{"id":30676,"date":"2019-07-05T18:12:31","date_gmt":"2019-07-05T17:12:31","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=30676"},"modified":"2022-07-13T14:32:52","modified_gmt":"2022-07-13T13:32:52","slug":"cours-en-ligne-corriges-variables-aleatoires-reelles-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-variables-aleatoires-reelles-ecs2\/","title":{"rendered":"Probabilit\u00e9s en ECS2 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Compl\u00e9ments sur les variables al\u00e9atoires r\u00e9elles en ECS2<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\r\n\r\n

Corrig\u00e9s – Calcul de l’esp\u00e9rance, loi de Poisson<\/h2>\r\n

Exercice 1 : Boules et limite de l’esp\u00e9rance<\/h3>\r\n

\"N\" boules (\"N\geq 2\") sont r\u00e9parties dans \"2\" urnes.<\/p>\r\n\r\n

\r\n\r\nL’urne \"U_{1}\" contient \"K\" boules num\u00e9ror\u00e9es \"1,2,\dots,K\", l’urne \"U_{2}\" contient \"N-K\" boules num\u00e9ror\u00e9es \"K+1,\dots,N\".\r\n\r\n \r\n\r\nUne \u00e9preuve consiste \u00e0 choisir au hasard un num\u00e9ro dans \"1,\dots,N\", et \u00e0 changer d’urne la boule portant ce num\u00e9ro. Pour \"n\in \mathbb{N}^{*}\", on d\u00e9signe par \"X_{n}\" le nombre de boules qui se trouvent dans l’urne \"U_{1}\" apr\u00e8s \"n\" \u00e9preuves.\r\n\r\nQuestion 1 :\u00a0<\/b>\r\n\r\nSur \"[X_{n}=0]\", \"X_{n+1}\" prend la valeur \"1\": \"U_{1}\" ne contenait pas de boule, la boule a donc \u00e9t\u00e9 prise dans \"U_{2}\" et mise dans \"U_{1}\".\r\n\r\nSur \"[X_{n}=N]\", \"X_{n+1}\" prend la valeur \"N-1\": \"U_{1}\" contenait toutes les boules, la boule a donc \u00e9t\u00e9 prise dans \"U_{1}\" et mise dans \"U_{2}\".<\/span>\r\n\r\n<\/div>\r\n
\r\n\r\nSur \"[X_{n}=k]\", \"1\leq k\leq N-1\", \"X_{n+1}\" prend la valeur \"k-1\" avec probabilit\u00e9 \"k/N\": c’est la probabilit\u00e9 que l’on ait tir\u00e9 l’un des num\u00e9ros des boules de \"U_{1}\", et \"X_{n+1}\" prend la valeur \"k+1\" avec probabilit\u00e9 \"(N-k)/N\": c’est la probabilit\u00e9 que l’on ait tir\u00e9 l’un des \"N-k\" num\u00e9ros de \"U_{2}\".\r\n\r\nDonc \"\mathbb{P}_{[X_{n}=k]}(X_{n+1}=k-1)=k/N\", et \"\mathbb{P}_{[X_{n}=k]}(X_{n+1}=k+1)=(N-k)/N\".\r\n\r\nOn remarque que ces relations sont aussi valables pour \"k=0\" et \"k=N\".\r\n\r\n<\/div>\r\n

Question 2 :\u00a0<\/b><\/p>\r\n

\"X_{n+1}\" est une v.a.r. finie, donc elle admet une esp\u00e9rance. En utilisant la formule de l’esp\u00e9rance toale:<\/p>\r\n

\"\displaystyle \mathbb{E}(X_{n+1})=\" \"\displaystyle \sum_{k=0}^{N} \mathbb{E}(X_{n+1}|[X_{n}=k])\mathbb{P}([X_{n}=k])\".<\/p>\r\n

Or \"\displaystyle \mathbb{E}(X_{n+1}|[X_{n}=k])=\" \"\displaystyle (k-1)\dfrac{k}{N}+(k+1)\dfrac{N-k}{N}=\" \"\displaystyle \dfrac{N-2}{N}k+1\". Donc<\/p>\r\n

\"\mathbb{E}(X_{n+1})=\" \"\displaystyle \sum_{k=0}^{N}\left((1-\dfrac{2}{N})k\mathbb{P}([X_{n}=k])+\mathbb{P}([X_{n}=k])\right)\" \"\displaystyle =(1-\dfrac{2}{N})\mathbb{E}(X_{n})+1\".<\/p>\r\n

Question 3\u00a0<\/b>:<\/p>\r\n

La suite \"(\mathbb{E}(X_{n}))\" est arithm\u00e9tico-g\u00e9om\u00e9trique. Si \"\ l=(1-\dfrac{2}{N})l+1\", \"\ l=\dfrac{N}{2}\". On a alors:<\/p>\r\n

