{"id":31536,"date":"2019-07-22T15:59:02","date_gmt":"2019-07-22T14:59:02","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=31536"},"modified":"2022-06-11T17:02:19","modified_gmt":"2022-06-11T16:02:19","slug":"annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2019","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-du-sujet-hec-maths-1-ecs-2019\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2019"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2019<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales de maths BCE<\/a><\/p>\r\n

<\/p>\r\n

Partie I. Un premier exemple<\/h2>\r\n

1\/ <\/strong>Nous avons deux colonnes proportionnelles et non nulles donc \"\func{rg}\left(A\right) =1\".<\/p>\r\n

\"A^{2}=A\" donc \"f^{2}=f\" et \"f\" est un projecteur. Donc \"f\" est diagonalisable<\/p>\r\n

Les valeurs propres de \"f\" sont parmi \"\left\{ 0,1\right\}\"<\/p>\r\n

On constate que \"A \left( \begin{array}{c}1 \\ 1\end{array}\right ) =0\" et \"A\left( \begin{array}{c}1 \\ a\end{array}\right) =\left( \begin{array}{c}1 \\ a\end{array}\right)\"<\/p>\r\n

Donc \"0\" et \"1\" sont les valeurs propres de \"f\" et comme \"\dim \left(E_{0}\right) +\dim \left( E_{1}\right) =2,\" chacun des deux sous espaces
propres est de dimension \"1\".<\/p>\r\n

En dimension finie, la famille libre est donc une base donc g\u00e9n\u00e9ratrice et<\/p>\r\n

\"E_{0}=\limfunc{Vect}\left( \left( 1,1\right) \right)\" et \"E_{1}=\limfunc{Vect}\left( \left( 1,a\right) \right)\"<\/p>\r\n

2\/<\/strong> \"M=\" \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A=\dfrac{1+a^{2}}{\left(1-a\right) ^{2}}\begin{pmatrix}1 & -1 \\-1 & 1\end{pmatrix}\"<\/p>\r\n

\"M\" est une matrice sym\u00e9trique r\u00e9elle. Elle est donc diagonalisable<\/p>\r\n

Si \"x\in \func{Ker}\left( f\right)\" alors \"f\left( x\right) =0\" donc \"%f^{\ast }\circ f\left( x\right) =0\" et \"x\in \ker \left( s_{f}\right)\" donc
\"\ker \left( f\right) \subset \ker \left( s_{f}\right) .\"<\/p>\r\n

et \"s_{f}\" de rang \"1\" donc (th. du rang) \"\dim \ker \left( s_{f}\right) =1\"
et \"\ker \left( f\right) =\ker \left( s_{f}\right)\"\".\"<\/p>\r\n

Et on a \"M\" \"\left(\begin{array}{c}1 \\-1\end{array}\right)=\" \"\dfrac{1+a^{2}}{\left( 1-a\right) ^{2}}\left(\begin{array}{c}1 \\-1\end{array}\right)\" donc \"\left( 1,-1\right) \neq 0\" vecteur propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"\dfrac{1+a^{2}}{\left( 1-a\right) ^{2}}=\lambda .\"<\/p>\r\n

En dimension \"1,\" \"s_{f}\" ne peut pas avoir d’autre valeurs propres.<\/p>\r\n

Et la somme des dimension des sous espaces propres impose que<\/p>\r\n

\"E_{\lambda }\left( s_{f}\right) =\limfunc{Vect}\left( 1,-1\right)\"
et \"E_{0}\left( s_{f}\right) =\limfunc{Vect}\left( 1,1\right)\".<\/p>\r\n

3\/<\/strong> \"M\" est la matrice d’un projecteur \"\Longleftrightarrow\" \"s_{f}\" est un projecteur<\/p>\r\n

Alors ses valeurs propres sont parmi \"\left\{ 0,,1\right\}\" donc \"\dfrac{1+a^{2}}{\left( 1-a\right) ^{2}}=1\" ou \"0\" (impossible)<\/p>\r\n

Donc \"a=0\" et quand \"a=0,\" \"M^{2}=M\" donc<\/p>\r\n

\"M\" est la matrice d’un projecteur \"\Longleftrightarrow\" \"a=0\".<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Partie II. G\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s<\/h2>\r\n

4\/ a\/\u00a0<\/strong>On a \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. B=\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k,i}b_{k,j}\right) _{i,j}\"<\/p>\r\n

et<\/p>\r\n

\"\func{Tr}\left( \left.^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. B\right)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k,i}b_{k,i}\"<\/p>\r\n

4\/ b\/\u00a0<\/strong>On v\u00e9rifie les propri\u00e9t\u00e9s d’un produit scalaire une \u00e0 une :\u00a0<\/p>\r\n

\"\bullet\" Application de \"\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\" dans \"\mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Sym\u00e9trique car \"a_{k,i}b_{k,i}=b_{k,i}a_{k,i}\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" Lin\u00e9aire \u00e0 droite par lin\u00e9arit\u00e9 de la trace donc bilin\u00e9aire<\/p>\r\n

\"\bullet\" Positive : \"\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.A\right) =\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k,i}\right) ^{2}\geqslant 0\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" D\u00e9finie positive : si \"\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) =0,\" une somme de termes positifs est nulle alors
tous les termes sont nuls donc \"\left( a_{k,i}\right) ^{2}=0\" et \"A=0\"<\/p>\r\n

4\/ c\/ <\/strong>Cauchy-Schwarz :<\/p>\r\n

\"\left\vert \left\langle x,y\right\rangle \right\vert \leqslant \left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert\" pour tout \"x\" et \"y\" de \"E\" ou encore
\"\left\langle x,y\right\rangle ^{2}\leqslant \left\Vert x\right\Vert^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}\"<\/p>\r\n

On a \"\func{Tr}\left( A^{2}\right) =\left\langle \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. ,A\right\rangle \leqslant \left\Vert \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \right\Vert \left\Vert A\right\Vert\" avec<\/p>\r\n

\"\left\Vert \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \right\Vert^{2}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\left( a_{k,i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\left( a_{k,i}\right) ^{2}=\left\Vert A\right\Vert ^{2}\"<\/p>\r\n

donc \"\func{Tr}\left( A^{2}\right) \leqslant \left\Vert A\right\Vert^{2}=\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right)\"<\/p>\r\n

Et par le cas d’\u00e9galit\u00e9 dans l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz,<\/p>\r\n

\"\func{Tr}A^{2}=\func{Tr}(\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A)\" \"%\Longleftrightarrow \left\langle \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.,A\right\rangle =\left\Vert A\right\Vert \left\Vert \left. ^{t}\hspace{-0.1cm%}A\right. \right\Vert\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow A\" et\u00a0 \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\" sont colin\u00e9aires.<\/p>\r\n

et s’il existe \"\lambda\" tel que \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.=\lambda A\" alors \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A=\lambda A^{2}\" et \"%\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) =\lambda \func{Tr%}A^{2}\"<\/p>\r\n

Si \"A\neq 0,\" \"\func{Tr}A^{2}=\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) =\left\Vert A\right\Vert _{2}^{2}\neq 0\" donc \"\lambda =1\"
et \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. =A\" et \"A\" est sym\u00e9trique.<\/p>\r\n

Si \"A=0\" alors \"A\" est sym\u00e9trique<\/p>\r\n

Donc, si \"\func{Tr}A^{2}=\func{Tr}(\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A)\" alors \"A\in S_{n}\left( \mathbb{R}\right)\"<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement, si \"A=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\" on aura bien l’\u00e9galit\u00e9.<\/p>\r\n

Donc \"\left( \func{Tr}A^{2}=\func{Tr}(\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A)\right) \Leftrightarrow \left( A\in S_{n}\left( \mathbb{R}\right)\right)\"<\/p>\r\n

