{"id":31129,"date":"2019-07-10T10:08:45","date_gmt":"2019-07-10T09:08:45","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31129"},"modified":"2023-09-15T19:08:52","modified_gmt":"2023-09-15T18:08:52","slug":"cours-en-ligne-couples-n-uplets-var-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-couples-n-uplets-var-ecs2\/","title":{"rendered":"Couples et n-uplets de var dans le cas g\u00e9n\u00e9ral – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours Couples et n-uplets de variables al\u00e9atoires r\u00e9elles ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

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M\u00e9thodes – Couples et n-uplets de var dans le cas g\u00e9n\u00e9ral<\/h2>\n

1. Loi d’un couple ou d’un n-uplet<\/h3>\n

M\u00e9thode 1 :\u00a0Comment trouver la fonction de r\u00e9partition d’un couple \"(X,Y)\" de v.a.r. ? d’un n-uplet \"(X_{1},\dots,X_{n})\" de v.a.r. ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" La fonction de r\u00e9partition d’un couple \"(X,Y)\" de v.a.r. est la fonction \"F_{(X,Y)}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\" d\u00e9finie par:
\n\"F_{(X,Y)}(x,y)=\mathbb{P}([X\leq x]\cap[Y\leq y])\".<\/p>\n

\"\bullet\" La fonction de r\u00e9partition d’un n-uplet \"(X_{1},\dots,X_{n})\" de v.a.r. est la fonction \"F_{(X_{1},\dots,X_{n})}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\"\u00a0d\u00e9finie par: \"F_{(X_{1},\dots,X_{n})}(x_{1},\dots,x_{n})\" \"=\mathbb{P}([X_{1}\leq x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}\leq x_{n}])\".<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b>\"X\" et \"M\" sont deux v.a.r. d\u00e9finies sur le m\u00eame espace probabilis\u00e9, \"M\" est constante \u00e9gale \u00e0 \"m\", \"m\in \mathbb{R}\".<\/p>\n

Trouver la fonction<\/a> de r\u00e9partition du couple \"(X,M)\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :\u00a0 Pour \"x\" et \"y\" r\u00e9els,\u00a0\"[X\leq x]\cap[Y\leq y]=\emptyset\" si \"y<m\", et si \"y\geq m\",\u00a0\"[Y\leq y]=\Omega\", donc \"[X\leq x]\cap[Y\leq y]=[X\leq x]\".<\/p>\n

Donc pour tout \"x\" r\u00e9el, \"F_{(X,M)}(x,y)=0\" si \"y<m\",\u00a0\"F_{(X,M)}(x,y)=F_{X}(x)\" si \"y\geq m\".<\/p>\n

M\u00e9thode 2 :\u00a0Comment trouver la loi d’un couple \"(X,Y)\" de v.a.r.? d’un n-uplet \"(X_{1},\dots,X_{n})\" de v.a.r. ?<\/b><\/p>\n

La loi du couple \"(X,Y)\", ou du n-uplet \"(X_{1},\dots,X_{n})\", est donn\u00e9e en g\u00e9n\u00e9ral par sa fonction de r\u00e9partition.<\/p>\n

Si les v.a.r. \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont discr\u00e8tes, la loi de \"(X_{1},\dots,X_{n})\" est le plus souvent donn\u00e9e par l’ensemble \"\Omega'_{(X_{1},\dots,X_{n})}\" des valeurs prises par le n-uplet \"(X_{1},\dots,X_{n})\" et, pour tout \"(x_{1},\dots,x_{n})\" de \"\Omega'_{(X_{1},\dots,X_{n})}\",<\/p>\n

\"\mathbb{P}([X_{1}=x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}=x_{n}])\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"X\" est une v.a.r. qui suit la loi exponentielle de param\u00e8tre \"1\". Trouver la loi du couple \"(X,-X)\".<\/p>\n

M\u00e9thode 3 :\u00a0Comment trouver les lois de \"X\" et \"Y\" connaissant la loi du couple \"(X,Y)\"?
\nQue dire de la loi de \"g(X,Y)\", ou de \"g(X_{1},\dots,X_{n})\" quand \"(X,Y)\" est un couple de v.a.r. ou \"(X_{1},\dots,X_{n})\" un n-uplet de v.a.r.?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Pour tous \"x,y\" r\u00e9els, \"\mathbb{P}([X\leq x])=\displaystyle \lim_{y\to +\infty}\mathbb{P}([X\leq x]\cap[Y\leq y])\" et \"\mathbb{P}([Y\leq y])=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\mathbb{P}([X\leq x]\cap[Y\leq y])\".<\/p>\n

