{"id":32538,"date":"2019-07-29T14:08:38","date_gmt":"2019-07-29T13:08:38","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=32538"},"modified":"2022-06-11T18:25:07","modified_gmt":"2022-06-11T17:25:07","slug":"annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2019"},"content":{"rendered":"
\r\n
\r\n
\r\n
\r\n
\r\n\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t<\/i>\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

\r\n
\r\n
\r\n

Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2019<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths Ecricome<\/a><\/p>\r\n

<\/p>\r\n

Exercice 1 : Int\u00e9grale de Wallis<\/h2>\r\n

1\/ <\/strong>La fonction cosinus est continue sur \"\mathbb{R}\" ainsi que la fonction polynomiale \"u\mapsto u^n\" donc par composition la fonction \"t\mapsto (\cos t)^n\" est continue sur \"\mathbb{R}\" donc on peut l’int\u00e9grer sur le segment \"\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\" et \"I_n\" est bien d\u00e9finie.<\/p>\r\n

On a \"I_0=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \text{d}t = \frac{\pi}{2}\".<\/p>\r\n

\"I_1=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t) \text{d}t = \left[\sin t\right]^{\frac{\pi}{2}}_0 = 1.\"<\/p>\r\n

Pour la suite on utilise la relation \"\cos (a+b) =\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\" vraie pour tout \"a,b\" dans \"\mathbb{R}.\" On a en particulier \"\cos(2a)=\cos(a)^2-\sin(a)^2=\cos(a)^2+\cos(a)^2 - 1 =2\cos(a)^2-1.\"
Donc \"\cos(a)^2 =\frac12\left(\cos(2a)+1\right).\"<\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent \"I_2=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^2 \text{d}t =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac12\left(\cos(2t)+1\right)\text{d}t = \frac12\left[\frac12\sin(2 t)+t\right]^{\frac{\pi}{2}}_0 =\frac{\pi}4.\"<\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> On calcule le signe de

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}I_{n+1}-I_n&=& \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos t)^{n+1} \text{d}t-\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos t)^{n} \text{d}t \\&=& \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left((\cos t)^{n+1}-(\cos t)^{n}\right)\text{d}t = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos t-1\right)(\cos t)^{n}\text{d}t.\end{array}\]\"<\/p>
Pour tout \"t\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right], 0\le \cos(t)\le 1\" donc \"\left(\cos t-1\right)(\cos t)^{n}\le 0.\" En int\u00e9grant selon \"t\" sur \"\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\" avec \"0\le \frac{\pi}{2},\" on obtient

  <\/span>   <\/span>\"\[I_{n+1}-I_n\le 0.\]\"<\/p>
Donc la suite \"(I_k)_{k\in\mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante. Comme, pour tout \"t\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right], 0\le \cos(t)\",
en int\u00e9grant selon \"t\" sur \"\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\" avec \"0\le \frac{\pi}{2},\" on obtient

  <\/span>   <\/span>\"\[0\le I_n.\]\"<\/p>
Donc la suite \"(I_k)_{k\in\mathbb{N}}\" est d\u00e9croissante et minor\u00e9e donc elle converge.<\/p>\r\n

2\/ b\/<\/strong> On remarque \"I_{n+2}=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^{n+2} \text{d}t =\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^{n+1}\cos(t) \text{d}t .\"<\/p>\r\n

On pose \"u'(t) = \cos(t)\" et \"u(t)=\sin(t)\" puis \"v(t) = (\cos t)^{n+1}, v'(t)= (n+1)(-\sin(t))(\cos t)^{n},\" les fonctions \"u,v\" sont \"C^1\" sur \"\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[I_{n+2} = \left[ \sin(t) (\cos t)^{n+1}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}}(n+1)(-\sin(t))(\cos t)^{n}\sin(t)\text{d}t = 0+(n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin(t))^2(\cos t)^{n}\text{d}t\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[=(n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos(t)^2)(\cos t)^{n}\text{d}t = (n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos t)^{n}\text{d}t - (n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos t)^{n+2}\text{d}t= (n+1)(I_n-I_{n+2}).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : Pour tout \"n\in\mathbb{N}, I_{n+2} = (n+1)(I_n-I_{n+2}).\"<\/p>\r\n

2\/ c\/<\/strong> Ce qui pr\u00e9c\u00e8de assure que \"I_{n+2} = (n+1)I_n-(n+1)I_{n+2}\" donc \"(n+2)I_{n+2} = (n+1)I_n\" donc
\"I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}I_n.\"<\/p>\r\n

On pose alors \"{\cal H}_n : \left(I_{2n}=\frac{(2n)!}{\left( 2^{n}n!\right) ^{2}}\frac{\pi }{2}\text{ et }I_{2n+1}=\frac{\left( 2^{n}n!\right) ^{2}}{(2n+1)!}\right).\"<\/p>\r\n

Avec \"I_0=\frac{\pi }{2}\" et \"I_1=1\", on voit que \"{\cal H}_0\" est vraie.<\/p>\r\n

Supposons \"{\cal H}_n\" vraie, on a alors \"I_{2(n+1)}\"<\/p>\r\n

\"=I_{2n+2}\"<\/p>\r\n

\"=\frac{2n+1}{2n+2}I_{2n}\"<\/p>\r\n

\"\underset{{\cal H}_n}{=}\frac{2n+1}{2n+2}\times \frac{(2n)!}{\left( 2^{n}n!\right) ^{2}}\times \frac{\pi }{2}\"<\/p>\r\n

\"= {\frac{2n+2}{2(n+1)}}\times\frac{2n+1}{2(n+1)}\times \frac{(2n)!}{\left( 2^{n}n!\right) ^{2}}\times\frac{\pi }{2}\"<\/p>\r\n

\"= \frac{(2(n+1))!}{\left( 2^{n+1}(n+1)!\right) ^{2}}\frac{\pi }{2}.\"<\/p>\r\n

Puis<\/p>\r\n

\"= I_{2(n+1)+1}\"<\/p>\r\n

\"= I_{2n+1 +2}\"<\/p>\r\n

\"=\frac{2n+2}{2n+3}I_{2n+1}\"<\/p>\r\n

\"\underset{{\cal H}_n}{=}\frac{2n+2}{2n+3}\times \frac{\left( 2^{n}n!\right) ^{2}}{(2n+1)!}\"<\/p>\r\n

\"= \frac{2n+2}{2n+3}\times {\frac{2n+2}{2(n+1)}}\times\frac{\left( 2^{n}n!\right) ^{2}}{(2n+1)!}\"<\/p>\r\n

\"= \frac{\left( 2^{n+1}(n+1)!\right) ^{2}}{(2(n+1)+1)!}.\"<\/p>\r\n

Donc \"{\cal H}_{n+1}\" est vraie.<\/p>\r\n

Conclusion : pour tout \"n \in \mathbb{N}, {\cal H}_{n}\" est vraie.<\/p>\r\n

2\/ d\/<\/strong> function y=I(n)
u=zeros(1,2*n+2)
\/\/u(0)= pi\/2 ce terme n’existe pas dans le tableau
u(1) = 1
u(2) = pi\/4
for k=1:n
u(2*k+1) = (2*k)*u(2*k-1)\/(2*k+1)
u(2*k+2) = (2*k+1)*u(2*k)\/(2*k+2)
end
y = u
endfunction<\/p>\r\n

3\/ a\/ <\/strong>D’apr\u00e8s le cours,\u00a0\"\cos(x)-1\underset{0}{\sim} -\frac{x^2}{2}\" et \"\ln(1+u)\underset{0}{\sim}u.\"<\/p>\r\n

3\/ b\/ <\/strong>Pour tout \"n\in\mathbb{N}^*,\" on a \"0<n^{-1/4} \leq 1\" donc \"0<\cos(n^{-1/4})<1\" et on peut composer par \"\ln\". Ainsi \"n\ln(\cos(n^{-1/4}))=n\ln\left(1+\cos\left(\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)-1\right)\" or
\"\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\underset{+\infty}{\to} 0\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\cos\left(\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)-1\underset{+\infty}{\sim}-\frac{1}{2n^{1/2}}= -\frac{1}{2\sqrt{n}}\underset{+\infty}{\to }0\]\"<\/p> donc \"n\ln(\cos(n^{-1/4}))\underset{+\infty}{\sim} n \times \left(\cos\left(\frac{1}{\sqrt[4]{n}}\right)-1 \right)\underset{+\infty}{\sim} -\frac{n}{2\sqrt{n}}=-\frac{\sqrt{n}}{2}.\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que \"n\ln(\cos(n^{-1/4}))\underset{+\infty}{\to }-\infty\", en composant cette limite par exponentielle, il vient

