{"id":30537,"date":"2019-07-05T16:23:25","date_gmt":"2019-07-05T15:23:25","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30537"},"modified":"2022-07-13T14:05:44","modified_gmt":"2022-07-13T13:05:44","slug":"cours-en-ligne-corriges-algebre-bilineaire-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-algebre-bilineaire-ecs2\/","title":{"rendered":"Alg\u00e8bre bilin\u00e9aire en ECS2 – Corrig\u00e9s classiques"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les corrig\u00e9s classiques d’alg\u00e8bre bilin\u00e9aire en ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s classiques d’alg\u00e8bre bilin\u00e9aire ECS2<\/h2>\n

Exercice 1 : <\/b>Calcul de \"M^{k}\"<\/h3>\n

Si \"x=(x_{1},x_{2},x_{3})\" et \"y=(y_{1},y_{2},y_{3})\"sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{R}^{3}\", on pose:<\/p>\n

\"\varphi(x,y)\" = \"x_{2}y_{2}+2x_{3}y_{3}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}\"<\/p>\n

Question 1 :
\n<\/b><\/p>\n

\n

D’apr\u00e8s l’\u00e9nonc\u00e9, \"\varphi(x,y)\" est de la forme \"\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq 3} a_{i,j}x_{i}y_{j}\", donc \"\varphi\" est une forme bilin\u00e9aire sur \"\mathbb{R}^{3}\": \"\varphi(x,y)=(^{t}X)AY\" o\u00f9 \"A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq 3}\", c’est-\u00e0-dire ici<\/p>\n

\"A=\begin{pmatrix} 0& -1&0 \\-1& 1& 1 \\ 0& 1& 2 \end{pmatrix}\".<\/p>\n<\/div>\n

\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\n

La matrice<\/a> \"A\" est sym\u00e9trique, donc \"\varphi\" est sym\u00e9trique.<\/p>\n

Question 3 :\u00a0<\/b><\/p>\n

On voit que \"\varphi(e_{1},e_{1})=0\", et \"e_{1}\" n’est pas le vecteur nul. Donc \"\varphi\" n’est pas un produit scalaire.<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/b><\/p>\n

La matrice de \"f(y)\" (dans la base canonique) est \"MY\", donc \"\psi(x,y)=(^{t}X)A(MY)=(^{t}X)(AM)Y\", donc \"\psi\" est bilin\u00e9aire et sa matrice est \"AM\": \"AM=\begin{pmatrix} 1& -1& 1\\ 0& -2& 1\\ 3& -1& 1\end{pmatrix}\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 2 : Produit scalaire<\/b><\/h3>\n

\"\mathbb{R}^{n}\", \"n\geq2\", est muni de la base canonique \"(e_{1},\dots,e_{n})\", et \"f:[0,1]\to\mathbb{R}^{+*}\" est une application continue.<\/p>\n

On d\u00e9finit l’application \"\varphi:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\" par:<\/p>\n

\"\varphi\" est bilin\u00e9aire, et, pour tous \"i,j\" de \"\llbracket 1,n \rrbracket\", \"\varphi(e_{i},e_{j})=\displaystyle \int_{0}^{1}e^{(i+j)t}f(t)dt\".<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

\n

En \u00e9crivant \"x=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}\", \"\ y=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}y_{j}\", et en utilisant la bilin\u00e9arit\u00e9 de \"\varphi\", on obtient :<\/p>\n

\"\varphi(x,y)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}\int_{0}^{1}e^{(i+j)t}f(t)dt\".<\/p>\n<\/div>\n

\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

On voit que \"\varphi(x,y)=\varphi(y,x)\", quelque soient \"x\" et \"y\", donc \"\varphi\" est sym\u00e9trique.<\/p>\n

Pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\",<\/p>\n

\"\varphi(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^{1}x_{i}e^{it}x_{j}e^{jt}f(t)dt\"
\n=\"\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}e^{it}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}x_{j}e^{jt}\right)f(t)dt\"
\n=\"\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}e^{kt}\right)^{2}f(t)dt\".<\/p>\n

