{"id":31241,"date":"2019-07-10T17:23:30","date_gmt":"2019-07-10T16:23:30","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31241"},"modified":"2023-09-15T13:45:10","modified_gmt":"2023-09-15T12:45:10","slug":"cours-en-ligne-calcul-differentiel-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-calcul-differentiel-ecs2\/","title":{"rendered":"Calcul diff\u00e9rentiel – Cours"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\n<\/div>\n
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Cours : Calcul diff\u00e9rentiel en ECS2<\/h1>\n<\/div>\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\n

Fonctions partielles, fonctions C1<\/h2>\n

1. Fonctions partielles, d\u00e9riv\u00e9es partielles et gradient<\/h3>\n

M\u00e9thode 1 :\u00a0Si \"f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\", si \"a=(a_{1},\dots,a_{n})\" appartient \u00e0 \"\mathbb{R}^{n}\",comment d\u00e9finir les applications partielles de \"f\" en \"a\" ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\", la premi\u00e8re application partielle de \"f\" en \"a\" est \"f_{1,a}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\" d\u00e9finie par: \"f_{1,a}(x)=f(x,a_{2})\", et la deuxi\u00e8me application partielle de \"f\" en \"a\" est \"f_{2,a}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\" d\u00e9finie par: \"f_{2,a}(y)=f(a_{1},y)\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\", \"n\geq 2\", pour \"i\llbracket 1,n \rrbracket\", la \"i^{\textrm{ème}}\" application partielle de \"f\" en \"a\" est \"f_{i,a}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"f_{i,a}(t)=f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})\" (\"f_{1,a}(t)=f(t,a_{2},\dots,a_{n})\" et
\n\"f_{n,a}(t)=f(a_{1},\dots,a_{n-1},t)\").<\/p>\n

On a donc \"f_{i,a}(a_{i})=f(a)\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0La fonction \"f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}\" est d\u00e9finie par \"f(x,y,z)=x^{2}y+\dfrac{z}{x^{2}+1}\", et \"m=(a,b,c)\".<\/p>\n

Calculer \"f_{1,m}(x)\", \"f_{2,m}(y)\", \"f_{3,m}(z)\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"f_{1,m}(x)=x^{2}b+\dfrac{c}{x^{2}+1}\", \"f_{2,m}(y)=a^{2}y+\dfrac{c}{a^{2}+1}\", et \"f_{3,m}(z)=a^{2}b+\dfrac{z}{a^{2}+1}\".<\/p>\n

M\u00e9thode 2 :<\/b>\u00a0Si \"f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\", si \"i\in\llbracket 1,n \rrbracket\" et si \"a\in\mathbb{R}^{n}\", quand peut-on dire que \"f\" admet une \"i^{\textrm{ème}}\" d\u00e9riv\u00e9e partielle en \"a\" ?<\/b><\/p>\n

\"f\" admet une \"i^{\textrm{ème}}\" d\u00e9riv\u00e9e partielle en \"a\", not\u00e9e \"\partial_{i}(f)(a)\", si la \"i^{\textrm{ème}}\" application partielle en \"a\" est d\u00e9rivable en \"a_{i}\", et alors<\/p>\n

\"\partial_{i}(f)(a)=f'_{i,a}(a_{i})\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Soit \"f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}\" telle que \"f(x,y,z)=x^{2}+|y-1|-z\", et \"a=(2,\lambda,4)\". Alors<\/p>\n

(i) : <\/b>\u00a0\"f\" admet-elle des d\u00e9riv\u00e9es partielles \"\partial_{i}(f)(a)\" pour \"i=1,2,3\" quelque soit la valeur de \"\lambda\" ?<\/p>\n

(ii) <\/b>:\u00a0\"\partial_{1}(f)(a)\" et \"\partial_{2}(f)(a)\" existent quelque soit la valeur de \"\lambda\", mais \"\partial_{2}(f)(a)\" n’est d\u00e9finie que si \"\lambda\in\mathbb{R}^{+}\" ?<\/p>\n

(iii)<\/b>\u00a0:\u00a0 \"\partial_{1}(f)(a)\" et \"\partial_{2}(f)(a)\" existent pour tout \"\lambda\" de \"\mathbb{R}\", mais \"\partial_{2}(f)(a)\" n’est d\u00e9finie que si \"\lambda\neq1\" ?<\/p>\n

R\u00e9ponse <\/b>:<\/p>\n

(i) Faux<\/p>\n

(ii) Faux<\/p>\n

(iii) Vrai<\/p>\n

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M\u00e9thode 3 :\u00a0Comment calculer des d\u00e9riv\u00e9es partielles en utilisant un taux d’accroissement ?<\/b><\/p>\n