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{exp}\left( n\ln\left(\cos(n^{-1/4})\right)\right)=\left(\cos(n^{-1/4})\right)^n\underset{+\infty}{\to }0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ c\/ <\/strong>Avec un raisonnement analogue,

  <\/span>   <\/span>\"\[\cos\left(\frac{1}{n^{2/3}}\right)-1\underset{+\infty}{\sim}-\frac{1}{2n^{4/3}}\underset{+\infty}{\to }0\]\"<\/p>
donc \"n\ln(\cos(n^{-2/3}))\underset{+\infty}{\sim} n \times \left(\cos\left(\frac{1}{n^{2/3}}\right)-1 \right)\underset{+\infty}{\sim} -\frac{n}{2n^{4/3}}=-\frac{1}{2n^{1/3}}.\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que \"n\ln(\cos(n^{-2/3}))\underset{+\infty}{\to }0\", en composant cette limite par exponentielle, il vient

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{exp}\left( n\ln\left(\cos(n^{-2/3})\right)\right)=\left(\cos(n^{-2/3})\right)^n\underset{+\infty}{\to }1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*,\" sur \"[0;n^{-1/4}], (\cos t)^n\" est domin\u00e9 par 1 donc en int\u00e9grant avec \"0<n^{-1/4},\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle \int_0^{n^{-1/4}} (\cos t)^{n} \text{d}t\le \int_0^{n^{-1/4}} 1 \text{d}t = n^{-1/4}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ b\/ <\/strong>Soit \"n\in\mathbb{N}^*,\" sur \"\left[n^{-1/4} ; \frac{\pi}{2}\right], t\mapsto (\cos t)^n\" est d\u00e9croissante donc domin\u00e9e par \"\left(\cos(n^{-1/4})\right)^n\" donc en int\u00e9grant avec \"n^{-1/4}<\frac{\pi}{2},\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle \int_{n^{-1/4}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^{n} \text{d}t\le \int_{n^{-1/4}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos(n^{-1/4})\right)^n\text{d}t = \left(\cos(n^{-1/4})\right)^n\times\left( \frac{\pi}{2}- n^{-1/4}\right)\leqslant \frac{\pi}{2}\left(\cos(n^{-1/4})\right)^n.\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ c\/<\/strong> On utilise la relation de Chasles, les questions 3(b), 4(a), 4(b) et le fait que \"I_n\" est positive,

  <\/span>   <\/span>\"\[0\le I_n=\int_0^{n^{-1/4}} (\cos t)^{n} \text{d}t + \int_{n^{-1/4}}^{\pi/2} (\cos t)^{n} \text{d}t\le \frac{1}{n^{1/4}}+\frac{\pi}{2}\left(\cos(n^{-1/4})\right)^n\underset{+\infty}{\to }0.\]\"<\/p>
Donc par encadrement \"I_n\underset{+\infty}{\to }0.\"<\/p>\r\n

5\/ a\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*.\" On utilise la relation de Chasles

  <\/span>   <\/span>\"\[I_n = \int_0^{n^{-2/3}} (\cos t)^{n} \text{d}t + \int_{n^{-2/3}}^{\pi/2} (\cos t)^{n} \text{d}t.\]\"<\/p>
Sur \"\left[{n^{-2/3}},{\pi/2}\right]\", cosinus est positif donc, avec des bornes dans l’ordre croissant, on a \"\displaystyle\int_{n^{-2/3}}^{\pi/2} (\cos t)^{n} \text{d}t\ge 0.\"<\/p>\r\n

Donc \"\displaystyle I_n \ge \int_0^{n^{-2/3}} (\cos t)^{n} \text{d}t\", on utilise une fois de plus le fait que \"t\mapsto (\cos t)^n\" est d\u00e9croissante sur \"\left[0;{n^{-2/3}}\right]\" pour minorer,

  <\/span>   <\/span>\"\[I_n \ge \int_0^{n^{-2/3}} (\cos t)^{n} \text{d}t\ge \left(\cos\left( n^{-2/3}\right)\right)^{n}\int_0^{n^{-2/3}} 1 \text{d}t=\left(\cos\left( n^{-2/3}\right)\right)^{n}n^{-2/3}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

A la question 3(c), il est vu que \"\left(\cos(n^{-2/3})\right)^n\underset{+\infty}{\to }1\" donc \"\left(\cos\left( n^{-2/3}\right)\right)^{n}n^{-2/3}\underset{+\infty}{\sim }n^{-2/3}=\frac{1}{n^{2/3}}.\"<\/p>\r\n

Or \"\frac23 < 1\" donc la s\u00e9rie de Riemann \"\sum\limits_{n\ge 1} \frac{1}{n^{2/3}}\" diverge donc par comparaison des s\u00e9ries \u00e0 terme g\u00e9n\u00e9ral positif, la s\u00e9rie \"\sum\limits_{n\ge 1}\left(\cos\left( n^{-2/3}\right)\right)^{n}n^{-2/3}\" diverge et par comparaison la s\u00e9rie \"\sum\limits_{n\ge 1} I_n\" diverge.<\/p>\r\n

5\/ b\/<\/strong> function S=somme(n)
S = pi\/2
tableau = I(floor(n\/2)) sinon on laisse I(n), tant pis pour les termes superflus
for j=1:n
S=S+tableau(j)
end
endfunction<\/p>\r\n

6\/ a\/<\/strong> Soit \"t\in]-\pi,\pi[, \frac{2}{1+\tan^2(\frac{t}{2})}= \frac{2}{1+\frac{\sin^2(\frac{t}{2})}{\cos^2(\frac{t}{2})}}= \frac{2{\cos^2(\frac{t}{2})}}{{\cos^2(\frac{t}{2})}+{\sin^2(\frac{t}{2})}} = 2{\cos^2(\frac{t}{2})} = \cos(t)+1.\"<\/p>\r\n

6\/ b\/<\/strong> La fonction \"t\mapsto \frac{1}{1+\cos(t)}\" est continue sur le segment \"\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\" donc l’int\u00e9grale \"\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1+\cos(t)} \text{d}t\" est bien d\u00e9finie. On applique le changement de variables \"u=\tan\left(\frac{t}{2}\right)\" de classe \"C^1\" avec \"\text{d}u = \frac12\left(1+\tan^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)\text{d}t = \frac{1}{1+\cos(t)} \text{d}t.\"<\/p>\r\n

Avec \"t=0, u=0\" et avec \"t=\frac{\pi}{2}, u= 1,\" donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1+\cos(t)} \text{d}t=\int_0^1 1\text{d}u = 1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/ c\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N},\" on utilise la lin\u00e9arit\u00e9 de l’int\u00e9gration,