Comme \"f\" est positive, la fonction int\u00e9gr\u00e9e est positive, et les bornes de l’int\u00e9grale sont dans l’ordre croissant, donc \"\varphi(x,x)\geq 0\".<\/p>\n

Si \"\varphi(x,x)=0\", comme la fonction int\u00e9gr\u00e9e est continue et positive, elle est nulle sur \"[0,1]\", et comme \"f\" est strictement positive sur \"[0,1]\",\u00a0pour tout de \"[0,1]\", \"\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_{k}e^{kt}=0\".<\/p>\n

Le polyn\u00f4me \"P(X)=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_{k}X^{k}\" admet donc une infinit\u00e9 de racines (tous les \"e^{kt}\", \"t\in[0,1]\"), donc c’est le polyn\u00f4me nul<\/a>,\u00a0donc tous ses coefficients sont nuls. Donc pour tout \"k\" de \"\llbracket 0,n \rrbracket\", \"x_{k}=0\", donc \"x=0\".<\/p>\n

Donc \"\varphi\" est d\u00e9finie positive.<\/p>\n

\"\varphi\" est une forme bilin\u00e9aire, sym\u00e9trique, d\u00e9finie positive, donc c’est un produit scalaire.<\/p>\n<\/div>\n

Exercice 3 : Calcul de produit scalaire<\/b><\/h3>\n

\"E\" est l’ensemble des applications \"f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}\" continues sur \"[0,+\infty[\", telles que l’int\u00e9grale<\/p>\n

\"\displaystyle \int_{0}^{+\infty} (f(t))^{2}e^{-t}dt\" converge.<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"E\" est inclus dans l’espace vectoriel \"C^{0}([0,+\infty[)\" des applications d\u00e9finies sur \"[0,+\infty[\", \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

La fonction nulle appartient \u00e0 \"E\".<\/p>\n

Si \"f\" appartient \u00e0 \"E\" et si \"\lambda\" est un r\u00e9el, \"\lambda f\" appartient \u00e0 \"E\".<\/p>\n

Si \"f\" et \"g\" appartiennent \u00e0 \"E\", pour tout \"t\" de \"[0,+\infty[\", \"2f(t)g(t)\leq (f(t))^{2}+(g(t))^{2}\", donc<\/p>\n

\"(f(t)+g(t))^{2}\leq 2(f(t)^{2}+g(t)^{2})\",\u00a0donc<\/p>\n

\"0\leq (f(t)+g(t))^{2}e^{-t}\"
\n\"\leq 2(f(t)^{2}e^{-t}+g(t)^{2}e^{-t})\".<\/p>\n

Par comparaison des fonctions<\/a> int\u00e9gr\u00e9es, \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty} (f(t)+g(t))^{2}e^{-t}dt\" converge, donc \"f+g\" appartient \u00e0 \"E\".<\/p>\n

Donc \"E\" est un sous-espace vectoriel de \"C^{0}([0,+\infty[)\", donc \"E\" est un espace vectoriel sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Question 3 :
\n<\/b><\/p>\n

Si \"f\" et \"g\" appartiennent \u00e0 \"E\", le int\u00e9grales \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty[}(f(t)^{2}e^{-t}dt\" et
\n\"\displaystyle \int_{0}^{+\infty[}(g(t)^{2}e^{-t}dt\" convergent.<\/p>\n

Comme \"0\leq|fg|\leq \dfrac{1}{2}(f^{2}+g^{2})\", par comparaison des fonctions int\u00e9gr\u00e9es, \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t}dt\" converge.<\/p>\n

Donc \"<,>\" est bien une application de \"E\times E\" dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

Pour tous \"f\" et \"g\" de \"E\", \"<f,g>=<g,f>\", donc \"<,>\" est sym\u00e9trique.<\/p>\n

Si \"f\", \"g\", \"h\" sont \u00e9l\u00e9ments de \"E\", si \"\lambda\" et \"\mu\" sont des r\u00e9els, par lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9grale,<\/p>\n

