{"id":32614,"date":"2019-07-30T11:03:36","date_gmt":"2019-07-30T10:03:36","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=32614"},"modified":"2022-06-11T18:00:26","modified_gmt":"2022-06-11T17:00:26","slug":"annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2019","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2019\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2019"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2019<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\r\n

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Exercice 1 : Polynome annulateur et g\u00e9n\u00e9ralisation<\/h2>\r\n

1\/ a\/<\/strong> On a \"A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\cr -6&7&-6\cr -3&3&-2\cr \end{pmatrix}=3A-2I\".\u00a0
\"P(X)=X^2-3X+2=(X-1)(X-2)\" est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 2 annulateur de \"A\".\u00a0<\/p>\r\n

1\/ b\/<\/strong> Par propri\u00e9t\u00e9, \"Sp(A) \subset \{\text{racines de }P \}\" soit \"Sp(A)\subset \{1,2\}\".
Les valeurs propres possibles de \"A\" sont \"\lambda _1=1\" et \"\lambda _2=2\".<\/p>\r\n

1\/ c\/<\/strong> Les valeurs propres de \"f\" sont \u00e9gales \u00e0 celles de \"A\".Pour \"\lambda\" r\u00e9el, on note \"E_{\lambda}=\ker (f-\lambda \id)\". Avec le th\u00e9or\u00e8me du rang, \"\dim E_{\lambda}=3-\rg (A-\lambda I_3)\". On peut donc conjecturer que \"1\" et 2 sont effectivement valeurs propres de \"f\" et que \"\dim E_1=2\" et \"\dim E_2=1\".<\/p>\r\n

1\/ d\/<\/strong> \"(A-I_3)X=0\Leftrightarrow -x_1+x_2-x_3=0 \Leftrightarrow \begin{cases}x_2&=x_1+x_3\\x_1&\in\mathbb{R}\\x_3&\in \mathbb{R}\end{cases}\" et l’espace propre associ\u00e9 \u00e0 la valeur propre 1 est \"E_1(A)=\vect<\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}>\". Ces deux vecteurs ne sont pas colin\u00e9aires et forment une famille libre.
\"1\in Sp(f)\" et \"((1,1,0),(1,0,-1))\" est une base de \"\ker (f-\operatorname{Id})\".
\"(A-2I)X=0\Leftrightarrow \begin{cases}x_1&=0\\x_2&=2x_3\end{cases}\" et \"E_2(A)=\vect<\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}>\".
2 est valeur propre de \"f\" et \"(0,2,1)\" est une base de \"\ker (f-2\operatorname{Id})\".<\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> Par la question 1., les valeurs propres de \"f\" sont 1 et 2, et la somme des dimensions des espaces propres de \"f\" vaut 3, soit \"\dim\mathbb{R}^3\". \"f\" est donc diagonalisable et \"\ker (f-\operatorname{id})\oplus \ker (f-2\operatorname{id})=\mathbb{R}^3\". La concat\u00e9nation de bases de chacun des espaces propres est une base de \"\mathbb{R}^3\".<\/p>\r\n

Pour respecter les conditions impos\u00e9es, changeons la base trouv\u00e9e pour \"E_1\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\vect<\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}>=\vect<\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}>=\vect<\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}>\]\"<\/p>
et la famille en jeu est encore libre. Prenons donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[u_1=(1,1,0),\quad v_1=(0,1,1),\quad v_2=(0,1,2)\]\"<\/p>
\"(u_1,v_1)\" est une base de \"\ker (f-\operatorname{Id)}\" et \"v_2\" est une base de \"\ker (f-2\operatorname{id})\". Leur concat\u00e9nation \"(u_1,v_1,v_2)\" est une base de \"\mathbb{R}^3\".<\/p>\r\n

\"\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\" ssi \"\begin{cases}a+\lambda +2\gamma = b\\\lambda +\gamma =c\end{cases}\".<\/p>\r\n

2\/ b\/<\/strong> On trouve en r\u00e9solvant ce syst\u00e8me :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+(a-b+2c)\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+(-a+b-c) \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\]\"<\/p>
\"x=(a,b,c)\" a pour coordonn\u00e9es \"a,\; a-b+2c,\; -a+b-c\" dans la base \"(u_1,v_1,v_2)\".<\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> Posons \"P(X)=(X-\lambda _1)(X-\lambda_2)\dots (X-\lambda_p)\". On cherche \u00e0 calculer \"P(D)\".
Comme \"D\" est une matrice diagonale, de coefficients diagonaux \"d_{1,1},\dots , d_{n,n}\", on a pour tout \"k\in \mathbb{N}\", \"D^k=\begin{pmatrix}d_{1,1}^k&0&\dots& 0\\0&d_{2,2}^k&\ddots & \vdots\\\vdots & \ddots &\ddots & 0\\0&\dots & 0&d_{n,n}^k\end{pmatrix}\", et par r\u00e8gles de calcul matriciel, pour \"a_0,a_1,\dots , a_p\" r\u00e9els :

  <\/span>   <\/span>\"\[a_0I+a_1D+\dots + a_pD^p=\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^pa_kd_{1,1}^k&0&\dots& 0\\0&\sum\limits_{k=0}^pa_kd_{2,2}^k&\ddots & \vdots\\\vdots & \ddots &\ddots & 0\\0&\dots & 0&\sum\limits_{k=0}^pa_kd_{n,n}^k\end{pmatrix}\]\"<\/p>
Il s’ensuit que \"P(D)=\begin{pmatrix}P(d_{1,1})&0&\dots& 0\\0&P(d_{2,2})&\ddots & \vdots\\\vdots & \ddots &\ddots & 0\\0&\dots & 0&P(d_{n,n})\end{pmatrix}\".\u00a0<\/p>\r\n

La matrice diagonale \"D\" est une matrice qui comporte sur sa diagonale les valeurs propres de \"f\" : pour tout \"i\", \"d_{i,i}\in \{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p\}\", donc tous les coefficients diagonaux de \"D\" sont des racines de \"P\".
Finalement, \"P(D)=0\".
\"(D-\lambda_1I_n)(D-\lambda_2I_n)\dots (D-\lambda_pI_n)=0\"<\/p>\r\n