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=0}^n(-1)^k I_k = \sum_{k=0}^n\int_{0}^{\pi/2}(-1)^k(\cos(t))^k \text{d}t = \int_{0}^{\pi/2} \sum_{k=0}^n (-\cos(t))^k \text{d}t.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or sur \"\left[0;\frac{\pi}{2}\right], -\cos(t)\ne 1\" donc \"\sum\limits_{k=0}^n (-\cos(t))^k =\frac{1-(-\cos(t))^{n+1}}{1+\cos(t)}.\" De plus la fonction \"t\mapsto \frac{-(-\cos(t))^{n+1}}{1+\cos(t)}\" est continue sur le segment \"\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\", donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{k=0}^n(-1)^k I_k = \int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{1+\cos(t)} \text{d}t - \int_{0}^{\pi/2}\frac{-(-\cos(t))^{n+1}}{1+\cos(t)}\text{d}t\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/ d\/<\/strong> On utilise la positivit\u00e9 de l’int\u00e9gration avec le fait que \"0<\frac{\pi}{2},\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\vert \int_{0}^{\pi/2}\frac{-(-\cos(t))^{n+1}}{1+\cos(t)}\text{d}t\right\vert \le \int_{0}^{\pi/2}\left\vert\frac{-(-\cos(t))^{n+1}}{1+\cos(t)}\right\vert\text{d}t = \int_{0}^{\pi/2}\frac{\vert\cos(t)\vert^{n+1}}{1+\cos(t)}\text{d}t = \int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(t)^{n+1}}{1+\cos(t)}\text{d}t .\]\"<\/p>
On a \"\vert\cos(t)\vert^{n+1}=\cos(t)^{n+1}\" car \"\cos\" est positif sur \"\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\". On a aussi avec cet argument que, pour tout \"t\in \left[0;\frac{\pi}{2}\right], \frac{1}{1+\cos t}\leq 1\" donc en multipliant par \"\cos(t)^{n+1}\" positif on a \"\frac{\cos(t)^{n+1}}{1+\cos(t)}\leq \cos(t)^{n+1},\" puis en int\u00e9grant toujours avec des bornes dans l’ordre croissant, il vient

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\vert \int_{0}^{\pi/2}\frac{-(-\cos(t))^{n+1}}{1+\cos(t)}\text{d}t\right\vert \le \int_{0}^{\pi/2}{\cos(t)^{n+1}}\text{d}t =I_{n+1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/ e\/<\/strong> On en d\u00e9duit avec 6(c) puis 6(b) que

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\vert \int_{0}^{\pi/2}\frac{-(-\cos(t))^{n+1}}{1+\cos(t)}\text{d}t\right\vert =\left\vert \sum_{k=0}^n(-1)^k I_k - \int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{1+\cos(t)} \text{d}t \right\vert = \left\vert \sum_{k=0}^n(-1)^k I_k -1 \right\vert \le I_{n+1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or la suite \"(I_k)\" converge vers 0 selon 4(c), donc par encadrement

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\vert \sum_{k=0}^n(-1)^k I_k -1 \right\vert\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0 \text{ donc } \sum_{k=0}^n(-1)^k I_k\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Conclusion : la s\u00e9rie \"\sum\limits_{k\ge 0}(-1)^k I_k\" converge et sa somme vaut 1.<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS DE MATHS<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Exercice 2 : Diagonalisation de Matrices<\/h2>\r\n

1\/<\/strong> Le calcul donne \"S^2=I_3.\" Donc \"X^2-1\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"S\", les racines sont \"1\" et \"-1\" donc le spectre de \"S\" est inclus dans \"\{-1,1\}.\"<\/p>\r\n

On remarque que \"S+I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&1\end{pmatrix}\" qui n’est pas inversible car il y a deux colonnes \u00e9gales donc \"-1\" est valeur propres de \"S.\"<\/p>\r\n

On remarque que \"S-I_3=\begin{pmatrix} -1 & 0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&-1\end{pmatrix}\" qui n’est pas inversible car il y a une colonne nulle donc \"1\" est valeur propres de \"S.\"<\/p>\r\n

Finalement le spectre de \"S\" est \"\{-1,1\}.\"<\/p>\r\n

2\/<\/strong> On applique la d\u00e9finition de \"F,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\in F\Longleftrightarrow a=c\Longleftrightarrow\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\ \end{pmatrix}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\in\text{Vect}\left( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\ \end{pmatrix} \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"F=\text{Vect}\left( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\ \end{pmatrix} \right)\", par cons\u00e9quent \"\left( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\ \end{pmatrix} \right)\" engendre \"F\" et ces deux vecteurs ne sont pas colin\u00e9aires donc ils forment une famille libre et donc une base de \"F.\"<\/p>\r\n

On applique la d\u00e9finition de \"G,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\in G\Longleftrightarrow a=-c \text{ et } b=-b \Longleftrightarrow\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\in\text{Vect}\left( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"G=\text{Vect}\left( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix} \right)\", par cons\u00e9quent \"\left( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right)\" engendre \"G\" et ce vecteur n’est pas nul donc il forme une famille libre et donc une base de \"G.\"<\/p>\r\n

Pour trouver une base du sous-espace propre de S associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre \"-1\" (not\u00e9 \"\text{SEP}(S,-1)\") , on caract\u00e9rise l’appartenance par une combinaison lin\u00e9aire,<\/p>\r\n

\"\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\in \text{SEP}(S,-1)\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow(S+I_3) \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} a+c=0\\b=0\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\"
\"\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\in G.\"<\/p>\r\n

Donc \"G= \text{SEP}(S,-1).\"<\/p>\r\n

De m\u00eame
\"\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\in \text{SEP}(S,1)\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow(S-I_3) \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} -a+c=0\\a-c=0\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\ \end{pmatrix}\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\in F.\"
Donc \"F= \text{SEP}(S,1).\"<\/p>\r\n

3\/<\/strong> En tant que sous-espaces propres associ\u00e9es \u00e0 des valeurs propres distinctes, \"F\" et \"G\" sont en somme directe, la somme de leurs dimensions vaut 3 qui est celle de \"{\cal M}_{3,1}(\mathbb{R})\" donc \"F\" et \"G\" sont suppl\u00e9mentaires de \"{\cal M}_{3,1}(\mathbb{R})\".<\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> Dans la colonne 1 de \"S\", tous les termes sont nuls sauf celui sur la ligne \"i=n+1-1= n.\"
Dans la colonne 2 de \"S\", tous les termes sont nuls sauf celui sur la ligne \"i=n+1-2= n-1.\"
Et ainsi de suite jusqu’\u00e0 la colonne \"n\" o\\`u tous les termes sont nuls sauf celui sur la ligne \"i=n+1-n= 1.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[S= \begin{pmatrix} 0 &\hdots &0& 0&1\\ 0&\hdots &0&1&0\\\vdots & \iddots& \iddots & \iddots & \vdots \\ 0&1&0&\hdots &0\\ 1&0&\hdots &0& 0\end{pmatrix} .\]\"<\/p>
\"S\" est sym\u00e9trique \u00e0 coefficients r\u00e9els donc diagonalisable.<\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> \"SX=\begin{pmatrix} x_n\\ x_{n-1}\\ \vdots \\ x_2\\ x_1\end{pmatrix}.\" Cette question en apparence anodine pr\u00e9sente un int\u00e9r\u00eat pour la suite si on remarque que \"X\" est sym\u00e9trique si et seulement si \"SX=X\" et que \"X\" est antisym\u00e9trique si et seulement si \"SX=-X.\"<\/p>\r\n

4\/ c\/<\/strong> Dans la suite, pour toute matrice \"M\", on note \"(M)_{i,j}\" son coefficient en ligne \"i\" et colonne \"j.\"<\/p>\r\n

On a alors \"(S^2)_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^n (S)_{i,k}(S)_{k,j}\".<\/p>\r\n

Or les \"(S)_{u,v}\" valent 0 ou 1 donc \"(S)_{i,k}(S)_{k,j}\" vaut 0 ou 1, et \"(S)_{i,k}(S)_{k,j}\" vaut 1 si et seulement si \"(S)_{i,k}=(S)_{k,j}=1\" si et seulement si \"i=n+1-k\" et \"k=n+1-j\" si et seulement si \"i=j=n+1-k\".<\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent si \"i\ne j\" alors \"(S^2)_{i,j}=0.\"<\/p>\r\n

Si \"i= j\" alors \"(S^2)_{i,i}=\sum\limits_{k=1}^n (S)_{i,k}(S)_{k,i}.\" Dans cette somme tous les termes sont nuls sauf celui pour \"k=n+1-i\" et ce terme \"(S)_{i,n+1-i}(S)_{n+1-i,i}\" vaut 1 donc la somme vaut 1.<\/p>\r\n

Bilan : \"S^2=I_n.\"<\/p>\r\n

5\/ a\/<\/strong> On s’inspire de la d\u00e9monstration de cours par analyse-synth\u00e8se qui montre que toute matrice \"M\in{\cal M}_n(\mathbb{R})\" est somme d’une matrice sym\u00e9trique : \"\frac12(M+{}^t\!M)\" et d’une matrice antisym\u00e9trique : \"\frac12(M-{}^t\!M).\"<\/p>\r\n

