{"id":31167,"date":"2019-07-10T10:09:56","date_gmt":"2019-07-10T09:09:56","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31167"},"modified":"2022-07-13T14:51:33","modified_gmt":"2022-07-13T13:51:33","slug":"cours-en-ligne-corriges-couples-n-uplets-var-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-couples-n-uplets-var-ecs2\/","title":{"rendered":"Couples et n-uplets de var dans le cas g\u00e9n\u00e9ral – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Exercices et corrig\u00e9s : Couples de variables al\u00e9atoires r\u00e9elles ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Corrig\u00e9s classiques – Couples et n-uplets de VAR<\/h2>\n

Exercice 1 :<\/h3>\n

\"X\" et \"Y\" sont deux v.a.r. ind\u00e9pendantes d\u00e9finies sur le m\u00eame espace probabilis\u00e9. \"X\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite, on notera \"\phi\" sa fonction de r\u00e9partition et \"\varphi\" sa densit\u00e9 continue sur \"\mathbb{R}\". \"Y\" suit la loi uniforme sur \"[0,1]\".<\/p>\n

On pose \"T=X+Y\".<\/p>\n

Question 1 :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"X(\Omega)=\mathbb{R}\", \"Y(\Omega)=[0,1]\", \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, donc \"T(\Omega)=\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"f_{X}\" est strictement positive sur \"\mat;hbb{R}\"; \"f_{Y}\" est nulle en dehors de \"[0,1]\" et vaut \"1\" sur \"[0,1]\",donc \"f_{Y}\" est born\u00e9e, donc pour tout \"x\" r\u00e9el, \"f_{X}*f_{Y}(x)\" existe et on a:<\/p>\n

\"f_{X}*f_{Y}(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x-t)f_{Y}(t)dt\" \"=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{(x-t)^{2}}{2}\right)dt\".<\/p>\n

On effectue le changement de variable affine \"u=x-t\":<\/p>\n

\"f_{X}*f_{Y}(x)=\displaystyle \int_{x-1}^{x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{u^{2}}{2}\right)du\" \"=\phi(x)-\phi(x-1)\".<\/p>\n

Question 2 : <\/b><\/p>\n

Quand \"x\to +\infty\" (resp. \"-\infty\"), \"\phi(x)\to 1\" (resp \"0\"), donc \"\phi(x)-\phi(x-1)\to 0\". D’apr\u00e8s l’in\u00e9galit\u00e9 des accroissements finis :<\/p>\n

\"|x(\phi(x)-\phi(x-1))|\" \"\leq |x|\textrm{max}_{x-1\leq t\leq x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{t^{2}}{2}\right)\".<\/p>\n

L’in\u00e9galit\u00e9 \"x-1\leq t\leq x\" entra\u00eene \"0\leq t\leq x\" si \"x\geq 1\", \"-1\leq t\leq 1\" si \"x\in[0,1]\", \"-|x|-1\leq t\leq 0\" si \"x\leq 0\". Dans tous les cas, on a \"|t|\leq |x|+1\", donc \"|x(\phi(x-1)-\phi(x))|\" \"\leq\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{(|x|+1)^{2}}{2}\right)\".<\/p>\n

Par croissances compar\u00e9es, \"x\exp\left(-\dfrac{(|x|+1)^{2}}{2}\right)\" tend vers \"0\" quand \"x\" tend vers \"+\infty\" ou \"-\infty\".
\nDonc par encadrement \"x(\phi(x)-\phi(x-1))\" tend vers 0 quand \"x\" tend vers \"+\infty\" ou \"-\infty\".<\/p>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

La fonction \"h:x\to \phi(x)-\phi(x-1)\" est d\u00e9finie et continue sur \"\mathbb{R}\", et positive car \"\phi\" est croissante.<\/p>\n

\n

On \u00e9tudie l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}(\phi(x)-\phi(x-1))dx\".<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
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On int\u00e8gre par parties en posant: \"u(x)=\phi(x)-\phi(x-1), v'(x)=1\"; \"u'(x)=\varphi(x)-\varphi(x-1),v(x)=x\".<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
\n

