{"id":30525,"date":"2019-07-05T16:22:18","date_gmt":"2019-07-05T15:22:18","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30525"},"modified":"2022-07-13T13:59:49","modified_gmt":"2022-07-13T12:59:49","slug":"cours-en-ligne-exercices-algebre-bilineaire-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-algebre-bilineaire-ecs2\/","title":{"rendered":"Alg\u00e8bre bilin\u00e9aire en ECS2 – Exercices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices : Alg\u00e8bre bilin\u00e9aire en ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Exercices : Produit Scalaire, matrices commutantes et base orthonorm\u00e9e<\/h2>\n

Exercice 1 : <\/b>Calcul de \"M^{k}\"<\/h3>\n

Si \"x=(x_{1},x_{2},x_{3})\" et \"y=(y_{1},y_{2},y_{3})\"sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{R}^{3}\", on pose:<\/p>\n

\"\varphi(x,y)\" = \"x_{2}y_{2}+2x_{3}y_{3}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}\"<\/p>\n

Question 1 :
\n<\/b><\/p>\n

Montrer que \"\varphi\" est une forme bilin\u00e9aire sur \"\mathbb{R}^{3}\" et trouver sa matrice \"A\" dans la base canonique de \"\mathbb{R}^{3}\".<\/p>\n

\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Est-ce que \"\varphi\" est sym\u00e9trique?<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Est-ce que \"\varphi\" est un produit scalaire ?<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"f\" est l’endomorphisme<\/a> de \"\mathbb{R}^{3}\" dont la matrice<\/a> est \"M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ -1 & 1 & -1\\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

On pose, pour \"x\", \"y\", dans \"\mathbb{R}^{3}\", \"\psi(x,y)=\varphi(x,f(y))\".<\/p>\n

Montrer que \"\psi\" est une forme bilin\u00e9aire sur \"\mathbb{R}^{3}\" et en donner la matrice.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 : Produit scalaire<\/b><\/h3>\n

\"\mathbb{R}^{n}\", \"n\geq2\", est muni de la base canonique \"(e_{1},\dots,e_{n})\", et \"f:[0,1]\to\mathbb{R}^{+*}\" est une application continue.<\/p>\n

On d\u00e9finit l’application \"\varphi:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\" par:<\/p>\n

\"\varphi\" est bilin\u00e9aire, et, pour tous \"i,j\" de \"\llbracket 1,n \rrbracket\", \"\varphi(e_{i},e_{j})=\displaystyle \int_{0}^{1}e^{(i+j)t}f(t)dt\".<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

Donner, pour \"x\", \"y\" dans \"\mathbb{R}^{n}\", l’expression de \"\varphi(x,y)\" \u00e0 l’aide des coordonn\u00e9es de \"x\" et \"y\".<\/div>\n
\n


\nQuestion 2 :<\/b><\/p>\n

Montrer que \"\varphi\" est un produit scalaire.<\/p>\n<\/div>\n

Exercice 3 : Calcul de produit scalaire<\/b><\/h3>\n

\"E\" est l’ensemble des applications \"f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}\" continues sur \"[0,+\infty[\", telles que l’int\u00e9grale<\/p>\n

\"\displaystyle \int_{0}^{+\infty} (f(t))^{2}e^{-t}dt\" converge.<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Montrer que \"E\" est un espace vectoriel sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

Montrer que pour tout \"k\" de \"\mathbb{N}\", la fonction<\/a> \"f_{k}\" qui \u00e0 tout \"t\geq0\" associe \"t^{k}\", appartient \u00e0 \"E\".<\/p>\n

Question 3 :
\n<\/b><\/p>\n

On pose, pour \"f\", \"g\" dans \"E\", \"<f,g>=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t}dt\".<\/p>\n

Montrer que \"<,>\" est un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Calculer<\/a>, pour tous \"k\", \"p\" de \"\mathbb{N}\", \"\ <f_{k},f_{p}>\".<\/p>\n

\n

Exercice 4 : Matrices commutantes<\/b><\/h3>\n

Pour \"n\geq 2\", on d\u00e9signe par \"E\" l’espace vectoriel \"\mathbb{R}_{n}[X]\" des polyn\u00f4mes \u00e0 coefficients r\u00e9els de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\".<\/p>\n