Pour calculer la \"i^{\textrm{ème}}\" d\u00e9riv\u00e9e partielle de \"f\" en \"a\", il suffit d’\u00e9crire le taux d’accroissement de \"f_{i,a}\" en \"a_{i}\":<\/p>\n

\"\tau=\dfrac{f_{i,a}(t)-f_{i,a}(a_{i})}{t-a_{i}}\" \"=\dfrac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})}{t-a_{i}}\"\u00a0\"-\dfrac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\dots,a_{n})}{t-a_{i}}\".<\/p>\n

Si \"\tau\" a une limite r\u00e9elle quand \"t\to a_{i}\", \"\partial_{i}(f)(a)\" existe et \"\partial_{i}(f)(a)=\displaystyle \lim_{t\to a_{i}}\tau\".<\/p>\n

En posant \"t=a_{i}+h\", on peut aussi \u00e9crire \"\tau\" sous la forme:<\/p>\n

\"\tau=\dfrac{f_{i,a}(a_{i+h})-f_{i,a}(a_{i})}{h}\" \"=\dfrac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})}{h}\" \"-\dfrac{f(a_{1},\dots,a_{i-1},a_{i},a_{i+1},\dots,a_{n})}{h}\",<\/p>\n

et si \"\tau\" a une limite r\u00e9elle quand \"h\to 0\", \"\partial_{i}(f)(a)\" existe et \"\partial_{i}(f)(a)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\tau\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Dans \"\mathbb{R}^{2}\", \"a=(-1,3)\", et \"f\" est une fonction de \"\mathbb{R}^{2}\" dans \"\mathbb{R}\" telle que \"\partial_{1}(f)(a)\" existe.<\/p>\n

On d\u00e9finit \"g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}\" par \"g(x_{1},x_{2})=f(x_{1}x_{2},x_{2})\".<\/p>\n

Montrer que \"\partial_{1}(g)(a)\" existe et calculer \"\partial_{1}(g)(a)\" \u00e0 l’aide de \"\partial_{1}(f)(a)\".<\/p>\n

R\u00e9ponse : <\/b>On forme le taux d’accroissement de \"g_{1,a}\" en \"a_{1}=-1\":<\/p>\n

\"\tau=\dfrac{f((-1+h)3,3)-f((-1)3,3)}{h}\" \"=3\times\dfrac{f_{1,a}(-3+3h)-f_{1,a}(-3)}{3h}\".<\/div>\n
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Quand \"h\to 0\", \"\dfrac{f_{1,a}(-3+3h)-f_{1,a}(-3)}{3h}\to \partial_{1}(f)(a)\", donc \"\partial_{1}(g)(a)\" existe et \"\partial_{1}(g)(a)=3\partial_{1}(f)(a)\".<\/div>\n
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COURS DE MATHS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs profs de maths pour r\u00e9ussir sa scolarit\u00e9 <\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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En ligne ou \u00e0 domicile<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe recherche un prof de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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M\u00e9thode 4 :\u00a0Si \"f\" est une fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}^{n}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", comment d\u00e9finir, pour \"i\in \llbracket 1,n \rrbracket\", la \"i^{\textrm{ème}}\" d\u00e9riv\u00e9e partielle de \"f\" ? Comment en calculer l’expression ?<\/b><\/p>\n

Si pour tout \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"\partial_{i}(f)(a)\" existe, on peut d\u00e9finir la fonction \"\partial_{i}(f):\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\" qui \u00e0 tout \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\"
\nassocie \"\partial_{i}(f)(a)\"; \"\partial_{i}(f)\" est alors la \"i^{\textrm{ème}}\" d\u00e9riv\u00e9e partielle de \"f\".<\/p>\n

Pour tout \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"\partial_{i}(f)(a)\" \"=\left[\dfrac{d}{dt}\left(f(a_{1},\dots,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots,a_{n})\right)\right]_{t=a_{i}}\", ou encore, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\",\u00a0\"\partial_{i}(f)(x)\" \"=\left[\dfrac{d}{dt}\left(f(x_{1},\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_{n})\right)\right]_{t=x_{i}}\".<\/p>\n

Pour calculer l’expression de \"\partial_{i}(f)(x)\" \u00e0 partir de l’expression de \"f(x)\", on consid\u00e8re \"x_{1},\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_{n}\" comme des constantes, et on d\u00e9rive par rapport \u00e0 la variable \"x_{i}\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Soit \"f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}\" telle que \"f(x,y,z)=2x+(x+y^{2})z^{2}\". Les d\u00e9riv\u00e9es partielles de \"f\" sont donn\u00e9es par:<\/p>\n