Analyse : On suppose qu’il existe \"Y\in F, Z\in G\" tel que \"X=Y+Z.\"<\/p>\r\n

On utilise la remarque faite en 4(b), on multiplie par \"S\" et
\"SX=SY+SZ=Y-Z\" car \"Y\" est sym\u00e9trique et \"Z\" est antisym\u00e9trique.<\/p>\r\n

Donc \"X+SX=2Y\" et \"X-SX=2Z\" donc, en cas d’existence, \"Y\" et \"Z\" sont uniques et valent respectivement \"\frac12(X+SX)\" et \"\frac12(X-SX)\".<\/p>\r\n

Synth\u00e8se : Il est imm\u00e9diat que \"\frac12(X+SX)+\frac12(X-SX)=X.\"<\/p>\r\n

De plus \"S\left(\frac12(X+SX)\right)= \frac12(SX+S^2X)=\frac12(SX+X)\" donc \"\frac12(X+SX)\in F.\"<\/p>\r\n

Et \"S\left(\frac12(X-SX)\right)= \frac12(SX-S^2X)=\frac12(SX-X)\" donc \"\frac12(X-SX)\in G.\"<\/p>\r\n

Bilan : il existe un unique couple \"(Y,Z)\" tel que \"Y\in F, Z\in G\" et \"X=Y+Z.\"<\/p>\r\n

5\/ b\/ <\/strong>Avec 4(c), on sait que \"S^2-I_n=(0)\" donc \"X^2-1\" est annulateur de \"S\" donc le spectre de \"S\" est inclus dans \"\{-1,1\}.\" On sait aussi que \"S\" est diagonalisable. Si \"S\" n’a qu’une valeur propre \"\lambda\" alors \"S=\lambda I_n\" ce qui est absurde car \"n\ge 2.\" Donc \"S\" a au moins deux valeurs propres donc le spectre de \"S\" est \"\{-1,1\}.\"<\/p>\r\n

On utilise ensuite la remarque de la question 4(b) ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[X\in F\Longleftrightarrow SX=X\Longleftrightarrow (S-I_n)X=(0)\Longleftrightarrow X\in \text{SEP}(S,1)\]\"<\/p>
et

  <\/span>   <\/span>\"\[X\in G\Longleftrightarrow SX=-X\Longleftrightarrow (S+I_n)X=(0)\Longleftrightarrow X\in \text{SEP}(S,-1).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"F\" et \"G\" sont les sous-espaces propres de \"G\" avec les valeurs propres respectives 1 et \"-1.\"<\/p>\r\n

6\/ a\/ <\/strong>Soit \"(i,j)\in[\![1,n]\!]^2,\" \"(AS)_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^n (A)_{i,k}(S)_{k,j} = (A)_{i,n+1-j}\" car \"(S)_{k,j}\" est nul sauf si \"k=n+1-j\" et dans ce cas il vaut 1.<\/p>\r\n

D’autre part \"(SA)_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^n (S)_{i,k}(A)_{k,j} = (A)_{n+1-i,j}\" car \"(S)_{i,k}\" est nul sauf si \"k=n+1-i\" et dans ce cas il vaut 1.<\/p>\r\n

Or l’\u00e9nonc\u00e9 dit que \"(A)_{i,n+1-j} = (A)_{n+1-i,j}\" donc \"(AS)_{i,j}=(SA)_{i,j}\" et cela pour tout \"(i,j)\in[\![1,n]\!]^2.\" Donc \"SA =AS.\"<\/p>\r\n

6\/ b\/<\/strong> On sait que \"AX=\lambda X\" donc \"A(SX) = SAX = S(\lambda X) = \lambda SX\" car \"\lambda\" est un r\u00e9el.<\/p>\r\n

Avec le calcul de 4(b), on voit que si \"X\" est non nulle alors \"SX\" le sera aussi car on retrouve les m\u00eames coefficients dans l’ordre invers\u00e9 donc comme \"X\" est vecteur propre, il est non nul donc \"SX\" est aussi non nul.<\/p>\r\n

Bilan : \"SX\" est vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 \"\lambda.\"<\/p>\r\n

6\/ c\/<\/strong> On calcule \"AY=AX+ASX= \lambda X+\lambda SX=\lambda Y.\"<\/p>\r\n

6\/ d\/<\/strong> Si \"Y\" est nul alors \"X=-SX\" donc \"X\" est antisym\u00e9trique tout en \u00e9tant un vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 \"\lambda.\"<\/p>\r\n

Si \"Y\" est non nul alors comme \"AY=\lambda Y\", \"Y\" est vecteur propre de \"A\" associ\u00e9 \u00e0 \"\lambda\" et de plus \"SY=SX +S^2X=SX+X=Y\" donc \"Y\" est sym\u00e9trique.<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Probl\u00e8me : Probabilit\u00e9s Discr\u00e8tes<\/h2>\r\n

1\/<\/strong> Avant le deuxi\u00e8me tirage c’est-\u00e0-dire apr\u00e8s le premier, il y a soit 2 blanches (B) et une noire (N) si on a pioch\u00e9 N au premier tour. Si on pioche B au premier tour, on aura 2 N et une B.<\/p>\r\n

Donc \"X_1(\Omega)=\{1,2\}.\" On a \"\mathbb{P}(X_1=1)=\mathbb{P}(B_1)=\frac12\" donc \"\mathbb{P}(X_1=2)=\frac12.\" On reconna\u00eet une loi uniforme sur \"[\![1,2]\!].\" Ainsi \"E(X_1)=\frac32\" et \"V(X_1)=\frac{4-1}{12}=\frac14.\"<\/p>\r\n

2\/<\/strong> Lors de deux tirages, on peut extraire 2 N ou 2 B ou bien 1 N et 1 B donc \"X_2\" peut valoir 3 ou 2 ou 1 donc \"X_2(\Omega)=[\![1,3]\!].\" \"[X_2=1]\" est r\u00e9alis\u00e9 si et seulement si \"B_1\cap B_2\" est r\u00e9alis\u00e9 donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}([X_2=1])=\mathbb{P}(B_1\cap B_2)=\mathbb{P}(B_1)\mathbb{P}_{B_1}(B_2)=\frac12 \times \frac13=\frac16\]\"<\/p> car sachant \"{B_1}\", le deuxi\u00e8me tirage se fait dans une urne avec 1 B et 2 N.<\/p>\r\n

De m\u00eame \"[X_2=3]\" est r\u00e9alis\u00e9 si et seulement si \"N_1\cap N_2\" est r\u00e9alis\u00e9 donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}([X_2=3])=\mathbb{P}(N_1\cap N_2)=\mathbb{P}(N_1)\mathbb{P}_{N_1}(N_2)=\frac12 \times \frac13=\frac16\]\"<\/p> car sachant \"{N_1}\", le deuxi\u00e8me tirage se fait dans une urne avec 1 N et 2 B.<\/p>\r\n

Donc \"\mathbb{P}([X_2=2] ) = 1 - \mathbb{P}([X_2=1]) -\mathbb{P}([X_2=3]) =1-\frac16-\frac16=\frac23.\"<\/p>\r\n

3\/<\/strong> Sachant qu’il y a une blanche et une noire au d\u00e9but, lors de \"k\" tirages on peut extraire entre 0 et \"k\" blanches donc apr\u00e8s ceux-ci, l’urne peut contenir entre 1 blanche et \"k+1\" blanches donc \"X_k(\Omega)=[\![1,k+1]\!].\"<\/p>\r\n

4\/<\/strong> Soit \"i\in\mathbb{N}^*, j\in [\![1,k+1]\!].\" Il est imm\u00e9diat qu’apr\u00e8s le \"k^e\" tirage, il y a \"k+1\" boules dans l’urne car une ajoute une boule \u00e0 chaque tirage. Donc apr\u00e8s le \"(k+1)^e\" tirage, il y a \"k+2\" boules dans l’urne. Le tirage \"k+1\" am\u00e8ne une B ou une N donc \u00e0 son issue, le nombre de B est stable ou est augment\u00e9 de 1. Donc si \"i\ne j\" et \"i\ne j+1\" alors \"\mathbb{P}_{ [X_k=j]}([X_{k+1}=i])= 0.\"<\/p>\r\n

