{"id":33655,"date":"2019-08-12T18:01:05","date_gmt":"2019-08-12T17:01:05","guid":{"rendered":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/?page_id=33655"},"modified":"2022-06-11T18:27:53","modified_gmt":"2022-06-11T17:27:53","slug":"annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2018","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/groupe-reussite.fr\/ressources\/annale-corrige-sujet-ecricome-maths-ecs-2018\/","title":{"rendered":"Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2018"},"content":{"rendered":"
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\n\t\t\t\t\tMon parcours pour<\/span>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\tr\u00e9ussir en maths<\/span>\n\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe r\u00e9vise en autonomie\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe progresse avec un prof\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\tJe m\u2019entra\u00eene sur des annales corrig\u00e9es\t\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\n\t\t\t\t\n\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tJe cherche un prof de maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France\u00a0
<\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n<\/div>\r\n

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Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2018<\/h1>\r\n<\/div>\r\n

Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths Ecricome<\/a><\/p>\r\n

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Exercice 1 : Caract\u00e9risation d’un projecteur<\/h2>\r\n

Partie 1 :\u00a0<\/h3>\r\n

1\/<\/strong>\u00a0On montre que \"u\circ u=u\" et \"v\circ v = v.\" Pour cela on utilise l’interpr\u00e9tation matricielle des endomorphismes dans la base \"{\cal B}_2\".

  <\/span>   <\/span>\"\[{\hbox{Mat}}_{{\cal B}_2}(u\circ u)= {\hbox{Mat}}_{{\cal B}_2}(u)\times {\hbox{Mat}}_{{\cal B}_2}(u)=A\times A=\frac{1}{(1+a^{2})^2}\begin{pmatrix}1 & a\\a & a^{2}\end{pmatrix}^2 = \frac{1}{(1+a^{2})^2}\begin{pmatrix}1+a^2 & a+a^3\\a+a^3 & a^{2}+a^4\end{pmatrix}\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[=\frac{1+a^{2}}{(1+a^{2})^2}\begin{pmatrix}1 & a\\a & a^{2}\end{pmatrix}=A={\hbox{Mat}}_{{\cal B}_2}(u)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"u\circ u=u\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$u$ est un projecteur de $\mathbb{R}^2.$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

De fa\u00e7on analogue, on a \"B\times B= \frac14 \begin{pmatrix}2 & 2\\2 & 2\end{pmatrix}=B\" donc \"{\hbox{Mat}}_{{\cal B}_2}(v^2)={\hbox{Mat}}_{{\cal B}_2}(v)\" donc \"v\circ v=v\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$v$ est un projecteur de $\mathbb{R}^2.$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> On sait que \"\hbox{rg}(u)=\hbox{rg}(A).\" Or la deuxi\u00e8me colonne de \"A\" est \u00e9gale \u00e0 la premi\u00e8re multipli\u00e9e par \"a\" donc le rang de \"A\" est \"\hbox{rg}\left(\frac{1}{1+a^2}\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}\right)=1\" car il s’agit d’une colonne non nulle.<\/p>\r\n

Le rang de \"v\" est celui de \"B\", il est imm\u00e9diat que le rang de \"B\" est 1 car les colonnes de \"B\" sont non nulles et \u00e9gales.<\/p>\r\n

Enfin \"{\hbox{Mat}}_{{\cal B}_2}(u\circ v)=A\times B =\frac{1}{2(1+a^2)}\begin{pmatrix}1+a & 1+a\\a+a^2& a+a^2\end{pmatrix}\" apr\u00e8s calculs. L\u00e0 aussi, il y a des colonnes qui sont non nulles et \u00e9gales. Donc \"u\circ v\" est aussi de rang 1.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{Les endomorphismes $u$, $v$ et $u\circ v$ sont tous de rang $1$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On sait que \"{\hbox{Mat}}_{{\cal B}_2}(1,a)=\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}.\"<\/p>\r\n

Ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[{\hbox{Mat}}_{{\cal B}_2}(u\circ v((1,a)))=AB\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix} = \frac{1}{2(1+a^2)}\begin{pmatrix}1+2a+a^2\\a+2a^2+a^3\end{pmatrix}=\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)}\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Donc \"u\circ v((1,a))=\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)} (1,a)\". Remarquons que \"(1,a)\ne (0,0).\"<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{Le vecteur $x_{0}=(1,a)$ est un vecteur propre de $u\circ v$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> On sait que \"u\circ v\" est de rang 1 et que \"\mathbb{R}^2\" est de dimension 2 donc \"u\circ v\" n’est pas bijectif donc 0 est valeur propre de
\"u\circ v\".<\/p>\r\n

On pense alors \u00e0 r\u00e9soudre \"\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)}= 0,\"
ce qui est \u00e9quivalent \u00e0 \"1+2a+a^2=0\Longleftrightarrow (1+a)^2=0\Longleftrightarrow a=-1.\"<\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> Si \"a\ne -1,\" alors \"\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)}\ne 0,\" comme \"\mathbb{R}^2\" est de dimension 2, il y a au plus deux valeurs propres. Donc nous les avons toutes d\u00e9termin\u00e9es.<\/p>\r\n

Si \"a=-1,\" alors \"\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)}= 0\" et \"A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}\" et \"AB= \begin{pmatrix}0 &0\\0 & 0\end{pmatrix}\". Dans ce cas, le spectre est r\u00e9duit \u00e0 0.<\/p>\r\n

Remarque : il est imm\u00e9diat que, dans les deux cas, \"(1,-1)\" est vecteur propre de
\"u\circ v\" associ\u00e9 \u00e0 0.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{Le spectre de $u\circ v$ est $\left\{0,\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)}\right\}$ si $a\ne -1$ et il vaut $\left\{0\right\}$ si $a=-1$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Si \"a=-1,\" la r\u00e9ponse est imm\u00e9diate.<\/p>\r\n

Si \"a\ne -1\", alors il faut juste s’assurer que \"\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)}=\frac{(1+a)^2}{2(1+a^2)}\in [0,1].\"<\/p>\r\n

Il est clair que le calcul de la fraction est positif car des r\u00e9els au carr\u00e9 le sont.<\/p>\r\n

Calculons \"1-\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)}=\frac{2+2a^2-(1+2a+a^2)} {2(1+a^2)} = \frac{1-2a+a^2}{2(1+a^2)}=\frac{(1-a)^2}{2(1+a^2)}\geq 0\".<\/p>\r\n

Donc \"1\geq\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)}.\"<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{Les valeurs propres de $u\circ v$ appartiennent \`a l'intervalle $[0;1]$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Supposons que \"u\circ v\" est un projecteur. Si \"a=-1\", alors \"u\circ v\" est la fonction nulle, c’est donc le projecteur sur \"\{(0,0)\}\" parall\u00e8lement \u00e0 \"\mathbb{R}^2.\"<\/p>\r\n

Si \"a\ne-1\", alors le spectre de \"u\circ v\" contient deux valeurs, il ne peut s’agir que de 0 et 1. Car tout projecteur a pour polyn\\^ome annulateur \"X(X-1)\" de racines \"0\" et \"1.\"<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que \"\frac{1+2a+a^2}{2(1+a^2)}=1\" par cons\u00e9quent<\/p>\r\n

\"1+2a+a^2=2(1+a^2)\" donc \"1-2a+a^2=\" donc \"(1-a)^2=0\" donc \"a=1.\"<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement si \"a=1\" alors \"A=B\" donc \"A\times B=B\" donc \"u\circ v=v\" et \"v\" est un projecteur, \"u\circ v\" l’est aussi.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$u\circ v$ est un projecteur si et seulement si $a=-1$ ou $a=1$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

