{"id":32389,"date":"2019-07-26T18:10:47","date_gmt":"2019-07-26T17:10:47","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=32389"},"modified":"2022-06-11T18:12:05","modified_gmt":"2022-06-11T17:12:05","slug":"annale-corrige-eml-maths-ecs-2019","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-eml-maths-ecs-2019\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2019"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2019<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\r\n

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Partie A. \u00c9tude d’un endomorphisme de polyn\u00f4mes<\/h2>\r\n

1\/\u00a0<\/strong>Pour tout polyn\u00f4me \"P\" de \"\mathbb{R}_n[X]\", \"\Psi_a(P)=2P+(X-a)P'\" est une somme de polyn\u00f4mes donc c’est un polyn\u00f4me, de plus \"\text{deg}(P)\leqslant n\" donc \"\text{deg}(P')\leqslant n-1\" donc \"\text{deg}((X-a)P')\leqslant n-1+1=n\" en sommant on a : \"\text{deg}(P+(X-a)P')\leqslant n\" donc \"\Psi_a(P)\in\mathbb{R}_n[X]\".<\/p>\r\n

Soit \"A(X)\in \mathbb{R}_n[X]\", \"\alpha \in \mathbb{R},\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\Psi_a(\alpha A+P)=2(\alpha A+P)+(X-a)(\alpha A+P)' = 2\alpha A(X)+2P+(X-a)(\alpha A'+P')\]\"<\/p> par lin\u00e9arit\u00e9 de la d\u00e9rivation.<\/p>\r\n

Donc \"\Psi_a(\alpha A+P)=\alpha( 2 A(X)+(X-a)A')+2P+(X-a)P'= \alpha\Psi_a(A)+\Psi_a(P).\" Donc \"\Psi_a\" est lin\u00e9aire.<\/p>\r\n

Bilan : \"\Psi_a:P\mapsto \Psi_a(P)\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}_n[X].\"<\/p>\r\n

2\/ <\/strong>On calcule \"\Psi_a(1)=2\times 1+0=2,\" et pour tout \"k\in[\![1,n]\!]\",

  <\/span>   <\/span>\"\[\Psi_a( X^k)=2X^k+(X-a)kX^{k-1} = (2+k)X^k-akX^{k-1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{Mat}_{ {\cal B}}(\Psi_a)=\left( \begin{array}{ccccc}2& -a&0&\hdots & 0 \\0& 3 & -2a & 0& 0\\0& 0& 4 & \ddots & 0\\0 & \hdots & 0& \ddots& -na\\0 & \hdots & & 0& n+2\end{array} \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ a\/ <\/strong>\"\text{Mat}_{ {\cal B}}(\Psi_a)\" est triangulaire donc les valeurs de sa diagonale sont ses valeurs propres c’est-\u00e0-dire : \"2, 3, 4,...,n+2.\" Il s’agit d’entiers cons\u00e9cutifs donc il y en a \"n+2-2+1=n+1\" or \"\text{Mat}_{ {\cal B}}(\Psi_a)\in{\cal M}_{n+1}(\mathbb{R})\" donc \"\text{Mat}_{ {\cal B}}(\Psi_a)\" est diagonalisable et son spectre est \"[\![2,n+2]\!].\"<\/p>\r\n

Bilan : \"\Psi_a\" est diagonalisable et son spectre est \"[\![2,n+2]\!].\"<\/p>\r\n

3\/ b\/ <\/strong>\"\Psi_a\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}_n[X]\" et 0 n’est pas dans le spectre de \"\Psi_a\" donc ce dernier est bijectif.<\/p>\r\n

Bilan : \"\Psi_a\" est un automorphisme de \"\mathbb{R}_n[X].\"<\/p>\r\n

3\/ c\/ <\/strong>On a \"\Psi_a(Q_0)=2=2Q_0.\" Pour tout \"k\" de \"[\![1,n]\!], \Psi_a(Q_k) = 2Q_k(X)+(X-a)\big(k(X-a)^{k-1}\big)= (2+k)Q_k.\"<\/p>\r\n

Bilan : Pour tout \"k\" de \"[\![0,n]\!], \Psi_a(Q_k) =(2+k)Q_k.\"<\/p>\r\n

3\/ d\/<\/strong> Pour tout \"k\" de \"[\![0,n]\!],\" on voit que \"Q_k\" n’est pas le polyn\u00f4me nul donc \"Q_k\" est vecteur propre de \"\Psi_a\" associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"2+k.\"<\/p>\r\n

Or le cardinal du spectre de \"\Psi_a\" est \u00e9gal \u00e0 la dimension de \"\mathbb{R}_n[X]\" donc les sous-espaces propres de \"\Psi_a\" sont tous de dimension 1 donc \"Q_k\" \u00e0 lui seul forme une base de sous-espaces propres \"(\Psi_a,2+k).\"<\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> Pour tout polyn\u00f4me \"P\" de \"\mathbb{R}_n[X]\", on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\big((X-a)^2P(X)\big)' = 2(X-a)P+(X-a)^2P'=(X-a)\big(2P+ (X-a)^2P'\big)=(X-a)\Psi_a(P).\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ b\/ <\/strong>Pour tout polyn\u00f4me \"P\" de \"\mathbb{R}_n[X]\" et pour tout r\u00e9el \"x\ne a,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi_a\big( \Psi_a(P)\big)(x) = \displaystyle \frac{1}{(x-a)^2}\int_a^x (t-a) \Psi_a(P)(t)\text{d}t .\]\"<\/p>
L’int\u00e9grale existe car on int\u00e8gre une fonction continue sur un segment.
Or \"t\mapsto (t-a) \Psi_a(P)(t)\" a pour primitive \"t\mapsto (t-a)^2P(t)\" d’apr\u00e8s ce qui pr\u00e9c\u00e8de donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi_a\big( \Psi_a(P)\big)(x) = \frac{1}{(x-a)^2}\left[ (t-a)^2P(t) \right]_a^x =\frac{1}{(x-a)^2} (x-a)^2P(x)=P(x).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Il reste le cas \"x=a,\" pour cela on voit que \"\Phi_a\big( \Psi_a(P)\big)(a)=\frac{\Psi_a(P)(a)}{2}= \frac{2P(a)+(a-a)P'(a)}{2}=P(a).\"<\/p>\r\n

On a montr\u00e9 que les fonctions \"\Phi_a\big( \Psi_a(P)\big)\" et \"x\mapsto P(x)\" coincident sur \"\mathbb{R}\" donc elles sont \u00e9gales, en particulier \"\Phi_a\big( \Psi_a(P)\big)\" est un polyn\u00f4me de \"\mathbb{R}_n[X].\"<\/p>\r\n

Bilan : Pour tout polyn\u00f4me \"P\" de \"\mathbb{R}_n[X]\" : \"\Phi_a\big( \Psi_a(P)\big)=P.\"<\/p>\r\n

4\/ c\/<\/strong> Soit \"P\in\mathbb{R}_n[X], \Phi_a(P)\" est bien d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" car les polyn\u00f4mes sont continues sur \"\mathbb{R}\" donc on peut int\u00e9grer \"t\mapsto (t-a)P( t)\" sur le segment \"[a,x]\" pour tout r\u00e9el \"x\ne a.\"<\/p>\r\n

De plus \"\Psi_a\" est bijective donc elle admet une fonction r\u00e9ciproque sur \"\mathbb{R}_n[X].\" Avec la question pr\u00e9c\u00e9dente, on peut \u00e9crire

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi_a(P) = \Phi_a\left(\Psi_a\left(\Psi_a^{-1}(P)\right)\right) = \Psi_a^{-1}(P).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Cela prouve que \"\Phi_a\" et \"\Psi_a^{-1}\" coincident sur \"\mathbb{R}_n[X]\" donc elles sont \u00e9gales, en particulier cela prouve que \"\Phi_a\" est un endomorphisme bijectif de \"\mathbb{R}_n[X]\".<\/p>\r\n

Bilan : \"\Phi_a:P\mapsto \Phi_a(P)\" est un automorphisme de \"\mathbb{R}_n[X]\" et \"\Phi_a=\Psi_a^{-1}\" donc \"\Phi_a^{-1}=\Psi_a.\"<\/p>\r\n

4\/ d\/<\/strong> Pour tout \"k\in[\![0,n]\!],\" on a \"\Psi_a(Q_k)=(2+k)Q_k\", on peut diviser par \"2+k\ne 0\" et \"Q_k=\frac{1}{2+k}\Psi_a(Q_k)\" donc \"Q_k=\Phi\left(\Psi_a(Q_k)\right) = \frac{1}{2+k}\Psi_a(Q_k).\"<\/p>\r\n

Or \"Q_k\" est non nul et \"\Psi_a\" est bijective donc \"\Psi_a(Q_k)\" est non nul donc \"\Psi_a(Q_k)\" est vecteur propre de \"\Phi_a\" associ\u00e9 \u00e0 \"\frac{1}{2+k}.\"<\/p>\r\n

La fonction \"g : x\mapsto \frac{1}{2+x}\" est strictement d\u00e9croissante sur \"[0;+\infty[\" donc elle est injective donc \"\{g(0),g(1),...,g(n)\} = \left\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3},...,\frac{1}{2+n}\right\}\" est de cardinal \"n+1\" comme \"[\![0,n]\!]\" donc \"\Phi_a\" poss\u00e8de \"n+1\" valeurs propres sur \"\mathbb{R}_n[X]\" donc elle est diagonalisable.<\/p>\r\n