5\/ a\/ <\/strong>\"\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}_{0}}\left( f\right) =P_{\mathcal{B}_{0},\mathcal{B}^{\prime }}~\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime}}\left( f\right)~P_{\mathcal{B}^{\prime },\mathcal{B}_{0}}\"<\/p>\r\n

donc \"A=PA^{\prime }P^{-1}\" et \"A^{\prime }=P^{-1}AP\"<\/p>\r\n

5\/ b\/ <\/strong>\"P\" est une matrice de passage entre deux bases orthonorm\u00e9es.<\/p>\r\n

Ces colonnes sont les coordonn\u00e9es des \"\left( e_{1}^{\prime},...,e_{n}^{\prime }\right)\" dans \"\mathcal{B}_{0}\"<\/p>\r\n

Donc, les produits scalaires valent (\"E_{i}\" colonne associ\u00e9e \u00e0 \"e_{i}^{\prime }\")<\/p>\r\n

\"\left\langle e_{i}^{\prime },e_{j}^{\prime }\right\rangle =\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}E_{i}\right. E_{j}=0\" si \"i\neq j\" et \"=1\" si \"i=j\"<\/p>\r\n

Donc \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}P\right. P=I\"<\/p>\r\n

5\/ c\/ <\/strong>\"\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}_{0}}f^{\ast }=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \" donc \"\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime }}f^{\ast }=P^{-1}\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. P=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}P\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. P\"<\/p>\r\n

et \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A^{\prime }\right. =\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left( P^{-1}AP\right) \right. =\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}P\right. \left.^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}P^{-1}\right. =\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime }}f^{\ast }\"<\/p>\r\n

Donc \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A^{\prime }\right.\" est la matrice de \"f^{\ast }\" dans la base \"\mathcal{B}^{\prime }\".<\/p>\r\n

6\/ a\/ <\/strong>\"^{t}X\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) X=\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \right) AX=\left.^{t}\hspace{-0.1cm}\left( AX\right) \right. AX\" et comme c’est une matrice
de \"\mathcal{M}_{1,1}\left( \mathbb{R}\right)\",<\/p>\r\n

\"^{t}X\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) X=\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left( AX\right) \right. AX\right)=\left\Vert AX\right\Vert ^{2}\".<\/p>\r\n

6\/ b\/ <\/strong>Avec \"X=\limfunc{mat}_{\mathcal{B}_{0}}\left( x\right) ,\" si \"x\in \ker\left( f\right)\" alors \"AX=0\" et \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. AX=0\"
donc \"x\in \ker \left( s_{f}\right)\"<\/p>\r\n

donc \"\ker \left( f\right) \subset \ker \left( s_{f}\right)\"<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement :<\/p>\r\n

Si \"x\in \ker \left( s_{f}\right)\" alors \"\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) X=0\" donc \"^{t}X\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.A\right) X=0\" donc \"\left\Vert AX\right\Vert =0\"<\/p>\r\n

donc \"AX=0\" donc \"f\left( x\right) =0\" donc \"x\in \ker \left( f\right)\" d’o\u00f9
\"\ker \left( s_{f}\right) \subset \ker \left( f\right)\"<\/p>\r\n

et \"\ker \left( f\right) =\ker \left( s_{f}\right)\"<\/p>\r\n

6\/ c\/ <\/strong>\"s_{f}\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

Sa matrice \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\" dans une base orthonorm\u00e9e est sym\u00e9trique :<\/p>\r\n

\"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) \right. =^{t}\hspace{-0.1cm}A\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \right. =\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\"<\/p>\r\n

Donc \"s_{f}\" est un endomorphisme sym\u00e9trique de \"\mathbb{R}^{n}\"<\/p>\r\n

6\/ d\/ <\/strong>Soit \"x\" un vecteur propre de \"s_{f}\" associ\u00e9 \u00e0 \"\lambda\"<\/p>\r\n

Et \"X\" la colonne de ses coordonn\u00e9es dans \"\mathcal{B}_{0}\".<\/p>\r\n

\"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. AX=\lambda X\" donc \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. AX=\lambda \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right. X\" et \"\left\Vert AX\right\Vert ^{2}=\lambda\left\Vert X\right\Vert ^{2}\"<\/p>\r\n

Comme \"X\neq 0\" alors \"\lambda \geqslant 0\"<\/p>\r\n

6\/ e\/ <\/strong>\"s_{f}\" sym\u00e9trique est diagonalisable sur une base orthonorm\u00e9e de vecteurs propres.<\/p>\r\n

Le sous espace propre associ\u00e9 \u00e0 \"0\" est de dimension \"n-r\" (th du rang en dimension finie).<\/p>\r\n

En r\u00e9ordonnant les vecteurs de la base pour placer ceux associ\u00e9s \u00e0 la valeur propre \"0\" \u00e0 la fin, on obtient donc une base orthonorm\u00e9e dans laquelle la matrice de \"s_{f}\" est<\/p>\r\n

\"\left( \begin{array}{cc}D & 0_{r,n-r} \\ 0_{n-r,r} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right)\" avec \"D\" diagonale \u00e0 termes strictement positifs (les autres valeurs propres)<\/p>\r\n

6\/ f\/<\/strong> Comme \"\ker \left( f\right) =\ker \left( s_{f}\right) ,\" les \"n-r\" derniers vecteurs de \"\mathcal{C}\" forment une base de \"\ker \left( f\right)\" et leurs images sont nulles.<\/p>\r\n

Donc la matrice de \"f\" dans la base \"C\" est de la forme \"M=\left( \begin{array}{cc}A_{1} & 0_{r,n-r} \\ A_{3} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right)\" o\u00f9 \"A_{1}\in M_{r}\left( \mathbb{R}\right) ,\ A_{3}\inM_{n-r,r}\left( \mathbb{R}\right) .\"\u00a0<\/p>\r\n

Comme :<\/p>\r\n

\"\begin{matrix}\limfunc{Mat}_{\mathcal{C}}\left( s_{f}\right) &=&\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}M\right. M \\&=&\left( \begin{array}{cc}\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{1}\right. & \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. \\ 0_{n-t,r} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc}A_{1} & 0_{r,n-r} \\ A_{3} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right) \\&=&\left( \begin{array}{cc}\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{1}\right. A_{1}+\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. A_{3} & 0_{r,n-r} \\ 0_{n-t,r} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right)\end{matrix}\"<\/p>\r\n

alors \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{1}\right. A_{1}+\" \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. A_{3}=D\"<\/p>\r\n

7\/ a\/ <\/strong>Comme \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \right.=A,\" en substituant \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\" \u00e0 \"A\" et \"f^{\ast }\" \u00e0 \"f,\"<\/p>\r\n

On obtient que \"\left( f^{\ast }\right) ^{\ast }\" est l’endomorphisme associ\u00e9 \u00e0 \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \right. =A\"<\/p>\r\n

Donc \"\left(f^{\ast }\right) ^{\ast }=f\" et \"\tau _{f}=s_{f^{\ast }}\"<\/p>\r\n

\"\ker \left( s_{f}\right) =\ker \left( f\right)\"<\/p>\r\n

donc d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me du rang en dimension finie<\/p>\r\n

\"\func{rg}\left( s_{f}\right) =\func{rg}\left( f\right)\"<\/p>\r\n

=\"\func{rg}\left( A\right)\"<\/p>\r\n

=\"\func{rg}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\right)\"<\/p>\r\n

=\"\func{rg}\left( s_{f^{\ast }}\right) =\func{rg}\left( \tau_{A}\right)\"<\/p>\r\n

Donc \"rg\left( s_{f}\right) =rg\left( \tau _{f}\right)\"<\/p>\r\n

et d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me du rang<\/p>\r\n

\"\dim \left( \func{Ker}\left( s_{f}\right) \right) =\dim \left( \func{Ker}\left( \tau _{f}\right) \right)\"<\/p>\r\n

7\/ b\/\u00a0<\/strong>Soit \"\lambda\" une valeur propre strictement positive de \"s_{f}\" et \"x\" un vecteur propre associ\u00e9, avec \"X\" colonne des coordonn\u00e9es dans la base \"\mathcal{B}_{0}.\"<\/p>\r\n