D’apr\u00e8s 2) \"u(x)v(x)\" tend vers \"0\" quand \"x\" tend vers \"+\infty\" ou \"-\infty\", donc si les int\u00e9grales \u00e9crites convergent:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
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\"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx\" \"=-\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x(\varphi(x)-\varphi(x-1))dx\" \"=\displaystyle -\int_{-\infty}^{+\infty}x\varphi(x)dx\" \"+\int_{-\infty}^{+\infty}(x-1)\varphi(x-1)dx\" \"+\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x-1)dx\".<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
\n

\"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x\varphi(x)dx\" existe et vaut \"0\": c’est l’esp\u00e9rance de \"X\"; \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}(x-1)\varphi(x-1)dx\" existe et vaut aussi \"0\" en effectuant le changement de variable affine \"s=x-1\"; de m\u00eame \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x-1)dx=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\".<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
\n

Donc \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)dx=1\".<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
\n

Donc \"h\" est bien une densit\u00e9 de probabilit\u00e9, et \"T\" admet \"h\" pour densit\u00e9.<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 :<\/h3>\n

On consid\u00e8re une suite \"(X_{n})_{n\in \mathbb{N}^{*}}\" de v.a.r. ind\u00e9pendantes suivant toutes la m\u00eame loi de Bernouilli de param\u00e8tre \"p\", \"p\in ]0,1[\".<\/p>\n

Pour \"n\in \mathbb{N}^{*}\", on pose \"Y_{n}=X_{n}+X_{n+1}\".<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

\"Y_{n}\" est somme de deux v.a.r. ind\u00e9pendantes qui suivent une loi de Bernouilli de param\u00e8tre \"p\", donc \"Y_{n}\" suit une loi binomiale de param\u00e8tre \"(2,p)\".<\/p>\n

\"\mathbb{E}(Y_{n})\" \"=2p\" et \"\textrm{Var}(Y_{n})=2p(1-p)\".<\/p>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

L’esp\u00e9rance est lin\u00e9aire, donc \"\mathbb{E}(T_{n})\" \"=\dfrac{1}{n}(\mathbb{E}(Y_{1})+\dots+\mathbb{E}(Y_{n}))=2p\".<\/p>\n

On \u00e9crit: \"T_{n}\" \"=\dfrac{1}{n}(X_{1}+2(X_{2}+\dots+X_{n})+X_{n+1})\". Les v.a.r. \"X_{1}\", \"2(X_{2}+\dots+X_{n})\" et \"X_{n+1}\" sont ind\u00e9pendantes puisque les \"X_{n}\", \"n\geq1\", sont ind\u00e9pendantes et que les ensembles d’indices \"\{1\}\", \"\{2,\dots,n\}\" et \"\{n+1\}\" sont deux \u00e0 deux disjoints.<\/p>\n

Donc \"\textrm{Var}(T_{n})=\dfrac{1}{n^{2}}(\textrm{Var}(X_{1})\" \"+4\textrm{Var}(X_{2}+\dots+X_{n})\" \"+\textrm{Var}(X_{n+1}))\".<\/p>\n

\n

Comme \"X_{2},\dots,X_{n}\" sont ind\u00e9pendantes et suivent la loi de Bernouilli de param\u00e8tre \"p\", \"X_{2}+\dots+X_{n}\" suit une loi binomiale de param\u00e8tre \"(n-1,p)\", donc \"\textrm{Var}(X_{2}+\dots+X_{n})=(n-1)p(1-p)\", donc finalement:<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\textrm{Var}(T_{n})\" \"=\dfrac{1}{n^{2}}(1+4(n-1)+1)p(1-p)\" \"=\dfrac{2}{n^{2}}(2n-1)p(1-p)\".<\/p>\n<\/div>\n

