{"id":31024,"date":"2019-07-09T15:10:13","date_gmt":"2019-07-09T14:10:13","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31024"},"modified":"2023-09-15T13:36:51","modified_gmt":"2023-09-15T12:36:51","slug":"cours-en-ligne-couples-variables-aleatoires-discretes-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-couples-variables-aleatoires-discretes-ecs2\/","title":{"rendered":"Couples de variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes en ECS2 – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours : Couples de variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Lois, Ind\u00e9pendance, Somme, Covariance<\/h2>\n

1. Loi d’un couple \"(X,Y)\" de v.a.r. discr\u00e8tes<\/h3>\n

M\u00e9thode 1 :\u00a0Si \"X\" et \"Y\" sont deux variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes d\u00e9finies sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9 \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\", qu’est-ce que la tribu li\u00e9e\u00a0au couple \"(X,Y)\"? Quels liens y a-t-il avec les tribus li\u00e9es \u00e0 \"X\" et \u00e0 \"Y\"?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" La tribu li\u00e9e au couple \"(X,Y)\", not\u00e9e \"\mathcal{A}_{(X,Y)}\", est la plus petite tribu sur \"\Omega\" contenant les \"[X=x]\cap[Y=y]\",<\/p>\n

\"(x,y)\in \Omega'_{(X,Y)}\", o\u00f9 \"\Omega'_{(X,Y)}=\{(X(\omega),Y(\omega))|\omega\in \Omega\}\" est l’ensemble des valeurs prises par le couple \"(X,Y)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Les \"[Y=y]\", \"y\in Y(\Omega)\", forment un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements, donc pour tout \"x\" de \"X(\Omega)\",<\/p>\n

\"[X=x]=\displaystyle \bigcup_{y\in Y(\Omega)}\left([X=x]\cap[Y=y]\right)\", donc \"[X=x]\in\mathcal{A}_{(X,Y)}\".<\/p>\n

Donc \"\mathcal{A}_{X}\subset \mathcal{A}_{(X,Y)}\", et de m\u00eame,\u00a0\u00a0\"\mathcal{A}_{Y}\subset \mathcal{A}_{(X,Y)}\".<\/p>\n

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UN PROF DE MATHS POUR EXCELLER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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La pratique et la compr\u00e9hension
cl\u00e9s de la r\u00e9ussite<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Cours de maths en ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exemple<\/b>\u00a0:<\/p>\n

Si \"X\" et \"Y\" sont deux variables al\u00e9atoires d\u00e9finies sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\", \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{Z}\", \"\mathcal{A}_{(X,Y)}\" contient,
\npour tous \"j\" et \"k\" de \"\mathbb{Z}\", les \u00e9v\u00e9nements \"[X\leq j]\cap[Y\leq k]\", les \"[X\leq j]\cap [Y\geq k]\", les \"[X\geq j]\cap [Y\geq k]\".<\/p>\n<\/div>\n

M\u00e9thode 2 :\u00a0Si \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\", comment peut-on donner la loi du couple \"(X,Y)\"?<\/b><\/p>\n

La loi du couple \"(X,Y)\" est donn\u00e9e par:<\/p>\n

\"\bullet\" l’ensemble \"\Omega'_{(X,Y)}=(X,Y)(\Omega)\" des valeurs prises par le couple;<\/p>\n

\"\bullet\" pour tout \"(x,y)\" de \"\Omega'_{(X,Y)}\", \"\ \mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\".<\/p>\n

Les \"[X=x]\cap[Y=y]\",\"(x,y)\in \Omega'_{(X,Y)}\", forment un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n

On peut remarquer que \"\Omega'_{(X,Y)}\subset X(\Omega)\times Y(\Omega)\".<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>:\u00a0\"X\" suit une loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda\", \"Y=(-1)^{X}\". Trouver la loi du couple \"(X,Y)\".<\/p>\n

M\u00e9thode\u00a0 3 :\u00a0\u00a0Comment reconna\u00eetre qu’une famille \"(p_{i,j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}}\" est la loi d’un couple \"(X,Y)\" de v.a.r. \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\" (c’est\u00e0-dire que pour tous \"i,j\" de \"\mathbb{N}\", \"p_{i,j}=\mathbb{P}([X=i]\cap[Y=j])\")?<\/b><\/p>\n