3\/ b\/<\/strong> Le polyn\u00f4me \"P\" pr\u00e9sent\u00e9 en question pr\u00e9c\u00e9dente est donc annulateur de \"D\" et :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[0=P(\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}}\left( f\right))\underset{\text{cours}}{=}\limfunc{Mat}_{\mathcal{B}}\left( P(f)\right)\text{ et donc }P(f)=0\]\"<\/p>
\"(X-\lambda _1)(X-\lambda_2)\dots (X-\lambda_p)\" est un polyn\u00f4me annulateur de \"f\".<\/p>\r\n

4\/a\/<\/strong> Pour \"k\" fix\u00e9 dans \"\llbracket 1, p\rrbracket\", les racines de \"L_k\" sont \"1,2,\dots, k-1,k+1,\dots ,p\" (on les a facilement car \"L_k\" est sous forme factoris\u00e9e). Pour \"i\in\llbracket 1, p\rrbracket\", \"i\neq k\", \"L_k(\lambda _i)=0\". Par produit de termes valant 1, \"L_k(\lambda _k)=1\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\hbox{$L_k(\lambda_i)=\begin{cases}1&\text{ si }i=k\\0&\text{ si }i\neq k\end{cases}$\]\"<\/p>
4\/ b\/<\/strong> \"\bullet\" Le degr\u00e9 de chaque polyn\u00f4me \"L_k\" est \"p-1\", donc la famille \"(L_1,L_2,\dots, L_p)\" est bien une famille de \"\mathbb{R}_{p-1}[X]\".
\"\bullet\" Montrons que cette famille est libre. Soient \"a_1,a_2,\dots , a_p\" des r\u00e9els tels que \"a_1L_1+a_2L_2+\dots + a_pL_p=0\".
On a \"\forall x\in\mathbb{R}\", \"a_1L_1(x)+a_2L_2(x)+\dots + a_pL_p(x)=0\". En \u00e9valuant en \"x=\lambda_i\" et en utilisant a., on trouve \"a_i=0\".
Les r\u00e9els sont tous nuls et la famille \"(L_1,L_2,\dots, L_p)\" est libre.
\"\bullet\" \"\card(L_1,L_2,\dots, L_p)=p=\dim \mathbb{R}_{p-1}[X]\".
Par ces trois points, \"(L_1,L_2,\dots, L_p)\" est une base de \"\mathbb{R}_{p-1}[X]\".
4\/ c\/<\/strong> Soit \"P\in\mathbb{R}_{p-1}[X]\". En utilisant la base pr\u00e9c\u00e9dente, il existe des r\u00e9els \"a_1,a_2,\dots , a_p\" tels que \"P=a_1L_1+a_2L_2+\dots + a_pL_p\".
On a \"\forall x\in\mathbb{R}\", \"P(x)=a_1L_1(x)+a_2L_2(x)+\dots + a_pL_p(x)\". En \u00e9valuant en \"x=\lambda_i\" et en utilisant a., on trouve \"P(\lambda_i)=a_i\".
\"\forall P\in\mathbb{R}_{p-1}[X],\quad P=\sum\limits_{i=1}^pP(\lambda_i)L_i\"
4\/ d\/<\/strong> On applique la question pr\u00e9c\u00e9dente au polyn\u00f4me constant \u00e9gal \u00e0 1, qui appartient \u00e0 \"\mathbb{R}_{p-1}[X]\".
\"\sum\limits_{i=1}^pL_i=1\"<\/p>\r\n

5\/ a\/<\/strong> Soit \"x\in E\".

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}(f-\lambda_k\id)(L_k(f)(x))&=&((f-\lambda_k\id)\circ L_k(f))(x)\\&=&c_k((f-\lambda_k\id)\circ Q(f))(x)\end{eqnarray*}\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{ où }c_k=\prod\limits_{j\in\llbracket 1,p\rrbracket,\; j\neq k}\frac 1{\lambda_k-\lambda_j}\text{et où }Q=\prod\limits_{j\in\llbracket 1,p\rrbracket,\; j\neq k}(X-\lambda _j)\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}(f-\lambda_k\id)(L_k(f)(x))&=&c_k((X-\lambda_k)\times Q)(f)(x)=c_kP(f)(x)\\&=&0\text{ par 3.b.}\end{eqnarray*}\"<\/p>
Donc pour tout \"x\in E\", \"L_k(f)(x)\in\ker (f-\lambda_k\operatorname{id})\".<\/p>\r\n

5\/ b\/<\/strong> Par 4.d. en l’endomorphisme \"f\", \"\sum\limits_{i=1}^p L_i(f)=\operatorname{id}\".
Soit \"x\in E\". On applique l’endomorphisme pr\u00e9c\u00e9dent en \"x\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[x=\id (x)=\sum\limits_{i=1}^p L_i(f)(x)\]\"<\/p>
Par la question pr\u00e9c\u00e9dente, pour tout \"i\", \"L_i(f)(x)\in\ker (f-\lambda_i\id)\". Ce qui pr\u00e9c\u00e8de constitue donc la d\u00e9composition d’un vecteur \"x\" de \"E\" dans la somme directe \"\bigoplus\limits_{i=1}^p \ker (f-\lambda_i\id)\".<\/p>\r\n

6\/<\/strong> Ici \"p=2\", il y a deux polyn\u00f4mes : \"L_1=\frac{X-\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}=2-X\" et \"L_2=\frac{X-\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}=X-1\". Soit \"x=(a,b,c)\in \mathbb{R}^3\". Par 5.,

  <\/span>   <\/span>\"\[x=(2\id-f)(x)+(f(x)-x)\]\"<\/p>
Comme

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}(2I-A)X&=&\begin{pmatrix}1 &0&0\\2&-1&2\\1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\2a-b+2c\\a-b+2c\end{pmatrix}\\&=& a\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+(a-b+2c)\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\\\text{et }(A-I)X&=&\begin{pmatrix}0 &0 &0\\-2 &2 & -2\\-1 &1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=(-a+b-c)\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}\"<\/p> on retrouve bien \"x=au_1+(a-b+2c)v_1+(-a+b-c)v_2\".<\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 : Convergence suite de variables al\u00e9atoires<\/h2>\r\n

1\/ a\/<\/strong> Pour tout r\u00e9el \"x\", \"\arctan '(x)=\frac 1{1+x^2}\".<\/p>\r\n

