{"id":31219,"date":"2019-07-10T15:52:48","date_gmt":"2019-07-10T14:52:48","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31219"},"modified":"2022-07-13T14:59:44","modified_gmt":"2022-07-13T13:59:44","slug":"cours-en-ligne-corriges-fonctions-n-variables-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-fonctions-n-variables-ecs2\/","title":{"rendered":"Introduction aux fonctions de n variables – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Corrig\u00e9s : Introduction aux fonctions de n variables en ECS2<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\r\n\r\n

Corrig\u00e9s classiques – Fonctions de n variables<\/h2>\r\n

Exercice 1 :<\/h3>\r\n

On donne la fonction \"f\" de \"\mathbb{R}^{2}\" dans \"\mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"f(x,y)=\sin(x)\sin(y)\".\r\n\r\nQuestion 1 :<\/b><\/p>\r\n

La fonction \"f\" est produit de \"(x,y)\mapsto \sin (x)\" et \"(x,y)\mapsto \sin (y)\".<\/p>\r\n

Les fonctions coordonn\u00e9es \"(x,y)\mapsto x\" et \"(x,y)\mapsto y\" sont continues sur \"\mathbb{R}^{2}\", \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\",<\/p>\r\n

et la fonction sinus est continue sur\u00a0\"\mathbb{R}\",<\/p>\r\n

donc les compos\u00e9es \"(x,y)\mapsto \sin(x)\" et \"(x,y)\mapsto\sin(y)\" sont continues sur \"\mathbb{R}^{2}\", donc \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/b><\/p>\r\n

On a pour tous \"x\" et \"y\" r\u00e9els \"-1\leq f(x,y)\leq 1\", et<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"f(x,y)=1\" si et seulement si<\/p>\r\n

\"\sin(x)=\sin(y)=1\"<\/p>\r\n

ou \"\sin(x)=\sin(y)=-1\",<\/p>\r\n

C’est-\u00e0-dire<\/p>\r\n

\"(x,y)=(\dfrac{\pi}{2}+2m\pi,\dfrac{\pi}{2}+2p\pi)\", \"m,p\in\mathbb{Z}\",<\/p>\r\n

ou<\/p>\r\n

\"(x,y)=(-\dfrac{\pi}{2}+2m\pi,-\dfrac{\pi}{2}+2p\pi)\",\"m,p\in \mathbb{Z}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"f(x,y)=-1\" si et seulement si<\/p>\r\n

\"\sin(x)=1\" et \"\sin(y)=-1\"<\/p>\r\n

ou \"\sin(x)=-1\" et \"\sin(y)=1\",<\/p>\r\n

c’est-\u00e0-dire<\/p>\r\n

\"(x,y)=(\dfrac{\pi}{2}+2m\pi,-\dfrac{\pi}{2}+2p\pi)\", \"m,p\in\mathbb{Z}\",<\/p>\r\n

ou<\/p>\r\n

\"(x,y)=(-\dfrac{\pi}{2}+2m\pi,\dfrac{\pi}{2}+2p\pi)\",\"m,p\in \mathbb{Z}\".<\/p>\r\n

Question 3 :<\/b><\/p>\r\n

La ligne de niveau \"0\" de \"f\" est l’ensemble des points \"M\" de coordonn\u00e9es \"(x,y)\" tels que<\/p>\r\n

\"f(x,y)=0\",<\/p>\r\n

c’est-\u00e0-dire \"\sin(x)=0\" ou \"\sin(y)=0\".<\/p>\r\n

Donc c’est l’ensemble des points de coordonn\u00e9es<\/p>\r\n

\"(m\pi,p\pi)\", \"m,p\in\mathbb{Z}\".<\/p>\r\n

Si on trace, dans le plan rapport\u00e9 \u00e0 un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\vec{i},\vec{j})\",<\/p>\r\n

les droites d’\u00e9quation \"x=m\pi\", \"m\in\mathbb{Z}\", et les droites d’\u00e9quation \"y=p\pi\", \"p\in\mathbb{Z}\",<\/p>\r\n

On obtient un quadrillage dont les sommets constituent la ligne de niveau \"0\" de \"f\".<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 2 :<\/h3>\r\n

On consid\u00e8re la fonction \"f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\" d\u00e9finie par<\/p>\r\n

