{"id":30469,"date":"2019-07-05T16:19:19","date_gmt":"2019-07-05T15:19:19","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30469"},"modified":"2023-09-15T13:34:50","modified_gmt":"2023-09-15T12:34:50","slug":"cours-en-ligne-algebre-bilineaire-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-algebre-bilineaire-ecs2\/","title":{"rendered":"Alg\u00e8bre bilin\u00e9aire en ECS2 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Alg\u00e8bre bilin\u00e9aire en ECS2<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\r\n\r\n

Formes bilin\u00e9aires, Produit scalaire, Orthogonalit\u00e9 & Espace euclidien<\/h2>\r\n

1. Formes bilin\u00e9aires<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 1 :\u00a0Qu’est-ce qu’une forme bilin\u00e9aire sur \"E\" ?\r\n<\/b><\/p>\r\n

C’est une application \"\varphi: E\times E \to \mathbb{R}\" qui \u00e0 un couple<\/a> \"(x,y)\" d’\u00e9l\u00e9ments de \"E\" associe un r\u00e9el, \"\varphi(x,y)\", qui v\u00e9rifie les\u00a0deux propri\u00e9t\u00e9s suivantes:<\/p>\r\n

(i) pour \"x\" fix\u00e9 dans \"E\", l’application \"\varphi_{x}:E\to \mathbb{R}\" d\u00e9finie par: \"\forall y\in E\", \"\varphi_{x}(y)=\varphi(x,y)\", est lin\u00e9aire;<\/p>\r\n

(ii) pour \"y\" fix\u00e9 dans \"E\", l’application \"\varphi_{y}:E\to \mathbb{R}\" d\u00e9finie par: \"\forall x\in E\", \"\varphi_{y}(x)=\varphi(x,y)\", est lin\u00e9aire.<\/p>\r\n

La propri\u00e9t\u00e9 (i) peut s’\u00e9noncer sous la forme: \"\varphi\" est lin\u00e9aire par rapport \u00e0 la deuxi\u00e8me variable, ou encore \"\varphi\" est lin\u00e9aire \u00e0 droite, et la propri\u00e9t\u00e9 (ii) sous la forme: \"\varphi\" est lin\u00e9aire par rapport \u00e0 la premi\u00e8re variable, ou \"\varphi\" est lin\u00e9aire \u00e0 gauche.<\/p>\r\n

N’h\u00e9sitez pas \u00e0 solliciter l’aide d’un professeur particulier de maths<\/a> si vous \u00e9prouvez le moindre blocaquage en s’entrainant.<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour
r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exemple<\/b>\u00a0: \"\varphi\" est-elle une forme bilin\u00e9aire sur \"\mathbb{R}\" si pour tout \"(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\":<\/p>\r\n

(i) \"\varphi(x,y)=2x+3xy\" ?<\/p>\r\n

(ii) \"\varphi(x,y)=3xy^{2}\"?<\/p>\r\n

(iii) \"\varphi(x,y)=xy\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

(i) Non<\/p>\r\n

(ii) Non<\/p>\r\n

(iii) Oui<\/p>\r\n

M\u00e9thode 2 :\u00a0Quand \"E\" est de dimension finie et muni d’une base, comment calculer \"\varphi(x,y)\" si \"\varphi\" est bilin\u00e9aire?<\/b><\/p>\r\n

Si \"(e_{1},\dots,e_{n})\", \"n\geq 1\", est une base de \"E\", \"\varphi\" est compl\u00e8tement connue quand on connait les \"\varphi(e_{i},e_{j})\":<\/p>\r\n

si \"x_{1},\dots,x_{n}\" et \"y_{1},\dots,y_{n}\" sont les coordonn\u00e9es de \"x\" et \"y\" dans cette base,<\/p>\r\n

\"\varphi(x,y)=\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq n} a_{i,j}x_{i}y_{j}\" o\u00f9 \"a_{i,j}=\varphi(e_{i},e_{j})\".<\/p>\r\n