Bilan : \"\Phi_a\" est diagonalisable et son spectre est \"\left\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3},...,\frac{1}{2+n}\right\}.\"<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

Partie B. \u00c9tude d’une fonction d\u00e9finie par une int\u00e9grale<\/h2>\r\n

5\/ a\/ <\/strong>On pose, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}\" : \"h(x)= \displaystyle \int_0^x tf(t)\text{d}t.\"
La fonction \"f\" est continue sur \"\mathbb{R}\" donc par produit avec la fonction polynomiale \"t\mapsto t,\" la fonction \"t\mapsto tf(t)\" est continue sur \"\mathbb{R}\" donc elle admet une primitive, not\u00e9e \"F,\" sur \"\mathbb{R}\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in\R, \; h(x)=\int_0^x tf(t)\text{d}t = F(x)-F(0).\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"F\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et sa d\u00e9riv\u00e9e est \"t\mapsto tf(t).\" Celle-ci est continue sur \"\mathbb{R},\" donc \"F\" est \"C^1\" sur \"\mathbb{R}.\"<\/p>\r\n

Donc \"h\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R},\" \"h'(x)=F'(x)=xf(x).\"<\/p>\r\n

Bilan : La fonction \"h\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" et, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}, h'(x)=xf(x).\"<\/p>\r\n

5\/ b\/<\/strong> Soit \"x\in \R^{+*}.\" Sur le segment \"[0,x],\" \"f\" est continue donc elle admet un minimum atteint en un point not\u00e9 \"\alpha_x\in[0,x]\" et un maximum atteint en un point not\u00e9 \"\beta_x\in[0,x]\".<\/p>\r\n

Ainsi, pour tout \"t\in[0,x],\" on a \"f\left(\alpha_x\right) \leqslant f(t)\leqslant f\left(\beta_x\right)\", on multiplie par \"t\geqslant 0,\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[tf\left(\alpha_x\right) \leqslant tf(t)\leqslant tf\left(\beta_x\right) .\]\"<\/p><\/p>\r\n

On int\u00e8gre sur \"[0,x]\" selon \"t\" avec \"0<x,\" les fonctions en jeu sont bien continues, ainsi :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\underset{\text{\tiny{ind\'{e}pendant de $t$}}}{\underbrace{f\left(\alpha_x\right)}} \int_0^x t\; \text{d}t\leqslant \int_0^x tf(t)\text{d}t\leqslant \underset{\text{\tiny{ind\'{e}pendant de $t$}}}{\underbrace{f\left(\beta_x\right)}} \int_0^x t\; \text{d}t.\]\"<\/p><\/p>\r\n

5\/ c\/<\/strong> On reprend ce qui pr\u00e9c\u00e8de et on calcule \"\displaystyle \int_0^x t\; \text{d}t=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^x = \frac{x^2}{2}.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{x^2}{2}f\left(\alpha_x\right) \leqslant \int_0^x tf(t)\text{d}t = h(x)\leqslant \frac{x^2}{2} f\left(\beta_x\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc en divisant par \"x^2>0,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{2}f\left(\alpha_x\right) \leqslant \frac{h(x)}{x^2} \leqslant \frac{1}{2} f\left(\beta_x\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a \"0\leqslant \alpha_x\leqslant x\" donc par encadrement \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}( \alpha_x)=0\", par continuit\u00e9 de \"f\" en 0 on a
\"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}f( \alpha_x)=f(0).\"<\/p>\r\n

De fa\u00e7on analogue \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}f( \beta_x)=f(0).\"<\/p>\r\n

Le th\u00e9or\u00e8me des gendarmes permet de conclure.<\/p>\r\n

Bilan : \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\frac{h(x)}{x^2}=\frac{f(0)}{2}.\"<\/p>\r\n

5\/ d\/<\/strong>\u00a0 Soit \"x\in \mathbb{R}^{-*}.\" Sur le segment \"[x;0],\" \"f\" est continue donc elle admet un minimum atteint en un point not\u00e9 \"\alpha_x\in[x;0]\" et un maximum atteint en un point not\u00e9 \"\beta_x\in[x;0]\".<\/p>\r\n

Ainsi, pour tout \"t\in[x;0],\" on a \"f\left(\alpha_x\right) \leqslant f(t)\leqslant f\left(\beta_x\right)\", on multiplie par \"t\leqslant 0,\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[tf\left(\beta_x\right) \leqslant tf(t)\leqslant tf\left(\alpha_x\right) .\]\"<\/p><\/p>\r\n

On int\u00e8gre sur \"[x,0]\" selon \"t\" avec \"x<0,\" les fonctions en jeu sont bien continues, ainsi :

  <\/span>   <\/span>\"\[\underset{\text{\tiny{ind\'ependant de $t$}}}{\underbrace{f\left(\beta_x\right)}} \int_x^0 t\; \text{d}t\leqslant \int_x^0 tf(t)\text{d}t\leqslant \underset{\text{\tiny{ind\'ependant de $t$}}}{\underbrace{f\left(\alpha_x\right)}} \int_x^0 t\; \text{d}t.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On inverse les bornes des int\u00e9grales en multipliant par \"-1,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[f\left(\alpha_x\right)\int_0^x t\; \text{d}t\leqslant \int_0^x tf(t)\text{d}t\leqslant f\left(\beta_x\right)\int_0^x t\; \text{d}t.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On reprend ce qui pr\u00e9c\u00e8de et on calcule \"\displaystyle \int_0^x t\; \text{d}t=\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^x = \frac{x^2}{2}.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{x^2}{2}f\left(\alpha_x\right) \leqslant \int_0^x tf(t)\text{d}t = h(x)\leqslant \frac{x^2}{2} f\left(\beta_x\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc en divisant par \"x^2>0,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{2}f\left(\alpha_x\right) \leqslant \frac{h(x)}{x^2} \leqslant \frac{1}{2} f\left(\beta_x\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a \"x\leqslant \alpha_x\leqslant 0\" donc par encadrement \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}( \alpha_x)=0\", par continuit\u00e9 de \"f\" en 0 on a
\"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}f( \alpha_x)=f(0).\"<\/p>\r\n

De fa\u00e7on analogue \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}f( \beta_x)=f(0).\"<\/p>\r\n

Le th\u00e9or\u00e8me des gendarmes permet de conclure.<\/p>\r\n

Bilan : \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\frac{h(x)}{x^2}=\frac{f(0)}{2}.\"<\/p>\r\n

6\/<\/strong> On a : \"\forall x\in\mathbb{R},\quad \Phi(f)(x)=\left\{\begin{array}{cl} \displaystyle \frac{1}{x^2}\int_0^x tf(t)\text{d}t = \frac{h(x)}{x^2}& \text{ si } x\ne 0,\\\displaystyle\frac{f(0)}{2} & \text{ si } x = 0.\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

Donc pour \"x\ne 0, \Phi(f)(x)=\frac{h(x)}{x^2}\" or
\"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\frac{h(x)}{x^2}=\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\frac{h(x)}{x^2}=\frac{f(0)}{2}\" donc \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}} \Phi(f)(x)=\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}} \Phi(f)(x)=\frac{f(0)}{2}=\Phi(f)(0).\" Donc \"\Phi\" est continue en 0.<\/p>\r\n

Sur \"\mathbb{R}^*,\" \"\Phi(f)(x)=\frac{h(x)}{x^2}\" or \"h\" est \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\" et \"x\mapsto \frac{1}{x^2}\" est \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^*\" donc par produit \"\Phi(f)\" est \"C^1\" donc continue sur \"\mathbb{R}^*.\"<\/p>\r\n

De plus pour \"x\ne 0,\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}<\/p><\/p>\r\n

Bilan : \"\Phi(f)\" est continue sur \"\mathbb{R}\" et de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^{+*}\" et sur \"\mathbb{R}^{-*}\" et l’on a :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in \R^*, \quad \big(\Phi(f)\big)'(x)=\frac1x\big(f(x)-2\Phi(f)(x)\big).\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/ a\/<\/strong> Soit \"f\" une fonction paire, \"\Phi(f)\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" et pour tout \"x\in \mathbb{R},\" on a \"-x\in\mathbb{R}.\"<\/p>\r\n

Et, pour \"x\ne 0,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi(f)(-x) = \frac{1}{(-x)^2}\int_0^{-x} tf(t)\text{d}t .\]\"<\/p>
On fait le changement de variable affine donc \"C^1\" suivant \"u=-t, du=-dt, t=0\" et \"u=0\" et \"t=-x,u=x.\"
Ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi(f)(-x) = \frac{1}{x^2}\int_0^{x} (-u)f(-u)(-\text{d}u) = \frac{1}{x^2}\int_0^{x} uf(u)\text{d}u \text{ car $f$ est paire}.\]\"<\/p>
Donc \"\Phi(f)(-x)=\Phi(f)(x).\"<\/p>\r\n

De plus \"\Phi(f)(-0)=\Phi(f)(0).\" Donc \"\Phi(f)\" est paire sur \"\mathbb{R}.\"<\/p>\r\n

Soit \"g\" une fonction impaire, \"\Phi(g)\" est d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" et pour tout \"x\in \mathbb{R},\" on a \"-x\in\mathbb{R}.\"<\/p>\r\n