\"\bullet\" La loi de \"g(X,Y)\" d\u00e9pend de la loi du couple \"(X,Y)\": si \"g\" est une fonction continue de \"\mathbb{R}^{2}\" dans \"\mathbb{R}\", et si \"(X_{1},Y_{1})\" et \"(X_{2},Y_{2})\" ont m\u00eame loi, \"g(X_{1},Y_{1})\" et \"g(X_{2},Y_{2})\" ont m\u00eame loi.<\/p>\n

La loi de \"g(X_{1},\dots,X_{n})\" d\u00e9pend de la loi du n-uplet \"(X_{1},\dots,X_{n})\": si \"g\" est une fonction continue de \"\mathbb{R}^{n}\" dans \"\mathbb{R}\" et si \"(X_{1},\dots,X_{n})\" et \"(Y_{1},\dots,Y_{n})\" ont m\u00eame loi, \"g(X_{1},\dots,X_{n})\" et \"g(Y_{1},\dots,Y_{n})\" ont m\u00eame loi.<\/p>\n

Exemple :<\/b> On suppose que \"X_{1}\" et \"X_{2}\" ont m\u00eame loi, que \"Y_{1}\" et \"Y_{2}\" ont m\u00eame loi. Alors,
\n\"X_{1}+Y_{1}\" et \"X_{2}+Y_{2}\" ont-elles m\u00eame loi ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Non, on n’a pas suppos\u00e9 que les couples \"(X_{1},Y_{1})\" et \"(X_{2},Y_{2})\" ont m\u00eame loi.
\nSi \"X_{1}\", \"X_{2}\", \"Y_{1}\", \"Y_{2}\" suivent des lois de Bernouilli de param\u00e8tre \"p\", si \"X_{1}\" et \"Y_{1}\" sont ind\u00e9pendantes et si \"Y_{2}=X_{2}\", \"X_{1}+Y_{1}\" suit une loi binomiale de param\u00e8tre \"(2,p)\", donc prend la valeur \"2\" avec probabilit\u00e9 \"p^{2}\", alors que \"X_{2}+Y_{2}=2X_{2}\", et \"2X_{2}\" prend la valeur \"2\" avec probabilit\u00e9 \"p\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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2. Couple de v.a.r. ind\u00e9pendantes, cas des v.a.r. \u00e0 densit\u00e9<\/h3>\n

M\u00e9thode 4 :\u00a0Si \"(X,Y)\" est un couple de v.a.r., quand peut-on dire que \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes ?<\/b><\/p>\n

\"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes si pour tous \"x\" et \"y\" de \"\mathbb{R}\", \"F_{(X,Y)}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)\", c’est-\u00e0-dire \"\mathbb{P}([X\leq x]\cap[Y\leq y])\" \"=\mathbb{P}([X\leq x])\mathbb{P}([Y\leq y])\".<\/p>\n

On peut dire aussi: \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes si et seulement si pour tous intervalles \"I\" et \"J\" de \"\mathbb{R}\",\u00a0\"\mathbb{P}([X\in I]\cap[Y\in J])\" \"=\mathbb{P}([X\in I])\mathbb{P}([Y\in J])\"<\/p>\n

ou: \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes si et seulement si pour tout \u00e9v\u00e9nement \"A\" de \"\mathcal{A}_{X}\" et tout \u00e9v\u00e9nement \"B\" de \"\mathcal{A}_{Y}\", \"\mathbb{P}(A\cap B)\" \"=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\".<\/p>\n

Si \"X\" et \"Y\" sont discr\u00e8tes, \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes si et seulement si pour tout \"x\" de \"X(\Omega)\" et tout \"y\" de \"Y(\Omega)\", \"\mathbb{P}([X=x]\cap[Y=y])\" \"=\mathbb{P}([X=x])\mathbb{P}([Y=y])\"<\/p>\n

Enfin, deux v.a.r. \"X\" et \"Y\" li\u00e9es \u00e0 deux exp\u00e9riences ind\u00e9pendantes sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Exemple :<\/b> Peut-on dire: \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes si et seulement si pour tous \"x\" et \"y\" r\u00e9els,\u00a0a-ton \"\mathbb{P}([X>x]\cap[Y>y])\" \"=\mathbb{P}([X>x])\mathbb{P}([Y>y])\" ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Oui !<\/p>\n

Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, \"[X\in ]x,+\infty[\ ]\" et \"[Y\in ]y,+\infty[\ ]\" sont des \u00e9v\u00e9nements ind\u00e9pendants; inversement, si ces deux \u00e9v\u00e9nements sont ind\u00e9pendants, leurs compl\u00e9mentaires le sont aussi, donc \"\mathbb{P}([X\leq x]\cap [Y\leq y])=\mathbb{P}([X\leq x])\mathbb{P}([Y\leq y])\".<\/p>\n

M\u00e9thode 5 :\u00a0Si \"(X,Y)\" est un couple de v.a.r. \u00e0 densit\u00e9 ind\u00e9pendantes, comment trouver la loi de \"X+Y\" ?<\/b><\/p>\n

On \u00e9tudie la convol\u00e9e de \"f_{X}\" et \"f_{Y}\": \"h(x)=f_{X}*f_{Y}(x)\" \"=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(t)f_{Y}(x-t)dt\".
\nSi \"h\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" et continue sauf peut-\u00eatre en un nombre fini de points, \"h\" est une densit\u00e9 de \"X+Y\".
\nOn peut remarquer que:
\n– si \"f_{X}\" ou \"f_{Y}\" est born\u00e9e, \"f_{X}*f_{Y}\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\".
\n– si \"f_{X}*f_{Y}(x)\" existe, \"f_{X}*f_{Y}(x)=f_{Y}*f_{X}(x)\".
\n– si \"x\" n’appartient pas \u00e0 \"X(\Omega)+Y(\Omega)\", \"f_{X}*f_{Y}(x)=0\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"X\" suit la loi exponentielle de param\u00e8tre \"1\", \"Y\" la loi exponentielle de param\u00e8tre \"2\", \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes. Trouver la loi de \"X+Y\".<\/p>\n

M\u00e9thode 6 :\u00a0Quelles sont les lois \u00e0 densit\u00e9 connues qui sont stables pour la somme ?<\/b><\/p>\n

Si \"X_{1}\" et \"X_{2}\" sont deux v.a.r. ind\u00e9pendantes,
\n\"\bullet\" si \"X_{1}\" et \"X_{2}\" suivent des lois \"\gamma(\nu_{1})\" et \"\gamma(\nu_{2})\", alors \"X_{1}+X_{2}\" suit la loi \"\gamma(\nu_{1}+\nu_{2})\": la loi \"\gamma\" est stable pour la somme.
\n\"\bullet\" si \"X_{1}\" et \"X_{2}\" suivent des lois normales de param\u00e8tres \"(m_{1},\sigma_{1}^{2})\" et \"(m_{2},\sigma_{2}^{2})\", alors \"X_{1}+X_{2}\" suit la loi normale de param\u00e8tre \"\left(m_{1}+m_{2},\left(\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}\right)^{2}\right)\": la loi normale est stable pour la somme.<\/p>\n

Exemple :<\/b> Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, et suivent des lois exponentielles de param\u00e8tres \"\lambda\" et \"\mu\", alors :<\/p>\n

(i) \"X+Y\" suit la loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda+\mu\" ?
\n(ii) \"\lambda X+\mu Y\" suit la loi \"\gamma\" de param\u00e8tre \"2\" ?
\n(iii) \"\dfrac{1}{\lambda}X+\dfrac{1}{\mu}Y\" suit la loi exponentielle de param\u00e8tre \"2\" ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : La bonne r\u00e9ponse est (ii).<\/p>\n

\"\lambda X\" suit la loi exponentielle de param\u00e8tre \"1\", qui est la loi \"\gamma(1)\", \"\mu Y\" suit la loi \"\gamma(1)\".<\/p>\n

3. n-uplets de v.a.r. ind\u00e9pendantes, suites de v.a.r. discr\u00e8tes ind\u00e9pendantes<\/h3>\n

M\u00e9thode 7 :\u00a0Quand peut-on dire que \"n\" v.a.r. \"X_{1},\dots,X_{n}\", \"n\geq 2\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes si pour tous r\u00e9els \"x_{1},\dots,x_{n}\",\u00a0\"F_{(X_{1},\dots,X_{n})}(x_{1},\dots,x_{n})\" \"=F_{X_{1}}(x_{1})\dots F_{X_{n}}(x_{n})\", c’est-\u00e0-dire \"\mathbb{P}([X_{1}\leq x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}\leq x_{n}])\" \"=\mathbb{P}([X_{1}\leq x_{1}])\dots\mathbb{P}([X_{n}\leq x_{n}])\".<\/p>\n