On a \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. AX=\lambda X\" donc \"A\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \left( AX\right) =\lambda \left( AX\right)\"<\/p>\r\n

Et comme \"X\neq 0\" et \"\lambda \neq 0\" alors \"AX\neq 0\" et \"AX\" est vecteur propre de \"A\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\" associ\u00e9 \u00e0 \"\lambda\" donc \"f\left( x\right)\" est vecteur propre de \"\tau _{f}\" associ\u00e9 \u00e0 \"\lambda\"<\/p>\r\n

Donc \"f\left( E_{\lambda }\left( s_{f}\right) \right) \subset E_{\lambda}\left( \tau _{f}\right)\" et \"\dim f\left( E_{\lambda }\left( s_{f}\right)\right) \leqslant E_{\lambda }\left( \tau _{f}\right)\"<\/p>\r\n

Or \"f\" restreinte \u00e0 \"E_{\lambda }\left( s_{f}\right)\" est injective :<\/p>\r\n

Soit \"x\in E_{\lambda }\left( s_{f}\right)\" tel que \"f\left( x\right) =0\"
alors \"AX=0\" donc \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. AX=\lambda X=0\" et
comme \"\lambda \neq 0,\" \"X=0\" et \"x=0\"<\/p>\r\n

Donc \"f\" bijective de \"E_{\lambda }\left( s_{f}\right)\" dans \"f\left(E_{\lambda }\left( s_{f}\right) \right)\" et \"\dim f\left( E_{\lambda}\left( s_{f}\right) \right) =\dim E_{\lambda }\left( s_{f}\right)\" d’o\u00f9<\/p>\r\n

\"\dim \left( E_{\lambda }\left( s_{f}\right) \right) \leqslant \dim\left( E_{\lambda }\left( \tau _{f}\right) \right)\"<\/p>\r\n

7\/ c\/ <\/strong>Comme \"\tau _{f}=s_{f^{\ast }},\" \"\tau _{f}\" est sym\u00e9trique donc diagonalisable sur une base orthonorm\u00e9e de vecteurs propres.<\/p>\r\n

Par \u00e9galit\u00e9 des dimension des noyaux, \"0\" valeur propre de \"\tau _{f}\" \"\Longleftrightarrow\" valeur propre de \"s_{f}\"<\/p>\r\n

Si \"\lambda\" valeur propre non nulle de \"s_{f}\" alors \"\lambda\" valeur propre de \"\tau _{f}\"<\/p>\r\n

Et r\u00e9ciproquement en substituant \"f^{\ast }\" \u00e0 \"f\" donc \"\tau _{f}\" et \"s_{f}\" ont les m\u00eames valeurs propres nulles ou pas<\/p>\r\n

Et \"\left( f^{\ast }\right) ^{\ast }=f\" , \"\dim \left( E_{\lambda }\left(s_{f^{\ast }}\right) \right) \leqslant \dim \left( E_{\lambda }\left( \tau_{f^{\ast }}\right) \right)\"<\/p>\r\n

donc, pour \"\lambda \neq 0:\dim \left( E_{\lambda }\left( \tau _{f}\right)\right) \leqslant \dim \left( E_{\lambda }\left( s_{f}\right) \right)\" et
\"\dim \left( E_{\lambda }\left( s_{f}\right) \right) =\dim \left(E_{\lambda }\left( \tau _{f}\right) \right)\"<\/p>\r\n

7\/ d\/ <\/strong>\"\tau _{f}\" et \"s_{f}\" ont des valeurs propres (nulles ou pas) identiques et des sous espaces propres de m\u00eame dimension.<\/p>\r\n

Donc, en r\u00e9ordonnant pour chacun les vecteurs d’une base orthonorm\u00e9e de vecteurs propres par ordre d\u00e9croissant (pour avoir les \"0\" \u00e0 la fin )<\/p>\r\n

Il existe deux bases \"\mathcal{B}\" et \"\mathcal{C}\" orthonorm\u00e9es telles que \"\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}}(s_{f})=D=\limfunc{Mat}_{\mathcal{C}}(\tau _{f})\"<\/p>\r\n

On a donc \"D=\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}}(s_{f})\" et \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A=\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}_{0}}(s_{f})=P_{\mathcal{B}_{0},\mathcal{B}}~D~P_{\mathcal{B},\mathcal{B}_{0}}\"<\/p>\r\n

et \"A\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\"<\/p>\r\n

=\"\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}_{0}}\tau_{f}=P_{\mathcal{B}_{0},\mathcal{C}}~D~P_{\mathcal{C},\mathcal{B}_{0}}\"<\/p>\r\n

=\"P_{\mathcal{B}_{0},\mathcal{C}}~P_{\mathcal{B},\mathcal{B}_{0}}\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}~A~A~P_{\mathcal{B}_{0},\mathcal{B}}~P_{\mathcal{C},\mathcal{B}_{0}}\"<\/p>\r\n

donc, avec \"\Omega=P_{\mathcal{B}_{0},\mathcal{C}}~P_{\mathcal{B},\mathcal{B}_{0}}\" qui est orthogonale (produit de matrices orthogonales)<\/p>\r\n

\"A\times \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. =\Omega \left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) ^{t}\Omega\"<\/p>\r\n

8\/ a\/ <\/strong>La fonction \"x\mapsto x_{1}+...+x_{n}\" est continue (polyn\u00f4me) sur \"\mathbb{R}^{n}\" donc \"W,\" image r\u00e9ciproque d’un ferm\u00e9, est un ferm\u00e9 de \"\mathbb{R}^{n}.\"<\/p>\r\n

Pour tout \"x\in V\" (tous les \"x_{i}\geqslant 0\") \",\" \"x_{i}\leqslantx_{1}+...+x_{n}\" donc, pour \"x\in W,\" \"0\leqslant x_{i}\leqslant 1\" et \"\left\Vert x\right\Vert \leq \sqrt{n}\"<\/p>\r\n

Donc \"W\" partie ferm\u00e9e born\u00e9e de \"\mathbb{R}^{n}\".<\/p>\r\n

8\/ b\/ <\/strong>\"\varphi\" est continue (polyn\u00f4me) sur un ferm\u00e9 born\u00e9e donc \"\varphi\" admet un maximum global not\u00e9 \"M\" sur \"W\"<\/p>\r\n

8\/ c\/ <\/strong>Lorsque \"\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in V\backslash U,\" au moins un des \"x_{i}\" est nul donc \"\varphi \left( x\right) =0\" pour \"x \in V\backslash U\".
<\/strong><\/p>\r\n

8\/ d\/ <\/strong>Comme \"0\" n’est pas le maximum de \"\varphi\" sur \"W,\" le maximum est atteint sur \"U.\"<\/p>\r\n

Donc, \"M\" est le maximum de \"\varphi\" sur \"W\cap U\" donc sur \"U\" sous la contrainte \"W.\"<\/p>\r\n

8\/ e\/ <\/strong>Soit \"x\in U\" et \"g\left( x\right) =x_{1}+...+x_{n}\" contrainte lin\u00e9aire, \"\nabla g\left( x\right) =\left( 1,\cdots ,1\right)\"<\/p>\r\n

\"\varphi\" (polyn\u00f4miale) est \"C^{1}\" sur l’ouvert \"U\" et \"\partial_{i}\varphi \left( x\right) =\prod_{k\neq i}x_{k}\"<\/p>\r\n

Donc, si \"x\" est un extremum de \"\varphi\" sous la contrainte \"g\left(x\right) =1,\" il existe \"\lambda \in \mathbb{R}\" tel que \"\nabla \varphi\left( x\right) =\lambda \nabla g\left( x\right)\"<\/p>\r\n

Donc,pour tout \"i:\prod_{k\neq i}x_{k}=\lambda\" et \"\varphi \left( x\right)=\prod_{k=1}^{n}x_{k}=\lambda x_{i}\" et comme \"x\in U,\" \"\varphi \left(x\right) \neq 0\" donc \"\lambda \neq 0\" et \"x_{i}=\dfrac{1}{\lambda }\varphi\left( x\right)\"<\/p>\r\n