Exemple :\u00a0<\/b>\"E=\mathbb{R}^{2}\", \"(e_{1},e_{2})\" est la base canonique, \"\varphi\" est bilin\u00e9aire et \"\varphi(e_{i},e_{j})=2^{i}3^{j}\".\r\nDonner l’expression de \"\varphi(x,y)\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"\varphi(x,y)=6x_{1}x_{2}+18x_{1}y_{2}+12x_{2}y_{1}+36x_{2}y_{2}\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 3 :\u00a0Comment d\u00e9finir et utiliser la matrice d’une forme bilin\u00e9aire ?<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"\varphi\" est une forme bilin\u00e9aire sur \"E\", si \"\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{n})\" est une base de \"E\", la matrice de \"\varphi\" dans \"\mathcal{B}\"\r\nest \"A=\displaystyle \left(\varphi(e_{i},e_{j})\right)_{1\leq i,j\leq n}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont les matrices de \"x\" et \"y\" dans \"\mathcal{B}\", \"\varphi(x,y)=(^{t}X)AY\".<\/p>\r\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"E=\mathbb{R}^{2}\" est muni de la base canonique. Dire si \"\varphi\" est une forme bilin\u00e9aire sur \"E\" et trouver sa matrice quand<\/p>\r\n

(i) \"\varphi(x,y)=x_{1}^{2}y_{2}+x_{2}y_{1}^{2}\"<\/p>\r\n

(ii) \"\varphi(x,y)=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{1}+3y_{1}y_{2}\"<\/p>\r\n

(iii) \"\varphi(x,y)=x_{1}y_{2}+4x_{2}y_{1}-x_{2}y_{2}\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

(i) Non : l’expression de \"\varphi\" comporte des carr\u00e9s de coordonn\u00e9es.<\/p>\r\n

(ii) Non : si on remplace \"y\" par \"2y\", le terme \"y_{1}y_{2}\" est multipli\u00e9 par \"4\".<\/p>\r\n

(iii) Oui : la matrice de \"\varphi\" est:\"\begin{pmatrix} 0& 1\\ 4& -1\end{pmatrix}\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 4 :\u00a0Si \"E\" est de dimension \"n\", \"n\geq 1\", si \"\mathcal{B}\" et \"\mathcal{B}'\" sont deux bases de \"E\", comment passer de l’expression de\u00a0\"\varphi(x,y)\" dans \"\mathcal{B}\" \u00e0 son expression dans \"\mathcal{B}'\"?<\/b><\/p>\r\n

Si \"P\" est la matrice de passage de \"\mathcal{B}\" \u00e0 \"\mathcal{B}'\", si \"x\" et \"y\" ont pour matrices \"X\" et \"Y\" dans \"\mathcal{B}\", \"X'\"\r\net \"Y'\" dans \"\mathcal{B}'\", si \"A\" est la matrice de \"\varphi\" dans \"\mathcal{B}\" et \"A'\" sa matrice dans \"\mathcal{B}'\", on a:\r\n\"X=PX'\", \"Y=PY'\", et \"\varphi(x,y)=(^{t}X)AY=(^{t}X')(^{t}P)APY'\", donc \"A'=(^{t}P)AP\".<\/p>\r\n

Exemple<\/b> :\u00a0\"\mathbb{R}^{2}\" est muni de la base canonique \"\mathcal{B}\", \"\varphi(x,y)=2x_{1}y_{1}-3x_{2}y_{2}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\". Ecrire l’expression de \"\varphi\" \u00e0 l’aide des coordonn\u00e9es de \"x\" et \"y\" dans \"\mathcal{B}'\" o\u00f9 \"\mathcal{B}'=(e_{1}+e_{2},-e_{1}+e_{2})\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"A=\begin{pmatrix} 2& 1\\ 1& -3\end{pmatrix}\" et \"P=\begin{pmatrix} 1& -1\\ 1& 1\end{pmatrix}\", donc\r\n\"A'=\begin{pmatrix} 1& -5\\ -5& -3\end{pmatrix}\", d’o\u00f9:<\/p>\r\n

\"\varphi(x,y)=x'_{1}y'_{1}-3x'_{2}y'_{2}-5x'_{1}y'_{2}-5 x'_{2}y'_{1}\".<\/p>\r\n\r\n

2. Produit scalaire, norme associ\u00e9e<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 5 : \u00a0Comment savoir si une application \"\varphi:E\times E\to \mathbb{R}\" est un produit scalaire?\r\n<\/b><\/p>\r\n

Pour que \"\varphi\" soit un produit scalaire, il faut et il suffit qu’elle soit:\r\n\"\bullet\" bilin\u00e9aire\r\n\"\bullet\" sym\u00e9trique : \"\forall (x,y)\in E\times E\", \"\varphi(x,y)=\varphi(y,x)\"\r\n\"\bullet\" d\u00e9finie positive : \"\forall x\in E\", \"\varphi(x,x)\geq 0\", et si \"\varphi(x,x)=0\", alors \"x=0\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 6 : Comment d\u00e9finir et utiliser le produit scalaire canonique dans \"\mathbb{R}^{n}\"?<\/b><\/p>\r\n