C’est le cas si et seulement si pour tout \"(i,j)\" de \"\mathbb{N}^{2}\" \"p_{i,j}\geq 0\", et \"\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}}p_{i,j}=1\", ce qui traduit
\nque les \"[X=i]\cap[Y=j]\", \"(i,j)\in \Omega'_{(X,Y)}\" forment un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements.<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b>La famille \"(\lambda e^{i+j})_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}}\" est la loi d’un couple de v.a.r. discr\u00e8tes pour \"\lambda\" = …<\/p>\n

(i) \"\lambda=(1-e^{2})\" ?<\/p>\n

(ii) \"\lambda=(1-e)^{2}\" ?<\/p>\n

(iii) \"\lambda=(1-e)\" ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (ii)<\/p>\n

M\u00e9thode 4 : Comment retrouver les lois des v.a.r. discr\u00e8tes \"X\" et \"Y\" quand on connait la loi du couple \"(X,Y)\" ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant la formule des probabilit\u00e9s totales avec les syst\u00e8mes complets d’\u00e9v\u00e9nements \"([Y=y])_{y\in Y(\Omega)}\" et \"([X=x])_{x\in X(\Omega)}\":<\/p>\n

\"\mathbb{P}([X=x])=\displaystyle \sum_{y\in Y(\Omega)}\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\"
\net
\n\"\mathbb{P}([Y=y])=\displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)}\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}^{*}\", si pour \"(i,j)\in \Omega'\", \"\mathbb{P}([X=i]\cap[Y=j])\" est plac\u00e9e dans la i-\u00e8me ligne et la j-\u00e8me colonne d’un tableau, \"\mathbb{P}([X=i])\" est la somme des \u00e9l\u00e9ments de la i-\u00e8me ligne du tableau, \"\mathbb{P}([Y=j])\" est la somme des \u00e9l\u00e9ments de la j-\u00e8me colonne.<\/p>\n

Les lois de \"X\" et \"Y\" sont appel\u00e9es lois marginales du couple: on inscrit leurs valeurs dans les marges du tableau.<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b>Pour \"(i,j)\in \mathbb{N}^{2}\", \"p_{i,j}=\dfrac{1}{e}\dfrac{1}{i!j!2^{i+j}}\". On admet que la famille \"(p_{i,j})\" est la loi d’un couple \"(X,Y)\" de v.a.r. discr\u00e8tes. Alors :<\/p>\n

(i) \"X\" suit une loi de Poisson de param\u00e8tre \"2\" et \"Y\" une loi de Poisson de param\u00e8tre \"1/2\"?
\n(ii) \"X\" et \"Y\" suivent une loi de Poisson de param\u00e8tre \"2\"?
\n(iii) \"X\" et \"Y\" suivent une loi de Poisson de param\u00e8tre \"1/2\"?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (iii)<\/p>\n

2. Ind\u00e9pendance<\/h3>\n

M\u00e9thode 5 :\u00a0Comment montrer que deux v.a.r. discr\u00e8tes \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Les v.a.r. discr\u00e8tes \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes si et seulement si : pour tout \"x\" de \"X(\Omega)\" et tout \"y\" de \"Y(\Omega)\", <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\mathbb{P}([X=x])\mathbb{P}([Y=y])\]\"<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n
ce que l’on traduit par : la loi du couple \"(X,Y)\" est le produit des lois marginales.<\/div>\n
\n
<\/div>\n
\"\bullet\" Si l’on effectue deux exp\u00e9riences ind\u00e9pendantes par hypoth\u00e8se, si les valeurs prises par \"X\" d\u00e9pendent des r\u00e9sultats de la premi\u00e8re exp\u00e9rience et les valeurs prises par \"Y\" des r\u00e9sultats de la deuxi\u00e8me, \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes. La probabilit\u00e9 \"\mathbb{P}\" utilis\u00e9e traduit cette ind\u00e9pendance.<\/div>\n
<\/div>\n
\n

Exemple :\u00a0<\/b>\"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" qui suivent des lois de Bernouilli de param\u00e8tres \"\alpha\" et \"\beta\". \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes si ,et seulement si …(i) \"XY\" suit une loi de \"Bernouilli(\alpha \beta)\"<\/p>\n