(tous les \"x_{i}\" sont \u00e9gaux)<\/p>\r\n

Comme \"g\left( x\right) =1\" on a alors \"x_{i}=\dfrac{1}{n}\" pour tout \"i\".<\/p>\r\n

Comme c’est la seule solution possible et que \"M\" est une solution, alors \"M=\left( \dfrac{1}{n},\cdots ,\dfrac{1}{n}\right)\" et \"\varphi\left( M\right) =\left( \dfrac{1}{n}\right) ^{n}\".<\/p>\r\n

8\/ f\/ <\/strong>Comme \"\sum_{i=1}^{n}\mu _{i}=\func{Tr}\left( S\right)\"<\/p>\r\n

on a, avec \"x_{i}\"<\/p>\r\n

=\"\mu _{i}/\func{Tr}\left( S\right) \geq 0 : \sum_{i=1}^{n}\mu_{i}/\func{Tr}\left( S\right) =1\"<\/p>\r\n

et \"x_{\geq 0}\" donc \"x\in W\"<\/p>\r\n

Donc la valeur en \"x\" est inf\u00e9rieure ou \u00e9gale au maximum :<\/p>\r\n

\"\varphi \left( x\right) =\" \"\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\mu _{i}\right)/\left( \func{Tr}\left( S\right) \right) ^{n}\leq \varphi \left( M\right)=\left( \frac{1}{n}\right) ^{n}\"<\/p>\r\n

d’o\u00f9 \"\prod\limits_{i=1}^{n}\mu_{i}\leq \left( \frac{\func{Tr}S}{n}\right) ^{n}\"<\/p>\r\n

L’\u00e9galit\u00e9 est atteinte au seul maximum, \"M,\" donc si et seulement \"\mu _{i}/\func{Tr}\left( S\right) =\dfrac{1}{n}\" pour tout \"i\" .<\/p>\r\n

On a alors les \"\mu _{i}\" tous \u00e9gaux. Et r\u00e9ciproquement, s’ils sont tous \u00e9gaux, \"\mu _{i}/\func{Tr}\left( S\right) =\dfrac{1}{n}\" pour tout \"i.\"<\/p>\r\n

Donc \u00e9galit\u00e9 \"\Longleftrightarrow\" \"S\" est un multiple de \"I_{n}\".<\/p>\r\n

8\/ g\/ <\/strong>La matrice \"S+xI\" a pour liste \u00e9tendue de valeurs propres \"\left( x+\lambda_{i}\right) _{i\in \left[ \left[ 1,n\right] \right] }\"<\/p>\r\n

En partant de l’\u00e9criture diagonalis\u00e9e :<\/p>\r\n

\"S=PDP^{-}\" et \"S+xI=P\left( D+xI\right) P^{-1}\"<\/p>\r\n

Ce qui donne la liste \u00e9tendue des valeurs propres<\/p>\r\n

Pour tout \"x\geq 0,\" \"S+xI\" est sym\u00e9trique \u00e0 valeurs propres positives ou nulles.<\/p>\r\n

En effet, les \"\lambda _{i}\" le sont d\u00e9j\u00e0 donc les \"x+\lambda _{i}\" \u00e9galement.<\/p>\r\n

Donc<\/p>\r\n

\"\prod_{i=1}^{n}\left( x+\lambda _{i}\right)\leq \left( \dfrac{\func{Tr}\left( S+xI\right) }{n}\right) ^{n}\"<\/p>\r\n

Avec<\/p>\r\n

\"\func{Tr}\left( S+xI\right)\"<\/p>\r\n

=\"\sum_{i=1}^{n}\left( x+\lambda _{i}\right)\"<\/p>\r\n

=\"nx+\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}\"<\/p>\r\n

d’o\u00f9<\/p>\r\n

\"\Delta (x)\leq \left( \dfrac{tr\left( xI_{n}+\text{ }\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) }{n}\right) ^{n}\"<\/p>\r\n

=\"\left( \dfrac{nx+\lambda_{1}+...+\lambda _{n}}{n}\right) ^{n}\"<\/p>\r\n

Partie III. Etude de deux cas particuliers<\/h2>\r\n

9\/ a\/ <\/strong>La trace est invariante par changement de base car \"\func{Tr}\left(AB\right) =\func{Tr}\left( BA\right)\" donc<\/p>\r\n

\"\func{Tr}\left( PDP^{-1}\right) =\func{Tr}\left( DPP^{-1}\right) =\func{Tr}\left( D\right)\"<\/p>\r\n

Pour un projecteur, \"\ker \left( f-\func{id}\right) \oplus \ker \left(f\right) =E\" et la juxtaposition de leurs bases est une base de \"E\" dans
laquelle la matrice de \"p\" est \"\func{diag}\" \"\left( 1,\cdots ,1,0\cdots,0\right)\" donc la trace de toute matrice repr\u00e9sentant l’endomorphisme \"f\" est \"r.\"<\/p>\r\n

9\/ b\/ <\/strong>Comme \"f\" est un projecteur \"f^{2}=f\" et \"\limfunc{Mat}_{\mathcal{C}}(f)^{2}=\limfunc{Mat}_{\mathcal{C}}(f)\"<\/p>\r\n

Avec\"\left( \begin{array}{cc}A_{1} & 0_{r,n-r} \\ A_{3} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc}A_{1} & 0_{r,n-r} \\ A_{3} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right)\"<\/p>\r\n

=\"\left( \begin{array}{cc}A_{1}^{2} & 0_{r,n-r} \\ A_{3}A_{1} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right)\"<\/p>\r\n

donc \"A_{1}^{2}=A_{1}\"<\/p>\r\n

\"\func{Tr}\left( \limfunc{mat}_{\mathcal{C}}(f)\right) =\func{Tr}\left(A_{1}\right)\" donc \"\func{Tr}\left( A_{1}\right) =r\"<\/p>\r\n

Donc, \"A_{1}\" est une matrice de projecteur d’ordre \"r\" et de rang \"r\" Donc \"A_{1}=I_{r}\"<\/p>\r\n

En effet, le rang d’une projection est sa trace. Donc<\/p>\r\n

\"\dim\left( \ker \left( A\right) \right) =0\"<\/p>\r\n

et donc \"\dim \left( \ker \left(A-I_{r}\right) \right) =r\" (suppl\u00e9mentaires dans \"\mathcal{M}_{n,1}\left( \mathbb{R}\right)\" )<\/p>\r\n

et \"\ker \left( A-I_{r}\right) =\mathcal{M}_{n,1}\left( \mathbb{R}\right)\".<\/p>\r\n

9\/ c\/ <\/strong>On a donc \"\limfunc{Mat}_{\mathcal{C}}(f)\"<\/p>\r\n

=\"\left( \begin{array}{cc}I & 0_{r,n-r} \\ A_{3} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right) =B\" semblable \u00e0 \"A\"<\/p>\r\n

\"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}B\right. B\"<\/p>\r\n

=\"\left( \begin{array}{cc}I & \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. \\ 0_{n-r,r} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc}I & 0_{r,n-r} \\ A_{3} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right)\"<\/p>\r\n

=\"\left( \begin{array}{cc}I+\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. A_{3} & 0_{r,n-r} \\ 0_{n-r,r} & 0_{n-r,n-r}\end{array}\right)\"<\/p>\r\n

matrices de \"s_{f}\" dans la base \"\mathcal{C}.\"<\/p>\r\n

D’apr\u00e8s 6\/ c\/ \"I+\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. A_{3}=D\" matrice diagonale des valeurs propres non nulles de \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A.\"<\/p>\r\n

Donc\u00a0 \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. A_{3}=D-I\" est diagonale.<\/p>\r\n

Les valeurs propres de \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. A_{3}\" sont positives ou nulles, donc celles de \"I+\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. A_{3}\" sont \"\geqslant 1\".<\/p>\r\n

Donc \"D=I+\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. A_{3}\" est une matrice diagonale dont tous les termes sont \"\geqslant 1\"<\/p>\r\n

