{"id":31182,"date":"2019-07-10T15:48:34","date_gmt":"2019-07-10T14:48:34","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31182"},"modified":"2023-09-15T13:42:53","modified_gmt":"2023-09-15T12:42:53","slug":"cours-en-ligne-fonctions-n-variables-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-fonctions-n-variables-ecs2\/","title":{"rendered":"Introduction aux fonctions de n variables – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n<\/div>\r\n
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Cours : Introductions aux fonctions de n variables en ECS2<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\r\n\r\n\r\nCe cours en ligne gratuits sur les couples les introductions de n variables en ECS2 vous aidera \u00e0 am\u00e9liorer votre niveau en maths. Vous \u00eates encourag\u00e9 \u00e0 renforcer votre apprentissage en associant nos cours gratuits en ligne \u00e0 nos cours de maths particuliers<\/a>.\r\n

Vecteurs dans l’espace, Ligne de niveau et Continuit\u00e9<\/h2>\r\n

1. Points et vecteurs dans l’espace \"\mathbb{R}^{n}\"<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 1 :\u00a0Comment utiliser l’espace vectoriel \"\mathbb{R}^{n}\" muni de sa structure euclidienne canonique pour des \u00e9tudes de fonctions ?<\/b><\/p>\r\n

Le produit scalaire canonique sur \"\mathbb{R}^{n}\" est d\u00e9fini par :<\/p>\r\n

si \"x=(x_{1},\dots,x_{n})\" et \"y=(y_{1},\dots,y_{n})\", \"< x,y >=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}\".<\/p>\r\n

La norme euclidienne associ\u00e9e \u00e0 ce produit scalaire<\/a> est d\u00e9finie par: \"\Vert x\Vert=\sqrt{< x,x >}=\sqrt{x_{1}^{2}+\dots+x_{n}^{2}}\".<\/p>\r\n

La base canonique de \"\mathbb{R}^{n}\" est orthonorm\u00e9e pour le produit scalaire canonique.<\/p>\r\n

Si \"n=1\", \"\Vert x\Vert=|x|\". On se servira de la norme euclidienne canonique dans \"\mathbb{R}^{n}\" comme on se sert de la valeur absolue dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\r\n

Exemple :<\/b>\u00a0On dira qu’un sous-ensemble \"E\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"n\geq 2\", est born\u00e9 si …<\/p>\r\n

(i) il existe des r\u00e9els \"A\" et \"B\" tels que, pour tout \"x\" de \"E\", \"B\leq x\leq A\" ?<\/p>\r\n

(ii) il existe un r\u00e9el positif \"A\" tel que, pour tout \"x\" de \"E\", \"||x||\leq A\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

(i) Non : l’in\u00e9galit\u00e9 \u00e9crite n’a pas de sens puisque \"x=(x_1,\dots,x_{n})\" et \"n\geq 2\".<\/p>\r\n

(ii) Oui : un sous-ensemble \"E\" de \"\mathbb{R}\" est born\u00e9 s’il existe un r\u00e9el positif \"A\" tel que pour tout \"x\" de \"E\", \"|x|\leq A\"; cette d\u00e9finition peut \u00eatre g\u00e9n\u00e9ralis\u00e9e\r\nen rempla\u00e7ant la valeur absolue par la norme.<\/p>\r\n

