{"id":30554,"date":"2019-07-05T17:13:32","date_gmt":"2019-07-05T16:13:32","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30554"},"modified":"2023-09-15T13:35:34","modified_gmt":"2023-09-15T12:35:34","slug":"cours-en-ligne-complements-variables-aleatoires-reelles-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-complements-variables-aleatoires-reelles-ecs2\/","title":{"rendered":"Probabilit\u00e9s en ECS2 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n<\/div>\r\n
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Cours : Compl\u00e9ments sur les variables al\u00e9atoires r\u00e9elles en ECS2<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\r\n\r\n\r\nCe cours en ligne consacr\u00e9 aux compl\u00e9ments sur les variables al\u00e9atoire r\u00e9elles en ECS2 repr\u00e9sente une pr\u00e9cieuse ressource pour vous aider \u00e0 avancer tout au long de votre ann\u00e9e en classe pr\u00e9paratoire aux grandes \u00e9coles. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 enrichir votre apprentissage en combinant nos cours gratuits en ligne avec nos cours de soutien en maths<\/a>.\r\n

Valeurs propres & Vecteurs propres et Probas \u00e0 densit\u00e9<\/h2>\r\n

1. G\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s sur les variables al\u00e9atoires r\u00e9elles<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 1 :\u00a0<\/b>Comment utiliser les tribus?<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Un espace probabilisable est un couple \"(\Omega,\mathcal{A})\" o\u00f9 \"\mathcal{A}\" est une tribu sur \"\Omega\": c’est la tribu des \u00e9v\u00e9nements.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Sur \"\mathbb{R}\", la tribu des Bor\u00e9liens est la plus petite tribu contenant tous les intervalles de \"\mathbb{R}\".\r\nOn peut dire aussi que la tribu des Bor\u00e9liens est la plus petite tribu contenant tous les intervalles du type \"]-\infty, x]\", \"x\in \mathbb{R}\", puisqu’on peut \u00e9crire tous les intervalles de \"\mathbb{R}\" \u00e0 l’aide d’intervalles de ce type et des op\u00e9rations passage au compl\u00e9mentaire, intersection au plus d\u00e9nombrable, union au plus d\u00e9nombrable.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Une application \"X:\Omega\to \mathbb{R}\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle sur \"(\Omega,\mathcal{A})\" si, pour tout \"x\in \mathbb{R}\", \"[X\leq x]\in \mathcal{A}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une variable al\u00e9atoire sur \"(\Omega,\mathcal{A})\", la tribu \"\mathcal{A}_{X}\" li\u00e9e \u00e0 \"X\" est la plus petite tribu contenant les \"[X\leq x]\", \"x\in \mathbb{R}\".\r\nAlors, pour tout intervalle \"I\", \"[X\in I]\in \mathcal{A}_{X}\", et m\u00eame pour tout Bor\u00e9lien \"B\", \"[X\in B]\in \mathcal{A}_{X}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Utiliser les tribus permet de faire les op\u00e9rations ensemblistes indiff\u00e9remment sur les Bor\u00e9liens ou sur les \u00e9l\u00e9ments de \"\mathcal{A}_{X}\", comme on le trouve le plus commode,\r\non passe des uns aux autres \u00e0 l’aide de \"X\".\r\nOn ne cherche pas, en g\u00e9n\u00e9ral, \u00e0 d\u00e9crire tous les \u00e9l\u00e9ments d’une tribu; on s’en sert, tout simplement.<\/p>\r\n

Exemple<\/b>\u00a0:\u00a0\"X\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle sur \"(\Omega,\mathcal{A})\". Est-ce que \"[|X|>2]\" appartient \u00e0 \"\mathcal{A}_{X}\"?<\/p>\r\n

M\u00e9thode 2 :\u00a0Comment montrer que \"X\" est une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle?<\/b><\/p>\r\n

On v\u00e9rifie d’abord que \"X\" est une application de \"\Omega\" dans \"\mathbb{R}\". Puis on peut<\/p>\r\n

\"\bullet\" Montrer que, pour tout \"x\" r\u00e9el, \"[X\leq x]\" est un \u00e9v\u00e9nement;<\/p>\r\n