Donc les valeurs propres non nulles de \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\" sont sup\u00e9rieures ou \u00e9gales \u00e0 \"1\".<\/p>\r\n

En partant de l’\u00e9criture diagonalis\u00e9e, \"\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right)\" est la somme de \"r\" termes \"\geqslant 1\" donc \"tr\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) \geqslant r.\"<\/p>\r\n

9\/ d\/ <\/strong>Si \"tr\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) =r\" alors \"\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A_{3}\right. A_{3}\right) =0\" donc \"\left\Vert A_{3}\right\Vert =0\" donc \"A_{3}=0\" et \"f\" est une projection orthogonale de rang \"r\" (sur un sous espace de dimension \"r\")<\/p>\r\n

10\/ a\/ <\/strong>Comme \"f^{2}=\func{id},\" \"A^{2}=I\" donc \"A\" est inversible (et \"A^{-1}=A\") donc \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\" est inversible donc (produit) \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\" est inversible et \"\left(\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right) ^{-1}=A^{-1}\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A^{-1}\right. =A\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\"<\/p>\r\n

10\/ b\/ <\/strong>Si \"\lambda\" est une valeur propre de \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.A,\" (inversible alors \"\lambda \neq 0\") et que \"X\" est un vecteur propre
associ\u00e9 alors \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. AX=\lambda X\" donc (produit par l’inverse) \"X=\lambda A\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.X\" et \"A\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. X=\dfrac{1}{\lambda }X\" donc \"\dfrac{1}{\lambda }\" est une valeur propre de \"A\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\" donc de \"\tau _{f}.\"<\/p>\r\n

Or, \"\tau _{f}\" et \"s_{f}\" ont les m\u00eames valeurs propres.<\/p>\r\n

Donc \"\dfrac{1}{\lambda }\" est aussi une valeur propre de \"\left. ^{t}%\hspace{-0.1cm}A\right. A\"<\/p>\r\n

On a obtenu que si \"X\" \u00e9tait vecteur propre de \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}%A\right. A\" associ\u00e9 \u00e0 \"\lambda\" alors \"X\" \u00e9tait vecteur propre de \"A\left.^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.\" associ\u00e9 \u00e0 \"\dfrac{1}{\lambda }.\"<\/p>\r\n

On a la r\u00e9ciproque de la m\u00eame fa\u00e7on. Donc, les sous espaces propres \"E_{\lambda }\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right)\" et \"E_{1/\lambda }\left( A\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \right)\" sont \u00e9gaux.<\/p>\r\n

Et comme \"\dim \left( E_{1/\lambda }\left( s_{f}\right) \right) =\dim \left(E_{1/\lambda }\left( \tau _{f}\right) \right)\" on a finalement \"\dim E_{\lambda }\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right)=\dim E_{1/\lambda }\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\right)\"<\/p>\r\n

10\/ c\/ <\/strong>Signe de la diff\u00e9rence :<\/p>\r\n

\"x+\frac{1}{x}-2=\dfrac{x^{2}-2x+1}{x}\"<\/p>\r\n

=\"\dfrac{(x-1)^{2}}{x}\"<\/p>\r\n

donc, pour tout \"x>0:x+\frac{1}{x}\geqslant 2\" et \"x+\frac{1}{x}=2\Leftrightarrow x=1\"<\/p>\r\n

10\/ d\/ <\/strong>\"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\" est \u00e0 valeurs propres positives ou nulles donc\u00a0 pour tout<\/p>\r\n

\"i:1+\lambda _{i}\geqslant 1\" et comment obtenir une quantit\u00e9 \"\geqslant 2\", il faudrait que \"\lambda \geqslant 1\" ?<\/p>\r\n

\"\lambda\" valeur propre \"\Longleftrightarrow\" \"\dfrac{1}{\lambda }\" valeur propre, \u00e0 chaque valeur propre \"<1,\" correspond une valeur propre \">1.\"<\/p>\r\n

Et dans le produit :<\/p>\r\n

\"\lambda >0:\left( 1+\lambda \right) \left( 1+\dfrac{1}{\lambda }\right)\"<\/p>\r\n

=\"2+\lambda +\dfrac{1}{\lambda }\geqslant 4\"<\/p>\r\n

Et r\u00e9ciproquement.<\/p>\r\n

Donc une autre liste \u00e9tendue des valeurs propres est \"\left( 1/\lambda_{1},...,1/\lambda _{n}\right)\"<\/p>\r\n

Ces deux listes sont donc des permutations l’une de l’autre (elles comprennent les m\u00eames \u00e9l\u00e9ments dans des ordres distincts)<\/p>\r\n

\"\prod_{i=1}^{n}\left( 1+\lambda _{i}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left( 1+\dfrac{1}{\lambda _{i}}\right)\"<\/p>\r\n

et \"\left(\prod_{i=1}^{n}\left( 1+\lambda _{i}\right) \right)^{2}\"<\/p>\r\n

=\"\prod_{i=1}^{n}\left( 1+\lambda _{i}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\lambda _{i}}\right) \geqslant 4^{n}\"<\/p>\r\n

Donc (termes positifs) \"\prod_{i=1}^{n}\left( 1+\lambda_{i}\right) \geqslant \sqrt{4^{n}}=2^{n}\"<\/p>\r\n

10\/ e\/ <\/strong>\"\prod_{i=1}^{n}\left( 1+\lambda _{i}\right) =2^{n}\"<\/p>\r\n

si et seulement si tous les termes<\/p>\r\n

\"\left( 1+\lambda _{i}\right) \left( 1+\dfrac{1}{\lambda_{i}}\right)\"<\/p>\r\n

=\"2+\lambda _{i}+\dfrac{1}{\lambda _{i}}\" valent \"4.\"<\/p>\r\n

C’est \u00e0 dire si \"\lambda _{i}+\dfrac{1}{\lambda _{i}}=2\",<\/p>\r\n

c’est \u00e0 dire si et seulement si<\/p>\r\n

\"\lambda _{i}=1\" pour tout \"\lambda .\"<\/p>\r\n

Donc \"\prod_{i=1}^{n}\left( 1+\lambda _{i}\right)\"<\/p>\r\n

=\"2^{n}\Longleftrightarrow \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A=I\"<\/p>\r\n

Ce qui signifie que \"f\" est un endomorphisme sym\u00e9trique, Donc que ses sous espaces propres sont orthogonaux. (\"E_{1}(f)\perp\" \"E_{-1}(f))\"<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement, si \"E_{1}(f)\perp\" \"E_{-1}(f))\",la juxtaposition de bases orthonorm\u00e9e de chacun, sera une base orthonorm\u00e9e de \"E\".<\/p>\r\n

Dans cette base orthonorm\u00e9e, la matrice de \"f\" sera diagonale, donc sym\u00e9trique, et, donc dans toute base orthonorm\u00e9e la matrice de \"f\" sera sym\u00e9trique.<\/p>\r\n

Cette \u00e9galit\u00e9 correspond au cas o\u00f9 \"f\" est une sym\u00e9trie orthogonale.<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

Partie IV. D\u00e9composition polaire<\/h2>\r\n

11\/ <\/strong>\"A\" est inversible, donc, \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\" est inversible et \"0\" n’est pas valeur propre.<\/p>\r\n

Donc, toutes les valeurs propres de \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\", c’est \u00e0 dire de \"s_{f},\" sont strictement positives.<\/p>\r\n

\"s_{f}\" \u00e9tant sym\u00e9trique, il existe une base base orthonorm\u00e9e de vecteurs propres \"\mathcal{C}=\left( \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}\right)\" et \"n\" r\u00e9els strictement positifs \"\lambda _{1},...,\lambda _{n}\" (une liste \u00e9tendue des valeurs propres) tels que<\/p>\r\n

\"\forall i\in \left[ \left[ 1,n\right] \right] ,s_{f}\left(\varepsilon _{i}\right) =\lambda _{i}\varepsilon _{i},\"<\/p>\r\n