Et, pour \"x\ne 0,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi(g)(-x) = \frac{1}{(-x)^2}\int_0^{-x} tg(t)\text{d}t .\]\"<\/p>
On fait le changement de variable affine donc \"C^1\" suivant \"u=-t, du=-dt, t=0\" et \"u=0\" et \"t=-x,u=x.\"
Ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi(f)(-x) = \frac{1}{x^2}\int_0^{x} (-u)g(-u)(-\text{d}u) = -\frac{1}{x^2}\int_0^{x} ug(u)\text{d}u\]\"<\/p> car \"g\" est impaire.
Donc \"\Phi(g)(-x)=\Phi(g)(x).\"<\/p>\r\n

De plus \"\Phi(g)(-0)=\frac{g(0)}{2}= 0 = -\Phi(g)(0)\" car \"g\" est impaire donc \"g(0)=0.\"<\/p>\r\n

Donc \"\Phi(g)\" est impaire sur \"\mathbb{R}.\"<\/p>\r\n

Bilan : si \"f\" est une fonction paire (respectivement impaire), alors \"\Phi(f)\" est encore une fonction paire (respectivement impaire).<\/p>\r\n

7\/ b\/<\/strong> Soit \"f\" une fonction positive sur \"\mathbb{R},\"
Pour \"x> 0,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi(f)(x) = \frac{1}{x^2}\int_0^{x} tf(t)\text{d}t .\]\"<\/p>
Pour tout \"t\in[0,x],\" on a \"0\leqslant t\leqslant x,\" on multiplie par \"f(t)\geqslant 0\" et on int\u00e8gre sur \"[0,x]\" selon \"t\" avec \"0<x,\"ainsi \"\displaystyle 0\leqslant \int_0^{x} tf(t)\text{d}t.\" Comme \"\frac{1}{x^2}>0,\" on a bien \"\Phi(f)(x)\geqslant 0.\"<\/p>\r\n

Pour \"x< 0,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi(f)(x) = \frac{1}{x^2}\int_0^{x} tf(t)\text{d}t .\]\"<\/p>
Pour tout \"t\in[x,0],\" on a \"x\leqslant t\leqslant 0,\" on multiplie par \"f(t)\geqslant 0\" et on int\u00e8gre sur \"[x,0]\" selon \"t\" avec \"x<0,\" ainsi \"\displaystyle 0\geqslant \int_x^{0} tf(t)\text{d}t.\" On inverse l’ordre des bornes de l’int\u00e9grale, ce qui change le signe et comme \"\frac{1}{x^2}>0,\" on a bien \"\Phi(f)(x)\geqslant 0.\"<\/p>\r\n

Enfin \"\Phi(f)(0) = \frac{f(0)}{2}\geqslant 0.\"<\/p>\r\n

Bilan : si \"f\" est une fonction positive, alors \"\Phi(f)\" est encore une fonction positive.<\/p>\r\n

8\/ a\/<\/strong> On admet le r\u00e9sultat suivant :

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{ si } \lim_{+\infty}f=0, \text{ alors } \lim_{+\infty}\big(\Phi(f)\big)=0.\]\"<\/p> Soit \"\ell\in\mathbb{R}.\" On suppose \"\lim\limits_{+\infty}f=\ell.\" On pose \"g:x\mapsto f(x)-\ell,\" donc \"\lim\limits_{+\infty}g=0.\" En appliquant le r\u00e9sultat admis, \"\lim\limits_{+\infty}\big(\Phi(g)\big)=0.\"<\/p>\r\n

Or pour \"x>0\",<\/p>\r\n

\"\Phi(g)(x)\"<\/p>\r\n

= \"\displaystyle \frac{1}{x^2}\int_0^{x} t( f(t)-\ell)\text{d}t\"<\/p>\r\n

= \"\frac{1}{x^2}\int_0^{x} t f(t)\text{d}t -\ell \frac{1}{x^2}\int_0^{x} t\text{d}t\"<\/p>\r\n

= \"\Phi(f)(x)-\frac{\ell}{2} .\"<\/p>\r\n

Or \"\lim\limits_{+\infty}\big(\Phi(g)\big)=0\" donc \"\lim\limits_{+\infty}\big( \Phi(f)(x) - \frac{\ell}{2} )=0.\"<\/p>\r\n

Bilan :
\"\displaystyle\text{ si } \lim_{+\infty}f=\ell, \text{ alors } \lim_{+\infty}\big(\Phi(f)\big)=\frac{\ell}{2}.\"<\/p>\r\n

8\/ b\/<\/strong> Soit \"\ell\in\mathbb{R}.\"
On suppose \"\lim\limits_{-\infty}f=\ell.\" On pose \"h:x\mapsto f(-x),\" donc \"\lim\limits_{+\infty}h=\ell.\" En appliquant le r\u00e9sultat pr\u00e9c\u00e9dent, \"\lim\limits_{+\infty}\big(\Phi(h)\big)=\frac{\ell}{2}.\"<\/p>\r\n

Or pour \"x<0\", \"\Phi(f)(x) =\displaystyle \frac{1}{x^2}\int_0^{x} t f(t)\text{d}t.\"<\/p>\r\n

On refait le changement de variable \"u=-t,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\Phi(f)(x) =\displaystyle \frac{1}{x^2}\int_0^{-x} (-u) f(-u)(-\text{d}u) = \frac{1}{(-x)^2}\int_0^{-x} u h(u)\text{d}u = \Phi(h)(-x) .\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or \"-x\underset{x\to-\infty}{\longrightarrow}+\infty\" donc \"\Phi(h)(-x) \underset{x\to-\infty}{\longrightarrow}\frac{\ell}{2}\" donc \"\Phi(f)(x) \underset{x\to-\infty}{\longrightarrow}\frac{\ell}{2}.\"<\/p>\r\n

Bilan :
\"\displaystyle\text{ si } \lim_{-\infty}f=\ell, \text{ alors } \lim_{-\infty}\big(\Phi(f)\big)=\frac{\ell}{2}.\"<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
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COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Partie C. Une application en probabilit\u00e9<\/h2>\r\n

9\/<\/strong> Soit \"x\in\mathbb{R}^{+*},\" on sait que \"F\" est une fonction de r\u00e9partition de loi \u00e0 densit\u00e9 donc elle est continue, croissante et positive sur \"\mathbb{R}\" donc, pour tout \"t\in[0;x],\" on a \"0\leqslant F(t)\leqslant F(x),\" on multiplie par \"t\geqslant 0,\" et \"0\leqslant tF(t)\leqslant tF(x).\"<\/p>\r\n

On int\u00e8gre sur \"[0;x]\" selon \"t\" avec \"0<x,\" les fonctions en jeu sont bien continues ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leqslant \int_0^x tF(t)\text{d}t \leqslant \underset{\text{\tiny{ind\'ependant de $t$}}}{\underbrace{F(x)}}\int_0^x t\text{d}t=F(x)\left[\frac{t^2}{2}\right]_0^x= \frac{x^2F(x)}{2}.\]\"<\/p>
On multiplie par \"\frac{2}{x^2}>0,\" et on a bien \"0\leqslant G(x)\leqslant F(x)\".<\/p>\r\n

Soit \"x\in\mathbb{R}^{-*},\" on sait d\u00e9j\u00e0 que \"F\" est continue, croissante sur \"\mathbb{R}\" donc, pour tout \"t\in[x;0],\" on a \"F(x)\leqslant F(t),\" on multiplie par \"t\leqslant 0,\" et \"tF(t)\leqslant tF(x) .\"<\/p>\r\n

On int\u00e8gre sur \"[x;0]\" selon \"t\" avec \"x<0,\" ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_x^0 tF(t)\text{d}t \leqslant \underset{\text{\tiny{ind\'ependant de $t$}}}{\underbrace{F(x)}}\int_x^0 t\text{d}t = -\frac{x^2F(x)}{2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On multiplie par \"-\frac{2}{x^2}<0,\" le signe – est utilis\u00e9 pour inverser les bornes de l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_x^0 tF(t)\text{d}t\" et on a bien \"0\leqslant F(x)\leqslant G(x)\".<\/p>\r\n

Bilan : \"\forall x\in\mathbb{R}^{+*},\; 0\leqslant G(x)\leqslant F(x)\" et \"\forall x\in\mathbb{R}^{-*},\; 0\leqslant F(x)\leqslant G(x).\"<\/p>\r\n

10\/<\/strong> On sait que \"t\mapsto t\" et \"F\" sont continues sur \"\mathbb{R}\" donc par produit \"t\mapsto tF(t)\" est continue sur \"\mathbb{R}\" donc elle admet une primitive que l’on note \"H\" qui est donc \"C^1\" sur \"\mathbb{R}\". Ainsi pour tout \"x\in\R^*,\" on a \"G(x)= \displaystyle \frac{2}{x^2}\int_0^x tF(t)\text{d}t = \frac{2}{x^2}\left(H(x)-H(0)\right).\"<\/p>\r\n

Les fonctions \"t\mapsto\frac{2}{t^2}\" et \"H\" sont \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^*\" donc \"G\" l’est aussi et

  <\/span>   <\/span>\"\[G'(x)=\frac{-4}{x^3}\left(H(x)-H(0)\right)+\frac{2}{x^2}H'(x)= \frac{-2}{x}G(x)+\frac{2}{x^2}xF(x) = \frac{2}{x}\left(-G(x)+F(x)\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : \"G\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^{+*}\" et sur \"\mathbb{R}^{-*}\" et, pour tout \"x\" de \"\mathbb{R}^*, G'(x)= \frac{2}{x}\left(-G(x)+F(x)\right).\"<\/p>\r\n