\"\bullet\" Remarquer que \"X\" s’\u00e9crit comme combinaison lin\u00e9aire, somme, ou produit de variables r\u00e9elles, et utiliser: si \"U\" et \"V\" sont deux variables r\u00e9elles sur\u00a0\"(\Omega,\mathcal{A})\", si \"a\" et \"b\" sont deux r\u00e9els, alors \"aU+b\", \"U+V\", \"UV\" sont des variables al\u00e9atoires r\u00e9elles sur \"(\Omega,\mathcal{A})\".<\/p>\r\n

Exemple :\u00a0<\/b>\"X\" est une v.a.r. strictement positive sur \"(\Omega,\mathcal{A})\". On pose \"Y=\ln (X)\".<\/p>\r\n

\"Y\" est-elle une v.a.r.?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Pour tout \"y\" r\u00e9el, \"[Y\leq y]=[X\leq e^{y}]\", et comme \"X\" est une v.a.r., \"[X\leq e^{y}]\in \mathcal{A}\", donc \"Y\" est une v.a.r..<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2. Recherches des valeurs et vecteurs propres<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 3 : Comment peut-on calculer sur des sommes infinies?<\/b><\/p>\r\n

Si la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} |a_{i}|\" converge, alors \"\displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} a_{i}\" est un r\u00e9el que l’on peut calculer, comme\r\nlorsque la somme est finie, en changeant l’ordre des termes (commutativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e), ou en regroupant certains termes (associativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e).<\/p>\r\n

De m\u00eame, si la somme double \"\displaystyle \sum_{(i,j)\in I\times J} |a_{i,j}|\" converge, on peut calculer \"\displaystyle \sum_{(i,j)\in I\times J} a_{i,j}\", et pour ce faire,\r\non peut changer l’ordre des termes ou regrouper certains termes comme dans le cas des sommes finies.<\/p>\r\n

Exemple :\u00a0<\/b>Calculer \"S\", o\u00f9 \"S=\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}} (i+j)e^{-(i+j)}\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Les termes de la somme sont positifs. Sous r\u00e9serve d’existence des sommes infinies, on a:\r\n\"S=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{(i,j):i+j=k} ke^{-k}=\sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)ke^{-k}=\sum_{h=1}^{+\infty} h(h-1)(1/e)^{h-1}=.\r\nComme \"1/e \in [0,1[\", cette derni\u00e8re somme est un r\u00e9el, \u00e0 savoir \"\dfrac{2}{(1-(1/e))^{3}}\". Donc toutes les sommes \u00e9crites convergent, et\r\n\"S=(1/e)\dfrac{2}{(1-(1/e))^{3}}\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 4 : \"X\" est une v.a.r. discr\u00e8te sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\". Comment savoir si \"X\" admet une esp\u00e9rance et la calculer? si \"X\" est centr\u00e9e?\r\n<\/b>\r\n\"\bullet\" Si \"X(\Omega)\" est fini, \"X\" admet une esp\u00e9rance: \"\mathbb{E}(X)=\displaystyle \sum_{x_{i}\in X(\Omega)} x_{i}\mathbb{P}([X=x_{i}])\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Sinon, \"X\" admet une esp\u00e9rance si et seulement si \"\displaystyle \sum_{x_{i}\in X(\Omega)} |x_{i}|\mathbb{P}([X=x_{i}])\" converge, et si\r\nc’est le cas \"\mathbb{E}(X)=\displaystyle \sum_{x_{i}\in X(\Omega)} x_{i} \mathbb{P}([X=x_{i}])\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"X\" admet une esp\u00e9rance: \"\begin{cases} \textrm{si}\ \mathbb{E}(X)=0, X \: \textrm{est centr\'ee}. \\<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>: \"X\" est une v.a.r. telle que \"X(\Omega)=\mathbb{N}^{*}\" et, pour tout \"k\in \mathbb{N}^{*}\", \"\mathbb{P}([X=k])=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\".<\/p>\r\n