Selon le protocole, le nombre de B est stable apr\u00e8s un tirage si et seulement si on sort une B donc \"\mathbb{P}_{ [X_k=j]}([X_{k+1}=j])\" est la probabilit\u00e9 de sortir une B dans une urne contenant \"j\" B et \"k+2\" boules donc \"\mathbb{P}_{ [X_k=j]}([X_{k+1}=j])=\frac{j}{k+2}.\"<\/p>\r\n

Selon le protocole, le nombre de B est augment\u00e9 de 1 apr\u00e8s un tirage si et seulement si on sort une N donc \"\mathbb{P}_{ [X_k=j]}([X_{k+1}=j+1])\" est la probabilit\u00e9 de sortir une N dans une urne contenant \"j\" B et \"k+2\" boules donc \"P_{ [X_k=j]}([X_{k+1}=j+1])=\frac{k+2-j}{k+2}.\"<\/p>\r\n

5\/<\/strong> Soit \"k\in\mathbb{N},\" si \"i\notin [\![1,k+2]\!]=X_{k+1}(\Omega),\" alors \"\mathbb{P}(X_{k+1}=i)=0\" et comme \"i-1\notin [\![1,k+1]\!]=X_k(\Omega),\" on a aussi \"\mathbb{P}(X_{k}=i)=\mathbb{P}(X_{k}=i-1)=0\" donc la formule \"(*)\" est vraie.<\/p>\r\n

Supposons \"i = k+2,\" alors \"[X_{k+1}=k+2]\" est r\u00e9alis\u00e9 si et seulement si \"[X_{k}=k+1]\cap N_{k+1}\" est r\u00e9alis\u00e9 car le nombre maximal de B apr\u00e8s \"k\" tirages est \"k+1.\" Donc \"\mathbb{P}(X_{k+1}=k+2)=\mathbb{P}(X_{k}=k+1)P_{[X_{k}=k+1]}(N_{k+1}) =\mathbb{P}(X_{k}=k+1)\times \frac{1}{k+2}.\" Or \"k+2\notin X_k(\Omega)\" donc \"\mathbb{P}(X_{k}=k+2)=0\" donc la formule

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}\left( \left[ X_{k+1}=i\right] \right) =\frac{i}{k+2}{\mathbb{P}}\left( \left[X_{k}=i\right] \right) +\frac{3+k-i}{k+2}\mathbb{\ }\mathbb{P}\left( \left[ X_{k}=i-1\right] \right) \mathtt{\quad }\left( \ast \right) \]\"<\/p>
est vraie pour \"i=k+2.\"<\/p>\r\n

Supposons \"i\in [\![1,k+1]\!],\" On applique la formule des probabilit\u00e9s totales avec le syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements \"\{[X_k=j]\}_{1\le j \le k+1}\" ce qui donne

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}\left( \left[ X_{k+1}=i\right] \right) =\sum_{j=1}^{k+1} \mathbb{P}(X_k=j)\mathbb{P}_{[X_k=j]}( X_{k+1}=i)\]\"<\/p>
or \"\mathbb{P}_{[X_k=j]}( X_{k+1}=i)=0\" si \"i\ne j\" et \"i\ne j+1\" donc il reste deux termes dans la somme<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}\left( \left[ X_{k+1}=i\right] \right) = \mathbb{P}(X_k=i)\mathbb{P}_{[X_k=i]}( X_{k+1}=i)+ \mathbb{P}(X_k=i-1)\mathbb{P}_{[X_k=i-1]}( X_{k+1}=i).\]\"<\/p>
On a vu que \"\mathbb{P}_{[X_k=i]}( X_{k+1}=i)=\frac{i}{k+2}.\"<\/p>\r\n

Si \"i=1,\" alors \"\mathbb{P}(X_k=i-1)=\mathbb{P}(X_k=0) = 0\" et la formule \"(*)\" est valable pour \"i=1\", sinon la question pr\u00e9c\u00e9dente avec \"j=i-1\" donne \"\mathbb{P}_{[X_k=i-1]}( X_{k+1}=i) = \frac{k+2-(i-1)}{k+2}=\frac{k+3-i}{k+2}.\"<\/p>\r\n

Finalement on a bien dans tous les cas<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}\left( \left[ X_{k+1}=i\right] \right)=\frac{i}{k+2}{\ P}\left( \left[X_{k}=i\right] \right) +\frac{3+k-i}{k+2}\mathbb{\ }P\left( \left[ X_{k}=i-1\right] \right) \mathtt{\quad }\left( \ast \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/<\/strong> On a \"X_3(\Omega)=[\![1,4]\!],\" et
\"\mathbb{P}(X_3=1)=\frac{1}{4}\mathbb{P}(X_2=1)=\frac{1}{24}, \mathbb{P}(X_3=4)=\frac{1}{4}\mathbb{P}(X_2=3)=\frac{1}{24}\"<\/p>\r\n

puis

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}(X_3=2)=\frac{2}{4}\mathbb{P}(X_2=2)+\frac{3}{4}\mathbb{P}(X_2=1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{8} = \frac{11}{24}\]\"<\/p>
et \"\mathbb{P}(X_3=3) = 1 - \mathbb{P}(X_3=1)-\mathbb{P}(X_3=2)-\mathbb{P}(X_3=4)=\frac{11}{24}.\"<\/p>\r\n

7\/ a\/<\/strong> On reprend la question 5 avec \"i=1\" et \"\mathbb{P}(X_k=0) = 0\" ainsi, pour tout \"k\in \mathbb{N}\", on a\\\\ \"\mathbb{P}(X_{k+1}=1)=\frac{1}{k+2}\mathbb{P}(X_k=1).\" Avec \"\mathbb{P}(X_0=1) = 1,\" une r\u00e9currence simple donne \"\mathbb{P}(X_{k}=1)=\frac{1}{(k+1)!}.\"<\/p>\r\n

7\/ b\/<\/strong> On reprend la question 5 avec \"i=k+2\" et \"\mathbb{P}(X_k=k+2) = 0\" ainsi, pour tout \"k\in \mathbb{N}\", on a \"\mathbb{P}(X_{k+1}=k+2)=\frac{3+k-(k+2)}{k+2}\mathbb{P}(X_k=k+1) = \frac{1}{k+2}\mathbb{P}(X_k=k+1).\" Avec \"\mathbb{P}(X_0=1) = 1,\" une r\u00e9currence simple donne \"\mathbb{P}(X_{k}=k+1)=\frac{1}{(k+1)!}.\"<\/p>\r\n

7\/ c\/<\/strong> Soit \"k\in\mathbb{N}, a_{k+1}=(k+2)!\mathbb{P}(X_{k+1}=2) = (k+2)!\left(\frac{2}{k+2}{\ P}\left( \left[X_{k}=2\right] \right) +\frac{3+k-2}{k+2}\mathbb{\ }P\left( \left[ X_{k}=1\right] \right)\right)\"<\/p>\r\n

donc \"a_{k+1} = (k+2)!\left(\frac{2}{k+2}\frac{a_k}{(k+1)!}+\frac{3+k-2}{k+2}\frac{1}{(k+1)!}\right) = 2a_k+k+1.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" \"b_{k+1} = a_{k+1} + k+1 + 2 =2a_k+k+1+k+3 = 2(a_k+k+2)=2b_k.\"<\/p>\r\n

\"\bullet\" La suite \"(b_j)\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison 2 donc, pour tout \"k\in \mathbb{N},\" \"b_k=2^kb_0=2^k(a_0+2)= 2^{k+1}\" car \"\mathbb{P}(X_0=2)=0.\" Donc \"a_k=2^{k+1}-k-2\" et \"\mathbb{P}(X_k=2)=\frac{2^{k+1}-k-2}{(k+1)!}.\"<\/p>\r\n