11\/<\/strong> On consid\u00e8re la fonction \"g\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\" par : \"\forall x\in\R, g(x)=\left\{\begin{array}{cl} G'(x) & \text{ si } x\ne 0,\\\displaystyle0 & \text{ si } x = 0.\end{array}\right.\"<\/p>\r\n[\"\bullet\"] \"g\" est bien d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}\", elle est aussi continue sur \"\mathbb{R}^*\" car \"G\" est \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^*\" donc \"G'\" est continue sur \"\mathbb{R}^*\".
[\"\bullet\"] Montrons que \"g\" est positive sur \"\mathbb{R}.\"<\/p>\r\n

Soit \"x>0,\" on a vu que \"0\leqslant G(x)\leqslant F(x)\" donc
\"0\leqslant F(x)- G(x),\" on multiplie par \"\frac{2}{x}>0\" et \"0\leqslant\frac{2}{x}( F(x)- G(x))=g(x).\"<\/p>\r\n

Soit \"x<0,\" on a vu que \"0\leqslant F(x)\leqslant G(x)\" donc
\"0\geqslant F(x)- G(x),\" on multiplie par \"\frac{2}{x}<0\" et \"0\leqslant\frac{2}{x}( F(x)- G(x))=g(x).\"<\/p>\r\n

Enfin \"g(0)=0\" donc \"g\" est bien positive sur \"\mathbb{R}.\"
[\"\bullet\"] Il reste \u00e0 \u00e9tablir que \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \text{d}t\" converge et vaut 1.<\/p>\r\n

Prenons \"0<a<A\", la fonction \"g\" est continue sur le segment \"[a,A]\" et \"\displaystyle \int_{a}^{A} g(t) \text{d}t = \int_{a}^{A} G'(t) \text{d}t = G(A)-G(a).\" Or la fonction \"G=2\Phi(F)\" (avec \"F\" continue sur \"\mathbb{R}\") est continue sur \"\mathbb{R}\" donc en particulier en 0 donc
\"\displaystyle \int_{0}^{A} g(t) \text{d}t\" converge et vaut \"G(A)-G(0)\".<\/p>\r\n

Comme \"F\" est une fonction de r\u00e9partition, on sait que \"\lim\limits_{+\infty}F = 1\", ainsi d’apr\u00e8s ce qui pr\u00e9c\u00e8de,

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim\limits_{+\infty}G = \lim\limits_{+\infty}(2\Phi(F))= 2 \lim\limits_{+\infty}(\Phi(F))=2\frac{\lim\limits_{+\infty}F}{2}=1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

donc \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty} g(t) \text{d}t\" converge et vaut \"1-G(0)\".<\/p>\r\n

Prenons \"B<b<0\", la fonction \"g\" est continue sur le segment \"[B,b]\" et \"\displaystyle \int_{B}^{b} g(t) \text{d}t = \int_{B}^{b} G'(t) \text{d}t = G(b)-G(B).\" Or selon la question, la fonction \"G=2\Phi(F)\" (avec \"F\" continue sur \"\mathbb{R}\") est continue sur \"\mathbb{R}\" donc en particulier en 0 donc
\"\displaystyle \int_{B}^{0} g(t) \text{d}t\" converge et vaut \"G(0)-G(B)\".<\/p>\r\n

Comme \"F\" est une fonction de r\u00e9partition, on sait que \"\lim\limits_{-\infty}F = 0\", ainsi d’apr\u00e8s ce qui pr\u00e9c\u00e8de

  <\/span>   <\/span>\"\[\lim\limits_{-\infty}G = \lim\limits_{-\infty}(2\Phi(F))= 2 \lim\limits_{-\infty}(\Phi(F))=2\frac{\lim\limits_{-\infty}F}{2}=0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

donc \"\displaystyle \int_{-\infty}^{0} g(t) \text{d}t\" converge et vaut \"0-G(0)\".<\/p>\r\n

Par la relation de Chasles des int\u00e9grales convergentes, \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \text{d}t\" converge et vaut

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle \int_{-\infty}^{0} g(t) \text{d}t+\displaystyle \int_{0}^{+\infty} g(t) \text{d}t = 1-G(0)-(0-G(0))=1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"g\" est bien une densit\u00e9 de probabiit\u00e9.<\/p>\r\n

Dans le raisonnement qui pr\u00e9c\u00e8de il est vu que \"G\" est \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^*,\" que \"G\" est continue sur \"\mathbb{R}\". De plus \"G'\" est positive sur \"\mathbb{R}^-\" donc \"G\" est croissante sur \"\mathbb{R}^-\", de m\u00eame \"G\" est croissante sur \"\mathbb{R}^+\" donc, par continuit\u00e9 en 0, \"G\" est croissante sur \"\mathbb{R}.\" Il a \u00e9t\u00e9 vu aussi que \"\lim\limits_{-\infty}G = 0\" et \"\lim\limits_{+\infty}G =1\".<\/p>\r\n

Donc \"G\" peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme une fonction de r\u00e9partition d’une variable al\u00e9atoire \"V\".<\/p>\r\n

On remarque que \"G'\" et \"g\" coincide sur \"\mathbb{R}^*\" donc \"g\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9 de \"V.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"g\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9 d’une variable al\u00e9atoire \"V\" et \"G\" est la fonction de r\u00e9partition de \"V.\"<\/p>\r\n

12\/ a\/<\/strong> On d\u00e9finit la fonction \"h_1\" sur \"\mathbb{R}\" par : \"\forall x\in\mathbb{R}, h_1(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text{ si } x\leqslant 0,\\\displaystyle2\; x\; \text{e}^{-x^2}& \text{ si } x > 0.\end{array}\right.\"<\/p>\r\n[\"\bullet\"] \"h_1\" est bien d\u00e9finie et positive sur \"\mathbb{R}\".
[\"\bullet\"] Elle est aussi continue sur \"\mathbb{R}^{-*}\" car elle y est constante.
Sur \"\mathbb{R}^{*+}, h_1\" est le produit d’un polyn\u00f4me et d’un exponentielle de polyn\u00f4me donc \"h_1\" est continue sur \"\mathbb{R}^{*+}.\" Donc \"h_1\" est continue sur \"\mathbb{R}^*.\"
[\"\bullet\"] Il reste \u00e0 \u00e9tablir que \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} h_1(t) \text{d}t\" converge et vaut 1. Remarquons que \"h_1\" est nulle sur \"\mathbb{R}^{-},\" donc il suffit de montrer que \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty} h_1(t) \text{d}t\" converge et vaut 1. On remarque imm\u00e9diatement que \"\lim\limits_{0^+}h_1 = 0=h_1(0)\" donc \"h_1\" est continue \u00e0 droite de 0. Comme \"h_1\" est continue sur \"\mathbb{R}^{+},\" on peut l’int\u00e9grer sur tout segment de \"\mathbb{R}^{+}.\" Soit \"A>0,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_{0}^{A} h_1(t) \text{d}t = \int_{0}^{A} 2t \text{e}^{-t^2} \text{d}t =\left[-\text{e}^{-t^2} \right]_0^A = -\text{e}^{-A^2}+\text{e}^{-0^2}\underset{A\to +\infty}{\longrightarrow} 1.\]\"<\/p>
Donc \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} h_1(t) \text{d}t\" converge et vaut 1.<\/p>\r\n

Bilan : \"h_1\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9.<\/p>\r\n

12\/ b\/<\/strong>\u00a0Soit \"X_1\" une variable al\u00e9atoire admettant \"h_1\" pour densit\u00e9.<\/p>\r\n

\"X_1\" est \u00e0 densit\u00e9 donc \"X_1\" admet une esp\u00e9rance si et seulement si \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} th_1(t) \text{d}t\" converge absolument. Comme \"h_1\" est nulle sur \"\mathbb{R}^{-},\" cela revient \u00e0 montrer que \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty} th_1(t) \text{d}t\" converge absolument. Cela \u00e9quivaut encore \u00e0 \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty} 2t^2 \text{e}^{-t^2}\text{d}t\" converge absolument. La fonction sous cette int\u00e9grale est positive donc convergence absolue \u00e9quivaut \u00e0 convergence.<\/p>\r\n

On pense \u00e0 exploiter le moment d’ordre 2 d’une loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite d’une variable \"X\" qui vaut \"E(X^2)=V(X)+E(X)^2=1\" autrement dit

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} u^2\text{e}^{-u^2/2}\text{d}u=1.\]\"<\/p>
La fonction \"u\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}} u^2\text{e}^{-u^2/2}\" est paire sur \"\mathbb{R}\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} u^2\text{e}^{-u^2/2}\text{d}u=2\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} u^2\text{e}^{-u^2/2}\text{d}u=1.\]\"<\/p>
Cela sugg\u00e8re le changement de variable affine \"t=\frac{u}{\sqrt{2}}\", il est \"C^1\", strictement croissant sur \"\mathbb{R}^+\" donc il ne change ni la nature, ni la valeur de \"\displaystyle 2\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} u^2\text{e}^{-u^2/2}\text{d}u .\"<\/p>\r\n