M\u00e9thode 2 :\u00a0Quelles sont les in\u00e9galit\u00e9s faisant intervenir des normes qui sont utiles \u00e0 conna\u00eetre ?<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" L’in\u00e9galit\u00e9 triangulaire dit: pour tous \"x\" et \"y\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert+\Vert y\Vert\", et on a \u00e9galit\u00e9 dans cette in\u00e9galit\u00e9 si et seulement si \"x\" et \"y\" sont li\u00e9s et de m\u00eame sens: \"x=0\" ou \"y=\lambda x\", \"\lambda\geq 0\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" On en d\u00e9duit: pour tous \"x\" et \"y\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"|\ \Vert x\Vert -\Vert y \Vert\ |\leq \Vert x+y\Vert\", et comme pour tout \"t\" r\u00e9el, \"|t|=\textrm{max}(t,-t)\", \"\Vert x\Vert-\Vert y\Vert\leq \Vert x+y\Vert\" et \"-\Vert x\Vert +\Vert y\Vert\leq \Vert x+y\Vert\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" L’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz s’\u00e9crit: \"|< x,y >|\leq \Vert x \Vert\ \Vert y\Vert\", et on a \u00e9galit\u00e9 dans cette in\u00e9galit\u00e9 si et seulement \"x\" et \"y\" sont li\u00e9s.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"x=(x_{1},x_{2})\", \"|x_{1}x_{2}|\leq\frac{1}{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\", c’est-\u00e0-dire, \"|x_{1}x_{2}|\leq \frac{1}{2} \Vert x\Vert^{2}\".<\/p>\r\n

Exemple :<\/b>\u00a0Si \"x=(x_{1},x_{2})\", on a \u00e9galit\u00e9 dans l’in\u00e9galit\u00e9 \"|x_{1}x_{2}|\leq \frac{1}{2}\Vert x\Vert^{2}\" si et seulement si …<\/p>\r\n

(i) \"x_{1}=x_{2}\"<\/p>\r\n

(ii) \"x_{1}=-x_{2}\"<\/p>\r\n

(iii) \"|x_{1}|=|x_{2}|\"<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (iii)<\/p>\r\n

L’\u00e9galit\u00e9 \u00e9quivaut \u00e0 \"(|x_{1}|-|x_{2}|)^{2}=0\", c’est-\u00e0-dire \u00e0 \"|x_{1}|=|x_{2}|\", soit \"x_{1}=x_{2}\" ou \"x_{1}=-x_{2}\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 3 :\u00a0Comment utiliser \"\mathbb{R}^{n}\" comme un ensemble de points ?<\/b><\/p>\r\n

Si \"(e_{1},\dots,e_{n})\" est la base canonique (orthonorm\u00e9e) de l’espace vectoriel \"\mathbb{R}^{n}\", on munit \"\mathbb{R}^{n}\" du rep\u00e8re cart\u00e9sien orthonorm\u00e9\"(O,e_{1},\dots,e_{n})\", o\u00f9 \"O\" est un point choisi comme origine.<\/p>\r\n

Si \"x=(x_{1},\dots,x_{n})\" appartient \u00e0 \"\mathbb{R}^{n}\", \"(x_{1},\dots x_{n})\" peut \u00eatre la liste des coordonn\u00e9es d’un vecteur \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\" dans la base canonique de \"\mathbb{R}^{n}\", ou la liste des coordonn\u00e9es d’un point \"M\" dans le rep\u00e8re \"(O,e_{1},\dots,e_{n})\".<\/p>\r\n

\"O\" est alors le point de coordonn\u00e9es \"(0,\dots,0)\", et on \u00e9crira: \"x=\overrightarrow{OM}\".<\/p>\r\n

Si \"A\" est le point de coordonn\u00e9es \"(a_{1},\dots,a_{n})\" et \"B\" le point de coordonn\u00e9es \"(b_{1},\dots,b_{n})\", le vecteur \"\overrightarrow{AB}\" est le vecteur de coordonn\u00e9es \"(b_{1}-a_{1},\dots,b_{n}-a_{n})\"; on peut le repr\u00e9senter par le vecteur \"\overrightarrow{OK}\", o\u00f9 \"K\" est le point de coordonn\u00e9es \"(b_{1}-a_{1},\dots,b_{n}-a_{n})\", ou par une fl\u00e8che d’origine \"A\" et d’extr\u00e9mit\u00e9 \"B\".<\/p>\r\n

On a alors \"\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\", et pour tout point \"C\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\": c’est la relation de Chasles.<\/p>\r\n

Enfin, il n’y a pas d’inconv\u00e9nient \u00e0 \u00e9crire: \"\overrightarrow{AB}=B-A\".<\/p>\r\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"\mathbb{R}^{n}\", \"n\geq 2\", est muni du rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,e_{1},\dots,e_{n})\". \"K\" est le point de coordonn\u00e9es \"(1,2,\dots,n)\".<\/p>\r\n