8\/<\/strong> La ligne 5 simule une loi uniforme sur \"[\![1,n+b]\!]\" en effet \"rand()\" simule une loi uniforme sur \"]0,1[\" donc \"rand()*(n+b)\" simule une loi uniforme sur \"]0,n+b[\" donc \"1+ rand()*(n+b)\" simule une loi uniforme sur \"]1,1+n+b[\" en prenant la partie enti\u00e8re \"floor(1+ rand()*(n+b))\" simule une loi uniforme sur \"[\![1,n+b]\!]\". Donc \"r\" est un nombre entier choisi au hasard dans \"[\![1,n+b]\!]\", on peut consid\u00e9rer que les boules N ont les num\u00e9ros 1 \u00e0 \"n\" et que les blanches ont les num\u00e9ros \"n+1\" \u00e0 \"n+b\". Ainsi \"n\" est le nombre de N et \"b\" le nombre de B. Donc si \"r>n\", on a sorti une B et \"n\" est augment\u00e9 de 1 sinon on a sorti une N et \"b\" augment\u00e9 de 1.<\/p>\r\n

\"n\" et \"b\" sont initialis\u00e9s \u00e0 1 ensuite on simule \"k\" tirages et on retourne \"b\" le nombre de B \u00e0 la fin des ces tirages. On a donc simuler \"X_k.\"<\/p>\r\n

9\/<\/strong> On calcule les effectifs de chaque valeur entre 1 et \"k+1\" puis on divise par \"N\" pour avoir les fr\u00e9quences. On passe sur le tiret du nom de la fonction qui n’est correct syntaxiquement.
function LE = loiExpo(k,N)
LE=zeros(1,k+1)
for j=1:N
valeur = mystere(k)
LE(valeur) = LE(valeur) + 1
end
LE = LE\/N
endfunction<\/p>\r\n

10\/<\/strong> La matrice \"M\" est telle que \"(M)_{k,i}=\mathbb{P}(X_k=i),\" on retourne donc la n-\u00e8me ligne de \"M.\"<\/p>\r\n

function LT=loiTheo(n)
M=zeros(n,n+1)
M(1,1)=1\/2
M(1,2)=1\/2
for k=1:n-1
M(k+1,1)=M(k,1)\/(k+2)
for i=2:k+1
M(k+1,i)=(i\/(k+2))*M(k,i)+(3+k-i)\/(k+2)*M(k,i-1)
end
M(k+1,k+2)=M(k+1,1)
end
LT=M(n,:)
endfunction<\/p>\r\n

11\/<\/strong> En th\u00e9orie \"\mathbb{P}(X_5=1)=\mathbb{P}(X_5=6)=\frac{1}{6!}\" or dans le tableau les valeurs sont distinctes donc c’est un calcul exp\u00e9rimental avec \"LoiExp\".<\/p>\r\n

12\/ a\/<\/strong> \"X_{k+1}\" a un support fini donc a une esp\u00e9rance. On utilisera le fait que si \"i\" n’est pas dans le support de \"X_k\" alors \"\mathbb{P}(X_k=i)=0\". On emploiera aussi le th\u00e9or\u00e8me de transfert. On a<\/p>\r\n

\"\noindent E(X_{k+1})=\sum_{i=1}^{k+2} i\mathbb{P}(X_{k+1}=i) = \sum_{i=1}^{k+2} i\left( \frac{i}{k+2}{\ P}\left( \left[X_{k}=i\right] \right) +\frac{3+k-i}{k+2}\mathbb{P}\left( \left[ X_{k}=i-1\right] \right) \right)\"<\/p>\r\n

\"\noindent = \sum_{i=1}^{k+2} \frac{i^2}{k+2}{\mathbb{P}}\left( \left[X_{k}=i\right] \right) +\sum_{i=1}^{k+2}i\frac{3+k-i}{k+2}\mathbb{P}\left( \left[ X_{k}=i-1\right] \right)\"<\/p>\r\n

\"\noindent = \frac{1}{k+2}E(X_{k}^2) + \sum_{j=0}^{k+2}(j+1)\frac{3+k-j-1}{k+2}\mathbb{P}\left( \left[ X_{k}=j\right] \right)\"<\/p>\r\n

\"\noindent = \frac{1}{k+2}E(X_{k}^2) + \sum_{j=1}^{k+2}(j+1)\frac{3+k-j-1}{k+2}\mathbb{P}\left( \left[ X_{k}=j\right] \right)\"<\/p>\r\n

\"\noindent = \frac{1}{k+2}E(X_{k}^2) +\sum_{j=1}^{k+2}(j+1)\frac{2+k-j}{k+2}\mathbb{P}\left( \left[ X_{k}=j\right] \right)\"<\/p>\r\n

\"\noindent = \frac{1}{k+2}E(X_{k}^2)+ \frac{1}{k+2}E((X_k+1)(2+k-X_k))\"<\/p>\r\n

\"\noindent = \frac{1}{k+2}E\left(X_{k}^2 +(2+k)X_k-X_k^2+2+k-X_k\right)\"<\/p>\r\n

\"\noindent = \frac{1}{k+2}E\left((1+k)X_k+2+k\right)\"<\/p>\r\n

\"\noindent= \frac{1+k}{k+2}E\left(X_k\right)+1.\"<\/p>\r\n

12\/ b\/ <\/strong>Pour tout \"k\in \mathbb{N},\" on pose \"{\cal H}_k : \left(E(X_k) = \frac{k+2}{2}\right).\"<\/p>\r\n

\"{\cal H}_0\" est vraie car \"X_0\" constant de valeur 1 donc de moyenne 1.<\/p>\r\n

Si \"{\cal H}_k\" vraie \u00e0 un rang \"k\in\mathbb{N},\" alors \"E(X_{k+1}) = \frac{1+k}{k+2}E\left(X_k\right)+1 = \frac{1+k}{k+2}\frac{k+2}{2}+1 = \frac{k+1}{2} + 1 = \frac{k+1 + 2}{2}\" donc \"{\cal H}_{k+1}\" vraie.<\/p>\r\n

Bilan : Pour tout \"k\in \mathbb{N},\" \"E(X_k) = \frac{k+2}{2}.\"<\/p>\r\n

12\/ c\/<\/strong> Il y a autant de B que de N au d\u00e9but de l’exp\u00e9rience, on ajoute une B ou une N \u00e0 chaque tirage, donc par sym\u00e9trie, \"X_k\" et \"Y_k\" ont la m\u00eame loi et la m\u00eame esp\u00e9rance. De plus on a toujours \"X_k+Y_k\" qui vaut le nombre de boules apr\u00e8s \"k\" tirages donc \"X_k+Y_k=k+2\" donc \"E(X_k)+E(Y_k)=k+2\" donc \"E(X_k) =E(Y_k)= \frac{k+2}{2}.\"<\/p>\r\n

13\/ a\/<\/strong> La variable \"X_k\" a une variance donc \"\frac{X_k}{k+2}\" en a une aussi et on peut appliquer la formule de Bienaym\u00e9-Tchebychev

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall \alpha >0, \quad \mathbb{P}\left(\left\vert\frac{X_k}{k+2}-E\left(\frac{X_k}{k+2}\right)\right\vert\ge \alpha\right) \le \frac{V\left(\frac{X_k}{k+2}\right)}{\alpha^2}\]\"<\/p>
donc

  <\/span>   <\/span>\"\[0\le \mathbb{P}\left(\left\vert\frac{X_k}{k+2}-\frac12\right\vert\ge \alpha\right) \le \frac{1}{12(k+2)\alpha^2}\]\"<\/p>
en utilisant \"E\left(\frac{X_k}{k+2}\right) = \frac{E(X_k)}{k+2}=\frac12\" et \"V\left(\frac{X_k}{k+2}\right) = \frac{1}{(k+2)^2}V(X_k)=\frac{1}{12(k+2)}.\"<\/p>\r\n

Donc \"\mathbb{P}\left(\left\vert\frac{X_k}{k+2}-\frac12\right\vert\ge \alpha\right)\underset{k\to +\infty}{\to } 0\" par
encadrement.<\/p>\r\n