Les bornes sont inchang\u00e9es et \"\text{d}u= \sqrt{2}\text{d}t\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[1=2\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} u^2\text{e}^{-u^2/2}\text{d}u=2\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\sqrt{2}t\right)^2\text{e}^{-t^2}\sqrt{2}\text{d}t=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty} t^2\text{e}^{-t^2}\text{d}t.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_{0}^{+\infty} 2t^2\text{e}^{-t^2}\text{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : \"X_1\" admet une esp\u00e9rance et \"\text{\bf E}(X_1)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\"<\/p>\r\n

12\/ c\/<\/strong> On note \"H_1\" la fonction de r\u00e9partition de \"X_1\" et on pose \"H_2=2\Phi(H_1).\"<\/p>\r\n

D’apr\u00e8s ce qui pr\u00e9c\u00e8de, \"H_1\" est nulle sur \"\mathbb{R}^-\" comme \"h_1.\" Soit \"x>0,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[H_1(x) = \int_{-\infty}^{x} h_1(t)\text{d}t = \int_{0}^{x} 2t\text{e}^{-t^2}\text{d}t =\left[-\text{e}^{-t^2}\right]_0^x = 1-\text{e}^{-x^2}.\]\"<\/p>
Ensuite \"H_2=2\Phi(H_1)\" donc
\"\forall x\in\R, H_2(x)=\left\{\begin{array}{cl} \displaystyle \frac{2}{x^2}\int_0^x tH_1(t)\text{d}t & \text{ si } x\ne 0,\\\displaystyleF(0) & \text{ si } x = 0.\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

Donc pour \"x<0,\" on a \"[x;0]\subset\mathbb{R}^-\" donc \"\displaystyle \frac{2}{x^2}\int_0^x tH_1(t)\text{d}t=0\" donc \"H_2(x)=0.\"<\/p>\r\n

Puis \"H_2(0)=H_1(0)=0.\"<\/p>\r\n

Enfin pour \"x>0,\" on a \"[0;x]\subset\mathbb{R}^+\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[H_2(x)= \displaystyle \frac{2}{x^2}\int_0^x tH_1(t)\text{d}t =\frac{2}{x^2}\int_0^x \left(t-t\text{e}^{-t^2}\right)\text{d}t =\frac{2}{x^2}\left[\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2}\text{e}^{-t^2}\right]_0^x = \frac{2}{x^2}\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\text{e}^{-x^2}-\frac12\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : \"\forall x\in\R, H_2(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text{ si } x\leqslant 0,\\\displaystyle\displaystyle 1-\frac{1-\text{e}^{-x^2}}{x^2}& \text{ si } x > 0.\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

D’apr\u00e8s la question 11\/<\/strong>, \"H_2\" est la fonction de r\u00e9partition d’une variable al\u00e9atoire \u00e0 densit\u00e9 que l’on note \"X_2.\"\u00a0<\/p>\r\n

Pour d\u00e9terminer une densit\u00e9 \"h_2\" de \"X_2,\" il suffit de d\u00e9river \"H_2\" l\u00e0 o\u00f9 elle est \"C^1\" et d’imposer des valeurs l\u00e0 o\u00f9 elle n’est a priori pas \"C^1\".<\/p>\r\n

Ici \"H_2\" est \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^*,\" on propose

  <\/span>   <\/span>\"\[h_2(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text{ si } x\leqslant 0,\\\displaystyle\displaystyle \frac{-2x^3\text{e}^{-x^2}-2x(\text{e}^{-x^2}-1)}{x^4} = \frac{-2x^2\text{e}^{-x^2}-2\text{e}^{-x^2}+2}{x^3}& \text{ si } x > 0.\end{array}\right.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Montrer que \"X_2\" admet une esp\u00e9rance revient \u00e0 montrer que \"\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} th_2(t) \text{d}t\" converge absolument. Comme
\"h_2\" est nulle sur \"\mathbb{R}^{-},\" cela revient \u00e0 montrer que \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty} th_2(t) \text{d}t\" converge absolument. La fonction sous cette int\u00e9grale est positive donc convergence absolue \u00e9quivaut \u00e0 convergence.<\/p>\r\n

On remarque que, pour \"t>0,\" on a \"th_2(t) = \frac{-2t^2\text{e}^{-t^2}+2\left(1-\text{e}^{-t^2}\right)}{t^2} = -2\text{e}^{-t^2}+\frac{2\left(1-\text{e}^{-t^2}\right)}{t^2}\".<\/p>\r\n

Avec le changement de variable \"u=\sqrt{2}t,\" on montre comme ci-dessus que \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-t^2}\text{d}t\" converge en faisant appara\u00eetre une densit\u00e9 de loi normale centr\u00e9e r\u00e9duite. Il reste \u00e0 montrer que
\"\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1-\text{e}^{-t^2}}{t^2}\text{d}t\" converge.<\/p>\r\n

La fonction \"t\mapsto \frac{1-\text{e}^{-t^2}}{t^2}\" est continue, positive sur \"]0,+\infty[\", avec \"e^u-1\underset{0}{\sim} u\" on a \"\frac{1-\text{e}^{-t^2}}{t^2}\underset{0}{\sim}-1\" car \"-t^2\underset{0}{\to}0.\"<\/p>\r\n

Donc \"\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1-\text{e}^{-t^2}}{t^2}\text{d}t\" est faussement impropre en 0.<\/p>\r\n

On a aussi \"1-\text{e}^{-t^2}\underset{+\infty}{\to}1\" donc comme \"1\ne 0\" on a \"1-\text{e}^{-t^2}\underset{+\infty}{\sim}1\" donc \"\frac{1-\text{e}^{-t^2}}{t^2}\underset{+\infty}{\sim}\frac{1}{t^2}\".<\/p>\r\n

Or l’int\u00e9grale de Riemann \"\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{t^2}\text{d}t\" converge donc, par comparaison d’int\u00e9grale de fonctions psoitives, l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\frac{1-\text{e}^{-t^2}}{t^2}\text{d}t\" converge.<\/p>\r\n

Par somme \"\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1-\text{e}^{-t^2}}{t^2}\text{d}t\" converge et \"X_2\" a une esp\u00e9rance.<\/p>\r\n

Partie D. \u00c9tude d’un espace vectoriel et d’un produit scalaire<\/h2>\r\n

13\/ a\/<\/strong> Pour tout \"(x,y)\in \mathbb{R}^2,\" on a \"0\leqslant(x+y)^2\" donc \"0\leqslant x^2+2xy+y^2\" donc \"-xy\leqslant \frac12\big(x^2+y^2\big).\"<\/p>\r\n

De m\u00eame \"(x-y)^2\geqslant 0\" donc \"0\leqslant x^2-2xy+y^2\" donc \"xy\leqslant \frac12\big(x^2+y^2\big).\"<\/p>\r\n

Donc \"\:\" \"\frac12\big(x^2+y^2\big)\" domine \"xy\" et \"-xy\" donc il domine \"\vert xy\vert.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2, \; \vert xy\vert \leqslant \frac12\big(x^2+y^2\big).\"<\/p>\r\n

13\/ b\/<\/strong> Soit \"f\" et \"g\" dans \"E_2,\" on a, pour tout \"x\geqslant 0, \vert f(x)g(x)\vert \leqslant \frac12\big(f(x)^2+g(x)^2\big).\"<\/p>\r\n

Or \"\displaystyle \int_0^{+\infty} \big(f(x)\big)^2\text{d}x\" et \"\displaystyle \int_0^{+\infty} \big(g(x)\big)^2\text{d}x\" convergent donc par domination de fonctions positives et continues\u00a0
\"\displaystyle \int_0^{+\infty} \vert f(x)g(x)\vert\text{d}x\" converge donc \"\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x)g(x)\text{d}x\" est absolument convergente.<\/p>\r\n

Bilan : Pour toutes fonctions \"f\" et \"g\" de \"E_2,\" l’int\u00e9grale \"\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x)g(x)\text{d}x\" est absolument convergente.<\/p>\r\n

14\/<\/strong><\/p>\r\n[\"\bullet\"] Par d\u00e9finition, \"E_2\" est inclus dans \"E.\"
[\"\bullet\"] La fonction nulle de \"E\" est bien de carr\u00e9 int\u00e9grable sur \"\mathbb{R}^+\" donc elle est dans \"E_2\" qui n’est donc pas vide.
[\"\bullet\"] Soit \"f\" et \"g\" dans \"E_2\" et \"\alpha \in\mathbb{R},\" on a, pour tout \"x\geqslant 0, \left(\alpha f(x)+g(x)\right)^2 =\alpha^2f(x)^2+2\alpha f(x)g(x)+g(x)^2\". Or
\"\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x)g(x)\text{d}x\" est absolument convergente donc convergente, et
\"\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x)^2\text{d}x\", \"\displaystyle \int_0^{+\infty} g(x)^2\text{d}x\" convergent donc par somme d’int\u00e9grales convergentes \"\displaystyle \int_0^{+\infty} \left(\alpha f(x)+g(x)\right)^2 \text{d}x\" convergent. Donc \"\alpha f+g\in E_2.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"E_2\" est un sous-espace vectoriel de \"E.\"<\/p>\r\n