1\/ b\/<\/strong> \"\arctan (1)=\frac{\pi}4\".
Soit \"f:x\mapsto \arctan x+\arctan\frac 1x\". \"f\" est d\u00e9rivable sur \"]0,+\infty[\" et
pour \"x>0\", \"f'(x)=\frac 1{1+x^2}-\frac 1{x^2}\frac 1{1+(\frac 1x)^2}=0\". Donc \"f\" est constante sur \"\mathbb{R}^{+*}\", \u00e9gale \u00e0
\"f(1)=2\arctan \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\".
\"\forall x\in \mathbb{R}^{+*}\", \"\arctan x+\arctan\frac 1x=\frac{\pi}{2}\"<\/p>\r\n

1\/ c\/<\/strong> \"\arctan\" est de classe \"\mathcal{C}^1\" sur \"\mathbb{R}\". Elle admet donc un d\u00e9veloppement limit\u00e9 \u00e0 l’ordre 1 en 0 :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\arctan x &\underset{0}{=}& \arctan 0+(\arctan)'(0)x+o(x)\\\text{or }(\arctan) '(0)&=&\frac 1{1+0^2}=1\\\text{donc }\arctan x&\underset{0}{=}&x+o(x)\end{eqnarray*}\"<\/p>
D’o\u00f9 : \"\boxed {\arctan x\underset{0}{\sim}x}\"<\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> \"f:x\mapsto \frac 1{\pi (1+x^2)}\" est continue et positive sur \"\mathbb{R}\".
Soit \"A>0\". \"\int\limits_0^A\frac 1{\pi (1+u^2)}\,\mathrm{d}u=\frac 1{\pi }(\arctan A-\arctan 0)=\frac 1{\pi}\arctan A\to \frac 12\" quand \"A\to +\infty\". Donc l’int\u00e9grale \"\int\limits_0^{+\infty}\frac 1{\pi (1+u^2)}\,\mathrm{d}u\" converge et vaut \"\frac 12\". Par parit\u00e9 de l’int\u00e9grande, \"\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac 1{\pi (1+u^2)}\,\mathrm{d}u\" converge et vaut 1.
\"f\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9.<\/p>\r\n

2\/ b\/<\/strong> Soit \"x\" r\u00e9el.

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}F_X(x)&=&\int\limits_{-\infty}^x \dfrac 1{\pi (1+u^2)}\,\mathrm{d}u=\lim\limits_{A\to -\infty}\int\limits_{A}^x \dfrac 1{\pi (1+u^2)}\,\mathrm{d}u\\&=&\lim\limits_{A\to -\infty}\frac 1{\pi}\left( \arctan x-\arctan A\right)=\frac 1{\pi}(\arctan x+\frac \pi 2)\end{eqnarray*}\"<\/p>
Pour \"x\" r\u00e9el, \"F(x)=F_X(x)=\dfrac {1}{\pi}\arctan x+\dfrac 12\"<\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> \"\bullet\" La fonction \"g\" est positive sur \"\mathbb{R}\".
\"\bullet\" La fonction \"g\" est constante sur \"\mathbb{R}^-\" donc y est continue.
La fonction \"x\mapsto -\frac 1x\" est continue sur \"]0,+\infty[\" et \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}\", o\u00f9 exp est continue. Donc \"x\mapsto e^{-1/x}\" est continue sur \"]0,+\infty[\". Par produit avec \"x\mapsto \frac 1{x^2}\" continue sur \"]0,+\infty[\", \"g\" est continue sur cet intervalle.
\"g\" est donc continue sur \"\mathbb{R}\" sauf \u00e9ventuellement en 0.
\"\bullet\" L’int\u00e9grale \"\int\limits_{-\infty}^0g(x)\,\mathrm{d}x\" converge et vaut 0.
Soit \"A\in ]0,1]\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\int\limits_A^1g(x)\,\mathrm{d}x=\left[e^{-1/x}\right]_A^1=e^{-1}-e^{-1/A}\underset{A\to 0^+}{\longrightarrow}e^{-1}\]\"<\/p>
Donc l’int\u00e9grale \"\int\limits_0^1g(x)\,\mathrm{d}x\" converge et vaut \"e^{-1}\".
Soit \"A\in [1,+\infty[\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\int\limits_1^Ag(x)\,\mathrm{d}x=\left[e^{-1/x}\right]_1^A=-e^{-1}+e^{-1/A}\underset{A\to +\infty}{\longrightarrow}1-e^{-1}\]\"<\/p>
Donc l’int\u00e9grale \"\int\limits_1^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x\" converge et vaut \"1-e^{-1}\".
Finalement, l’int\u00e9grale \"\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x\" converge et vaut 1.
Par ces trois points, \"g\" est une densit\u00e9 de probabilit\u00e9.
\"g\" peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme une densit\u00e9 d’une variable al\u00e9atoire \"T\". Comme \"g\" est nulle sur \"\mathbb{R}^-\" et non nulle sur \"\mathbb{R}^{+*}\", \"T\" est \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{R}^{+*}\" (ou encore, \"P(T\geqslant 0)=\int\limits_0^{+\infty}g(t)\,\mathrm{d}t=1\").<\/p>\r\n

3\/ b\/<\/strong> \"T(\Omega)=\mathbb{R}^{+*}\" donc pour \"x\leqslant 0\", \"G(x)=0\". Soit \"x> 0\".

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}G(x)&=&\int\limits_{-\infty}^xg(t)\,\mathrm{d}t=\int\limits_0^xg(t)\,\mathrm{d}t\\&=&\lim\limits_{A\to 0^+}\int\limits_A^xg(t)\,\mathrm{d}t=\lim\limits_{A\to 0^+}(e^{-1/x}-e^{-1/A})=e^{-1/x}\end{eqnarray*}\"<\/p>
\"G(x)=\begin{cases}0&\text{ si }x\leqslant 0\\e^{-1/x}&\text{ si }x>0\end{cases}\"<\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> \"M_n(\Omega)\subset \mathbb{R}\". Pour \"x\" r\u00e9el, \"[M_n\leqslant x]\" est r\u00e9alis\u00e9 ssi toutes les variables al\u00e9atoires \"X_k\", \"1\leqslant k\leqslant n\", prennent une valeur inf\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 \"x\" :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}P(M_n\leqslant x)&=&P\left( \bigcap\limits_{k=1}^n[X_k\leqslant x]\right)\\&=&\prod\limits_{k=1}^n P(X_k\leqslant x)\text{ par ind\'ependance de }X_1,\dots, X_n\\&=&[F_{X_1}(x)]^n \text{ car tous les $X_i$ suivent la m\^eme loi}\\&=&\left(\dfrac {1}{\pi}\arctan x+\dfrac 12 \right)^n\text{ par 2.b.}\end{eqnarray*}\"<\/p>
Pour \"x\in\mathbb{R}\", \"F_{M_n}(x)=\left(\dfrac {1}{\pi}\arctan x+\dfrac 12 \right)^n\".<\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> \"Y_n(\Omega)=\mathbb{R}\" et pour \"x\" r\u00e9el, \"G_n(x)=P(\frac\pi{n}M_n\leqslant x)=P(M_n\leqslant \frac{nx}\pi)\".<\/p>\r\n