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COURS DE MATHS<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Les meilleurs professeurs particuliers<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Pour progresser et r\u00e9ussir<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tCours particuliers maths<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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 <\/p>\r\n

Partie 2 : Matrice sym\u00e9trique et valeurs propres<\/h2>\r\n
\u00a0<\/div>\r\n

4\/<\/strong> On va utiliser la sym\u00e9trie de \"B\" sous la forme \"^{t}{B}= B\" puis le fait que \"B^2=B\" car \"v\" est un projecteur sym\u00e9trique dont \"B\" est sa matrice dans la base canonique.<\/p>\r\n

Pour tout \"X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\", on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\|BX\|^{2}=\langle BX,BX\rangle=^{t}{(BX)} BX=^{t}{X}^{t}{B}BX= ^{t}{X}BBX=^{t}{X}BX= \langle X,BX\rangle = \langle BX,X\rangle.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan : pour tout \"X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\" :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}\|BX\|^{2}=\langle BX,X\rangle.\end{equation*}\"<\/p><\/p>\r\n

On utilise l’in\u00e9galit\u00e9 de Cauchy-Schwarz pour \u00e9crire

  <\/span>   <\/span>\"\[\|BX\|^{2}=\langle BX,X\rangle\leq \Vert BX\Vert\times \Vert X\Vert.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Si \"\Vert BX\Vert=0\" alors on a bien \"\|BX\|=0\le\|X\|.\"<\/p>\r\n

Sinon on peut diviser par \"\Vert BX\Vert>0,\" et on obtient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}\|BX\|\le\|X\|.\end{equation*}\"<\/p><\/p>\r\n

5\/<\/strong> On montre que \"C\" est sym\u00e9trique en remarquant

  <\/span>   <\/span>\"\[\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}C\right= \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}BAB\right=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}B\right \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right \left^{t}\hspace{-0.1cm}B\right=BAB=C.\]\"<\/p><\/p>\r\n

En effet on a \"\left^{t}\hspace{-0.1cm}A\right=A\" car \"u\" est sym\u00e9trique et \"A\" est sa matrice dans la base canonique.<\/p>\r\n

De plus \"C\" est \u00e0 coefficients r\u00e9els.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$C$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

6\/<\/strong> Soit \"\lambda\" une valeur propre de \"C\" et un \"X\" un vecteur propre associ\u00e9 par cons\u00e9quent \"X\" n’est pas la colonne nulle.<\/p>\r\n

a\/<\/strong> On a

  <\/span>   <\/span>\"\[\|ABX\|^{2}= \langle ABX,ABX\rangle= \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}ABX\right ABX=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right \left. ^{t}\hspace{-0.1cm}B\right{B}\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}A\right ABX\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right BAABX=\left. ^{t}\hspace{-0.1cm}X\right BABX=\langle X,CX\rangle = \langle X,\lambda X\rangle = \lambda\Vert X\Vert^2.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$\|ABX\|^{2}= \lambda\Vert X\Vert^2.$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Comme \"X\" n’est pas nulle, on peut diviser par \"\Vert X\Vert^2.\" De sorte que \"\lambda=\frac{\|ABX\|^{2}}{\Vert X\Vert^2}\in \mathbb{R}^+ .\"<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{Les valeurs propres de $C$ sont r\'eelles positives.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

7\/<\/strong> Soit \"\mu\" une (\u00e9ventuelle) valeur propre de \"AB\" non nulle, et \"X\" un vecteur propre associ\u00e9. On a donc \"ABX=\mu X.\"<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Dans un premier temps remarquons que \"ABX=\mu X\ne 0\" car \"X\" et \"\mu\" sont non nuls. Par cons\u00e9quent \"BX\" n’est pas la colonne nulle sinon \"ABX\" serait nulle. Calculons

  <\/span>   <\/span>\"\[CBX=BABBX=BABX=B(ABX)=B(\mu X)=\mu BX.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$BX$ est un vecteur propre de $C$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On a \"\mu AX = A(\mu X)=A(ABX)=A^2BX= ABX\".<\/p>\r\n

Or \"ABX=\mu X\" donc \"\mu AX=\mu X\". Comme \"\mu\" est non nul, on peut diviser par \"\mu.\"<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$AX=X$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> On utilise ce qui pr\u00e9c\u00e8de

  <\/span>   <\/span>\"\[\langle X,BX\rangle=\langle AX,BX\rangle=^{t}{(AX)}BX = ^{t}{X}^{t}{A}BX= ^{t}{X}ABX=^{t}{X}(\mu X) = \mu\|X\|^{2}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$\langle X,BX\rangle=\mu\|X\|^{2}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

8\/<\/strong> Une \u00e9ventuelle valeur propre nulle est bien dans \"[0,1].\"<\/p>\r\n

Soit \"\mu\" une valeur propre non nulle de \"AB\" et \"X\" un vecteur propre associ\u00e9, avec la question 4., on a \"\|BX\|^{2}=\langle BX,X\rangle\".<\/p>\r\n

La question 7.c), donne \"\langle X,BX\rangle=\mu\|X\|^{2}\" donc \"\|BX\|^{2}=\mu\|X\Vert^{2}\".<\/p>\r\n

On utilise encore la question 4., cela donne \"\mu\|X\|^{2}= \|BX\|^{2}\leq \Vert X\Vert^2\"<\/p>\r\n

On divise par \"\Vert X\Vert^2>0\", on a alors \"0\leq \mu=\frac{\|BX\|^{2}}{\|X\|^{2}}\leq 1.\"<\/p>\r\n

Donc \"\mu \in[0,1].\"<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{Le spectre de $AB$ est inclus dans $[0;1]$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Exercice 2 : Th\u00e9or\u00e8me de Schwarz<\/h2>\r\n

1\/<\/strong> On utilise la stricte croissance de la racine carr\u00e9e sur \"\mathbb{R}^+.\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>\frac{1+\sqrt{4}}{2}=\frac{3}{2}>1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Le discriminant de \"x^{2}-x-1=0\" est \"\Delta = 1-(-4)=5.\" On a alors deux racines r\u00e9elles distinctes \"\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\" et
\"\overline{\varphi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.\"<\/p>\r\n

Or \"\frac{-1}{\varphi}=\frac{-2}{1+\sqrt{5}}= \frac{-2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}= \frac{-2(1-\sqrt{5})}{1-5}= \frac{1-\sqrt{5}}{2}=\overline{\varphi}.\"<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$\varphi>1$ et les r\'eels $\varphi$ et $\frac{-1}{\varphi}$ sont les solutions de l'\'equation : $x^{2}-x-1=0$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> \"f\" est de classe \"\mathcal{C}^{2}\" sur \"\mathbb{R}^{2}\" comme fonction de type polynomial en \"x\" et \"y\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> \"f\" \u00e9tant de classe \"\mathcal{C}^{1}\" sur l’ouvert \"\mathbb{R}^2,\" les points critiques de \"f\" sont les solutions de \"\nabla(f)(x,y)=(0,0).\"<\/p>\r\n

On calcule \"\partial_1(f)(x,y)=6x^2-6y\" et \"\partial_2(f)(x,y)=-6x+6y-6.\"
Ainsi
\"\nabla(f)(x,y)=(0,0)\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2-y=0\\-x+y-1=0\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y=x^2\\y=x+1\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2-x-1=0\\y=x+1\end{array}\right\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\varphi\hbox{ ou } x=\frac{-1}{\varphi}\\y=x+1\end{array}\right.\"<\/p>\r\n