(i)<\/b>\u00a0\"\partial_{1}(f)(x,y,z)=2+2xz\", \"\partial_{2}(f)(x,y,z)=2x+2yz^{2}\", et \"\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})\" ?<\/p>\n

(ii)<\/b>\u00a0\"\partial_{1}(f)(x,y,z)=2+z^{2}\", \"\partial_{2}(f)(x,y,z)=2yz^{2}\", et \"\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})\" ?<\/p>\n

(iii)<\/b>\u00a0\"\partial_{1}(f)(x)=2+y^{2}z^{2}\", \"\partial_{2}(f)(x,y,z)=2yz^{2}\", et \"\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})\" ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> :<\/p>\n

(i) Non: \"\partial_{1}(f)(x,y,z)=2+z^{2}\", \"\partial_{2}(f)(x,y,z)=2yz^{2}\", et \"\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})\".<\/p>\n

(ii) Oui.<\/p>\n

(iii) Non: \"\partial_{1}(f)(x,y,z)=2+z^{2}\", \"\partial_{2}(f)(x,y,z)=2yz^{2}\", et \"\partial_{3}(f)(x,y,z)=2z(x+y^{2})\".<\/p>\n

M\u00e9thode 5 :\u00a0Quelles op\u00e9rations peut-on faire sur les d\u00e9riv\u00e9es partielles ?<\/b><\/p>\n

Elles sont analogues aux op\u00e9rations que l’on peut faire sur les d\u00e9riv\u00e9es: si \"f\" et \"g\" sont deux fonctions d\u00e9finies sur \"\mathbb{R}^{n}\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles<\/a>, si \"a\"\u00a0appartient \u00e0 \"\mathbb{R}^{n}\", et si pour \"i\in \llbracket 1,n \rrbracket\", \"\partial_{i}(f)(a)\" et \"\partial_{i}(g)(a)\" existent,<\/p>\n

\"\bullet\" pour tout \"\lambda\" r\u00e9el, \"\partial_{i}(\lambda f)(a)\" existe et \"\partial_{i}(\lambda f)(a)=\lambda \partial_{i}(f)(a)\";<\/p>\n

\"\bullet\" \"\partial_{i}(f+g)(a)\" existe et \"\partial_{i}(f+g)(a)=\partial_{i}(f)(a)+\partial_{i}(g)(a)\";<\/p>\n

\"\bullet\" \"\partial_{i}(fg)(a)\" existe et \"\partial_{i}(fg)(a)=\partial_{i}(f)(a) g(a)+f(a)\partial_{i}(g)(a)\";<\/p>\n

\"\bullet\" si \"g(a)\neq 0\", \"\partial_{i}\left(\dfrac{f}{g}\right)(a)\" existe et \"\partial_{i}\left(\dfrac{f}{g}\right)(a)=\dfrac{\partial_{i}(f)(a)g(a)-f(a)\partial_{i}(g)(a)}{g(a)^{2}}\";<\/p>\n

\"\bullet\" si \"u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\" est d\u00e9rivable en \"f(a)\", \"\partial_{i}(u\circ f)(a)\" existe et \"\partial_{i}(u\circ f)(a)=u'(f(a))\partial_{i}(f)(a)\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Si \"x\in \mathbb{R}^{n}\", \"f(x)=\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}\". Alors, pour tout \"i\" de \"\llbracket 1,n \rrbracket\",<\/p>\n

(i) \"\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{\Vert x\Vert}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}\" ?<\/p>\n

(ii) \"\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{2x_{i}}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}\" ?<\/p>\n

(iii) \"\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{x_{i}}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}\" ?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : (i) Non: \"\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{x_{i}}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}\"?\\\\<\/p>\n

(ii) Non: \"\partial_{i}(f)(x)=\dfrac{x_{i}}{\sqrt{1+\Vert x\Vert^{2}}}\"?\\\\<\/p>\n

(iii) Oui.<\/p>\n

M\u00e9thode 6 :\u00a0Qu’est-ce que le gradient d’une fonction \"f\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}^{n}\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\" ?<\/b><\/p>\n