\"f(x,y)=\dfrac{xy}{(1+x^{2})(1+y^{2})}\".<\/p>\r\n

Question 1 :<\/b><\/p>\r\n

La fonction \"f\" est rationnelle et d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}^{2}\" puisque son d\u00e9nominateur est toujours strictement positif,<\/p>\r\n

Donc elle est continue sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/b><\/p>\r\n

L’in\u00e9galit\u00e9 \"(|x|-1)^{2}\geq 0\"<\/p>\r\n

donne \"|x|\leq\dfrac{1}{2}(1+x^{2})\",<\/p>\r\n

donc \"\dfrac{|x|}{1+x^{2}}\leq \dfrac{1}{2}\",<\/p>\r\n

et de m\u00eame<\/p>\r\n

\"\dfrac{|y|}{1+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\",<\/p>\r\n

d’o\u00f9<\/p>\r\n

\"|f(x,y)|\leq\dfrac{1}{4}\".<\/p>\r\n

Question 3 : <\/b><\/p>\r\n

Si \"|x|\neq 1\", on a \"(|x|-1)^{2}>0\",<\/p>\r\n

donc \"\dfrac{|x|} {1+x^{2}}<\dfrac{1}{2}\",<\/p>\r\n

donc \"|f(x,y)|<\dfrac{1}{4}\".<\/p>\r\n

De m\u00eame,<\/p>\r\n

si \"|y|\neq 1\", \"|f(x,y)|<\dfrac{1}{4}\".<\/p>\r\n

Donc,<\/p>\r\n

si \"|f(x,y)|=\dfrac{1}{4}\", \"|x|=|y|=1\".<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement,<\/p>\r\n

\"f(1,1)=f(-1,-1)=\dfrac{1}{4}\"<\/p>\r\n

et \"f(1,-1)=f(-1,1)=-\dfrac{1}{4}\".<\/p>\r\n

Donc \"f\" admet un maximum \"\dfrac{1}{4}\" atteint en \"(1,1)\" et en \"(-1,-1)\",<\/p>\r\n

et un minimum \u00e9gal \u00e0 \"-\dfrac{1}{4}\" atteint en \"(1,-1)\" et en \"(-1,1)\".<\/p>\r\n\r\n

Exercice 3 :<\/h3>\r\n

Soit \"f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\" une fonction continue sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\r\n

Dans le plan rapport\u00e9 \u00e0 un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 \"(O,\vec {i},\vec{j})\", si \"M\" est le point de coordonn\u00e9es \"(x,y)\", on notera \"M=(x,y)\".<\/p>\r\n

Question 1 : <\/b><\/p>\r\n

Le segment \"[AB]\" est l’ensemble des \"(1-\lambda)A+\lambda B\", \"\lambda \in [0,1]\".<\/p>\r\n

On note \"\varphi:[0,1]\to \mathbb{R}\" la fonction qui \u00e0 tout \"\lambda\" de \"[0,1]\" associe \"f((1-\lambda)A+\lambda B)\".<\/p>\r\n\r\n

\r\n
\r\n\r\nOn a : \"\varphi(\lambda)=f(1-\lambda)a+\lambda b,(1-\lambda)a'+\lambda b')\";\r\n\r\nles fonctions qui \u00e0 \"\lambda\" associent \"(1-\lambda)a+\lambda b\" et \"(1-\lambda)a'+\lambda b'\" sont affines,\r\n\r\ndonc continues sur \"\mathbb{R}\",\r\n\r\net \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}^2\",\r\n\r\ndonc \"\varphi\" est continue sur \"[0,1]\".\r\n\r\nComme \"\varphi(0)=f(A) > 0\"\r\n\r\net \"\varphi(1)=f(B) < 0\",\r\n\r\nil existe \"t\in ]0,1[\" tel que \"\varphi(t)=0\".\r\n\r\nSi \"T=(1-t)A=tB\", \"f(T)=0\".\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n

Question 2 : <\/b><\/p>\r\n

La fonction \"u:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\" qui \u00e0 \"t\" associe \"f(t,g(t))\" est continue sur \"\mathbb{R}\", et \"u(h)=f(H) > 0\", \"u(k)=f(K) < 0\". D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires, il existe \"r\", \"h < r < k\", tel que \"u(r)=0\".<\/p>\r\n

Le point \"R\" de coordonn\u00e9es \"(r,g(r))\" appartient \u00e0 la courbe \"(C)\", et \"f(R)=f(r,g(r))=0\".<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Exercice 4 :<\/h3>\r\n