(ii) \"[X=1]\" et \"[Y=1]\" sont ind\u00e9pendants<\/p>\n

(iii) \"[X=1]\" et \"[Y=0]\" sont ind\u00e9pendants<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Les 3 r\u00e9ponses sont correctes !<\/p>\n

(i) \"[XY=1]=[X=1]\cap[Y=1]\", donc si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, \"XY\" prend la valeur \"1\" avec probabilit\u00e9 \"\alpha \beta\", et sinon prend la valeur \"0\"; r\u00e9ciproquement, si \"XY\" suit une loi de Bernouilli de param\u00e8tre \"\alpha \beta\", \"[X=1]\" et \"[Y=1]\" sont ind\u00e9pendants, donc le compl\u00e9mentaire de \"[X=1]\", \"[X=0]\", et \"[Y=1]\" aussi, donc aussi par le m\u00eame argument \"[X=0]\" et \"[Y=0]\", donc enfin \"[X=1]\" et \"[Y=0]\"; donc \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

(ii) Si deux \u00e9v\u00e9nements sont ind\u00e9pendants, on peut remplacer l’un des deux, ou les deux, par leur compl\u00e9mentaire, on obtient encore des \u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants.<\/p>\n

(iii) Si deux \u00e9v\u00e9nements sont ind\u00e9pendants, on peut remplacer l’un des deux, ou les deux, par leur compl\u00e9mentaire, on obtient encore des \u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants.<\/p>\n

M\u00e9thode 6 :\u00a0Comment exploiter l’ind\u00e9pendance de deux v.a.r. discr\u00e8tes sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" ?<\/b><\/p>\n

Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, toute union d’\u00e9v\u00e9nements \"[X=i]\",\"\ i\in X(\Omega)\", est ind\u00e9pendante de toute union d’\u00e9v\u00e9nements \"[Y=j]\", \"\ j\in Y(\Omega)\".<\/p>\n

En particulier, pour tous \"x\" et \"y\" de \"\mathbb{R}\", \"[X\leq x]\" et \"[Y\leq y]\" sont ind\u00e9pendants.<\/p>\n

Ex: \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\".<\/p>\n

On pose, pour tout \"\omega\" de \"\Omega\", \"U(\omega)=\textrm{max}(X(\omega),Y(\omega))\" et \"V(\omega)=\textrm{min}(X(\omega),Y(\omega))\".<\/p>\n

Calculer, pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{P}([U\leq n])\" et \"\mathbb{P}([V\geq n])\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

\"[U\leq n]=[X\leq n\cap[Y\leq n]\"<\/p>\n

et \"[V\geq n]=[X\geq n]\cap [Y\geq n]\",<\/div>\n
donc :
\n\"\mathbb{P}([U\leq n])=\mathbb{P}([X\leq n])\mathbb{P}([Y\leq n])\"<\/div>\n
\n

et \"\mathbb{P}[V\geq n]=\mathbb{P}([X\geq n])\mathbb{P}([Y\geq n])\".<\/p>\n<\/div>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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<\/div>\n

3. Somme de deux v.a.r. discr\u00e8tes ind\u00e9pendantes<\/h3>\n

M\u00e9thode 7 :\u00a0Comment trouver la loi de \"X+Y\" quand \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes ind\u00e9pendantes sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" ?<\/b><\/p>\n

Qu’est-ce que le produit de convolution discret ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"Z=X+Y\", \"Z(\Omega)=X(\Omega)+Y(\Omega)\", et pour tout \"z\" de \"Z(\Omega)\"<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}([Z=z])\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)}\mathbb{P}([X=x])\mathbb{P}([Y=z-x]).\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\", on note, pour tous \"k,l,n\" de \"\mathbb{N}\",<\/p>\n

\"p_{k}=\mathbb{P}([X=k])\", \"q_{l}=\mathbb{P}([Y=l])\", \"r_{n}=\mathbb{P}([X+Y=n])\".<\/p>\n

Alors pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}\", \"r_{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}p_{k}\ q_{n-k}\".<\/p>\n

On \u00e9crit \"r=p*q\": \"*\" est le produit de convolution, \"r\" est la convol\u00e9e de \"p\" et \"q\". On a : \"p*q=q*p\".<\/p>\n