\"X\" admet une esp\u00e9rance? Si oui, calculer \"\mathbb{E}(X)\";<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"\mathbb{P}([X=k])=\dfrac{1}{k(k+1)}\", donc \"k\mathbb{P}([X=k])=\dfrac{1}{k+1}\", et la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\dfrac{1}{k+1}\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 5 : Comment utiliser les in\u00e9galit\u00e9s dans les \u00e9tudes d’esp\u00e9rance?\r\n<\/b>\r\n\"\bullet\" On peut prouver l’existence d’une esp\u00e9rance par domination: si \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes<\/a> telles que \"0\leq|X|\leq Y\" p.s., et si \"Y\" admet une\r\nesp\u00e9rance, alors \"X\" admet une esp\u00e9rance et \"|\mathbb{E}(X)|\leq \mathbb{E}(Y)\".\r\nPour des v.a.r. qui admettent une esp\u00e9rance, deux propri\u00e9t\u00e9s:<\/p>\r\n

\"\bullet\" Positivit\u00e9 de l’esp\u00e9rance: si \"X\" est une variable discr\u00e8te positive qui admet une esp\u00e9rance, \"\mathbb{E}(X)\geq 0\", et si \"\mathbb{E}(X)=0\", alors\r\n\"X=0\" p.s..<\/p>\r\n

\"\bullet\" Croissance de l’esp\u00e9rance: si \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes qui admettent des esp\u00e9rances et si \"X\leq Y\" p.s., alors \"\mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)\"<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/p>\r\n

\"Y\" est une v.a.r. \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\" qui admet une esp\u00e9rance, et \"X=\ln (1+Y)\". Montrer que \"X\" admet une esp\u00e9rance et que<\/p>\r\n

\"0\leq \mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : On a: \"0\leq X\leq Y\", donc \"\mathbb{E}(X)\" existe et \"0\leq \mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 6 : Comment d\u00e9finir une probabilit\u00e9 conditionnelle? une loi conditionnelle?\r\n<\/b>\r\n\"\bullet\" Si \"A\" est un \u00e9v\u00e9nement tel que \"\mathbb{P}(A)\neq 0\", on peut d\u00e9finir la probabilit\u00e9 conditionnelle par \"A\": pour tout \u00e9v\u00e9nement \"B\", \"\mathbb{P}_{A}(B)=\dfrac {\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}\". Alors \"\mathbb{P}_{A}\" est une probabilit\u00e9 sur \"(\Omega,\mathcal{A})\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une v.a.r. sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\", si \"A\" est un \u00e9v\u00e9nement de probabilit\u00e9 non nulle, la loi de \"X\" sachant \"A\" est la loi de \"X\" pour la probabilit\u00e9 \"\mathbb{P}_{A}\". Elle est donn\u00e9e par \"X(\Omega)\" et les \"\mathbb{P}_{A}([X=x_{i}])\" pour tout \"x_{i}\" de \"X(\Omega)\".<\/p>\r\n

Exemple<\/b>\u00a0:<\/p>\r\n\r\n

\r\n

\"X\" est une v.a.r. sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" qui suit une loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p,\ p\in ]0,1[\".<\/p>\r\n\r\n

Que vaut la loi de \"X\" sachant \"[X\geq 2]\" ?<\/div>\r\n
<\/div>\r\n
R\u00e9ponse<\/strong> : La loi de \"X+1\" (Faire le calcul)<\/span><\/div>\r\n
<\/div>\r\n
\r\n
\r\n

M\u00e9thode\u00a0 7 : Qu’est-ce que l’esp\u00e9rance sachant \"A\"? Comment l’utiliser?<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"A\" est un \u00e9v\u00e9nement de probabilit\u00e9 non nulle, l’esp\u00e9rance de \"X\" sachant \"A\", si elle existe, est l’esp\u00e9rance de \"X\" pour la probabilit\u00e9 \"\mathbb{P}_{A}\":\r\n\"\mathbb{E}(X|A)=\displaystyle \sum_{x_{i}\in X(\Omega)} x_{i}\mathbb{P}_{A}([X=x_{i}])\", si cette s\u00e9rie est absolument convergente.<\/p>\r\n