Si \"A\" a pour coordonn\u00e9es \"(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})\", quelles sont les coordonn\u00e9es de \"A\" dans le rep\u00e8re cart\u00e9sien \"(K,e_{1},e_{2},\dots,e_{n})\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"(a_{1}-1,a_{2}-2,\dots,a_{n}-n)\".<\/p>\r\n

En effet, \"\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OK}\", donc \"\overrightarrow{KA}=A-K=(a_{1}-1,a_{2}-2,\dots,a_{n}-n)\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 4 :\u00a0Comment d\u00e9finir la distance entre deux points de \"\mathbb{R}^{n}\" ?\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Si \"A\" et \"B\" sont deux points de \"\mathbb{R}^{n}\", la distance de \"A\" \u00e0 \"B\" est: \"d(A,B)=\Vert\overrightarrow{AB}\Vert\". On a alors :\r\n— pour tous points \"A\" et \"B\", \"d(A,B)\geq 0\", et \"d(A,B)=0\" si et seulement si \"A=B\";\r\n— pour tous points \"A\" et \"B\", \"d(A,B)=d(B,A)\";\r\n— pour tous points \"A,B,C\", \"d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)\".<\/p>\r\n

Ex: Dans le plan muni d’un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\vec{i},\vec{j})\", on donne les points \"A,B,C\" de coordonn\u00e9es respectives \"(2,0), (0,4),(6,2)\".<\/p>\r\n

Il existe un unique point \"I\" \u00e9quidistant de \"A,B\" et \"C\" dont les coordonn\u00e9es sont … ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"(3,3)\"<\/p>\r\n

M\u00e9thode 5 :\u00a0Si \"A\" et \"B\" sont deux points de \"\mathbb{R}^{n}\", comment d\u00e9finir la droite \"(AB)\"? la demi-droite d’origine \"A\" contenant \"B\"? le segment \"[AB]\" ?<\/b><\/p>\r\n

La droite \"(AB)\" est l’ensemble des points \"M\" tels que \"\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB}, \lambda\in \mathbb{R}\".<\/p>\r\n

La demi-droite d’origine \"A\" contenant \"B\" est l’ensemble des points \"M\" tels que \"\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}, \lambda\geq 0\".<\/p>\r\n

Le segment \"[AB]\" est l’ensemble des points \"M\" tels que \"\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}, \lambda\in[0,1]\", c’est-\u00e0-dire tels que: \\\\il existe un r\u00e9el \"\lambda\" appartenant \u00e0 \"[0,1]\" tel que \"\overrightarrow{OM}=(1-\lambda) \overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}\".\r\nOn peut dire aussi: \"[AB]=\{(1-\lambda) A+\lambda B|\lambda\in[0,1]\}\".<\/p>\r\n

Exemple :<\/b>\u00a0Dans \"\mathbb{R}^{2}\" muni du rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\vec{i},\vec{j})\", on donne le point \"A\" de coordonn\u00e9es \"(3,2)\". La courbe \"(L)\" form\u00e9e de la demi-droite d’origine \"A\" dirig\u00e9e par le vecteur de coordonn\u00e9es \"(1,2)\" et de la demi-droite d’origine \"A\" dirig\u00e9e par le vecteur \"(1,-2)\" est la courbe de la fonction \"f\" d\u00e9finie par :<\/p>\r\n

(i) \"f(x)=-2|x-3|+2\" ?<\/p>\r\n

(ii) \"f(x)=2|3-x|-2\" ?<\/p>\r\n

(iii) \"f(x)=-2(|3-x|+1)\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (i)<\/p>\r\n

\"(L)\" est l’ensemble des points \"M\" de coordonn\u00e9es \"(x,y)\" tels que si \"x\leq 3\", \"y=2(x-3)+2\", et si \"x\geq 3\", \"y=-2(x-3)+2\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 6 :\u00a0Qu’est-ce qu’un hyperplan de \"\mathbb{R}^{n}\"? Quelle en est l’\u00e9quation ?<\/b><\/p>\r\n