Si dans un tableau rectangulaire, \"p_{k}q_{l}\" est plac\u00e9 \u00e0 l’intersection de la \"k^{\textrm{\`eme}}\" ligne et de la \"l^{\textrm{\`eme}}\" colonne, \"(p*q)_{n}\" est la somme des \u00e9l\u00e9ments de la diagonale num\u00e9ro \"n\" du tableau (la diagonale num\u00e9ro \"0\" a \"1\" \u00e9l\u00e9ment: \"p_{0}q_{0}\", la diagonale num\u00e9ro \"1\" en a \"2\": \"p_{0}q_{1}\" et \"p_{1}q_{0}\", etc…).<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b>\"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. ind\u00e9pendantes,sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9 qui suivent des lois de Bernouilli de param\u00e8tres \"\alpha\" et \"\beta\". Alors :<\/p>\n

(i) \"X+Y\" suit une loi de Bernouilli de param\u00e8tre \"\alpha+\beta\" ?<\/p>\n

(ii) \"X+Y\" ne suit pas une loi de Bernouilli mais \"\mathbb{P}([X+Y=1])=\alpha +\beta-2\alpha\beta\" ?<\/p>\n

(iii) \"X+Y\" ne suit pas une loi de Bernouilli mais \"\mathbb{P}([X+Y=1])=\alpha+\beta-\alpha\beta\" ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

(i) Non : \"(X+Y)[\Omega)=\{0,1,2\}\".<\/p>\n

(ii) Oui : \"(X+Y)(\Omega)=\{0,1,2\}\" et \"\mathbb{P}([X+Y=0])=(1-\alpha)(1-\beta)\", \"\mathbb{P}([X+Y=2])=\alpha\beta\".<\/p>\n

(iii) Oui et Non : \"(X+Y)(\Omega)=\{0,1,2\}\"<\/p>\n

et \"\mathbb{P}([X+Y=0])=(1-\alpha)(1-\beta)\",<\/div>\n
On a \"\mathbb{P}([X+Y=2])=\alpha\beta\",<\/div>\n
Et \"\mathbb{P}([X+Y=1])=\alpha+\beta-2\alpha\beta\".<\/div>\n


\nM\u00e9thode 8 :\u00a0Qu’est-ce que la stabilit\u00e9 des lois binomiales et de Poisson?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" si \"X_{1}\" et \"X_{2}\" sont deux v.a.r. d\u00e9finies sur le m\u00eame espace probabilis\u00e9, si \"X_{1}\" suit une loi \"\mathcal{B}(n_{1},p)\" et \"X_{2}\" une loi \"\mathcal{B}(n_{2},p)\" et si \"X_{1}\" et \"X_{2}\" sont ind\u00e9pendantes, \"X_{1}+X_{2}\" suit une loi \"\mathcal{B}(n_{1}+n_{2},p)\".<\/p>\n

Interpr\u00e9tation :<\/b>\u00a0On effectue des \u00e9preuves successives ind\u00e9pendantes o\u00f9 la probabilit\u00e9 de succ\u00e8s est \"p\".<\/p>\n

\"X_{1}\" compte le nombre de succ\u00e8s obtenus pendant les \"n_{1}\" premi\u00e8res \u00e9preuves, \"X_{2}\" le nombre de succ\u00e8s obtenus pendant les \"n_{2}\" \u00e9preuves suivantes.<\/p>\n

Alors \"X_{1}\" et \"X_{2}\" sont ind\u00e9pendantes, et \"X_{1}+X_{2}\" compte le nombre de succ\u00e8s au cours des \"n_{1}+n_{2}\" premi\u00e8res \u00e9preuves.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X_{1}\" et \"X_{2}\" sont deux v.a.r. d\u00e9finies sur le m\u00eame espace probabilis\u00e9, ind\u00e9pendantes, suivant des lois de Poisson de param\u00e8tres \"\lambda_{1}\" et \"\lambda_{2}\", alors \"X_{1}+X_{2}\" suit une loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda_{1}+\lambda_{2}\".<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b>Si \"X_{1}\" et \"X_{2}\" sont d\u00e9finies sur le m\u00eame espace probabilis\u00e9, ind\u00e9pendantes, et suivent des lois g\u00e9om\u00e9triques, \"X_{1}+X_{2}\" suit-elle une loi g\u00e9om\u00e9trique ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Non !<\/p>\n