\"\bullet\" On l’utilise dans la formule de l’esp\u00e9rance totale:\r\nSi \"(A_{k})_{k\in \mathbb{N}}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements, \"X\" admet une esp\u00e9rance si et seulement si\r\n\"\displaystyle \sum_{\stackrel{(x_{i},k)\in X(\Omega)\times \mathbb{N}}{\mathbb{P}(A_{k})\neq 0}}|x_{i}|\mathbb{P}_{A_{k}}([X=x_{i}])\mathbb{P}(A_{k})\" converge;\r\nalors pour tout \"k\" tel que \"\mathbb{P}(A_{k})\neq 0\", \"\mathbb{E}(X|A_{k})\" existe et\r\n\"\mathbb{E}(X)=\displaystyle \sum_{k\in \mathbb{N}, \mathbb{P}(A_{k})\neq 0}\mathbb{E}(X|A_{k})\mathbb{P}(A_{k})\".<\/p>\r\n

Exemple :\u00a0<\/b>Les \"A_{k}\" forment un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements tels que, pour tout \"k\in \mathbb{N}\", \"\mathbb{P}(A_{k})=(1/2)^{k+1}\". La loi de \"X\" sachant \"A_{k}\" est uniforme\r\nsur \"\{ 0,1,\dots,k\}\". Montrer que \"X\" admet une esp\u00e9rance et la calculer.<\/p>\r\n\r\n

3. Compl\u00e9ments sur les int\u00e9grales g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9es<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 8 : Comment d\u00e9finir le reste d’une int\u00e9grale convergente? Comment l’utiliser?<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"f\" est continue sur \"[a,+\infty[\" (ou \"[a,b[\"), et si \"\displaystyle \int_{a}^{+\infty}\!\!\!\!\!f \quad\" (ou \"\displaystyle \int_{a}^{b}\!\!\!f \quad\") converge,<\/p>\r\n

on d\u00e9composera souvent l’int\u00e9grale en \"\displaystyle \int_{a}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f=\int_{a}^{x}\!\!\!f+\int_{x}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f \quad \quad\" pour<\/p>\r\n

\"x\geq a\" (ou \"\displaystyle \int_{a}^{b}f=\int_{a}^{x}\!\!\!f+\int_{x}^{b}\!\!\!f \quad\",\u00a0pour \"a\leq x<b\").<\/p>\r\n

\"\displaystyle \int_{a}^{x}\!\!\!f\" est l’int\u00e9grale de la fonction \"f\" continue sur \"[a,x]\", le second terme, \"\displaystyle \int_{x}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f \quad\"\r\n(ou \"\displaystyle \int_{x}^{b}\!\!\!f \quad\"), est le reste.<\/p>\r\n

Quand \"x\to +\infty\" (ou quand \"x\to b\"), \"\displaystyle \int_{a}^{x}\!\!\!f\to \int_{a}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f\quad\"\r\n(ou \"\displaystyle \int_{a}^{x}\!\!\!f\to\int_{a}^{b}\!\!\!f \quad\"), donc le reste tend vers 0 :<\/p>\r\n

si \"\displaystyle \int_{a}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f \quad\" converge, \"\displaystyle \int_{x}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!f \to 0 \quad\" quand \"x\to +\infty\";<\/p>\r\n

si \"\displaystyle \int_{a}^{b}f \quad\" converge, \"\displaystyle \int_{x}^{b}f \to 0 \quad\" quand \"x\to b\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"f\" est continue sur \"]-\infty,b]\" (ou sur \"]a,b])\", et si \"\displaystyle \int_{-\infty}^{b}\!\!\!\!\!\!f \quad\"\r\n(ou \"\displaystyle \int_{a}^{b}\!\!\!f \quad\") converge,on \u00e9crira de m\u00eame<\/p>\r\n

\"\displaystyle \int_{-\infty}^{b}\!\!\!\!\!\!f=\int_{-\infty}^{x}\!\!\!\!\!\!f+\int_{x}^{b}\!\!\!f \quad\" pour \"x\leq b \quad\"<\/p>\r\n

(ou \"\displaystyle \int_{a}^{b}\!\!\!f=\int_{a}^{x}\!\!\!f+\int_{x}^{b}\!\!\!f \quad\"\u00a0pour \"a<x\leq b\")<\/p>\r\n