\"\bullet\" Dans l’espace vectoriel \"\mathbb{R}^{n}\", un hyperplan vectoriel est un sous-espace vectoriel<\/a> de dimension \"n-1\": dans \"\mathbb{R}^{2}\", c’est une droite vectorielle, dans \"\mathbb{R}^{3}\", c’est un plan vectoriel.<\/p>\r\n

\"\bullet\" L’\u00e9quation d’un hyperplan vectoriel de \"\mathbb{R}^{n}\" est de la forme\r\n\"a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=0\", o\u00f9 \"(a_{1},\dots,a_{n})\neq (0,\dots,0)\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Dans \"\mathbb{R}^{n}\" muni du rep\u00e8re \"(O,e_{1},\dots,e_{n})\", un hyperplan \"(H)\" est un ensemble d’\u00e9quation\r\n\"a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}=c\", o\u00f9 \"(a_{1},\dots,a_{n})\neq (0,\dots,0)\".<\/p>\r\n

Il est dirig\u00e9 par l’hyperplan vectoriel \"(H_{0})\", d’\u00e9quation \"a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=0\":<\/p>\r\n

si \"A\in (H)\", si \"M\" est un point de \"\mathbb{R}^{n}\", \"M\in (H)\" si et seulement si \"\overrightarrow{AM}\in (H_{0})\".<\/p>\r\n

Exemple :\u00a0<\/b>\"\mathbb{R}^{3}\" est muni du rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\". Le plan d’\u00e9quation \"2x+3y-z+1=0\" est le plan<\/p>\r\n

(i) passant par \"A=(-1,0,-1)\" dirig\u00e9 par \"\textrm{Vect}(\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}, \vec{j}+3\vec{k})\" ?\r\n(ii) passant par \"A=(-1,0,-1)\", \"B=(1,-1,0)\" et \"C=(3,-2,1)\" ?\r\n(iii) passant par \"A=(-1,0,-1)\" et \"B=(-1,1,1)\" et dirig\u00e9 par le plan vectoriel d’\u00e9quation \"2x+3y-z=0\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (i)<\/p>\r\n\r\n

\r\n
\r\n\r\n(ii) Les trois points \"A,B,C\" appartiennent au plan, mais ils sont align\u00e9s; il existe donc une infinit\u00e9 de plans qui contiennent ces trois points.\r\n(iii) Les coordonn\u00e9es de \"B\" ne v\u00e9rifient pas l’\u00e9quation du plan.\r\n\r\n \r\n\r\n\t\t
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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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2. Fonctions de plusieurs variables: d\u00e9finition et exemples<\/h3>\r\n

M\u00e9thode 7 :\u00a0Comment comprendre le terme: fonction de plusieurs variables ?<\/b><\/p>\r\n

Ce terme intervient dans l’\u00e9tude des fonctions \"f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\" o\u00f9 \"n\geq 2\".<\/p>\r\n

A tout \"x=(x_{1},\dots,x_{n})\" de \"\mathbb{R}^{n}\", on associe le r\u00e9el \"f(x)\". On peut \u00e9crire \"f(x)=f((x_{1},\dots,x_{n}))\", et par abus, \"f(x)=f(x_{1},\dots,x_{n})\".<\/p>\r\n

\"f\" est fonction du n-uplet<\/a> \"(x_{1},\dots,x_{n})\", ou des \"n\" variables \"x_{1},\dots,x_{n}\".<\/p>\r\n

Exemple :<\/b>\u00a0Si \"f\" est une fonction de \"\mathbb{R}^{3}\" dans \"\mathbb{R}\", si \"x=(x_{1},x_{2},x_{3})\", peut-on dire …<\/p>\r\n

(i) \"f(2x_{1},x_{2},2x_{3})=f(2x)\" ?<\/p>\r\n

(ii) \"f(2x_{1},x_{2},2x_{3})=2f(x)\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\r\n