En effet : \"(X_{1}+X_{2})(\Omega)= [ 2,+\infty [\"<\/div>\n

4. Etude de v.a.r. de la forme \"g(X,Y)\"<\/h3>\n

M\u00e9thode 9 :\u00a0Comment trouver la loi d’une v.a.r de la forme \"Z=g(X,Y)\" o\u00f9 \"g\" est une application d\u00e9finie sur \"\Omega'_{(X,Y)}\" (au moins) \u00e0 valeurs r\u00e9elles et \"(X,Y)\" un couple de v.a.r. discr\u00e8tes d\u00e9finies sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" ?<\/b><\/p>\n

En notant \"\Omega'=\Omega'_{(X,Y)}\", on a: \"Z(\Omega)=g(\Omega')\".<\/p>\n

Pour tout \"z\" de \"Z(\Omega)\", \"[Z=z]=\displaystyle \bigcup_{(x,y)\in \Omega',g(x,y)=z} [X=x]\cap[Y=y]\": on voit que les \"[Z=z]\" appartiennent \u00e0 la tribu li\u00e9e au couple \"(X,Y)\", c’est-\u00e0-dire que \"\mathcal{A}_{Z}\subset \mathcal{A}_{(X,Y)}\".<\/p>\n

On a alors:<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}(Z=z])\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\displaystyle \sum_{(x,y)\in \Omega',g(x,y)=z}\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\]\"<\/p>\n<\/p>\n

M\u00e9thode 10 :\u00a0Comment \u00e9tudier l’esp\u00e9rance d’une v.a.r. de la forme \"Z=g(X,Y)\", o\u00f9 \"(X,Y)\" est un couple de v.a.r. discr\u00e8tes d\u00e9finies sur \"(\Omega, \mathcal{A},\mathbb{P})\" \u00e0 l’aide du th\u00e9or\u00e8me de transfert ?<\/b><\/p>\n

Le th\u00e9or\u00e8me de transfert permet d’\u00e9tudier l’esp\u00e9rance de \"Z\" sans en calculer la loi, \u00e0 partir de la loi du couple \"(X,Y)\" :<\/p>\n

\"Z\" admet une esp\u00e9rance si et seulement la s\u00e9rie \"\displaystyle \sum_{(x,y)\in \Omega'_{(X,Y)}} |g(x,y)|\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\" converge et alors<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{E}(Z)\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\displaystyle \sum_{(x,y)\in \Omega'_{(X,Y)}} g(x,y)\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\]\"<\/p>\n

<\/b><\/p>\n

Certains calculs se font plus simplement en utilisant \"M'\".<\/p>\n

Par exemple si \"M\" et \"M'\" sont semblables, pour tout entier naturel \"n\", \"M^{n}\" et \"(M')^{n}\" sont\u00a0 semblables (ce sont deux matrices<\/a> de \"f^{n}\"): si \"M=PM'P^{-1}\", \"M^{n}=P(M')^{n}P^{-1}\".<\/p>\n

Exemple\u00a0<\/b>:\u00a0On sait que \"A=P\begin{pmatrix} 2& 0& 0\\ 0& 5& 0 \\ 0& 0& 3\end{pmatrix}P^{-1}\". Calculer \"A^{n}\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"A^{n}=P\begin{pmatrix} 2^{n}&0& 0\\ 0& 5^{n}& 0\\ 0& 0& 3^{n}\end{pmatrix}P^{-1}\".<\/p>\n

5. Esp\u00e9rance, covariance, variance, corr\u00e9lation lin\u00e9aire<\/h3>\n

M\u00e9thode 11 :\u00a0Que peut-on dire de l’esp\u00e9rance d’une combinaison lin\u00e9aire ou d’un produit de v.a.r. discr\u00e8tes sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9 ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" L’esp\u00e9rance est lin\u00e9aire: si \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9 qui admettent une esp\u00e9rance, si \"a\" et \"b\" sont des r\u00e9els, \"aX+bY\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9, ind\u00e9pendantes, qui admettent une esp\u00e9rance, alors \"XY\" admet une esp\u00e9rance\u00a0et \"\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\".<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral, si \"X\" et \"Y\" admettent un moment d’ordre \"2\", c’est-\u00e0-dire si \"X^{2}\" et \"Y^{2}\" admettent une esp\u00e9rance, \"XY\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E}(XY)\leq \dfrac{1}{2}(\mathbb{E}(X^{2})+\mathbb{E}(Y^{2}))\".<\/p>\n

