{"id":33234,"date":"2019-08-12T11:22:02","date_gmt":"2019-08-12T10:22:02","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33234"},"modified":"2022-06-11T18:03:13","modified_gmt":"2022-06-11T17:03:13","slug":"annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2018","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-edhec-maths-ecs-2018\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2018"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2018<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE<\/a><\/p>\r\n

<\/p>\r\n

Exercice 1 : Comparaison s\u00e9rie-int\u00e9grale et \u00e9tude de fonction<\/h2>\r\n

1\/<\/strong> \u00c9tudions la parit\u00e9 de \"f\". Pour tout \"x\in \mathbb{R}\", on voit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[f(-x)=\dfrac{2}{\left(e^{-x} + e^{x}\right)^2}=f(x).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\text{la fonction } f \text{ est paire}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/<\/strong> Montrons que \"f\" peut \u00eatre consid\u00e9r\u00e9e comme une densit\u00e9 d’une certaine variable al\u00e9atoire \"X\". Pour ce faire, il suffit de v\u00e9rifier que \"f\" est positive et continue sur \"\mathbb{R}\" et que \"\int_{-\infty} ^{+\infty} f(t)dt\" converge et vaut \"1\" :<\/p>\r\n

\"\bullet\" Premi\u00e8re \u00e9tape : \"f\" est positive et continue sur \"\mathbb{R}\".
Comme l’exponentielle est strictement positive sur \"\mathbb{R}\", on voit que \"e^x+e^{-x}>0\" pour tout \"x\in \mathbb{R}\". En particulier, la fonction \"f\" est positive et continue sur \"\mathbb{R}\" comme inverse d’une fonction positive et continue sur \"\mathbb{R}\", dont le d\u00e9nominateur ne s’annule pas sur \"\mathbb{R}\".
Par cons\u00e9quent :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{f \text{ est positive et continue sur } \mathbb{R}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"\bullet\" Deuxi\u00e8me \u00e9tape : l’int\u00e9grale \"\int_{-\infty} ^{+\infty} f(t)dt\" converge et vaut \"1\".
Fixons deux r\u00e9els \"x,y\" tels que \"x<y\". Alors on trouve par des calculs simples que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\qquad \int_x ^y f(t)dt = \int_x ^y \frac{2}{\left(e^t + e^{-t}\right)^2}dt= \int_x ^y \frac{2e^{2t} }{\left(e^{2t} + 1\right)^2}dt=\left [ - \frac{1}{\left(e^{2t} + 1\right)}\right ]_x ^y=- \frac{1}{\left(e^{2y} + 1\right)}+\frac{1}{\left(e^{2x} + 1\right)}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"e^{2y}\" tend vers \"+\infty\" quand \"y\" tend vers \"+\infty\" et que \"e^{2x}\" tend vers \"0\" quand \"x\" tend vers \"-\infty\", ceci entraine que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\int_x ^y f(t)dt = - \frac{1}{\left(e^{2y} + 1\right)}+\frac{1}{\left(e^{2x} + 1\right)} \underset{\tiny{\begin{array}{l}x\to -\infty \\y \to +\infty\end{array}}}{\longrightarrow} -0+1=1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

D\u00e8s lors, il s’ensuit que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\text{l'int\'egrale } \int_{-\infty} ^{+\infty} f(t)dt \text{ converge et vaut }1.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{f \text{ est une densit\'e de probabilit\'e}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> Montrons que \"X\" poss\u00e8de une esp\u00e9rance et donnons sa valeur. Par d\u00e9finition, la variable al\u00e9atoire \"X\" admet une esp\u00e9rance si et seulement si l’int\u00e9grale \"\int_{-\infty} ^{+\infty} tf(t)dt\" converge absolument, c’est-\u00e0-dire converge. Comme la fonction \"f\" est paire d’apr\u00e8s la question \"(1)\", la fonction \"t\longmapsto tf(t)\" est impaire et il suffit de v\u00e9rifier que l’int\u00e9grale \"\int_{0} ^{+\infty} tf(t)dt\" converge. De plus, comme la fonction \"t\longmapsto tf(t)\" est continue sur \"\mathbb{R}_+\" comme produit de fonctions continues sur \"\mathbb{R}_+\", l’int\u00e9grale \"\int_{0} ^{+\infty} tf(t)dt\" pr\u00e9sente juste une impropret\u00e9 en \"+\infty\". Par des calculs simples, on trouve que, pour tout \"t>0\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leq t^3f(t)=\frac{2t^3}{\left(e^t + e^{-t}\right)^2}\leq \frac{2t^3}{e^{2t}}=2t^3e^{-2t}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme l’expression de droite ci-dessus tend vers \"0\" quand \"t\" tend vers \"+\infty\" par croissances compar\u00e9es, le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement entraine que \"t^3f(t)\" tend vers \"0\" quand \"t\" tend vers \"+\infty\", et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[tf(t)=o_{+\infty} \left ( \frac{1}{t^2} \right ).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme l’int\u00e9grale de Riemann \"\int_1 ^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt\" converge d’apr\u00e8s le cours et qu’il s’agit de l’int\u00e9grale d’une fonction positive, l’int\u00e9grale \"\int_{1} ^{+\infty} tf(t)dt\" converge d’apr\u00e8s le crit\u00e8re de n\u00e9gligeabilit\u00e9. D’apr\u00e8s la relation de Chasles, l’int\u00e9grale \"\int_{0} ^{+\infty} tf(t)dt\" converge, et donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{X \text{ admet une esp\'erance}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme de plus la fonction \"t\longmapsto tf(t)\" est impaire, on en d\u00e9duit que \"\int_{-\infty} ^{+\infty} tf(t)dt=0\", et donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{E(X)=0.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ b\/<\/strong> Montrons que \"X\" poss\u00e8de une variance. Par d\u00e9finition, la variable al\u00e9atoire \"X\" admet une variance si et seulement si l’int\u00e9grale \"\int_{-\infty} ^{+\infty} t^2f(t)dt\" converge absolument, c’est-\u00e0-dire converge. Comme la fonction \"f\" est paire d’apr\u00e8s la question \"(1)\", la fonction \"t\longmapsto t^2f(t)\" est paire et il suffit de v\u00e9rifier que l’int\u00e9grale \"\int_{0} ^{+\infty} t^2f(t)dt\" converge. De plus, comme la fonction \"t\longmapsto t^2f(t)\" est continue sur \"\mathbb{R}_+\" comme produit de fonctions continues sur \"\mathbb{R}_+\", l’int\u00e9grale \"\int_{0} ^{+\infty} t^2f(t)dt\" pr\u00e9sente juste une impropret\u00e9 en \"+\infty\". Par des calculs simples, on trouve que, pour tout \"t>0\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leq t^4f(t)=\frac{2t^4}{\left(e^t + e^{-t}\right)^2}\leq \frac{2t^4}{e^{2t}}=2t^4e^{-2t}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme l’expression de droite ci-dessus tend vers \"0\" quand \"t\" tend vers \"+\infty\" par croissances compar\u00e9es, le th\u00e9or\u00e8me d’encadrement entraine que \"t^4f(t)\" tend vers \"0\" quand \"t\" tend vers \"+\infty\", et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[t^2f(t)=o_{+\infty} \left ( \frac{1}{t^2} \right ).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme l’int\u00e9grale de Riemann \"\int_1 ^{+\infty} \frac{1}{t^2} dt\" converge d’apr\u00e8s le cours et qu’il s’agit de l’int\u00e9grale d’une fonction positive, l’int\u00e9grale \"\int_{1} ^{+\infty} t^2f(t)dt\" converge d’apr\u00e8s le crit\u00e8re de n\u00e9gligeabilit\u00e9. D’apr\u00e8s la relation de Chasles, l’int\u00e9grale \"\int_{0} ^{+\infty} t^2f(t)dt\" converge, et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{X \text{ admet une variance}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/<\/strong> On note \"F\" la fonction de r\u00e9partition de \"X\". Montrons que \"F\" est une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"]0,1[\". Comme \"F\" est la fonction de r\u00e9partition d’une variable \u00e0 densit\u00e9, elle est continue sur \"\mathbb{R}\". De plus, comme la fonction \"f\" est continue et strictement positive sur \"\mathbb{R}\", la fonction \"F\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}\" et de plus, on a pour tout \"x\in \mathbb{R}\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[F'(x)=f(x)>0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

En particulier, la fonction \"F\" est continue et strictement croissante sur \"\mathbb{R}\". D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de la bijection, la fonction \"F\" d\u00e9finit une bijection de \"\mathbb{R}\" sur \"F(\mathbb{R})\". Comme \"F\" est continue sur l’intervalle \"\mathbb{R}\", son image \"F(\mathbb{R})\" est un intervalle d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me des valeurs interm\u00e9diaires. Comme \"F\" est strictement croissante sur \"\mathbb{R}\", qu’elle tend vers \"0\" en \"-\infty\" et vers \"1\" en \"+\infty\" (en tant que fonction de r\u00e9partition), il s’ensuit que \"F(\mathbb{R})=]0,1[\". Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{F \text{ est une bijection de }\mathbb{R} \text{ sur }]0,1[.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

5\/<\/strong> On consid\u00e8re la variable al\u00e9atoire \"Y\" d\u00e9finie par \"Y = F(X)\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> D\u00e9terminons la loi de \"Y\". Pour ce faire, on note \"G\" sa fonction de r\u00e9partition. Comme \"F\" est \u00e0 valeurs dans \"]0,1[\", la variable al\u00e9atoire \"Y=F(X)\" est \u00e0 support dans \"]0,1[\", et donc \"G(x)=0\" si \"x\leq 0\" et \"G(x)=1\" si \"x\geq 1\". De plus, comme \"F\" est la fonction de r\u00e9partition de \"X\" et que c’est une bijection strictement croissante de \"\mathbb{R}\" sur \"]0,1[\", on voit que, pour tout \"x\in ]0,1[\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[G(x)=P([Y\leq x])=P([F(X)\leq x])=P([X\leq F^{-1}(x)])=F(F^{-1}(x))=x.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{G(x)=\left \{\begin{array}{lll}0 & \text{si} & x\leq 0 \\x & \text{si} & x\in ]0,1[ \\1 & \text{si} & x\geq 1\end{array}\right. .}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Au vu de cette fonction de r\u00e9partition, on en d\u00e9duit aussi que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{Y \text{ suit la loi uniforme sur } ]0,1[.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> D\u00e9terminons explicitement \"F(x)\" pour tout r\u00e9el \"x\". Par des calculs simples, on a pour tout \"x\in \mathbb{R}\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}F(x) & =& \displaystyle \int_{-\infty} ^x f(t)dt \\& & \\& = & \displaystyle \lim_{y\to -\infty} \int_y ^x f(t)dt \\& & \\& = & \displaystyle \lim_{y\to -\infty} \int_y ^x \frac{2}{\left(e^t + e^{-t}\right)^2}dt \\& & \\& = & \displaystyle \lim_{y\to -\infty} \int_y ^x \frac{2e^{2t} }{\left(e^{2t} + 1\right)^2}dt \\& & \\& = & \displaystyle \lim_{y\to -\infty} \left [ - \frac{1}{\left(e^{2t} + 1\right)}\right ]_y ^x \\& & \\& = & \displaystyle \lim_{y\to -\infty} - \frac{1}{\left(e^{2x} + 1\right)}+\frac{1}{\left(e^{2y} + 1\right)} \\& & \\& = & \displaystyle 1-\frac{1}{e^{2x} + 1}.\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que, pour tout \"x\in \mathbb{R}\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{F(x)=1-\frac{1}{e^{2x} + 1}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> \u00c9tablissons que la fonction \"F^{-1}\", bijection r\u00e9ciproque de \"F\", est d\u00e9finie par :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x \in ]0,1[, \quad F^{-1}(x) = \frac{1}{2}\ln \left(\frac{x}{1-x}\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Fixons un r\u00e9el \"x\in ]0,1[\". Par d\u00e9finition, le r\u00e9el \"F^{-1}(x)\" est l’unique ant\u00e9c\u00e9dent de \"x\" par \"F\", c’est-\u00e0-dire l’unique r\u00e9el \"y\" tel que \"x=F(y)\". D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}x=F(y) &\Longleftrightarrow & \displaystyle x=1-\frac{1}{e^{2y} + 1} \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle \frac{1}{e^{2y}+1}=1-x \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle e^{2y}+1=\frac{1}{1-x} \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle e^{2y}=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x} \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle 2y=\ln \left (\frac{x}{1-x}\right )\\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle y=\frac12 \ln \left (\frac{x}{1-x}\right ).\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que la bijection r\u00e9ciproque de \"F\" est donn\u00e9e pour tout \"x\in \mathbb{R}\" par :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{F^{-1}(x)=\frac12 \ln \left (\frac{x}{1-x}\right ).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> \u00c9crivons un script Scilab permettant de simuler la variable al\u00e9atoire \"X\". Pour ce faire, on part du principe que, d’apr\u00e8s les questions pr\u00e9c\u00e9dentes, la variable al\u00e9atoire \"Y=F(X)\" suit la loi uniforme sur \"]0,1[\" (laquelle peut se simuler \u00e0 l’aide de la commande \u00ab\u00a0rand\u00a0\u00bb) et que \"X=F^{-1}(Y)=\frac12 \ln (\frac{Y}{1-Y})\". D\u00e8s lors, pour simuler la variable al\u00e9atoire \"X\", on pourra utiliser l’instruction suivante :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\begin{array}{l}Y=\text{rand}\; ; \\X=0.5*\text{log}(Y/(1-Y)) \\\end{array}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Exercice 2 : norme, variables al\u00e9atoires, loi de Bernouilli\u00a0<\/h2>\r\n