La fonction \"f\" admet un gradient en un point \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\" si pour tout \"i\" de \"\llbracket 1,n \rrbracket\", \"\partial_{i}(f)(a)\" existe. Alors le gradient de \"f\" en \"a\", not\u00e9 \"\nabla(f)(a)\", est l’\u00e9l\u00e9ment de \"\mathbb{R}^{n}\" \u00e9gal \u00e0 \"(\partial_{1}(f)(a),\dots,\partial_{n}(f)(a))\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0On donne \"f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}\", telle que \"f(x,y,z)=e^{2x+y}+z\ln(1+y^{2})\". Calculer \"\nabla (f)(x,y,z)\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"\nabla (f)(x,y,z)\" \"=(2e^{2x+y},e^{2x+y}+z\dfrac{2y}{1+y^{2}},\ln(1+y^{2}))\".<\/p>\n

2. Fonctions \"C^{1}\", d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"1\"<\/h3>\n

M\u00e9thode 7 :\u00a0Qu’est-ce qu’une fonction de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\" ?<\/b><\/p>\n

Une fonction \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\" si, pour tout \"i\" de \"\llbracket 1,n \rrbracket\", \"f\" admet une d\u00e9riv\u00e9e partielle\u00a0\"\partial_{i}(f)\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}^{n}\" et continue sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b>Montrer que la fonction \"f\" d\u00e9finie par \"f(x,y)=2x^{2}y^{3}+3xy^{2}+1\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"\partial_{1}(f)(x,y)=4xy^{3}+3y^{2}\" et \"\partial_{2}(f)(x,y)=6x^{2}y^{2}+6xy\"; \"\partial_{1}(f)\" et \"\partial_{2}(f)\" sont des fonctions<\/a> polynomiales, donc continues sur \"\mathbb{R}^{2}\", donc \"f\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\n

M\u00e9thode 8 :\u00a0Comment justifier sans calculs qu’une fonction d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}^{n}\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\" ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Une fonction constante est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" et \"g\" sont \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\", si \"\lambda\" est un r\u00e9el, \"\lambda f\", \"f+g\", et \"fg\" sont \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\";<\/p>\n

si pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"g(x)\neq 0\", \"\dfrac{f}{g}\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Les fonctions polynomiales et les fonctions rationnelles d\u00e9finies sur \"\mathbb{R}^{n}\" sont \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\" \u00e0 valeurs dans un intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\", et si \"g:I\to\mathbb{R}\" est \"C^{1}\" sur \"I\", \"g\circ f\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u_{1},\dots,u_{n}\" sont des fonctions d\u00e9finies sur un intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles, de classe \"C^{1}\" sur \"I\", si \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\", alors la fonction \"t\mapsto f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))\" est de classe \"C^{1}\" sur \"I\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"u_{1},\dots,u_{n}\" sont des fonctions d\u00e9finies sur \"\mathbb{R}^{p}\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles, de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{p}\", et si \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\", la fonction de \"\mathbb{R}^{p}\" dans \"\mathbb{R}\" qui \u00e0 \"t=(t_{1},\dots,t_{p})\" associe \"f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{p}\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0On donne la fonction \"f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}\" telle que \"f(x,y)=\exp\left(\dfrac{x^{2}y}{1+x^{2}y^{2}}\right)\".<\/p>\n

Justifier que \"f\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : La fonction \"(x,y)\mapsto \dfrac{x^{2}y}{1+x^{2}y^{2}}\" est rationnelle et d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}^{2}\", donc elle est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\", et la fonction exponentielle est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\", donc \"f\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\n

M\u00e9thode 9 :\u00a0Comment d\u00e9finir un d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre \"1\" (\"DL_{1}\") pour une fonction de \"\mathbb{R}^{n}\" dans \"\mathbb{R}\" ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est une fonction de \"\mathbb{R}^{n}\" dans \"\mathbb{R}\" et si \"a\in \mathbb{R}^{n}\", on dira que \"f\" admet un \"DL_{1}\" au point \"a\" s’il existe des r\u00e9els\u00a0\"\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\" tels que, si \"h=(h_{1},\dots,h_{n})\", \"f(a+h)\" \"=\lambda_{1} h_{1}+\dots+\lambda_{n} h_{n}+\Vert h\Vert \epsilon(h)\" o\u00f9 \"\epsilon\" est\u00a0continue en \"0\" et \"\epsilon(0)=0\".<\/p>\n

\"\bullet\" On peut dire aussi: \"f\" admet un \"DL_{1}\" en \"a\" s’il existe des r\u00e9els \"\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\" tels que, pour \"x\in \mathbb{R}^{n}\",\u00a0\"f(x)=f(a)+\lambda_{1}(x_{1}-a_{1})+\" \"\dots+\lambda_{n}(x_{n}-a_{n})+\Vert x-a\Vert \beta(x)\" o\u00f9 \"\beta(x)\to 0\" quand \"\Vert x-a\Vert\to 0\", \"\Vert x-a\Vert\neq 0\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0La fonction \"f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}\" est d\u00e9finie par \"f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}\".<\/p>\n

