{"id":31102,"date":"2019-07-09T15:13:38","date_gmt":"2019-07-09T14:13:38","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31102"},"modified":"2023-03-13T11:01:21","modified_gmt":"2023-03-13T10:01:21","slug":"cours-en-ligne-corriges-couples-variables-aleatoires-discretes-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-couples-variables-aleatoires-discretes-ecs2\/","title":{"rendered":"Couples de variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes en ECG2 – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Corrig\u00e9s : Couples de variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes en ECG2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECG2<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s – loi g\u00e9om\u00e9trique, loi marginale et ind\u00e9pendance<\/h2>\n
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Exercice 1 :<\/b><\/h3>\n<\/div>\n
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Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, on prend \"u_{i}=\mathbb{P}([X=i])\" et \"v_{j}=\mathbb{P}([Y=j])\".<\/p>\n

R\u00e9ciproquement, si pour tous \"i\" et \"j\" de \"\mathbb{N}\", \"\mathbb{P}([X=i]\cap [Y=j])=u_{i}v_{j}\", alors \"\displaystyle \sum_{i,j\in \mathbb{N}}u_{i}v_{j}=1\", donc<\/p>\n

\"\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty}u_{i}\" existe, on la note \"U\", de m\u00eame \"\displaystyle \sum_{j=O}^{+\infty} v_{j}=V\", et on a \"UV=1\".<\/p>\n

Les lois marginales du couples sont donn\u00e9es par: \"\mathbb{P}([X=i])=u_{i}V\" et \"\mathbb{P} ([Y=j])=v_{j}U\".<\/p>\n

Donc \"\mathbb{P}([X=i])\mathbb{P}([Y=j])=u_{i}v_{j}UV=u_{i}v_{j}\", donc \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 2 :<\/b><\/h3>\n

Les \"p_{i,j}\" doivent \u00eatre des r\u00e9els positifs, donc on prendra \"\lambda\geq 0\". D’autre part:<\/p>\n

\"\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{*}\times \mathbb{N}^{*}} p_{i,j} \"=\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty} (n-1)\dfrac{\lambda}{n^{3}}=\lambda(S_{2}-S_{3})\"<\/p>\n

(car pour \"n=1\", \"\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{1}{n^{3}}\").<\/p>\n

On prendra donc \"\lambda=\dfrac{1}{S_{2}-S_{3}}\" (qui est bien positif).<\/p>\n

Exercice 3 :<\/b><\/h3>\n

Les \"p_{i,j}\" sont positifs, et \"\displaystyle \sum_{(i,j)\in \mathbb{N}^{2}} p_{i,j}.<\/p>\n

Donc cette famille est bien la loi d’un couple \"(X,Y)\" de v.a.r. discr\u00e8tes. On remarque que \"p_{i,j}=p_{j,i}\", donc
\n\"\mathbb{P}([X=i]\cap[Y=j])=\mathbb{P}([X=j]\cap[Y=i])\". On calcule :<\/p>\n

\"\mathbb{P}([X=i])=\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} p_{i,j}\" \"=\dfrac{1}{2^{i+2}}\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^{j}}=\dfrac{1}{2^{i+1}}\", et de m\u00eame \"\mathbb{P}([Y=i])=\dfrac{1}{2^{i+1}}\".<\/p>\n

On a: \"(X+1)(\Omega)=(Y+1)(\Omega)=\mathbb{N}^{*}\" et pour \"j\" dans \"\mathbb{N}^{*}\", \"\mathbb{P}([X+1=j])\" \"=\mathbb{P}([X=j-1])=\dfrac{1}{2^{j}}=\dfrac{1}{2^{j-1}}\dfrac{1}{2}\", donc \"X+1\" suit la loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p=\dfrac{1}{2}\".<\/p>\n

\"Y+1\" suit la m\u00eame loi.<\/p>\n

On a donc: \"\mathbb{E}(X+1)=\mathbb{E}(Y+1)=\dfrac{1}{p}=2\", d’o\u00f9 \"\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(Y)=1\", \"\textrm{Var}(X+1)=\textrm{Var}(Y+1)=\dfrac{1-p}{p^{2}}=2\", et \"\textrm{Var}(X+1)=\textrm{Var}(X)\", d’o\u00f9 \"\textrm{Var}(X)=\textrm{Var}(Y)=2\".<\/p>\n

Comme \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, \"\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)=1\" et \"\textrm{Var}(X+Y)=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)=4\".<\/p>\n

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Exercice 4 :\u00a0<\/b><\/h3>\n

Comme \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, \"(X+Y)(\Omega)=X(\Omega)+Y(\Omega)=\mathbb{N}\".<\/p>\n

Pour \"n\in \mathbb{N}^{*}\": \"\mathbb{P}([X+Y=n])\" \"=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \mathbb{P}([X=n-k])\mathbb{P}([Y=k])\".<\/p>\n

L’in\u00e9galit\u00e9 \"n\geq k+1\" est valable pour \"0\leq k\leq n-1\", donc :<\/p>\n

\"\mathbb{P}([X+Y=n])\" \"\leq \mathbb{P}([Y=n])\" \"\times\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\mathbb{P}([X=n-k])+\mathbb{P}([X=0])\mathbb{P}([Y=n])\"<\/p>\n