15\/<\/strong><\/p>\r\n[\"\bullet\"] L’application \"\langle \cdot , \cdot \rangle\" est bien d\u00e9finie de \"E_2\times E_2\" dans \"\mathbb{R}\" d’apr\u00e8s la question 13.
[\"\bullet\"] L’application \"\langle \cdot , \cdot \rangle\" est sym\u00e9trique par commutativit\u00e9 du produit des r\u00e9els en effet, pour tout \"(f,g)\in E_2\times E_2\" et \"x\in\R^+\", on a \"f(x)g(x)=g(x)f(x).\"
[\"\bullet\"] Soit \"f,g\" et \"h\" dans \"E_2\" et \"\alpha \in\mathbb{R},\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\langle \alpha f + g,h \rangle = \int_0^{+\infty} \left(\alpha f(x)+g(x)\right)h(x)\text{d}x = \alpha \int_0^{+\infty} f(x)h(x)\text{d}x+\int_0^{+\infty} g(x)h(x)\text{d}x = \alpha \langle f ,h \rangle+ \langle g,h \rangle\]\"<\/p>
par lin\u00e9arit\u00e9 des int\u00e9grales convergentes. Donc \"\langle \cdot , \cdot \rangle\" est lin\u00e9aire \u00e0 gauche et par sym\u00e9trie, elle l’est \u00e0 droite.
[\"\bullet\"] On a

  <\/span>   <\/span>\"\[\langle f,f \rangle = \int_0^{+\infty} \left(f(x)\right)^2\text{d}x\geqslant 0\]\"<\/p>
car on int\u00e8gre une fonction positive avec des bornes d’int\u00e9gration dans l’ordre croissant.
[\"\bullet\"] Enfin en notant \"\theta\" la fonction nulle sur \"\mathbb{R}^+\" on a bien s\u00fbr \"\langle \theta,\theta \rangle=0.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement si \"\langle f,f \rangle =0\" alors \"\displaystyle \int_0^{+\infty} \left(f(x)\right)^2\text{d}x= 0\".<\/p>\r\n

La fonction \"t\mapsto \left(f(x)\right)^2\" est continue sur \"\mathbb{R}^+\" donc elle y admet une primitive qu’on note \"T,\" on a alors

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle \int_0^{+\infty} \left(f(x)\right)^2\text{d}x=\lim\limits_{+\infty} (T)-T(0)= 0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or \"T'=f^2\" est positive sur \"\mathbb{R}^+\" donc \"T\" est croissante sur \"\mathbb{R}^+\" donc, pour tout \"x\in\mathbb{R}^+,\" on a
\"T(0)\leqslant T(x)\leqslant \lim\limits_{+\infty} (T)=T(0)\" donc \"T\" est constante sur \"\mathbb{R}^+\" donc sa d\u00e9riv\u00e9e est nulle donc \"f\" est nulle sur \"\mathbb{R}^+.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"\langle\cdot , \cdot \rangle\" est un produit scalaire de \"E_2.\"<\/p>\r\n

16\/ a\/<\/strong> Il a \u00e9t\u00e9 vu que \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\frac{h(x)}{x^2}=\frac{f(0)}{2}.\" La fonction carr\u00e9e est continue sur \"\mathbb{R}\", donc par composition \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x>0}}\frac{\big(h(x)\big)^2}{x^4}=\frac{\left(f(0)\right)^2}{4}.\"<\/p>\r\n

Il a \u00e9t\u00e9 vu que \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\frac{h(x)}{x^2}=\frac{f(0)}{2}.\" La fonction carr\u00e9e est continue sur \"\mathbb{R}\", donc par composition \"\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\frac{\big(h(x)\big)^2}{x^4}=\frac{\left(f(0)\right)^2}{4}.\"<\/p>\r\n

16\/ b\/<\/strong> On fait une int\u00e9gration par parties, on pose

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\{\begin{array}{l} u'(x)= \frac{1}{x^4}=x^{-4} \\ v(x) =\left({h(x)}\right)^2 \end{array} \right. \left\{\begin{array}{l} u(x)=\frac{-1}{3}x^{-3}= \frac{-1}{3x^{3}} \\ v'(x) = 2h'(x)h(x) = 2xf(x)h(x)\end{array} \right.\]\"<\/p>\u00a0<\/p>\r\n

Les fonctions \"u\" et \"v\" sont \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^{+*},\" on fixe \"a>0\" et
on a<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall X>0,\int_a^{X}\frac{\big(h(x)\big)^2}{x^4}\text{d}x= \left[ \frac{-1}{3}x^{-3}\left({h(x)}\right)^2\right]_a^X - \int_a^{X}\frac{-1}{3x^{3}} 2xf(x)h(x)\text{d}x\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[=\frac{-1}{3X^{3}}\left({h(X)}\right)^2-\frac{-1}{3a^{3}}\left({h(a)}\right)^2+\frac23\int_a^{X}f(x)\frac{h(x)}{x^2}\text{d}x$<\/p><\/p>\r\n

Il reste \u00e0 \u00e9tudier la convergence lorsque \"a\to 0^+.\" On a \"\frac{1}{3a^{3}}\left({h(a)}\right)^2 = a\times \frac{1}{3a^{4}}\left({h(a)}\right)^2\underset{a \to 0^+}{\longrightarrow }0\times \frac{\left(f(0)\right)^2}{12}=0.\"<\/p>\r\n

La question 6. assure que \"\Phi(f)\" est continue en 0 donc \"f\times \Phi(f)\" l’est aussi et \"\displaystyle \int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\" converge ou existe.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall X>0, \int_0^{X}\frac{\big(h(x)\big)^2}{x^4}\text{d}x=-\frac{1}{3}\frac{\big(h(X)\big)^2}{X^3}+\frac23\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\]\"<\/p><\/p>\r\n

16\/ c\/<\/strong> Soit \"X>0.\" La fonction polynomiale \"\lambda \mapsto \displaystyle \int_0^{X}\big(\lambda f(x)+\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\" est positive sur \"\mathbb{R}\" car une int\u00e9grale d’une fonction positive avec des bornes dans l’ordre croissant est positive. Elle peut s’\u00e9crire

  <\/span>   <\/span>\"\[\lambda \mapsto \displaystyle \lambda^2\int_0^{X}f^2(x)\text{d}x+2\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x \times \lambda +\int_0^{X}\Phi(f)(x)^2\text{d}x.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Si \"\displaystyle \int_0^{X}f^2(x)\text{d}x=0\" alors on a d\u00e9j\u00e0 vu que \"f\" est nulle sur \"[0,X]\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x=0= \left(\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2} \left(\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Si \"\displaystyle \int_0^{X}f^2(x)\text{d}x\ne 0\", alors la fonction polynomiale \"\lambda \mapsto \displaystyle \int_0^{X}\big(\lambda f(x)+\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\" est de degr\u00e9 2 et elle est de signe constant sur \"\mathbb{R}\" donc elle ne peut pas avoir deux racines r\u00e9elles distinctes sinon il y a changement de signe. Donc le discriminant est n\u00e9gatif ou nul donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\Delta = \left(2\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\right)^2-4\left(\int_0^{X}f^2(x)\text{d}x\right)\left(\int_0^{X}\Phi(f)(x)^2(x)\text{d}x\right)\leqslant0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc en divisant par 4>0,

  <\/span>   <\/span>\"\[\left(\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\right)^2\leqslant \left(\int_0^{X}f^2(x)\text{d}x\right)\left(\int_0^{X}\Phi(f)(x)^2(x)\text{d}x\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

On compose par racine carr\u00e9e qui est croissante sur \"\mathbb{R}^+,\" les deux int\u00e9grales \"\displaystyle \int_0^{X}f^2(x)\text{d}x\text{ et }\int_0^{X}\Phi(f)(x)^2(x)\text{d}x\" sont positives.

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\vert\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\right\vert \leqslant \left(\int_0^{X}f^2(x)\text{d}x\right)^{1/2}\left(\int_0^{X}\Phi(f)(x)^2(x)\text{d}x\right)^{1/2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\leqslant \left(\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2} \left(\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

16\/ d\/<\/strong> Soit \"X>0,\" on multiplie ce qui pr\u00e9c\u00e8de par \"\frac23,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac23\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\leqslant \frac23\left(\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2} \left(\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On reprend la question 16\/b\/<\/strong>, qui donne

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^{X}\frac{\big(h(x)\big)^2}{x^4}\text{d}x= \int_0^{X}{\big(\Phi(f)(x)\big)^2}\text{d}x=\underset{ \leqslant 0}{\underbrace{-\frac{1}{3}\frac{\big(h(X)\big)^2}{X^3}}}+\frac23\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\leqslant \frac23\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\leqslant \frac23\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\leqslant\frac23\left(\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2} \left(\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Si \"\displaystyle\left(\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}=0\" alors comme \"\displaystyle\frac23\left(\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}\" est positive, on pourra conclure.<\/p>\r\n

Si \"\displaystyle\left(\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}>0,\" alors on pourra diviser ce qui pr\u00e9c\u00e8de par cette quantit\u00e9 et on pourra conclure aussi.<\/p>\r\n

Bilan : \"\displaystyle\left(\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}\leqslant \frac23\left(\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}.\"<\/p>\r\n

16\/ e\/<\/strong> On compose ce qui pr\u00e9c\u00e8de par la fonction \"u\mapsto u^2\" croissante sur \"\mathbb{R}^+\" et on a
\"\displaystyle0\leqslant \int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\leqslant \frac49\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\text{d}x.\"<\/p>\r\n

Or \"f\in E_2\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle \int_0^{+\infty}\big(f(x)\big)^2\text{d}x = \int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\text{d}x+\int_X^{+\infty}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\]\"<\/p>
et \"f^2\" est positive donc avec \"X<+\infty\" on a \"\displaystyle 0\leqslant \int_X^{+\infty}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leqslant \int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\leqslant \frac49\int_0^{X}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\leqslant \frac49\int_0^{+\infty}\big(f(x)\big)^2\text{d}x.\]\"<\/p><\/p>\r\n

