{"id":31285,"date":"2019-07-10T17:24:22","date_gmt":"2019-07-10T16:24:22","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31285"},"modified":"2022-07-13T15:07:15","modified_gmt":"2022-07-13T14:07:15","slug":"cours-en-ligne-corriges-calcul-differentiel-ecs2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/cours-en-ligne-corriges-calcul-differentiel-ecs2\/","title":{"rendered":"Calcul diff\u00e9rentiel – Corrig\u00e9s"},"content":{"rendered":"
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Cours en ligne ECS2<\/a><\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Chapitres Maths en ECS2<\/p>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Alg\u00e8bre Lin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tR\u00e9duction des Endomorphismes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tAlg\u00e8bre Bilin\u00e9aire<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCompl\u00e9ments Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples Variables Al\u00e9atoires Discr\u00e8tes<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCouples et n-uplets de Variables Al\u00e9atoires R\u00e9elles<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tIntroduction aux Fonctions de n Variables<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCalcul Diff\u00e9rentiel<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCONTACTEZ-NOUS<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n\r\n<\/div>\r\n
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Corrig\u00e9s : Calcul diff\u00e9rentiel en ECS2<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

R\u00e9sum\u00e9 de cours<\/a> Exercices<\/a> Corrig\u00e9s<\/a><\/p>\r\n

Cours en ligne de Maths en ECS2<\/a><\/p>\r\n\r\n

Corrig\u00e9s classiques – Calcul diff\u00e9rentiel en ECS2<\/h2>\r\n

Exercice 1 :<\/h3>\r\n

\"f\" est une fonction de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\", \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\".<\/p>\r\n

Question 1 :<\/strong><\/p>\r\n

En utilisant la d\u00e9finition des d\u00e9riv\u00e9es partielles, \"\partial_{1}(f)(x,y)=\left[\dfrac{d}{dt}(f(t,y)\right]_{t=x}\". Comme pour tout \"(t,y)\" de \"\mathbb{R}^{2}\",\r\n\"f(t,y)=f(y,t)\", \"\partial_{1}(f)(x,y)=\left[\dfrac{d}{dt}(f(y,t)\right]_{t=x}=\partial_{2}(f)(y,x)\".<\/p>\r\n

Question 2 : <\/b><\/p>\r\n

Si pour tout \"(x,y)\" de \"\mathbb{R}^{2}\", \"\partial_{1}(f)(x,y)=\partial_{2}(f)(y,x)\", pour tout \"y\" r\u00e9el, la fonction \"t\mapsto f(t,y)-f(y,t)\" a une d\u00e9riv\u00e9e nulle en\r\ntout point \"x\" de \"\mathbb{R}\", donc la fonction \"t\mapsto f(t,y)-f(y,t)\" est constante sur \"\mathbb{R}\"; cette fonction prend la valeur \"0\" quand \"t=y\", donc c’est la\r\nfonction nulle. Donc pour tous \"x\" et \"y\" r\u00e9els \"f(x,y)=f(y,x)\".<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 :<\/h3>\r\n

La fonction \"f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\".<\/p>\r\n

On suppose que, pour \"k\in \mathbb{R}\", la ligne de niveau \"k\" de \"f\", not\u00e9e \"L_{k}(f)\", a pour \u00e9quation \"y=u_{k}(x)\", o\u00f9 \"u_{k}\" est une fonction de classe \"C^{1}\" sur\r\n\"\mathbb{R}\" \u00e0 valeurs r\u00e9elles<\/a>.<\/p>\r\n

On pose, pour \"t\" r\u00e9el, \"m=(t,u_{k}(t))\" et \"g(t)=f(m)\".<\/p>\r\n

Question 1 :<\/b><\/p>\r\n

Le point \"(t,u_{k}(t))\" appartient \u00e0 \"L_{k}(f)\", donc \"f(t,u_{k}(t))=k\", donc \"g(t)=k\"; la fonction \"g\" est constante, donc sa d\u00e9riv\u00e9e est nulle: \"g'(t)=0\"\r\npour tout de \"\mathbb{R}\".<\/p>\r\n

Les fonctions<\/a> \"id\" et \"u_{k}\" sont \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\", et \"f\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\", donc \"g\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\" et pour tout \"t\" r\u00e9el,\r\n\"g'(t)=\partial_{1}(f)(m)+\partial_{2}(f)(m)u'_{k}(t)\".<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit \"\partial_{1}(f)(m)+\partial_{2}(f)(m)u'_{k}(t)=0\".<\/p>\r\n

Question 2 :<\/b><\/p>\r\n

L’\u00e9quation de \"(D_{m})\" est \"y=u'_{k}(t)(x-t)+u_{k}(t)\".<\/p>\r\n

Question 3 :<\/b><\/p>\r\n

La droite \"(D_{m})\" est dirig\u00e9e par le vecteur \"v\" de coordonn\u00e9es \"(1,u'_{k}(t))\", et on a:<\/p>\r\n