Donc \"\mathbb{P}\left(\left\vert\frac{X_k}{k+2}-\frac12\right\vert< \alpha\right) = 1-\mathbb{P}\left(\left\vert\frac{X_k}{k+2}-\frac12\right\vert\ge \alpha\right)\underset{k\to +\infty}{\to } 1.\"<\/p>\r\n

\"\frac{X_k}{k+2}\" repr\u00e9sente la proportion de boules blanches dans l’urne apr\u00e8s \"k\" tirages, intuitivement cette proportion a tendance \u00e0 \u00eatre proche de \"\frac12\" quand \"k\" est grand.<\/p>\r\n

13\/ b\/<\/strong> \"\frac{X_k}{k+2}\" repr\u00e9sente la proportion de boules blanches dans l’urne apr\u00e8s \"k\" tirages, intuitivement cette proportion a tendance \u00e0 \u00eatre proche de \"\frac12\" quand \"k\" est grand.<\/p>\r\n

14\/ a\/<\/strong> Soit \"A(X),B(X)\" dans \"\mathbb{R}_X\" et \"\alpha \in \mathbb{R},\" on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi_{i,j}(\alpha A+B)=j(\alpha A+B)(X+1)-i(\alpha A+B)(X) = j(\alpha A(X+1)+B(X+1))-i(\alpha A(X)+B(X))\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[= \alpha(jA(X+1)-iA(X)) + jB(X+1)-iB(X) =\alpha \varphi_{i,j}(A)+\varphi_{i,j}(B).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"\varphi_{i,j}\" est lin\u00e9aire.<\/p>\r\n

14\/ b\/<\/strong> Si \"P\" est nul alors \"\varphi_{i,j}(P)\" est nul aussi.<\/p>\r\n

Si \"{P}(X)=\sum\limits_{k=0}^n\alpha_kX^k\" avec \"\alpha_n\ne 0\" alors \"\mathbb{P}(X+1)=\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k(X+1)^k\" aura le m\u00eame terme dominant que \"\alpha_n(X+1)^n\" car les autres termes sont tous de degr\u00e9s inf\u00e9rieurs stricts \u00e0 \"n\" donc le terme dominant de \"\mathbb{P}(X+1)\" est \"\alpha_nX^n\" donc par somme
comme \"j\ne i,\" le terme dominant de \"j{P}(X+1)-i{P}(X)\" sera \"(j-i)\alpha_nX^n\" avec \"(j-i)\alpha_n\ne 0.\"<\/p>\r\n

Donc \"{P}(X)\" et \"\varphi_{i,j}(P)\" ont le m\u00eame degr\u00e9.<\/p>\r\n

14\/ c\/<\/strong> On voit donc que si \"P\" n’est pas nul alors \"\varphi_{i,j}(P)\" ne l’est pas non plus donc le noyau de \"\varphi_{i,j}\" ne contient que le polyn\u00f4me nul et \"\varphi_{i,j}\" est injective.<\/p>\r\n

14\/ d\/<\/strong> On a vu que l’unique ant\u00e9c\u00e9dent de \"\theta\" est \"\theta\" lui-m\u00eame.<\/p>\r\n

Soit \"{P}(X)\" non nul de degr\u00e9 \"n,\" on sait que les ant\u00e9c\u00e9dents \u00e9ventuels de \"P\" par \"\varphi_{i,j}\" sont de degr\u00e9 \"n\" donc ils sont dans \"\mathbb{R}_n[X]\". On a vu que \"\varphi_{i,j}\" pr\u00e9serve le degr\u00e9 donc
\"\mathbb{R}_n[X]\" est stable par \"\varphi_{i,j}\" donc la restriction de \"\varphi_{i,j}\" \u00e0 \"\mathbb{R}_n[X]\" est un endomorphisme de \"\mathbb{R}_n[X]\" qui est de dimension finie. Comme \"\varphi_{i,j}\" est injective sur \"\mathbb{R}[X]\", elle l’est aussi sur \"\mathb{R}_n[X]\" donc la restriction de \"\varphi_{i,j}\" \u00e0 \"\mathbb{R}_n[X]\" est bijective donc \"P\in \mathbb{R}_n[X]\" a un ant\u00e9c\u00e9dent par \"\varphi_{i,j}\".<\/p>\r\n

15\/ a\/<\/strong> Par d\u00e9finition, \"P_{2,1}(X)=\varphi_{2,1}^{-1}((3+X-2)P_{2-1,1}(X)) = \varphi_{2,1}^{-1}(X+1)\" or \"\varphi_{2,1}(-X-2) = 1\times (-(X+1)-2)-2(-X-2) = X+1\" donc \"-X-2=\varphi_{2,1}^{-1}(X+1).\"<\/p>\r\n

Et \"P_{2,2}=-P_{2,1}(0)=2.\" On remarquera que \"P_{i,i}(X)\" en g\u00e9n\u00e9ral est d\u00e9fini une somme de r\u00e9els donc est un polyn\u00f4me constant.<\/p>\r\n

15\/ b\/<\/strong> On a \"P_{3,2}(X)= \varphi_{3,2}^{-1}((3+X-3)P_{3-1,2}(X)) = 2X\" or<\/p>\r\n

\"\varphi_{3,2}(-2X-4)\"<\/p>\r\n

\"= 2(-2(X+1)-4) - 3(-2X-4)\"<\/p>\r\n

\"= -4X-12 +6X+12 = 2X\"<\/p>\r\n

donc \"\varphi_{3,2}^{-1}(2X) =-2X-4.\"<\/p>\r\n

16\/ a\/<\/strong> \"{\cal H}_1\" s’\u00e9crit : \"\forall k\in\mathbb{N}, \mathbb{P}(X_k=1) = \frac{1}{(k+1)!}P_{1,1}(k)1^k.\"
C’est vrai car on sait que \"P_{1,1} =1\" et \"\mathbb{P}(X_k=1) = \frac{1}{(k+1)!}.\"<\/p>\r\n

16\/ b\/ <\/strong>Soit \"i\ge 2,\" on suppose \"{\cal H}_{i-1}\" vraie, soit \"k\in \mathbb{N},\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}\alpha_{k+1}&=&(k+2)!\mathbb{P}(X_{k+1}=i)-\sum\limits_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(k+1)j^{k+1}\\&=& (k+2)!\left( \frac{i}{k+2}{\mathbb{P}}\left( X_{k}=i\right) +\frac{3+k-i}{k+2}\mathbb{P}\left( X_{k}=i-1\right)\right) -\sum\limits_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(k+1)j^{k+1}\text{ avec $(*)$}\\&=& (k+1)!\left(i{\mathbb{P}}\left( X_{k}=i\right) + ({3+k-i} )\mathbb{P}\left( X_{k}=i-1\right)\right) -\sum\limits_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(k+1)j^{k+1}\\&=& (k+1)!\left(i{\mathbb{P}}\left( X_{k}=i\right) + ({3+k-i} )\frac{1}{(k+1)!}\sum\limits_{j=1}^{i-1}P_{i-1,j}(k)j^k\right) -\sum\limits_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(k+1)j^{k+1} \text{ avec ${\cal H}_{i-1}$}\\&=& (k+1)!i{\mathbb{P}}\left( X_{k}=i\right) + \sum\limits_{j=1}^{i-1}\left(\underbrace{({3+k-i} )P_{i-1,j}(k)}j^k -P_{i,j}(k+1)j^{k+1 }\right)\\&=& (k+1)!i{\mathbb{P}}\left( X_{k}=i\right) + \sum\limits_{j=1}^{i-1}\left(\underbrace{\varphi_{i,j}(P_{i,j}(X))(k)}j^k -P_{i,j}(k+1)j^{k+1 }\right)\\&=& (k+1)!i{\mathbb{P}}\left( X_{k}=i\right) + \sum\limits_{j=1}^{i-1}\left(\underbrace{(jP_{i,j}(X+1)-iP(X))(k)}j^k -P_{i,j}(k+1)j^{k+1 }\right)\\&=& (k+1)!i{\mathbb{P}}\left( X_{k}=i\right) + \sum\limits_{j=1}^{i-1}\left(j^{k+1}P_{i,j}(k+1)-iP_{i,j}(k)j^k -P_{i,j}(k+1)j^{k+1 }\right)\\&=& i\left((k+1)!{\mathbb{P}}\left( X_{k}=i\right) - \sum\limits_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(k)j^k\right) = i \alpha_k.\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"(\alpha _k)\" est g\u00e9om\u00e9trique de raison \"i\" donc, pour tout \"k\in \mathbb{N},\" \"\alpha_k=i^k\alpha_0.\"<\/p>\r\n