\"=\mathbb{P}([Y=n])(\mathbb{P}([1\leq X\leq n])+\mathbb{P}([X=0]))\" \"=\mathbb{P}([Y=n])\mathbb{P}([X\leq n])\".<\/p>\n

Pour \"n=0\" : \"\mathbb{P}([X+Y=0])=\mathbb{P}([X=0])\mathbb{P}([Y=0])\" et \"[X=0]=[X\leq 0]\", donc l’in\u00e9galit\u00e9 est encore vraie.<\/p>\n

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Exercice 5 :<\/b><\/h3>\n

Comme \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, \"(X+Y)(\Omega)=X(\Omega)+Y(\Omega)= [\![0,2n]\!]\", et pour tous \"i,j\" de \"[\!|0,n]\!]\", \"\ \mathbb{P}([X=i]\cap [Y=j])=\dfrac{1}{(n+1)^{2}}\".<\/p>\n

Pour \"k\in [\![0,2n]\!]\", \"[X+Y=k]=\bigcup ([X=i]\cap [Y=k-i])\", l’union \u00e9tant effectu\u00e9e sur tous les entiers \"i\" tels que \"0\leq i\leq n\" et \"0\leq k-i\leq n\", c’est-\u00e0-dire \"\textrm{max}(0, k-n)\leq k\leq \textrm{min}(n,k)\".<\/p>\n

Si \"0\leq k\leq n\", \"[X+Y=k]=\displaystyle \bigcup_{i=0}^{k}([X=i]\cap[Y=k-i])\", donc \"\mathbb{P}([X+Y=k])=\dfrac{k+1}{(n+1)^{2}}\".<\/p>\n

Si \"n+1\leq k\leq 2n\", \"[X+Y=k]=\displaystyle \bigcup_{i=k-n}^{n}([X=i]\cap [Y=k-i])\", donc \"\mathbb{P}([X+Y=k])=\dfrac{2n-k+1}{(n+1)^{2}}\".<\/p>\n

Exercice 6 :<\/b><\/h3>\n

\"X(\Omega)=[\![1,n]\!]\" et \"Y(\Omega)=\mathbb{N}^{*}\", \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, donc<\/p>\n

\"(X+Y)(\Omega)=[\![2;+\infty[\![\" et \"\Omega'_{(X,Y)}=[\![1;n]\!] \times \mathbb{N}^{*}\".<\/p>\n

Pour \"k\geq 2\", \"[X+Y=k]\" \"=\displaystyle \bigcup_{1\leq i\leq \textrm{min}(n,k-1)}([X=i]\cap [Y=k-i])\".<\/p>\n

Si \"2\leq k\leq n\", \"[X+Y=k]\" \"=\displaystyle \bigcup_{1\leq i\leq k-1}([X=i]\cap [Y=k-i])\", donc<\/p>\n

\"\mathbb{P}([X+Y=k])\" \"=\displaystyle \sum_{i=1}^{k-1}\dfrac{1}{n}(1-p)^{k-i-1}p\" \"=\dfrac{p}{n}(1-p)^{k-2}\displaystyle \sum_{i=1}^{k-1}\left(\dfrac{1}{1-p}\right)^{i-1}\" \"=\dfrac{p}{n}(1-p)^{k-2}\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{1-p}\right)^{k-1}}{1-\dfrac{1}{1-p}}\" \"=\dfrac{1}{n}(1-(1-p)^{k-1})\".<\/p>\n

Si \"k\geq n+1\", \"[X+Y=k]\" \"=\displaystyle \bigcup_{1\leq i\leq n}([X=i]\cap [Y=k-i])\", donc<\/p>\n

\"\mathbb{P}([X+Y=k])\" \"=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n}(1-p)^{k-i-1}p\" \"=\dfrac{p}{n}(1-p)^{k-2}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(\dfrac{1}{1-p}\right)^{i-1}\" \"= \"=\dfrac{1}{n}(1-p)^{k-n-1}(1-(1-p)^{n})\".<\/p>\n

Exercice 7 :<\/b><\/h3>\n

\"X(\Omega)=Y(\Omega)=\mathbb{N}^{*}\", et \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, donc \"(X+Y)(\Omega)=[\![2,+\infty[\![\".<\/p>\n

Pour \"n\geq 2\", \"[X+Y=n]=\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n-1}([X=k]\cap [Y=n-k])\", donc<\/p>\n

\"\mathbb{P}([X+Y=n])\" \"=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(1-u)^{k-1}u(1-v)^{n-k-1}v\" \"=uv(1-v)^{n-2}\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\dfrac{1-u}{1-v}\right)^{k-1}\".<\/p>\n

Si \"u=v\", \"\mathbb{P}([X+Y=n])=(n-1)u^{2}(1-u)^{n-2}\".<\/p>\n

Si \"u\neq v\", \"\mathbb{P}([X+Y=n])\" \"=uv(1-v)^{n-2}\dfrac{\ 1-\left(\dfrac{1-u}{1-v}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{1-u}{1-v}}\" \"=\dfrac{uv}{u-v}((1-v)^{n-1}-(1-u)^{n-1})\".<\/p>\n

V\u00e9rifiez vos connaissances et identifiez vos points faibles en maths en ECG2 afin de travailler davantage dessus pour augmenter vos chances de r\u00e9ussite aux concours :<\/p>\n