Le reste est alors \"\displaystyle \int_{-\infty}^{x}\!\!\!\!\!\!f \quad\" (ou \"\displaystyle \int_{a}^{x}\!\!\!f \quad\"), il tend vers \"0\" quand \"x\to -\infty\" (ou quand \"x\to a\").<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:\u00a0Calculer \"\displaystyle \lim_{x\to 1,x>1}\int_{1}^{x}\frac{1}{\sqrt{t-1}}dt\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

La fonction int\u00e9gr\u00e9e est continue sur \"]1,2]\" et<\/p>\r\n

\"\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{t-1}}dt\" converge.<\/p>\r\n

Pour \"1<x\leq 2\", \"\displaystyle \int_{1}^{x}\frac{1}{\sqrt{t-1}}dt\" est le reste de cette\u00a0int\u00e9grale, il tend vers \"0\" quand \"x\" tend vers \"1\", \"x>1\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 9 : Comment int\u00e9grer par parties dans une int\u00e9grale g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e?<\/b><\/p>\r\n

Si \"f=u'v\" o\u00f9 \"u\" et \"v\" sont de classe \"C^{1}\" sur un intervalle \"I\", on effectue une int\u00e9gration par parties sur un segment \"[\alpha,\beta]\" inclus dans \"I\":\r\n\"\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}u'v=[uv]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}uv'\".\r\nSi \"I=[a,+\infty[\" (ou \"I=[a,b[\"), on prend \"\alpha=a\", et, si on le peut, on passe \u00e0 la limite dans l’\u00e9galit\u00e9 quand \"\beta\to +\infty\" (ou quand \"\beta\to b\");\r\nsi \"I=]-\infty,b]\" (ou \"I=]a,b]\"), on prend \"\beta=b\", et, si on le peut, on passe \u00e0 la limite dans l’\u00e9galit\u00e9 quand \"\alpha\to -\infty\" (ou quand \"\alpha\to a\").<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/p>\r\n

Existence et valeur de \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^{2} e^{-t^{2}/2} dt\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 10 : Comment effectuer un changement de variable dans une int\u00e9grale g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e?\r\n<\/b>\r\nOn utilise le th\u00e9or\u00e8me suivant:<\/p>\r\n

Si \"f\" est continue sur \"]a,b[\", (\"a,b\" r\u00e9els ou infinis), si \"\varphi:]\alpha,\beta[\to]a,b[\" (\"\alpha, \beta\" r\u00e9els ou infinis), est une bijection strictement\r\nmonotone de classe \"C^{1}\", \"\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\" et \"\displaystyle \int_{a}^{b}f(u)du\" sont de m\u00eame nature, et\r\n\"\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\displaystyle \int_{\lim_{\alpha}\varphi}^{\lim_{\beta}\varphi}f(u)du\".<\/p>\r\n

Remarque 1: si \"\varphi\" est strictement croissante, \"\lim_{\alpha}\varphi=a\" et \"\lim_{\beta}\varphi=b\";<\/p>\r\n

Si \"\varphi\" est strictement d\u00e9croissante, \"\lim_{\alpha}\varphi=b\" et \"\lim_{\beta}\varphi=a\"; on pr\u00e9f\u00e8re \u00e9crire pour la suite des calculs\r\n\"\displaystyle \int_{b}^{a}f=-\int_{a}^{b}f\".<\/p>\r\n

Remarque 2: dans une int\u00e9grale g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e, on peut toujours effectuer un changement de variable affine: \"\varphi(t)=ct+d\", o\u00f9 \"c\neq 0\".<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:<\/p>\r\n

Existence et valeur de \"\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-t}}dt\".<\/p>\r\n

Indication<\/strong> : On pourra effectuer le changement de variable \"t=\sin x\"<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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4. Compl\u00e9ments sur les variables al\u00e9atoires \u00e0 densit\u00e9<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 11 :\u00a0\"X\" est une v.a.r. \u00e0 densit\u00e9 sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\". On consid\u00e8re une v.a.r. \"Y\" de la forme \"Y=g(X)\".\r\nComment savoir si \"Y\" est \u00e0 densit\u00e9 et trouver sa loi?<\/b><\/p>\r\n