\"\Longleftrightarrow (x,y)=(\varphi,1+\varphi) \hbox{ ou } (x,y)=\left(\frac{-1}{\varphi},\frac{-1}{\varphi}+1\right).\"<\/p>\r\n

Or \"\frac{-1}{\varphi}+1= \frac{-2}{1+\sqrt{5}}+1= \frac{-2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}+1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}+1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\".<\/p>\r\n

Et \"\frac{1}{\varphi+1}=\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1}= \frac{2}{3+\sqrt{5}}= \frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}= \frac{-1}{\varphi}+1.\"<\/p>\r\n

Bilan : Les seuls points critiques de \"f\" sont \"(\varphi,\varphi+1)\" et \"\left(-\frac{1}{\varphi},\frac{1}{\varphi+1}\right)\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> On calcule la hessienne de \"f\", on a \"\partial_{1,1}^2(f)(x,y)=12x, \partial_{1,2}^2(f)(x,y)=\partial_{2,1}^2(f)(x,y)=-6, \partial_{2,2}^2(f)(x,y)=6.\" On a utilis\u00e9 le th\u00e9or\u00e8me de Schwarz sachant \"f\" de classe \"\mathcal{C}^{2}.\"<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\nabla^2f(x,y)=\begin{pmatrix}12x & -6\\-6 & 6\end{pmatrix} =6\begin{pmatrix}2x & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

La matrice est sym\u00e9trique r\u00e9elle, elle est diagonalisable dans \"\mathbb{R}.\" On cherche les signes de ses valeurs propres lorsque \"(x,y)\" est un point critique. On peut \u00e9tudier le spectre de \"\begin{pmatrix}2x & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}\" car le spectre de \"\nabla^2f(x,y)\" s’obtient en multipliant par 6 les valeurs propres de \"\begin{pmatrix}2x & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}\".<\/p>\r\n

On sait par ailleurs que \"\lambda\" est valeur propre de \"\begin{pmatrix}2x & -1\\-1 & 1\end{pmatrix}\" si et seulement si \"\begin{pmatrix}2x -\lambda& -1\\-1 & 1-\lambda\end{pmatrix}\" est non inversible si et seulement si \"(2x -\lambda)(1-\lambda) -1 =0.\"<\/p>\r\n

On r\u00e9sout \"(2x -\lambda)(1-\lambda) -1 = \lambda^2-(2x+1)\lambda+2x-1=0.\"<\/p>\r\n

On voit \"\Delta = (2x+1)^2-4(2x-1)= 4x^2-4x+5=4(x^2-x)+5=9.\" En effet les deux points critiques ont pour abscisses les racines de \"X^2-X-1\" donc dans les cas \"x^2-x=1.\"<\/p>\r\n

Les racines sont donc \"a=\frac{2x+1+3}{2}= x+2\" et \"b=\frac{2x+1-3}{2}=x-1.\"<\/p>\r\n

Donc le spectre de \"\nabla^2f(x,y)\" est \"\{x+2,x-1\}\" dans le cas o\u00f9 \"(x,y)\" est un point critique.<\/p>\r\n

Si \"(x,y) = (\varphi,\varphi+1)\", alors \"\varphi+2\" et \"\varphi-1\" sont strictement positifs donc \"f\" a un minimum local en \"(\varphi,\varphi+1).\"<\/p>\r\n

Si \"(x,y) =\left(-\frac{1}{\varphi},\frac{1}{\varphi+1}\right)\", alors \"-\frac{1}{\varphi}+2=\frac{-1+2\varphi}{\varphi}>0\" et \"-\frac{1}{\varphi}-1<0\" donc \"f\" n’a pas d’extremum en \"\left(-\frac{1}{\varphi},\frac{1}{\varphi+1}\right).\" Il s’agit d’un point col.<\/p>\r\n

3\/<\/strong> On pose, pour tout entier \"n\in\mathbb{N}\", \"H_n:\left(u_{n}u_{n+2}-u_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}\right)\".<\/p>\r\n

Au rang 0, on a \"u_0=0, u_1=u_2=1\" donc \"u_{0}u_{2}-u_{1}^{2}=-1=(-1)^{0+1}.\" Donc \"H_0\" est vraie.<\/p>\r\n

Supposons \"H_n\" vraie pour un \"n\in\mathbb{N},\" alors

  <\/span>   <\/span>\"\begin{align*} u_{n+1}u_{n+3}-u_{n+2}^{2} & = u_{n+1}(u_{n+1}+u_{n+2})-u_{n+2}^{2} \\<\/p>
Donc \"H_{n+1}\" vraie.<\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{Pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $u_{n}u_{n+2}-u_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong><\/p>\r\n

function u=suite(n)
\u00a0 \u00a0v=0
\u00a0 \u00a0w=1
\u00a0 \u00a0for k=2:n \/\/ ici v vaut u(k-2) et w vaut u(k-1)
\u00a0 \u00a0 \u00a0 temporaire = v+w \/\/ temporaire vaut u(k-2) + u(k-1) = u(k)
\u00a0 \u00a0 \u00a0 v = w \/\/ v vaut u(k-1)
\u00a0 \u00a0 \u00a0 w = temporaire \/\/ w vaut u(k)
\u00a0 \u00a0end \/\/ en sortie de boucle k=n et w vaut u(n)
\u00a0 \u00a0u= w
endfunction<\/p>\r\n

b\/<\/strong> On commence par r\u00e9soudre

  <\/span>   <\/span>\"\[\left\{\begin{array}{l}\lambda\varphi^{0}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{0} = u_0\\\lambda\varphi^{1}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{1}=u_1\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\lambda+\mu = 0\\\lambda\varphi+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)=1\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\mu = - \lambda\\\lambda\left(\varphi+\left(\frac{1}{\varphi}\right)\right)=1\end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\mu = - \frac{\varphi}{\varphi^2+1}\\\lambda=\frac{\varphi}{\varphi^2+1}\end{array}\right.\]\"<\/p><\/p>\r\n

On garde ces deux valeurs pour \"\lambda\" et \"\mu.\"
On pose ensuite :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}\forall n\in\mathbb{N},\quad z_{n}=\lambda\varphi^{n}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n}.\end{equation*}\"<\/p><\/p>\r\n

Ce qui pr\u00e9c\u00e8de dit que \"z_0=u_0,\; z_1=u_1.\"<\/p>\r\n

Il ne reste plus qu’\u00e0 v\u00e9rifier que la suite \"(z_n)_{n\in\mathbb{N}}\" v\u00e9rifie la m\u00eame relation que \"(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\", une r\u00e9currence double imm\u00e9diate assurera que les deux suites sont \u00e9gales.<\/p>\r\n

Soit \"n\in \mathbb{N},\"

  <\/span>   <\/span>\"\[z_{n+2}=\lambda\varphi^{n+2}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n+2} =\lambda\varphi^{n}\times \varphi^{2}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n} \times \left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{2}\]\"<\/p>

  <\/span>   <\/span>\"\[= \lambda\varphi^{n}\times(1+ \varphi)+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n} \times \left(1+\frac{-1}{\varphi}\right)=\lambda\varphi^{n}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n}+\lambda\varphi^{n+1}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n+1}=z_n+z_{n+1}.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$\forall n\in\mathbb{N},\quad u_{n}=\lambda\varphi^{n}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n}.$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> La suite \"\left(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right)_{n\ge 1}\" a du sens car la suite \"u\" est non nulle \u00e0 partir du rang 1. En effet, pour \"n\in\mathbb{N},\" \"u_{n+2}-u_{n+1}=u_n.\" On peut montrer facilement par r\u00e9currence double que \"u_n>0\" d\u00e8s que \"n\geq 1.\" La suite est strictement croissante \u00e0 partir du rang 1 et \"u_n\geq u_1=1.\"<\/p>\r\n