Partie 1 :<\/h3>\r\n

1\/<\/strong> Calculons \"A^2 - (a+d)A\" en fonction de \"I_2\". Pour ce faire, on pose \"M=A^2-(a+d)A\". Par des calculs simples, on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\qquad \qquad\begin{array}{lll}M & = & \displaystyle A^2-(a+d)A \\& & \\& = & \displaystyle \begin{pmatrix}a & c \\b & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & c \\b & d\end{pmatrix} -(a+d) \begin{pmatrix}a & c \\b & d\end{pmatrix} \\& & \\& = & \displaystyle \begin{pmatrix}a^2+bc & ac+cd \\ab+bd & bc+d^2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}a^2+ad & ac+cd \\ab+bd & ad+d^2\end{pmatrix} \\& & \\& = & \displaystyle \begin{pmatrix}bc -ad& 0\\0& bc-ad\end{pmatrix} \quad = \quad (bc-ad)\begin{pmatrix}1& 0\\0& 1\end{pmatrix}.\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{A^2-(a+d)A= -(ad-bc)I_2.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/<\/strong> On suppose dans cette question que \"A\" est nilpotente d’indice \"k\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> \u00c9tablissons l’\u00e9galit\u00e9 : \"ad - bc = 0\". En multipliant l’\u00e9galit\u00e9 de la question pr\u00e9c\u00e9dente par \"A^{k-1}\", on obtient que :

  <\/span>   <\/span>\"\[A^{k+1}-(a+d)A^k = -(ad-bc)A^{k-1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"A^{k}=0\" par d\u00e9finition de l’indice de nilpotence, on voit que \"A^{k+1}=AA^k=A\times 0=0\", ce qui entraine que \"A^{k+1}-(a+d)A^k=0\", et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[-(ad-bc)A^{k-1}=0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Mais comme \"A^{k-1}\not=0\", on en d\u00e9duit que le r\u00e9el \"ad-bc\" est nul, et donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{ad-bc=0.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Montrons que \"k\" est sup\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 \"2\". Pour ce faire, on raisonne par l’absurde et on suppose que \"k=1\". Alors on voit que \"A=A^1=0\", ce qui entraine que la matrice \"A\" est nulle, d’o\u00f9 contradiction avec les hypoth\u00e8ses de la partie \"1\". Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{k\geq 2.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Montrons que \"a+d = 0\". Comme \"k\geq 2\" d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, on obtient en multipliant l’\u00e9galit\u00e9 de la question \"(1)\" par \"A^{k-2}\" que :

  <\/span>   <\/span>\"\[A^{k}-(a+d)A^{k-1} = -(ad-bc)A^{k-2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"A^{k}=0\" par d\u00e9finition de l’indice de nilpotence et que \"ad-bc=0\" d’apr\u00e8s la question \"(2)(a)\", on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[-(a+d)A^{k-1}=0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Mais comme \"A^{k-1}\not=0\", on en d\u00e9duit que le r\u00e9el \"a+d\" est nul, et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{a+d=0.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/<\/strong> Montrons que : \"A\" nilpotente \"\Longleftrightarrow A^2 = 0\". Pour ce faire, supposons que \"A\" soit nilpotente. Alors on sait d’apr\u00e8s les questions \"(2)(a)\" et \"(2)(c)\" que \"ad-bc=0\" et \"a+d=0\". D’apr\u00e8s la relation de la question \"(1)\", on obtient que :

  <\/span>   <\/span>\"\[A^2-(a+d)A= -(ad-bc)I_2 \quad \Longrightarrow \quad A^2-0=0,\]\"<\/p><\/p>\r\n

et donc \"A^2=0\". R\u00e9ciproquement, si \"A^2=0\", alors la matrice \"A\" est manifestement nilpotente d’indice \"k\leq 2\".
Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{A \text{ est nilpotente } \Longleftrightarrow A^2 = 0.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie 2 :\u00a0<\/h3>\r\n

1\/ a\/<\/strong> Montrons que, si \"\ker(f) = \mathfrak{Im}(f)\", alors on a : \"f^2 = 0\". Pour ce faire, consid\u00e9rons un \u00e9l\u00e9ment \"x\" de \"E\". Alors \"f(x)\" appartient \u00e0 \"\mathfrak{Im}(f)\" par d\u00e9finition. Comme \"\ker(f) = \mathfrak{Im}(f)\", il s’ensuit que \"f(x)\" appartient \u00e0 \"\ker(f)\", et donc \"f^2(x)=f(f(x))=0\". Mais comme ceci est vrai pour tout \"x\in E\", on en d\u00e9duit que \"f^2=0\". Par cons\u00e9quent :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\ker(f) = \mathfrak{Im}(f) \; \Longrightarrow \; f^2 = 0.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On suppose que \"f^2 = 0\". Montrons tout d’abord que \"\mathfrak{Im}(f) \subset \ker(f)\". Pour ce faire, consid\u00e9rons un \u00e9l\u00e9ment \"y\" de \"\mathfrak{Im}(f)\". Alors il existe un vecteur \"x\in E\" tel que \"y=f(x)\". Comme \"f^2=0\", on a :

  <\/span>   <\/span>\"\[f(y)=f(f(x))=f^2(x)=0,\]\"<\/p><\/p>\r\n

et donc \"y\" appartient \u00e0 \"\ker(f)\". Mais comme ceci est vrai pour tout \"y\in \mathfrak{Im}(f)\", on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\mathfrak{Im}(f) \subset \ker(f).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

A pr\u00e9sent, \u00e9tablissons que \"\rm{rg}(f) = 1\", puis que \"\ker(f) = \mathfrak{Im}(f)\". Comme \"\mathfrak{Im}(f) \subset \ker(f)\", on obtient en passant aux dimensions que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\rm{rg}(f)=\dim \mathfrak{Im}(f)\leq \dim \ker(f).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"\dim E=\rm{rg}(f)+\dim \ker(f)=2\" d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me du rang, ceci entraine avec l’in\u00e9galit\u00e9 ci-dessus que \"2\rm{rg}(f)\leq 2\", et donc \"\rm{rg}(f)\leq 1\". Mais comme \"f\" est un endomorphisme non nul de \"E\" par hypoth\u00e8se, on voit que \"\rm{rg}(f)\not=0\", et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\rm{rg}(f)=1.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De plus, comme \"\dim E=\rm{rg}(f)+\dim \ker(f)=2\" d’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me du rang, il s’ensuit que \"\dim \ker(f)=\rm{rg}(f)=\dim \mathfrak{Im}(f)=1\". Mais comme \"\mathfrak{Im}(f) \subset \ker(f)\" d’apr\u00e8s ce qui pr\u00e9c\u00e8de, on en d\u00e9duit par \u00e9galit\u00e9 des dimensions que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\mathfrak{Im}(f)= \ker(f)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Montrons, \u00e0 l’aide de la partie 1, l’\u00e9quivalence : \"f \text{ est nilpotent} \; \Longleftrightarrow \; \ker(f) = \mathfrak{Im}(f)\". Pour ce faire, supposons que \"\ker(f) = \mathfrak{Im}(f)\". Alors on sait d’apr\u00e8s la question \"(1)(a)\" que \"f^2=0\", et donc \"f\" est nilpotent. R\u00e9ciproquement, supposons que \"f\" soit nilpotent (d’indice \"k\in \mathhbb{N}^*\"). Fixons une base \"\mathcal{B}\" de \"E\" et soit \"A\" la matrice de \"f\" dans cette base. Comme \"f^k=0\", on voit que \"A^k=0\", et donc \"A\" est nilpotente. De plus, comme \"f\" est non nul, la matrice \"A\" est non nulle. D’apr\u00e8s la question \"(3)\" de la partie \"1\", on voit que \"A^2=0\", ce qui entraine que \"f^2=0\", et donc \"\mathfrak{Im}(f)= \ker(f)\" d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente. Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{f \text{ est nilpotent} \; \Longleftrightarrow \; \ker(f) = \mathfrak{Im}(f).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

On suppose dans toute la suite que \"f\" est nilpotent et on en \u00e9tudie quelques propri\u00e9t\u00e9s.<\/p>\r\n

2\/<\/strong> Montrons qu’il existe une base de \"E\" dans laquelle la matrice \"A\" de \"f\" est :

  <\/span>   <\/span>\"\[A = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"f\" est nilpotent, on voit d’apr\u00e8s les questions \"(1)(a)\", \"(1)(b)\" et \"(1)(c)\" d’abord que \"\ker(f) = \mathfrak{Im}(f)\", puis que \"f^2=0\" et enfin que \"\rm{rg}(f)=\dim \ker(f)=1\".<\/p>\r\n

Fixons un vecteur \"e_1\in E\" tel que \"f(e_1)\not=0\" (il en existe un car \"f\not=0\") et posons \"e_2=f(e_1)\". Montrons tout d’abord que \"(e_1,e_2)\" est libre.<\/p>\r\n

Pour ce faire, on raisonne par l’absurde et on suppose que \"(e_1,e_2)\" est li\u00e9e. Comme \"e_2=f(e_1)\not=0\", les vecteurs \"e_1\" et \"e_2\" sont non nuls et il existe un r\u00e9el \"\lambda\not=0\" tel que \"e_2=f(e_1)=\lambda e_1\". Comme \"f^2=0\", on voit que \"f^2(e_1)=f(f(e_1))=f(\lambda e_1)=\lambda f(e_1)=\lambda ^2 e_1\" par lin\u00e9arit\u00e9 de \"f\", ce qui entraine que \"\lambda^2=0\", et donc \"\lambda=0\", d’o\u00f9 une contradiction.<\/p>\r\n