Or \"\alpha_0= (0+1)!{\mathbb{P}}\left( X_{0}=i\right) - \sum\limits_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(0)j^0=P_{i,i}(X)\" car \"i>1\" donc \"\mathbb{P}\left( X_{0}=i\right)=0\".<\/p>\r\n

Donc \"\alpha_k=-i^kP_{i,i}(X)\" donc \"(k+1)!\mathbb{P}\left( X_{k}=i\right) - \sum\limits_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(k)j^k = i^kP_{i,i}(k)\" car \"P_{i,i}\" est un polyn\u00f4me constant.<\/p>\r\n

Donc \"(k+1)!\mathbb{P}\left( X_{k}=i\right) = \sum\limits_{j=1}^{i-1}P_{i,j}(k)j^k + i^kP_{i,i}(k) = \sum\limits_{j=1}^{i}P_{i,j}(k)j^k\".<\/p>\r\n

Cela prouve que \"{\cal H}_i\" est vraie.<\/p>\r\n

16\/ c\/<\/strong> Le 16(a) initialise la r\u00e9currence, le 16(b) assure l’h\u00e9r\u00e9dit\u00e9 donc, pour tout \"i\in\mathbb{N}^*,\" on a, pour tout \"k\in\mathbb{N},\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}\left( X_{k}=i\right) = \frac{1}{(k+1)!}\sum\limits_{j=1}^{i}P_{i,j}(k)j^k .\]\"<\/p><\/p>\r\n

17\/<\/strong> a\/<\/strong> Au 7(c), il est vu que, pour tout \"k\in\mathbb{N},\" \"\mathbb{P}(X_k=2)=\frac{2^{k+1}-k-2}{(k+1)!}\".<\/p>\r\n

Le 15(a) donne \"P_{2,1}(X)=-X-2\" donc avec la question 16, on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}\left( X_{k}=2\right) = \frac{1}{(k+1)!}\sum\limits_{j=1}^{2}P_{2,j}(k)j^k =\frac{1}{(k+1)!}\left( P_{2,1}(k)+P_{2,2}(k)2^k \right)= \frac{1}{(k+1)!}\left( -k-2+2^{k+1} \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Les r\u00e9sultats sont identiques.<\/p>\r\n

17\/ b\/<\/strong> Soit \"k\in\mathbb{N}^*,\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\mathbb{P}\left( X_{k}=3\right) = \frac{1}{(k+1)!}\sum\limits_{j=1}^{3}P_{3,j}(k)j^k = \frac{1}{(k+1)!}\left( P_{3,1}(k)+P_{3,2}(k)2^k+P_{3,3}(k)3^k \right)\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[= \frac{1}{(k+1)!}\left( \frac12 k^2+\frac32 k +1+\left( -2k-4 \right)2^k+3^{k+1} \right).\]\"<\/p><\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

 <\/p>\r\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00a0 Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2019 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths Ecricome Exercice 1 : Int\u00e9grale de Wallis 1\/ La fonction cosinus est continue sur ainsi que la fonction polynomiale donc par composition la fonction est continue sur donc on peut l’int\u00e9grer sur le segment et est bien d\u00e9finie. On […]<\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"yoast_head":"\nCorrig\u00e9 du sujet d'annale de maths ECRICOME ECS 2019<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths ECRICOME 2019 voie ECS : int\u00e9grales, suites, probabilit\u00e9s, alg\u00e8bre lin\u00e9aire...\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"fr_FR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths ECRICOME ECS 2019\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths ECRICOME 2019 voie ECS : int\u00e9grales, suites, probabilit\u00e9s, alg\u00e8bre lin\u00e9aire...\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Groupe R\u00e9ussite\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2022-06-11T17:25:07+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"170\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"180\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:site\" content=\"@GroupeReussite\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"20 minutes\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/\",\"name\":\"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths ECRICOME ECS 2019\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website\"},\"datePublished\":\"2019-07-29T13:08:38+00:00\",\"dateModified\":\"2022-06-11T17:25:07+00:00\",\"description\":\"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths ECRICOME 2019 voie ECS : int\u00e9grales, suites, probabilit\u00e9s, alg\u00e8bre lin\u00e9aire...\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Accueil\",\"item\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2019\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/\",\"name\":\"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances\",\"description\":\"Stage et Cours particuliers maths, fran\u00e7ais, anglais, informatique, physique chimie\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"fr-FR\"},{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization\",\"name\":\"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/\",\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"fr-FR\",\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/\",\"url\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png\",\"contentUrl\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png\",\"width\":170,\"height\":180,\"caption\":\"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/\"},\"sameAs\":[\"https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/\",\"https:\/\/twitter.com\/GroupeReussite\",\"https:\/\/www.youtube.com\/c\/GroupeReussite\",\"https:\/\/www.instagram.com\/groupe_reussite_officiel\/\",\"https:\/\/fr.linkedin.com\/company\/groupe-reussite\",\"https:\/\/www.tiktok.com\/@groupereussite\",\"https:\/\/fr.pinterest.com\/GroupeReussite\/\",\"https:\/\/www.reddit.com\/user\/Groupe-Reussite\/\"]}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths ECRICOME ECS 2019","description":"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths ECRICOME 2019 voie ECS : int\u00e9grales, suites, probabilit\u00e9s, alg\u00e8bre lin\u00e9aire...","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/","og_locale":"fr_FR","og_type":"article","og_title":"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths ECRICOME ECS 2019","og_description":"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths ECRICOME 2019 voie ECS : int\u00e9grales, suites, probabilit\u00e9s, alg\u00e8bre lin\u00e9aire...","og_url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/","og_site_name":"Groupe R\u00e9ussite","article_publisher":"https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/","article_modified_time":"2022-06-11T17:25:07+00:00","og_image":[{"width":170,"height":180,"url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png","type":"image\/png"}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_site":"@GroupeReussite","twitter_misc":{"Dur\u00e9e de lecture estim\u00e9e":"20 minutes"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/","name":"Corrig\u00e9 du sujet d'annale de maths ECRICOME ECS 2019","isPartOf":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website"},"datePublished":"2019-07-29T13:08:38+00:00","dateModified":"2022-06-11T17:25:07+00:00","description":"Retrouvez ici le corrig\u00e9 du sujet de maths ECRICOME 2019 voie ECS : int\u00e9grales, suites, probabilit\u00e9s, alg\u00e8bre lin\u00e9aire...","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/#breadcrumb"},"inLanguage":"fr-FR","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2019\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Accueil","item":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2019"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#website","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/","name":"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances","description":"Stage et Cours particuliers maths, fran\u00e7ais, anglais, informatique, physique chimie","publisher":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization"},"potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/?s={search_term_string}"},"query-input":"required name=search_term_string"}],"inLanguage":"fr-FR"},{"@type":"Organization","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#organization","name":"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/","logo":{"@type":"ImageObject","inLanguage":"fr-FR","@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/","url":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png","contentUrl":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/logo-groupe-reussite-carre.png","width":170,"height":180,"caption":"Groupe R\u00e9ussite - Cours particuliers et stages de vacances"},"image":{"@id":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/#\/schema\/logo\/image\/"},"sameAs":["https:\/\/www.facebook.com\/GroupeReussiteOfficiel\/","https:\/\/twitter.com\/GroupeReussite","https:\/\/www.youtube.com\/c\/GroupeReussite","https:\/\/www.instagram.com\/groupe_reussite_officiel\/","https:\/\/fr.linkedin.com\/company\/groupe-reussite","https:\/\/www.tiktok.com\/@groupereussite","https:\/\/fr.pinterest.com\/GroupeReussite\/","https:\/\/www.reddit.com\/user\/Groupe-Reussite\/"]}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/32538"}],"collection":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=32538"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/32538\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=32538"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}