(i) Non, car \"2x=(2x_{1},2x_{2},2x_{3})\"<\/p>\r\n

(ii) Non, car \"2f(x)=2f(x_{1},x_{2},x_{3})\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 8 :\u00a0Quelles sont les fonctions \"f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\" qui sont lin\u00e9aires ?<\/b><\/p>\r\n

Ce sont les fonctions d\u00e9finies par: si \"x=(x_{1},\dots,x_{n})\", \"f(x)=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}\" o\u00f9 \"a_{1},\dots,a_{n}\" sont des r\u00e9els donn\u00e9s ind\u00e9pendants de \"x\".<\/p>\r\n

Exemple :<\/b>\u00a0\"\lambda\" est un nombre r\u00e9el, et \"f\" est d\u00e9finie par: \"f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}-x_{2}+5(1-\lambda x_{1})x_{3}\". Alors :<\/p>\r\n

(i) \"f\" est lin\u00e9aire, quelque soit la valeur de \"\lambda\" ?\r\n(ii) \"f\" est lin\u00e9aire si et seulement si \"\lambda=0\" ?\r\n(iii) \"f\" n’est pas lin\u00e9aire, quelque soit la valeur de \"\lambda\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Seule (ii) est vraie.<\/p>\r\n

M\u00e9thode 9 :\u00a0Qu’est-ce qu’une fonction affine de \"n\" variables ?<\/b><\/p>\r\n

Si \"n=1\", \"f\" est affine si pour tout \"x\" r\u00e9el, \"f(x)=ax+b\" o\u00f9 \"a\" et \"b\" sont deux r\u00e9els, ind\u00e9pendants de \"x\".<\/p>\r\n

En g\u00e9n\u00e9ral, \"f\" est affine si \"f(x_{1},\dots,x_{n})=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}+b\", o\u00f9 \"a_{1},\dots,a_{n},b\" sont des r\u00e9els ind\u00e9pendants de \"x_{1},\dots,x_{n}\".<\/p>\r\n

Exemple :<\/b>\u00a0Peut-on dire:<\/p>\r\n

(i) une fonction affine de \"n\" variables est toujours lin\u00e9aire?\r\n(ii) une fonction lin\u00e9aire de \"n\" variables est toujours affine?<\/p>\r\n

M\u00e9thode 10 :\u00a0Qu’est-ce qu’une fonction polynomiale de \"n\" variables ?\u00a0<\/b><\/p>\r\n

Une fonction \"f\" des \"n\" variables \"x_{1},\dots,x_{n}\" est polynomiale si \"f(x_{1},\dots,x_{n})\" s’\u00e9crit comme combinaison lin\u00e9aire \u00e0 coefficients r\u00e9els (ind\u00e9pendants de \"x_{1},\dots,x_{n}\"), de termes de la forme \"x_{1}^{k_{1}}\dots x_{n}^{k_{n}}\", o\u00f9 \"k_{1},\dots,k_{n}\" appartiennent \u00e0 \"\mathbb{N}\".<\/p>\r\n

Une somme ou un produit de fonctions polynomiales est une fonction polynomiale.<\/p>\r\n

Exemple :<\/b> La fonction \"f\" d\u00e9finie par \"f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}x_{3}+(|x_{1}|+3)x_{2}^{4}+1\" est-elle polynomiale ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Non<\/p>\r\n\r\n

\r\n\r\n3. Graphes et lignes de niveau<\/span>\r\n\r\n<\/div>\r\n
\r\n

M\u00e9thode 11<\/strong> :\u00a0Comment trouver le graphe d’une fonction de \"n\" variables et son \u00e9quation ?<\/strong><\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"n=1\", si \"f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\", le graphe de \"f\" est le sous-ensemble \"G_{f}\" de \"\mathbb{R}^{2}\" d\u00e9fini par:<\/p>\r\n

\"G_{f}=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb{R}^{2}|x_{2}=f(x_{1})\}\". L’\u00e9quation du graphe de \"f\" est \"x_{2}=f(x_{1})\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" En g\u00e9n\u00e9ral, si \"f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\", le graphe \"G_{f}\" de \"f\" est le sous-ensemble de \"\mathbb{R}^{n+1}\" d\u00e9fini par:<\/p>\r\n