D\u00e8s lors, comme la famille \"(e_1,e_2)\" est libre et que \"\dim E=2\", la famille \"(e_1,e_2)\" est une base de \"E\". Comme \"f(e_1)=e_2\" et que \"f(e_2)=f^2(e_1)=0\", il s’ensuit que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[{\mathfrak{Mat}}_{(e_1,e_2)}(f)=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\text{il existe une base de } E \text{ dans laquelle la matrice } A \text{ de } f \text{ est : }A = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/<\/strong> On souhaite montrer par l’absurde qu’il est impossible de trouver deux endomorphismes \"u\" et \"v\" de \"E\", nilpotents et tels que \"f = u \circ v\". On suppose donc que ces deux endomorphismes existent.<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Montrons les inclusions : \"\mathfrak{Im}(f) \subset \mathfrak{Im}(u)\" et \"\ker(v) \subset \ker(f)\". Pour ce faire, consid\u00e9rons un \u00e9l\u00e9ment \"y\" de \"\mathfrak{Im}(f)\". Alors il existe un vecteur \"x\in E\" tel que \"y=f(x)\". Comme \"f=u \circ v\", on voit que \"y=u(v(x))\", ce qui entraine que \"y\" appartient \u00e0 \"\mathfrak{Im}(u)\". Mais comme ceci est vrai pour tout \"y\in \mathfrak{Im}(f)\", on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\mathfrak{Im}(f) \subset \mathfrak{Im}(u).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

A pr\u00e9sent, consid\u00e9rons un \u00e9l\u00e9ment \"x\" de \"\ker(v)\". Alors on voit que \"v(x)=0\". Comme \"f=u \circ v\", ceci entraine que \"f(x)=u(v(x))=u(0)=0\" car \"u\" est lin\u00e9aire, et donc \"x\" appartient \u00e0 \"\ker(f)\". Mais comme ceci est vrai pour tout \"x\in \ker(v)\", on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\ker(v) \subset \ker(f).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Etablissons les \u00e9galit\u00e9s : \"\mathfrak{Im}(f) = \mathfrak{Im}(u)\" et \"\ker(v) = \ker(f)\". Comme \"f\" est un endomorphisme non nul et que \"f=u\circ v\", on voit que \"u\" et \"v\" sont non nuls. D\u00e8s lors, comme \"f,u,v\" sont des endomorphismes non nuls et nilpotents de \"E\", on obtient d’apr\u00e8s la question \"(1)\" de la partie \"2\" que \"\rm{rg}(f)=\rm{rg}(u)=\rm{rg}(v)=1\". Mais comme \"\rm{rg}(f)=\dim \mathfrak{Im}(f)=\rm{rg}(u)=\dim \mathfrak{Im}(u)=1\" et que \"\mathfrak{Im}(f) \subset \mathfrak{Im}(u)\" d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, il s’ensuit par \u00e9galit\u00e9 des dimensions que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\mathfrak{Im}(f) = \mathfrak{Im}(u).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De m\u00eame, comme \"\rm{rg}(f)=\rm{rg}(v)=1\", on obtient avec le th\u00e9or\u00e8me du rang que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\dim \ker(f)=\dim E -\rm{rg}(f)=\dim E -\rm{rg}(v)=\dim \ker(v).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Mais comme \"\ker(v) \subset \ker(f)\" d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, il s’ensuit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\ker(f) = \ker(v).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Montrons l’\u00e9galit\u00e9 : \"\ker(u) = \mathfrak{Im}(v)\". Comme \"f\" est un endomorphisme non nul et que \"f=u\circ v\", on voit que \"u\" et \"v\" sont non nuls. D\u00e8s lors, comme \"f,u,v\" sont des endomorphismes non nuls et nilpotents de \"E\", on obtient d’apr\u00e8s la question \"(1)\" de la partie \"2\" que \"\ker(f)=\mathfrak{Im}(f)\", \"\ker(u)=\mathfrak{Im}(u)\" et \"\ker(v)=\mathfrak{Im}(v)\". Mais comme \"\ker(f)=\ker(v)\" et \"\mathfrak{Im}(f)=\mathfrak{Im}(u)\" d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, il s’ensuit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\ker(u)=\mathfrak{Im}(u)=\mathfrak{Im}(f)=\ker(f)=\ker(v)=\mathfrak{Im}(v).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\ker(u) = \mathfrak{Im}(v).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> Montrons qu’il est impossible de trouver deux endomorphismes \"u\" et \"v\" de \"E\", nilpotents et tels que \"f = u \circ v\". Pour ce faire, on raisonne par l’absurde et on suppose que de tels endomorphismes \"u,v\" existent. D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, on sait que \"\ker(u) = \mathfrak{Im}(v)\". D\u00e8s lors, pour tout \"x\in E\", le vecteur \"v(x)\" appartient \u00e0 \"\mathfrak{Im}(v)=\ker(u)\", et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[f(x)=u\circ v(x)=u(v(x))=0.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme ceci est vrai pour tout \"x\in E\", il s’ensuit que \"f\" est l’endomorphisme nul, ce qui contredit l’hypoth\u00e8se de d\u00e9part. Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{il n'existe pas d'endomorphismes } u,v \text{ de }E\text{, nilpotents et tels que }f = u \circ v.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Exercice 3 : Somme Harmonique<\/h2>\r\n

1\/ a\/<\/strong> D\u00e9terminons tout d’abord le rang de \"J_n\". Comme la matrice \"J_n\" a tous ses coefficients non nuls, on voit que \"\rm{rg}(J_n)>0\". De plus, comme tous ses coefficients sont \u00e9gaux \u00e0 \"1\", toutes les colonnes de \"J_n\" sont proportionnelles entre elles, et donc \"\rm{rg}(J_n)\leq 1\". Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\rm{rg}(J_n)=1.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"\rm{rg}(J_n)=\rm{rg}(J_n-0.I_n)=1<n\", on en d\u00e9duit aussi que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{0 \text{ est valeur propre de } J_n.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Enfin, d\u00e9terminons la dimension du sous-espace propre associ\u00e9. Pour ce faire, on d\u00e9signe par \"f\" l’endomorphisme de \"\mathbb{R}^n\" canoniquement associ\u00e9 \u00e0 \"J_n\". Comme \"0\" est valeur propre de \"J_n\", \"0\" est aussi valeur propre de \"f\" et de plus \"\dim E_0(J_n)=\dim E_0(f)\". D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me du rang, on trouve que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dim E_0(f)=\dim \ker(f)=\dim \mathbb{R}^n -\rm{rg}(f)=n-\rm{rg}(J_n)=n-1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\dim E_0(J_n)=n-1.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> V\u00e9rifions que le vecteur \"V_n\" \u00e9l\u00e9ment de \"M_{n,1}(\mathbb{R})\", dont toutes les composantes sont \u00e9gales \u00e0 \"1\", est vecteur propre de \"J_n\". Par des calculs simples, on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[J_n V_n=\begin{pmatrix}1 & ... & 1 \\\vdots & & \vdots \\1 & ... & 1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\\vdots \\1 \\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}n \\\vdots \\n \\\end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}1 \\\vdots \\1 \\\end{pmatrix}=nV_n.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"V_n\not=0\", on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{V_n \text{ est vecteur propre de } J_n \text{ pour la valeur propre } n.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Donnons les valeurs propres de \"J_n\". Comme \"V_n\" est vecteur propre de \"J_n\" pour la valeur propre \"n\not=0\", on voit que \"\dim E_n(J_n)\geq 1\". Comme de plus \"\dim E_0(J_n)=n-1\" d’apr\u00e8s la question \"(1)(a)\", on obtient que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\dim E_n(J_n)+\dim E_0(J_n)\geq n-1+1=n.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Mais comme la somme des dimensions des sous-espaces propres est \"\leq n\" pour toute matrice carr\u00e9e de taille \"n\", ceci entraine que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\dim E_n(J_n)+\dim E_0(J_n)=n.\]\"<\/p><\/p>\r\n

En particulier, la matrice \"J_n\" est diagonalisable et n’admet pas d’autre valeur propre que \"0\" et \"n\". Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Sp}(J_n)=\{0,n\}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Dans toute la suite, on consid\u00e8re la fonction \"f_n\" d\u00e9finie sur \"\mathbb{R}^n\" par :\u00a0

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall x = (x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n,\quad f_n(x) = \left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

1\/<\/strong> Montrons que \"f_n\" est de classe \"\mathcal{C}^2\" sur \"\mathbb{R}^n\". Comme les fonctions \"(x_1,...,x_n)\longmapsto \sum_{k=1}^n x_k\" et \"(x_1,...,x_n)\longmapsto \sum_{k=1}^n x_k ^2\" sont polynomiales sur \"\mathbb{R}^n\", elles sont de classe \"\mathcal{C}^2\" sur \"\mathbb{R}^n\". Mais comme la fonction exponentielle est de classe \"\mathcal{C}^2\" sur \"\mathbb{R}\", il s’ensuit par composition et produit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{f_n \text{ est de classe }\mathcal{C}^2 \text{ sur }\mathbb{R}^n.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> Montrons que, pour tout \"i\in \llbracket 1,n\rrbracket\", on a :

  <\/span>   <\/span>\"\[\partial_i(f_n)(x) = \left(1-2x_i \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\right)\exp\left(-\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par des calculs simples, on trouve que, pour tout \"i\in \llbracket 1,n\rrbracket\" et pour tout \"x\in \mathbb{R}^n\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}\partial_i(f_n)(x) &= & \displaystyle \partial_i \left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) +\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)\partial_i \left (\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\right ) \\& & \\& = & \displaystyle 1.\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) +\left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) \partial_i \left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) \\& & \\& = & \displaystyle 1.\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) +\left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) \left(-2x_i\right) \\& & \\& = & \displaystyle \left [1-2x_i\sum_{k=1}^n x_k\right ]\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right). \\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que, pour tout \"i\in [\![1,n]\!]\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\partial_i(f_n)(x) = \left(1-2x_i \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\right)\exp\left(-\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2\right).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Montrons que \"f_n\" poss\u00e8de deux points critiques \"a = \frac{1}{\sqrt{2n}}(1,1,\dots,1)\" et \"b = -a\". Pour ce faire, on d\u00e9signe par \"\mathcal{C}\" l’ensemble des points critiques de \"f\". Par des calculs simples, on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\qquad \quadx\in \mathcal{C} \quad \Longleftrightarrow \quad \nabla(f)(x)=(0,...,0) \quad \Longleftrightarrow \quad\left \{\begin{array}{cll}\left(1-2x_1 \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\right)\exp\left(-\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2\right) & = & 0 \\\vdots & & \\\left(1-2x_n \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\right)\exp\left(-\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2\right) & = & 0\end{array}\right. .\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme toute exponentielle d’un nombre r\u00e9el est \">0\" (et donc non nulle), on obtient que :

  <\/span>   <\/span>\"\[x\in \mathcal{C} \quad \Longleftrightarrow \quad\left \{\begin{array}{cll}1-2x_1 \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k & = & 0 \\\vdots & & \\1-2x_n \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k & = & 0\end{array}\right. .\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"2x_1\sum_{k=1}^n x_k=1\", la somme \"\sum_{k=1}^n x_k\" est non nulle, et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[x\in \mathcal{C} \quad \Longleftrightarrow \quad\left \{\begin{array}{clc}x_1 & = & \frac{1}{2\sum_{k=1}^n x_k} \\\vdots & & \vdots \\x_n & = & \frac{1}{2\sum_{k=1}^n x_k}\end{array}\right. .\]\"<\/p>
En effectuant les op\u00e9rations \u00e9l\u00e9mentaires \"L_i\leftarrow L_i-L_1\" pour tout \"i\in \{2,...,n\}\", on obtient que :