M\u00e9thode 12 :\u00a0Qu’est-ce que la covariance ? Quand existe-t-elle ? Comment la calculer ?<\/b><\/p>\n

Si \"(X,Y)\" est un couple de v.a.r. discr\u00e8tes d\u00e9finies sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9 la covariance du couple \"(X,Y)\", quand elle existe est d\u00e9finie par:<\/p>\n

\"\textrm{cov}(X,Y)=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y)\right))\"<\/p>\n

La covariance de \"(X,Y)\" existe quand \"XY\" admet une esp\u00e9rance, ce qui est r\u00e9alis\u00e9 si \"X\" et \"Y\" admettent un moment d’ordre \"2\".<\/p>\n

La formule de Huygens donne: \"\textrm{cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\".<\/p>\n

Exemple :<\/b> On effectue \"n\" (\"n\geq2\") d’un d\u00e9 bien \u00e9quilibr\u00e9. \"X\" prend la valeur \"1\" si on obtient un \"6\" au premier lancer, et \"0\" sinon, \"Y\" prend la valeur \"1\" si on obtient un \"6\" aux premier et \"n^{\textrm{\`eme}}\" lanc\u00e9s, la valeur \"0\" sinon.<\/p>\n

Que vaut la covariance de \"(X,Y)\" ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"5/216\".<\/p>\n

\"X\" et \"Y\" suivent des lois de Bernouilli de param\u00e8tres \"1/6\" et \"1/36\", et \"XY=Y\".<\/p>\n

M\u00e9thode 13 :\u00a0Quelles sont les propri\u00e9t\u00e9s de la covariance ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" La covariance est bilin\u00e9aire<\/a>, sym\u00e9trique, positive:
\n\"\bullet\" \"\textrm{cov}(X,Y)=\textrm{cov}(Y,X)\";
\n\"\bullet\" Si \"(X,Y)\" et \"(Y,Z)\" admettent une covariance, si \"a\" et \"b\" sont des r\u00e9els, \"(X,aY+bZ)\" admet une covariance et <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\textrm{cov}(X,aY+bZ)\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=a\textrm{cov}(X,Y)+b\textrm{cov}(X,Z);\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\textrm{cov}(X,X)\" existe, alors <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\textrm{cov}(X,X)\geq 0;\]\"<\/p>\n<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r.discr\u00e8tes ind\u00e9pendantes d\u00e9finies sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9 et si \"(X,Y)\" admet une covariance, \"\textrm{cov}(X,Y)=0\".
\nEn particulier, si \"Y\" est une v.a.r. constante, \"Y=m\", \"\textrm{cov}(X,m)=0\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes sur\"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" qui admettent un moment d’ordre \"2\".<\/p>\n

On pose \"M=\begin{pmatrix} \textrm{cov}(X,X)& \textrm{cov}(X,Y)\\
\n\"U=\begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}\" et \"V=\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}\", o\u00f9 \"a,b,c,d\" sont des r\u00e9els.<\/p>\n

Alors \"^{t}UMV=\" :<\/p>\n

(i) \"\textrm{cov}(aX+bY,cX+dY)\"<\/p>\n

(ii) \"\textrm{cov}(aX+cY,bX+dY)\"<\/p>\n

(iii) \"\textrm{cov}(aX+dY,bX+cY)\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"^{t}UMV=(ac)\textrm{cov}(X,X)+(ad+bc)\textrm{cov}(X,Y)+(bd)\textrm{cov}(Y,Y)\"<\/p>\n

M\u00e9thode 14 :\u00a0Qu’est-ce que la variance ? l’\u00e9cart-type ? Quelles en sont les propri\u00e9t\u00e9s ?<\/b><\/p>\n

\"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes d\u00e9finies sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9.<\/p>\n

\"\bullet\" \"X\" admet une variance si et seulement si \"X^{2}\" admet une esp\u00e9rance, et alors: \"\textrm{Var}(X)=\textrm{cov}(X,X)=\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^{2})\".<\/p>\n