\"G_{f}=\{(x_{1},\dots,x_{n},x_{n+1})\" \"\in \mathbb{R}^{n+1}|x_{n+1}=f(x_{1},\dots,x_{n})\}\". L’\u00e9quation de \"G_{f}\" est \"x_{n+1}=f(x_{1},\dots,x_{n})\".<\/p>\r\n

Exemple<\/strong> :\u00a0On note \"(x,y,z)\" les coordonn\u00e9es d’un point de \"\mathbb{R}^{3}\".<\/p>\r\n

Alors le sous-ensemble de \"\mathbb{R}^{3}\" d’\u00e9quation \"x^{2}-y+3z=2\" est le graphe de la fonction \"f\" d\u00e9finie par:<\/p>\r\n

(i) \"f(x,z)=x^{2}+3z-2\" ?<\/p>\r\n

(ii) \"f(x,y,z)=x^{2}-y+3z\" ?<\/p>\r\n

(iii) \"f(x,y)=\dfrac{1}{3}(2+y-x^{2})\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (iii)<\/p>\r\n

(i) Non : l’\u00e9quation du graphe de \"f\" est de la forme \"z=f(x,y)\".\r\n(ii) Non : un sous-ensemble de \"\mathbb{R}^{3}\" est le graphe d’une fonction de deux variables.<\/p>\r\n

M\u00e9thode 12 :\u00a0Que peut-on dire du graphe de \"f\" quand \"f\" est affine ?\u00a0<\/strong><\/p>\r\n

Si \"f\" estune fonction affine des \"n\" variables \"x_{1},\dots,x_{n}\": \"f(x_{1},\dots,x_{n})=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}+b\", le graphe de \"f\" est l’hyperplan de \"\mathbb{R}^{n+1}\" d’\u00e9quation \"x_{n+1}=a_{1}x_{1}+\dots+a_{n}x_{n}+b\".<\/p>\r\n

Exemple<\/strong> :\u00a0Dans \"\mathbb{R}^{2}\" muni du rep\u00e8re \"(O,\vec{i},\vec{j})\", on donne les points \"A\" de coordonn\u00e9es \"(1,2)\" et \"B\" de coordonn\u00e9es \"(m,3)\", o\u00f9 \"m\" est un nombre r\u00e9el.<\/p>\r\n

Alors la droite \"(AB)\" :<\/p>\r\n

(i) est le graphe d’une fonction affine pour tout r\u00e9el \"m\"?\r\n(ii) est le graphe d’une fonction affine si et seulement si \"m\neq 1\"?\r\n(iii) est le graphe d’une fonction \"f\", mais \"f\" n’est affine que si \"m\neq 1\"?<\/p>\r\n

M\u00e9thode 13 :\u00a0Qu’est-ce qu’une ligne de niveau d’une fonction de deux variables ?<\/strong><\/p>\r\n

Le plan est rapport\u00e9 au rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\vec{i},\vec{j})\".<\/p>\r\n

Si \"f\" est la fonction qui \u00e0 tout \"(x,y)\" de \"\mathbb{R}^{2}\" associe \"f(x,y)\", si \"k\" est un r\u00e9el, la ligne de niveau \"k\" de \"f\" est l’ensemble \"L_{k}(f)\" des points \"M\" de coordonn\u00e9es \"(x,y)\" tels que \"f(x,y)=k\".<\/p>\r\n

Exemple<\/strong>\u00a0:\u00a0On donne la fonction \"f\" qui \u00e0 tout \"(x,y)\" associe \"x^{2}+y^{2}\".\r\nTrouver, pour tout r\u00e9el \"k\", la ligne de niveau \"k\" de \"f\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Pour tout \"(x,y)\", \"f(x,y)\geq 0\", donc si \"k<0\", \"L_{k}(f)=\emptyset\"; si \"k=0\", \"f(x,y)=0\" \u00e9quivaut \u00e0 \"x=y=0\", donc \"L_{0}(f)=\{O\}\"; si \"k>0\", \"L_{k}(f)\" est l’ensemble des points \"M\" du plan tels que \"d(O,M)^{2}=k\": c’est le cercle de centre \"O\", de rayon \"\sqrt{k}\".<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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4. Continuit\u00e9<\/span><\/strong><\/p>\r\n