On note \"(e_{1},\dots,e_{n})\" la base canonique de \"\mathbb{R}^{n}\". Le produit scalaire canonique est d\u00e9fini par :\u00a0si \"x,y\" appartiennent \u00e0 \"\mathbb{R}^{n}\", \"\displaystyle x=\sum_{i=1}^{n}x_{i}e_{i}\", \"\ \displaystyle y=\sum_{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\", alors<\/p>\r\n\r\n

\r\n\r\n\"<x,y>=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\".\r\n\r\n \r\n\r\nLes matrices de \"x\" et \"y\" dans la base canonique sont \"X=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\x_{n} \end{pmatrix}\" et\r\n\"Y=\begin{pmatrix} y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{pmatrix}\". L’expression matricielle du produit scalaire canonique est donc:\r\n\r\n<\/div>\r\n
\"<x,y>=(^{t}X)Y\".<\/div>\r\n
<\/div>\r\n
La matrice du produit scalaire canonique dans la base canonique est \"I_{n}\".<\/div>\r\n
<\/div>\r\n
Exemple\u00a0<\/b>:<\/span><\/div>\r\n
<\/div>\r\n
\r\n

Dans \"\mathbb{R}^{3}\": \"x=(-1,2,3)\" et \"y=(4,-1,2)\". Le produit scalaire (canonique) de \"x\" et \"y\" est :<\/p>\r\n

(i) 4<\/p>\r\n

(ii) 6<\/p>\r\n

(iii) 0<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On a: \"0\leq X\leq Y\", donc \"\mathbb{E}(X)\" existe et \"0\leq \mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)\".<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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La pratique et la compr\u00e9hension
cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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M\u00e9thode 7 : \u00a0Y a-t-il d’autres produits scalaires usuels que des produits scalaires d\u00e9finis sur \"\mathbb{R}^{n}\"?<\/b><\/p>\r\n

Oui. Par exemple, si \"E=C^{0}([a,b])\" est l’espace vectoriel des fonctions<\/a> d\u00e9finies et continues sur l’intervalle \"[a,b]\", \u00e0 valeurs r\u00e9elles, on d\u00e9finit un\u00a0produit scalaire sur \"E\" en posant, pour \"f\" et \"g\" dans \"E\",<\/p>\r\n

\"<f,g>=\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt\".<\/p>\r\n

Exemple<\/b>\u00a0:<\/p>\r\n

En posant \"f,g=\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)g(t)dt\", on d\u00e9finit un produit scalaire sur :\r\n(i) \"E=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}\}\"?<\/p>\r\n

(ii) \"E=\{f:[0,1]\to\mathbb{R} |\: f\" est d\u00e9rivable sur \"[0,1]\}\"?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

(i) Non : en prenant \"f(t)=0\" si \"t\neq 1/2\" et \"f(1/2)=1\", on a \"<f,f>=0\", mais \"f\neq 0\";<\/p>\r\n

(ii) Oui : les fonctions d\u00e9rivables sur [0,1] sont continues sur \"[0,1]\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode\u00a0 8 : Comment calculer la norme d’un vecteur? Quelles sont les propri\u00e9t\u00e9s de la norme?<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"E\" est muni d’un produit scalaire, la norme associ\u00e9e au produit scalaire est d\u00e9finie par :\u00a0\"||x||=\sqrt{<x,x>}\".<\/p>\r\n\r\n