\"<f,\lambda g+\mu h>=\lambda <f,g>+\mu <f,h>\",
\ndonc l’application \"<,>\" est lin\u00e9aire \u00e0 droite, et comme elle est sym\u00e9trique, elle est bilin\u00e9aire.<\/p>\n

\"<f,f>=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(t)^{2}e^{-t}dt\": la fonction int\u00e9gr\u00e9e est positive, les bornes sont dans l’ordre croissant, donc \"<f,f> \geq 0\".<\/p>\n

Si \"<f,f>=0\", comme la fonction int\u00e9gr\u00e9e est continue et positive sur \"(0,+\infty[\", elle est identiquement nulle sur \"[0,+\infty[\", et comme, pour tout \"t\",<\/p>\n

\"e^{-t}>0\", \"\ f(t)=0\" pour tout \"t\" de \"[0,+\infty[\", donc \"f=0\".<\/p>\n

Donc \"<,>\" est d\u00e9finie positive.<\/p>\n

Donc \"<,>\" est un produit scalaire.<\/p>\n

Question 4 :\u00a0<\/b><\/p>\n

On calcule<\/a>: \"<f_{k},f_{p}>=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}t^{k+p}e^{-t}dt=\Gamma(k+p+1)=(k+p)!\".<\/p>\n

(On peut aussi calculer directement cette int\u00e9grale en int\u00e9grant par parties).<\/p>\n

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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 4 : Matrices commutantes<\/b><\/h3>\n

Pour \"n\geq 2\", on d\u00e9signe par \"E\" l’espace vectoriel \"\mathbb{R}_{n}[X]\" des polyn\u00f4mes \u00e0 coefficients r\u00e9els de degr\u00e9 inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"n\".<\/p>\n

On donne \"n+1\" r\u00e9els \"a_{0},\dots,a_{n}\", non n\u00e9cessairement distincts, et pour \"P\", \"Q\" appartenant \u00e0 \"E\", on pose<\/p>\n

\"<P,Q>\"=\"\displaystyle \sum_{j=0}^{n} P^{(j)}(a_{j})Q^{(j)}(a_{j})\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

L’application \"(P,Q)\to P,Q\" est bien d\u00e9finie sur \"E\times E\", \u00e0 valeurs r\u00e9elles, puisque des polyn\u00f4mes admettent des d\u00e9riv\u00e9s de tout ordre.<\/p>\n

Pour tous \"P\" et \"Q\" de \"E\", \"P,Q=Q,P\", donc cette application est sym\u00e9trique.<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

Pour tout \"j\" et \"k\" de \"\llbracket 0,n \rrbracket\", \"(X^{k})^{(j)}\" est \u00e9gal \u00e0 \"\dfrac{k!}{(k-j)!}X^{k-j}\" si \"j\leq k\", et vaut \"0\" si \"j>k\".<\/p>\n

Si \"0\leq k< p\leq n\" et si \"j\in \llbracket 0,n \rrbracket\", alors \"(X^{k})^{(j)}(X^{p})^{(j)}=0\" d\u00e8s que \"j>k\", et si \"j<k\", \"(X^{k})^{(j)}(0)=0\",<\/p>\n

donc \"<X^{k},X^{p}>=(X^{k})^{(k)}({0})(X^{p})^{(k)}(0)\". Comme \"k<p\", \"\ (X^{p})^{(k)}(0)=0\", donc \"<X^{k},X^{p}>=0\".<\/p>\n

Donc la base canonique de \"\mathbb{R}_{n}([X])\" est orthogonale pour ce produit scalaire.<\/p>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

Pour tout \"k\in \llbracket 0,n \rrbracket\", \"||X^{k}||^{2}=(X^{k})^{(k)}(0))^{2}=(k!)^{2}\", donc \"\dfrac{1}{k!}X^{k}\" est de norme \"1\".<\/p>\n