On peut dire aussi:<\/p>\n

\"\bullet\" \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont ind\u00e9pendantes si et seulement si pour tous intervalles \"I_{1},\dots,I_{n}\" de \"\mathbb{R}\", \"\mathbb{P}([X_{1}\in I_{1}]\cap \dots \cap[X_{n}\in I_{n}])\" \"=\mathbb{P}([X_{1}\in I_{1}])\dots \mathbb{P}([X_{n}\in I_{n}])\",
\nou
\n\"\bullet\" \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont ind\u00e9pendantes si et seulement si pour tous \u00e9v\u00e9nements \"A_{1},\dots,A_{n}\" de \"\mathcal{A}_{X_{1}},\dots,\mathcal{A}_{X_{n}}\", \"\mathbb{P}(A_{1}\cap\dots\cap A_{n})=\mathbb{P}(A_{1})\dots \mathbb{P}(A_{n})\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont discr\u00e8tes, elles sont mutuellement ind\u00e9pendantes si et seulement si pour tous \"x_{1},\dots,x_{n}\" de \"X_{1}(\Omega),\dots,X_{n}(\Omega)\", \"\mathbb{P}([X_{1}=x_{1}]\cap\dots\cap[X_{n}=x_{n}])\" \"=\mathbb{P}([X_{1}=x_{1}])\dots\mathbb{P}([X_{n}=x_{n}])\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Si \"X_{1}\", \"X_{2}\", \"X_{3}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes, peut-on \u00eatre s\u00fbr que \"X_{2}\" et \"X_{3}\" sont ind\u00e9pendantes ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Oui !<\/p>\n

\"\mathbb{P}([X_{2}\in I_{2}]\cap [X_{3}\in I_{3}])\" \"=\mathbb{P}([X_{1}\in \mathbb{R}]\cap [X_{2}\in I_{2})\cap [X_{3}\in I_{3}])\"
\n\"=\mathbb{P}([X_{1}\in \mathbb{R}])\mathbb{P}([X_{2}\in I_{2}])\mathbb{P}([X_{3}\in I_{3}])\" et \"\mathbb{P}([X_{3}\in \mathbb{R}])=1\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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M\u00e9thode 8 :\u00a0Quand peut-on dire qu’une suite infinie de v.a.r. est form\u00e9e de v.a.r. mutuellement ind\u00e9pendantes ?<\/b><\/p>\n

La suite \"(X_{n})_{n\geq 1}\" est une suite de v.a.r. mutuellement ind\u00e9pendantes si et seulement si pour tout entier \"n\", \"n\geq 2\", \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Si \"(X_{n})_{n\geq 1}\" est une suite de v.a.r. mutuellement ind\u00e9pendantes, pour tout entier \"k\", \"k\geq 2\", et tous entiers \"n_{1},\dots,n_{k}\", \"X_{n_{1}},\dots,X_{n_{k}}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Si \"(X_{n})_{n\geq 1}\" est une suite de v.a.r. mutuellement ind\u00e9pendantes et si \"i\" et \"j\" sont deux entiers non nuls distincts, \"X_{i}\" et \"X_{j}\" sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

M\u00e9thode 9 :\u00a0Qu’est-ce que le lemme des coalitions ?<\/b><\/p>\n

Si \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont des v.a.r. mutuellement ind\u00e9pendantes (\"n\geq 2\"), et si \"1\leq p<n\", une v.a.r. de la forme \"g(X_{1},\dots,X_{p})\" et une v.a.r. de la forme \"h(X_{p+1},\dots,X_{n})\" sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Si \"X_{1},\dots,X_{9}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes, \"X_{2}+X_{4}\" et \"X_{1}X_{3}X_{5}\", alors :<\/p>\n

(i) sont ind\u00e9pendantes?<\/p>\n

(ii) on ne peut rien dire, ce n’est pas l’\u00e9nonc\u00e9 du lemme des coalitions ?<\/p>\n

Peut-on trouver une base de \"\mathbb{R}^{3}\" form\u00e9e de vecteurs propres de \"f\"?<\/p>\n

R\u00e9ponse : <\/b>Oui : Les ensembles d’indices \"\{2,4\}\" et \"\{1,3,5\}\" ont une intersection vide.<\/p>\n

M\u00e9thode 10 :\u00a0Quelles propri\u00e9t\u00e9s de l’esp\u00e9rance s’\u00e9tendent aux v.a.r. en g\u00e9n\u00e9ral ?<\/b><\/p>\n