Elle v\u00e9rifie les propri\u00e9t\u00e9s caract\u00e9ristiques d’une norme, \u00e0 savoir :\r\npour tout \"x\" de \"E\", \"||x||\geq 0\", et si \"|x||=0\", alors \"x=0\";\r\npour tout \"x\" de \"E\", et tout \"\lambda\" de \"\mathbb{R}\", \"||\lambda x||=|\lambda|\ ||x||\";\r\npour tous \"x,y\" de \"E\", \"||x+y||\leq ||x||+||y||\" (in\u00e9galit\u00e9 triangulaire).<\/div>\r\n
<\/div>\r\n
\"\bullet\" Si \"\mathbb{R}^{n}\" est muni du produit scalaire canonique, si \"x=(x_{1},\dots,x_{n})\",\r\n\"||x||^{2}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=(^{t}X)X\".<\/div>\r\n
<\/div>\r\n
\r\n\r\nExemple :\u00a0<\/b>Dans \"\mathbb{R}^{3}\", \"x=(1,0,-2)\" et \"y=(2,b,4)\" o\u00f9 \"b>0\". La norme de \"x+y\" est \"5\".\u00a0<\/span>\r\n\r\nQuelle est la valeur de \"b\" ?\r\n\r\nR\u00e9ponse<\/strong> : \"2\sqrt{3}\"\r\n\r\nM\u00e9thode 9 :\u00a0\u00a0Quelles sont les relations d’\u00e9galit\u00e9 ou d’in\u00e9galit\u00e9 \u00e0 conna\u00eetre entre produit scalaire et norme?\r\n<\/b>\r\n\r\n\"\bullet\" \"<x,y>=\dfrac{1}{2}\left(||x+y||^{2}-||x||^{2}-||y||^{2}\right)\".\r\n\r\nCette relation permet de retrouver le produit scalaire \u00e0 l’aide de la norme.\r\n\r\n\"\bullet\" \"|<x,y>|\leq \dfrac{1}{2}(||x||^{2}+||y||^{2})\".\r\n\r\nCette relation d\u00e9coule de \"||x+y||^{2}\geq 0\" et \"||x-y||^{2}\geq 0\".\r\n\r\n\"\bullet\" In\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz: \"|<x,y>|\leq ||x||\ ||y||\".\r\n\r\nLes cas o\u00f9 l’\u00e9galit\u00e9 est obtenue dans cette in\u00e9galit\u00e9 sont:\r\n\r\n\"<x,y>=||x||\ ||y||\" si et seulement si \"x=0\" ou \"y=\lambda x\", \"\lambda\geq 0\";\r\n\r\n\"<x,y>=-||x||\ ||y||\" si et seulement si \"x=0\" ou \"y=\lambda x\", \"\lambda\leq 0\".\r\n\r\nExemple :\u00a0<\/b>Si \"E=C^{0}([a,b])\" est muni du produit scalaire \"<f,g>=\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt\", alors on a:\r\n\r\n(i) : \"\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt \leq \int_{a}^{b}f^{2}(t)dt \int_{a}^{b}g^{2}(t)dt\" ?\r\n\r\n(ii) : \"\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt\" \"\leq\dfrac{1}{2}\left(\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt+\int_{a}^{b}g^{2}(t)dt\right)\" ?\r\n\r\n(iii) : \"\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt\" \"\leq \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt}+\sqrt{\int_{a}^{b}g^{2}(t)dt}\right)\" ?\r\n\r\n(iv) : \"\displaystyle \int_{a}^{b}f(t)g(t)dt\" \"\leq\sqrt{\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt}\ \sqrt{\int_{a}^{b}g^{2}(t)dt}\" ?\r\n