Montrer que \"f\" admet un \"DL_{1}\" en tout point de \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\n

M\u00e9thode 10 :\u00a0Si une fonction \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" admet un \"DL_{1}\" en un point \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\",comment en pr\u00e9voir les coefficients ? Et comment savoir si une fonction \"f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}\" admet un \"DL_{1}\" en un point de \"\mathbb{R}^{n}\" ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" admet un \"DL_{1}\" en \"a\", \"f\" admet des d\u00e9riv\u00e9es partielles \"\partial_{i}(f)(a)\" pour \"1\leq i\leq n\", qui sont les coefficients du \"DL_{1}\": \"f(a+h)\" \"=f(a)+\partial_{1}(f)(a)h_{1}\" \"+\dots+\partial_{n}(f)(a)h_{n}+\Vert h\Vert \epsilon(h)\" o\u00f9 \"\epsilon(0)=0\" et \"\epsilon\" est continue en \"0\".<\/p>\n

Donc le \"DL_{1}\" de \"f\" en \"a\", quand il existe, est unique.<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\", \"f\" admet en tout point de \"\mathbb{R}^{n}\" un \"DL_{1}\" donn\u00e9 par: \"f(x+h)\" \"=f(x)+<\nabla (f)(a),h>+\Vert h\Vert \epsilon(h)\" o\u00f9 \"\epsilon(0)=0\" et \"\epsilon\" est continue en \"0\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0On donne \"f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}\" d\u00e9finie par: \"f(x,y,z)=(x^{2}+y)e^{xz^{2}}\". Justifier que \"f\" admet un \"DL_{1}\" en tout point de \"\mathbb{R}^{3}\" et \u00e9crire ce \"DL_{1}\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"f\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{3}\", donc admet un \"DL_{1}\" en tout point de \"\mathbb{R}^{3}\":
\n\"f(x+h, y+k, z+l)\" \"=(x^{2}+y)e^{xz^{2}}+(2x+(x^{2}+y)z^{2})e^{xz^{2}}h\" \"+e^{xz^{2}}k+(x^{2}+y)2xze^{xz^{2}}l\" \"+\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}\epsilon(h,k,l)\" o\u00f9 \"\epsilon(0,0,0)=0\" et \"\epsilon\" est continue en \"(0,0,0)\".<\/p>\n

M\u00e9thode 11 :\u00a0\u00a0Quels renseignements sur \"f\" peut-on d\u00e9duire d’un \"DL_{1}\" de \"f\" en un point \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\" ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" admet un \"DL_{1}\" en \"a\", \"f\" est continue en \"a\". Donc une fonction de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\" est \"C^{0}\" sur \"\mathbb{R}\".<\/p>\n

\"\bullet\" La fonction \"u\" qui \u00e0 \"x\in \mathbb{R}^{n}\" associe \"f(a)+\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(a)(x_{i}-a_{i})\" est une fonction affine (appel\u00e9e fonction affine tangente \u00e0 \"f\" en \"a\"), et \"u(x)\" est une approximation de \"f(x)\" quand \"\Vert x-a\Vert\" est petit, c’est-\u00e0-dire quand \"x\" est voisin de \"a\".<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0On donne \"f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}\" telle que \"f(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{2}+2x_{2})^{5}\". Donner une valeur approch\u00e9e de \"f(0,09;-0,08)\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : La fonction \"f\" est polynomiale, donc \"C^{1}\", \"f(1,-1)=-1\", \"\partial_{1}(f)(x_{1},x_{2})=10 x_{1}(x_{1}^{2}+2x_{2})^{4}\" et \"\partial_{2}(f)(x_{1},x_{2})=10(x_{1}^{2}+2x_{2})^{4}\", donc \"\partial_{1}(f)(1,-1)=\partial_{2}(f)(1,-1)=10\"; en prenant \"h=(-0,01;0,02)\" et en utilisant le \"DL_{1}\" de \"f\"
\nen \"(1,-1)\", on trouve \"f(0,09;-0,08)\approx-0,9\".<\/p>\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Nous avons recrut\u00e9 pour vous les meilleurs professeurs particuliers de maths<\/b><\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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S'EXERCER ET APPRENDRE<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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3. D\u00e9riv\u00e9es directionnelles et autres d\u00e9riv\u00e9es<\/span><\/p>\n<\/div>\n