\"\mathbb{E}(X_{n+1})-\dfrac{N}{2}=(1-\dfrac{2}{N})\left(\mathbb{E}(X_{n})-\dfrac{N}{2}\right)\", et comme \"\mathbb{E}(X_{0})=K\", on obtient:<\/p>\r\n

\"\mathbb{E}(X_{n})-\dfrac{N}{2}=\left(1-\dfrac{2}{N}\right)^{n} (K-\dfrac{N}{2})\".<\/p>\r\n

Si \"N=2\", \"\mathbb{E}(X_{n})=1\" pour \"n\geq 1\". Si \"N\geq 3\", \"0<1-\dfrac{2}{N}<1\", donc \"\left(1-\dfrac{2}{N}\right)^{n}\to 0\" quand \"n\to +\infty\", donc\r\n\"\mathbb{E}(X_{n})\to \dfrac{N}{2}\" quand \"n\to +\infty\".<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 : Loi et calcul de l’esp\u00e9rance<\/h3>\r\n

Une urne contient \"n\" boules num\u00e9rot\u00e9es de \"1\" \u00e0 \"n\" (\"n\geq 2\").<\/p>\r\n

On effectue des tirages successifs d’une boule de l’urne, en remettant chaque fois la boule tir\u00e9e dans l’urne avant le tirage suivant.<\/p>\r\n

Pour \"1\leq i\leq n\", \"Y_{i}\" d\u00e9signe le rang du tirage o\u00f9 l’on voit appara\u00eetre pour la premi\u00e8re fois \"i\" num\u00e9ros distincts, si cette circonstance se produit,sinon \"Y_{i}\" prend la valeur \"0\".<\/p>\r\n

Question 1 :<\/b><\/p>\r\n\r\n

On a \"Y_{1}=1\": le premier num\u00e9ro est \u00e9videmment un nouveau num\u00e9ro.<\/div>\r\n
\r\n\r\nEt \"Y_{2}(\Omega)=\{0\}\cup [2,+\infty[\". Pour \"k\geq 2\", \"[Y_{2}=k]=\{(j,\dots,j,i)|\ k-1\" \u00e9l\u00e9ments \"j,i\neq j\}\", donc\r\n\r\n\"\mathbb{P}([Y_{2}=k])=\" \"\dfrac{n\times 1\times\dots\times 1\times (n-1)}{n\times n\times \dots\times n\times n}=\" \"\dfrac{n-1}{n^{k-1}}\".\r\n\r\nEt \"\mathbb{P}([Y_{2}=0])=\" \"1-\displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty}\mathbb{P}([Y_{2}=k])=\" \"\displaystyle 1-\dfrac{n-1}{n}\sum_{k=2}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{n}\right)^{k-2}=\" \"1-\dfrac{n-1}{n}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{n}}=0\".\r\n\r\n<\/div>\r\n
\r\n\r\nQuestion 2<\/b>\u00a0:\r\n\r\n\"Y_{2}-Y_{1}=Y_{2}-1\", donc \"(Y_{2}-Y_{1})(\Omega)=[1,+\infty[\" p.s., et pour \"k\in \mathbb{N}^{*}\",\r\n\r\n\"\mathbb{P}([Y_{2}-Y_{1}=k])=\mathbb{P}([Y_{2}=k+1])=\" \"\left(\dfrac{1}{n}\right)^{k-1}\left(1-\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)\", donc \"Y_{2}-Y_{1}\" suit une loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"1-(1/n)\".\r\n\r\nQuestion 3\u00a0<\/b>:\r\n\r\n(i) <\/b>Pour \"1\leq i\leq n-1\", \"Y_{i+1}-Y_{i}\" prend ses valeurs dans \"[1, +\infty[\": il faut au moins un tirage suppl\u00e9mentaire pour voir appara\u00eetre un nouveau num\u00e9ro,\r\net on peut aussi tirer toujours des num\u00e9ros d\u00e9j\u00e0 obtenus.\r\n\r\nUne \u00e9ventualit\u00e9 de \"[Y_{i+1}-Y_{i}=j]\cap[[Y_{i}=k]\", (\"j\geq 1\", \"i\leq k\"), est de la forme\r\n\r\n(une \u00e9ventualit\u00e9 de \"[Y_{i}=k]\", une suite de j-1 num\u00e9ros faisant\u00a0<\/i>partie des i num\u00e9ros d\u00e9j\u00e0 obtenus<\/i>,\u00a0un nouveau num\u00e9ro)<\/i>\r\n\r\nDonc : \"\mathbb{P}([Y_{i+1}-Y_{i}=j])\cap [Y_{i}=k])=\" \"\mathbb{P}([Y_{i}=k])\left(\dfrac{i}{n}\right)^{j-1} \dfrac{n-i}{n}\", donc \"\mathbb{P}_{[Y_{i}=k]}([Y_{i+1}-Y_{i}=j])=\" \"\left(\dfrac{i}{n}\right)^{j-1}\dfrac{n-i}{n}\".\r\nDonc la loi de \"Y_{i+1}-Y_{i}\" sachant \"[Y_{i}=k]\" est g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"1-(i/n)\".\r\n\r\n(ii) <\/b>En utilisant la formule des probabilit\u00e9s totales avec le syst\u00e8me quasi-complet d’\u00e9v\u00e9nements \"\displaystyle ([Y_{i}=k])_{k\geq i}\", on obtient:\r\n\r\n\"\mathbb{P}([Y_{i+1}-Y_{i}=j])=\" \"\displaystyle \sum_{k=i}^{+\infty} \left(\dfrac{i}{n}\right)^{j-1}\dfrac{n-i}{n} \mathbb{P}([Y_{i}=k])=\" \"\displaystyle \left(\dfrac{i}{n}\right)^{j-1}\dfrac{n-i}{n} \sum_{k=i}^{+\infty} \mathbb{P}([Y_{i}=k])=\" \"\left(\dfrac{i}{n}\right)^{j-1}\dfrac{n-i}{n}\".\r\n\r\nDonc \"Y_{i+1}-Y_{i}\" suit une loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"1-(i/n)\".\r\n\r\n \r\n\r\n\t\t
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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 3 : Loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda\"<\/h3>\r\n