  <\/span>   <\/span>\"\[x\in \mathcal{C} \quad \Longleftrightarrow \quad\left \{\begin{array}{clc}x_1 & = & \frac{1}{2\sum_{k=1}^n x_k} \\x_2 & = & x_1 \\\vdots & & \vdots \\x_n & = & x_1\end{array}\right. .\]\"<\/p><\/p>\r\n

En effectuant une substitution dans la premi\u00e8re \u00e9galit\u00e9, on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[x\in \mathcal{C} \quad \Longleftrightarrow \quad\left \{\begin{array}{clc}x_1 & = & \frac{1}{2nx_1} \\x_2 & = & x_1 \\\vdots & & \vdots \\x_n & = & x_1\end{array}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad\left \{\begin{array}{clc}x_1 ^2 & = & \frac{1}{2n} \\x_2 & = & x_1 \\\vdots & & \vdots \\x_n & = & x_1\end{array}\right. .\]\"<\/p>
D\u00e8s lors, on obtient par des calculs simples que :

  <\/span>   <\/span>\"\[x\in \mathcal{C} \quad \Longleftrightarrow \quad\left \{\begin{array}{clc}x_1 & = & \frac{1}{\sqrt{2n}} \\x_2 & = & \frac{1}{\sqrt{2n}} \\\vdots & & \vdots \\x_n & = & \frac{1}{\sqrt{2n}} \end{array}\right.\quad \text{ou} \quad\left \{\begin{array}{clc}x_1 & = & \frac{-1}{\sqrt{2n}} \\x_2 & = & \frac{-1}{\sqrt{2n}} \\\vdots & & \vdots \\x_n & = & \frac{-1}{\sqrt{2n}} \end{array}\right. .\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{f \text{ admet deux points critiques, à savoir les points } a = \frac{1}{\sqrt{2n}}(1,1,\dots,1) \text{ et } b = -a.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> D\u00e9terminons les d\u00e9riv\u00e9es partielles d’ordre \"2\" de \"f_n\". Pour ce faire, on distingue les cas \u00a0\u00bb \"i=j\" \u00a0\u00bb et \u00a0\u00bb \"i\not=j\" \u00ab\u00a0. Si \"i=j\", alors on trouve par des calculs simples que, pour tout \"x\in \mathbb{R}^n\" :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\qquad \quad \begin{array}{lll}\partial_{i,i} ^2(f_n)(x) &= & \displaystyle \partial_{i} \left(\left [1-2x_i\sum_{k=1}^n x_k\right ]\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\right ) \\& & \\& = & \displaystyle \partial_{i} \left(1-2x_i\sum_{k=1}^n x_k\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) + \left [1-2x_i\sum_{k=1}^n x_k\right ]\partial_{i} \left(\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\right )\\& & \\& = & \displaystyle \left(-2\sum_{k=1}^n x_k-2x_i\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) + \left [1-2x_i\sum_{k=1}^n x_k\right ]\left [-2x_i\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\right ]\\& & \\& = & \displaystyle \left(-2\sum_{k=1}^n x_k-2x_i\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) + \left (-2x_i +4x_i^2\sum_{k=1}^n x_k\right )\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\\& & \\& = & \displaystyle \left(-2\sum_{k=1}^n x_k-2x_i-2x_i +4x_i^2\sum_{k=1}^n x_k\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) \\& & \\& = & \displaystyle \left(-4x_i +(4x_i^2 -2) \sum_{k=1}^n x_k\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right). \\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Si maintenant \"i\not=j\", alors on obtient de m\u00eame que, pour tout \"x\in \mathbb{R}^n\" :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\qquad \quad \begin{array}{lll}\partial_{i,j} ^2(f_n)(x) &= & \displaystyle \partial_{i} \left(\left [1-2x_j\sum_{k=1}^n x_k\right ]\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\right ) \\& & \\& = & \displaystyle \partial_{i} \left(1-2x_j\sum_{k=1}^n x_k\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) + \left [1-2x_j\sum_{k=1}^n x_k\right ]\partial_{i} \left(\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\right )\\& & \\& = & \displaystyle -2x_j\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) + \left [1-2x_j\sum_{k=1}^n x_k\right ]\left [-2x_i\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\right ]\\& & \\& = & \displaystyle -2x_j \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) + \left (-2x_i +4x_ix_j\sum_{k=1}^n x_k\right )\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\\& & \\& = & \displaystyle \left(-2x_j-2x_i +4x_ix_j \sum_{k=1}^n x_k\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right). \\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\partial_{i,j} ^2(f_n)(x)=\left \{\begin{array}{lll}\displaystyle \left(-4x_i +(4x_i^2 -2) \sum_{k=1}^n x_k\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) & \text{si} & i=j\\& & \\\displaystyle \left(-2x_j-2x_i +4x_ix_j \sum_{k=1}^n x_k\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right) & \text{si} & i\not=j\end{array}\right. .}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> V\u00e9rifions que la hessienne de \"f_n\" en \"a\" est \"H_n(a) = \frac{-2}{\sqrt{2ne}} (nI_n + J_n)\". Par d\u00e9finition, la hessienne en \"a\" est la matrice de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\partial_{i,j}^2(f_n)(a)\". Avec la question pr\u00e9c\u00e9dente et comme \"a = \frac{1}{\sqrt{2n}}(1,1,\dots,1)=(a_1,...,a_n)\", on trouve si \"i=j\" que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}\partial_{i,i} ^2(f_n)(a) & = & \displaystyle \left(-4a_i +(4a_i^2 -2) \sum_{k=1}^n a_k\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n a_k^2\right) \\& & \\& = & \displaystyle \left(-\frac{4}{\sqrt{2n}} +\left (4\left ( \frac{1}{\sqrt{2n}}\right )^2 -2 \right ) \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2n}}\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n \left (\frac{1}{\sqrt{2n}}\right )^2\right) \\& & \\& = & \displaystyle \left(-\frac{4}{\sqrt{2n}} +\left (\frac{2}{n} -2 \right ) \frac{n}{\sqrt{2n}}\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2n}\right) \\& & \\& = & \displaystyle \left(-\frac{4}{\sqrt{2n}} +\left (2 -2n \right ) \frac{1}{\sqrt{2n}}\right ) \exp\left(-\frac{1}{2}\right) \\& & \\& = & \displaystyle -\frac{(2+2n)}{\sqrt{2n}}\exp\left(-\frac{1}{2}\right) \\& & \\& = & \displaystyle -\frac{(2+2n)}{\sqrt{2ne}}. \\\end{array}\]\"<\/p>
Si maintenant \"i\not=j\", alors on obtient de m\u00eame que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}\partial_{i,j} ^2(f_n)(a) & = & \displaystyle \left(-2a_j-2a_i +4a_ia_j \sum_{k=1}^n a_k\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n a_k^2\right) \\& & \\& = & \displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt{2n}}-\frac{2}{\sqrt{2n}} +4\left ( \frac{1}{\sqrt{2n}}\right )^2 \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2n}}\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n \left ( \frac{1}{\sqrt{2n}}\right )^2\right) \\& & \\& = & \displaystyle \left(-\frac{4}{\sqrt{2n}}+\frac{2}{n} \times \frac{n}{\sqrt{2n}}\right ) \exp\left(-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2n}\right) \\& & \\& = & \displaystyle \left(-\frac{4}{\sqrt{2n}}+\frac{2}{\sqrt{2n}}\right ) \exp\left(-\frac{1}{2}\right) \\& & \\& = & \displaystyle -\frac{2}{\sqrt{2n}} \exp\left(-\frac{1}{2}\right) \\& & \\& = & \displaystyle -\frac{2}{\sqrt{2ne}}. \\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

D\u00e8s lors, la matrice hessienne \"H_n(a)\" est donn\u00e9e par la matrice :

  <\/span>   <\/span>\"\[H_n(a)=\begin{pmatrix}-\frac{(2+2n)}{\sqrt{2ne}} & & (-\frac{2}{\sqrt{2ne}} )\\& \ddots & \\(-\frac{2}{\sqrt{2ne}} )& & -\frac{(2+2n)}{\sqrt{2ne}}\end{pmatrix}, \]\"<\/p><\/p>\r\n

ce que l’on peut encore r\u00e9\u00e9crire sous la forme :

  <\/span>   <\/span>\"\[H_n(a)=-\frac{2}{\sqrt{2ne}} \begin{pmatrix}1 & ... & 1 \\\vdots & & \vdots \\1 & ... & 1 \\\end{pmatrix}-\frac{2n}{\sqrt{2ne}} \begin{pmatrix}1 & & (0) \\& \ddots & \\(0) & & 1\end{pmatrix}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit par d\u00e9finition de \"J_n\" que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{H_n(a)=\frac{-2}{\sqrt{2ne}} (nI_n + J_n).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Donnons les valeurs propres de \"H_n(a)\". Pour ce faire, consid\u00e9rons un nombre complexe \"\lambda\". Alors on trouve avec les questions pr\u00e9c\u00e9dentes que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}\lambda \in \text{Sp}(H_n(a)) & \Longleftrightarrow & \rm{rg}(H_n(a)-\lambda I_n)<n \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle \rm{rg}\left (\frac{-2}{\sqrt{2ne}} (nI_n + J_n) -\lambda I_n \right )<n \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle \rm{rg}\left (nI_n + J_n +\frac{\lambda\sqrt{2ne}}{2} I_n \right )<n \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle \rm{rg}\left (J_n -\left (-n-\frac{\lambda\sqrt{2ne}}{2} \right ) I_n \right )<n \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle \left (-n-\frac{\lambda\sqrt{2ne}}{2} \right ) \in \text{Sp}(J_n) \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle -n-\frac{\lambda\sqrt{2ne}}{2}=0 \; \; \text{ou} \; \; -n-\frac{\lambda\sqrt{2ne}}{2}=n \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle \lambda = -\sqrt{\frac{2n}{e}} \; \; \text{ou} \; \; \lambda =-2\sqrt{\frac{2n}{e}}. \\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit par d\u00e9finition de \"J_n\" que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\text{Sp}(H_n(a))=\left \{-2\sqrt{\frac{2n}{e}},-\sqrt{\frac{2n}{e}} \right \}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> Montrons que \"f_n\" poss\u00e8de un extremum local en \"a\". D’apr\u00e8s les questions pr\u00e9c\u00e9dentes, on voit que \"a\" est un point critique de \"f_n\" et que la hessienne de \"f_n\" au point \"a\" n’admet que des valeurs propres \"<0\". D’apr\u00e8s le cours, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{f_n \text{ admet un maximum local en } a.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

e\/<\/strong> Donnons une conclusion concernant le point critique \"b\". En proc\u00e9dant comme dans les questions pr\u00e9c\u00e9dentes, on peut v\u00e9rifier que que la hessienne de \"f_n\" au point \"b\" n’admet que des valeurs propres \">0\". Comme \"b\" est un point critique de \"f_n\", on en d\u00e9duit d’apr\u00e8s le cours que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{f_n \text{ admet un minimum local en } b.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> \u00c9tudions la fonction \"h\" qui, \u00e0 tout \"t\" de \"\mathbb{R}_+\", associe \"h(t) = te^{-t^2}\". Par d\u00e9finition, la fonction \"h\" est d\u00e9rivable sur \"\mathbb{R}_+\" comme produit et compos\u00e9e de fonctions d\u00e9rivables sur \"\mathbb{R}_+\" et de plus, on a pour tout \"t\in \mathbb{R}_+\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[h'(t)=e^{-t^2}-2t^2e^{-t^2}=(1-2t^2)e^{-t^2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"t\geq 0\" et que \"e^{-t^2}>0\", on constate que \"h'(t)\geq 0\" si et seulement si \"1-2t^2\geq 0\", c’est-\u00e0-dire si \"t\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\". D\u00e8s lors, la fonction \"h\" est croissante sur \"[0,\frac{1}{\sqrt{2}}]\" et d\u00e9croissante sur \"]\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty[\". Comme de plus \"h(t)\" tend vers \"0\" quand \"t\" tend vers \"+\infty\" par croissances compar\u00e9es, on en d\u00e9duit le tableau de variations suivant pour \"h\" :<\/p>\r\n