On a \"\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{\lambda\varphi^{n+1}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n+1}}{\lambda\varphi^{n}+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n}}=\frac{\varphi^{n}}{\varphi^{n}}\times \frac{\lambda\varphi+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n+1}\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{n}}{\lambda+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n}\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{n}}= \frac{\lambda\varphi+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n+1}\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{n}}{\lambda+\mu\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n}\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{n}}\"<\/p>\r\n

Il est clair que \"\lambda=\frac{\varphi}{\varphi^2+1}\ne 0\" donc on peut diviser par \"\lambda\", ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{\varphi+\frac{\mu}{\lambda}\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n+1}\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{n}}{1+\frac{\mu}{\lambda}\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n}\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{n}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or \"\varphi>1\" donc \"0< \frac{1}{\varphi}= \left\vert \frac{1}{\varphi}\right\vert <1\" donc \"\left\vert\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n}\right\vert= \left(\frac{1}{\varphi}\right)^{n}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}0.\"<\/p>\r\n

Donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}\varphi.\]\"<\/p><\/p>\r\n

5\/<\/strong> On consid\u00e8re pour tout \"n\in\mathbb{N}^{*}\" : \"S_{n}=\disp\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{u_{k}u_{k+1}}\"<\/p>\r\n

a\/<\/strong> On montre d’abord que \"u_n\underset{+\infty}{\sim}\lambda \varphi^{n}.\" Pour cela on \u00e9tablit que le quotient converge vers 1.

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{u_n}{\lambda \varphi^{n}}= 1+\frac{\mu}{\lambda}\left(\frac{-1}{\varphi}\right)^{n}\left(\frac{1}{\varphi}\right)^{n}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Ainsi on a \"\frac{1}{u_{n}u_{n+1}}\underset{+\infty}{\sim}\frac{1}{\lambda^2 \varphi}\left(\frac{1}{\varphi^2}\right)^n.\"<\/p>\r\n

Or \"\varphi>1\" donc \"\varphi^2>1\" donc \"0<\frac{1}{\varphi^2}<1\" donc la s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique \"\sum\limits_{n\geq 1} \left(\frac{1}{\varphi^2}\right)^n\" converge.<\/p>\r\n

Donc par comparaison des s\u00e9ries \u00e0 terme g\u00e9n\u00e9ral positif, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\frac{1}{u_{n}u_{n+1}}\" converge.<\/p>\r\n

b\/<\/strong> La s\u00e9rie \"\sum\limits_{k\geq 1}\frac{1}{u_{k}u_{k+1}}\" converge or \"\left\vert \frac{(-1)^{k}}{u_{k}u_{k+1}}\right\vert = \frac{1}{u_{k}u_{k+1}}\" donc la s\u00e9rie \"\sum\limits_{k\geq 1}\frac{(-1)^{k}}{u_{k}u_{k+1}}\" est absolument convergente donc convergente donc la suite \"(S_n)_{n\geq 1}\" de ses sommes partielles converge.<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Pour tout \"n\in\mathbb{N}^{*}\" :

  <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}S_{n+1}-S_{n}=\disp\sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k}}{u_{k}u_{k+1}}-\disp\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{u_{k}u_{k+1}}= \frac{(-1)^{n+1}}{u_{n+1}u_{n+2}}\underset{Q3}{=} \frac{u_{n}u_{n+2}-u_{n+1}^{2}}{u_{n+1}u_{n+2}}=\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-\frac{u_{n+1}}{u_{n+2}}.\end{equation*}\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> Soit \"N\in\mathbb{N}, N>1,\" on somme ce qui pr\u00e9c\u00e8de de \"n=1\" \u00e0 \"n=N\" puis on r\u00e9alise deux t\u00e9lescopages. Il est imm\u00e9diat que \"u_1=u_2=1\", ces valeurs sont utilis\u00e9es en fin de calcul.

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{n=1}^{N} \left( S_{n+1}-S_{n} \right)= \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-\frac{u_{n+1}}{u_{n+2}}\right)\]\"<\/p>
donc

  <\/span>   <\/span>\"\[S_{N+1}-S_{1} = \frac{u_{1}}{u_{1+1}}-\frac{u_{N+1}}{u_{N+2}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

donc

  <\/span>   <\/span>\"\[S_{N+1} - \left(\frac{-1}{u_1u_2}\right) = 1-\frac{u_{N+1}}{u_{N+2}}\]\"<\/p>
Donc \"\frac{u_{N+1}}{u_{N+2}} = -S_{N+1}.\"<\/p>\r\n

La question 4.c) a montr\u00e9 que \"\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}\varphi.\" Donc \"\frac{u_{N+1}}{u_{N+2}}\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{\varphi}.\"<\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, un passage \u00e0 la limite dans la relation \"\frac{u_{N+1}}{u_{N+2}} = -S_{N+1}\" lorsque \"N\to +\infty\" indique que

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{\varphi}=-\disp\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{u_{k}u_{k+1}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Pour conclure, il reste \u00e0 \u00e9tablir que \"\frac{1}{\varphi}=\varphi-1.\"<\/p>\r\n

En effet

  <\/span>   <\/span>\"\[\frac{1}{\varphi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}= \frac{2(\sqrt{5}-1)}{(1+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}= \frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{2}{2}=\varphi-1.\]\"<\/p><\/p>\r\n

Bilan :

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$\varphi=1-\disp\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{u_{k}u_{k+1}}$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

 <\/p>\r\n\t\t

\n\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t
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\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

COURS A DOMICILE<\/h3>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

Des cours sur mesure de qualit\u00e9<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t

POUR ACC\u00c9L\u00c9RER MA PROGRESSION<\/h4>\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\tProfesseur particulier \u00e0 domicile<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/span>\n\t\t\t\t\t<\/a>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t

Avis Google France <\/b>\u2605\u2605\u2605\u2605\u2605<\/b><\/span> 4,9 sur 5<\/b><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

\n\t\t\t
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\r\n

 <\/p>\r\n

Probl\u00e8me : Relation de Panjer<\/h2>\r\n

Partie 1 : Variables v\u00e9rifiant une relation de Panjer<\/h3>\r\n

1\/ a\/<\/strong> On a pour tout \"k\in\mathbb{N}^*\", \"P(N=k)=\frac{b}{k}P(N=k-1)\".<\/p>\r\n

Montrons alors par r\u00e9currence que pour tout \"k\in\mathbb{N}\", la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathscr{P}(k)\" : \u00a0\u00bb \"P(N=k)=\frac{b^k}{k!}P(N=0)\"\\fg\\ est vraie. \u00ab\u00a0<\/p>\r\n

\"P(N=0)=\frac{b^0}{0!}P(N=0)\", donc \"\mathscr{P}(0)\" est vraie.<\/p>\r\n

Soit \"k\in\mathbb{N}^*\". On suppose que \"\mathscr{P}(k-1)\" est vraie. Montrons que \"\mathscr{P}(k)\" est vraie.<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(N=k)=\frac{b}{k}P(N=k-1)=\frac{b}{k}\frac{b^{k-1}}{(k-1)!}P(N=0)=\frac{b^k}{k!}P(N=0)\]\"<\/p>
La propri\u00e9t\u00e9 est donc vraie au rang \"k\".
Par axiome de r\u00e9currence, on en d\u00e9duit que<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$\forall k\in\mathbb{N} \qquad P(N=k)=\frac{b^k}{k!}P(N=0)$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\frac{b^k}{k!}P(N=0)\" est le multiple d’une s\u00e9rie exponentielle. On en d\u00e9duit qu’elle converge et on a