Pour \"x\in\mathbb{R}\", \"G_n(x)=\left( \dfrac {1}{\pi}\arctan (\frac{nx}\pi)+\dfrac 12 \right)^n\".<\/p>\r\n

5\/ a\/<\/strong> Soit \"x\leqslant 0\". \"-\frac{\pi}{2}\leqslant \arctan (\frac{nx}\pi)\leqslant 0\", donc
\"0\leqslant \frac {1}{\pi}\arctan (\frac{nx}\pi+\frac 12 \leqslant \frac 12\" puis \"0\leqslant G_n(x)\leqslant (\frac 12)^n\".
Comme \"\lim\limits_{n\to -\infty}(\frac 12)^n=0\", on a \"\lim\limits_{n\to +\infty}G_n(x)=0\" par le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement.

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{Pour $x\leqslant 0$, $\lim\limits_{n\to +\infty}G_n(x)=0$.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

5\/ b\/<\/strong> Soit \"x>0\". Par 1.b. \"\arctan (\frac{nx}\pi)=\frac \pi 2-\arctan (\frac \pi {nx})\". Il s’ensuit :

  <\/span>   <\/span>\"\[G_n(x)=\left( 1-\dfrac 1{\pi}\arctan \left( \frac{\pi}{nx}\right)\right)^n\]\"<\/p><\/p>\r\n

5\/ c\/<\/strong> Soit \"x>0\".

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}G_n(x)&=&\exp [n\ln \left( 1-\dfrac 1{\pi}\arctan \left( \frac{\pi}{nx}\right)\right)]\\\ln \left( 1-\dfrac 1{\pi}\arctan \left( \frac{\pi}{nx}\right)\right)&\sim& -\dfrac 1{\pi}\arctan \left( \frac{\pi}{nx}\right)\text{ d'apr\`es }\ln (1+u)\underset{0}{\sim}u\\-\dfrac 1{\pi}\arctan \left( \frac{\pi}{nx}\right)&\underset{\text{1.c.}}{\sim}&-\dfrac 1{nx}\\n\ln \left( 1-\dfrac 1{\pi}\arctan \left( \frac{\pi}{nx}\right)\right)&\sim& -\dfrac 1x\end{eqnarray*}\"<\/p>
Donc \"\lim\limits_{n\to +\infty}G_n(x)=e^{-1/x}\".
Pour \"x>0\", \"\lim\limits_{n\to +\infty}G_n(x)=e^{-1/x}\".<\/p>\r\n

5\/ d\/<\/strong> En reprenant 3.b., l’ensemble des points de continuit\u00e9 de \"G\" est \"\mathbb{R}^*\". Par 5.a. et 5.c., pour tout \"x\in\mathbb{R}^*\", \"\lim\limits_{n\to +\infty}G_n(x)=G(x)\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed {La suite $(Y_n)$ converge en loi vers $T$.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
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COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Exercice 3 : Les endomorphismes normaux<\/h2>\r\n

1\/ a\/<\/strong> Par l’expression d’un vecteur dans la base orthonorm\u00e9e \"\mathcal{B}\", on a :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x\in E,\quad x=\sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i\rangle e_i\]\"<\/p>
et en particulier, pour \"x=u^*(y)\", nous avons \"u^*(y)=\sum\limits_{i=1}^n \langle u^*(y),e_i\rangle e_i\".
Or \"\langle u^*(y),e_i\rangle=\langle e_i,u^*(y)\rangle =\langle u(e_i),y\rangle\", donc pour tout \"y\" de \"E\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[u^*(y)=\sum\limits_{i=1}^n \langle u(e_i),y\rangle e_i\]\"<\/p><\/p>\r\n

1\/ b\/<\/strong> Si \"u^*\" existe, \"u^*(y)\" est parfaitement d\u00e9termin\u00e9 par la donn\u00e9e de \"y\", et des donn\u00e9es de l’\u00e9nonc\u00e9 (\"u\" et la base \"\mathcal{B}\").
Si \"u^*\" existe, \"u^*\" est unique.<\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> Soit \"f:y\mapsto \sum\limits_{i=1}^n \langle u(e_i),y\rangle e_i\". \"f\" est une application de \"E\" dans \"E\" (pour \"y\in E\", \"f(y)\" est une combinaison lin\u00e9aire des vecteurs de \"\cal B\").
Soient \"\lambda\" r\u00e9el et \"x\" et \"y\" vecteurs de \"E\". On a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}f(\lambda x+y)&=&\sum\limits_{i=1}^n \langle u(e_i),\lambda x+y\rangle e_i\\&&\text{ et par lin\'earit\'e \`a droite du produit scalaire :}\\&=&\sum\limits_{i=1}^n (\lambda\langle u(e_i), x\rangle +\langle u(e_i),y\rangle )e_i\\&=&\sum\limits_{i=1}^n (\lambda\langle u(e_i), x\rangle e_i +\langle u(e_i),y\rangle e_i)\\&=&\lambda \sum\limits_{i=1}^n \langle u(e_i), x\rangle e_i+\sum\limits_{i=1}^n\langle u(e_i),y\rangle e_i\\&=&\lambda f(x)+f(y)\end{eqnarray*}\"<\/p>
donc \"f\" est une application lin\u00e9aire.
L’application \"u^*\" d\u00e9finie par l’\u00e9galit\u00e9 du 1.a. est un endomorphisme de \"E\".<\/p>\r\n