La fonction \"t\mapsto \big(\Phi(f)(x)\big)^2\" est continue sur \"\mathbb{R}^+\" donc la fonction
\"\displaystyle X\mapsto \int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\" est de classe \"C^1\" sur \"\mathbb{R}^+\" avec une d\u00e9riv\u00e9e \"t\mapsto \big(\Phi(f)(x)\big)^2\" positive donc \"X\mapsto \displaystyle\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\" est croissante sur \"\mathbb{R}^+\". On a montr\u00e9 qu’elle est major\u00e9e sur \"\mathbb{R}^+\" par \"\displaystyle \frac49\int_0^{+\infty}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\" (ind\u00e9pendant de \"X\") donc \"X\mapsto \displaystyle\int_0^{X}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\" a une limite finie en \"+\infty.\" Donc \"\displaystyle \int_0^{+\infty}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\" converge.<\/p>\r\n

En faisant tendre \"X\" vers \"+\infty\" dans la relation du 16\/d\/<\/strong>, on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle\left(\int_0^{+\infty}\big(\Phi(f)(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}\leqslant \frac23\left(\int_0^{+\infty}\big(f(x)\big)^2\text{d}x\right)^{1/2}\text{ donc } \sqrt{\langle \Phi(f),\Phi(f)\rangle}\leqslant\frac23 \sqrt{\langle f,f\rangle}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : La fonction \"\Phi(f)\" appartient \u00e0 \"E_2\" et \"\Vert \Phi(f)\Vert \displaystyle\leqslant \frac23\Vert f\Vert.\"<\/p>\r\n

16\/ f\/<\/strong> Soit \"X>0,\" en utilisant la relation de la question 16.b, on a

  <\/span>   <\/span>\"\[X\left(\Phi(f)(X)\right)^2= X\left(\frac{h(X)}{X^2}\right)^2 = \frac{h(X)^2}{X^3} = -3\int_0^{X}\frac{\left(h(x)\right)^2}{x^4}\text{d}x+2\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\]\"<\/p>
or les deux int\u00e9grales \"\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\left(h(x)\right)^2}{x^4}\text{d}x,\; \int_0^{+\infty}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x\" convergent donc \"X\mapsto X\big(\Phi(f)(X)\Big)^2\" a une limite finie en \"+\infty.\"<\/p>\r\n

Notons \"\alpha\" cette limite, elle est positive car \"X\mapsto X\Big(\Phi(f)(X)\Big)^2\" positive sur \"\mathbb{R}^{+*}.\" Si \"\alpha\" est non nulle alors

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{X\Big(\Phi(f)(X)\Big)^2}{\alpha}\underset{X\to+\infty}{\longrightarrow} 1\]\"<\/p>
donc \"X\Big(\Phi(f)(X)\Big)^2\underset{+\infty}{\sim} \alpha\" donc \"\Big(\Phi(f)(X)\Big)^2\underset{+\infty}{\sim} \frac{\alpha}{X}\" donc par comparaison des int\u00e9grales de fonctions positives
\"\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\alpha}{x}\text{d}x\" et \"\displaystyle \int_1^{+\infty}\Big(\Phi(f)(x)\Big)^2\text{d}x\" sont de m\u00eame nature.<\/p>\r\n

Or \"\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\alpha}{x}\text{d}x\" diverge, cela contredit le fait que \"\Phi(f)\in E_2.\" Donc \"\alpha\" est nulle.<\/p>\r\n

Bilan : La limite de \"X\mapsto X\big(\Phi(f)(X)\big)^2\" en \"+\infty\" est 0.<\/p>\r\n

16\/ g\/<\/strong> Avec la question 16.b,

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall X>0, \int_0^{X}\frac{\big(h(x)\big)^2}{x^4}\text{d}x= \int_0^{X}\Big(\Phi(f)(x)\Big)^2\text{d}x=-\frac{1}{3}\frac{\big(h(X)\big)^2}{X^3}+\frac23\int_0^{X}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc en faisant tendre \"X\" vers \"+\infty,\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_0^{+\infty}\Big(\Phi(f)(x)\Big)^2\text{d}x=\frac23\int_0^{+\infty}f(x)\Phi(f)(x)\text{d}x.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : \"\Vert \Phi(f)\Vert^2 = \displaystyle \frac23\langle \Phi(f),f\rangle.\"<\/p>\r\n

Partie E. Etude d’une suite<\/h2>\r\n

17\/<\/strong> function v=suite_v(n)
S=0
for k=1:n
S=S+k*suite_u(k)
end
v = 1\/(n*(n+1))*S
endfunction<\/p>\r\n

18\/ a\/<\/strong> La suite \"(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\" est positive, d\u00e9croissante donc elle converge.<\/p>\r\n

18\/ b\/<\/strong> D’apr\u00e8s les graphiques, \"(v_n)\" semble d\u00e9croissante, convergente avec une limite moiti\u00e9 moindre que celle de \"(u_n)\".<\/p>\r\n

18\/ c\/<\/strong> Pour tout \"n\" de \"\N^*\", on a, pour tout \"k\in[\![1,n]\!], u_n\leqslant u_k\" donc
\"ku_n\leqslant ku_k\" donc \"u_n\sum\limits_{k=1}^n k \leqslant\sum\limits_{k=1}^n ku_k\" donc \"u_n\frac{n(n+1)}{2}\leqslant\sum\limits_{k=1}^n ku_k\" donc
\"u_n\frac{n(n+1)}{2}\frac{1}{n(n+1)} = \frac{u_n}{2}\leqslant \frac{1}{n(n+1)}\sum\limits_{k=1}^nku_k =v_n.\"<\/p>\r\n

D’autre part

  <\/span>   <\/span>\"\[v_{2n} = \frac{1}{2n(2n+1)}\sum\limits_{k=1}^{2n}ku_k= \frac{1}{2n(2n+1)}\underset{= n(n+1)v_n}{\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}ku_k}} + \frac{1}{2n(2n+1)}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}ku_k.\]\"<\/p>
Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[v_{2n} = \frac{1}{2n(2n+1)}\times\Big(n(n+1)v_n\Big)+\frac{1}{2n(2n+1)}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}ku_k.\]\"<\/p>
Comme la suite \"(u_j)\" est d\u00e9croissante, pour tout \"k\in[\![n+1,2n]\!],\" \"u_{k}\leqslant u_{n+1}\" donc en multipliant par \"k>0\" puis en sommant on a
\"\sum\limits_{k=n+1}^{2n}ku_k\leqslant u_{n+1}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}k\"<\/p>\r\n

Or \"u_{n+1}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}k\"\u00a0<\/p>\r\n

= \"u_{n+1}\left(\sum\limits_{k=1}^{2n}k -\sum\limits_{k=1}^{n}k\right)\"<\/p>\r\n

\u00a0= \"u_{n+1}\left(\frac{2n(2n+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}\right)\"<\/p>\r\n

\u00a0= \" nu_{n+1}\left(\frac{3n+1}{2}\right)\"<\/p>\r\n

Cela permet de conclure

  <\/span>   <\/span>\"\[v_{2n}\leqslant \displaystyle \frac{n+1}{2(2n+1)}v_n+\frac{3n+1}{4(2n+1)}u_{n+1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

18\/ d\/<\/strong> Pour tout \"n\" de \"\mathbb{N}^*\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[(n+2)v_{n+1}= (n+2)\frac{1}{(n+1)(n+2)}\sum\limits_{k=1}^{n+1}ku_k = \frac{1}{n+1}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}ku_k+(n+1)u_{n+1}\right) =\frac{1}{n+1} \sum\limits_{k=1}^{n}ku_k+ u_{n+1}\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[=n\frac{1}{n(n+1)} \sum\limits_{k=1}^{n}ku_k+ u_{n+1}=nv_n+u_{n+1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’autre part

  <\/span>   <\/span>\"\[v_{n+1}-v_n= v_{n+1} -\frac{1}{(n+1)n}\sum\limits_{k=1}^{n}ku_k = v_{n+1} -\frac{1}{(n+1)n}\Big(\underset{=(n+1)(n+2)v_{n+1}}{\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n+1}ku_k}}-(n+1)u_{n+1}\Big)\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[= v_{n+1} -\frac{1}{(n+1)n}\Big((n+1)(n+2)v_{n+1}\Big)+\frac{1}{n}u_{n+1}=n\frac{1}{n}v_{n+1} -\frac{1}{n}(n+2)v_{n+1}+\frac{1}{n}u_{n+1} =\frac1n(u_{n+1}-2v_{n+1}).\]\"<\/p><\/p>\r\n

18\/ e\/<\/strong> Soit \"n\in\N^*,\" on a \"\frac{u_{n+1}}{2}\leqslant v_{n+1}\" donc \"u_{n+1}-2v_{n+1}\leqslant 0\" donc \"v_{n+1}-v_n\leqslant 0\" donc la suite \"(v_j)\" est d\u00e9croissante. Chaque \"v_n\" est une somme de r\u00e9els positifs donc la suite est minor\u00e9e par 0 donc elle converge.<\/p>\r\n