3. Orthogonalit\u00e9<\/h3>\r\nM\u00e9thode 10 : \u00a0\"E\" est muni d’un produit scalaire. Quand peut-on parler d’orthogonalit\u00e9 entre \u00e9l\u00e9ments ou parties de \"E\"?<\/b>\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"x\" et \"y\" sont deux vecteurs de \"E\", on calcule<\/a> \"<x,y>\": si \"<x,y>=0\", on dira que \"x\" et \"y\" sont orthogonaux (ou que \"x\" est orthogonal \u00e0 \"y\", ou que \"y\" est orthogonal \u00e0 \"x\"), et on notera \"x\perp y\"; sinon, \"x\" et \"y\" ne sont pas orthogonaux.\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"x\" est un vecteur de \"E\" et si \"A\" est une partie de \"E\" ou une famille de vecteurs de \"E\", on dira que \"x\" est orthogonal \u00e0 \"A\" si \"x\" est orthogonal \u00e0 tout vecteur de \"A\", et on notera \"x\perp A\".\r\n\r\nEn particulier, si \"F\" est un sous-espace vectoriel<\/a> de \"E\", si \"A=(y_{1},\dots,y_{p})\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"F\", \"x\" est orthogonal \u00e0 \"F\" si et seulement si \"x\" est orthogonal \u00e0 \"A\".\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"A\" et \"B\" sont deux parties de \"E\", on dira que \"A\" et \"B\" sont orthogonales (ou que \"A\" est orthogonale \u00e0 \"B\") si tout vecteur de \"A\" est orthogonal \u00e0 tout vecteur de \"B\" (ou si tout vecteur de \"A\" est orthogonal \u00e0 \"B\"), et on notera alors \"A\perp B\".\r\n\r\nEn particulier, si \"F\" et \"G\" sont deux sous-espaces vectoriels de \"E\", si \"A=(x_{1},\dots,x_{k})\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"F\" et \"B=(y_{1},\dots,y_{p})\" est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice de \"G\", \"F\" et \"G\" sont orthogonaux si et seulement si \"A\" et \"B\" sont orthogonales.\r\n\r\nExemple\u00a0<\/b>:\u00a0\"E=C^{0}([-\pi,\pi])\" est muni du produit scalaire \"<f,g>=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)dt\",\r\n\r\n\"F=\{t\to a\sin^{2}(t)+b\cos^{2}(t)|a,b\in\mathbb{R}\}\",\r\net \"G=\{t\to \lambda t^{k}|\lambda\in\mathbb{R}\}\", o\u00f9 \"k\in \mathbb{N}\".\r\n\r\nPour quelles valeurs de \"k\" a-t-on \"F\perp G\" ?\r\n\r\nM\u00e9thode 11 : \u00a0\"E\" est muni d’un produit scalaire. Quel est l’ensemble des vecteurs orthogonaux \u00e0 un vecteur donn\u00e9? \u00e0 une partie donn\u00e9e?\r\n<\/b>\r\n\"\bullet\" Si \"x\in E\", l’ensemble des vecteurs de \"E\" orthogonaux \u00e0 \"x\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" appel\u00e9 l’orthogonal de \"x\" et not\u00e9 \"x^{\perp}\":\r\n\"x^{\perp}=\{y\in E|<x,y>=0\}\". En particulier \"0^{\perp}=E\".\r\n\r\nPour tout \"x\" de \"E\", on a: \"x\perp x^{\perp}\", et si \"A\" est une partie de \"E\", \"x\perp A\" \u00e9quivaut \u00e0 \"A\subset x^{\perp}\".\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"A\" est une partie de \"E\", l’ensemble des vecteurs de \"E\" orhogonaux \u00e0 \"A\" est un sous-espace vectoriel de \"E\" appel\u00e9 l’orthogonal de \"A\" et not\u00e9 \"A^{\perp}\". En particulier \"E^{\perp}=\{0\}\".\r\n\r\nOn a encore \"A\perp A^{\perp}\", et si \"A\" et \"B\" sont deux parties de \"E\", \"A\perp B\" \u00e9quivaut \u00e0 \"A\subset B^{\perp}\" (ou \u00e0 \"B\subset A^{\perp}\"). En prenant \"B=A^{\perp}\", on obtient \"A\subset (A^{\perp})^{\perp}\".\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"A\" est une partie finie, \"A=\{x_{1},\dots,x_{k}\}\", alors \"A^{\perp}=(\textrm{Vect}(x_{1},\dots,x_{k}))^{\perp}\".\r\n\r\nExemple\u00a0<\/b>:\r\n\r\n\"\mathbb{R}^{3}\" est muni du produit scalaire canonique, \"u=(2, -3,1)\".\r\n\r\nQuelle est l’\u00e9quation de \"u^{\perp}\" ?\r\n\r\nR\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0 \"2x-3y+z=0\"\r\n\r\nM\u00e9thode 12 : \u00a0\"E\" est muni d’un produit scalaire. Qu’est-ce qu’une famille orthogonale? une famille orthonormale?<\/b>\r\n\r\nUne famille \"(x_{1},\dots,x_{k})\" de vecteurs de \"E\" est\r\n\r\n\"\bullet\" orthogonale si pour \"1\leq i<j\leq k\", \"\ x_{i}\" est orthogonal \u00e0 \"x_{j}\";\r\n\r\n\"\bullet\" orthonormale si elle est orthogonale et si tous les vecteurs de la famille sont unitaires (c’est-\u00e0-dire de norme \"1\").\r\n\r\nUne famille orthogonale form\u00e9e de vecteurs tous non nuls est libre. Une famille orthonormale est libre.\r\n\r\nExemple\u00a0<\/b>:\r\n\r\n\"E=C^{0}([0,\pi])\" est muni du produit scalaire \"f,g=\displaystyle \int_{0}^{\pi}f(t)g(t)dt\".\r\nLa famille \"(t\to a\sin(t), t\to b\cos(t))\" est orthonormale si et seulement si:\r\n(i) \"a=\pi/2\" et \"b=-\pi/2\"?\r\n\r\n(ii) \"a=b=\sqrt{2/\pi}\"?\r\n\r\n(iii) \"a^{2}+b^{2}=1\"?\r\n\r\nR\u00e9ponse<\/strong> : (ii)\r\n
<\/div>\r\nM\u00e9thode 13 :\u00a0\u00a0\"E\" est muni d’un produit scalaire. Comment exploiter l’orthogonalit\u00e9?\r\n<\/b>\r\n\r\n\"\bullet\" Pour montrer qu’un vecteur de \"E\" est nul, on peut montrer qu’il est orthogonal \u00e0 tous les vecteurs de \"E\".\r\n\r\n\"\bullet\" Pour montrer qu’une famille est libre, on peut v\u00e9rifier que les vecteurs qui la composent sont non nuls, et montrer qu’elle est orthogonale.\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"F\" et \"G\" sont deux sous-espaces vectoriels de \"E\" orthogonaux, \"F\cap G=\{0\}\", la somme \"F+G\" est directe.\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"(e_{1},\dots,e_{k})\" est une famille orthonormale de \"E\", pour tout \"x\" de \"E\", \"\displaystyle x-\sum_{i=1}^{k}<x,e_{i}>e_{i}\" est\r\northogonal \u00e0 \"\textrm{Vect}(e_{1},\dots,e_{k})\".\r\n\r\nExemple\u00a0<\/b>:\r\n\r\n\"E=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}| f\" est polynomiale \u00e0 coefficients r\u00e9els\".\}\"\r\n\r\nOn suppose que \"u\in E\" et que \"\forall k\in \mathbb{N}\",\r\n\"\displaystyle \int_{0}^{1}t^{k}u(t)dt=0\".\r\n\r\nA-t-on \"u=0\" ?\r\n\r\nR\u00e9ponse<\/strong> : Oui, on munit \"E\" du produit scalaire d\u00e9fini par: \"<f,g>=\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)g(t)dt\";\r\n\r\n\"u\" est orthogonale \u00e0 toutes les fonctions de \"E\", donc \"u=0\" .\r\n\r\nM\u00e9thode 14 :\u00a0\u00a0Comment relier l’orthogonalit\u00e9 \u00e0 la norme?\r\n<\/b>\r\n\r\nEn utilisant le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore: \"x\" et \"y\" sont orthogonaux si et seulement si \"||x+y||^{2}=||x||^{2}+||y||^{2}\".\r\n\r\nExemple\u00a0<\/b>:\u00a0\"E\" est muni d’un produit scalaire, \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\", \"u\" un vecteur de \"E\", et \"v_{0}\" un vecteur de \"F\" tel que: \"u-v_{0}\perp F\".\r\n\r\nMontrer que, pour tout vecteur \"v\" de \"F\", \"||u-v||\geq ||u-v_{0}||\".\r\n\r\nR\u00e9ponse<\/strong> : si \"v\in F\", \"v_{0}-v\in F\", donc \"u-v_{0}\perp v_{0}-v\"; en remarquant que \"u-v=(u-v_{0})+(v_{0}-v)\" et en utilisant le th\u00e9or\u00e8me de Pythagore,\r\n\"||u-v||^{2}=||u-v_{0}||^{2}+||v_{0}-v||^{2}\", donc \"||u-v||^{2}\geq||u-v_{0}||^{2}\".\r\n