\n

M\u00e9thode 12 :\u00a0\u00a0Si \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\", si \"a\" et \"h\" appartiennent \u00e0 \"\mathbb{R}^{n}\", comment interpr\u00e9ter la fonction \"g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\" d\u00e9finie par \"g(t)=f(a+th)\"? Comment l’utiliser?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" En utilisant les points et les vecteurs de \"\mathbb{R}^{n}\", \"m=a+th\" \u00e9quivaut \u00e0 \"\overrightarrow{AM}=t\vec{h}\".<\/p>\n

Quand \"t\" d\u00e9crit \"\mathbb{R}\", \"M\" d\u00e9crit la droite \"\mathcal{D}\" passant par \"A\" dirig\u00e9e par \"\vec{h}\".<\/p>\n

\"\bullet\" En particulier, si \"\vec{h}\" est de norme \"1\", \"(A,\vec{h})\" constitue un rep\u00e8re (ortho)norm\u00e9<\/a> de \"\mathcal{D}\", et \"t\" est l’abscisse du point \"M\" dans ce rep\u00e8re;<\/p>\n

\"g(t)\" donne la valeur de \"f\" au point de \"\mathcal{D}\" d’abscisse \"t\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si on veut \u00e9tudier la restriction de \"f\" \u00e0 la droite \"\mathcal{D}\", utiliser la fonction \"g\" permet de se ramener \u00e0 une fonction d’une variable.<\/p>\n

\n

Exemple :<\/b><\/p>\n

\"f\" est une fonction de \"\mathbb{R}^{2}\" dans \"\mathbb{R}\", de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\". On note \"a=(a_{1},a_{2})\" et \"e_{1}=(1,0)\", et on pose, pour\u00a0 \"t\in\mathbb{R}\", \"g(t)=f(a+te_{1})\".<\/p>\n

Exprimer \"g\" \u00e0 l’aide de \"f_{1,a}\", montrer que \"g\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et calculer \"g'(0)\".<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"g(t)=f(a_{1}+t,a_{2})=f_{1,a}(a_{1}+t)\"; comme \"g\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\", \"f_{1,a}\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\", donc \"g\" l’est aussi et\u00a0 \"g'(t)=(f_{1,a})'(a_{1}+t)\", donc \"g'(0)=(f_{1,a})'(a_{1})=\partial_{1}(f)(a)\".<\/p>\n<\/div>\n

M\u00e9thode 13 : Comment d\u00e9river la fonction de \"\mathbb{R}\" dans \"\mathbb{R}\" qui \u00e0 \"t\" associe \"f(a+th)\" quand \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\" et \"a,h\" appartiennent \u00e0 \"\mathbb{R}^{n}\"?<\/b><\/p>\n

Si \"f\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\", la fonction \"t\mapsto f(a+th)\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\" et \"\dfrac{d}{dt}(f(a+th))=<\nabla(f)(a+th),h>\".<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b><\/p>\n

On donne \"f(x_{1},x_{2})=e^{x_{1}^{2}x_{2}}\", \"a=(-1,0)\", \"h=(1,2)\" et pour \"t\" r\u00e9el, \"g(t)=f(a+th)\".<\/p>\n

Calculer \"g'(t)\" :<\/p>\n

(i) sans calculer l’expression de \"g(t)\";<\/p>\n

(ii) en calculant d’abord l’expression de \"g(t)\".<\/p>\n

M\u00e9thode 14 : Si \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\", si \"a\" et \"h\" sont deux \u00e9l\u00e9ments de \"\mathbb{R}^{n}\", qu’est-ce que la d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" en \"a\" dans la direction \"h\" ? Comment l’utiliser?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" La d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" en \"a\" dans la direction \"h\" est la d\u00e9riv\u00e9e de \"t\mapsto f(a+th)\" en \"t=0\": elle vaut donc \"<\nabla (f)(a),h>\".<\/p>\n

\"\bullet\" On peut utiliser la d\u00e9riv\u00e9e directionnelle en \"a\" pour calculer \"\nabla (f)(a)\": il peut \u00eatre plus simple de d\u00e9river \"f(a+th)\" par rapport \u00e0 \"t\" que de calculer
\nles d\u00e9riv\u00e9es partielles de \"f\".<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"\Vert h\Vert=1\", l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz donne: \"-\Vert \nabla (f)(a)\Vert\leq <\nabla f(a),h>\leq \Vert \nabla (f)(a)\Vert\", et l’ \u00e9galit\u00e9 est obtenue
\ndans l’in\u00e9galit\u00e9 de droite quand \"\nabla (f)(a)\" et \"h\" sont li\u00e9s de m\u00eame sens, dans l’in\u00e9galit\u00e9 de gauche quand ils sont li\u00e9s de sens contraires.<\/p>\n