On cherche la fonction<\/a> de r\u00e9partition \"F_{Y}\" de \"Y\". Si \"F_{Y}\" est continue sur \"\mathbb{R}\" et \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\" priv\u00e9 peut-\u00eatre d’un nombre fini de points,\r\n\"Y\" est \u00e0 densit\u00e9.<\/p>\r\n

Une densit\u00e9 de \"Y\" est donn\u00e9e par \"f_{Y}(y)=F_{Y}'(y)\" si \"F_{Y}\" est d\u00e9rivable en \"y\", \"f_{Y}(y)=0\" sinon.\r\nSi \"f_{Y}\" est nulle en dehors d’un intervalle \"]a,b[\" (\"a\" et \"b\" r\u00e9els ou infinis), et strictement positive sur \"]a,b[\", alors \"Y(\Omega)=]a,b[\" p.s..<\/p>\r\n

Exemple\u00a0<\/b>:\u00a0\"Y=aX+b\", \"a\neq 0\", et \"X\" a pour densit\u00e9 \"f\". \"Y\" admet pour densit\u00e9<\/p>\r\n

(i) \"\dfrac{1}{a}f(\dfrac{y-b}{a})\"?<\/p>\r\n

(ii) \"\dfrac{1}{a} f\left( \dfrac {|y-b|}{a}\right)\"?<\/p>\r\n

(iii) \"\dfrac{1}{|a|}f\left(\dfrac{y-b}{a}\right)\"?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

(i) Faux: attention au signe de \"a\"; (ii) Faux; (iii) Vrai.<\/p>\r\n

M\u00e9thode 12 :\u00a0Si \"X\" est une v.a.r. \u00e0 densit\u00e9 et si \"Y=g(X)\", comment \u00e9tudier l’esp\u00e9rance de \"Y\"?<\/b><\/p>\r\n

Si \"X(\Omega)=]a,b[\" p.s. (\"a, b\" r\u00e9els ou infinis), et si \"g\" est continue sur \"]a,b[\" sauf peut-\u00eatre en un nombre fini de points, \"g(X)\" admet une esp\u00e9rance si et seulement si \"\displaystyle \int_{a}^{b} |g(t)|f_{X}(t)dt\" converge, et si c’est le cas, \"\displaystyle \mathbb{E}(g(X))=\int_{a}^{b}g(t)f_{X}(t)dt\".<\/p>\r\n\r\n

\r\n\r\nM\u00e9thode 13 :\u00a0Quelles propri\u00e9t\u00e9s de l’esp\u00e9rance peut-on utiliser pour les v.a.r. \u00e0 densit\u00e9?<\/b>\r\n\r\nLes propri\u00e9t\u00e9s suivantes sont valables pour des v.a.r. \"X, Y\" \u00e0 densit\u00e9:\r\n\r\n\"\bullet\" lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance: si \"X\" et \"Y\" admettent une esp\u00e9rance, si \"a,b\" sont des r\u00e9els, \"aX+bY\" admet une esp\u00e9rance et\r\n\"\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)\";\r\n\r\n\"\bullet\" positivit\u00e9 de l’esp\u00e9rance: si \"X\" est \u00e0 valeurs positives et admet une esp\u00e9rance, \"\mathbb{E}(X)\geq 0\";\r\n\r\n\"\bullet\" croissance de l’esp\u00e9rance: si \"X\leq Y\" p.s., et si \"X\" et \"Y\" admettent des esp\u00e9rances, alors \"\mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)\".\r\n\r\nExemple\u00a0<\/b>:\u00a0\"X\" suit une loi exponentielle de param\u00e8tre \"1/3\", \"Y\" suit une loi uniforme sur \"[-1,2]\".\r\n\r\nL’esp\u00e9rance de \"X+Y\" est :\r\n\r\n(i) \"11/6\"\r\n\r\n(ii) \"9/2\"\r\n\r\nR\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0La (ii) est vraie : \"\mathbb{E}(X)=3\" et \"\mathbb{E}(Y)=3/2\".\r\n\r\n<\/div>\r\n
\r\n\r\nM\u00e9thode 14 :\u00a0Comment d\u00e9finir le moment d’ordre \"r\", \"r\in \mathbb{N}^{*}\", d’une v.a.r. \u00e0 densit\u00e9? Comment l’utiliser?<\/b>\r\n\r\n\"\bullet\" Le moment d’ordre \"r\" de \"X\" est l’esp\u00e9rance de \"X^{r}\", quand elle existe.\r\n\r\n\"\bullet\" Si \"X\" est \u00e0 densit\u00e9 et admet un moment d’ordre \"r\", \"r\in\mathbb{N}^{*}\", \"X\" admet un moment d’ordre \"k\" pour tout entier \"k\" tel que \"1\leq k\leq r\".\r\n\r\nExemple\u00a0<\/b>:\u00a0\"X\" admet pour densit\u00e9 \"f\", o\u00f9 \"f(t)=3/t^{4}\" si \"t\geq 1\", \"f(t)=0\" sinon.\r\n\r\n\"X\" admet :\r\n\r\n(i) un moment d’ordre 4 ?\r\n\r\n(ii) aucun moment d’ordre \"r\", \"r\geq 3\" ?\r\n\r\n(iii) des moments d’ordre \"1\" et \"2\" ?\r\n\r\nR\u00e9ponse<\/strong> :\r\n\r\n(i) Faux: \"\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\!\!\!\!\!\!dt \quad\" diverge.\r\n\r\n(ii) Vrai: pour \"k\geq 3\", \"\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \!\!\!(t^{k}/t^{4})dt \quad\" diverge.\r\n
(iii) Vrai: pour \"k\in \{1,2\}\", \"\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\!\!\!(t^{k}/t^{4})dt \quad\" converge.<\/div>\r\n<\/div>\r\n

