{"id":31148,"date":"2019-07-10T10:09:33","date_gmt":"2019-07-10T09:09:33","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31148"},"modified":"2021-01-26T15:56:48","modified_gmt":"2021-01-26T14:56:48","slug":"cours-en-ligne-exercices-couples-n-uplets-var-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-couples-n-uplets-var-ecs2\/","title":{"rendered":"Couples et n-uplets de var dans le cas g\u00e9n\u00e9ral – Exercices"},"content":{"rendered":"
\n
\n
\n
\n
\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
\n

<\/a><\/p>\n

\n
\n

Exercices : Variable al\u00e9atoire r\u00e9elle sym\u00e9trique<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Couples et n-uplets de variables al\u00e9atoires r\u00e9elles : cas g\u00e9n\u00e9ral<\/h2>\n

Exercice 1 :<\/h3>\n

\"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. ind\u00e9pendantes d\u00e9finies sur le m\u00eame espace probabilis\u00e9. \"X\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite, on notera \"\phi\" sa fonction de r\u00e9partition et \"\varphi\" sa densit\u00e9 continue sur \"\mathbb{R}\". \"Y\" suit la loi uniforme sur \"[0,1]\".<\/p>\n

On pose \"T=X+Y\".<\/p>\n

Question 1 : <\/b><\/p>\n

Justifier l’existence de \"f_{X}*f_ {Y}(x)\" pour tout \"x\" r\u00e9el, et calculer \"f_{X}*f_{Y}(x)\".<\/p>\n

Question 2 : <\/b><\/p>\n

Montrer que \"x(\phi(x)-\phi(x-1))\" tend vers \"0\" quand \"x\" tend vers \"+\infty\" ou quand \"x\" tend vers \"-\infty\".<\/p>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

On pose \"h=f_{X}*f_{Y}\". V\u00e9rifier que \"h\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9. Donner la loi de \"T\".<\/p>\n

La loi de \"g(X_{1},\dots,X_{n})\" d\u00e9pend de la loi du n-uplet \"(X_{1},\dots,X_{n})\": si \"g\" est une fonction continue de \"\mathbb{R}^{n}\" dans \"\mathbb{R}\" et si \"(X_{1},\dots,X_{n})\" et \"(Y_{1},\dots,Y_{n})\" ont m\u00eame loi, \"g(X_{1},\dots,X_{n})\" et \"g(Y_{1},\dots,Y_{n})\" ont m\u00eame loi.<\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS PARTICULIERS ECG 2<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs profsparticuliers pour les \u00e9l\u00e8ves d'ECG 2<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe trouve un prof particulier en ECG 2<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,8 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

Exercice 2 :<\/h3>\n

On consid\u00e8re une suite \"(X_{n})_{n\in \mathbb{N}^{*}}\" de v.a.r. ind\u00e9pendantes suivant toutes la m\u00eame loi de Bernouilli de param\u00e8tre \"p\", \"p\in ]0,1[\".<\/p>\n

Pour \"n\in \mathbb{N}^{*}\", on pose \"Y_{n}=X_{n}+X_{n+1}\".<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

Trouver la loi de \"Y_{n}\", son esp\u00e9rance et sa variance.<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

On pose, pour \"n\geq 2\", \"T_{n}=\dfrac{1}{n}(Y_{1}+\dots+Y_{n})\". Trouver l’esp\u00e9rance et la variance de \"T_{n}\".<\/p>\n

Exercice 3 :<\/h3>\n

Une v.a.r. d\u00e9finie sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" est sym\u00e9trique si pour tout \"x\" r\u00e9el, \"\mathbb{P}([X < x])=\mathbb{P}([X > -x])\".
\n
\n<\/b>Question 1<\/strong> :<\/p>\n

Donner un exemple d’une v.a.r. sym\u00e9trique.<\/p>\n

Question 2<\/strong> :<\/p>\n

Si \"X\" est sym\u00e9trique et admet une densit\u00e9 \"f\" continue sur \"\mathbb{R}\", que peut-on dire de la courbe de \"f\" ?
\nQuelle est alors la loi de \"-X\"? Si \"X\" admet une esp\u00e9rance, que vaut \"\mathbb{E}(X)\" ?<\/p>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

Soient \"X\" et \"Y\" deux v.a.r. \u00e0 densit\u00e9 d\u00e9finies sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\", sym\u00e9triques et ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Montrer que \"X+Y\" et \"X-Y\" suivent la m\u00eame loi.<\/p>\n

Est-ce encore vrai si \"X\" et \"Y\" ne sont plus suppos\u00e9es ind\u00e9pendantes ?<\/p>\n

Exercice 4 :<\/h3>\n

\"X_{1},\dots,X_{n}\", \"n\geq 2\", sont des v.a.r. d\u00e9finies sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9, ind\u00e9pendantes, de fonctions<\/a> de r\u00e9partition \"F_{1},\dots,F_{n}\".<\/p>\n