Donc \"(1,X,\dfrac{1}{2!}{X^{2}},\dots,\dfrac{1}{n!}X^{n})\" est une base orthonorm\u00e9e de \"E\".<\/p>\n

Pour tout \"P\" de \"E\", on a: \"P(X)=\displaystyle \sum_{j=0}^{n} <P,\dfrac{1}{k!}X^{k}> \dfrac{1}{k!}X^{k}\". Comme \"(X^{k})^{j}(0)=0\" pour \"j\neq k\",<\/p>\n

\"\ <P,X^{k}>=P^{(k)}(0)((X^{k})^{(k)}(0))=P^{(k)}(0)\times k!\", donc \"P(X)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}P^{(k)}(0)\dfrac{1}{k!}X^{k}\".<\/p>\n

On retrouve l’expression de \"P(X)\" obtenue \u00e0 l’aide de la formule de Taylor pour les polyn\u00f4mes.<\/p>\n

Exercice 5 : Base orthonorm\u00e9e de \"\mathbb{R}^{3}\"<\/b><\/h3>\n

Pour \"x=(x_{1},x_{2},x_{3})\" et \"y=(y_{1},y_{2},y_{3})\" appartenant \u00e0 \"\mathbb{R}^{3}\", on pose:<\/p>\n

\"\varphi(x,y)\"
\n=\"x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3}+x_{1}y_{2}\"
\n+\"x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\"<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"\varphi(x,y)\" est de la forme \"\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq3} a_{i,j}x_{i}y_{j}\", donc \"\varphi\" est bilin\u00e9aire et, si \"X\" et \"Y\" sont les matrices
\n(colonnes) de \"x\" et \"y\" dans la base canonique, \"\varphi(x,y)=(^{t}X)AY\" o\u00f9 \"A=\begin{pmatrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 3\end{pmatrix}\".<\/p>\n

La matrice \"A\" est sym\u00e9trique, donc \"\varphi\" est sym\u00e9trique.<\/p>\n

Pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{3}\",<\/p>\n

\"\varphi(x,x)\"
\n=\"x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}\"
\n=\"x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}\"
\n+\"\left((x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\right)\"
\n=\"(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}+x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}\",<\/p>\n

Donc \"\varphi(x,x)\geq 0\".<\/p>\n

Si \"\varphi(x,x)=0\", alors \"x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, x_{2}=0\" et \"x_{3}=0\", donc \"x=0\".<\/p>\n

Donc \"\varphi\" est d\u00e9finie positive.<\/p>\n

Donc \"\varphi\" est un produit scalaire.<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

La matrice de \"<,>\" n’est pas diagonale: si \"(e_{1},e_{2},e_{3})\" est la base canonique de \"\mathbb{R}^{3}\", on a par exemple \"<e_{1},e_{2}>=1\";
\ndonc la base canonique n’est pas orthogonale pour ce produit scalaire.<\/p>\n

On construit une b.o.n. \"(u_{1},u_{2},u_{3})\" en utilisant le proc\u00e9d\u00e9 de Schmidt: \"u_{1}=\dfrac{1}{||e_{1}||}e_{1}=e_{1}\";<\/p>\n

\"e_{2}-<e_{2},u_{1}>u_{1}\"
\n=\"e_{2}-e_{1}\" et \"||e_{2}-e_{1}||^{2}\"
\n=\"||e_{2}||^{2}+||e_{1}||^{2}-2<e_{2},e_{1}>\"
\n=\"2+1-2=1\",<\/p>\n

Donc \"u_{2}=-e_{1}+e_{2}\";<\/p>\n

\"e_{3}-<e_{3},u_{1}>u_{1}-<e_{3},u_{2}>u_{2}\"
\n=\"e_{3}-u_{1}-(-1+1)u_{2}\"
\n=\"-e_{1}+e_{3}\" et \"||-e_{1}+e_{3}||^{2}\"
\n=\"1+3-2=2\",<\/p>\n

Donc \"u_{3}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(-e_{1}+e_{3})\".<\/p>\n

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