{"id":31200,"date":"2019-07-10T15:51:29","date_gmt":"2019-07-10T14:51:29","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31200"},"modified":"2022-07-13T14:57:57","modified_gmt":"2022-07-13T13:57:57","slug":"cours-en-ligne-exercices-fonctions-n-variables-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-exercices-fonctions-n-variables-ecs2\/","title":{"rendered":"Introduction aux fonctions de n variables – Exercices"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercices : Introduction aux fonctions de n variables en ECS2<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\r\n\r\n

Exercices – Introduction aux fonctions de n variables<\/h2>\r\n

Exercice 1 :<\/h3>\r\n

On donne la fonction \"f\" de \"\mathbb{R}^{2}\" dans \"\mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"f(x,y)=\sin(x)\sin(y)\".\r\n\r\nQuestion 1 :<\/b><\/p>\r\n

Montrer que \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/b><\/p>\r\n

Montrer que \"f\" admet un maximum et un minimum sur \"\mathbb{R}^{2}\", et pr\u00e9ciser en quels points ils sont atteints.<\/p>\r\n

Question 3 :<\/b><\/p>\r\n

Quelle est la ligne de niveau \"0\" de \"f\"?<\/p>\r\n\r\n

Exercice 2 :<\/h3>\r\n

On consid\u00e8re la fonction \"f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"f(x,y)=\dfrac{xy}{(1+x^{2})(1+y^{2})}\".<\/p>\r\n

Question 1 :<\/b><\/p>\r\n

Montrer que \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/b><\/p>\r\n

Montrer que, pour tous r\u00e9els \"x,y\", \"|f(x,y)|\leq\dfrac{1}{4}\" (on pourra remarquer que, pour tout \"x\" r\u00e9el, \"(|x|-1)^{2}\geq 0\").<\/p>\r\n

Question 3 : <\/b><\/p>\r\n

Montrer que \"|f(x,y)|=\dfrac{1}{4}\" si et seulement si \"|x|=|y|=1\". Trouver les extrema de \"f\" et dire en quels ils sont atteints.<\/p>\r\n \r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 3 :<\/h3>\r\n

Soit \"f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\" une fonction continue sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\r\n

Dans le plan rapport\u00e9 \u00e0 un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\vec {i},\vec{j})\", si \"M\" est le point de coordonn\u00e9es \"(x,y)\", on notera \"M=(x,y)\".<\/p>\r\n

Question 1 : <\/b><\/p>\r\n

Soient \"A=(a,a')\" et \"B=(b,b')\" deux points du plan tels que \"f(A)>0\" et \"f(B)<0\".\r\nMontrer qu’il existe un point \"T\" de \"[AB]\" tel que \"f(T)=0\".<\/p>\r\n

Question 2 : <\/b><\/p>\r\n

Soit \"g\" une fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles, continue sur \"\mathbb{R}\"; on appelle \"(C)\" sa courbe repr\u00e9sentative.<\/p>\r\n

Montrer que si \"H\" et \"K\" sont deux points de \"(C)\" de coordonn\u00e9es \"(h,h')\" et \"(k,k')\" tels que \"f(H)>0\" et \"f(K) < 0\", il existe un point \"R\" de \"(C)\", d’abscisse \"r\", tel que: \"h < r < k\" et \"f(R)=0\".<\/p>\r\n\r\n

Exercice 4 :<\/h3>\r\n

Dans le plan muni d’un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,e_{1},e_{2})\", on donne les points \"A=(a_{1},a_{2})\", \"B=(b_{1},b_{2})\", et on appelle \"I\" le milieu de \"[AB]\".<\/p>\r\n

On consid\u00e8re la fonction \"f\" qui \u00e0 tout point \"M=(x,y)\" associe \"f(M)\", o\u00f9 \"f(M)=d(M,A)^{2}-d(M,B)^{2}\".<\/p>\r\n

Question 1 :<\/b><\/p>\r\n

Calculer \"f(x,y)\", et montrer que \"f(M)=2 < \overrightarrow{AB},\overrightarrow{IM} >\".<\/p>\r\n

Question 2 : <\/b><\/p>\r\n

Quelle est la ligne de niveau \"0\" de \"f\"? On la notera \"\Delta_{0}\".<\/p>\r\n

Question 3 :<\/b><\/p>\r\n

Donner, pour tout \"k\" r\u00e9el, l’\u00e9quation de la ligne de niveau \"k\" de \"f\", que l’on notera \"\Delta_{k}\".<\/p>\r\n

Pr\u00e9ciser la direction de \"\Delta_{k}\", et son intersection avec la droite \"(AB)\".<\/p>\r\n\r\n