\"maths<\/p>\r\n

b\/<\/strong> En appliquant l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz \u00e0 deux vecteurs bien choisis de \"\mathbb{R}^n\", muni de son produit scalaire canonique, montrer que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall (x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n, \, \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 \leq n \sum_{k=1}^n x_k^2.\]\"<\/p>
Pour ce faire, on d\u00e9signe par \"\langle \; , \; \rangle\" le produit scalaire canonique sur \"\mathbb{R}^n\" et par \"\|\; \|\" la norme euclidienne associ\u00e9e. D’apr\u00e8s l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz appliqu\u00e9e aux vecteurs \"x=(x_1,...,x_n)\" et \"u=(1,...,1)\", on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2=\left (\langle x,u\rangle\right )^2\leq \|x\|^2\|u\|^2=\left ( \sum_{k=1}^n x_k^2 \right )\left ( \sum_{k=1}^n 1^2\right )=n\left ( \sum_{k=1}^n x_k^2 \right ).\]\"<\/p>
Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que, pour tout \"(x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 \leq n \sum_{k=1}^n x_k^2.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Montrons que \"f_n\" admet en \"a\" un extremum global. D’apr\u00e8s les questions pr\u00e9c\u00e9dentes, on trouve par des calculs simples que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}f_n(a) &= & \displaystyle \left (\sum_{k=1}^n a_k\right )\exp\left(-\sum_{k=1}^n a_k^2\right) \\& & \\& = & \displaystyle \left (\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{2n}} \right )\exp\left(-\sum_{k=1}^n \left ( \frac{1}{\sqrt{2n}} \right )^2\right) \\& & \\& = & \displaystyle \frac{n}{\sqrt{2n}}\exp\left(-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2n}\right) \\& & \\& = & \displaystyle \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\right) \quad = \quad \sqrt{\frac{n}{2e}}.\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De plus, on trouve d’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente que, pour tout \"x=(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^n\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[f_n(x)=\left (\sum_{k=1}^n x_k\right )\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\leq \sqrt{n} \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k ^2 }\exp\left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Si l’on pose \"t=\sqrt{\sum_{k=1}^n x_k ^2}\geq 0\", alors ceci nous donne que :

  <\/span>   <\/span>\"\[f_n(x)\leq \sqrt{n} t e^{-t^2}=\sqrt{n} h(t).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or on sait d’apr\u00e8s son tableau de variations que la fonction \"h\" admet un maximum sur \"\mathbb{R}_+\", lequel est atteint en \"t=1/\sqrt{2}\" et vaut \"1/\sqrt{2e}\". En particulier, on voit que \"h(t)\leq 1/\sqrt{2e}\" pour tout \"t\in \mathbb{R}_+\", ce qui entraine que :

  <\/span>   <\/span>\"\[f_n(x)\leq \sqrt{n} h(t)\leq \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2e}}=\sqrt{\frac{n}{2e}}=f_n(a).\]\"<\/p><\/p>\r\n

En r\u00e9sum\u00e9, on vient de montrer que \"f_n(x)\leq f_n(a)\" pour tout \"x\in \mathbb{R}^n\", avec \u00e9galit\u00e9 si \"x=a\", et donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{f_n \text{ pr\'esente un maximum global en } a.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De la m\u00eame fa\u00e7on, on v\u00e9rifie aussi que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{f_n \text{ pr\'esente un minimum global en } b.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

5\/<\/strong> Question d’informatique.<\/p>\r\n

a\/<\/strong> \u00c9crivons des commandes Scilab permettant de calculer et d’afficher \"H_n(a)\" pour une valeur de \"n\" entr\u00e9e par l’utilisateur. D’apr\u00e8s les questions pr\u00e9c\u00e9dentes, on sait que :

  <\/span>   <\/span>\"\[H_n(a)=\frac{-2}{\sqrt{2ne}} (nI_n + J_n).\]\"<\/p><\/p>\r\n

D\u00e8s lors, on pourra utiliser le script suivant :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\begin{array}{l}n=\text{input('entrez un entier n :')}\; ; \\A=(-2/\text{sqrt}(2*n*\exp(1)))*(\text{ones}(n,n)+n*\text{eye}(n))\; ; \\\text{disp}(A)\\\end{array}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Dans le cas \"n=2\", la nappe suivante est acceptable en tant que repr\u00e9sentation graphique de la fonction \"f_2\". En effet, comme cela a \u00e9t\u00e9 montr\u00e9 aux questions pr\u00e9c\u00e9dentes, le graphe de \"f_2\" (comme c’est le cas pour cette nappe) pr\u00e9sente un maximum global et un minimum global, lesquels sont atteints en des points oppos\u00e9s par rapport \u00e0 l’origine de \"\mathbb{R}^2\".<\/p>\r\n

\"maths<\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Probl\u00e8me 1 : Int\u00e9grale de Wallis<\/h2>\r\n

Partie 1 : Simulations de \"S_k\" et \"T_k\"<\/h3>\r\n

1\/<\/strong> Compl\u00e9tons les lignes \"7\" et \"10\" du script Scilab suivant pour qu’il affiche la valeur prise par \"S_k\" lorsque \"k\" et \"p\" sont entr\u00e9s par l’utilisateur :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\begin{tabular}{l}k = input('donnez une valeur pour k :') \\p = input('donnez une valeur pour p :') \\n = 0 \\c = 0 \\while c \operatorname{<} k \\\qquad n=n+1 \\\qquad if - - - then c = c+1 \\\qquad end \\end \\disp(- - -) \\\end{tabular}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Dans ce script, \"n\" correspond au nombre de lancers effectu\u00e9s et \"c\" au nombre de piles obtenus au cours des \"n\" premiers lancers. Dans ce cas, pour que l’on passe de \"c\" \u00e0 \"c+1\" dans la boucle \u00ab\u00a0while\u00a0\u00bb, il faut et il suffit que le r\u00e9sultat du \"n\"-\u00e8me lancer soit un pile, ce qui peut se simuler par l’instruction \u00ab\u00a0\"\text{rand}<p\"\u00a0\u00bb (vu que la pi\u00e8ce a une probabilit\u00e9 \"p\" de donner pile \u00e0 chaque fois). Quant \u00e0 la valeur de \"S_k\", elle correspond au nombre de fois que la boucle \u00ab\u00a0while\u00a0\u00bb aura tourn\u00e9, c’est-\u00e0-dire \u00e0 \"n\". D\u00e8s lors, on pourra compl\u00e9ter le script ci-dessus comme suit :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\begin{tabular}{l}k = input('donnez une valeur pour k :') \\p = input('donnez une valeur pour p :') \\n = 0 \\c = 0 \\while c \operatorname{<} k \\\qquad n=n+1 \\\qquad if rand \operatorname{<} p \: then c = c+1 \\\qquad end \\end \\disp(n) \\\end{tabular}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/<\/strong> On souhaite que le script pr\u00e9c\u00e9dent affiche la valeur prise par \"T_k\". Il s’agit alors de remplacer la ligne \"7\" du script pr\u00e9c\u00e9dent par la suivante, d\u00fbment compl\u00e9t\u00e9e :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\begin{tabular}{l}if - - - then c = c+1, else - - - \\\end{tabular}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Dans ce nouveau script, l’entier \"n\" correspond toujours au nombre de lancers effectu\u00e9s. Par contre, l’entier \"c\" est \u00e9gal au nombre de piles de la derni\u00e8re s\u00e9rie de piles obtenus si le \"n\"-\u00e8me lancer donne un pile, et \u00e0 \"0\" sinon. Dans ce cas, pour que l’on passe de \"c\" \u00e0 \"c+1\" dans la boucle \u00ab\u00a0while\u00a0\u00bb, il faut et il suffit que le r\u00e9sultat du \"n\"-\u00e8me lancer soit un pile, ce qui peut se simuler par l’instruction \u00ab\u00a0\"\text{rand}<p\"\u00a0\u00bb (vu que la pi\u00e8ce a une probabilit\u00e9 \"p\" de donner pile \u00e0 chaque fois). En revanche, si le \"n\"-\u00e8me lancer donne un face, alors \"c\" est r\u00e9initialis\u00e9 \u00e0 \"0\", ce qui signifie que les \"n\" premiers lancers ne se terminent pas par une s\u00e9rie de piles. Dans ces conditions, la boucle \u00ab\u00a0while\u00a0\u00bb s’interrompra si \"c=k\", c’est-\u00e0-dire si les \"n\" lancers se terminent par une s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs. Quant \u00e0 la valeur de \"T_k\", elle correspondra au nombre de fois que la boucle \u00ab\u00a0while\u00a0\u00bb aura tourn\u00e9, c’est-\u00e0-dire \u00e0 \"n\". D\u00e8s lors, pour obtenir une simulation de \"T_k\", il suffit de compl\u00e9ter la ligne \"7\" ci-dessus comme suit :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{ \text {if rand} < p \: \text{then} \: c = c+1, \text{else} \: c=0 }\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie 2 : Calcul de l’esp\u00e9rance de \"S_k\"<\/h3>\r\n

