\/p>\n

Exercice 4 : Familles libres et suites<\/h3>\n

\"A\" est une matrice de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}\", \"\mathbb{K}=\mathbb{R}\" ou \"\mathbb{K}=\mathbb{C})\" qui admet \"n\" valeurs propres distinctes.<\/p>\n

La famille \"(I, A,\dots, A^{n-1})\" est-elle libre ? Si oui, montrez-le.<\/p>\n

Exercice 5 : Suites<\/h3>\n

Deux suites r\u00e9elles \"(u_{n})\" et \"(v_{n})\" sont d\u00e9finies par la donn\u00e9e de leurs premiers termes \"u_{0}\" et \"v_{0}\" et les relations:<\/p>\n

\"\forall n\in \mathbb{N}\",<\/p>\n

\"u_{n+1}=-6u_{n}+11v_{n}, v_{n+1}=-3u_{n}+8v_{n}\"<\/p>\n

Calculer, pour tout \"n\in \mathbb{N}\", \"u_{n}\" et \"v_{n}\" en fonction de \"n, u_{0}, v_{0}\".<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers en ligne<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

 <\/p>\n

Exercice 6 : Vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 une valeur propre<\/h3>\n

\"E\" est un espace vectoriel sur \"\mathbb{K}\" de dimension \"n\", \"n\geq 2\", et \"f\in \mathcal{L}(E)\", \"f\neq 0\".<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

Montrer qu’un vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 une valeur propre non nulle de \"f\" appartient \u00e0 \"\textrm{Im}(f)\".<\/p>\n

On suppose dans toute la suite que \"f\" est de rang \"1\".<\/p>\n

Question 2\u00a0<\/b>:<\/p>\n

On suppose \"f^{2}=0\".<\/p>\n

Trouver les valeurs propres de \"f\".<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Montrer que les conditions suivantes sont \u00e9quivalentes:<\/p>\n

(i) \"f^{2} \neq 0\";<\/p>\n

(ii) \"E=\textrm{Ker}(f)\oplus \textrm{Im}(f)\";<\/p>\n

(iii) \"f\" est diagonalisable.<\/p>\n

Exercice 7 : Valeurs propres et sous-espaces propres de \"A(^{t}B)\"<\/h3>\n

\"A\" et \"B\" sont deux matrices non nulles de \"\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\".<\/p>\n

Trouver les valeurs et les sous-espaces propres de \"A(^{t}B)\".<\/p>\n

N’h\u00e9sitez pas \u00e0 vous rendre aussi sur les autres chapitres de maths au programme d’ECS2 pour compl\u00e9ter vos r\u00e9visions :<\/p>\n