L’image d’une base d\u00e9finit un endomorphisme de \"E\" donc \"v\" est bien d\u00e9fini.<\/p>\r\n

La matrice de \"v\" dans la base orthonorm\u00e9e \"\mathcal{C}\" est diagonale donc sym\u00e9trique.<\/p>\r\n

Les valeurs propres de \"v\" sont les \"\sqrt{\lambda _{i}}\geqslant 0.\"<\/p>\r\n

Donc \"v\in S^{+}\left( \mathbb{R}^{n}\right)\"<\/p>\r\n

Et, pour tout \"i:v^{2}\left( \varepsilon _{i}\right) =v\left( \sqrt{\lambda_{i}}\varepsilon _{i}\right) =\lambda _{i}\varepsilon _{i}=s_{f}\left(e_{i}\right)\"<\/p>\r\n

\"v\" et \"s_{f}\" sont deux endomorphismes de \"E\" qui co\u00efncident sur une base et \"v^{2}=s_{f}.\"<\/p>\r\n

12\/ <\/strong>Soit \"x\in E_{\mu }\left( w\right)\" alors \"w\left( x\right) =\mu x\" et \"%w^{2}\left( x\right) =\mu ^{2}x=s\left( x\right)\" avec \"x\neq 0\" donc \"\mu^{2}\" valeur propre de \"s_{f}\" et \"x\in E_{\mu ^{2}}\left( s_{f}\right)\"<\/p>\r\n

Donc \"E_{\mu }\left( w\right) \subset E_{\mu ^{2}}\left( s_{f}\right)\"<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement, on passe par la somme des dimensions des sous espaces propres.<\/p>\r\n

Mais \"\mu\" et \"-\mu\" auront les m\u00eames carr\u00e9s.<\/p>\r\n

Comme les \"\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right)\" sont positifs, les \"\mu ^{2}\" pour \"\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right)\" sont distincts.<\/p>\r\n

\"w\" est diagonalisable donc \"\sum_{\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right) }\dimE_{\mu }\left( w\right) =\dim E\"<\/p>\r\n

et \"\dim E_{\mu }\left( w\right) \leqslant \dim E_{\mu ^{2}}\left(s_{f}\right)\" donc \"\sum_{\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right) }\dim E_{\mu}\left( w\right) \leqslant \sum_{\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right) }\dimE_{\mu ^{2}}\left( s_{f}\right)\"<\/p>\r\n

Les \"\mu ^{2}\" sont distincts, donc les sous espaces propres \"E_{\mu ^{2}}\left( s_{f}\right)\" pour \"\mu\in \limfunc{Sp}\left( w\right)\" sont en somme directe et<\/p>\r\n

\"n\leqslant \sum_{\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right) }\dim E_{\mu^{2}}\left( s_{f}\right) =\dim \left( \bigoplus_{\mu \in \limfunc{Sp}\left(w\right) }E_{\mu ^{2}}\left( s_{f}\right) \right) \leqslant n\"<\/p>\r\n

Finalement, \"\dim E_{\mu }\left( w\right) \leqslant \dim E_{\mu ^{2}}\left(s_{f}\right)\" et \"\sum_{\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right) }\dim E_{\mu}\left( w\right) =\sum_{\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right) }\dim E_{\mu^{2}}\left( s_{f}\right)\"<\/p>\r\n

Donc \"\dim E_{\mu }\left( w\right) =\dim E_{\mu ^{2}}\left( s_{f}\right)\" pour tout \"\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right)\"<\/p>\r\n

Donc \"E_{\mu }(w)=E_{\mu ^{2}}\left( s_{f}\right)\" pour tout \"\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right)\"<\/p>\r\n

Et comme \"\bigoplus_{\mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right) }E_{\mu ^{2}}\left(s_{f}\right) =E,\" \"s_{f}\" n’a pas d’autres valeurs propres.<\/p>\r\n

Donc \"\limfunc{Sp}\left( s_{f}\right) =\left\{ \mu ^{2}\ /\ \mu \in \limfunc{Sp}\left( w\right) \right\}\" et \"\limfunc{Sp}\left( w\right) =\left\{ \sqrt{\lambda }\text{ / }\lambda \in Sp(s_{f})\right\}\"<\/p>\r\n

13\/ <\/strong>On a l’existence<\/strong> par la question 11. de \"v\in S^{+}\left( \mathbb{R}^{n}\right)\" tel \"v^{2}=s_{f},\"<\/p>\r\n

et d’apr\u00e8s 12., \"v\" et \"s_{f}\" ont m\u00eame vecteurs propres.<\/p>\r\n

Donc dans toute base orthonorm\u00e9e de vecteurs propres de \"s_{f},\" est une base de vecteurs propres de \"v,\" et sa matrice \"y\" est donc diagonale.<\/p>\r\n

Unicit\u00e9<\/strong> : Soit \"v\" un tel endomorphisme de \"E.\"<\/p>\r\n

D’apr\u00e8s 12. ses valeurs propres sont \"\left\{ \sqrt{\lambda }\text{ / }\lambda \in Sp(s_{f})\right\}\" et ses sous espaces propres sont \"E_{\mu}(v)=E_{\mu ^{2}}\left( s_{f}\right)\" pour tout \"\mu \in \limfunc{Sp}\left(w\right) .\"<\/p>\r\n

Un endomorphisme est d\u00e9fini par sa restriction \u00e0 une famille de sous espaces suppl\u00e9mentaires.<\/p>\r\n

Les sous espaces propres \u00e9tant suppl\u00e9mentaires, et \"v\left( x\right) =\mu_{i}x\" sur \"E_{\mu _{i}}\left( v\right)\" cela d\u00e9fini donc un unique \"v\".<\/p>\r\n

D’o\u00f9 l’existence et l’unicit\u00e9 de \"v\in S^{+}\left( \mathbb{R}^{n}\right)\" tel que \"v^{2}=s\"\u00a0<\/p>\r\n

14\/ <\/strong>Une matrice \"M\" appartenant \u00e0 \"S_{n}^{+}\left( \mathbb{R}\right)\" telle que \"\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\right) ^{2}=\" \"\left.^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\" est une matrice canoniquement associ\u00e9e \u00e0 un endomorphisme \"w\" sym\u00e9trique dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles et tel que \"w^{2}=s_{f}\"<\/p>\r\n

D’apr\u00e8s, 13, cet endomorphisme existe et est unique.<\/p>\r\n

Donc il existe une unique matrice \"M\" appartenant \u00e0 \"S_{n}^{+}\left( \mathbb{R}\right)\" telle que \"M^{2}=\" \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\"<\/p>\r\n

15\/ <\/strong>C’est une matrice carr\u00e9e. On teste si sa transpos\u00e9e est bien son inverse :<\/p>\r\n

\"\begin{matrix}&&\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left( A\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\right) ^{-1}\right) \right. A\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\right) ^{-1} \\&=&\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.A}\right) ^{-1}\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\right) ^{-1} \\&=&\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right.A}\right) ^{-1}\right. \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}^{2}\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\right) ^{-1} \\&=&I\end{matrix}\"<\/p>\r\n

donc \"A\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\right) ^{-1}\" est orthogonale.<\/p>\r\n

On a \"S=\sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\in S_{n}^{+}\left( \mathbb{R}\right)\" et \"\Omega =A\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\right) ^{-1}\" orthogonale et \"AS^{-1}=\Omega\" donc \"A=\Omega S\" et l’existence<\/strong> de la d\u00e9composition.<\/p>\r\n

Unicit\u00e9<\/strong> : si \"\left( \Omega ,S\right) \in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) \times S_{n}^{+}\left( \mathbb{R}\right)\" tels que \"A=\Omega S\" on voudrait que \"S^{2}=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A.\"<\/p>\r\n

Or, \"S=\Omega ^{-1}A=\left. ^{t}\Omega \right. A\"<\/p>\r\n

Or \"S\" sym\u00e9trique donc \"S^{2}=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}S\right. S=\left.^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. \Omega \left. ^{t}\Omega \right.A=\left. ^{t} \hspace{-0.1cm}A\right. A\" car \"\Omega \left. ^{t}\Omega \right. =I\"<\/p>\r\n