\"A\" est une matrice<\/a> de \"\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\".<\/p>\r\n

Le nombre \"N\" de clients fr\u00e9quentant un centre commercial est une v.a.r. qui suit une loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda\", \"\lambda>0\".<\/p>\r\n

La probabilit\u00e9 qu’un client y effectue un achat est \"p\", \"p\in ]0,1[\". \"X\" d\u00e9signe le nombre de clients qui effectuent un achat; on admet que \"X\" est une v.a.r..<\/p>\r\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Chaque client peut effectuer un achat (succ\u00e8s) ou non (\u00e9chec). Les d\u00e9cisions des clients sont ind\u00e9pendantes les unes des autres, et la probabilit\u00e9 de succ\u00e8s est \"p\".<\/p>\r\n

Sur \"[N=n]\", \"X\" prend pour valeur le nombre de succ\u00e8s en \"n\" \u00e9preuves.<\/p>\r\n

Donc la loi de \"X\" sachant \"[N=n]\" est bin\u00f4miale de param\u00e8tre \"(n,p)\", et donc l’esp\u00e9rance de \"X\" sachant \"[N=n]\" est \"np\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/b><\/p>\r\n

\"X\" est \u00e0 valeurs positives: \"X(\Omega)=\mathbb{N}\". Si les sommes infinies \u00e9crites convergent, on a:<\/p>\r\n

\"\mathbb{E}(X)=\" \"\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb{E}(X|\ [N=n])\mathbb{P}([N=n])=\" \"\displaystyle pe^{-\lambda}\sum_{n=0}^{+\infty}n\dfrac{\lambda^{n}}{n!}=\" \"\displaystyle p\lambda e^{-\lambda}\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}\".<\/p>\r\n

Cette derni\u00e8re s\u00e9rie converge et a pour somme \"e^{\lambda}\". Donc \"X\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E}(X)=p\lambda\".<\/p>\r\n

Question 3<\/b>\u00a0:<\/p>\r\n

Pour \"k\in \mathbb{N}\", \"[X=k]=\displaystyle \bigcup_{n=0}^{+\infty} \left([X=k]\cap[N=n]\right)\".<\/p>\r\n

Les \u00e9v\u00e9nements de l’union sont deux \u00e0 deux disjoints, et vides si<\/p>\r\n

\"n<k\": il ne peut pas y avoir plus d’acheteurs que de clients. Donc:\r\n\"\mathbb{P}([X=k])=\" \"\displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \mathbb{P}([N=n])\mathbb{P}_{[N=n]}([X=k])=\" \"\displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{n}}{n!}{n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}=\" \"e^{-\lambda}\dfrac{(\lambda p)^{k}}{k!}\displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \dfrac{(\lambda (1-p))^{n-k}}{(n-k)!}\".<\/p>\r\n

Cette derni\u00e8re somme vaut \"e^{\lambda (1-p)}\", donc \"\mathbb{P}([X=k])=e^{-\lambda p}\dfrac{(\lambda p)^{k}}{k!}\", donc \"X\" suit une loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda p\".<\/p>\r\n

Des progr\u00e8s en maths ne seront visibles que si les r\u00e9visons et les entra\u00eenements sont r\u00e9guliers, pour cela aidez-vous de nos cours en ligne d’ECS2 en maths :<\/p>\r\n\r\n