Les propri\u00e9t\u00e9s de l’esp\u00e9rance d\u00e9j\u00e0 vues s’\u00e9tendent au cas g\u00e9n\u00e9ral:<\/p>\n

\"\bullet\" Positivit\u00e9: si \"X\" est une v.a.r. positive qui admet une esp\u00e9rance, alors \"\mathbb{E}(X)\geq 0\";<\/p>\n

\"\bullet\" Croissance: si \"X\leq Y\" et si \"X\" et \"Y\" admettent une esp\u00e9rance, \"\mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)\";<\/p>\n

\"\bullet\" Existence par domination: si \"0\leq |X|\leq Y\" p.s. et si \"Y\" admet une esp\u00e9rance, \"X\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E}(X)\leq \mathbb{E}(Y)\";<\/p>\n

\"\bullet\" Lin\u00e9arit\u00e9<\/a> : si \"X\" et \"Y\" admettent une esp\u00e9rance, pour tous r\u00e9els \"a\" et \"b\", \"aX+bY\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E}(aX+bY)=a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(Y)\";<\/p>\n

si \"X_{1},\dots,X_{n}\" admettent une esp\u00e9rance, si \"a_{1},\dots,a_{n}\" sont des r\u00e9els, \"a_{1}X_{1}+\dots+a_{n}X_{n}\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E}(a_{1}X_{1}+\dots +a_{n}X_{n})\" \"=a_{1}\mathbb{E}(X_{1})+\dots +a_{n}\mathbb{E}(X_{n})\";<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X,Y\" sont ind\u00e9pendantes et admettent une esp\u00e9rance, \"XY\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\";<\/p>\n

si \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes et admettent une esp\u00e9rance, \"X_{1}\dots X_{n}\" admet une esp\u00e9rance et \"\mathbb{E}(X_{1}\dots X_{n})=\mathbb{E}(X_{1})\dots \mathbb{E}(X_{n})\".<\/p>\n

Enfin, si \"X\" et \"Y\" sont discr\u00e8tes et ind\u00e9pendantes, si \"A\" appartient \u00e0 \"\mathcal{A}_{Y}\" et \"\mathbb{P}(A)\neq 0\", \"\mathbb{E}(X|A)=\mathbb{E}(X)\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"X\" est une v.a.r. positive. On pose \"g_{X}(t)=\mathbb{E}(t^{X})\".<\/p>\n

Montrer que \"g_{X}\" est d\u00e9finie sur \"[0,1]\" et que, si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, \"g_{X+Y}=g_{X}g_{Y}\".<\/p>\n

M\u00e9thode 11 :\u00a0Quelles sont les propri\u00e9t\u00e9s de la variance et de la covariance dans le cas g\u00e9n\u00e9ral ?<\/b><\/p>\n

Les d\u00e9finitions de la variance et de la covariance s’\u00e9tendent au cas g\u00e9n\u00e9ral :<\/p>\n

\"\textrm{Var}(X)=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)\", et \"\textrm{cov}(X,Y)\" \"=\mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))\right)\", quand ces esp\u00e9rances existent.<\/p>\n

On a: \"\textrm{Var}(X)=\textrm{cov}(X,X)\".<\/p>\n

Les propri\u00e9t\u00e9s vues pour les v.a.r. discr\u00e8tes<\/a> s’\u00e9tendent au cas g\u00e9n\u00e9ral :<\/p>\n

\"\bullet\" Formule de Koenig-Huygens pour la variance: \"X\" admet une variance si et seulement si \"X\" admet un moment d’ordre \"2\" et alors \"\textrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2\";<\/p>\n

\"\bullet\" Formule de Koenig-Huygens pour la covariance: \"\textrm{cov}(X,Y)\" existe si et seulement si \"XY\" admet une esp\u00e9rance et alors \"\textrm{cov}(X,Y)\" \"=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\";<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" admet une variance, \"\textrm{Var}(X)\geq 0\", et \"\textrm{Var}(\lambda X)=\lambda^2 \textrm{Var}(X)\";<\/p>\n

