{"id":30598,"date":"2019-07-05T17:17:20","date_gmt":"2019-07-05T16:17:20","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30598"},"modified":"2022-07-13T14:31:59","modified_gmt":"2022-07-13T13:31:59","slug":"cours-en-ligne-exercices-variables-aleatoires-reelles-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-variables-aleatoires-reelles-ecs2\/","title":{"rendered":"Probabilit\u00e9s en ECS2 – Exercices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n<\/div>\r\n
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Exercices : Compl\u00e9ments sur les variables al\u00e9atoires r\u00e9elles en ECS2<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\r\n\r\n

Exercices – Boules, Loi de Poisson, Int\u00e9grales convergentes<\/h2>\r\n

Exercice 1 : Boules et limite de l’esp\u00e9rance<\/h3>\r\n

\"N\" boules (\"N\geq 2\") sont r\u00e9parties dans \"2\" urnes.<\/p>\r\n\r\n

\r\n\r\nL’urne \"U_{1}\" contient \"K\" boules num\u00e9ror\u00e9es \"1,2,\dots,K\", l’urne \"U_{2}\" contient \"N-K\" boules num\u00e9ror\u00e9es \"K+1,\dots,N\".\r\n\r\n \r\n\r\nUne \u00e9preuve consiste \u00e0 choisir au hasard un num\u00e9ro dans \"1,\dots,N\", et \u00e0 changer d’urne la boule portant ce num\u00e9ro. Pour \"n\in \mathbb{N}^{*}\", on d\u00e9signe par \"X_{n}\" le nombre de boules qui se trouvent dans l’urne \"U_{1}\" apr\u00e8s \"n\" \u00e9preuves.\r\n\r\nQuestion 1 :\u00a0<\/b>\r\n\r\n<\/div>\r\n
Pour \"n\in \mathbb{N}\", donner la loi de \"X_{n+1}\" conditionn\u00e9e par \"[X_{n}=k]\" (on distinguera les cas \"k=0\" et \"K=N\").<\/div>\r\n

\r\nQuestion 2 :\u00a0<\/b><\/p>\r\n

En d\u00e9duire l’esp\u00e9rance de \"X_{n+1}\" sachant \"[X_{n}=k]\", puis l’esp\u00e9rance de \"X_{n+1}\" en fonction<\/a> de celle de \"X_{n}\".<\/p>\r\n

Question 3\u00a0<\/b>:<\/p>\r\n

Calculer, pour \"n\in \mathbb{N}\", l’esp\u00e9rance de \"X_{n}\". Quelle est la limite de cette esp\u00e9rance quand \"n\to +\infty\"?<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 : Loi et calcul de l’esp\u00e9rance<\/h3>\r\n

Une urne contient \"n\" boules num\u00e9rot\u00e9es de \"1\" \u00e0 \"n\" (\"n\geq 2\").<\/p>\r\n

On effectue des tirages successifs d’une boule de l’urne, en remettant chaque fois la boule tir\u00e9e dans l’urne avant le tirage suivant.<\/p>\r\n

Pour \"1\leq i\leq n\", \"Y_{i}\" d\u00e9signe le rang du tirage o\u00f9 l’on voit appara\u00eetre pour la premi\u00e8re fois \"i\" num\u00e9ros distincts, si cette circonstance se produit,sinon \"Y_{i}\" prend la valeur \"0\".<\/p>\r\n

Question 1 :<\/b><\/p>\r\n\r\n

Trouver la loi de \"Y_{1}\", puis celle de \"Y_{2}\".<\/div>\r\n
\r\n\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\u00a0:\r\n\r\nTrouver la loi de \"Y_{2}-Y_{1}\".\r\n\r\nQuestion 3\u00a0<\/b>:\r\n\r\n(i)<\/b>\u00a0Trouver la loi de \"Y_{i+1}-Y_{i}\" sachant \"[Y_{i}=k]\", \"k\geq i\", \"1\leq i\leq n-1\".\r\n\r\n(ii)\u00a0<\/b>En d\u00e9duire, pour \"1\leq i\leq n-1\", la loi de \"Y_{i+1}-Y_{i}\".\r\n\r\n<\/div>\r\n

Exercice 3 : Loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda\"<\/h3>\r\n

\"A\" est une matrice<\/a> de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\".<\/p>\r\n

Le nombre \"N\" de clients fr\u00e9quentant un centre commercial est une v.a.r. qui suit une loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda\", \"\lambda>0\".<\/p>\r\n

La probabilit\u00e9 qu’un client y effectue un achat est \"p\", \"p\in ]0,1[\". \"X\" d\u00e9signe le nombre de clients qui effectuent un achat; on admet que \"X\" est une v.a.r..<\/p>\r\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Pour \"n\in\mathbb{N}\", trouver la loi de \"X\" sachant \"[N=n]\" et donner l’esp\u00e9rance de \"X\" sachant \"[N=n]\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/b><\/p>\r\n

Montrer que \"X\" admet une esp\u00e9rance et calculer \"\mathbb{E}(X)\".<\/p>\r\n

Question 3<\/b>\u00a0:<\/p>\r\n

Trouver la loi de \"X\".<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons s\u00e9lectionn\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers.<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 4 : Int\u00e9grales convergentes et divergentes<\/h3>\r\n

1. (i)<\/strong> Montrer que l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_{\pi/2}^{+\infty} \dfrac{\cos(t)}{t\sqrt{t}}dt\" est absolument convergente.<\/p>\r\n

\"A\" est une matrice de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}\", \"\mathbb{K}=\mathbb{R}\" ou \"\mathbb{K}=\mathbb{C})\" qui admet \"n\" valeurs propres distinctes.<\/p>\r\n

La famille \"(I, A,\dots, A^{n-1})\" est-elle libre ? Si oui, montrez-le.<\/p>\r\n

(ii)\u00a0<\/b>Montrer que l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_{\pi/2}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{\sqrt{t}}dt\" est convergente.<\/p>\r\n

2. (i)\u00a0<\/b>Montrer que pour tout \"k\in \mathbb{N}^{*}\", pour tout \"t\in [2k\pi+(\pi/6), 2k\pi+(5\pi/6)]\",<\/p>\r\n

\u00a0\u00a0\"\dfrac{|\sin(t)|}{\sqrt{t}}\geq \dfrac{1}{2\sqrt{(2k+1)\pi}}\"<\/p>\r\n

2.\u00a0(ii)\u00a0<\/b>En d\u00e9duire: \"\forall k\in \mathbb{N}^{*}\", \"\displaystyle \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}\!\dfrac{|\sin(t)|}{\sqrt{t}}dt\geq.<\/p>\r\n

2.\u00a0(iii)<\/b>\u00a0Montrer que \"\displaystyle \int_{\pi/2}^{+\infty}\!\dfrac{|\sin(t)|}{\sqrt{t}}dt \quad\" diverge.<\/p>\r\n\r\n

Exercice 5 : Limites d’int\u00e9grales<\/h3>\r\n

On pose \"f(x)=\displaystyle \int_{x}^{+\infty}\dfrac{\ln(t)}{t^{2}}dt\".<\/p>\r\n

1<\/b>. Monter que \"f\" est d\u00e9finie sur \"]0,+\infty[\".<\/p>\r\n

2.<\/b> Etudier le sens de variation de \"f\" sur \"]0,+\infty[\".<\/p>\r\nPlus d’exercices de maths pour les \u00e9tudiants d’ECS2 sont accessibles gratuitement, par exemple :\r\n