M\u00e9thode 14 :\u00a0Comment montrer qu’une fonction de \"\mathbb{R}^{n}\" dans \"\mathbb{R}\" est continue en un point \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\"? sur \"\mathbb{R}^{n}\" ?<\/strong><\/p>\r\n

\"\bullet\" La fonction \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est continue au point \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\" si, pour tout \"\epsilon>0\", il existe un \"\alpha>0\" tel que pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\" tel que \"\Vert x-a\Vert\leq \alpha\", on ait \"|f(x)-f(a)|\leq\epsilon\".<\/p>\r\n

On peut dire aussi: \"f\" est continue au point \"a\" si \"f(x)\to f(a)\" quand \"\Vert x-a\Vert\to 0\".<\/p>\r\n

Pour montrer que \"f\" est continue en \"a\", on peut essayer d’\u00e9crire \"|f(x)-f(a)|\leq g(\Vert x-a\Vert)\" o\u00f9 \"g\" est une fonction de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" telle que \"g(t)\to 0\" quand \"t\to0\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" La fonction \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^{n}\" si elle est continue en tout point \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

Exemple<\/strong> :\u00a0Montrer que la fonction \"x\to \Vert x\Vert\" est continue sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : Pour tous \"a\" et \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", on a: \"|\ \Vert x\Vert -\Vert a\Vert\ |\leq \Vert x-a\Vert\". Quand \"\Vert x-a\Vert\to 0\", par encadrement, \"\Vert x\Vert -\Vert a\Vert \to 0\".<\/p>\r\n

M\u00e9thode 15 :\u00a0Comment montrer qu’une fonction est continue sans revenir \u00e0 la d\u00e9finition ?<\/strong><\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour \"1\leq i\leq n\", la \"i^{\textrm{ème}}\" fonction coordonn\u00e9e, qui \u00e0 \"(x_{1},\dots,x_{n})\" associe \"x_{i}\", est continue sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" La somme ou le produit de deux fonctions continues en \"a\" (ou sur \"\mathbb{R}^{n}\") est une fonction continue en \"a\" (ou sur \"\mathbb{R}^{n}\").<\/p>\r\n

\"\bullet\" Les fonctions polynomiales sont continues sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"f\" et \"g\" sont continues en \"a\" et si \"g(a)\neq 0\", \"f/g\" est continue en \"a\"; si \"f\" et \"g\" sont continues sur \"\mathbb{R}^{n}\" et si \"g(\mathbb{R}^{n})\subset \mathbb{R}^{*}\", \"f/g\" est continue sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Les fonctions rationnelles (\"f(x)=P(x)/Q(x)\" o\u00f9 \"P\" et \"Q\" sont des polyn\u00f4mes) qui sont d\u00e9finies sur \"\mathbb{R}^{n}\" sont continues sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"f:\mathbb{R}^{n}\to I\", o\u00f9 \"I\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\", est continue sur \"\mathbb{R}^{n}\" et si \"g:I\to \mathbb{R}\" est continue sur \"I\", alors \"g\circ f\" est continue sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"u_{1},\dots,u_{n}\" sont des fonctions continues sur un intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\", \u00e0 valeurs r\u00e9elles<\/a>, et si \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^{n}\", la fonction \"t\mapsto f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))\" est continue sur \"I\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Si \"u_{1},\dots,u_{n}\" sont des fonctions continues sur \"\mathbb{R}^{p}\", \"p\in \mathbb{N}^{*}\", \u00e0 valeurs r\u00e9elles, et si \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^{n}\", la fonction de \"\mathbb{R}^{p}\" dans \"\mathbb{R}\" qui \u00e0 \"t=(t_{1},\dots,t_{p})\" associe \"f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))\" est continue sur \"\mathbb{R}^{p}\".<\/p>\r\n