2\/ b\/<\/strong> Enfin, pour \"x\" et \"y\" dans \"E\", avec la notation \"f\" de la question pr\u00e9c\u00e9dente, on a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\langle x,f(y)\rangle &=&\langle x,\sum\limits_{i=1}^n \langle u(e_i), y\rangle e_i\rangle\\&&\text{par lin\'earit\'e \`a droite du produit scalaire :}\\&=&\sum\limits_{i=1}^n \langle u(e_i),y\rangle \langle x,e_i\rangle\\&&\text{par lin\'earit\'e \`a gauche du produit scalaire :}\\&=&\langle \sum\limits_{i=1}^n \langle x,e_i\rangle u(e_i),y\rangle \\&&\text{par lin\'earit\'e de $u$ :}\\&=&\langle u( \sum\limits_{i=1}^n\langle x,e_i\rangle e_i),y\rangle=\langle u(x),y\rangle\end{eqnarray*}\"<\/p>
Donc l’application \"f\" est solution du probl\u00e8me pos\u00e9.\u00a0
Par analyse-synth\u00e8se, nous avons montr\u00e9 l’existence et l’unicit\u00e9 de l’endomorphisme adjoint \"u^*\" de \"u\", v\u00e9rifiant :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall (x,y)\in E^2,\quad \langle u(x),y\rangle =\langle x,u^*(y)\rangle\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/<\/strong> Quand \"u\" est un endomorphisme sym\u00e9trique, on a :\"\forall (x,y)\in E^2,\quad \langle u(x),y\rangle =\langle x,u(y)\rangle\", et par unicit\u00e9 de \"u^*\", on a \"u^*=u\".\u00a0
De plus, \"u\circ u^*=u^2=u^*\circ u\" dans ce cas.
Pour \"f\" endomorphisme sym\u00e9trique, \"f^*=f\" et \"f\" est normal.<\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> Pour \"x\in E\",

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\Vert u(x)\Vert ^2&=&\langle u(x),u(x)\rangle =\langle x,u^*(u(x))\rangle \\&=&\langle x,u(u^*(x))\rangle \text{ car }u\text{ est normal}\\&=&\langle u(u^*(x)),x\rangle = \langle u^*(x),u^*(x)\rangle\\&=&\Vert u^*(x)\Vert ^2\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

Comme les normes sont positives, \"\Vert u(x)\Vert =\Vert u^*(x)\Vert\".<\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> On a :<\/p>\r\n

\"x\in \ker u\Leftrightarrow u(x)=0\Leftrightarrow\Vert u(x)\Vert =0\Leftrightarrow \Vert u^*(x)\Vert=0\Leftrightarrow u^*(x)=0\"<\/p>\r\n

\"\Leftrightarrow x\in\ker u^*\",<\/p>\r\n

d’o\u00f9 \"\ker u=\ker u^*\"<\/p>\r\n

5\/<\/strong> Soit \"F\" un sous-espace vectoriel de \"E\" stable par \"u\". Soit \"x\in F^\perp\". Pour tout \"y\in F\", nous avons :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\langle u^*(x),y\rangle &=&\langle x,u(y)\rangle \end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"y\in F\" et que \"F\" est stable par \"u\", \"u(y)\" appartient \u00e0 \"F\". Et \"x\in F^\perp\", donc \"\langle x,u(y)\rangle =0\".
Ainsi \"\langle u^*(x),y\rangle =0\" et \"u^*(x)\in F^\perp\".
Si \"F\" est stable par \"u\", \"F^\perp\" est stable par \"u^*\".<\/p>\r\n

6\/ a\/<\/strong> Soit \"x\in E_{\lambda}\". On a \"u(x)=\lambda x\". En composant par \"u^*\" lin\u00e9aire, on a \"u^*(u(x))=\lambda u^*(x)\", et comme \"u\" est normal, \"u(u^*(x))=\lambda u^*(x)\". Ainsi \"u^*(x)\in E_{\lambda}\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{$E_{\lambda}$ est stable par $u^*$.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/ b\/<\/strong> Soient \"x\" et \"y\" dans \"E\". On a :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\langle u(y),x\rangle &=&\langle y,u^*(x)\rangle \end{eqnarray*}\"<\/p> par d\u00e9finition de \"u^*\"
soit, \u00e9crit autrement :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\langle u^*(x),y\rangle &=&\langle x,u(y)\rangle \end{eqnarray*}\"<\/p>
Par la d\u00e9finition d’un adjoint, on reconna\u00eet, par unicit\u00e9 de l’adjoint, que \"(u^*)^*=u\".
On applique 5. avec \"F=E_{\lambda}\" et l’endomorphisme \"u^*\". On obtient : \"E_{\lambda}^\perp\" est stable par \"(u^*)^*\", c’est-\u00e0-dire \"u\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{$E_{\lambda}^\perp$ est stable par $u$.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Probl\u00e8me : Scilab, variable al\u00e9atoire et fonction g\u00e9n\u00e9ratrice<\/h2>\r\n

1\/<\/strong> \"G(1)=\sum\limits_{k=1}^n P(X=k)=1\" car \"X\" est \u00e0 valeurs dans \"[\![1;n]\!]\".<\/p>\r\n

2\/<\/strong> \"G\" est une fonction polynomiale donc \"G\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et pour \"t\" r\u00e9el,

  <\/span>   <\/span>\"\[G'(t)=\sum\limits_{k=1}^n P(X=k)kt^{k-1}\text{ et en particulier, }G'(1)=\sum\limits_{k=1}^n P(X=k)k=E(X)\]\"<\/p>
\"E(X)=G'(1)\"<\/p>\r\n

3\/<\/strong> \"G\" est deux fois d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" comme fonction polynomiale.
Si \"n=1\", \"G'(t)=P(X=1)\" et \"G''(t)=0\".
Si \"n\geqslant 2\", \"G'(t)=P(X=1)+\sum\limits_{k=2}^n kP(X=k)t^{k-1}\" et pour \"t\" r\u00e9el :

  <\/span>   <\/span>\"\[G''(t)=\sum\limits_{k=2}^n k(k-1)P(X=k)t^{k-2} \]\"<\/p> puis \"G''(1)=\sum\limits_{k=2}^n k(k-1)P(X=k)=\sum\limits_{k=1}^n k(k-1)P(X=k)-0\".
Pour tout \"n\in\mathbb{N}^*\", on a \"G''(1)=\sum\limits_{k=1}^n k(k-1)P(X=k)\". Par le th\u00e9or\u00e8me du transfert,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[G''(1)=E(X(X-1))\]\"<\/p>
Nous avons donc :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}G''(1)+G'(1)&=&E(X(X-1))+E(X)\\&=&E(X(X-1)+X)\text{ par lin\'earit\'e de l'esp\'erance}\\&=&E(X^2)\\G''(1)+G'(1)-(G'(1))^2&=&E(X^2)-(E(X))^2\\&=&V(X)\text{ par la formule de Koenig-Huygens}\end{eqnarray*}\"<\/p>
\"V(X)=G''(1)+G'(1)-(G'(1))^2\"<\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> Soit un entier naturel \"k\" non nul. Pour \"t\in [k,k+1]\", on a \"\frac 1{k+1}\leqslant \frac 1t\leqslant \frac 1k\". Par \u00ab\u00a0croissance de l’int\u00e9grale\u00a0\u00bb :