Exercice 3 :<\/h3>\n

Une v.a.r. d\u00e9finie sur \"(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\" est sym\u00e9trique si pour tout \"x\" r\u00e9el, \"\mathbb{P}([X < x])=\mathbb{P}([X > -x])\".
\n
\n<\/b>Question 1<\/strong> :<\/p>\n

Si \"X\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite, on a bien pour tout \"x\" r\u00e9el, \"\phi(x)=1-\phi(-x)\", c’est-\u00e0-dire \"\mathbb{P}([X\leq x])=\mathbb{P}([X > -x])\", et comme \"X\" est \u00e0 densit\u00e9, \"\mathbb{P}([X\leq x])=\mathbb{P}([X < x])\". Donc \"X\" est sym\u00e9trique.<\/p>\n

Question 2<\/strong> :<\/p>\n

Si \"X\" est sym\u00e9trique et \u00e0 densit\u00e9, pour tout \"x\" r\u00e9el, \"F_{X}(x)=1-F_{X}(-x)\", donc en d\u00e9rivant<\/p>\n

\"f_{X}(x)=f_{X}(-x)\": \"f\" est paire, sa courbe en rep\u00e8re orthogonal est sym\u00e9trique par rapport \u00e0 l’axe des ordonn\u00e9es.<\/p>\n

Si \"X\" est sym\u00e9trique et \u00e0 densit\u00e9, pour tout \"x\" r\u00e9el, \"-X\" est \u00e0 densit\u00e9 et \"F_{-X}(x)=1-F_{X}(-x)\", donc en d\u00e9rivant \"f_{-X}(x)=f_{X}(-x)=f_{X}(x)\".<\/p>\n

Donc \"-X\" a m\u00eame loi que \"X\". Si \"X\" admet une esp\u00e9rance, \"\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(-X)\", donc \"\mathbb{E}(X)=0\".<\/p>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

\"-Y\" est \u00e0 densit\u00e9 et suit la m\u00eame loi que \"Y\". Comme \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, pour tout \"(x,y)\" dans \"\mathbb{R}^{2}\", \"F_{(X,Y)}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)\".<\/p>\n

<\/div>\n
\n

\"X\" et \"-Y\" sont aussi ind\u00e9pendantes, donc \"F_{(X,-Y)}(x,y)=F_{X}(x)F_{-Y}(y)\", et comme \"Y\" et \"-Y\" ont m\u00eame loi, \"F_{-Y}=F_{Y}\", donc \"(X,Y)\" et \"(X,-Y)\" ont m\u00eame loi, donc \"X+Y\" et \"X-Y\" ont m\u00eame loi.<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
Si \"X\" et \"Y\" ne sont plus suppos\u00e9es ind\u00e9pendantes, ce n’est plus vrai. En prenant par exemple \"Y=X\", \"X+Y=2X\" et \"X-Y=0\"; \"2X\" est une v.a.r. \u00e0 densit\u00e9, \"0\" est une v.a.r. discr\u00e8te, elles ne peuvent pas avoir m\u00eame loi.<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n

Exercice 4 :<\/h3>\n

\"X_{1},\dots,X_{n}\", \"n\geq 2\", sont des v.a.r. d\u00e9finies sur un m\u00eame espace probabilis\u00e9, ind\u00e9pendantes, de fonctions de r\u00e9partition \"F_{1},\dots,F_{n}\".<\/p>\n

On d\u00e9finit les v.a.r. \"V_{n}\" et \"U_{n}\" par \"V_{n}=\textrm{sup}(X_{1},\dots,X_{n})\" et \"U_{n}=\textrm{inf}(X_{1},\dots,X_{n})\".<\/p>\n

Question 1 :<\/b><\/p>\n

Pour tout \"v\" r\u00e9el, \"[V\leq v]=[X_{1}\leq v]\cap \dots \cap [X_{n}\leq v]\", et \"X_{1},\dots,X_{n}\" sont ind\u00e9pendantes, donc:<\/p>\n