Et comme \"\sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\" est l’unique matrice sym\u00e9trique \u00e0 valeurs propres positives donc le carr\u00e9 est \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A,\" alors \"S=\sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\" d’o\u00f9 la valeur de \"\Omega =A\left( \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}\right) .\"<\/p>\r\n

Il y a donc un unique couple \"\left( \Omega ,S\right) \in \mathcal{O}_{n}\left(\mathbb{R}\right) \times S_{n}^{+}\left( \mathbb{R}\right)\" tel que \"A=\Omega S.\"<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

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COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

Partie V. Application \u00e0 la distance d’une matrice
inversible \u00e0 l’ensemble \"\mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\"<\/h2>\r\n

16\/ <\/strong>\"\left\{ \left\Vert M-V\right\Vert _{2}\ /\ V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) \right\}\" est un ensemble non vide et minor\u00e9 par \"0.\"
Donc il a une borne inf\u00e9rieure.<\/p>\r\n

Donc \"d\left( M\right)\" est bien d\u00e9finie.<\/p>\r\n

17\/ <\/strong>\"\left\Vert RN\right\Vert _{2}^{2}=\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}N\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}R\right. RN\right)\"<\/p>\r\n

=\"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}N\right. N\"<\/p>\r\n

=\"\left\Vert N\right\Vert _{2}^{2}\"<\/p>\r\n

car \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}R\right. R=I_{n}\"<\/p>\r\n

\"\left\Vert NR\right\Vert _{2}^{2}\"<\/p>\r\n

=\"\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}R\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}N\right. NR\right)\"<\/p>\r\n

=\"\func{Tr}\left(\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}N\right. N\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}R\right.R\right)\"<\/p>\r\n

=\"\left\Vert N\right\Vert _{2}^{2}\"<\/p>\r\n

car<\/p>\r\n

\"\func{Tr}\left( AB\right)\"<\/p>\r\n

=\"\func{Tr}\left( BA\right)\"<\/p>\r\n

pour toutes matrices \"A\" et \"B\"<\/p>\r\n

Donc, \"\forall N\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{R}\right) ,\"\u00a0 \"\left\Vert RN\right\Vert _{2}=\left\Vert NR\right\Vert _{2}=\left\VertN\right\Vert _{2}\".<\/p>\r\n

\"V\longmapsto VR^{-1}\" est une application de \"\mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\" dans \"\mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) :\"<\/p>\r\n

Soit \"V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\" alors \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}\left( VR^{-1}\right) \right. VR^{-1}=R\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}V\right. V\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}R\right. =I\" et \"VR^{-1}\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\"<\/p>\r\n

Et elle a pour r\u00e9ciproque \"V\mapsto VR\" donc elle est bijective de \"\mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\" dans \"\mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\"<\/p>\r\n

de m\u00eame pour \"V\longmapsto R^{-1}V\"<\/p>\r\n

\"\underset{V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }{\inf }\left\Vert M-V\right\Vert _{2}\" est plus petite que toutes les distances.<\/p>\r\n

et \"\left\Vert RM-V\right\Vert _{2}=\left\Vert M-R^{-1}V\right\Vert _{2}\"
avec \"N=RM-V\"<\/p>\r\n

donc \"\underset{V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }{\inf }\left\Vert M-V\right\Vert \leqslant \left\Vert M-R^{-1}V\right\Vert=\left\Vert RM-V\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

Donc \"\underset{V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }{\inf }\left\Vert M-V\right\Vert _{2}\" est un minorant de \"\left\VertRM-V\right\Vert _{2}\" pour tout \"V.\"<\/p>\r\n

Donc, le plus grand des minorants, \"\underset{V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }{\inf }\left\Vert RM-V\right\Vert _{2}\" est plus grand :<\/p>\r\n

\"\underset{V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }{\inf }\left\Vert RM-V\right\Vert _{2}\geqslant \underset{V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }{\inf }\left\Vert M-V\right\Vert _{2}\" donc \"d\left( RM\right)\geqslant d\left( M\right)\"<\/p>\r\n

Et de m\u00eame \"\underset{V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }{\inf }\left\Vert RM-V\right\Vert _{2}\leqslant \left\Vert RM-RV\right\Vert_{2}=\left\Vert M-V\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

donc \"\underset{V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }{\inf }\left\Vert RM-V\right\Vert _{2}\leqslant \underset{V\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right) }{\inf }\left\Vert M-V\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

et \"d\left( RM\right) \leqslant d\left( M\right)\"<\/p>\r\n

et \"d(M)=d(RM)\"<\/p>\r\n

Et de m\u00eame pour l’autre cot\u00e9 avec \"\left\Vert NR\right\Vert _{2}=\left\VertN\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

donc \"d(M)=d(RM)=d(MR)\"<\/p>\r\n

18\/ <\/strong>On a, d’apr\u00e8s 17, \"d(A)=d(PD\times \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}P\right.)\"<\/p>\r\n

=\"d(D\times \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}P\right. )\" car \"P\in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\"<\/p>\r\n

\"=d\left( D\right)\" car \"\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}P\right. \in \mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\"<\/p>\r\n

Donc \"d(A)=d(D)\"<\/p>\r\n

19\/ a\/ <\/strong>\"W\" est sym\u00e9trique r\u00e9elle donc diagonalisable.<\/p>\r\n

19\/ b\/ <\/strong>Avec \"X\" la colonne des coordonn\u00e9es de \"x\"<\/p>\r\n

\"\begin{matrix}\left\langle w(x),x\right\rangle &=&\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}W\right. X\right) =\frac{1}{2}\left(\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}V\right.X\right) +\text{ }\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right. \left. V\right.X\right) \right) \\&=&\frac{1}{2}\left( \left\langle v(x)\left\vert x\right. \right\rangle+\left\langle x\left\vert v(x)\right. \right\rangle \right) \\&=&\left\langle v(x)\left\vert x\right. \right\rangle\end{matrix}\"<\/p>\r\n

et \"\begin{matrix}\left\Vert v(x)\right\Vert ^{2}=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right. \left.^{t}\hspace{-0.1cm}V\right. VX=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right.X=\left\Vert x\right\Vert ^{2}\end{matrix}\" donc \"\left\langle w(x)\left\vert x\right. \right\rangle\"<\/p>\r\n

=\"\left\langle v(x)\left\vert x\right. \right\rangle\" et que<\/p>\r\n

\"\left\Vert v(x)\right\Vert=\left\Vert x\right\Vert .\"\u00a0<\/p>\r\n

\"\left\langle w(x)\left\vert x\right. \right\rangle =\left\langlev(x)\left\vert x\right. \right\rangle \leqslant \left\Vert v\left( x\right)\right\Vert \left\Vert x\right\Vert\" (Cauchy-Schwarz)<\/p>\r\n

donc \"\left\vert \left\langle w(x)\left\vert x\right. \right\rangle\right\vert \leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}\" et la diff\u00e9rence<\/p>\r\n

\"\left\Vert x\right\Vert ^{2}-\left\vert \left\langle w(x)\left\vert x\right. \right\rangle \right\vert\"<\/p>\r\n

=\"\left\langle x-w(x) \left\vert x\right.\right\rangle \geq 0\".<\/p>\r\n

19\/ c\/ <\/strong>Soit \"\lambda\" valeur propre de \"I_{n}-W\" et \"X\" une colonne propre associ\u00e9e<\/p>\r\n

\"x-w(x)=\left( \func{id}-w\right) \left( x\right) =\lambda x\"<\/p>\r\n

et \"\left\langle x-w(x)\left\vert x\right. \right\rangle\"<\/p>\r\n

=\"\left\langle \lambda x,x\right\rangle\"<\/p>\r\n

=\"\lambda \left\langle x,x\right\rangle \geq 0\"<\/p>\r\n

Et comme \"\left\Vert x\right\Vert \neq 0,\" \"\lambda \geq 0\" les valeurs propres de \"I_{n}-W\" sont positives ou nulles.<\/p>\r\n