  <\/span>   <\/span>\"\[\dis \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{b^k}{k!}P(N=0)=P(N=0)\text{e}^{b}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"\frac{b^k}{k!}P(N=0)\" coincide avec la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"P(N=k)\". Sa somme vaut donc aussi 1, car la famille \"([N=k])_{k\in\mathbb{N}}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements. On en d\u00e9duit que \"P(N=0)=\text{e}^{-b}\". D\u00e8s lors,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[$N(\Omega)=\mathbb{N}$ et $\forall k\in\mathbb{N}\quad P(N=k)=\text{e}^{-b}\frac{b^k}{k!}$\]\"<\/p><\/p>\r\n

La variable al\u00e9atoire suit donc une loi de Poisson de param\u00e8tre \"b\". Par cons\u00e9quent, elle admet une esp\u00e9rance et une variance \u00e9gale \u00e0 \"E(N)=b\" et \"V(N)=b\".<\/p>\r\n

2\/ a\/<\/strong> Montrons par une r\u00e9currence rapide que pour tout \"k\geq 2\", \"P(N=k)=0\".<\/p>\r\n

\"P(N=2)=\left(a+\frac{b}{2}\right)P(N=1)=(a-a)P(N=1)=0\".
Soit \"k\geq 3\". Supposons que \"P(N=k-1)=0\". Montrons que \"P(N=k)=0\".<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(N=k)=\left(a-\frac{2a}{k}\right)P(N=k-1)=0\]\"<\/p><\/p>\r\n

par hypoth\u00e8se de r\u00e9currence.<\/p>\r\n

Par principe de r\u00e9currence, on a bien<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$\forall k\geq 2\quad P(N=k)=0$}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On d\u00e9duit de la question pr\u00e9c\u00e9dente que \"N(\Omega)=\{0,1\}\". Par cons\u00e9quent, \"N\" suit une loi de Bernouilli. De plus,

  <\/span>   <\/span>\"\[P(N=1)+P(N=0)=1\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’o\u00f9, \"-aP(N=0)+P(N=0)=1\" et comme \"a<1\", \"P(N=0)=\frac{1}{1-a}\". Par cons\u00e9quent,<\/p>\r\n

\"N\" suit une loi de Bernoulli de param\u00e8tre \"-\frac{a}{1-a}\".<\/p>\r\n

3\/ a\/<\/strong> Soit \"k\in [\![1,n]\!]\". \"P(Z=k)=\comb{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\". Or \"\comb{n}{k}=\frac{n+1-k}{k}\comb{n}{k-1}\". D’o\u00f9<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(Z=k)=\frac{n+1-k}{k}\times \frac{p}{1-p}\comb{n}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n+1-k}=\frac{p}{1-p}\times \frac{n-k+1}{k}\times P(Z=k-1)\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> On a d\u00e9j\u00e0 comme \"n\in\mathbb{N}^*\" que \"P(Z=0)\neq 1\". De plus, avec la relation pr\u00e9c\u00e9dente, en posant \"a=-\frac{p}{1-p}\" et \"b=\frac{p(n+1)}{1-p}\", on a bien \"a<1\" car \"-p<1-p\" et \"1-p>0\" et

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k\in [\![1,n]\!] \quad P(N=k)=\left(a+\frac{b}{k}\right)P(N=k-1)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Enfin, \"a+\frac{b}{n+1}=0\". La relation pr\u00e9c\u00e9dente reste donc vraie pour \"k=n+1\" et par une r\u00e9currence imm\u00e9diate du m\u00eame type que celle effectu\u00e9e \u00e0 la question 2.a, elle reste vraie pour \"k\geq n+1\" car tous les termes sont nuls. On a donc bien<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k\in \mathbb{N}^* \quad P(N=k)=\left(a+\frac{b}{k}\right)P(N=k-1)\]\"<\/p><\/p>\r\n

La variable al\u00e9atoire \"Z\" v\u00e9rifie donc une relation de Panjer.<\/p>\r\n

4\/ a\/<\/strong> \"P(N=1)=(a+b)P(N=0)\".<\/p>\r\n

Raisonnons par l’absurde et supposons \"P(N=0)=0\". Alors, une r\u00e9currence imm\u00e9diate du type de celle de la question 2.a montre que pour tout \"k\in\mathbb{N}^*\" \"P(N=k)=0\", ce qui est exclu. On en d\u00e9duit que \"P(N=0)>0\". Or \"P(N=1)\geq 0\" d’o\u00f9

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$a+b\geq 0$.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Soit \"m\geq 1\".

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=1}^{m}kP(N=k)&=&{\dis a\sum_{k=1}^mkP(N=k-1)+b\sum_{k=1}^{m}P(N=k-1)}\\&=&{\dis a\sum_{j=0}^{m-1}(j+1)P(N=j)+b\sum_{j=0}^{m-1}P(N=j)}\\\end{array}\]\"<\/p><\/p>\r\n

en faisant les changements de variables \"j=k-1\" dans les deux sommes.<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Avec le r\u00e9sultat de la question pr\u00e9c\u00e9dente, on a donc pour tout \"m\geq 1\"

  <\/span>   <\/span>\"\[\dis (1-a)\sum_{k=1}^{m-1}kP(N=k)+mP(N=m)=(a+b)\sum_{k=0}^{m-1}P(N=k)\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’o\u00f9 pour tout \"m\geq 2\",

  <\/span>   <\/span>\"\[\dis (1-a)\sum_{k=1}^{m}kP(N=k)+(m+1)P(N=m+1)=(a+b)\sum_{k=0}^{m}P(N=k)\qquad (\ast)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, \"1-a>0\", \"a+b\geq 0\", \"(m+1)P(N=m+1)\geq 0\" et \"\sum_{k=0}^{m}P(N=k)\leq 1\". D\u00e8s lors,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dis (1-a)\sum_{k=1}^{m}kP(N=k)\leq a+b \qquad \text{et} \qquad \dis \sum_{k=1}^{m}kP(N=k)\leq \frac{a+b}{1-a}\]\"<\/p><\/p>\r\n

La suite \"\left((1-a)\sum_{k=1}^{m}kP(N=k)\right)_{m\geq 1}\" est donc major\u00e9e par \"a+b\".<\/p>\r\n

De plus, la suite \"\left(\sum_{k=1}^{m}kP(N=k)\right)_{m\geq 1}\" est croissante major\u00e9e par \"\frac{a+b}{1-a}\". Par th\u00e9or\u00e8me de convergence monotone, elle converge.<\/p>\r\n

La variable al\u00e9atoire \"N\" admet une esp\u00e9rance si et seulement si la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"kP(N=k)\" est absolument convergente ce qui \u00e9quivaut ici \u00e0 sa convergence car la variable al\u00e9atoire \"N\" est \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\".<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit donc que

  <\/span>   <\/span>\"\[\boxed { \text{$N$ admet une esp\'erance.}}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Par cons\u00e9quent, \"(m+1)P(N=m+1)\tv{m\to +\infty} 0\" comme terme g\u00e9n\u00e9ral d’une s\u00e9rie convergente. Comme \"\dis \sum_{k=0}^{+\infty}P(N=k)=1\", en faisant tendre \"m\" vers \"+\infty\" dans la relation \"(\ast)\", on en d\u00e9duit que

  <\/span>   <\/span>\"\[(1-a)E(N)=a+b \qquad \text{d'où}\qquad E(N)=\frac{a+b}{1-a}\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> On raisonne avec des calculs similaires \u00e0 ceux men\u00e9s dans la question 4.<\/p>\r\n