On a :\"F_{V}(v)=F_{1}(v)\dots F_{n}(v)\", donc \"F_{V}=F_{1}\dots F_{n}\".<\/div>\n
<\/div>\n
Pour tout \"u\" r\u00e9el, \"[U>u]=[X_{1}>u]\cap \dots \cap[X_{n}>u]\", donc de m\u00eame: \"1-F_{U}(u)=(1-F_{1}(u))\dots (1-F_{n}(u))\".<\/div>\n
\n
\n
<\/div>\n
D’o\u00f9 : \"F_{U}(u)=1-(1-F_{1}(u))\dots (1-F_{n}(u))\", donc \"F_{U}=1-(1-F_{1})\dots(1-F_{n})\".<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

Question 2 :<\/b><\/p>\n

\"F_{1},\dots,F_{n}\" sont continues sur \"\mathbb{R}\", \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\" priv\u00e9 peut-\u00eatre d’un nombre fini de points, donc \"F_{1}\dots F_{n}\" et \"(1-F_{1})\dots(1-F_{n})\" ont ces m\u00eames propri\u00e9t\u00e9s, donc \"V\" et \"U\" sont \u00e0 densit\u00e9.<\/p>\n

\n

Si, pour \"1\leq i\leq n\", \"X_{i}\" suit une loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda_{i}\", \"V(\Omega)=U(\Omega)=]0,+\infty[\", donc:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
\n

\"F_{V}(v)=(1-e^{-\lambda_{1}v})\dots(1-e^{-\lambda_{n}v})\" si \"v>0\", et \"F_{V}(v)=0\" sinon;<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
\"F_{U}(u)=1-e^{-\lambda_{1}u}\dots e^{-\lambda_{n}u}\" \"=1-e^{-(\lambda_{1}+\dots +\lambda_{n})u}\" si \"u>0\", et \"F_{U}(u)=0\" sinon: \"U\" suit la loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda_{1}+\dots +\lambda_{n}\".<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

On suppose dans cette question \"n=2\", \"X_{1}\" et \"X_{2}\" suivent des lois exponentielles de param\u00e8tres \"\lambda_{1}\" et \"\lambda_{2}\".<\/p>\n

(i) <\/b>Une densit\u00e9 de \"-X_{2}\" est \"f_{-X_{2}}(s)=f_{X_{2}}(-s)\", donc \"f_{-X_{2}}(s)=\lambda_{2}e^{\lambda_{2}s}\" si \"s<0\" et \"f_{-X_{2}}(s)=0\" sinon.<\/p>\n

<\/div>\n
\n

Comme \"X_{1}\" et \"X_{2}\" sont ind\u00e9pendantes, \"X_{1}\" et \"-X_{2}\" le sont aussi. Pour \"x\" r\u00e9el, on calcule:<\/p>\n

 <\/p>\n

<\/div>\n
\n

\"f_{X_{1}}*f_{-X_{2}}(x)\" \"=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X_{1}}(t)f_{-X_{2}}(x-t)dt\".<\/p>\n

 <\/p>\n

L’int\u00e9gration porte sur les \"t\" tels que \"t>0\" et \"x-t<0\", c’est-\u00e0-dire \"t>\textrm{max}(0,x)\".<\/p>\n

Si \"x\leq 0\", \"f_{X_{1}}*f_{-X_{2}}(x)\" \"=\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}t}\lambda_{2} e^{\lambda_{2}(x-t)} dt\" \"=\dfrac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}e^{\lambda_{2}x}\".<\/p>\n

Si \"x>0\", \"f_{X_{1}}*f_{-X_{2}}(x)\" \"=\displaystyle \int_{x}^{+\infty}\lambda_{1}e^{-\lambda_{1}t}\lambda_{2} e^{\lambda_{2}(x-t)} dt\" \"=\dfrac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}e^{-\lambda_{1}x}\".<\/p>\n