4. Espaces euclidiens<\/h3>\r\n<\/div>\r\n

M\u00e9thode 15 :\u00a0\u00a0Qu’est-ce qu’un espace euclidien? Quelle en est la principale propri\u00e9t\u00e9?\r\n<\/b><\/p>\r\n

C’est un espace vectoriel sur \"\mathbb{R}\" de dimension finie, muni d’un produit scalaire.<\/p>\r\n\r\n

Dans un espace euclidien diff\u00e9rent de \"\{0\}\", il existe des bases orthonorm\u00e9es (ou orthonormales). \r\n<\/strong><\/div>\r\n
<\/div>\r\n
Exemple<\/strong> :\u00a0 <\/span>\"\mathbb{R}^{n}\", \"n\geq 1\", est un espace euclidien.<\/span><\/div>\r\n
\r\n\r\nLa base canonique de \"\mathbb{R}^{n}\" est-elle orthonorm\u00e9e pour le produit scalaire canonique ?\r\n\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Oui<\/p>\r\n

M\u00e9thode 16 :\u00a0\u00a0Si \"E\" est euclidien, comment savoir qu’une famille de vecteurs de \"E\" est une b.o.n. (base orthonorm\u00e9e ou base orthonormale) de \"E\"?<\/b><\/p>\r\n