On d\u00e9finit les v.a.r. \"V_{n}\" et \"U_{n}\" par \"V_{n}=\textrm{sup}(X_{1},\dots,X_{n})\" et \"U_{n}=\textrm{inf}(X_{1},\dots,X_{n})\".<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

Trouver la loi de \"V_{n}\", celle de \"U_{n}\".<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

Montrer que si \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont \u00e0 densit\u00e9, \"V_{n}\" et \"U_{n}\" sont \u00e0 densit\u00e9.<\/p>\n

Trouver les lois de \"V_{n}\" et \"U_{n}\" quand \"X_{1},\dots,X_{n}\" suivent des lois exponentielles de param\u00e8tres \"\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\".<\/p>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

On suppose dans cette question \"n=2\", \"X_{1}\" et \"X_{2}\" suivent des lois exponentielles de param\u00e8tres \"\lambda_{1}\" et \"\lambda_{2}\".<\/p>\n

(i)<\/b>\u00a0Trouver la loi de \"|X_{1}-X_{2}|\".<\/p>\n

(ii)<\/b>\u00a0Trouver la loi de \"V_{2}-U_{2}\".<\/span><\/p>\n

(iii)<\/b> Que deviennent ces r\u00e9sultats si \"\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda\"?<\/p>\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

STAGE INTENSIF EN ECG 2<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Profite de tes vacances pour gagner des points aux concours.<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

96%<\/span><\/strong> \u00a0de r\u00e9ussite aux concours<\/span>
74%<\/strong><\/span> dans le TOP 5<\/span>
99%<\/span><\/strong> de recommandation \u00e0 leurs amis<\/span><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tstage en pr\u00e9pa ECG 2<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n

Exercice 5 :<\/h3>\n

\"X\" est une v.a.r. qui suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite, \"Y\" est d\u00e9finie sur le m\u00eame espace probabilis\u00e9 que \"X\" et suit une loi uniforme sur \"\{-1,1\}\". \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Question 1 : <\/b><\/p>\n

On pose \"Z=XY\". Quelle est la loi de \"Z\"?<\/p>\n

Question 2 : <\/b><\/p>\n

Trouver une densit\u00e9 \"g\" de \"X^{2}\".<\/p>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

On pose \"T=XZ=X^{2}Y\".<\/p>\n

(i) <\/b>Montrer que \"T\" admet une densit\u00e9, que l’on exprimera en fonction de \"g\".<\/p>\n

(ii)<\/b>\u00a0Montrer que \"T\" admet une esp\u00e9rance, en donner la valeur.<\/p>\n

(iii) <\/b>Que vaut \"\textrm{cov}(X,Z)\"? \"X\" et \"Z\" sont-elles ind\u00e9pendantes ?<\/p>\n

Exercice 6 :<\/h3>\n

Une urne contient \"N\" boules, noires et blanches. La proportion de boules blanches est \"p\", \"(0 < p < 1)\", les boules blanches sont num\u00e9rot\u00e9es de \"1\" \u00e0 \"Np\".<\/p>\n

On tire \"n\" boules de l’urne, sans remise. \"X\" d\u00e9signe le nombre de boules blanches obtenues.<\/p>\n

Pour \"1\leq i\leq Np\", on note \"T_{i}\" la variable al\u00e9atoire qui prend la valeur \"1\" si la boule blanche num\u00e9ro \"i\" fait partie des boules tir\u00e9es, la valeur \"0\" sinon.<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

Trouver la loi de \"T_{i}\", \"1\leq i\leq Np\". Donner son esp\u00e9rance et sa variance.<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

Exprimer \"X\" \u00e0 l’aide des \"T_{i}\", \"1\leq i\leq Np\". En d\u00e9duire l’esp\u00e9rance de \"X\".<\/p>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

Calculer, pour \"1\leq i,j\leq Np\", \"\textrm{cov}(T_{i},T_{j})\".<\/p>\n

Question 4 :<\/b><\/p>\n

Calculer la variance de \"X\".<\/p>\n

Question 5 : <\/b><\/p>\n

Trouver la loi de \"X\" (On dit que \"X\" suit une loi hyperg\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"(N,n,p)\").<\/p>\n

Question 6 :<\/b><\/p>\n

Si on tire successivement avec remise \"n\" boules de l’urne, si \"Y\" d\u00e9signe le nombre de boules blanches obtenues, quelle est la loi de \"Y\"?
\nDonner l’esp\u00e9rance et la variance de \"Y\", et les comparer \u00e0 celles de \"X\".<\/p>\n

D’autres cours pour r\u00e9viser les maths en ECS2 sont en ligne sur notre site :<\/p>\n