M\u00e9thode 15 :\u00a0Comment calculer la variance ou l’\u00e9cart-type d’une v.a.r. \u00e0 densit\u00e9 \"X\"? Quelles en sont les propri\u00e9t\u00e9s?<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" \"X\" admet une variance si et seulement si elle admet un moment d’ordre \"2\". Alors \"X\" admet une esp\u00e9rance et\r\n\"\textrm{Var}(X)=\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^{2})=\mathbb{E}(X^{2})-(\mathbb{E}(X))^{2}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"X\" est \u00e0 densit\u00e9 et admet une variance,\r\n(i) \"\textrm{Var}(X)\geq 0\"\r\n(ii) si \"a\" et \"b\" sont r\u00e9els, \"aX+b\" admet une variance et \"\textrm{Var}(aX+b)=a^{2}\textrm{Var}(X)\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"X\" admet une variance, l’\u00e9cart-type de \"X\" est \"\sigma(X)=\sqrt{\textrm{Var}(X)}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"X\" est \u00e0 densit\u00e9 et admet une variance, la variable centr\u00e9e r\u00e9duite associ\u00e9e \u00e0 \"X\" est \"X^{*}=\dfrac{X-\mathbb{E}(X)}{\sigma}\".<\/p>\r\n\r\n

5. Loi \"\gamma\" et loi normale<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 16 :\u00a0Qu’est-ce que la fonction \"\Gamma\"? la loi \"\gamma\"?<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" La fonction \"\Gamma\" est d\u00e9finie par: \"\forall x>0\", \"\Gamma(x)=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\".\r\nElle v\u00e9rifie la relation: \"\forall x>0 \\" \"\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\", et donc: \"\forall n\in \mathbb{N}\\" \"\Gamma(n+1)=n!\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Une v.a.r. \"X\" suit la loi \"\gamma (\nu)\" si elle admet pour densit\u00e9 \"f\": \"f(t)=\dfrac{1}{\Gamma(\nu)} t^{\nu-1}e^{-t}\" si \"t>0\", \"f(t)=0\" sinon.\r\nSi \"X\" suit la loi \"\gamma (\nu)\", \"X\" admet une esp\u00e9rance et une variance: \"\mathbb{E}(X)=\nu\", \"\textrm{Var}(X)=\nu\".<\/p>\r\n

Exemple<\/strong> :\u00a0\"X\" suit une loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda\", \"\lambda>0\".<\/p>\r\n

Quelle loi suit \"-X\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"\mathcal{N}(0,1)\"<\/p>\r\nAllez plus loin, et prenez d\u00e8s \u00e0 pr\u00e9sent de l’avance sur le programme de maths en ECS2 :\r\n