On donne \"n+1\" r\u00e9els \"a_{0},\dots,a_{n}\", non n\u00e9cessairement distincts, et pour \"P\", \"Q\" appartenant \u00e0 \"E\", on pose<\/p>\n

\"<P,Q>\"=\"\displaystyle \sum_{j=0}^{n} P^{(j)}(a_{j})Q^{(j)}(a_{j})\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Montrer que \"<,>\" est un produit scalaire sur \"E\".<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

On prend dans la suite de l’exercice \"a_{0}=\dots=a_{n}=0\".<\/p>\n

La famille \"(1,X,\dots,X^{n})\" est-elle orthogonale pour ce produit scalaire?<\/p>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

Donner une base de \"E\" orthonorm\u00e9e pour ce produit scalaire, et les coordonn\u00e9es d’un polyn\u00f4me \"P\" de \"E\" dans cette base.<\/p>\n

Ce r\u00e9sultat \u00e9tait-il pr\u00e9visible?<\/p>\n

Exercice 5 : Base orthonorm\u00e9e de \"\mathbb{R}^{3}\"<\/b><\/h3>\n

Pour \"x=(x_{1},x_{2},x_{3})\" et \"y=(y_{1},y_{2},y_{3})\" appartenant \u00e0 \"\mathbb{R}^{3}\", on pose:<\/p>\n

\"\varphi(x,y)\"
\n=\"x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3}+x_{1}y_{2}\"
\n+\"x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\"<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Montrer que \"\varphi\" est un produit scalaire sur \"\mathbb{R}^{3}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

On notera \"\varphi(x,y)=<x,y>\"<\/p>\n

La base canonique de \"\mathbb{R}^{3}\" est-elle orthogonale pour ce produit scalaire?<\/p>\n

Construire une base orthonorm\u00e9e de \"\mathbb{R}^{3}\" pour ce produit scalaire.<\/p>\n

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 6 : Existence d’un produit scalaire<\/h3>\n

\"\mathbb{R}^{3}\" est muni de la base canonique \"\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3})\". On d\u00e9finit \"\mathcal{B}'=(v_{1},v_{2},v_{3})\" par:<\/p>\n

\"v_{1}\"=\"e_{1}+e_{3}\",
\n\"v_{2}\"=\"e_{2}-e_{3}\",
\n\"v_{3}\"=\"e_{1}+e_{2}+e_{3}\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Montrer que \"\mathcal{B}'\" est une base de \"\mathbb{R}^{3}\". Trouver la matrice de passage \"P\" de \"\mathcal{B}'\" \u00e0 \"\mathcal{B}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

Montrer qu’il existe un unique produit scalaire \"(\ |\ )\" sur \"\mathbb{R}^{3}\" tel que \"\mathcal{B}'\" soit une base orthonorm\u00e9e pour ce produit scalaire.<\/p>\n

Exercice 7 : Suites et in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz<\/h3>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

\n

On donne deux suites r\u00e9elles \"(a_{n})_{n\in \mathbb{N}^{*}}\" et \"(b_{n})_{n\in \mathbb{N}^{*}}\". Montrer que, pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}^{*}\",<\/p>\n

\"\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}\leq\left(\sum_{k=1}^{n}(a_{k})^{2}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}(b_{k})^{2}\right)\".<\/p>\n<\/div>\n

\n

Question 2 :
\n<\/b><\/p>\n

Trouver toutes les suites r\u00e9elles \"(v_{k})_{k\in \mathbb{N}^{*}}\" telles que, pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}^{*}\",<\/p>\n

\"\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n}v_{k}\right)^{2}=n\sum_{k=1}^{n}(v_{k})^{2}\".<\/p>\n

Exercice 8 : Propri\u00e9t\u00e9s d’un espace vectoriel muni d’un produit scalaire<\/h3>\n

\"E\" est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire.<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"A\" et \"B\" sont deux parties de \"E\". Montrer que \"(A\cup B)^{\perp}=A^{\perp}\cap B^{\perp}\".<\/p>\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"F\" et \"G\" sont deux sous-espaces vectoriels de \"E\". Montrer que \"(F+G)^{\perp}=F^{\perp}\cap G^{\perp}\".<\/p>\n

Le programme de maths en ECS2 est relativement dense, r\u00e9visez donc r\u00e9guli\u00e8rement les chapitres du programme gr\u00e2ce aux cours en ligne :<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n