19\/ d\/ <\/strong>\"w_{ii}\"<\/p>\r\n

=\"\left\langle w\left( e_{i}\right) ,e_{i}\right\rangle\"<\/p>\r\n

et \"1-w_{ii}\"<\/p>\r\n

=\"\left\langle e_{i}-w\left( e_{i}\right) ,e_{i}\right\rangle \geq 0\"<\/p>\r\n

19\/ e\/ <\/strong>Si \"W=I_{n}.\" alors, pour tout \"i,\" \"w_{ii}=1\"<\/p>\r\n

Si pour tout \"i,\" \"w_{ii}=1,\" il faut montrer que \"W=I_{n}\"<\/p>\r\n

On a alors \"\func{Tr}\left( I_{n}-W\right) =0\" qui est aussi la somme des valeurs propres \u00e9tendues.<\/p>\r\n

Comme elles sont toutes positives ou nulle, elles sont toutes nulles.<\/p>\r\n

Donc (matrice diagonalisable) \"I_{n}-W=0\" et \"W=I_{n}\"<\/p>\r\n

\"w_{ii}=1\" pour tout \"i\" si, et seulement si,\"W=I_{n}.\"<\/p>\r\n

20\/ a\/ <\/strong>Identit\u00e9 remarquable \"\left\Vert x\right\Vert ^{2}-\left\Vert y\right\Vert^{2}=\left\langle x-y,x+y\right\rangle\" ici :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\left\Vert D-V\right\Vert _{2}^{2}-\left\Vert D-I_{n}\right\Vert _{2}^{2}&=&\left( D-V+D-I_{n}~|~D-V-\left( D-I_{n}\right) \right) \\&=&\left( 2D-V-I_{n}~|~I-V_{n}\right) \\&=&2\left( D~|~I-V_{n}\right) -\left( V+I_{n}~|~I-V_{n}\right) \\&=&2\left( D~|~I-V_{n}\right) +\left\Vert V\right\Vert _{2}^{2}-\left\VertI\right\Vert _{2}^{2}\end{eqnarray*}\"<\/p>
et comme \"V\" est orthogonale, \"\left\Vert V\right\Vert _{2}^{2}\"<\/p>\r\n

=\"\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}V\right. V\right)\"<\/p>\r\n

=\"\func{Tr}\left( I\right)=\left\Vert I\right\Vert _{2}^{2}\"<\/p>\r\n

Donc<\/p>\r\n

\"\left\Vert D-V\right\Vert _{2}^{2}-\left\Vert D-I_{n}\right\Vert_{2}^{2}=2\left( I_{n}-V\left\vert D\right. \right)\"<\/p>\r\n

et comme \"D\" est diagonale,<\/p>\r\n

\"\left\langle \left. ^{t}\V\right.,D\right\rangle\"<\/p>\r\n

=\"\func{Tr}\left( \left. V\right. D\right)\"<\/p>\r\n

=\"\func{Tr}\left(\left. V\right. \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}D\right. \right)\"<\/p>\r\n

=\"\func{Tr}\left(\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}D\right. V\right)\"<\/p>\r\n

=\"\left\langle V,D\right\rangle\"<\/p>\r\n

Donc \"\left\langle V,D \right\rangle\"<\/p>\r\n

=\"\dfrac{1}{2}\left( \left\langle V,D\right\rangle +\left\langle \left. ^{t}\V\right.,D\right\rangle \right)\" et \"2\left( I_{n}-V\left\vert D\right.\right)\"<\/p>\r\n

=\"2\left( I_{n}-W\left\vert D\right. \right)\".<\/p>\r\n

20\/ b\/ <\/strong>\"\left\Vert D-V\right\Vert _{2}^{2}-\left\Vert D-I_{n}\right\Vert_{2}^{2}=2\left( I_{n}-W\left\vert D\right. \right)\"<\/p>\r\n

avec \"1-w_{ii}\geqslant 0\"<\/p>\r\n

Comme \"D\" est diagonale \u00e0 termes positifs , les termes de la diagonale de<\/p>\r\n

\"\left.^{t}\hspace{-0.1cm}\left( I_{n}-W\right) \right. D\"<\/p>\r\n

sont les \"\left(1-w_{ii}\right) d_{i}\geqslant 0\"<\/p>\r\n

Donc<\/p>\r\n

\"\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}I_{n}-W\right. D\right)\geqslant 0\"<\/p>\r\n

donc \"\left\Vert D-V\right\Vert _{2}^{2}-\left\Vert D-I_{n}\right\Vert_{2}^{2}\geqslant 0\".<\/p>\r\n

20\/ c\/ <\/strong>On a vu que \"d\left( A\right) =d\left( D\right)\"<\/p>\r\n

Et, pour tout \"V\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R}_{n}\right) :\"<\/p>\r\n

\"\left\VertD-V\right\Vert _{2}\geqslant \left\Vert D-I_{n}\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

et \"\left\Vert D-I_{n}\right\Vert _{2}\" est un minorant des \"\left\Vert D-V\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

pour \"V\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R}_{n}\right)\"<\/p>\r\n

donc \"\inf \left\Vert D-V\right\Vert _{2}\geqslant \left\Vert D-I_{n}\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

Et, avec \"V=I\in O\left( \mathbb{R}_{n}\right) ,\"<\/p>\r\n

On a aussi \"\left\Vert D-V\right\Vert _{2}\geqslant \inf \left\Vert D-V\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

Donc \"\left\Vert D-I_{n}\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

=\"\inf \left\Vert D-V\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

=\"d\left( D\right)\"<\/p>\r\n

Et comme \"\sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}=PD\left.^{t}\hspace{-0.1cm}P\right.\" avec \"P\" orthogonale,<\/p>\r\n

\"\sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}-I_{n}\"<\/p>\r\n

=\"P\left( D-I_{n}\right)\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}P\right.\"<\/p>\r\n

et \"\left\Vert D-I_{n}\right\Vert_{2}\"<\/p>\r\n

=\"\left\Vert \sqrt{\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right. A}-I_{n}\right\Vert_{2}\"<\/p>\r\n

Et si \"\left\Vert D-V\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

=\"\left\Vert D-I\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n

alors \"\left\Vert D-V\right\Vert _{2}^{2}-\left\Vert D-I_{n}\right\Vert _{2}^{2}=0\"<\/p>\r\n

donc \"\func{Tr}\left( \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}I_{n}-W\right. D\right)\", somme de termes positifs ou nuls, est nulle.<\/p>\r\n

Donc tous les termes diagonaux sont nuls.<\/p>\r\n

Donc , pour tout \"i:\" \"\left( 1-w_{ii}\right) d_{i}=0\" et comme les \"d_{i}\" sont strictement positifs, non nuls, \"1-w_{ii}=0.\"<\/p>\r\n

D’o\u00f9 19.e) :<\/p>\r\n

\"W=I\" et \"\dfrac{1}{2}\left( \left. ^{t}\V\right.+V\right)\"<\/p>\r\n

=\"I \times V\"<\/p>\r\n

On a alors \"\dfrac{1}{2}\left( I+V^{2}\right)\"<\/p>\r\n

=\"V\" et \"V^{2}-2V+I\"<\/p>\r\n

=\"0\"<\/p>\r\n

et \"\left( V-I\right) ^{2}=0\"<\/p>\r\n

Donc (polyn\u00f4me annulateur) \"1\" est la seule valeur propre de \"V\" et comme \"V\" est diagonalisable, \"V=I\"<\/p>\r\n

Donc \"I_{n}\" est l’unique \u00e9l\u00e9ment \"V\" de<\/p>\r\n

\"\mathcal{O}_{n}\left( \mathbb{R}\right)\" tel que \"d(A)=\left\Vert D-V\right\Vert _{2}\"<\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet HEC Maths 1 ECS 2019 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales de maths BCE Partie I. Un premier exemple 1\/ Nous avons deux colonnes proportionnelles et non nulles donc . donc et est un projecteur. 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