  <\/span>   <\/span>\"\[\int\limits_k^{k+1}\frac 1{k+1}\,\mathrm{d}t\leqslant \int\limits_k^{k+1}\frac 1{t}\,\mathrm{d}t\leqslant \int\limits_k^{k+1}\frac 1{k}\,\mathrm{d}t \]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[\text{ainsi }(k+1-k)\frac 1{k+1}\leqslant \left[\ln t\right]_k^{k+1}\leqslant (k+1-k)\frac 1k\]\"<\/p>
Pour tout \"k\in\mathbb{N}^*\", \"\frac 1{k+1}\leqslant \ln (k+1)-\ln k\leqslant \frac 1k\".<\/p>\r\n

4\/ b\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}^*\", \"n\geqslant 2\". On somme les in\u00e9galit\u00e9s de a. pour \"k\" allant de 1 \u00e0 \"n-1\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac 1{k+1}\leqslant \sum\limits_{k=1}^{n-1}(\ln (k+1)-\ln k)\leqslant \sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac 1k\]\"<\/p>
et par t\u00e9lescopage : \"\sum\limits_{j=2}^n \frac 1j\leqslant \ln n - \ln 1\leqslant (\sum\limits_{k=1}^n \frac 1k)-\frac 1n\", puis \"u_n-1\leqslant \ln n\leqslant u_n-\frac 1n\".<\/p>\r\n

Pour \"n\geqslant 2\", \"\ln n+\frac 1n\leqslant u_n\leqslant \ln n+1\".<\/p>\r\n

4\/ c\/<\/strong> Pour \"n\geqslant 2\", \"\ln n>0\", et l’encadrement pr\u00e9c\u00e9dent nous donne :

  <\/span>   <\/span>\"\[1+\frac 1{n\ln n}\leqslant \frac{u_n}{\ln n}\leqslant 1+\frac 1{\ln n}\]\"<\/p>
Sans forme ind\u00e9termin\u00e9e, les deux suites encadrantes tendent vers 1. Par le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement, \"\lim \frac{u_n}{\ln n}=1\".
Un \u00e9quivalent de \"u_n\" est \"\ln n\".<\/p>\r\n

5\/<\/strong> \"(h_n)\" est la suite des sommes partielles de la s\u00e9rie de Riemann \"\sum \frac 1{n^2}\". Comme \"2>1\", cette s\u00e9rie converge, et donc \"(h_n)\" admet une limite finie.
La suite \"(h_n)\" est convergente.<\/p>\r\n

6\/<\/strong> On peut compl\u00e9ter les lignes 6, 7 et 8 par : \"aux = A(j) ; A(j) = A(p) ; A(p) = aux\".<\/p>\r\n

7\/ a\/<\/strong> La boucle for programm\u00e9e a pour effet d’attribuer \u00e0 \"m\" la plus grande valeur apparaissant dans \"A\". Comme \"A\" contient les entiers 1 \u00e0 \"n\", \"m\" vaut bien \"n\".<\/p>\r\n

7\/ b\/<\/strong> \"c\" est la position du maximum, indice de \"A\" en lequel figure la valeur \"n\".<\/p>\r\n

7\/ c\/<\/strong> \"c = find(A==n)\"<\/p>\r\n

8\/<\/strong> Lorsque \"n\" vaut 1, la boucle \"for\" n’est pas ex\u00e9cut\u00e9e, et il n’y a qu’une seule affectation concernant \"c\", donc \"X_1\" est la variable al\u00e9atoire certaine \u00e9gale \u00e0 1.<\/p>\r\n

9\/ a\/<\/strong> Le minimum du nombre d’affectations de \"c\" a lieu ssi le maximum \"n\" figure en premi\u00e8re place, cas o\u00f9 il y a l’affectation \"c=1\" et c’est tout (les tests de la boucle \"for\" sont tous \"false\"). La valeur minimale prise par \"X_n\" est 1.
Le maximum du nombre d’affectations de \"c\" a lieu ssi le tableau est \"\begin{bmatrix}1&2&\dots & n\end{bmatrix}\", cas o\u00f9 il y a l’affectation \"c=1\" et une affectation par passage dans la boucle (les tests de la boucle \"for\" sont tous \"true\"). La valeur maximale prise par \"X_n\" est \"n\".
Les situations interm\u00e9diaires sont toutes possibles ; par exemple, pour un tableau \"\begin{bmatrix}n-1&1&2&\dots & n\end{bmatrix}\", \"X_n\" vaut 2 (il y a l’affectation initiale \"c=n-1\" et l’affectation lors du dernier passage en boucle \"for\").
\"X_n(\Omega)=[\![1,n]\!]\"<\/p>\r\n

9\/ b\/<\/strong> \"[X_n=n]\" est r\u00e9alis\u00e9 ssi le tableau est \"\begin{bmatrix}1&2&\dots & n\end{bmatrix}\", c’est-\u00e0-dire pour l’unique permutation \"(1,2,\dots, n)\" de \"A\", sur l’ensemble des \"n!\" permutations \u00e9quiprobables. Donc \"P(X_n=n)=\frac 1{n!}\".
\"\bullet\" \"[X_n=1]\" est r\u00e9alis\u00e9 ssi le tableau d\u00e9bute par \"n\" (soit \"A_1=n\" si on utilise les notations de l’\u00e9nonc\u00e9). Il y a \"(n-1)!\" permutations de \"[\![1;n]\!]\" d\u00e9butant par \"n\". Donc \"P(X_n=1)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac 1{n}\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Loi de \"X_2\" : \"X_2(\Omega)=[\![1,2]\!]\" et \"P(X_2=1)=\frac 12=P(X_2=2)\". \"X_2\" suit la loi uniforme sur \"[\![1,2]\!]\".<\/p>\r\n