On a alors pour tout \"m\geq 1\",

  <\/span>   <\/span>\"\begin{eqnarray*}\dis \sum_{k=1}^{m}k^2P(N=k)&=&{\dis a\sum_{k=0}^{m-1}(k+1)^2P(N=k)+b\sum_{k=0}^{m-1}(k+1)P(N=k)}\\&=&{\dis a\sum_{k=0}^{m-1}k^2P(N=k)+(2a+b)\sum_{k=0}^{m-1}kP(N=k)+(a+b)\sum_{k=0}^{m-1}P(N=k)}\\\end{eqnarray*}\"<\/p><\/p>\r\n

On a ainsi

  <\/span>   <\/span>\"\[{\dis (1-a)\sum_{k=1}^{m-1}k^2P(N=k)+m^2P(N=m)=(2a+b)\sum_{k=0}^{m-1}kP(N=k)+(a+b)\sum_{k=0}^{m-1}P(N=k)}\qquad\]\"<\/p><\/p>\r\n

On a d\u00e9j\u00e0 montr\u00e9 que \"a+b\geq 0\".<\/p>\r\n

Il reste \u00e0 montrer que \"2a+b\geq 0\". On a \"2P(N=2)=(2a+b)P(N=1)\".<\/p>\r\n

Si \"P(N=1)=0\", alors par une r\u00e9currence imm\u00e9diate, on montre que pour tout \"k\geq 1\", \"P(N=k)=0\" d’o\u00f9 \"P(N=0)=1\", ce qui est exclu.<\/p>\r\n

On a donc \"P(N=1)>0\" et en fait m\u00eame \"a+b>0\". Comme \"P(N=2)\geq 0\", on en d\u00e9duit que \"2a+b\geq 0\". D\u00e8s lors, pour tout \"m\geq 2\", en appliquant la derni\u00e8re \u00e9galit\u00e9 au rang \"m+1\", il vient comme \"(m+1)^2P(N=m+1)\geq 0\",

  <\/span>   <\/span>\"\[{\dis (1-a)\sum_{k=1}^mk^2P(N=k)\leq (2a+b)E(N)+(a+b)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

car \"\dis \sum_{k=0}^{m}kP(N=k)\leq E(N)\" et \"\dis \sum_{k=0}^mP(N=k)\leq 1\". Ainsi, \"\dis \sum_{k=1}^mk^2P(N=k)\leq\frac{2a+b}{1-a}E(N)+\frac{a+b}{1-a}\".<\/p>\r\n

La suite \"\left(\sum_{k=1}^mk^2P(N=k)\right)_{m\geq 1}\" est donc croissante major\u00e9e. Par th\u00e9or\u00e8me de convergence monotone, elle converge.<\/p>\r\n

La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"k^2P(N=k)\" est donc absolument convergente car convergente \u00e0 termes positifs et \"N\" admet un moment d’ordre 2. De plus, \"(m+1)^2P(N=m+1)\underset{m\to +\infty} {\longrightarrow} 0\". En faisant tendre \"m\" vers \"+\infty\" dans l’\u00e9galit\u00e9 \"(\ast)\", on obtient<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[E(N^2)=\frac{2a+b}{1-a}E(N)+\frac{a+b}{1-a}=\frac{(a+b)}{(1-a)^2}(2a+b+1-a)=\frac{(a+b)(a+b+1)}{(1-a)^2}\]\"<\/p><\/p>\r\n

e\/<\/strong> La variable al\u00e9atoire \"N\" admet un moment d’ordre 2 donc une variance. Avec la formule de Koenig-Huygens, il vient

  <\/span>   <\/span>\"\[V(N)=E(N^2)-(E(N))^2=\frac{(a+b)(a+b+1-a-b)}{(1-a)^2}=\frac{a+b}{(1-a)^2}\]\"<\/p><\/p>\r\n

f\/<\/strong> On a d\u00e9j\u00e0 que si \"N\" suit une loi de Poisson alors \"E(N)=V(N)\".<\/p>\r\n

R\u00e9ciproquement, supposons \"E(N)=V(N)\". Avec les r\u00e9sultats des question 4.c et 4.d, on a alors<\/p>\r\n

\"\frac{(a+b)}{(1-a)^2}(1-(1-a))=0\ssi a=0\" ou \"a+b=0\"<\/p>\r\n

Si \"a+b=0\", alors \"P(N=1)=0\" et par une r\u00e9currence imm\u00e9diate, on en d\u00e9duit que \"P(N=k)=0\" pour tout \"k\geq 1\". D’o\u00f9 \"P(N=0)=1\" ce qui est exclu.<\/p>\r\n

On en d\u00e9duit que \"a+b\neq 0\" d’o\u00f9 \"a=0\". D’apr\u00e8s la question 1.b, on en d\u00e9duit que \"N\" suit une loi de Poisson de param\u00e8tre \"b\".<\/p>\r\n

On a donc bien l’\u00e9quivalence voulue.<\/p>\r\n

Partie 2 : Fonction g\u00e9n\u00e9ratrice<\/h2>\r\n

5\/<\/strong> Soit \"x\in[0,1]\". Pour tout \"k\in\mathbb{N}\", \"0\leq p_kx^k\leq p_k\". La s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"p_k\" est convergente de somme \"1\" donc par th\u00e9or\u00e8me de comparaison pour les s\u00e9ries \u00e0 termes positifs, la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"p_kx^k\" converge.<\/p>\r\n

6\/<\/strong> Soit \"x\in[0,1]\", \"1-ax=a\left(\frac{1}{a}-x\right)>0\" car \"a>0\" et \"\frac{1}{a}>1\". Par composition, la fonction \"f\" est donc de classe \"\mathcal{C}^{\infty}\" sur \"[0,1]\".<\/p>\r\n

Montrons par r\u00e9currence que pour tout \"k\in\mathbb{N}\", la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathscr{P}(k)\" : \u00a0\u00bb \"\forall x\in[0,1]\", \"f^{(k)}(x)=k!\times p_k(1-ax)^{\alpha-k}\" .\u00a0\u00bb<\/p>\r\n

\"\bullet\" Pour tout \"x\in[0,1]\", \"f^{(0)}(x)=p_0(1-ax)^{\alpha}\". Donc \"\mathscr{P}(0)\" est vraie.<\/p>\r\n

\"\bullet\" Soit \"k\in\mathbb{N}\". On suppose \"\mathscr{P}(k)\" vraie. Montrons que \"\mathscr{P}(k+1)\" est vraie.<\/p>\r\n

Par hypoth\u00e8se de r\u00e9currence, pour tout \"x\in[0,1]\", \"f^{(k)}(x)=k!\times p_k(1-ax)^{\alpha-k}\". Alors, pour tout \"x\in[0,1]\",

  <\/span>   <\/span>\"\[f^{(k+1)}(x)=-a(\alpha-k) k!p_k(1-ax)^{\alpha-(k+1)}=-(a\alpha-ka)k!p_k(1-ax)^{\alpha-(k+1)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, \"(k+1)!p_{k+1}=(k+1)k!\left(a+\frac{b}{k+1}\right)p_k=k!p_k((k+1)a+b)\" et \"-(a\alpha-ka)=a+b+ka=b+(k+1)a\". On en d\u00e9duit que

  <\/span>   <\/span>\"\[\forall k\in[0,1]\quad f^{(k+1)}(x)=(k+1)!p_{k+1}(1-ax)^{\alpha-(k+1)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

et \"\mathscr{P}(k+1)\" est vraie.<\/p>\r\n

Par axiome de r\u00e9currence, la propri\u00e9t\u00e9 \"\mathscr{P}(k)\" est vraie pour tout \"k\in\mathbb{N}\".<\/p>\r\n

7\/<\/strong> Soit \"x\in[0,1]\".<\/p>\r\n

a\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}\". La fonction \"f\" est de classe \"\mathcal{C}^{n+1}\" sur \"[0,x]\" donc par th\u00e9or\u00e8me de Taylor avec reste int\u00e9gral \u00e0 l’ordre \"n\" appliqu\u00e9 entre \"0\" et \"x\", on a

  <\/span>   <\/span>\"\[f(x)=\dis \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\text{d} t\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’o\u00f9, avec les r\u00e9sultats de la question pr\u00e9c\u00e9dente,

  <\/span>   <\/span>\"\[f(x)=\dis \sum_{k=0}^{n}p_kx^k+(n+1)p_{n+1}\int_{0}^{x}(x-t)^n(1-at)^{\alpha-(n+1)}\text{d} t\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> Soit \"t\in[0,x]\".