Exercice 5 :<\/h3>\r\n

Dans le plan muni d’un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,e_{1},e_{2})\", on donne \"n\" points (\"n\geq 2)\", \"A_{1},\dots,A_{n}\" deux \u00e0 deux distincts, et pour \"1\leq i\leq n\", on note \"(a_{i},b_{i})\" les coordonn\u00e9es de \"A_{i}\".<\/p>\r\n

On consid\u00e8re la fonction \"f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\" qui \u00e0 tout couple \"(x,y)\" associe \"\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left( (x-a_{i})^{2}+(y-b_{i})^{2} \right)\".<\/p>\r\n

On notera \"M\" le point de coordonn\u00e9es \"(x,y)\", et on pourra donc \u00e9crire \"f(x,y)=f(M)\".<\/p>\r\n

Question 1<\/strong> :<\/p>\r\n

Montrer que \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\r\n

La fonction \"f\" est-elle major\u00e9e ? minor\u00e9e ?<\/p>\r\n

Question 2<\/strong> :<\/p>\r\n

Comment peut-on interpr\u00e9ter g\u00e9om\u00e9triquement \"f(M)\" ?<\/p>\r\n

Question 3<\/strong> :<\/p>\r\n

On suppose dans cette question \"n=1\".<\/p>\r\n

(i)\u00a0Montrer que \"f\" admet un minimum, atteint en un unique point de \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\r\n

(ii)\u00a0Pour tout r\u00e9el \"k\", quelle est la ligne de niveau \"k\" de \"f\" (on la notera \"L_{k}(f)\") ?<\/p>\r\n

Question 4<\/strong> :<\/p>\r\n

On suppose dans cette question \"n=2\", on note \"I\" le milieu du segment \"[A_{1}A_{2}]\" et on pose \"l=d(A_{1},A_{2})\".<\/p>\r\n

(i)\u00a0En utilisant les vecteurs \"\overrightarrow{MI}\", \"\overrightarrow{IA_{1}}\" et \"\overrightarrow{IA_{2}}\", exprimer \"f(M)\" \u00e0 l’aide de \"M\", \"I\" et \"l\".<\/p>\r\n

(ii)\u00a0Montrer que \"f\" admet un minimum et pr\u00e9ciser en quel(s) point(s) il est atteint.<\/p>\r\n

(iii)\u00a0Pour tout r\u00e9el \"k\", quelle est la ligne de niveau \"k\" de \"f\" ?<\/p>\r\n

Question 5<\/strong> :<\/p>\r\n

On se place dans le cas g\u00e9n\u00e9ral \"n\geq 1\".<\/p>\r\n

(i)\u00a0Montrer que \"f\" admet un minimum atteint en un unique point \"G\" dont on donnera les coordonn\u00e9es.<\/p>\r\n

(ii)\u00a0Trouver, pour tout r\u00e9el \"k\", la ligne de niveau \"k\" de \"f\".<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 6 :<\/h3>\r\n

\"F(x,y)=(x-y)^{2}(1-x^{2}-y^{2})\".<\/p>\r\n

Question 1<\/strong> :<\/p>\r\n

Tracer la ligne de niveau \"0\" de \"F\" dans le plan rapport\u00e9 \u00e0 un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\vec{i},\vec{j})\".<\/p>\r\n

Question 2<\/strong> :<\/p>\r\n

Quels sont les points \"M\" de coordonn\u00e9es \"(x,y)\" tels que \"F(x,y)>0\" (resp. \"F(x,y)<0\") ?<\/p>\r\n

Question 3<\/strong> :<\/p>\r\n

(i)\u00a0Soit \"M=(x,y)\" un point distinct de \"O\".<\/p>\r\n

Montrer qu’il existe \"r\in]0,1]\" et \"\theta\in \mathbb{R}\" tels que \"x=r\cos(\theta)\" et \"y=r\sin(\theta)\".<\/p>\r\n

(ii)\u00a0Calculer \"\sin(\dfrac{\pi}{4}-\theta)\".<\/p>\r\n

(iii)\u00a0En d\u00e9duire, pour tout point \"M\", \"F(M)\leq 2r^{2}(1-r^{2})\". Pour quels points \"M\" a-t-on \u00e9galit\u00e9 dans cette in\u00e9galit\u00e9 ?<\/p>\r\n

(iv)\u00a0Montrer que \"t(1-t)\" admet un maximum quand \"t\" d\u00e9crit \"\mathbb{R}\" et dire en quel(s) point(s) ce maximum est atteint.<\/p>\r\n

Question 4<\/strong> :<\/p>\r\n

En d\u00e9duire que \"F\" admet un maximum sur \"\mathbb{R}^{2}\" et pr\u00e9ciser en quels points ce maximum est atteint.<\/p>\r\nPour \u00eatre parfaitement \u00e0 jour sur ses connaissances de maths en ECS2, plusieurs cours sont \u00e0 r\u00e9viser en parall\u00e8le de celui-ci :\r\n