Donc, si \"\nabla(f)(a)\neq 0\", la d\u00e9riv\u00e9e de \"f\" en \"a\" dans la direction \"h\" est maximale quand \"h\" a la direction de \"\nabla (f)(a)\", cette variation est minimale (maximale n\u00e9gativement) quand \"h\"
\na la direction oppos\u00e9e \u00e0 celle de \"\nabla (f)(a)\".<\/p>\n

Donc, si \"\nabla(f)(a)\neq 0\", l’augmentation de \"f\" \u00e0 partir de \"a\" est maximale dans la direction de \"\nabla (f)(a)\", la diminution de \"f\" \u00e0 partir de \"a\" est maximale dans la direction oppos\u00e9e
\n\u00e0 celle de \"\nabla (f)(a)\" (une diminution \u00e9tant une augmentation n\u00e9gative).<\/p>\n

S’il est non nul, le gradient de \"f\" en \"a\", repr\u00e9sent\u00e9 comme un vecteur d’origine \"a\", est donc orient\u00e9 dans le sens des \"f\" croissants.<\/p>\n

Exemple :<\/b>\u00a0Calculer, en utilisant la d\u00e9riv\u00e9e directionnelle, le gradient de \"f\" quand \"f(x_{1},\dots,x_{n})=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{i}x_{j}\".<\/p>\n

M\u00e9thode 15 : Si \"I\" est un intervalle de \"\mathbb{R}\", comment d\u00e9river la fonction \"g:I\to \mathbb{R}\" quand \"g(t)=f(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))\" o\u00f9 \"u_{1},\dots,u_{n}\" sont des fonctions de classe \"C^{1}\" sur \"I\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles et \"f\" une fonction de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\"?
\n<\/b>
\n\"\bullet\" On a vu que si, pour tout \"i\" de \"\llbracket 1,n \rrbracket\", \"u_{i}\" est affine: \"u_{i}(t)=a_{i}+th_{i}\", alors \"g(t)=f(a+th)\" et<\/p>\n

\"g'(t)= <\nabla (f)(a+th),h>\"<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\"=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(a+th)h_{i}\"<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\"=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))u_{i}'(t)\"<\/p>\n

\"\bullet\" En g\u00e9n\u00e9ral, on a de m\u00eame: \"g'(t)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(u_{1}(t),\dots,u_{n}(t))u_{i}'(t)\"<\/p>\n

Exemple :<\/b><\/p>\n

\"f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}\" est donn\u00e9e par: \"f(x,y)=x^{2}e^{x+y^{2}}\", et \"g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\" est d\u00e9finie par: \"g(t)=f(t,v(t))\" o\u00f9 \"v\" est une fonction
\nde classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\", \u00e0 valeurs r\u00e9elles. Justifier que \"g\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\" et calculer \"g'(t)\".<\/p>\n

M\u00e9thode 16 : Comment calculer les d\u00e9riv\u00e9es partielles de la fonction \"g:\mathbb{R}^{p}\to \mathbb{R}\" qui \u00e0 \"t=(t_{1},\dots,t_{p})\" associe \"f(v_{1}(t),\dots,v_{n}(t))\" quand
\n\"v_{1},\dots,v_{n}\" sont \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{p}\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles et \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\"?<\/b><\/p>\n

Pour \"j\in \llbracket 1,n \rrbracket\", en consid\u00e9rant les \"t_{k}\" pour \"k\in \llbracket 1,n \rrbracket, k\neq j\" comme des constantes et \"t_{j}\" comme la variable,
\net en appliquant le r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent, on obtient:<\/p>\n

\"\partial_{j}(g)(t)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(v_{1}(t),\dots,v_{n}(t))\partial_{j}(v_{i})(t)\"<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b><\/p>\n

La fonction \"f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\". On d\u00e9finit \"g:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}\" par:
\n\"g(x,y,z)=f(x+y^{2},y^{2}+z^{3})\". Calculer les d\u00e9riv\u00e9es partielles de \"g\" \u00e0 l’aide de celles de \"f\".<\/p>\n

4. Extremas, points critiques<\/span><\/p>\n

M\u00e9thode 17 : Comment diff\u00e9rencier un extremum local d’un extremum global ?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" admet en un point \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\" un maximum global si pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"f(x)\leq f(a)\"
\n(\"f\" admet en \"a\" un minimum global si pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"f(x)\geq f(a)\");<\/p>\n