Si \"\textrm{dim}(E)=n\", il suffit de v\u00e9rifier que la famille a \"n\" \u00e9l\u00e9ments et qu’elle est orthonormale.<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>: \"E\" est un espace euclidien \"F\" et \"G\" sont deux sous-espaces vectoriels de \"E\",distincts de \"\{0\}\", suppl\u00e9mentaires: \"E=F\oplus G\".\r\n\"(x_{1},\dots,x_{k})\" est une b.o.n. de \"F\", \"(y_{1},\dots,y_{p})\" est une b.o.n. de \"G\". Alors:\r\n(i) \"(x_{1},\dots,x_{k},y_{1},\dots,y_{p})\" est une b.o.n. de \"E\" ?\r\n(ii) \"(x_{1},\dots,x_{k},y_{1},\dots,y_{p})\" est une b.o.n. de \"E\" si et seulement si \"k+p=n\" ?\r\n(iii) \"(x_{1},\dots,x_{k},y_{1},\dots,y_{p})\" est une b.o.n. de \"E\" si et seulement si \"F\perp G\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (iii) La\u00a0famille a \"k+p\" \u00e9l\u00e9ments et \"k+p=n\" puisque \"E=F\oplus G\", tous les vecteurs sont de norme \"1\", et elle est orthogonale si et seulement si\r\n\"\textrm{Vect}(x_{1},\dots,x_{k})\" est orthogonal \u00e0 \"\textrm{Vect}(y_{1},\dots,y_{p})\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 17 :\u00a0\u00a0Si \"E\" est euclidien, comment construire une b.o.n. de \"E\"?\r\n<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"E\" est de dimension \"n\", \"n\geq 1\", si \"(u_{1},\dots,u_{n})\" est une base de \"E\", on peut construire la b.o.n. \"(e_{1},\dots,e_{n})\"\u00a0d\u00e9duite de \"(u_{1},\dots,u_{n})\" par le proc\u00e9d\u00e9 de Schmidt:<\/p>\r\n

\"e_{1}=\dfrac{1}{||u_{1}||}u_{1}\" et, pour \"0\leq k\leq n-1\", si<\/p>\r\n

\"v_{k+1}=\displaystyle u_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}u_{k+1},e_{i}e_{i}\\", \"e_{k+1}=\dfrac{1}{||v_{k+1}||}v_{k+1}\".<\/p>\r\n

C’est l’unique b.o.n. de \"E\" telle que, pour tout \"k\" tel que \"1\leq k\leq n\", on ait:<\/p>\r\n

\"\textrm{Vect}(e_{1},\dots,e_{k})=\textrm{Vect}(u_{1},\dots,u_{k})\" et \"e_{k},u_{k}0\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"E\" est de dimension \"n\", \"n\geq 2\", si \"(e_{1},\dots,e_{k})\", \"kn\", est une famille orthonormale de \"E\", on peut la compl\u00e9ter en une base\u00a0orthonorm\u00e9e \"(e_{1},\dots,e_{k},\dots,e_{n})\" de \"E\".<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/p>\r\n

Dans \"\mathbb{R}^{3}\" muni du produit scalaire canonique, on donne les vecteurs\r\n\"u_{1}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\", \"u_{2}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\", \"u_{3}=\begin{pmatrix} 0\\1 \\1\end{pmatrix}\", qui forment une base \"\mathcal{B}\" de \"\mathbb{R}^{3}\".<\/p>\r\n

La b.o.n. \"(v_{1},v_{2},v_{3})\" d\u00e9duite de \"\mathcal{B}\" par le proc\u00e9d\u00e9 de Schmidt est:\r\n(i) \"\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\-1\end{pmatrix}\", \"\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1\\-1\\ 1\end{pmatrix}\", \"\dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1\end{pmatrix}\" ?\r\n(ii) \"\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 0\\-1\end{pmatrix}\", \"\dfrac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\1 \\1\end{pmatrix}\", \"\dfrac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}-1 \\2 \\-1\end{pmatrix}\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (ii)<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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M\u00e9thode 18 :\u00a0\u00a0Comment utilise-t-on les bases orthonorm\u00e9es?\r\n<\/b><\/p>\r\n