Dans le plan muni d’un rep\u00e8re orthonorm\u00e9<\/a> \"(O,e_{1},e_{2})\",<\/p>\r\n

on donne les points \"A=(a_{1},a_{2})\", \"B=(b_{1},b_{2})\",<\/p>\r\n

et on appelle \"I\" le milieu de \"[AB]\".<\/p>\r\n

On consid\u00e8re la fonction \"f\" qui \u00e0 tout point \"M=(x,y)\" associe \"f(M)\",<\/p>\r\n

o\u00f9 \"f(M)=d(M,A)^{2}-d(M,B)^{2}\".<\/p>\r\n

Question 1 :<\/b><\/p>\r\n

Par d\u00e9finition de \"f\",<\/p>\r\n

\"f(x,y)=(x-a_{1})^2+(y-a_{2})^2-(x-b_{1})^2\" \"-(y-b_{2})^2\",<\/p>\r\n

donc<\/p>\r\n

\"f(x,y)=2(b_{1}-a_{1})(x-\dfrac{a_{1}+b_{1}}{2})\"<\/p>\r\n

\"+2(b_{2}-a_{2})(y-\dfrac{a_{2}+b_{2}}{2})\".<\/p>\r\n

Comme<\/p>\r\n

\"I=(\dfrac{a_{1}+b_{1}}{2},\dfrac{a_{2}+b_{2}}{2})\",<\/p>\r\n

on a bien<\/p>\r\n

\"f(M)=2 < \overrightarrow{AB},\overrightarrow{IM} >\".<\/p>\r\n

Question 2 : <\/b><\/p>\r\n

\"\Delta_{0}\" est l’ensemble des points \"M\"<\/p>\r\n

tels que \"d(M,A)=d(M,B)\":<\/p>\r\n

c’est la m\u00e9diatrice de \"[AB]\".<\/p>\r\n

Elle a pour \u00e9quation :<\/p>\r\n

\"(b_{1}-a_{1})(x-\dfrac{a_{1}+b_{1}}{2})\"<\/p>\r\n

\"+(b_{2}-a_{2})(y-\dfrac{a_{2}+b_{2}}{2})=0\".<\/p>\r\n\r\n

\r\n\r\nQuestion 3 : <\/b>\r\n
\r\n
\r\n
\r\n\r\nL’\u00e9quation de \"\Delta_{k}\" est\r\n\r\n\"(b_{1}-a_{1})(x-\dfrac{a_{1}+b_{1}}{2})\"\r\n\r\n\"+(b_{2}-a_{2})(y-\dfrac{a_{2}+b_{2}}{2})=\dfrac{k}{2}\".\r\n\r\nC’est une droite orthogonale au vecteur \"\overrightarrow{AB}\".\r\n\r\nSoit \"J=(x_{0},y_{0})\" le point d’intersection de \"\Delta_{k}\" et de \"(AB)\";\r\n\r\nalors \"\overrightarrow{IJ}=\lambda\overrightarrow{AB}\",\r\n\r\n\"\lambda\in\mathbb{R}\", c’est-\u00e0-dire\r\n\r\n\"x_{0}-\dfrac{a_{1}+b_{1}}{2}=\lambda (b_{1}-a_{1})\",\"y_{0}-\dfrac{a_{2}+b_{2}}{2}=\lambda (b_{2}-a_{2})\",\r\n\r\net \"J\" appartient \u00e0 \"\Delta_{k}\"\r\n\r\ndonc \"\lambda ((b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2})=\dfrac{k}{2}\",\r\n\r\nsoit \"\lambda=\dfrac{k}{2\ d(A,B)^{2}}\".\r\n\r\nDonc \"J=\"\r\n\r\n\"\left(\dfrac{a_{1}+b_{1}}{2}+\dfrac{k(b_{1}-a_{1})}{2\ d(A,B)^{2}},\dfrac{a_{2}+b_{2}}{2}+\dfrac{k(b_{2}-a_{2})}{2\ d(A,B)^{2}}\right)\",\r\n\r\net \"\Delta_{k}\" est la droite passant par \"J\", orthogonale \u00e0 \"(AB)\".\r\n\r\nPour que l’int\u00e9gralit\u00e9 du programme de maths en ECS2 soit parfaitement assimil\u00e9, utilisez nos cours en ligne de maths au programme d’ECS2 :\r\n