\"\bullet\" Loi de \"X_3\" : On a \"X_3(\Omega)=[\![1,2,3]\!]\" et \"P(X_3=1)=\frac 13\" et \"P(X_3=3)=\frac 16\".
Ainsi \"P(X_3=2)=1-P(X_3=1)-P(X_3=3)=\frac 12\", et on peut r\u00e9capituler :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}\hline$k$&1&2&3&4\\\hline&&&&\\$P(X_4=k)$& $\frac 14$ & $\frac {11}{24}$&$\frac 14 $& $\frac 1{24}$\\&&&&\\\hline\end{tabular}\end{center}\]\"<\/p><\/p>\r\n

9\/ c\/<\/strong> Soit \"n\geqslant 2\" et \"j\in\llbracket 2,n \rrbracket\".
Les \u00e9v\u00e9nements \"(A_n=n)\" et \"(A_n<n)\" forment un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements. Par la formule des probabilit\u00e9s totales :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}P(X_n=j)&=&P([X_n=j]\cap [A_n=n])+P([X_n=j]\cap [A_n<n])\\&=&P(A_n=n)P_{[A_n=n]}(X_n=j)+P(A_n<n)P_{[A_n<n]}(X_n=j)\end{eqnarray*}\"<\/p>
Int\u00e9ressons-nous \u00e0 \"P_{[A_n=n]}([X_n=j])\". Lorsque \"[A_n=n]\" est r\u00e9alis\u00e9, comme \"m\" vaudra \"n\" et sera obtenu pour le dernier passage dans la boucle \"for\", il y aura une affectation pour \"c\" en dernier passage de la boucle \"for\". \"X_n\" prend dans ce cas la valeur \"j\" ssi il y a eu \"j-1\" affectations lors des \"n-1\" premiers passages en boucle \"for\", qui concernent en fait les permutations de \"[\!1,n-1]\!]\". On comprend ainsi que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P_{[A_n=n]}(X_n=j)=P(X_{n-1}=j-1)\]\"<\/p>
Enfin, il y a \"(n-1)!\" permutations sur les \"n!\" permutations \u00e9quiprobables qui finissent par \"n\", donc \"P(A_n=n)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac 1n\".
R\u00e9fl\u00e9chissons \u00e0 \"P_{[A_n<n]}([X_n=j])\". Lorsque \"[A_n<n]\" est r\u00e9alis\u00e9, le maximum \"m\" (qui vaut \"n\") aura \u00e9t\u00e9 trouv\u00e9 avant la place \"n\" du tableau, et sera obtenu avant le dernier passage dans la boucle \"for\", il n’y aura donc aucune affectation pour \"c\" en dernier passage de la boucle \"for\". \"X_n\" prend dans ce cas la valeur \"j\" ssi il y a eu \"j\" affectations lors des \"n-1\" premiers passages en boucle \"for\", qui concernent en fait les permutations de \"n-1\" valeurs. On comprend ainsi que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P_{[A_n<n]}(X_n=j)=P(X_{n-1}=j)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Enfin, \"P(A_n<n)=1-P(A_n=n)=1-\frac 1n\". On a finalement :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\geqslant 2,\, \forall j\in\[\!2,n]\!],\quad P(X_n=j)=\dfrac 1n P(X_{n-1}=j-1)+\dfrac{n-1}nP(X_{n-1}=j)\]\"<\/p><\/p>\r\n

9\/ d\/<\/strong> On a vu que \"X_4(\Omega)=\{1,2,3,4\}\" et \"P(X_4=1)=\frac 14\" et \"P(X_4=4)=\frac 1{24}\". Par c. :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}P(X_4=2)&=&\frac 14 P(X_3=1)+\frac 34P(X_3=2)=\frac 14\times \frac 13 +\frac 34\times \frac 12=\frac{11}{24}\\P(X_4=3)&=&\frac 14P(X_3=2)+\frac 34P(X_3=3)=\frac 14\times \frac 12+\frac 34\times \frac 16=\frac 14\end{eqnarray*}\"<\/p>et on peut r\u00e9capituler :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}\hline$k$&1&2&3&4\\\hline&&&&\\$P(X_4=k)$& $\frac 14$ & $\frac {11}{24}$&$\frac 14 $& $\frac 1{24}$\\&&&&\\\hline\end{tabular}\end{center}\]\"<\/p><\/p>\r\n

10\/ a\/<\/strong> Pour \"j=1\", \"P(X_{n-1}=j-1)=0\" car 0 n’est pas une valeur prise par \"X_{n-1}\".
D’une part, \"P(X_n=1)=\frac 1{n}\" par 9.b. ; d’autre part, toujours par 9.b., \"\frac{(n-1)}nP(X_{n-1}=1)=\frac {(n-1)}n\frac 1{n-1}=\frac 1n\", donc la relation de 9.c. est valable.
9.c. reste valable pour \"j=1\".<\/p>\r\n

10\/ b\/<\/strong> Ainsi pour \"t\" r\u00e9el et \"j\in\llbracket 1,n \rrbracket\",

  <\/span>   <\/span>\"\[P(X_n=j)t^j=\frac 1nP(X_{n-1}=j-1)t^j+\frac{n-1}{n}P(X_{n-1}=j)t^j\]\"<\/p>
Sommons pour \"j\" allant de 1 \u00e0 \"n\", nous obtenons :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}G_n(t)&=&\frac 1n\sum\limits_{j=1}^nP(X_{n-1}=j-1)t^j+\frac{n-1}{n}\sum\limits_{j=1}^nP(X_{n-1}=j)t^j\\&=&\frac 1n\left(0+\sum\limits_{j=2}^nP(X_{n-1}=j-1)t^j\right)+\frac{n-1}{n}\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}P(X_{n-1}=j)t^j+0\right)\\&&\text{ car }P(X_{n-1}=0)=0\text{ et }P(X_{n-1}=n)=0\\&=&\frac 1n\sum\limits_{k=1}^{n-1}P(X_{n-1}=k)t^{k+1}+\frac{n-1}{n}G_{n-1}(t)\\&=&\frac tn\sum\limits_{k=1}^{n-1}P(X_{n-1}=k)t^{k}+\frac{n-1}{n}G_{n-1}(t)\\&=&\frac tnG_{n-1}(t)+\frac{n-1}{n}G_{n-1}(t)\end{eqnarray*}\"<\/p>
\"\forall n\geqslant 2\", \"\forall t\in\mathbb{R}\", \"G_n(t)=\frac{t+n-1}{n}G_{n-1}(t)\"<\/p>\r\n