\"\bullet\" \"f\" admet en \"a\" un maximum local s’il existe \"\alpha >0\" tel que, si \"\Vert x-a\Vert\leq \alpha\", \"f(x)\leq f(a)\" (\"f\" admet en \"a\" un minimum local s’il
\nexiste \"\alpha>0\" tel que, si \"\Vert x-a\Vert\leq \alpha\", \"f(x)\geq f(a)\").<\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f\" admet en \"a\" un maximum (ou un minimum) global, elle admet en \"a\" un maximum (ou un minimum) local.<\/p>\n

Exemple :\u00a0<\/b><\/p>\n

\"f\" est la fonction de \"\mathbb{R}^{2}\" dans \"\mathbb{R}\" d\u00e9finie par: \"f(x,y)=(x^{4}-x^{2})(y+1)\". Montrer que \"f\" admet en \"(0,0)\" un maximum local. Est-ce un maximum
\nglobal?<\/p>\n

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PROF DE MATHS PARTICULIER<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours de qualit\u00e9 et enseignants aguerris<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pr\u00e9parer des concours ou s'exercer<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours de maths \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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M\u00e9thode 18 : Si \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\", comment trouver les points o\u00f9 une fonction admet un extremum (local ou global)?<\/b><\/p>\n

\"\bullet\" Si \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\" et si \"f\" admet en un point \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\" un extremum local, alors
\n\"\nabla(f)(a)=0\".<\/p>\n

\"\bullet\" Les points \"a\" de \"\mathbb{R}^{n}\" telsque \"\nabla(f)(a)=0\" sont les points critiques. Les points critiques sont les points candidats \u00e0 l’extremum
\n(local ou global).
\nEn un point critique, toutes les d\u00e9riv\u00e9es directionnelles sont nulles.<\/p>\n

Exemples :<\/b>\u00a0 On donne la fonction \"f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}\" telle que \"f(x,y,z)=\dfrac{1}{2}x^{2}+xyz-z+y\". En quels points de \"\mathbb{R}^{3}\" la fonction \"f\" peut-elle pr\u00e9senter un extremum?<\/p>\n

On donne la fonction \"f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}\" telle que \"f(x,y)=x^{3}+2x^{2}y\". Cette fonction admet-elle un extremum (local ou global) sur \"\mathbb{R}^{2}\" ?<\/p>\n

M\u00e9thode 19 : Si \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\", comment savoir si un point critique de \"f\" est un point o\u00f9 \"f\" admet un extremum (local ou global) ?
\n<\/b>
\nSi \"a\" est un point critique, on peut former \"f(x)-f(a)\" et en \u00e9tudier le signe, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\" ou pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\" voisin de \"a\".<\/p>\n

Exemple : <\/b>Si \"f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}\" est d\u00e9finie par \"f(x,y,z)=\dfrac{1}{2}x^{2}+xyz-z+y\", \"f\" admet un unique point critique \"(1,1,-1)\". La fonction \"f\" admet-elle un
\nextremum (local ou global) sur \"\mathbb{R}^{2}\"?<\/p>\n

R\u00e9ponse<\/strong> : \"f\" ne peut admettre un extremum qu’au point critique \"a=(1,1,-1)\"; on trouve \"f(a)=\dfrac{3}{2}\". Pour tout \"y\" r\u00e9el, \"f(1,y,-y)-\dfrac{3}{2}=-(y-1)^{2}\" et
\n\"f(x,1,-1)-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}(x-1)^{2}\"; pour tout \"y\neq 1\", \"f(1,y,-y)-\dfrac{3}{2}<0\" et pour tout \"x\neq 1\", \"f(x,1,-1)-\dfrac{3}{2}>0\".
\nOn a \"\Vert (1,y,-y)-a\Vert^{2}=2(y-1)^{2}\" et \"\Vert (x,1,-1)-a\Vert^{2}=(x-1)^{2}\", donc quelque soit le r\u00e9el strictement positif \"\alpha\", il existe \"y\" et \"x\" r\u00e9els
\ntels que \"\Vert (1,y,-y))-a\Vert\leq \alpha\" et \"\Vert (x,1,-1)-a\Vert\leq \alpha\", pour lesquels on a \"f(1,y,-y)<\dfrac{3}{2}\" et \"f(x,1,-1)>\dfrac{3}{2}\".<\/p>\n

Donc le point critique \"a\" n’est pas un extremum local; ce n’est pas, \u00e0 plus forte raison, un extremum global.<\/p>\n

Chaque chapitre de maths au programme d’ECS2 doit \u00eatre travaill\u00e9 et parfaitement acquis avant les concours post-pr\u00e9pa, les cours en ligne et les cours de maths particulier<\/a> permettent ainsi de v\u00e9rifier ses connaissances et d’identifier ses difficult\u00e9s :<\/p>\n