Si \"(e_{1},\dots,e_{n})\" est une base orthonorm\u00e9e de \"E\",<\/p>\r\n\r\n

\"\bullet\" si \"x\in E\", \"\displaystyle x=\sum_{i=1}^{n}<x,e_{i}>e_{i}\" et \"||x||^{2}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}<x,e_{i}>^{2}\";<\/div>\r\n
\"\bullet\" si \"x,y\in E\", si \"X,Y\" sont les matrices de \"x\" et \"y\" dans la base \"(e_{1},\dots,e_{n})\", alors<\/div>\r\n
\"<x,y>=(^{t}X)Y\" et \"||x||^{2}=(^{t}X)X\";\r\n\"\bullet\" si \"f\in \mathcal{L}(E)\", la matrice \"M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\" de \"f\" dans la base \"(e_{1},\dots,e_{n})\" est donn\u00e9e par<\/div>\r\n
\r\n\r\n\"m_{i,j}=<f(e_{j}),e_{i}>\".\r\n
\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:\u00a0\"\mathbb{R}^{2}\" est muni du produit scalaire canonique.\r\nSi \"v_{1}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}\" et\r\n\"v_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} -2\\ 1\end{pmatrix}\", \"\mathcal{B}=(v_{1},v_{2})\" est une b.o.n. de \"\mathbb{R}^{2}\".\r\nSi \"x=(x_{1}, x_{2})\", les coordonn\u00e9es de \"x\" dans \"\mathcal{B}\" sont:\r\n(i) \"(\sqrt{5}(2x_{1}+x_{2}), \sqrt{5}(x_{1}+2x_{2})\" ?\r\n(ii) \"\dfrac{1}{\sqrt{5}}(x_{1}+2x_{2}), \dfrac{1}{\sqrt{5}}(-2x_{1}+x_{2})\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (ii)<\/p>\r\n

M\u00e9thode 19 :\u00a0\u00a0Dans un espace euclidien, comment changer de b.o.n.? Qu’est-ce qu’une matrice orthogonale?\r\n<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"\mathcal{B}=(e_{1},\dots,e_{n})\" et \"\mathcal{B}'=(e'_{1},\dots,e'_{n})\" sont deux b.o.n. de \"E\", si \"P=(p_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\" est la matrice de passage\u00a0de \"\mathcal{B}\" \u00e0 \"\mathcal{B}'\", alors \"p_{i,j}=e'_{j},e_{i}\". On a donc \"P^{-1}=^{t}\!\!P\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Une matrice carr\u00e9e inversible \"P\" qui v\u00e9rifie \"P^{-1}=^{t}\!\!P\" est une matrice orthogonale.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"P\" est une matrice orthogonale, si \"\mathcal{B}\" est une b.o.n. de \"E\", \"P\" est la matrice de passage de \"\mathcal{B}\" \u00e0 une base \"\mathcal{B}'\" de \"E\";\u00a0alors, \"\mathcal{B}'\" est une base orthonorm\u00e9e de \"E\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Une matrice est orthogonale si et seulement si c’est une matrice de passage entre deux b.o.n. de \"E\".<\/p>\r\n

Exemple :\u00a0<\/b><\/p>\r\n

\"P=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{6}\\ 0& 1/\sqrt{3}& 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{3}& \lambda\end{pmatrix}\".\r\n(i) \"P\" est orthogonale si et seulement si \"\lambda=1/\sqrt{6}\" ?\r\n(ii) \"P\" est orthogonale si et seulement si \"\lambda=-1/\sqrt{6}\" ?\r\n(iii) \"P\" n’est orthogonale pour aucun \"\lambda\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (i)<\/p>\r\n

M\u00e9thode 20 :\u00a0\u00a0Dans un espace euclidien, quelles sont les propri\u00e9t\u00e9s des sous-espaces orthogonaux?\r\n<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"F\" et \"G\" sont deux sous-espaces vectoriels orthogonaux d’un espace euclidien \"E\", alors:\r\n(i) \"\textrm{dim}(F)+\textrm{dim}(G)\leq \textrm{dim}(E)\";\r\n(ii) si \"\textrm{dim}(F)+\textrm{dim}(G)=\textrm{dim}(E)\", alors \"E=F\oplus G\";<\/p>\r\n

\"\bullet\" (i) Si \"F\" est un sous-espace vectoriel de \"E\", alors \"E=F\oplus F^{\perp}\";\r\n(ii) Si \"F\perp G\" et \"E=F\oplus G\", alors \"G=F^{\perp}\": \"F^{\perp}\" est le suppl\u00e9mentaire orthogonal de \"F\".<\/p>\r\n

Exemple :\u00a0<\/b>\"E\" est un espace euclidien de dimension \"2n\", \"n\geq 2\", muni d’une b.o.n. \"(e_{1},\dots,e_{2n})\".\r\n\"F=\textrm{Vect}(e_{2k})_{1\leq k\leq n}\". Trouver \"F^{\perp}\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Si \"G=\textrm{Vect}(e_{2k+1})_{0\leq k\leq n-1}\", on a \"E=F\oplus G\" et \"F\perp G\", donc \"F^{\perp}=G\".<\/p>\r\nAm\u00e9liorez votre niveau de maths en travaillant sur les cours en ligne de maths en ECS2 qui suivent :\r\n