\"\bullet\" La formule de Huygens donne: \"\textrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^{2})-(\mathbb{E}(X))^{2}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" admet une variance, on a toujours \"\textrm{Var}(X)\geq 0\".<\/p>\n

On peut donc d\u00e9finir l’\u00e9cart-type de \"X\", not\u00e9 \"\sigma_{X}\", par: \"\sigma_{X}=\sqrt{\textrm{Var}(X)}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" est une v.a.r. constante, \"\textrm{Var}(X)=0\".<\/p>\n

R\u00e9ciproquement, si \"X\" admet une variance nulle, \"X\" est presque s\u00fbrement constante: \"X=\mathbb{E}(X)\" p.s..<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" admet une variance, pour tous \"a\" et \"b\" r\u00e9els, \"aX+b\" en admet une et \"\textrm{Var}(aX+b)=a^{2}\textrm{Var}(X)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" admettent une variance, \"X+Y\" en admet une et <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\textrm{Var}(X+Y)\]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)+2\textrm{cov}(X,Y)\]\"<\/p>\n

.
\nEn particulier, si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, \"\textrm{Var}(X+Y)=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\", qui admettent une variance, telles que:<\/p>\n

\"\textrm{Var}(X)=\textrm{Var}(2X+3Y)\" \"=\textrm{Var}(-3X+2Y)=1\".<\/p>\n

Alors \"\textrm{cov}(X,Y)=\"<\/p>\n

(i) \"2/3\"<\/p>\n

(ii) \"3/11\"<\/p>\n

(iii) \"5/13\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (iii) \"5/13\"<\/p>\n

\"3\textrm{Var}(Y)+4\textrm{cov}(X,Y)=-1\" et \"\textrm{Var}(Y)-3\textrm{cov}(X,Y)=-2\"<\/p>\n

 <\/p>\n\t\t

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\n

M\u00e9thode 15 :\u00a0Qu’est-ce que l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz ?<\/b><\/p>\n

Si \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes d\u00e9finies sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9 qui admettent un moment d’ordre \"2\", alors
\n\"|\textrm{cov}(X,Y)|\leq \sigma_{X}\sigma_{Y}\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Montrer que si \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\", \"\sigma_{X+Y}\leq \sigma_{X}+\sigma_{Y}\".<\/p>\n

M\u00e9thode 16 :\u00a0Qu’est-ce que le coefficient de corr\u00e9lation lin\u00e9aire ? Quelles en sont les propri\u00e9t\u00e9s ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. d\u00e9finies sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" qui admettent une variance non nulle, le coefficient de corr\u00e9lation lin\u00e9aire
\ndu couple \"(X,Y)\" est le r\u00e9el \"\rho_{X,Y}\" d\u00e9fini par: \"\rho_{X,Y}=\dfrac{\textrm{cov}(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}\".<\/p>\n

\"\bullet\" On a: \"-1\leq \rho_{X,Y}\leq 1\", et: \"\rho_{X,Y}=1\" si et seulement si il existe des r\u00e9els \"a\" et \"b\" tels que \"Y=aX+b\" p.s. et \"a>0\", \"\rho_{X,Y}=-1\"
\nsi et seulement si il existe des r\u00e9els \"a\" et \"b\" tels que \"Y=aX+b\" p.s. et \"a<0\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. discr\u00e8tes d\u00e9finies sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9 qui admettent un moment d’ordre \"2\", \"\lambda\" est un r\u00e9el strictement positif.
\nAlors \"\rho_{-\lambda X,Y}=\"<\/p>\n

(i) \"-\lambda \rho_{X,Y}\"<\/p>\n

(ii) \"\lambda^{2}\rho_{X,Y}\"<\/p>\n

(iii) \"-\rho_{X,Y}\"<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (iii) \"-\rho_{X,Y}\"<\/p>\n

\"\textrm{cov}(-\lambda X,Y)=-\lambda \textrm{cov}(X,Y)\" et \"\sigma_{-\lambda X}=\lambda \sigma_{X}\"<\/p>\n

D’autres chapitres, exercices et exercices corrig\u00e9s sont \u00e0 disposition des \u00e9tudiants d’ECS2 pour r\u00e9viser les cours de maths :<\/p>\n