Exemple<\/strong> :\u00a0La fonction \"f\" est d\u00e9finie par: \"f(x,y)=(x^{2}+y^{2}+1)^{1/2}\". On peut dire que \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^{2}\" parce que<\/p>\r\n

(i) \"f\" est polynomiale ?\r\n(ii)\"f=h\circ g\" o\u00f9 \"g(x,y)=x^{2}+y^{2}\" et \"h(t)=\sqrt{t}+1\" ?\r\n(iii) \"f=h\circ g\" o\u00f9 \"g(x,y)=x^{2}+y^{2}\" et \"h(t)=\sqrt{t+1}\" ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (iii)<\/p>\r\n

(i) Non: la puissance \"1/2\" n’est pas un entier naturel.<\/p>\r\n

(ii) Non: il faut prendre \"h(t)=\sqrt{t+1}\".\r\n5. Fonctions major\u00e9es, minor\u00e9es, extrema<\/p>\r\n

M\u00e9thode 16 :\u00a0Quand peut-on dire qu’une fonction de \"\mathbb{R}^{n}\" dans \"\mathbb{R}\" est major\u00e9e ? minor\u00e9e? born\u00e9e ?<\/strong><\/p>\r\n

Les d\u00e9finitions connues pour une fonction de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" restent valables:<\/p>\r\n

Une fonction \"f\" de \"\mathbb{R}^{n}\" dans \"\mathbb{R}\" est major\u00e9e s’il existe un r\u00e9el \"M\" tel que, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"f(x)\leq M\"; \"M\" est alors un majorant de \"f\".<\/p>\r\n

Une fonction \"f\" de \"\mathbb{R}^{n}\" dans \"\mathbb{R}\" est minor\u00e9e s’il existe un r\u00e9el \"m\" tel que, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"f(x)\geq m\"; \"m\" est alors un minorant de \"f\".<\/p>\r\n

La fonction \"f\" est born\u00e9e si elle est major\u00e9e et minor\u00e9e.<\/p>\r\n

Exemple<\/strong> :\u00a0On peut dire<\/p>\r\n

(i) \"f\" est major\u00e9e si et seulement \"|f|\" est major\u00e9e ?\r\n(ii) \"f\" est born\u00e9e si et seulement si \"|f|\" est born\u00e9e ?\r\n(iii) \"f\" est minor\u00e9e si et seulement \"|f|\" est minor\u00e9e ?<\/p>\r\n

M\u00e9thode 17 :\u00a0Quand peut-on dire qu’une fonction de \"\mathbb{R}^{n}\" dans \"\mathbb{R}\" admet un maximum ? un minimum ?<\/strong><\/p>\r\n

La fonction \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" admet un maximum en un point \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\" si, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"f(x)\leq f(a)\".<\/p>\r\n

Elle admet un minimum en \"a\" si, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"f(x)\geq f(a)\".<\/p>\r\n

Exemple<\/strong> :\u00a0On d\u00e9finit la fonction \"f\" par \"f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{2}+2\". Alors :<\/p>\r\n

(i) \"f\" n’est pas minor\u00e9e ?\r\n(ii) \"f\" admet un minimum obtenu en \"(-1/2,0)\" ?\r\n(iii) \"f\" admet un minimum \u00e9gal \u00e0 \"2\" obtenu en un seul point ?<\/p>\r\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (iii) car \"f(x,y)=(x+y)^{2}+2y^{2}+2\", donc \"f(x,y)\geq 2\", et \"f(x,y)=2\" si et seulement si \"(x,y)=(0,0)\".<\/p>\r\n

(i) Non : \"2|xy|\leq x^{2}+y^{2}\", donc \"2xy\geq -x^{2}-y^{2}\", donc \"f(x,y)\geq 2 y^{2}+2\geq 2\".<\/p>\r\n

(ii) Non : \"f(-1/2,0)=(1/4)+2\" et \"f(0,0)=2\".<\/p>\r\nPour r\u00e9viser d’autres cours au programme de maths en ECS2, rendez-vous sur nos cours en ligne :\r\n