\"f_{X_{1}}*f_{-X_{2}}\" est d\u00e9finie et continue sur \"\mathbb{R}\" (elle vaut \"\dfrac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\" en \"0\"), donc c’est une densit\u00e9 de \"X_{1}-X_{2}\".<\/p>\n

\"|X_{1}-X_{2}|(\Omega)=[0,+\infty[\", et pour \"x\geq 0\", \"|X_{1}-X_{2}|\leq x]=[-x\leq X_{1}-X_{2}\leq x]\", donc<\/p>\n

\"F_{|X_{1}-X_{2}|}(x)\" \"=F_{X_{1}-X_{2}}(x)-F_{X_{1}-X_{2}}(-x)\".<\/p>\n

Comme \"f_{X_{1}-X_{2}}\" est continue sur \"\mathbb{R}\", \"F_{X_{1}-X_{2}}\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\", donc \"F_{|X_{1}-X_{2}|}\" l’est aussi.<\/p>\n

Donc \"|X_{1}-X_{2}\" est \u00e0 densit\u00e9, et en d\u00e9rivant:<\/p>\n

\"f_{|X_{1}-X_{2}|}(x)\" \"=f_{X_{1}-X_{2}}(x)+f_{X_{1}-X_{2}}(-x)\" \"=\dfrac{\lambda_{1}\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}(e^{-\lambda_{1}x}+e^{-\lambda_{2}x})\" si \"x\geq 0\" et \"f_{|X_{1}-X_{2}|}(x)=0\" sinon.<\/p>\n<\/div>\n

<\/div>\n<\/div>\n

(ii)<\/b> \"V_{2}\" et \"U_{2}\" ne sont pas ind\u00e9pendantes, puisque \"V_{2}\geq U_{2}\", mais \"V_{2}-U_{2}=|X_{1}-X_{2}|\", donc \"V_{2}-U_{2}\" a la densit\u00e9 trouv\u00e9e en (i).<\/span><\/p>\n

(iii)<\/b> Si \"\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda\", \"f_{|X_{1}-X_{2}|}(x)=\lambda e^{-\lambda x}\" si \"x\geq 0\", et \"f_{|X_{1}-X_{2}|}(x)=0\" sinon, donc \"|X_{1}-X_{2}|\" suit la loi exponentielle de param\u00e8tre \"\lambda\", et \"V_{2}-U_{2}\" aussi.<\/p>\n

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Exercice 5 :<\/h3>\n

\"X\" est une v.a.r. qui suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite, \"Y\" est d\u00e9finie sur le m\u00eame espace probabilis\u00e9 que \"X\" et suit une loi uniforme sur \"\{-1,1\}\". \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

Question 1 : <\/b><\/p>\n

\"Z(\Omega)=\mathbb{R}\", et pour tout \"z\" r\u00e9el,<\/p>\n

\"[Z\leq z]\" \"=([Z\leq z]\cap[Y=1])\cup ([Z\leq z]\cap [Y=-1])\" \"=([X\leq z]\cap [Y=1])\cap ([-X\leq z]\cap [Y=-1])\" \"=([X\leq z]\cap[Y=1])\cup([X\geq -z]\cap [Y=-1])\".<\/div>\n
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<\/div>\n
\n

Comme \"X\" et \"Y\" sont ind\u00e9pendantes, et que \"\mathbb{P}([Y=1])=\mathbb{P}([Y=-1])=\dfrac{1}{2}\",<\/p>\n

 <\/p>\n

\"F_{Z}(z)\" \"=\dfrac{1}{2}(\phi(z)+(1-\phi(-z)))=\phi(z]\".<\/div>\n
\n
<\/div>\n
Donc \"Z\" suit la loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite.<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

Question 2 : <\/b><\/p>\n

\"X^{2}(\Omega)=[0,+\infty[\" et \"X^{2}\" est \u00e0 densit\u00e9. Pour \"x\geq 0\", \"[X^{2}\leq x]=[-\sqrt{x}\leq X\leq \sqrt{x}]\", donc<\/p>\n