1\/<\/strong> Donner la loi de \"S_1\" ainsi que son esp\u00e9rance. Par d\u00e9finition, on sait que \"S_1\" est le nombre de lancers qu’il faut r\u00e9aliser pour obtenir pour la premi\u00e8re fois un pile. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, on r\u00e9p\u00e8te ind\u00e9finiment et dans les m\u00eames conditions une exp\u00e9rience de Bernoulli, qui consiste \u00e0 lancer la pi\u00e8ce de monnaie et o\u00f9 la probabilit\u00e9 du succ\u00e8s (\u00e0 savoir l’obtention d’un pile) \u00e0 chaque it\u00e9ration est \u00e9gale \u00e0 \"p\". Comme \"S_1\" est le premier instant o\\`u le succ\u00e8s est r\u00e9alis\u00e9, \"S_1\" est un temps d’arr\u00eat et suit donc la loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p\", c’est-\u00e0-dire :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{S_1\hookrightarrow \mathcal{G}\left (p\right ).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’apr\u00e8s le cours, comme \"S_1\hookrightarrow \mathcal{G}\left (p\right )\", on a :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{E(X_1)= \frac{1}{p}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/<\/strong> Soit \"k\" un entier naturel \"\geq 2\". Pour tout entier naturel \"n\geq k\", on note \"X_{n-1}\" la variable al\u00e9atoire \u00e9gale au nombre de piles obtenus lors des \"n-1\" premiers lancers.<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Donnons la loi de \"X_{n-1}\". Pour ce faire, on consid\u00e8re l’exp\u00e9rience al\u00e9atoire suivante \u00ab\u00a0on lance la pi\u00e8ce\u00a0\u00bb, laquelle pr\u00e9sente deux issues, \u00e0 savoir \"A\" : \u00ab\u00a0on obtient pile\u00a0\u00bb et \"B\" : \u00ab\u00a0on obtient face\u00a0\u00bb. On r\u00e9p\u00e8te cette exp\u00e9rience \"n-1\" fois de suite et dans les m\u00eames conditions. Comme la probabilit\u00e9 de l’issue \"A\" est \u00e9gale \u00e0 \"p\" \u00e0 chaque lancer et que \"X_{n-1}\" est le nombre de succ\u00e8s de l’issue \"A\", on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{X_{n-1}\hookrightarrow \mathcal{B}(n-1,p).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Donnons tout d’abord \"S_k(\Omega)\". Par d\u00e9finition, \"S_k\" est le nombre de lancers qu’il faut r\u00e9aliser pour obtenir \"k\" piles. Donc \"S_k\" ne peut prendre que des valeurs enti\u00e8res \"\geq 0\". De plus, on voit que \"S_k\" ne peut prendre la valeur enti\u00e8re \"n\" que si \"n\geq k\" (il faut r\u00e9aliser au moins \"k\" lancers pour avoir \"k\" piles) et l’\u00e9v\u00e9nement \"[S_k=n]\" est r\u00e9alis\u00e9 si, par exemple, on n’obtient que des faces au cours des \"(n-k)\" premiers lancers, puis \"k\" piles apr\u00e8s. En d’autres termes, \"S_k\" peut prendre toute valeur enti\u00e8re \"n\geq k\", et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{S_k(\Omega)=[\![k,+\infty]\!].}\]\"<\/p><\/p>\r\n

A pr\u00e9sent, \u00e9crivons l’\u00e9v\u00e9nement \"[S_k = n]\" \u00e0 l’aide de la variable \"X_{n-1}\". Par d\u00e9finition, l’\u00e9v\u00e9nement \"[S_k=n]\" est r\u00e9alis\u00e9 si et seulement si l’on a obtenu \"k-1\" piles au cours des \"n-1\" premiers lancers et pile au \"n\"-\u00e8me lancer, c’est-\u00e0-dire si les \u00e9v\u00e9nements \"[X_{n-1}=k-1]\" et \"P_n\" sont simultan\u00e9ment r\u00e9alis\u00e9s, et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{[S_k = n]=[X_{n-1}=k-1]\cap P_n.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Montrons que la loi de \"S_k\" est donn\u00e9e par :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall n \geq k, \, \, P(S_k=n) = \binom{n-1}{k-1}p^k q^{n-k}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’apr\u00e8s la formule des probabilit\u00e9s compos\u00e9es et la question pr\u00e9c\u00e9dente, on sait que \"S_k(\Omega)=[\![k,+\infty]\!]\" et plus, on a pour \"n\geq k\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[P([S_k=n])=P([X_{n-1}=k-1])P_{[X_{n-1}=k-1]}(P_n).\]\"<\/p>
Comme \"X_{n-1}\hookrightarrow \mathcal{B}(n-1,p)\" d’apr\u00e8s la question \"(2)(a)\", on trouve que, pour tout \"n\geq k\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[P([S_k=n])=\binom{n-1}{k-1} p^{k-1}q^{n-k} P_{[X_{n-1}=k-1]}(P_n). \quad (*)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme tous les lancers sont ind\u00e9pendants les uns des autres, on voit que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P_{[X_{n-1}=k-1]}(P_n)=P(P_n)=p.\]\"<\/p><\/p>\r\n

En r\u00e9injectant cette \u00e9galit\u00e9 dans la relation \"(*)\", il s’ensuit que, pour tout \"n\geq k\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[P([S_k=n])=\binom{n-1}{k-1} p^{k-1}q^{n-k} p.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que la loi de \"S_k\" est donn\u00e9e par :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\forall n\geq k, \; \; P([S_k=n])=\binom{n-1}{k-1} p^{k}q^{n-k}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/<\/strong> Soit \"k\" un entier \"\geq 2\". On pose \"Z_1 = S_1\" et, pour tout entier \"i\geq 2\", on pose \"Z_i = S_i - S_{i-1}\". On admet que \"(Z_i)_{i \in \mathhbb{N}^*}\" est une suite de variables al\u00e9atoires mutuellement ind\u00e9pendantes.<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Donnons la loi des variables al\u00e9atoires \"Z_i\". Par d\u00e9finition, \"Z_i\" d\u00e9signe le temps d’attente entre le \"(i-1)\"-\u00e8me pile et le \"i\"-\u00e8me pile (voire le temps d’attente du premier pile si \"i=1\"). Comme les r\u00e9sultats des lancers sont ind\u00e9pendants et que la probabilit\u00e9 d’obtenir pile est \u00e9gale \u00e0 \"p\" \u00e0 chaque lancer, on en d\u00e9duit que, pour tout \"i\geq 2\" :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{Z_i \hookrightarrow \mathcal{G}(p).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Exprimons \"S_k\" \u00e0 l’aide de certaines des variables \"Z_i\". Comme \"Z_1 = S_1\" et que \"Z_i = S_i - S_{i-1}\" pour tout entier \"i\geq 2\", on obtient par t\u00e9lescopage que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{i=1}^k Z_i=Z_1+\sum_{i=2}^k S_i - S_{i-1}=S_1+S_k-S_1=S_k.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{S_k=\sum_{i=1}^k Z_i.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Montrons que \"S_k\" poss\u00e8de une esp\u00e9rance et donnons sa valeur. Comme les \"Z_i\" suivent toutes la loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p\" d’apr\u00e8s la question \"(3)(a)\", elles admettent toutes une esp\u00e9rance \u00e9gale \u00e0 \"\frac1p\". D\u00e8s lors, comme \"S_k=\sum_{i=1}^k Z_i\" d’apr\u00e8s la question \"(3)(b)\", la variable al\u00e9atoire \"S_k\" admet aussi une esp\u00e9rance par lin\u00e9arit\u00e9 et de plus, on obtient par lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance que :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(S_k)=E\left ( \sum_{i=1}^k Z_i\right )=\sum_{i=1}^k E(Z_i)=\sum_{i=1}^k \frac{1}{p}=\frac{k}{p}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{S_k \text{ admet une esp\'erance \'egale \`a } \frac{k}{p}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/<\/strong> Estimation. On suppose le param\u00e8tre \"p\" inconnu et on souhaite trouver un estimateur de \"p\". On admet que, si une suite de variables al\u00e9atoires \"(Y_k)_{k \in \mathhbb{N}^*}\" converge en probabilit\u00e9 vers une variable al\u00e9atoire \"Y\", alors pour toute fonction \"f\" continue sur un intervalle \"I\" de \"\mathbb{R}\" tel que \"P(Y \in I) = 1\", la suite \"(f(Y_k))_{k \in \mathhbb{N}^*}\" converge en probabilit\u00e9 vers \"f(Y)\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Pour tout \"k\geq 2\", on pose \"\overline{Z_k} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k Z_i\". Montrons que la suite \"\left(\overline{Z_k}\right)_{k \in \mathhbb{N}^*}\" converge en probabilit\u00e9. D’apr\u00e8s la question \"(3)(a)\", on sait que toutes les variables al\u00e9atoires \"Z_i\" suivent la loi g\u00e9om\u00e9trique de param\u00e8tre \"p\", laquelle admet une esp\u00e9rance (\u00e9gale \u00e0 \"\frac1p\") et une variance. Comme elles sont de plus ind\u00e9pendantes, la loi faible des grands nombres entraine que leur moyenne empirique \"\overline{Z_k}\" converge en probabilit\u00e9 vers l’esp\u00e9rance commune des \"Z_i\", c’est-\u00e0-dire \"\frac1p\". Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\overline{Z_k} \overset{P}{\longrightarrow} \frac1p.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Montrons que \"\frac{k}{S_k}\" est un estimateur convergent de \"p\". Pour ce faire, on consid\u00e8re l’application \"f : \mathbb{R}_+ ^*\longrightarrow \mathbb{R}_+ ^*\", \"x\longmapsto \frac1x\". Alors \"f\" est une fonction continue sur l’intervalle \"\mathbb{R}_+ ^*\". Comme la variable al\u00e9atoire constante \u00e9gale \u00e0 \"\frac1p\" v\u00e9rifie la relation \"P([\frac1p\in \mathbb{R}_+ ^*])=1\" (vu que \"\frac1p>0\") et que la suite \"(\overline{Z_k})\" converge en probabilit\u00e9 vers \"\frac1p\", ceci entraine avec le r\u00e9sultat donn\u00e9 plus haut que :

  <\/span>   <\/span>\"\[f(\overline{Z_k})=\frac{1}{\overline{Z_k}}\overset{P}{\longrightarrow} f\left (\frac1p \right )=p.\]\"<\/p>
Mais comme \"\overline{Z_k}=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k Z_i=\frac{S_k}{k}\" d’apr\u00e8s la question \"(3)(b)\", il s’ensuit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{k}{S_k}=\frac{1}{\overline{Z_k}}\overset{P}{\longrightarrow} p.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit par d\u00e9finition de la convergence des estimateurs que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\frac{k}{S_k} \text{ est un estimateur convergent de }p.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Donnons tout d’abord la valeur de \"\sum_{j=k-1}^{+\infty} P(S_{k-1} = j)\". Comme \"S_{k-1}(\Omega)=\llbracket k-1,+\infty\llbracket\" d’apr\u00e8s la question \"(2)(b)\", la famille \"([S_{k-1}=j])_{j\geq k-1}\" est le syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements associ\u00e9 \u00e0 \"S_{k-1}\". En particulier, on obtient en passant aux probabilit\u00e9s que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\sum_{j=k-1}^{+\infty} P(S_{k-1} = j)=1.}\]\"<\/p>
A pr\u00e9sent, montrons que la variable al\u00e9atoire \"\frac{k-1}{S_k-1}\" poss\u00e8de une esp\u00e9rance et que: \"E(\frac{k-1}{S_k-1}) = p\". Comme la variable al\u00e9atoire \"S_k\" ne prend que des valeurs enti\u00e8res \"\geq k\" d’apr\u00e8s la question \"(2)(b)\", on voit que \"S_k\geq k\", et donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leq \frac{k-1}{S_k-1}\leq \frac{k-1}{k-1}= 1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

