{"id":30457,"date":"2019-07-08T10:09:24","date_gmt":"2019-07-08T09:09:24","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30457"},"modified":"2022-07-13T13:49:10","modified_gmt":"2022-07-13T12:49:10","slug":"cours-en-ligne-corriges-reduction-endomorphismes-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-reduction-endomorphismes-ecs2\/","title":{"rendered":"R\u00e9duction des endomorphismes en ECS2 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Corrig\u00e9s : R\u00e9duction des endomorphismes en ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – Valeurs propres, vecteurs propres, famille libre<\/h2>\n

Dans ce chapitre, \"E\" est un espace vectoriel de dimension \"n\", \"n \geq 1\", sur \"\mathbb{K}\", (\"\mathbb{K}=\mathbb{R}\" ou \"\mathbb{C}\"),
\n\"\mathcal{B}=(e_{1},...,e_{n})\" est une base de \"E\", \"f\" est un endomorphisme de \"E\", \"M\" est la matrice dans la base \"\mathcal{B}\" de \"f\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 1 : valeurs propres et vecteurs propres<\/h3>\n

\"A=\begin{pmatrix} 2& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 3& -2 \end{pmatrix}\" et \"B=\begin{pmatrix} 3& 2& -2 \\ -1& 0& 2 \\ 1& 2& 0\end{pmatrix}\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Pour \"X=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}\", on a:<\/p>\n

\"AX=\lambda X \Leftrightarrow \begin{cases} 2x+y+z=\lambda x \\ x+z=\lambda y \\ x+3y-2z=\lambda z \end{cases}\"<\/p>\n

\"\stackrel{\Longleftrightarrow}.<\/p>\n

\"\bullet\" \"AX=-3X \Leftrightarrow \begin{cases} x+y=-3(x-y)\\x+z=-3y \end{cases}\"
\n\"\Leftrightarrow \begin{cases} y=2x\\ z=-7x \end{cases}\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow X\in\textrm{Vect}.<\/p>\n

\"\bullet\" Pour \"\lambda\neq -3\": \"AX=\lambda X\Leftrightarrow \begin{cases} x+y=\lambda (x-y)\\ x+z=\lambda y\\ z=y\end{cases}\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow \begin{cases}.<\/p>\n

Si \"\lambda=0\", \"AX=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=-y\\z=y\end{cases}\Leftrightarrow X\in\textrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right)\"<\/p>\n

Si \"\lambda=3\", \"AX=3X\Leftrightarrow\begin{cases} x=2y\\ z=y\end{cases}\Leftrightarrow X\in \textrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right)\"<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"(B-\lambda I)X=0\Leftrightarrow \begin{cases} (3-\lambda)x+2y-2z=0\\ -x-\lambda y+2z=0\\ x+2y-\lambda z=0 \end{cases}\"<\/p>\n

\u00a0\"\stackrel{\Longleftrightarrow}<\/p>\n

\"\stackrel{\Longleftrightarrow}{\begin{matrix} L_{2}\leftarrow L_{2}-L_{1}\\ L_{3}\leftarrow L_{3}+(\lambda-3)L_{1}\end{matrix}}\"<\/p>\n

\"\begin{cases} x+2y-\lambda z=0\\<\/p>\n

\u00a0\"\stackrel{\Longleftrightarrow}{L_{3}\leftarrow -L_{3}+2L_{2}} \begin{cases}.<\/p>\n

Pour \"\lambda=2\": \"AX=2X\Leftrightarrow x+2y-2z=0\"<\/p>\n

\"\Leftrightarrow X\in \textrm{Vect}\left(\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1\\1 \end{pmatrix}<\/p>\n

Pour \"\lambda=3\": \"AX=3X\Leftrightarrow \begin{cases} y+z=0\\ x+2y-3z=0\end{cases}\"
\n\"\Leftrightarrow \begin{cases} z=-y\\ x=-5y\end{cases}\Leftrightarrow.<\/p>\n

Exercice 2 : Valeurs propres et sous-espaces propres<\/h3>\n

Si \"B=( B_{1} \vdots\ B_{2} \vdots B_{3})\", alors \"AB=( AB_{1} \vdots AB_{2} \vdots AB_{3})=.
\nLes valeurs propres de \"A\" sont \"0, 1, 2\", et les sous-espaces propres associ\u00e9s \"\textrm{Vect}(B_{1})\", \"\textrm{Vect}(B_{2})\", \"\textrm{Vect}(B_{3})\".<\/p>\n

Exercice 3 : Valeurs propres et sous-espaces propres<\/h3>\n

\"A\" est une matrice de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\".<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

\"\lambda\" est valeur propre de \"A\" si et seulement si \"A-\lambda I\" n’est pas inversible. Or une matrice et sa transpos\u00e9e sont simultan\u00e9ment inversibles ou non inversibles.<\/p>\n

La transpos\u00e9e de \"A-\lambda I\" est \"^{t}A-\lambda I\", donc si \"\lambda\" est valeur propre d’une de ces deux matrices<\/a>, elle est valeur propre de l’autre.<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Si \"\lambda\" est une valeur propre non nulle de \"AB\", il existe \"X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\", \"X\neq 0\" tel que \"ABX=\lambda X\". Alors \"(BA)(BX)=\lambda BX\".<\/p>\n

Si on avait \"BX=0\", on aurait \"ABX=0\", donc \"\lambda X=0\", ce qui est impossible car \"\lambda\neq 0\" et \"X\neq 0\". Donc \"BX\neq 0\", donc \"BX\" est vecteur propre de \"BA\" attach\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\lambda\".<\/p>\n

Si \"0\" est valeur propre de \"AB\", \"AB\" n’est pas inversible. Si \"BA\" etait inversible, alors \"A\" serait inversible: pour \"X\in \mathcal{M}_{n,1}\mathbb{K}\", \"AX=0\" entra\u00eenerait \"BAX=0\" donc \"X=0\". Alors, comme \"B=(BA)A^{-1}\", \"B\" aussi serait inversible. Donc \"AB\" serait inversible, ce qui est faux. Donc \"BA\" n’est pas inversible, donc \"0\" est valeur propre de \"BA\".<\/p>\n

Les valeurs propres de \"AB\" sont donc valeurs propres de \"BA\", et inversement.<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 4 : Familles libres et suites<\/h3>\n

\"A\" est une matrice \u00e0 \"n\" lignes et \"n\" colonnes qui admet \"n\" valeurs propres distinctes \"\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\", donc \"A\" est diagonalisable: il existe une matrice \"P\" inversible de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\" telle que: \"A=PDP^{-1}\" o\u00f9 \"D=\textrm{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\".<\/p>\n

Si \"\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a_{i}A^{i}=0\", en multipliant \u00e0 gauche par \"P^{-1}\" et \u00e0 droite par \"P\", \"\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}a_{i}D^{i}=0\", donc, pour tout \"k\" tel que \"1\leq k\leq n\", \"\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}\lambda_{k}^{i}=O\".<\/p>\n

Le polyn\u00f4me \"\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\" est de degr\u00e9 au plus \"n-1\" et admet au moins \"n\" racines distinctes \"\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\", donc c’est le\u00a0 polyn\u00f4me nul. Donc tous les \"a_{i}\" sont nuls.<\/p>\n

Donc la famille \"(I, A,\dots,A^{n-1})\" est libre.<\/p>\n

Les chapitres de maths suivants, sont \u00e9galement essentiels pour r\u00e9ussir en ECS2, r\u00e9visez-les d\u00e8s maintenant :<\/p>\n