\"F_{X^{2}}(x)\" \"=\phi(\sqrt{x})-\phi(\sqrt{-x})=2\phi(\sqrt{x})-1\". Donc une densit\u00e9 de \"X^{2}\" est \"g\":<\/div>\n
\n
<\/div>\n
\"g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}f_{X}(\sqrt{x})\" \"=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\exp(-\dfrac{x}{2})\" si \"x\geq 0\", \"g(x)=0\" sinon.<\/div>\n
<\/div>\n<\/div>\n

Question 3 :<\/b><\/p>\n

(i) <\/b>\"T(\Omega)=\mathbb{R}\" et pour tout \"t\" r\u00e9el,<\/p>\n

\"[T\leq t]=([X^{2}\leq t]\cap[Y=1])\" \"\cup([-X^{2}\leq t]\cap[Y=-1])\" \"=([X^{2}\leq t]\cap[Y=1])\" \"\cup([X^{2}\geq -t]\cap[Y=-1])\", donc<\/p>\n

\"F_{T}(t)=\dfrac{1}{2}(F_{X^{2}}(t)+(1-F_{X^{2}}(-t))\".<\/p>\n

\"X^{2}\" est \u00e0 densit\u00e9, donc \"F_{X^{2}}\" est continue sur \"\mathbb{R}\", et \"F_{X^{2}}\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{*}\" au moins, donc \"F_{T}\" est aussi continue sur \"\mathbb{R}\" et \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{*}\" au moins, donc \"T\" est \u00e0 densit\u00e9 et \"f_{T}(t)=\dfrac{1}{2}(g(t)+g(-t))\".<\/p>\n

Si \"t>0\", \"g(-t)=0\", si \"t\leq 0\", \"g(t)=0\", donc pour tout \"t\" r\u00e9el, \"f_{T}(t)=\dfrac{1}{2}g(|t|)=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\dfrac{1}{\sqrt{|t|}}\exp(-\dfrac{|t|}{2})\".<\/p>\n

(ii)<\/b> On a \"|T|=X^{2}\" et \"X\" admet un moment d’ordre \"2\", donc \"T\" admet une esp\u00e9rance. La fonction \"f_{T}\" est paire, donc \"t\mapsto tf_{T}(t)\" est impaire, donc \"\mathbb{E}(T)=0\".<\/p>\n

(iii) <\/b>On a donc \"\mathbb{E}(XZ)=0\", et aussi \"\mathbb{E}(X)=0\". Donc \"\textrm{cov}(X,Z)=\mathbb{E}(XZ)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Z)=0\". \"X\" et \"Z\" ne sont pas lin\u00e9airement corr\u00e9l\u00e9es. Mais elles ne sont pas ind\u00e9pendantes:<\/p>\n

<\/div>\n
\"[X\leq -1]\cap[Z\leq -1]\" \"=[X\leq -1]\cap([XY\leq -1]\cap[Y=1])\" \"\cup([X\leq -1]\cap[XY\leq -1\cap[Y=-1])\".<\/div>\n
<\/div>\n
Le deuxi\u00e8me ensemble de l’union est vide, donc \"[X\leq-1]\cap[Z\leq-1]=[X\leq -1]\cap[Y=1]\", donc<\/div>\n
<\/div>\n
\"\mathbb{P}([X\leq -1]\cap[Z\leq -1])\" \"=(1-\phi(1))\times\dfrac{1}{2}\". Or \"\mathbb{P}([X\leq -1])\mathbb{P}(Z\leq -1])=(1-\phi(1))^{2}\".<\/div>\n
<\/div>\n
\n

Comme \"1-\phi(1)\neq \dfrac{1}{2}\", \"\mathbb{P}([X\leq -1]\cap[Z\leq -1])\" \"\neq \mathbb{P}([X\leq -1])\mathbb{P}([Z\leq-1])\", donc \"X\" et \"Z\" ne sont pas ind\u00e9pendantes.<\/p>\n

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