  <\/span>   <\/span>\"\[1-\frac{x-t}{1-at}=\frac{1-at-x+t}{1-at}=\frac{(1-x)+t(1-a)}{1-at}\]\"<\/p>
Or, \"1-at>0\", car \"1/a>1\", \"1-x\geq 0\", \"t(1-a)\geq 0\" d’o\u00f9 \"1-\frac{x-t}{1-at}\geq 0\" et \"\frac{x-t}{1-at}\leq 1\". Alors, pour tout \"n\in\mathbb{N}\", pour tout \"t\in[0,x]\",

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leq (1-at)^{\alpha-n-1}(x-t)^n=(1-at)^{\alpha-1}\left(\frac{x-t}{1-at}\right)^n\leq (1-at)^{\alpha-1} 1^n\]\"<\/p><\/p>\r\n

car \"(1-at)>0\". Par croissance de l’int\u00e9grale, il vient

  <\/span>   <\/span>\"\[0\leq \dis \int_0^x(1-at)^{\alpha-n-1}(x-t)^n\text{d} t\leq \int_0^x(1-at)^{\alpha-1}\text{d} t\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Avec la question pr\u00e9c\u00e9dente, on a pour tout \"n\in\mathbb{N}\",

  <\/span>   <\/span>\"\[{\dis 0\leq (n+1)p_{n+1}\int_{0}^{x}(x-t)^n(1-at)^{\alpha-(n+1)}\text{d} t\leq (n+1)p_{n+1}\int_0^x(1-at)^{\alpha-1}\text{d} t}\]\"<\/p>
Or, \"N\" admettant une esp\u00e9rance, \"(n+1)p_{n+1}\underset{n\to+\infty} {\longrightarrow} 0\" d’o\u00f9 \"{\dis (n+1)p_{n+1}\int_0^x(1-at)^{\alpha-1}\text{d} t}\underset{n\to+\infty} {\longrightarrow} 0\". Puis, par th\u00e9or\u00e8me d’encadrement,

  <\/span>   <\/span>\"\[(n+1)p_{n+1} \int_{0}^{x}(x-t)^n(1-at)^{\alpha-(n+1)}\text{d} t\underset{n\to+\infty} {\longrightarrow} 0\]\"<\/p><\/p>\r\n

Avec l’\u00e9galit\u00e9 de la question 7.a, en faisant tendre \"n\" vers \"+\infty\", on obtient<\/p>\r\n

\"f(x)=\dis \sum_{k=0}^{+\infty}p_kx^k=G(x)\" d’o\u00f9 \"G(x)=p_0(1-ax)^{\alpha}\".<\/p>\r\n

\"G(1)=p_0(1-a)^{\alpha}\". De plus, \"G(1)=\dis \sum_{k=0}^{+\infty}P(N=k)=1\". Par cons\u00e9quent, \"p_0=(1-a)^{-\alpha}\".<\/p>\r\n

En outre, pour tout \"x\in[0,1]\", \"G'(x)=-a\alpha p_0(1-ax)^{\alpha-1}\". D’o\u00f9 \"G'(1)=-a\alpha p_0(1-a)^{\alpha-1}\". Ainsi par d\u00e9finition de \"\alpha\",

  <\/span>   <\/span>\"\[G'(1)=(a+b)\frac{1}{1-a}=\frac{a+b}{1-a}=E(N)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Partie 3 : Formule de r\u00e9cursivit\u00e9<\/h3>\r\n

9\/<\/strong> La famille \"\left([N=k]\right)_{k\in\mathbb{N}}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements. Par cons\u00e9quent, d’apr\u00e8s la formule des probabilit\u00e9s totales,

  <\/span>   <\/span>\"\[P(S=0)=\dis \sum_{k=0}^{+\infty} P((S=0)\cap [N=k])\]\"<\/p><\/p>\r\n

\"(S=0)\cap [N=0]=[N=0]\" et si \"k\in\mathbb{N}^*\", les variables al\u00e9atoires \"(X_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\" \u00e9tant \u00e0 valeurs dans \"\mathbb{N}\",

  <\/span>   <\/span>\"\[(S=0)\cap [N=k]=\dis \bigcap_{i=1}^{k}[X_i=0]\cap [N=k]\]\"<\/p>
Par mutuelle ind\u00e9pendance des variables al\u00e9atoires consid\u00e9r\u00e9es, on a donc

  <\/span>   <\/span>\"\[P\left([S=0]\cap [N=k]\right)=P(X_1=0)^kP(N=k)\]\"<\/p>
car les variables al\u00e9atoires \"(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\" sont de m\u00eame loi.<\/p>\r\n

En posant \"x=P(X_1=0)\in [0,1]\", il vient en utilisant les m\u00eames notations que celles de la partie 2 et les r\u00e9sultats de cette partie car \"0<a<1\" (seule condition utile dans cette partie),<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(S=0)=\dis \sum_{k=0}^{+\infty}p_k x^k=G(x)=\left(\frac{1-ax}{1-a}\right)^{\alpha}\]\"<\/p><\/p>\r\n

10\/ a\/<\/strong> Les calculs interm\u00e9diaires et le raisonnement de la question pr\u00e9c\u00e9dente restent vrais dans cette question. On a donc en posant \"x=P(X_1=0)\"

  <\/span>   <\/span>\"\[P(S=0)=\dis \sum_{k=0}^{+\infty}P(N=k)x^k=\text{e}^{-\lambda}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(\lambda x)^k}{k!}=\text{e}^{-\lambda(1-x)}\]\"<\/p><\/p>\r\n

b\/<\/strong> La fonction simulX(n) simule une r\u00e9p\u00e9tition de \"n\" exp\u00e9riences identiques et ind\u00e9pendantes qui a deux issues et elle compte le nombre de succ\u00e8s, o\u00f9 un succ\u00e8s est de probabilit\u00e9 \"1/2\". Par cons\u00e9quent, simulX(n) simule une loi binomiale de param\u00e8tres \"(n,1/2)\".<\/p>\r\n

c\/<\/strong> Le programme est le suivant :<\/p>\r\n

function s=simulS(lambda,n)
\u00a0 \u00a0N=grand(1,1,\u00a0\u00bbpoi\u00a0\u00bb,lambda)
\u00a0 \u00a0s=0;
\u00a0 \u00a0if N>=1 then
\u00a0 \u00a0 \u00a0 for k=1:N
\u00a0 \u00a0 \u00a0 s=s+simulX(n)
\u00a0 \u00a0 \u00a0 end
\u00a0 \u00a0end
endfunction<\/p>\r\n

11\/ a\/<\/strong> Soit \"n\in\mathbb{N}\" et \"k\in\mathbb{N}^*\". Dans toute cette question, on admet que \"P(S_{n+1}=k)\neq 0\".<\/p>\r\n