\"< v,\nabla(f)(m) >=\partial_{1}(f)(m)+\partial_{2}(f)(m)u'_{k}(t)=0\".<\/p>\r\n

Donc \"v\" et \"\nabla(f)(m)\" sont orthogonaux, donc \"\nabla(f)(m)\" est orthogonal<\/a> \u00e0 \"(D_{m})\".<\/p>\r\n\r\n

Exercice 3 :<\/h3>\r\n

La fonction \"f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

Question 1 : <\/b><\/p>\r\n

Pour tout \"t\" r\u00e9el et tout \"h\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"th\" appartient \u00e0 \"\mathbb{R}^{n}\", donc \"\nabla(f)(th)=0\", donc\r\n\"< \nabla(f)(th),h>=0\", c’est-\u00e0-dire \"\dfrac{d}{dt}(f(th))=0\".<\/p>\r\n

Pour tout \"h\" de \"\mathbb{R}^{n}\", la fonction \"t\mapsto f(th)\" est de classe \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}\" et de d\u00e9riv\u00e9e nulle, donc cette fonction est constante sur \"\mathbb{R}\";\r\nen particulier, elle prend la m\u00eame valeur en \"t=0\" et en \"t=1\", donc \"f(h)=f(0)\".<\/p>\r\n

Cette \u00e9galit\u00e9 est valable pour tout \"h\" de \"\mathbb{R}^{n}\", donc la fonction \"f\" est bien constante sur \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

Question 2 : <\/b><\/p>\r\n

Si \"u=(u_{1},\dots,u_{n})\", on a par hypoth\u00e8se pour tout \"i\" de \"\llbracket 1,n \rrbracket\" et tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"\partial_{i}(f)(x)=u_{i}\".<\/p>\r\n

On pose pour \"x\in \mathbb{R}^{n}\", \"g(x)=f(x)-\displaystyle \sum_{k=1}^{n}u_{k}x_{k}\". Alors la fonction \"g\" est \"C^{1}\" sur\r\n\"\mathbb{R}^{n}\" et pour \"1\leq i\leq n\", \"\partial_{i}(g)(x)=\partial_{i}(f)(x)-u_{i}=0\".<\/p>\r\n

Donc pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"\nabla(g)(x)=0\", donc d’apr\u00e8s 1), \"g\" est constante sur \"\mathbb{R}^{n}\"; pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", \"g(x)=g(0)=f(0)\",\r\ndonc \"f(x)=f(0)+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}u_{k}x_{k}\": \"f\" est bien affine.<\/p>\r\n \r\n\r\n\t\t

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COURS PARTICULIERS EN LIGNE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 4 :<\/h3>\r\n

Pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\", on d\u00e9finit la fonction \"g_{x}:]0,+\infty[\to \mathbb{R}\" qui \u00e0 tout r\u00e9el \"t>0\" associe \"f(tx)\". Quelque soit \"x\", la fonction \"g_{x}\" est\r\n\"C^{1}\" sur \"]0,+\infty[\" et pour \"t>0\", \"g'_{x}(t)=<\nabla(f)(tx),x>\".<\/p>\r\n

Par hypoth\u00e8se, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\" et tout \"t>0\", \"g_{x}(t)=tf(x)\", donc \"g'_{x}(t)=f(x)\".<\/p>\r\n

Donc pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^{n}\" et tout \"t>0\", \"f(x)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(tx)x_{i} \quad (1)\".<\/p>\r\n

Quand \"t\to 0,t>0\", comme \"\Vert tx\Vert=t\Vert x\Vert\", \"\Vert tx\Vert\to 0\" . Comme \"f\" est \"C^{1}\" sur \"\mathbb{R}^{n}\", les d\u00e9riv\u00e9es partielles \"\partial_{i}(f)\",\r\n\"1\leq i\leq n\", sont continues sur \"\mathbb{R}^{n}\",\r\ndonc quand \"t\to 0,t>0\", pour \"1\leq i\leq n\", \"\partial_{i}(f)(tx)\to \partial_{i}(f)(0)\".<\/p>\r\n

En passant \u00e0 la limite dans l’\u00e9galit\u00e9 \"(1)\" quand \"t\to 0,t>0\", on obtient: \"f(x)=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\partial_{i}(f)(0)x_{i}\".<\/p>\r\n

L’application \"f\" est donc lin\u00e9aire<\/a>.<\/p>\r\n

Profitez des autres cours en ligne de maths pour les ECS2 pour r\u00e9viser tous les chapitres de maths fondamentaux de la 2eme ann\u00e9e de pr\u00e9pa HEC, comme :<\/p>\r\n\r\n