En particulier, la variable al\u00e9atoire \"\frac{k-1}{S_k-1}\" est born\u00e9e par \"1\" (en valeur absolue). Comme la variable al\u00e9atoire constante \u00e9gale \u00e0 \"1\" admet une esp\u00e9rance, il s’ensuit par domination que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\frac{k-1}{S_k-1} \text{ admet une esp\'erance}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Passons au calcul de \"E(\frac{k-1}{S_k-1})\". D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de transfert et la question \"(2)(c)\", on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}\displaystyle E\left ( \frac{k-1}{S_k-1} \right ) & = & \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{k-1}{n-1} P([S_k=n]) \\& & \\&=& \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{k-1}{n-1} \binom{n-1}{k-1} p^{k}q^{n-k} \\& & \\&=& \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{k-1}{n-1} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k}q^{n-k} \\& & \\&=& \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k}q^{n-k} \\& & \\&=& \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \binom{n-2}{k-2}p^{k}q^{n-k} \\& & \\&=& \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \binom{n-1-1}{k-1-1}p^{k-1+1}q^{n-1-k+1} \\& & \\&=& \displaystyle p\sum_{n=k}^{+\infty} \binom{n-1-1}{k-1-1}p^{k-1}q^{n-1-k+1} \\& & \\& = & \displaystyle p\sum_{n=k}^{+\infty} P([S_{k-1}=n-1]).\\\end{array}\]\"<\/p>
En effectuant le changement d’indices \"j=n-1\" dans la somme de droite et en utilisant le r\u00e9sultat du d\u00e9but de cette question, on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[E\left ( \frac{k-1}{S_k-1} \right )=p\sum_{j=k-1}^{+\infty} P([S_{k-1}=j])=p\times 1=p.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{E\left ( \frac{k-1}{S_k-1} \right )=p.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> Montrons que \"\frac{k}{S_k}\" est un estimateur biais\u00e9 de \"p\" (on ne cherchera pas \u00e0 calculer la valeur de ce biais). Tout d’abord, on commence par remarquer que, comme la variable al\u00e9atoire \"S_k\" ne prend que des valeurs enti\u00e8res \"\geq k\" d’apr\u00e8s la question \"(2)(b)\", on voit que \"S_k\geq k\", et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leq \frac{k}{S_k}\leq \frac{k}{k} = 1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

En particulier, la variable al\u00e9atoire \"\frac{k}{S_k}\" est born\u00e9e par \"1\" (en valeur absolue). Comme la variable al\u00e9atoire constante \u00e9gale \u00e0 \"1\" admet une esp\u00e9rance, il s’ensuit par domination que \"\frac{k}{S_k}\" admet une esp\u00e9rance, et donc cet estimateur admet bien un biais. Pour montrer qu’il est biais\u00e9, il suffit de v\u00e9rifier que \"E(\frac{k}{S_k})>p\". D’apr\u00e8s le th\u00e9or\u00e8me de transfert, on sait que l’esp\u00e9rance de \"\frac{k}{S_k}\" est la somme de la s\u00e9rie \"\sum_{n\geq k} \frac{k}{n}P([S_k=n])\". Or, on trouve que, pour tout \"k\in \mathhbb{N}^*\" et pour tout \"n> k\" :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}\displaystyle \frac{k-1}{n-1} < \frac{k}{n} & \Longleftrightarrow & n(k-1) < (n-1)k \\& & \\& \Longleftrightarrow & nk -n < nk-k \\& & \\& \Longleftrightarrow & k < n.\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme cette in\u00e9galit\u00e9 est toujours vraie, on voit que, pour tout \"k\in \mathhbb{N}^*\" et pour tout \"n>k\" :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{k-1}{n-1} < \frac{k}{n}.\]\"<\/p>
Par multiplication par \"P([S_k=n])\" (qui est \">0\"), on a pour tout \"k\in \mathhbb{N}^*\" et pour tout \"n>k\" :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{k-1}{n-1} P([S_k=n]) < \frac{k}{n} P([S_k=n]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par sommation, on trouve que, pour tout \"k\in \mathhbb{N}^*\" :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{k-1}{n-1} P([S_k=n]) < \sum_{n=k+1}^{+\infty} \frac{k}{n} P([S_k=n]),\]\"<\/p><\/p>\r\n

ce qui peut se r\u00e9\u00e9crire avec le th\u00e9or\u00e8me de transfert sous la forme :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[E\left ( \frac{k-1}{S_k-1}\right ) -P([S_k=n]) < E\left ( \frac{k}{S_k}\right )-P([S_k=n]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

En particulier, ceci entra\u00eene avec la question pr\u00e9c\u00e9dente que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[p=E\left ( \frac{k-1}{S_k-1}\right ) < E\left ( \frac{k}{S_k}\right ).\]\"<\/p><\/p>\r\n

et donc \"E( \frac{k}{S_k} )\not=p\". Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[ \boxed{\frac{k}{S_k} \text{ est un estimateur biais\'e de } p.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie 3 : Calcul de l’esp\u00e9rance de \"T_k\"<\/h3>\r\n

1\/<\/strong> Comparons les variables al\u00e9atoires \"S_1\" et \"T_1\". Par d\u00e9finition, \"T_1\" est le rang d’apparition du dernier pile de la premi\u00e8re s\u00e9rie d’un pile cons\u00e9cutif, c’est-\u00e0-dire le rang d’apparition du premier pile, et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{T_1=S_1.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/<\/strong> Soit \"k\geq 2\". On admet que \"T_k\" poss\u00e8de une esp\u00e9rance que l’on se propose de d\u00e9terminer.<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Justifions, en utilisant la variable al\u00e9atoire \"W\" \u00e9gale au rang du premier face lors de l’exp\u00e9rience d\u00e9crite au d\u00e9but de ce probl\u00e8me, que les \u00e9v\u00e9nements \"F_1,P_1 \cap F_2,P_1 \cap P_2 \cap F_3,P_1 \cap P_2 \cap P_3 \cap F_4,\dots,P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k\" et \"P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k\" forment un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements. Par d\u00e9finition, l’\u00e9v\u00e9nement \"F_1\" correspond \u00e0 l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on obtient face au premier lancer\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire \u00e0 \"[W=1]\". De m\u00eame, pour tout \"i\geq 2\", l’\u00e9v\u00e9nement \"P_1\cap P_2\cap ...\cap P_{i-1}\cap F_i\" correspond \u00e0 l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on obtient le premier face au \"i\"-\u00e8me lancer\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire \u00e0 \"[W=i]\". Enfin, l’\u00e9v\u00e9nement \"P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k\" correspond \u00e0 l’\u00e9v\u00e9nement \u00ab\u00a0on obtient le premier face apr\u00e8s le \"k\"-\u00e8me lancer\u00a0\u00bb, c’est-\u00e0-dire \u00e0 \"[W>k]\". En d’autres termes, il s’agit de montrer que la famille \"([W=1],[W=2],...,[W=k],[W>k])\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements. De toute \u00e9vidence, ces \u00e9v\u00e9nements sont deux \u00e0 deux incompatibles (vu que \"W\" ne peut pas prendre deux valeurs distinctes en m\u00eame temps). De plus, comme la famille \"([W=i])_{i\in \mathhbb{N}^*}\" est le syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements associ\u00e9 \u00e0 \"W\", on obtient que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\bigcup_{i=1}^k [W=i] \cup [W>k]=\bigcup_{i=1}^{k} [W=i] \cup \bigcup_{i=k+1}^{+\infty} [W=i]=\bigcup_{i=1}^{+\infty} [W=i]=\Omega. \]\"<\/p><\/p>\r\n

D\u00e8s lors, il s’ensuit que la famille \"([W=1],[W=2],...,[W=k],[W>k])\" est bien un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements, et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\begin{tabular}{l}les \'ev\`enements $F_1,P_1 \cap F_2,P_1 \cap P_2 \cap F_3,P_1 \cap P_2 \cap P_3 \cap F_4,\dots,P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k$ \\ et $P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k$ forment un syst\`eme complet d'\'ev\`enements. \end{tabular}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Montrons tout d’abord que, pour tout entier \"n\geq k\", on a \"P_{F_1}(T_k = n) = P(T_k = n-1)\". Pour ce faire, on consid\u00e8re l’\u00e9v\u00e9nement \"A_{n,k}\" : \u00ab\u00a0au cours des lancers \"n^o \: 2,3,...,n\", le rang d’apparition du dernier pile de la premi\u00e8re s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs est \u00e9gal \u00e0 \"n\" \u00ab\u00a0. Alors on voit que \"[T_k=n]\cap F_1=A_{n,k}\cap F_1\", ce qui entra\u00eene que :

  <\/span>   <\/span>\"\[P_{F_1}(T_k = n)=\frac{P([T_k=n]\cap F_1)}{P(F_1)}=\frac{P(A_{n,k}\cap F_1)}{P(F_1)}=P_{F_1}(A_{n,k}).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme les r\u00e9sultats des lancers sont ind\u00e9pendants et que \"A_{n,k}\" est construit \u00e0 partir des r\u00e9sultats des lancers \"n^o 2,3,...,n\", les \u00e9v\u00e9nements \"F_1\" et \"A_{n,k}\" sont ind\u00e9pendants, et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[P_{F_1}(T_k = n)=P_{F_1}(A_{n,k})=P(A_{n,k}).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Enfin, comme \"A_{n,k}\" est r\u00e9alis\u00e9 si et seulement si le rang d’apparition du dernier pile de la premi\u00e8re s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs est \u00e9gal \u00e0 \"n\" au cours des lancers \"n^o \: 2,3,...,n\", tout se passe comme si l’on r\u00e9alisait \"n-1\" lancers (\u00e0 savoir les lancers \"n^o \: 2,3,...,n\") et que l’on s’int\u00e9ressait au rang d’apparition du dernier pile de la premi\u00e8re s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs. Avec ce ph\u00e9nom\u00e8ne de d\u00e9calage, on obtient que \"P(A_{n,k})=P([T_k=n-1])\", et donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{P_{F_1}(T_k = n)=P([T_k=n-1]).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

A pr\u00e9sent, montrons que l’esp\u00e9rance conditionnelle \"E(T_k \vert F_1)\" est \u00e9gale \u00e0 \"1+E(T_k)\". Par d\u00e9finition de l’esp\u00e9rance conditionnelle et avec la relation ci-dessus, on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k \vert F_1) = \sum_{n=k} ^{+\infty} n P_{F_1}([T_k=n]) =\sum_{n=k} ^{+\infty} n P([T_k=n-1]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

En effectuant le changement d’indices \"j=n-1\" dans la somme de droite ci-dessus, on obtient que :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k \vert F_1)=\sum_{n=k} ^{+\infty} n P([T_k=n-1])=\sum_{j=k-1} ^{+\infty} (j+1) P([T_k=j]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme l’\u00e9v\u00e9nement \"[T_k=k-1]\" est impossible (vu qu’il faut au moins \"k\" lancers pour obtenir une s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs), on voit que \"P([T_k=k-1])=0\", et donc :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k \vert F_1)=\sum_{j=k-1} ^{+\infty} (j+1) P([T_k=j])=\sum_{j=k} ^{+\infty} (j+1) P([T_k=j]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par lin\u00e9arit\u00e9 de la somme, ceci nous donne que :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k \vert F_1)=\sum_{j=k} ^{+\infty} (j+1) P([T_k=j])=\sum_{j=k} ^{+\infty} jP([T_k=j])+\sum_{j=k} ^{+\infty} P([T_k=j]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme la famille \"([T_k=j])_{j\geq k}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements, on constate que la deuxi\u00e8me somme de droite dans l’\u00e9galit\u00e9 ci-dessus vaut \"1\". Comme on reconna\u00eet dans la premi\u00e8re somme de droite l’esp\u00e9rance de \"T_k\", on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(T_k \vert F_1)=E(T_k)+1.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> De la m\u00eame fa\u00e7on, d\u00e9terminons, pour tout \"i\in [\![2,k]\!]\", la valeur de \"E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)\". On commence par montrer que, pour tout entier \"n\geq k\", on a \"P_{P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i}(T_k = n) = P(T_k = n-i)\". Pour ce faire, on consid\u00e8re l’\u00e9v\u00e9nement \"A_{n,k,i}\" : \u00a0\u00bb au cours des lancers \"n^o \: i+1,3,...,n\", le rang d’apparition du dernier pile de la premi\u00e8re s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs est \u00e9gal \u00e0 \"n\" \u00ab\u00a0. Comme \"i\leq k\", on voit que \"[T_k=n]\cap P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i=A_{n,k,i}\cap P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i\", ce qui entra\u00eene que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}P_{P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i}(T_k = n)&=&\displaystyle \frac{P([T_k=n]\cap P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)}{P(P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)} \\& & \\&=& \displaystyle \frac{P(A_{n,k,i}\cap P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)}{P(P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)} \\& & \\& = &\displaystyle P_{P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i}(A_{n,k,i}).\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme les r\u00e9sultats des lancers sont ind\u00e9pendants et que \"A_{n,k,i}\" est construit \u00e0 partir des r\u00e9sultats des lancers \"n^o \: i+1,3,...,n\", les \u00e9v\u00e9nements \"P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i\" et \"A_{n,k,i}\" sont ind\u00e9pendants, et donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P_{P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i}(T_k = n)=P_{P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i}(A_{n,k,i})=P(A_{n,k,i}).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Enfin, comme \"A_{n,k,i}\" est r\u00e9alis\u00e9 si et seulement si le rang d’apparition du dernier pile de la premi\u00e8re s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs est \u00e9gal \u00e0 \"n\" au cours des lancers \"n^o \: i+1,3,...,n\", tout se passe comme si l’on r\u00e9alisait \"n-i\" lancers (\u00e0 savoir les lancers \"n^o \: i+1,3,...,n\") et que l’on s’int\u00e9ressait au rang d’apparition du dernier pile de la premi\u00e8re s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs. Avec ce ph\u00e9nom\u00e8ne de d\u00e9calage, on obtient que \"P(A_{n,k})=P([T_k=n-i])\", et donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{P_{P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i}(T_k = n)=P([T_k=n-i]).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