On pose \"\ell=\lim\limits_{+\infty}{u_j}\" et \"\ell'=\lim\limits_{+\infty}{v_j}\", la relation
\"\frac{u_{n}}{2}\leqslant v_{n}\" vraie pour tout \"n\in\N^*\" donne \"\frac{\ell}{2}\leqslant \ell'\"<\/p>\r\n

On utilise ensuite la relation \"v_{2n}\leqslant \displaystyle \frac{n+1}{2(2n+1)}v_n+\frac{3n+1}{4(2n+1)}u_{n+1}.\"<\/p>\r\n

On sait qu’un polyn\u00f4me est \u00e9quivalent \u00e0 son terme dominant en \"+\infty\" donc
\"\frac{n+1}{2(2n+1)}\sim\frac{1}{4}\" et \"\frac{3n+1}{4(2n+1)}\sim\frac{3}{8}\"<\/p>\r\n

Donc par passage \u00e0 la limite \"\ell'\leqslant \frac{1}{4}\ell'+\frac{3}{8}\ell\" donc
\"\frac{3}{4}\ell'\leqslant\frac{3}{8}\ell\" donc \"\ell'\leqslant \frac{1}{2}\ell\".<\/p>\r\n

Enfin \"\ell'= \frac{1}{2}\ell\".<\/p>\r\n

19\/ a\/\u00a0<\/strong>Pour tout \"N\in\N^*,\" on pose \"{\cal H}_N:\left( \sum\limits_{n= 1}^N v_n=\sum\limits_{k=1}^N u_k-Nv_N\right).\"<\/p>\r\n

Au rang 1, on a \"\sum\limits_{k=1}^1 u_k-1v_1= u_1-\frac{1}{2}u_1=\frac{1}{2}u_1=v_1.\" Donc \"{\cal H}_1\" est vraie.<\/p>\r\n

Supposons \"{\cal H}_N\" vraie \u00e0 un rang \"N\in\mathbb{N}^*,\"
on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{n= 1}^{N+1} v_n = v_{N+1} +\sum\limits_{n= 1}^N v_n =v_{N+1}+\sum\limits_{k=1}^N u_k-Nv_N\text{ selon } {\cal H}_N.\]\"<\/p>
On exploite la question 18\/d\/<\/strong>, pour obtenir
\"(N+2)v_{N+1}=Nv_N+u_{N+1}\" donc \"-Nv_N=-(N+2)v_{N+1}+u_{N+1}.\"<\/p>\r\n

Ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{n= 1}^{N+1} v_n =v_{N+1}+\sum\limits_{k=1}^N u_k-(N+2)v_{N+1}+u_{N+1}=\sum\limits_{k=1}^{N+1} u_k-(N+1)v_{N+1}.\]\"<\/p>
Donc \"{\cal H}_{N+1}\" est vraie.<\/p>\r\n

Bilan : Pour tout \"N\in\N^*,\" \"{\cal H}_{N}\" est vraie et \"\sum\limits_{n= 1}^N v_n=\sum\limits_{k=1}^N u_k-Nv_N.\"<\/p>\r\n

19\/ b\/<\/strong> La s\u00e9rie \"\sum\limits_{n\geqslant 1} v_n\" est \u00e0 terme g\u00e9n\u00e9ral positif donc ses sommes partielles forment une suite croissante. Celle-ci converge donc si et seulement elle est major\u00e9e.
Or, pour tout \"N\in\N^*,\" \"\sum\limits_{n= 1}^N v_n=\sum\limits_{k=1}^N u_k-Nv_N\leqslant \sum\limits_{k=1}^N u_k\" car \"-Nv_N\leqslant 0.\"<\/p>\r\n

Comme \"(u_k)\" est \u00e0 terme positif, on a \"\sum\limits_{k=1}^N u_k\leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} u_k+\sum\limits_{k=N}^{+\infty} u_k = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} u_k.\"<\/p>\r\n

Donc, pour tout \"N\in\N^*,\" \"\sum\limits_{n= 1}^N v_n\leqslant \sum\limits_{k=1}^{+\infty} u_k\", ce dernier terme est ind\u00e9pendant de \"N\" donc il domine les sommes partielles de la s\u00e9rie \"\sum v_k.\"<\/p>\r\n

Bilan : \"\sum\limits_{n\geqslant 1} v_n\" converge.<\/p>\r\n

19\/ c\/<\/strong> Pour tout \"N\in\mathbb{N}^*,\" \"Nv_N = -\sum\limits_{n= 1}^N v_n+\sum\limits_{k=1}^N u_k\".<\/p>\r\n

Or les s\u00e9ries \"\sum\limits_{n\geqslant 1} v_n\" et \"\sum\limits_{k\geqslant1} u_k\" convergent donc la suite \"\left(-\sum\limits_{n= 1}^N v_n+\sum\limits_{k=1}^N u_k\right)_{N\geqslant 1}\" converge.<\/p>\r\n

Donc \"Nv_N\" tend vers une limite finie \"\ell\" lorsque l’entier \"N\" tend vers \"+\infty\".<\/p>\r\n

La suite \"\left(Nv_N\right)_{N\geqslant 1}\" est \u00e0 terme positif donc \"\ell\geqslant 0.\"<\/p>\r\n

Si \"\ell >0,\" alors \"Nv_N\sim \ell\" donc \"v_N\sim \frac{\ell}{N}.\" Or la s\u00e9rie \"\sum\limits_{N\geqslant 1} \frac{\ell}{N}\" diverge comme combinaison lin\u00e9aire de s\u00e9rie harmonique avec \"\ell \ne 0\". Par comparaison des s\u00e9ries \u00e0 terme g\u00e9n\u00e9ral positif, \"\sum\limits_{N\geqslant 1} v_{N}\" diverge aussi, cela contredit ce qui pr\u00e9c\u00e8de. Donc \"\ell=0.\"<\/p>\r\n

19\/ d\/<\/strong> Au 19.a, il est vu que, pour tout \"N\in\N^*,\" \"\sum\limits_{n= 1}^N v_n=\sum\limits_{k=1}^N u_k-Nv_N.\" Comme \"Nv_N\underset{N\to +\infty}{\longrightarrow} 0,\" on peut conclure
\"\sum\limits_{n= 1}^{+\infty} v_n=\sum\limits_{n= 1}^{+\infty} u_n.\"<\/p>\r\n

20\/ a\/<\/strong> On reprend ce qui pr\u00e9c\u00e8de, avec pour tout \"k\in\mathbb{N}^*, u_k={\bf P}(Y=k)\in\mathbb{N}^*\" et
\"\sum\limits_{k=1}^{+\infty}{\bf P}(Y=k) =1.\" Donc les conditions sont r\u00e9unies pour affirmer qu’avec \"v_n=\frac{1}{n(n+1)}\sum\limits_{k=1}^nk{\bf P}(Y=k),\" on a, pour tout \"n\in\N^*, v_n\geqslant 0\" et \"\sum\limits_{n=1}^{+\infty}v_n =1\" c’est-\u00e0-dire
\"\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}\sum\limits_{k=1}^nk{\bf P}(Y=k)=1\"<\/p>\r\n

Bilan : Il existe une variable al\u00e9atoire \"Z,\" \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}^*,\" telle que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\in\N^*, {\bf P}(Z=n)=\frac{1}{n(n+1)}\sum\limits_{k=1}^nk{\bf P}(Y=k).\]\"<\/p><\/p>\r\n

20\/ b\/<\/strong> On suppose dans cette question que \"Y\" admet une esp\u00e9rance, not\u00e9e \"{\bf E}(Y).\" Cette esp\u00e9rance est strictement positive car \"Y\" est \u00e0 support dans \"\mathbb{N}^*.\"\u00a0<\/p>\r\n

Donc comme \"\sum\limits_{k=1}^nk{\bf P}(Y=k)\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} {\bf E}(Y)\", on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{\sum\limits_{k=1}^nk{\bf P}(Y=k)}{ {\bf E}(Y)}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 1\text{ donc } \sum\limits_{k=1}^nk{\bf P}(Y=k)\underset{n\to +\infty}{\sim} {\bf E}(Y).\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’autre part \"\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}\underset{n\to +\infty}{\sim} \frac{1}{n^2}\" donc par produit \"{\bf P}(Z=n)\underset{n\to+\infty}{\sim} \displaystyle \frac{{\bf E}(Y)}{n^2}.\"<\/p>\r\n

Cela entra\u00eene \"n{\bf P}(Z=n)\underset{n\to+\infty}{\sim} \displaystyle \frac{{\bf E}(Y)}{n}.\"<\/p>\r\n

La s\u00e9rie \"\sum\limits_{n\geqslant 1}\frac{1}{n}\" diverge donc la s\u00e9rie \"\sum\limits_{n\geqslant 1}\frac{{\bf E}(Y)}{n}\" diverge car \"{\bf E}(Y)\ne 0.\"
Donc par comparaison des s\u00e9ries \u00e0 terme g\u00e9n\u00e9ral positif, la s\u00e9rie \"\sum\limits_{n\geqslant 1}n{\bf P}(Z=n)\" diverge donc la variable al\u00e9atoire \"Z\" n’a pas d’esp\u00e9rance.<\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

 <\/p>\r\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Corrig\u00e9 du sujet EM Lyon Maths ECS 2019 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Partie A. \u00c9tude d’un endomorphisme de polyn\u00f4mes 1\/\u00a0Pour tout polyn\u00f4me de , est une somme de polyn\u00f4mes donc c’est un polyn\u00f4me, de plus donc donc en sommant on a : donc . 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