Sachant \"[S_{n+1}=k]\", pour tout \"1\leq i\leq n+1\", \"X_i\" prend ses valeurs dans \"[\![0;k]\!]\" et admet donc une esp\u00e9rance. De plus, les variables al\u00e9atoires \"(X_i)_{1\leq i\leq n+1}\" suivent la m\u00eame loi donc sachant \"[S_{n+1}=k]\", elles admettent m\u00eame esp\u00e9rance. Par cons\u00e9quent,

  <\/span>   <\/span>\"\[\dis \sum_{i=1}^{n+1}E(X_i|S_{n+1}=k)=(n+1)E(X_1|S_{n+1}=k)\]\"<\/p>
De plus, par lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance,

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{i=1}^{n+1}E(X_i|S_{n+1}=k)=E\left(\sum_{i=1}^{n+1}X_i|S_{n+1}=k\right)=E(S_{n+1}|S_{n+1}=k)=k\]\"<\/p>
On en d\u00e9duit que pour tout \"i\in[\![1,n+1]\!]\", \"E(X_i|S_{n+1}=k)=\frac{k}{n+1}\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Soit \"j\in[\![0,k]\!]\". Par d\u00e9finition des probabilit\u00e9s conditionnelles,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P_{[S_{n+1}=k]}(X_{n+1}=j)P(S_{n+1}=k)=P([S_{n+1}=k]\cap (X_{n+1}=j))=P([S_n=k-j]\cap [X_{n+1}=j])\]\"<\/p>
Or, par mutuelle ind\u00e9pendance des variables al\u00e9atoires \"(X_i)_{1\leq i \leq n+1}\", les \u00e9v\u00e9nements \"[S_n=k-j]\" et \"[X_{n+1}=j]\" sont ind\u00e9pendants. D’o\u00f9,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P_{[S_{n+1}=k]}(X_{n+1}=j)P(S_{n+1}=k)=P(S_n=k-j)P(X_{n+1}=j)=q_jP(S_n=k-j)\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> Avec la question pr\u00e9c\u00e9dente,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{array}{rcl}{\dis \sum_{j=0}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S_n=k-j)}&=&{\dis P(S_{n+1}=k)\left[\sum_{j=0}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)P_{[S_{n+1}=k]}(X_{n+1}=j)\right]}\\&=& P(S_{n+1}=k)E\left(a+\frac{bX_{n+1}}{k} |S_{n+1}=k\right)\\&=&P(S_{n+1}=k)\left(a+\frac{b}{k}E(X_{n+1}|S_{n+1}=k)\right)\\\end{array}\]\"<\/p>
par lin\u00e9arit\u00e9 de l’esp\u00e9rance et parce que sachant \"[S_{n+1}=k]\", \"X_{n+1}\" est \u00e0 valeurs dans \"[\![0,k]\!]\".<\/p>\r\n

Avec le r\u00e9sultat de la question 11.a,

  <\/span>   <\/span>\"\[{\dis \sum_{j=0}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S_n=k-j)}=P(S_{n+1}=k)\left(a+\frac{b}{n+1}\right)\]\"<\/p><\/p>\r\n

12\/ a\/<\/strong> La famille \"\left([N=n]\right)_{n\in\mathbb{N}}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements. D’apr\u00e8s la formule des probabilit\u00e9s totales, pour tout \"j\in [\![0,k]\!]\",

  <\/span>   <\/span>\"\[P(S=k-j)=\dis \sum_{n=0}^{+\infty}P((S=k-j)\cap (N=n))=\sum_{n=0}^{+\infty}P((S_n=k-j)\cap (N=n))=\sum_{n=0}^{+\infty}P(S_n=k-j)p_n\]\"<\/p><\/p>\r\n

par ind\u00e9pendance des variables al\u00e9atoires \"(X_i)_{i\in\mathbb{N}^*}\" et donc des \"(S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\" avec la variable al\u00e9atoire \"N\".<\/p>\r\n

b\/<\/strong> Avec le r\u00e9sultat de la question pr\u00e9c\u00e9dente,<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dis \sum_{j=0}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S=k-j)=\sum_{j=0}^k\sum_{n=0}^{+\infty}\left(a+\frac{bj}{k}\right)p_nq_jP(S_n=k-j)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or, pour tout \"j\in[\![0,k]\!]\", la s\u00e9rie de terme g\u00e9n\u00e9ral \"p_nP(S_n=k-j)\" converge d’apr\u00e8s la question 12.a. On a donc

  <\/span>   <\/span>\"\[\dis \sum_{j=0}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S=k-j)=\sum_{n=0}^{+\infty}p_n\left[\sum_{j=0}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S_n=k-j)\right]\]\"<\/p>
Or pour tout \"n\in\mathbb{N}\", d’apr\u00e8s la question 11.c,

  <\/span>   <\/span>\"\[\sum_{j=0}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S_n=k-j)=\left(a+\frac{b}{n+1}\right)P(S_{n+1}=k)\]\"<\/p><\/p>\r\n

D’o\u00f9, \"\dis \sum_{j=0}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S=k-j)=\sum_{n=0}^{+\infty}p_n\left(a+\frac{b}{n+1}\right)P(S_{n+1}=k)\".<\/p>\r\n

Or, pour tout \"n\in\mathbb{N}\", \"p_n\left(a+\frac{b}{n+1}\right)=p_{n+1}\" car \"N\" v\u00e9rifie une relation de Panjer. On a donc bien<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dis \sum_{j=0}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S=k-j)=\sum_{n=0}^{+\infty}p_{n+1}P(S_{n+1}=k)\]\"<\/p><\/p>\r\n

c\/<\/strong> La famille \"\left([N=n]\right)_{n\in\mathbb{N}}\" est un syst\u00e8me complet d’\u00e9v\u00e9nements. D’apr\u00e8s la formule des probabilit\u00e9s totales, en reprenant le raisonnement de la question 12.a,

  <\/span>   <\/span>\"\[P(S=k)=\dis \sum_{m=1}^{+\infty}P(S_m=k)P(N=m)\]\"<\/p>
car comme \"k\in\mathbb{N}^*\", \"P((S=k)\cap (N=0))=0\". Avec le changement d’indice \"n=m-1\", on obtient

  <\/span>   <\/span>\"\[P(S=k)=\dis \sum_{n=0}^{+\infty}p_{n+1}P(S_{n+1}=k)\]\"<\/p><\/p>\r\n

d\/<\/strong> Avec les r\u00e9sultats des deux question pr\u00e9c\u00e9dentes, on a<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\dis \sum_{j=1}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S=k-j)=(1-aq_0)P(S=k)\]\"<\/p><\/p>\r\n

Or \"q_0\in[0,1]\" et \"a<1\", par cons\u00e9quent \"aq_0\neq 1\". D’o\u00f9<\/p>\r\n

  <\/span>   <\/span>\"\[P(S=k)=\frac{1}{1-aq_0}\sum_{j=1}^k\left(a+\frac{bj}{k}\right)q_jP(S=k-j)\]\"<\/p><\/p>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<\/section>\r\n<\/div>\r\n\r\n

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\u00a0 Corrig\u00e9 du sujet ECRICOME Maths ECS 2018 Revenir \u00e0 tous les corrig\u00e9s des annales maths Ecricome Exercice 1 : Caract\u00e9risation d’un projecteur Partie 1 :\u00a0 1\/\u00a0On montre que et Pour cela on utilise l’interpr\u00e9tation matricielle des endomorphismes dans la base .         Donc et     De fa\u00e7on analogue, on a 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