A pr\u00e9sent, montrons que l’esp\u00e9rance conditionnelle \"E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)\" est \u00e9gale \u00e0 \"i+E(T_k)\". Par d\u00e9finition de l’esp\u00e9rance conditionnelle et avec la relation ci-dessus, on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i) = \sum_{n=k} ^{+\infty} n P_{P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i}([T_k=n]) =\sum_{n=k} ^{+\infty} n P([T_k=n-i]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

En effectuant le changement d’indices \"j=n-i\" dans la somme de droite ci-dessus, on obtient que :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)=\sum_{n=k} ^{+\infty} n P([T_k=n-i])=\sum_{j=k-i} ^{+\infty} (j+i) P([T_k=j]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme les \u00e9v\u00e9nements \"[T_k=k-i],...,[T_k=k-1]\" sont impossibles (vu qu’il faut au moins \"k\" lancers pour obtenir une s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs), on voit que \"P([T_k=k-i])=...=P([T_k=k-1])=0\", ce qui entra\u00eene que :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)=\sum_{j=k-i} ^{+\infty} (j+i) P([T_k=j])=\sum_{j=k} ^{+\infty} (j+i) P([T_k=j]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par lin\u00e9arit\u00e9 de la somme, ceci nous donne que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\qquad \qquadE(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)=\sum_{j=k} ^{+\infty} (j+i) P([T_k=j])=\sum_{j=k} ^{+\infty} jP([T_k=j])+i\sum_{j=k} ^{+\infty} P([T_k=j]).\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme la famille \"([T_k=j])_{j\geq k}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements, on constate que la deuxi\u00e8me somme de droite dans l’\u00e9galit\u00e9 ci-dessus vaut \"i\times 1=i\". Comme on reconna\\^it dans la premi\u00e8re somme de droite l’esp\u00e9rance de \"T_k\", on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)=E(T_k)+i.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> Justifions que \"E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_k) = k\". Pour ce faire, supposons que l’\u00e9v\u00e9nement \"P_1 \cap \dots \cap P_k\" soit r\u00e9alis\u00e9. Alors les \"k\" premiers lancers ont donn\u00e9 des piles, ce qui entraine que l’on a une s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs au cours des \"k\" premiers lancers, et donc \"T_k=k\". En d’autres termes, la variable al\u00e9atoire \"(T_k)_{|P_1 \cap \dots \cap P_k}\" est constante \u00e9gale \u00e0 \"k\", ce qui entraine que :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_k) = E\left ((T_k)_{|P_1 \cap \dots \cap P_k} \right )=E(k)=k.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_k) = k.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> Montrons la relation : \"E(T_k) = \sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^jq + E(T_k) \sum_{j=0}^{k-1} p^j q + kp^k\". D’apr\u00e8s la formule de l’esp\u00e9rance totale appliqu\u00e9e \u00e0 la variable al\u00e9atoire \"T_k\" et au syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements :<\/p>\r\n

\"F_1,P_1 \cap F_2,P_1 \cap P_2 \cap F_3,P_1 \cap P_2 \cap P_3 \cap F_4,\dots,P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k,\" \"P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k,\"<\/p>\r\n

on trouve avec les r\u00e9sultats des questions pr\u00e9c\u00e9dentes que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\qquad \qquad\begin{array}{lll}E(T_k)&=&P(F_1)E(T_k\vert F_1)+P(P_1 \cap F_2)E(T_k\vert P_1\cap F_2)+...+P(P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k) \\ & & \\& & E(T_k\vert P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k) +P(P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k)E(T_k \vert P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k)\\& & \\&=&\displaystyle P(F_1)\left [E(T_k)+1\right ]+P(P_1 \cap F_2)[E(T_k)+2]+...+P(P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k) \\ & & \\& & [E(T_k)+k] +P(P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k)k \\& & \\&=&\displaystyle E(T_k) \left [ P(F_1)+P(P_1 \cap F_2)+...+P(P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k)\right ]+ \\ & & \\& & \left [ P(F_1)+2P(P_1 \cap F_2)+...+kP(P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k)\right ]+P(P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k)k.\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme les r\u00e9sultats des lancers sont ind\u00e9pendants et que l’on obtient pile avec probabilit\u00e9 \"p\" (et donc face avec probabilit\u00e9 \"q\") \u00e0 chaque lancer, on obtient que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\qquad \qquad\begin{array}{lll}E(T_k) &=&\displaystyle E(T_k) \left [ q+pq+...+p^{k-1}q\right ]+ \left [ q+2pq+...+kp^{k-1} q\right ]+kp^k \\& & \\&=&\displaystyle E(T_k) \sum_{j=0}^{k-1} p^{j}q+ \sum_{j=0}^{k-1}(j+1)p^{j} q+kp^k. \\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(T_k) = \sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^jq + E(T_k) \sum_{j=0}^{k-1} p^j q + kp^k.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> \u00c9tablissons finalement que : \"E(T_k) = \frac{1-p^k}{qp^k}.\" D’apr\u00e8s les r\u00e9sultats sur les sommes de suites g\u00e9om\u00e9triques, on trouve que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{j=0}^{k-1} p^j q=q\left [\frac{1-p^k}{1-p}\right ]=q\left [\frac{1-p^k}{q}\right ]=1-p^k.\]\"<\/p><\/p>\r\n

De la m\u00eame fa\u00e7on, comme \"q=1-p\", on obtient par lin\u00e9arit\u00e9 de la somme que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^jq =\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)(p^j-p^{j+1})=\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^j- \sum_{j=0}^{k-1} (j+1) p^{j+1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

En effectuant le changement d’indices \"i=j+1\" dans la deuxi\u00e8me somme de droite, on voit que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^jq =\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^j- \sum_{i=1}^{k} i p^{i}=\sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^j- \sum_{j=1}^{k} j p^{j}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

D\u00e8s lors, on obtient en regroupant ces sommes que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}\displaystyle \sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^jq & = & \displaystyle \sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^j- \sum_{j=1}^{k} j p^{j}\\& & \\& = & \displaystyle 1.p^0 + \sum_{j=1}^{k-1} (j+1)p^j- \sum_{j=1}^{k-1} j p^{j} -kp^k\\& & \\& = & \displaystyle 1.p^0 + \sum_{j=1}^{k-1} (j+1-j)p^j-kp^k\\& & \\& = & \displaystyle p^0 + \sum_{j=1}^{k-1} p^j-kp^k\\& & \\& = & \displaystyle \sum_{j=0}^{k-1} p^j-kp^k\\& & \\& = & \displaystyle \frac{1-p^k}{1-p}-kp^k\\& & \\& = & \displaystyle \frac{1-p^k}{q}-kp^k.\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’apr\u00e8s la question pr\u00e9c\u00e9dente, on a la relation :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k) = \sum_{j=0}^{k-1} (j+1)p^jq + E(T_k) \sum_{j=0}^{k-1} p^j q + kp^k,\]\"<\/p><\/p>\r\n

laquelle se r\u00e9\u00e9crit avec les calculs ci-dessus sous la forme :

  <\/span>   <\/span>\"\[E(T_k) = \frac{1-p^k}{q}-kp^k + E(T_k) (1-p^k) + kp^k= \frac{1-p^k}{q}+ E(T_k) (1-p^k).\]\"<\/p><\/p>\r\n

En particulier, ceci entra\u00eene que :

  <\/span>   <\/span>\"\[(1-1+p^k)E(T_k)=p^k E(T_k)= \frac{1-p^k}{q}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, on en d\u00e9duit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(T_k) = \frac{1-p^k}{q p^k}.}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/<\/strong> Justifions tout d’abord que \"E(S_k) \leq E(T_k)\". Par d\u00e9finition, on sait que \"S_k\" est le rang du \"k\textsuperscript{\`eme}\" pile et \"T_k\" le rang d’apparition du dernier pile de la premi\u00e8re s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs. D\u00e8s lors, si \"T_k\" prend la valeur \"n\", on a obtenu une s\u00e9rie de \"k\" piles cons\u00e9cutifs qui s’arr\u00eate au rang \"n\". En particulier, il y a au moins \"k\" piles parmi les \"n\" premiers lancers, et donc \"S_k\leq n\". En particulier, \"S_k\" prend toujours une valeur inf\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 celle de \"T_k\", et donc \"S_k\leq T_k\". Par croissance de l’esp\u00e9rance, il s’ensuit que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{E(S_k) \leq E(T_k).}\]\"<\/p><\/p>\r\n

A pr\u00e9sent, \u00e9tablissons que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k \in \mathbb{N}^*, \quad \forall p \in ]0,1[, \quad (k-1)p^k \geq kp^{k-1}-1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"E(S_k)=\frac{k}{p}\" et que \"E(T_k)=\frac{1-p^k}{q p^k}\" d’apr\u00e8s les questions pr\u00e9c\u00e9dentes, on obtient avec l’in\u00e9galit\u00e9 ci-dessus que :

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{k}{p} = E(S_k) \leq E(T_k)=\frac{1-p^k}{q p^k}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme \"p>0\" et que \"q=1-p>0\", on trouve que :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{lll}\displaystyle \frac{k}{p} \leq \frac{1-p^k}{q p^k} & \Longleftrightarrow & \displaystyle kq p^{k-1}\leq 1-p^k \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle kp^{k-1}(1-p)\leq 1-p^k \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle kp^{k-1}-kp^k\leq 1-p^k \\& & \\& \Longleftrightarrow & \displaystyle kp^{k-1}-1\leq (k-1)p^k.\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Comme la premi\u00e8re in\u00e9galit\u00e9 est toujours vraie, il s’ensuit que la derni\u00e8re l’est aussi, et donc :<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed{\forall k \in \mathhbb{N}^*, \; \; \forall p \in ]0,1[, \; \; (k-1)p^k \geq kp^{k-1}-1.}\]\"<\/p><\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet EDHEC Maths ECS 2018 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths BCE Exercice 1 : Comparaison s\u00e9rie-int\u00e9grale et \u00e9tude de fonction 1\/ \u00c9tudions la parit\u00e9 de . 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