\"\bullet\" In\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz: si \"X\" et \"Y\" admettent une variance, \"\textrm{cov}(X,Y)\" existe et \"|\textrm{cov}(X,Y)|\leq \sigma_{X}\sigma_{Y}\";<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes et admettent une variance, \"\textrm{cov}(X,Y)=0\";<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes et admettent une variance, \"X+Y\" admet une variance et \"\textrm{Var}(X+Y)=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)\";<\/p>\n

si \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes et admettent une variance, \"X_{1}+\dots +X_{n}\" admet une variance et \"\textrm{Var}(X_{1}+\dots +X_{n})\" \"=\textrm{Var}(X_{1})+\dots +\textrm{Var}(X_{n})\";<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"X\" et \"Y\" admettent une variance, \"X+Y\" en admet une et \"\textrm{Var}(X+Y)\" \"=\textrm{Var}(X)+\textrm{Var}(Y)+2\textrm{cov}(X,Y)\";<\/p>\n

si \"X_{1},\dots,X_{n}\" admettent une variance, \"X_{1}+\dots +X_{n}\" en admet une et \"\textrm{Var}(X_{1}+\dots +X_{n})\" \"=\textrm{Var}(X_{1})+\dots +\textrm{Var}(X_{n})\" \"+\displaystyle \sum_{1\leq i,j\leq n,i\neq j}\textrm{cov}(X_{i},X_{j})\"<\/p>\n

\"=\textrm{Var}(X_{1}+\dots +\textrm{Var}(X_{n})\" \"+\displaystyle 2\sum_{1\leq i<j\leq n}\textrm{cov}(X_{i},X_{j})\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0On suppose que pour \"1\leq i\leq n\", \"\textrm{Var}(X_{i})=v\", et que pour \"1\leq i<j\leq n\", \"\textrm{cov}(X_{i},X_{j})=c\".<\/p>\n

Calculer la variance de \"X_{1}+\dots +X_{n}\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Le nombre de couples \"(i,j)\" tels que \"1\leq i<j\leq n\" est \"\dfrac{n(n-1)}{2}\", donc \"\textrm{Var}(X_{1}+\dots +X_{n})\" \"=nv+n(n-1)c\".<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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M\u00e9thode 12 :\u00a0Dans quels cas classiques peut-on conna\u00eetre la loi d’une somme de v.a.r. ind\u00e9pendantes ?<\/b><\/p>\n

Si \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont des v.a.r. mutuellement ind\u00e9pendantes qui suivent<\/p>\n

\"\bullet\" une loi de Bernouilli de param\u00e8tre \"p\", \"X_{1}+\dots +X_{n}\" suit une loi binomiale de param\u00e8tre \"(n,p)\";<\/p>\n

\"\bullet\" des lois binomiales de param\u00e8tre \"(k_{1},p),\dots,(k_{n},p)\", \"X_{1}+\dots+X_{n}\" suit une loi binomiale de param\u00e8tre \"(k_{1}+\dots +k_{n},p)\";<\/p>\n

\"\bullet\" des lois de Poisson de param\u00e8tres \"\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\", \"X_{1}+\dots+X_{n}\" suit une loi de Poisson de param\u00e8tre \"\lambda_{1}+\dots+\lambda_{n}\";<\/p>\n

\"\bullet\" des lois \"\gamma(\nu_{1}),\dots,\gamma(\nu_{n})\", \"X_{1}+\dots +X_{n}\" suit une loi \"\gamma(\nu_{1}+\dots+\nu_{n})\";<\/p>\n

\"\bullet\" des lois exponentielles de param\u00e8tre \"1\", \"X_{1}+\dots+X_{n}\" suit une loi \"\gamma(n)\";<\/p>\n

\"\bullet\" des lois exponentielles de param\u00e8tre \"\lambda\", \"\lambda(X_{1}+\dots+X_{n})\" suit une loi \"\gamma(n)\".<\/p>\n

\"\bullet\" des lois normales de param\u00e8tres \"(m_{1},\sigma_{1}^{2}),\dots,(m_{n},\sigma_{n}^{2})\", \"X_{1}+\dots+X_{n}\" suit une loi normale de param\u00e8tre \"\left(m_{1}+\dots+m_{n},\left(\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\dots+\sigma_{n}^{2}}\right)^{2}\right)\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"X\", \"Y\", \"Z\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes et suivent respectivement la loi exponentielle de param\u00e8tre \"2\", la loi gamma de param\u00e8tre \"1/2\", la loi exponentielle de param\u00e8tre \"3\". Trouver la loi de \"2X+Y+3Z\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"2X\" et \"3Z\" suivent la loi exponentielle de param\u00e8tre \"1\"; \"2X\", \"Y\" et \"3Z\" sont mutuellement ind\u00e9pendantes, donc \"2X+Y+3Z\" suit la loi \"\gamma(5/2)\".<\/p>\n

En plus des entra\u00eenements sur les annales, les cours en ligne de maths en ECS2 sont parfaits pour revoir les notions basiques des chapitres au programme :<\/p>\n