10\/ c\/<\/strong> Soit \"\mathcal{P}_n\" la propri\u00e9t\u00e9 : \u00a0\u00bb \"\forall t\in\mathbb{R}\", \"G_n(t)= \frac 1{n!}\prod\limits_{j=0}^{n-1}(t+j)\" \u00a0\u00bb qu’on montre par r\u00e9currence pour \"n\in\mathbb{N}^*\".
Pour \"t\" r\u00e9el, \"G_1(t)=P(X_1=1)t=t\" par 8. Et \"\frac 1{1!}\prod\limits_{j=0}^{0}(t+j)=t\". Donc \"\mathcal{P}_1\" est vraie.
Soit \"n\in\mathbb{N}^*\" tel que \"\mathcal{P}_n\" est vraie. Soit \"t\in\mathbb{R}\". Par la question pr\u00e9c\u00e9dente, appliqu\u00e9e avec \"n+1\" qui est bien sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 2 :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}G_{n+1}(t)&=&\frac{t+n}{n+1}G_n(t)\\&=&\frac{t+n}{n+1}\frac 1{n!}\prod\limits_{j=0}^{n-1}(t+j)\text{ d'après }\mathcal{P}_n\\&=&\frac 1{(n+1)!}\prod\limits_{j=0}^{n}(t+j)\end{eqnarray*}\"<\/p>
\"\mathcal{P}_{n+1}\" est vraie, ce qui ach\u00e8ve la r\u00e9currence.
\"\forall n\in\mathbb{N}^*\", \"\forall t\in\mathbb{R}\", \"G_n(t)= \frac 1{n!}\prod\limits_{j=0}^{n-1}(t+j)\"<\/p>\r\n

11\/<\/strong> La d\u00e9rivation de \"(*)\" donne :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\geqslant 2,\; \forall t\in\mathbb{R},\quad G_n'(t)=\frac 1nG_{n-1}(t)+\frac{t+n-1}nG_{n-1}'(t)\]\"<\/p>
On \u00e9value en \"t=1\". En utilisant les questions 1. et 2., on obtient :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\geqslant 2,\quad E_n=G_n'(1)=\frac 1n G_{n-1}(1)+G_{n-1}'(1)=\frac 1n+E_{n-1}\]\"<\/p>
Ainsi, \"E_n-E_{n-1}=\frac 1n\". Sommons pour \"n\" allant de 2 \u00e0 \"p\geqslant 2\" ; par t\u00e9lescopage :

  <\/span>   <\/span>\"\[E_p-E_1=\sum\limits_{n=2}^p (E_n-E_{n-1})=\sum\limits_{n=2}^p\frac 1n=u_p-1\]\"<\/p>
De plus, par 8., \"E_1=E(X_1)=1\", donc pour tout \"p\geqslant 2\", \"E_p=u_p\". On vient de voir que cette \u00e9galit\u00e9 est vraie pour \"p=1\" : \"E_1=1=u_1\".
Pour tout \"n\in\mathbb{N}^*\", \"E_n=u_n\".<\/p>\r\n

12\/ a\/<\/strong> On d\u00e9rive la relation obtenue en 11.

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n\geqslant 2,\; \forall t\in\mathbb{R},\quad G_n''(t)=\frac 1nG_{n-1}'(t)+\frac 1nG_{n-1}'(t)+\frac{t+n-1}nG_{n-1}''(t)\]\"<\/p>
Avec 2., en \u00e9valuant en \"t=1\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[G_n''(1)=\frac 2nE_{n-1}+G_{n-1}''(1)\]\"<\/p>
et par 3. :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}V_n&=&G_n''(1)+E_n-E_n^2\\&=&\frac 2n E_{n-1}+(V_{n-1}-E_{n-1}+E_{n-1}^2)+E_n-E_n^2\\V_n-V_{n-1}&=&\frac 2n E_{n-1}+(E_n-E_{n-1})+(E_{n-1}^2-E_n^2)\\&=&\frac 2n E_{n-1}+\frac 1n +(E_{n-1}-E_n)(E_{n_1}+E_n)\\&=&\frac 2n E_{n-1}+\frac 1n +(-\frac 1n)(2E_{n-1}+\frac 1n)\\&=&\frac 1n -\frac 1{n^2}\end{eqnarray*}\"<\/p>
\"\forall n\geqslant 2\", \"V_n-V_{n-1}=\frac 1n -\frac 1{n^2}\"<\/p>\r\n

12\/ b\/<\/strong> \"\forall k\geqslant 2\", \"V_k-V_{k-1}=\frac 1k -\frac 1{k^2}\". Sommons ces \u00e9galit\u00e9s pour \"k\" allant de 2 \u00e0 \"n\geqslant 2\". Par t\u00e9lescopage :

  <\/span>   <\/span>\"\[V_n-V_1=\sum\limits_{k=2}^n (V_k-V_{k-1})=\sum\limits_{k=2}^n (\frac 1k -\frac 1{k^2})=\sum\limits_{k=1}^n(\frac 1k -\frac 1{k^2})-0 \]\"<\/p>
Donc \"V_n-V_1=u_n-h_n\". De plus, \"u_1-h_1=0\", donc cette \u00e9galit\u00e9 est encore vraie pour \"n=1\". Enfin, par 8., \"V_1=V(X_1)=0\", donc \"V_n=u_n-h_n\".
\"\forall n\in\mathbb{N}^*\", \"V_n=u_n-h_n\"<\/p>\r\n

12\/ c\/<\/strong> Pour \"n\geqslant 2\", \"\frac{V_n}{\ln n}=\frac{u_n}{\ln n}-\frac{h_n}{\ln n}\".
Comme \"(h_n)\" admet une limite finie (question 5.), on a \"\lim \limits_{n\to +\infty}\frac{h_n}{\ln n}=0\".
Et par 4.c., \"\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{u_n}{\ln n}=1\".
Donc \"\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{V_n}{\ln n}=1\".
On a \"V_n\sim \ln n\".<\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2019 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Exercice 1 : Polynome annulateur et g\u00e9n\u00e9ralisation 1\/ a\/ On a .\u00a0 est un polyn\u00f4me de degr\u00e9 2 annulateur de .\u00a0 1\/ b\/ Par propri\u00e9t\u00e9, soit .Les valeurs propres possibles de sont et . 1\/ c\/ Les valeurs propres 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